C.T. ALGEBRA 4°

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc.

CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados.

El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4, 4, para el cuarto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 4 y 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.

Cuaderno de trabajo Álgebra 4

Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando:

Elvis Valerio Solari

Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 4000 ejemplares

EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad.

Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected]

TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes.

Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L.

REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14421 ISBN: 978-612-4302-06-0

3

4

Los ejercicios de este grupo son para ampliar, ampliar, reforzar, complementar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios.

ÁLGEBRA 4

CAPÍTULOS

TEMAS

N° PÁGINA

Capí Capítu tulo lo 01

NÚME NÚMERO ROSS RREA EALES LES

En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes.

Capítu Capítulo lo 02 02

OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES I

10

Capítu Capítulo lo 03

OPERAC OPERACION IONES ES CON CON LOS LOS RREAL EALES ES II

13

RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”.


MULTIP MULTIPLIC LICACI ACIÓN ÓN ALGEB ALGEBRAI RAICA CA

17


FRACCI FRACCIONE ONESS ALGE ALGEBRA BRAICA ICASS

20


RADI RADICA CACI CIÓN ÓN

24

Capí Capítu tulo lo 07 07

ECUA ECUACI CION ONES ES I

27


ECUA ECUACI CION ONES ES II

30


SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES I

33

Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares.


SISTEM SISTEMA A DE DE ECUAC ECUACION IONES ES II

36

Capítulo 11

RECURSIVIDAD I

39

Capítulo 12

RECURSIVIDAD II

43

En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.


NÚME NÚMERO RO COM COMBI BINA NATO TORI RIO O

47


BINO BINOMI MIO O DE NEWT NEWTON ON

50

La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.

PROYECTO INGENIO S.A.C.

7


LOGA LOGARI RITM TMOS OS

53


ECUACI ECUACIONE ONESS LOGA LOGARÍT RÍTMIC MICAS AS

56


PROGRE PROGRESIÓ SIÓN N ARITMÉT ARITMÉTICA ICA

59


SUCE SUCESI SION ONES ES Y SER SERIES IES

62


INEC INECUA UACI CION ONES ES I

65


INEC INECUA UACI CION ONES ES IIII

68


INEC INECUA UACI CION ONES ES III III

71


FUNC FUNCIO IONE NESS I

74


FUNC FUNCIO IONE NESS II

77


FUNC FUNCIO IONE NESS III

81

CLAVE DE RESPUESTAS

4

4

84

4

5

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación ón de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc.

CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados.

El CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 4, 4, para el cuarto año de educación secundaria, es complemento del libro de ÁLGEBRA 4 y 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico co de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.

Cuaderno de trabajo Álgebra 4

Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:

El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando:

Elvis Valerio Solari

Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 4000 ejemplares

EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad.

Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] [email protected]

TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes.

Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L.

REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14421 ISBN: 978-612-4302-06-0

3

4


ÁLGEBRA 4

CAPÍTULOS

TEMAS

N° PÁGINA






10



13




17



20



24



27



30



33




36

Capítulo 11

RECURSIVIDAD I

39

Capítulo 12

RECURSIVIDAD II

43




47



50



7



53



56



59



62



65



68



71



74



77



81

CLAVE DE RESPUESTAS

4

4

84

4

5

ÁLGEBRA 4


CAPÍTULOS

TEMAS

N° PÁGINA






10



13




17



20



24



27



30



33




36

Capítulo 11

RECURSIVIDAD I

39

Capítulo 12

RECURSIVIDAD II

43




47



50



53



56



59



62



65



68



71



74



77



81



7

CLAVE DE RESPUESTAS

4

84

4

4

5

CAPÍTULO

01

NÚMEROS REALES 1

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. –15 ∈ N 3. 3 ∈ N A) VVVV D) FFVV

2

( ) ( ) B) FVFV

2. 15 ∈Q 4. 5 – 3 ∈R

B) 210

Se verica el axioma de cerradura sobre B = {2; 4; 6}, tal que 2 + a = b, a ≠ b ≠ 2 Halla el inverso aditivo de ( a + b).

