INDICE Introducción........................................................................................................2 2.1 concepto de desplazamiento de un cuerpo..................................................3 2.1.1 Traslación......................... raslación............................................. ....................................... ...................................................... ................................... 3 2.1.2 Rotación............. Rotación................................. ........................................ ....................................... ................................................ ............................. 4 2.1.3 Alargamiento............. Alargamiento................................. ........................................ ........................................ .................................. .................... ...... 5 2.2 estado general de deformaciones................................. deformaciones.................................................... ................................ ............. 5 2.2.1. Deformación Deformación volumtrica......................... volumtrica............................................ ................................................. .............................. 5 2.2.2 Distorsión.................... Distorsión....................................... ....................................... ........................................ ........................................ .................... ! 2.2.3 Deformaciones Deformaciones principales........................ principales............................................ ................................................. ............................. " 2.2.4. #irculo de $o%r para deformaciones................ deformaciones.................................... .......................................11 ...................11 #onclusión........................................................................................................14 &I&'I()RA*+A &I&'I()RA*+A , -&)RA*IA............. -&)RA*IA................................. ........................................ ............................................. ......................... 15
Introducción 1
En la Unidad I se encontró el estado de esfuerzo en un punto arbitrario de un sólido cuando se le somete a cargas superficiales y de cuerpo. La deformación es una cantidad geométrica que depende de los movimientos relativos de dos o tres puntos en el cuerpo y por consiguiente sólo está relacionado a los desplazamientos. Puesto que los desplazamientos de cuerpo rgido no producen deformación! estos de despreciaran. En la Unidad I se discutieron dos tipos de esfuerzo" esfuerzo normal y esfuerzo cortante# esta misma clasificación se usará para deformaciones. Una deformación normal se define como el cambio en la longitud de un segmento de la lnea entre dos puntos divididos por la longitud original del segmento de la lnea. Una deformación cortante se define como el cambio angular entre dos segmentos de la lnea que eran originalmente perpendiculares. Las relaciones entre las deformaciones y los desplazamientos se pueden determinar considerando la deformación de un cubo arbitrario tomado de un cuerpo sometido a un sistema de cargas. En esta unidad se estudiarán las deformaciones asociadas con el sólido
2.1 concepto de desplazamiento de un cuerpo Cuerpo solido
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Entendemos por sólido rgido un sistema de partculas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que mane$amos se deforman siempre! en mayor o menor grado! cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas# sin embargo! si éstas son suficientemente peque%as! las deformaciones producidas son despreciables y! entonces! &ablaremos de cuerpos rgidos o indeformables. La definición de sólido rgido es sólo conceptual! por cuanto que el sólido rgido! en todo rigor! no e'iste. En este sentido! el sólido rgido es sólo una idealización y e'trapolación del sólido real! al igual que lo es la partcula o punto material.
2.1.1 Traslación El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rgido. (esde un punto de vista geométrico! lo podemos definir del modo siguiente" )e dice que un sólido rgido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a s mismo en el transcurso del movimiento.
Todos los puntos de un sólido rgido animado de un movimiento de traslación tienen! en cada instante! la misma velocidad. Esa velocidad! com*n a todos los puntos del sólido! recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse
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a la aceleración. En consecuencia! una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rgido que se traslada! tenemos definido el movimiento del sólido. +tra caracterstica importante del movimiento de traslación del sólido rgido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes! es decir! una se puede obtener mediante una translación de la otra. Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no pre$uzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente! si la velocidad de traslación es constante ,v - cte! cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilnea con aceleración constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre s ,movimiento de traslación uniforme. Pero! en general! la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilnea.
2.1.2 Rotación )e dice que un sólido rgido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un e$e fi$o cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dic&o e$e y contenidas en planos normales a éste.
El e$e de rotación puede atravesar el cuerpo o ser e'terior al mismo# en el primer caso! los puntos del sólido que están sobre el e$e permanece en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al e$e# en el segundo caso! todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del e$e e'terior al sólido. En cualquier caso! la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y! en un instante dado! tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al e$e de rotación. La introducción del concepto de aceleración angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido! ya que! en un instante dado! todos los puntos del sólido poseen la misma aceleración angular! en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una aceleración que es función de su distancia al e$e de rotación. /s pues! la celeridad
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angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rgido en torno a un e$e fi$o. La aceleración angular se mide en radianes por segundo ,rad0s.
2.1.3 Alargamiento El cambio en el estado de un cuerpo causado por la aplicación de una fuerza ,esfuerzo se le denomina deformación. Esta deformación es proporcional al esfuerzo aplicado dentro de los lmites elásticos del material. /largamiento unitario ,1 es la cantidad que alarga un cuerpo ,2 por unidad de lon gitud ,L. ε=δ/L Para los alargamientos totales debido a la deformación producida por una fuerza e'terna ,despreciando su propio peso! la fórmula a utilizar es" δ=PL/AE ,)iendo 2! el alargamiento total# P! la fuerza que act*a# L! la longitud# /! la sección y E! el módulo de elasticidad. 3o tiene unidades.
2.2 estado general de deformaciones 2.2.1. Deformación olum!trica El módulo de elasticidad volumétrica se refiere a situaciones donde el volumen de un material sufre un cambio a causa de un esfuerzo e'terno. / diferencia de los módulos de 4oung y de elasticidad transversal! que solamente se aplican con los sólidos! el módulo de elasticidad volumétrica es aplicable tanto con sólidos y lquidos como con gases.