( ) ( )

A) 8 D) –10

C)VFVF E) FFFF

En la igualdad 7 + m = 16 + n se verifica el axioma de conmutatividad, halla m × n. A) 110 D) 140

4

5

C) 112 E) 92

Halla el elemento neutro aditivo e inverso mul-

tiplicativo de 7, luego dé como respuesta la suma de dichos elementos. A) 1/7 D) 1/6

B) 7

C) 6 E) 1

6

C) 10 E) 13

Indica verdadero (V) o falso (F) para x ∈R ∧ y ∈R.

1. x < y

1 ⇒ 1 >

(

)

2. x < y

⇒ x3 < y3

(

)

3. x > y

⇒ x2 > y2

(

)

A) VVV D) FFF

3

B) –8

x

y

B) FVF

C) VVF E) FFV

Si x, y ∈ R+; calcula el máximo valor que puede tomar xy, si x + y = 16. A) 84 D) 15

B) 74

C) 64 E) 18

4

7

Á L G E B R A

CAPÍTULO

01

NÚMEROS REALES 1

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. –15 ∈ N 3. 3 ∈ N A) VVVV D) FFVV

2

2. 15 ∈Q 4. 5 – 3 ∈R

( ) ( ) B) FVFV

B) 210

Se verica el axioma de cerradura sobre B = {2; 4; 6}, tal que 2 + a = b, a ≠ b ≠ 2 Halla el inverso aditivo de ( a + b).

( ) ( )

A) 8 D) –10

C)VFVF E) FFFF

En la igualdad 7 + m = 16 + n se verifica el axioma de conmutatividad, halla m × n. A) 110 D) 140

4

5

C) 112 E) 92

B) –8

Indica verdadero (V) o falso (F) para x ∈R ∧ y ∈R.

1. x < y

1 ⇒ 1 >

(

)

2. x < y

⇒ x3 < y3

(

)

3. x > y

⇒

(

x

A) VVV D) FFF

3

Halla el elemento neutro aditivo e inverso mul-

6

tiplicativo de 7, luego dé como respuesta la suma de dichos elementos. A) 1/7 D) 1/6

B) 7

y

x2 > y2

B) FVF

) C) VVF E) FFV

B) 74

C) 64 E) 18

7

4

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO

Si x ∈ R+; indica el mínimo valor que toma

7

A) 24 D) 19

B) 12

9

En Z se dene ∅, tal que a ∅ b = 6( a + b), halle 6–1 cuando a = –36, siendo a–1 el inverso de a en la operación ∅. A) –1 D) –4

C) 18 E) 20

B) –2

REFORZANDO 1

C) –3 E) –6

1. –1 ∈ Q

3

A) [3; + ∞〉 D) [2; + ∞〉

10

a b c M = + + b c a B) 〈–∞; 3〉 C) 〈3; +∞〉 E) 3

Se dene la operación # en R por a # b = a + b – 4 siendo b–1 el inverso de b en la operación con #. Halla b si tiene b–1.

(b–1 # 2) = (6 –1 # 4–1) # 1–1 A) 1 D) 3

B) 0

Indica la secuencia del valor de verdad de las

I

proposiciones. A) VVV D) FFF

C) 2 E) 4

8

C) VFV E) FFV

B) 31

9

B) 1

REFORZANDO

C) No; 1 E) No; 0

NIVEL

Tarea 1

a * b = 2(a + b) + 3 ∀ a, b ∈ R, 1. La operación * conmutativa. 2. La operación * es asociativa. 3. La operación * tiene elemento neutro.

posiciones: 2. 3 ∈ Q

3. π ∈ Q’ 4

2

Se verica el axioma de cerradura sobre A = {4; 16; 20} tal que a + 16 = b, halla el valor 2a + b.

Dado B = {1; 2; 3; 4} se dene sobre B la operación a tal que:

a 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 3 4

Calcula el valor de x en

8

4

[(4 a 1) a (2 a x)] a 3 = 2 a 3.

3 3 4 2 1

A) 0 D) 3 4 4 1 1 2

7

B) 1

2

3

1

2

3

2

2

3

1

3

3

1

2

Á L G E B R A

2. El elemento neutro es 2. A) VFF D) VVV 10

II

Indica cuántos son siempre verdaderos.

A. a < x < b → a2 < x2 < b2 ( B. a < x < b → a3 < x3 < b3 ( C. a < x < b → a4 < x4 < b4 (

indica qué enunciados son correctos.

Indica su valor de verdad en las siguientes pro-

1. –10 ∈ N

6

Se dene la operación * en R mediante

1

1

3. La operación * es asociativa.

B) VFV

C) VVF E) FFF


A) 2 D) 12

B) 4

C) 8 E) 16

REFORZANDO 11

3

*

1. La operación * es conmutativa.

C) 2 E) 4

C) 32 E) 40

posiciones:

Se dene la operación θ en N, tal que a θ b = 3b + a – 6, halla su elemento neutro.

A) 0 D) 3

B) 27

Indica el valor de verdad de las siguientes pro-

C) 1/4 E) 1/6

B) Sí; –1

C) VFF E) FVF

Se dene la operación * sobre B = {1; 2; 3} en la tabla:

C) 32 E) 34

B) 1/3

B) VFV

Si a, b ∈ R+ calcula el máximo valor que puede tomar ab, si a más b es 12. A) 20 D) 36

Se dene la operación α en R, tal que a α b = a + b + 1 ∀ a, b ∈ R, determine si la operación α es conmutativa y halla su elemento neutro.

A) Sí; 1 D) No; –1 5

B) VVV

3. 0,6 ∈ Q’

La igualdad verica el axioma de asociatividad (5 + x) + a = 5 + ( x + 3), halla el elemento inverso multiplicativo de a en R.

A) 1/2 D) 1/5 4

2. 0 ∈ R

En la igualdad 5 · a = 7 · b se verica el axioma de conmutatividad, halla a · b. A) 30 D) 35

Sea a; b; c ∈ R+, halla el intervalo de M en

NIVEL

posiciones.

2

8


A) VVF D) FVF

A R B E G L Á

Á L G E B R A

Si x, y ∈ R+; calcula el máximo valor que puede tomar xy, si x + y = 16. A) 84 D) 15

C) 6 E) 1

C) 10 E) 13

NIVEL

Se dene sobre B = {a, b, c} la operación # según la tabla:

)

#

a

b

c

)

a

a

b

c

)

b

b

c

a

c

c

a

b

C) 2 E) F. D.

III


Para x ∈ R ∧ y ∈ R indica verdadero (V) o falso (F). 1 1 1. 0 < x < y ( ) ⇒ > x y 2. x < y

⇒ x5 > y5

( )

3. x < y

⇒ x4 > y4

( )

posiciones: 1. La operación # es asociativa.

2. El elemento neutro es b. 3. La operación # es conmutativa.

A) VVV D) FVV

B) VFV

C)VVF E) FVF

4

9

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO


7

A) 24 D) 19

B) 12

9

En Z se dene ∅, tal que a ∅ b = 6( a + b), halle 6–1 cuando a = –36, siendo a–1 el inverso de a en la operación ∅. A) –1 D) –4

C) 18 E) 20

B) –2

REFORZANDO 1

C) –3 E) –6

2. 0 ∈ R

3

A R B E G L Á

a b c M = + + b c a B) 〈–∞; 3〉 C) 〈3; +∞〉 E) 3

A) [3; + ∞〉 D) [2; + ∞〉

Se dene la operación # en R por a # b = a + b – 4 siendo b–1 el inverso de b en la operación con #. Halla b si tiene b–1.

(b–1 # 2) = (6 –1 # 4–1) # 1–1 A) 1 D) 3

B) 0

proposiciones. A) VVV D) FFF

B) 31

4

5

A) 20 D) 36 9

C) 1/4 E) 1/6

B) Sí; –1

NIVEL

Tarea 1

a * b = 2(a + b) + 3 ∀ a, b ∈ R,

A) VFF D) VVV 10

1. La operación * conmutativa. 2. La operación * es asociativa. 3. La operación * tiene elemento neutro.

posiciones: 1. –10 ∈ N

2. 3 ∈ Q

3. π ∈ Q’ 4

Se verica el axioma de cerradura sobre A = {4; 16; 20} tal que a + 16 = b, halla el valor 2a + b.