5onsideremos la siguiente membrana esférica que contiene un gas a un volumen 6
5
La presión que se encuentra dentro de la membrana es! en primera instancia! la misma que se encuentra por fuera de la membrana. )upongamos que esta *ltima presión aumenta de tal manera que se e$erce una presión sobre toda la superficie de la membrana y causa que ésta se compacte ligeramente. La presión que causó el cambio de volumen! se manifiesta como una fuerza F que act*a perpendicularmente en todos los puntos sobre la superficie esférica de la membrana. La reducción de su volumen es de V . Podemos decir que el esfuerzo volumétrico equivale al incremento de la fuerza que act*a por área unitaria Esfuerzo volumétrico
Esfuerzo volumétrico
El 7odulo de elasticidad volumétrica seria"
7ódulo de elasticidad volumétrica
2.2.2 Distorsión El criterio de la má'ima energa de distorsión fue formulado primeramente por 7a'8ell en 9:;9 y más tarde también mencionado por
?. )in embargo! fue con el traba$o de @ic&ard Edler von 7ises ,9=9A que el criterio alcanzó notoriedad! a veces se conoce a esta teora de fallo elástico basada en la tensión de 6on 7ises como teora de 7a'8ellB
!
pieza resistente o elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos la energa de distorsión por unidad de volumen rebasa un cierto umbral.
En t é r mi no s det e ns i o ne se s t ec r i t e r i o pue dee s c r i bi r s es e nc i l l ame nt ee n t ér mi nosdel al l amadat ensi óndevonMi se scomo:
La falla se producirá cuando la energa de distorsión por unidad de volumen debido a los esfuerzos má'imos absolutos en el punto crtico sea igual o mayor a la energa de distorsión por unidad de volumen en el ensayo de tensión al momento de producirse la fluencia.
2.2.3 Deformaciones principales /
Las ecuaciones obtenidas para 1,'D y ,'DyD son las ecuaciones paramétricas de un circulo esto significa que si se escoge un sistema de e$es rectangulares y se grafica un punto 7 de accisa 1,'D y ordenada ,'DyD para cualquier valor de F los puntos as obtenidos estarán situados en un crculo.
1.1
1.2
Para comprobarlo! se elimina F de las ecuaciones ,9.9 y ,9.G. Esto se &ace transponiendo primero
en la ecuación ,9.9 y elevando al cuadrado
ambos miembros de la ecuación! luego se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación ,9.G y! finalmente! se suman miembro a miembro las ecuaciones resultantes.
01.1
01.2
"
@educiendo queda"
)e escribe la identidad ,9.9 en la forma.
Hue es la ecuación de un crculo de radio @ con centro 5 de abscisa
y
ordenada >. Puede observarse que! debido a %a simetra del crculo con respecto al e$e &orizontal se &abra obtenido el mismo resultado si! en lugar de graficar 7.
Los puntos de / y ! donde el circulo de la figura 9.9 interseca el e$e &orizontal! son especial interés" el punto / correspondiente al valor má'imo del esfuerzo normal
! mientras el punto
*igura 1.1 )iendo las ecuaciones para las deformaciones principales"
01.3
El valor correspondiente
01.4
del ángulo F se obtiene observando que la
deformación cortante es cero para / y . &aciendo
.
01.5
1
Los e$es correspondientes a y b! en la figura 9.G! son los ejes principales de deformación. El ángulo
que define la dirección del e$e principal >a en la figura
9.G al punto / en la figura 9.9! es igual a la mitad del ángulo J5/ medido en el crculo de 7o&r.
*igura 1.2
2.2.". Circulo de #o$r para deformaciones. 5omo las ecuaciones para la transformación de deformación plana son de la misma forma que las ecuaciones para la transformación de esfuerzo plano! el uso del crculo de 7o&r puede e'tenderse al análisis de deformación plana. (adas las componentes de deformación
!
! y
que definen las
deformaciones representadas en la figura K.;>.
5onstrucción del crculo de 7o&r para deformaciones"
11
9.B (ibu$o de un sistema de e$es coordenados con derec&a! y
como abscisa! positivo &acia la
como ordenada! positivo &acia arriba.
G.B )e dibu$a un punto J ,
de abscisa igual a la deformación normal
de ordenada igual a la mitad de la deformación cortante
y
y un punto 4 ,
,figura K.;?.
A.B Localice el centro 5 del crculo en el punto con coordenadas
.
?.B 5on el punto 5 como centro! trace el crculo de 7o&r por los puntos J y 4. EL crculo dibu$ado de esta manera tiene radio @.
.B Los puntos / y ! en donde el crculo de 7o&r interseca el e$e &orizontal! corresponden a las deformaciones principales
(figura 7.65a).
)e encuentra que"
-
MR
y
-
B R 12
;.B Los e$es correspondientes a y b! en la figura K.;b! son los e$es principales de deformación. El ángulo
que define la dirección del e$e principal Oa en la figura
K.;b correspondiente al punto / en la figura K.;a! es igual a la mitad del ángulo J5/ medido en el crculo de 7o&r.
K.B La deformación cortante má'ima en el plano se define por los puntos ( y E en la figura K.;a. Es igual al diámetro del crculo de 7o&r.
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Conclusión En este tema vimos como un esfuerzo aplicado en un cuerpo solido tiende a deformar este mismo! de a& nos dimos cuenta de que no solo se deforma sobre un solo e$e! si no que todas sus caras presentan una disminución o un aumento longitudinal sobre sus coordenadas. En conclusión! un esfuerzo aplicado sobre un ob$eto! interact*a con el área de las caras de este mismo.
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%I%&I'(RA)*A + ,E%(RA)IA •
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