Dado B = {1; 2; 3; 4} se dene sobre B la operación a tal que:

a 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 3 4

3 3 4 2 1

A) 0 D) 3 4 4 1 1 2

7

Calcula el valor de x en

8

[(4 a 1) a (2 a x)] a 3 = 2 a 3.

B) 1

3

2

2

3

1

3

3

1

2

II

B) VFV

C) VVF E) FFF

B) 4

C) 8 E) 16

REFORZANDO

NIVEL

)

#

a

b

c

)

a

a

b

c

)

b

b

c

a

c

c

a

b

C) 2 E) F. D.


posiciones:

Para x ∈ R ∧ y ∈ R indica verdadero (V) o falso (F). 1 1 1. 0 < x < y ( ) ⇒ > x y 2. x < y

⇒ x5 > y5

( )

3. x < y

⇒ x4 > y4

( )

1. La operación # es asociativa.

2. El elemento neutro es b. 3. La operación # es conmutativa.

A) VVV D) FVV

B) VFV

C)VVF E) FVF

4

4

14

En R denimos el operador y mediante

5

Halla "x"

Halla su elemento neutro.

B) 2

C) 3 E) 5

En R se dene la operación f según a f b = a + b – 4, halla el valor de x si (x + 2700) f (x – 2700) = 10

A) 8 D) 10

B) 7

A) –1 D) 2 15

A) 1/3 D) 3/13

C) 1 E) 3

716

a

Si aa – 3 = 3, halla el equivalente de

2x–5

a

B) 3

a a + 1 a(3a) – a

C) 13/3 E) 6 A) 1 D) 9

a – 3

B) 1/27

C) 27 E) 1/9

En la operación θ denida por a θ b = a + b – 4, halla el elemento inverso para 5.

A) 3 D) 8

C) 9 E) 11

B) 0

8 x+3 74 =

a y b = a + b – 2 ∀ a, b ∈ R

13

9

EDITORIALINGENIO

Sea x; y; z positivos halla el mínimo valor de

A) 1 D) 4

III

Se dene sobre B = {a, b, c} la operación # según la tabla:

EDITORIALINGENIO

12

Á L G E B R A


A) 2 D) 12

Indica cuántos son siempre verdaderos.

A. a < x < b → a2 < x2 < b2 ( B. a < x < b → a3 < x3 < b3 ( C. a < x < b → a4 < x4 < b4 (

indica qué enunciados son correctos.

Indica su valor de verdad en las siguientes pro-

2

6

Se dene la operación * en R mediante

3

2

2. El elemento neutro es 2.

11 3

2

1

3. La operación * es asociativa.

C) 2 E) 4

1

1

1. La operación * es conmutativa.

Se dene la operación θ en N, tal que a θ b = 3b + a – 6, halla su elemento neutro.

REFORZANDO

*

posiciones:

C) No; 1 E) No; 0

B) 1

C) 32 E) 40


Se dene la operación α en R, tal que a α b = a + b + 1 ∀ a, b ∈ R, determine si la operación α es conmutativa y halla su elemento neutro.

A) 0 D) 3

B) 27

C) 32 E) 34

B) 1/3

C) VFF E) FVF

Se dene la operación * sobre B = {1; 2; 3} en la tabla:

La igualdad verica el axioma de asociatividad (5 + x) + a = 5 + ( x + 3), halla el elemento inverso multiplicativo de a en R.

A) Sí; 1 D) No; –1

B) VFV

Si a, b ∈ R+ calcula el máximo valor que puede tomar ab, si a más b es 12.

8

C) VFV E) FFV

En la igualdad 5 · a = 7 · b se verica el axioma de conmutatividad, halla a · b.

A) 1/2 D) 1/5

C) 2 E) 4

3. 0,6 ∈ Q’

B) VVV

A) 30 D) 35

10

Indica la secuencia del valor de verdad de las

I

posiciones. 1. –1 ∈ Q

2

Sea a; b; c ∈ R+, halla el intervalo de M en

NIVEL


A) VVF D) FVF

8

B) 5

C) 6 E) 9

CAPÍTULO

A R B E G L Á

02

OPERACIONES CON LOS REALES I

6

Reduce

9 7 6 5

1

Reduce

252

–1

A) 10 D) 15

+ 1212

–4

0

+

3

2 (–8) 3

B) 20

C) 5 E) 25

A) 1 D) 4 B) x

Resuelve

8 A) 1/2 D) 1/4

10

B) 1

4

4

–1 –9– 2

C) 2 E) 4

Reduce

A) 100 D) 130

7 7 6 5

+ 2

2

5

6

B) 2

A) x D) x2

5n+3 + 5n+1 5n C) 120 E) 140

10

Simplifca

E=

B) 110

C) 3 E) 1/2

x

x

2 

x x

Á L G E B R A

x

B) x

C) 1/x E) 1

C) x2 E) x–2

7

2

6

1 x

Siendo x  0, reduce

x

Reduce

A) 1 D) 1/x

5

7

A) b D) ab

Calcula el valor de:

(abc)10 . (ab)15 . (c)12 42

a25 . b24 . c22

B) a

C) c E) ac

A) 5 D) 9

–1

–1

+ 273

B) 7

+ 6254

–1

C) 8 E) 10

4

11

EDITORIALINGENIO

12

EDITORIALINGENIO

Sea x; y; z positivos halla el mínimo valor de

14

En R denimos el operador y mediante

5

Halla "x"

74

a y b = a + b – 2 ∀ a, b ∈ R

13

B) 2

C) 3 E) 5

A) –1 D) 2

En R se dene la operación f según a f b = a + b – 4, halla el valor de x si (x + 2700) f (x – 2700) = 10

A) 8 D) 10

B) 7

15

B) 0

A) 1/3 D) 3/13

a

C) 1 E) 3

B) 3

a(3a) – a

C) 13/3 E) 6 A) 1 D) 9

a + 1

a – 3

B) 1/27

C) 27 E) 1/9

En la operación θ denida por a θ b = a + b – 4, halla el elemento inverso para 5.

A) 3 D) 8

C) 9 E) 11

= 716

2x–5 a

Halla su elemento neutro.

A) 1 D) 4

a

Si aa – 3 = 3, halla el equivalente de

8 x+3

B) 5

C) 6 E) 9

CAPÍTULO

A R B E G L Á

02

OPERACIONES CON LOS REALES I

6

Reduce

9 7 6 5

1

Reduce

252

–1

+ 1212

A) 10 D) 15

–4

0

+

3

2 (–8) 3

B) 20

C) 5 E) 25

Resuelve

A) 1 D) 4

4

A) 1/2 D) 1/4

B) 1

10

C) 2 E) 4

7 7

5

6 5

+ 2

2

6

5

B) 2

5n+3 + 5n+1 5n

A) 100 D) 130

A) x D) x2

x

B) x

B) 110

A) b D) ab

C) 120 E) 140

10

Simplifca

Calcula el valor de:

(abc)10 . (ab)15 . (c)12 42

a25 . b24 . c22

B) a

–1

–1

+ 273

A) 5 D) 9

C) c E) ac

B) 7

REFORZANDO 11

Simplifca

4

NIVEL

Reduce

= 616 × 3 2

26 ⋅ 32 ⋅ 410 24 ⋅ 42 ⋅ 37

Calcula

4 –2 ( 3 )3 ⋅ ( 3 )3 ⋅ 1 4 3

E=

Calcula

A) 0 D) 8

–1

– 3 2 2568

12

– 14

11 3 – (6 11) 27

REFORZANDO Resuelve

E=

2

NIVEL

– 0,5 –4 –9 8–27

REFORZANDO

6

B) 1/2

x3 3 x2 x 20

A) x

B) x

C) x E) 30 x

8

8x+2 – 8x Reduce S = 8x A) 7 D) 35

B) 15

E =

Calcula

Calcula

E =

A) 5 D) 1/2

5x – 1

= 42

A) 2x + 4 D) 2

x + 8

B) 5/2

Reduce

A) 2 D) 2 2 + 2

2 4 8 + B) 2 2

4

n

E) n . a

4

n+1

n–1

Calcula

A) 4 D) 10 15

6a . 16b . 3a + 2b 18a + b B) 6

Reduce

E =

2–1

B) 1/2

b

C) 1 E) 9

A) 4 D) 10

C) 8 E) 9

82x + 1 + 43x + 2 23x – 5 . 23x + 7

B) 6

C) 8 E) 18

Reduce n

n

n

(an + an + ...) + {(a b ) (a b )...} (n–b) sumandos

(a2b)3 (ab3)4

Á L G E B R A

n factores

C) a2b E) a2b2

4–1 + 6 +

1 2

—1

– 2(6)0 C) 5/2 E) 3 7

124 × 159

CAPÍTULO

OPERACIONES CON LOS REALES II

96 × 107 C) 75 E) 30

1

Resuelve 42(x+3) = 4x + 8

A) 1 D) 1/4

2x+4 + 2x+3 + 2x+1

B) 2

2

C) 1/2 E) 4

03

Resuelve 2x –1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 7

A) 1 D) 2

B) 1/3

C) 3 E) 1/2

2x+3 + 2x+1 B) 13/5

Calcula

E =

5 5

2 .

C) n

C) 3 E) 2/5

C) 10 E) 3/2 10

8

13

E=

B) 150

E =

II

(a2.b3 . a4 . b5)2

Halla "x"

22

NIVEL

B) 3

A) 25 D)50

C) 17 E) 63 9

12

Calcula

B) ab2

A) 2 D) 0

40

D) 10 x

5

M=

3

7

x4 4 x3 3 x2

4

4

Reduce

A) a2 D) a3b

C) 8 E) NA

Reduce 5

3

I

n

B) n

D) na

C) 4 E) 9

Calcula

A) 1/4 D) 2

n

A) nn

III 14

n+1

A) 2 D) 1/8

11

–1/2 100

B) 2

n+3 n–1

1

C) 8 E) 10

EDITORIAL INGENIO

3

A R B E G L Á

–1

4

Tarea

2

+ 6254

4

Resuelve

Á L G E B R A

C) 1/x E) 1

EDITORIAL INGENIO

1

x x

x

C) E) x–2

E=

Reduce

C) 3 E) 1/2

x

2 

x2

B) x

A) 1 D) 1/x

–1 –2 8–9

6

1 x

Siendo x  0, reduce

x

Reduce

7

2

7

3

4

2

3

4

C) 2 2 + 1 E) 2 2 + 3

A) 9 D) 98

1 3

–2

B) 3 8

8

2 3

C) 6 E) 332

4

13

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Tarea

REFORZANDO 3

1

2

11

Simplifca

Reduce

= 616 × 3 2

26 ⋅ 32 ⋅ 410 24 ⋅ 42 ⋅ 37

4

NIVEL

Calcula

4 –2 ( 3 )3 ⋅ ( 3 )3 ⋅ 1 4 3

Resuelve

E=

Calcula

A) 0 D) 8

–1

– 3 2 2568

12

– 14

11 3 – (6 11) 27

C) 4 E) 9

n+1

REFORZANDO 1

A R B E G L Á

Resuelve

E= A) 2 D) 1/8 2

– 0,5 –4 –9 8–27

REFORZANDO

6

B) 1/2

x3 3 x2 x

B) 20 x

A) x

E) 30 x

8

8x+2 – 8x Reduce S = 8x A) 7 D) 35

B) 15

Calcula

Calcula

E =

9

Calcula

E =

A) 5 D) 1/2

5x – 1

= 42

A) 2x + 4 D) 2

x + 8

B) 5/2

Reduce

2 .

12

E) n . a

n+1

Calcula

A) 4 D) 10 15

n–1

b

6a . 16b . 3a + 2b 18a + b B) 6

Reduce

E =

2–1 C) 1 E) 9

A) 4 D) 10

C) 8 E) 9

82x + 1 + 43x + 2 23x – 5 . 23x + 7

B) 6

C) 8 E) 18

Reduce n

n

n

(an + an + ...) + {(a b ) (a b )...} Á L G E B R A

n factores

(n–b) sumandos

C) a2b E) a2b2

4–1 + 6 +

1 2

—1

– 2(6)0 C) 5/2 E) 3 7

124 × 159

CAPÍTULO

03

OPERACIONES CON LOS REALES II

107 C) 75 E) 30

Resuelve 42(x+3) = 4x + 8

1

A) 1 D) 1/4

2x+4 + 2x+3 + 2x+1

2

B) 2

Resuelve 2x –1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 7

A) 1 D) 2

C) 1/2 E) 4

B) 1/3

C) 3 E) 1/2

2x+3 + 2x+1 B) 13/5

Calcula

E =

5 5

A) 2 D) 2 2 + 2

4

B) 1/2

(a2b)3 (ab3)4

96 ×

n

C) 3 E) 2/5

C) 10 E) 3/2 10

8

13

E=

B) 150

E =

II

(a2.b3 . a4 . b5)2

Halla "x"

22

NIVEL

B) 3

A) 25 D)50

C) 17 E) 63

B) ab2

A) 2 D) 0

C) 40 x

D) 10 x

5

M=

3

7

x4 4 x3 3 x2

4

4

Reduce

A) a2 D) a3b

C) 8 E) NA

Reduce 5

3

I

NIVEL

C) n

D) na 14

Calcula

A) 1/4 D) 2

n

B) n

–1/2 100

B) 2

n+3 n–1

n

A) nn

III

2 4 8 +

3

4

2

B) 2 2

3

4

A) 9

C) 2 2 + 1 E) 2 2 + 3

D)

1 3

–2

8

2 3

B) 3 8

C) 6

98

E) 332

4

4

EDITORIAL INGENIO

3

EDITORIAL INGENIO

5 xx

Halla el valor de " x" en la ecuación xx

A) 5

B) 3

C)

D) 5 5

4

A R B E G L Á

3

= 5

6

B) 3

En la ecuación exponencial, halla el valor de x.

–3

5 A) 3 D) 9

7

Calcula el valor de

A) 1 D) 2

C) 5 E) 9

B) 2

–2

Halla x/ y en 9x·8 y = 27–2 ·16–4

9

A) 4/9 D) 7/3

E) 4 5

Halla el valor de x en [3 x - 4]7 = [x + 6]7

A) 1 D) 7

13

B) 3/2

10

C) 9/4 E) 1

Si sión

A) 2 D) 3

C) 4 E) 5

, halla el valor de la exprex + 1

B) 1

C) 4 E) 5

si 42x - 22x + 1 + 1 = 0.

B) -1

C) 0 E) 3

Tarea 1

3

Á L G E B R A

En la ecuación exponencial

Calcula x

¿es necesario conocer el valor de "b" para determinar el valor de x?

2

Determina el valor de x

4

3x - 1 + 3x + 3

+ 1 =

x

5

Si x > 0, halla el valor de x en 2 251–3x =

A) 1/3 D) 4/3

B) 1

8

2 125 4x – 2

C) 2/3 E) 2

Calcula 27x si 93x – 33x – 6 = 0

REFORZANDO

A) 0 D) 3

B) 1/3

C) 2 E) 4

1

NIVEL

A) 2 D) –1

I

Si xx = 3, halla N = x3x - x2x 4

A) 3 D) 18 2

Si

B) 2

C) E) 20

B) 4

C) 18 E) 20

5

B) –2

C) 1 E) 3

x

De la ecuación xx = 16, halla el valor de

A) 1 D) 4

x+1

Si x3x = 8, halla M = xx A) 2 D) 16

, halla x.

351

B) 3

C) 2 E) 5

Halla el valor de x en x–1

3

(3x+1) = 3x(x+2)

Reduce

A) 1/2 D) –2

14

4

B) –1/2

C) 2 E) 1

4

15

EDITORIAL INGENIO

3

EDITORIAL INGENIO

5 xx

Halla el valor de " x" en la ecuación xx

A) 5

B) 3

En la ecuación exponencial, halla el valor de x.

–3

–2

Halla x/ y en 9x·8 y = 27–2 ·16–4

9

A) 4/9 D) 7/3

5

E) 5

Halla el valor de x en [3 x - 4]7 = [x + 6]7

A) 1 D) 7

A R B E G L Á

6

B) 3/2

10

C) 9/4 E) 1

B) 3

A) 3 D) 9

7

Calcula el valor de

A) 1 D) 2

C) 5 E) 9

B) 2

Si sión

4

D) 5

4

3

C)

5

= 5

A) 2 D) 3

C) 4 E) 5

, halla el valor de la exprex + 1

B) 1

C) 4 E) 5

si 42x - 22x + 1 + 1 = 0.

B) -1

C) 0 E) 3

Tarea 1

3

Á L G E B R A

En la ecuación exponencial

Calcula x

¿es necesario conocer el valor de "b" para determinar el valor de x?

2

Determina el valor de x

4

3x - 1 + 3x + 3

+ 1 =

x

5

Si x > 0, halla el valor de x en 2 251–3x =

A) 1/3 D) 4/3

B) 1

8

2 125 4x – 2

C) 2/3 E) 2

Calcula 27x si 93x – 33x – 6 = 0

REFORZANDO

A) 0 D) 3

B) 1/3

C) 2 E) 4

1

NIVEL

A) 2 D) –1

I

Si xx = 3, halla N = x3x - x2x 4

A) 3 D) 18 2

Si

B) 2

C) E) 20

B) 4

C) 18 E) 20

5

B) –2

C) 1 E) 3

x

De la ecuación xx = 16, halla el valor de

A) 1 D) 4

x+1

Si x3x = 8, halla M = xx A) 2 D) 16

, halla x.

351

B) 3

C) 2 E) 5

Halla el valor de x en x–1

3

(3x+1) = 3x(x+2)

Reduce

A) 1/2 D) –2

14

4

B) –1/2

C) 2 E) 1

4

15

EDITORIAL INGENIO

14

EDITORIAL INGENIO

Si en R:

15

Si x3 + y3 + z3 = 3xyz, halla

5

Reduce

8

Si

x2 + 2z2 + 4 y2 = 2z(x + 2 y)

; x + y + z  0

calcula F = A×B

calcula

A) x

A) 4 D) 7

B) 5

A) 1 D) 4

C) 3 E) 8

B) 2

C) 3 E) 5

B)

C)

D)

A) 7

B) 9

C) 2

D) 12

E) 2x

E) 15

CAPÍTULO

05 1

A R B E G L Á

FRACCIONES ALGEBRAICAS 3

Simplifca

P= A) 0 D) 2x

x2 – 1 x + 1

6

Simplifca

C) x E) 2

A)

B) x

2x D) x + 1

2

Simplifca

4

–9 + x2 2x – 15

x2 +

A) D)

20

x + 3 x + 5

B)

x – 3 x – 5

x – 3 x + 5

C)

x + 3 x – 5

E) 1

C)

A)

A) x

C)

C)

C)

10

Descompon

A)

B)

E)

C)

E)

Si calcula A + B

A) 1 D)

Á L G E B R A

B)

D)

7

B)

x + 1 x E) (x – 1)2

B) x – 1

D) (x + 1)2

E) 1

Simplifca

Descompon

A)

D)

4

9

+1

+ 1

B) 1

Simplifca

D) –2

B) –1

C) –5 E) 5

11/7 13/7 E) + x + 2 2x – 3

4

21

EDITORIAL INGENIO

14

EDITORIAL INGENIO

Si en R:

15

Si x3 + y3 + z3 = 3xyz, halla

5

Reduce

8

Si

x2 + 2z2 + 4 y2 = 2z(x + 2 y)

; x + y + z  0

calcula F = A×B

calcula

A) x

A) 4 D) 7

B) 5

A) 1 D) 4

C) 3 E) 8

B) 2

C) 3 E) 5

B)

C)

D)

A) 7

B) 9

C) 2

D) 12

E) 2x

E) 15

CAPÍTULO

05 1

A R B E G L Á

FRACCIONES ALGEBRAICAS 3

Simplifca

P= A) 0 D) 2x

x2 – 1 x + 1

6

Simplifca

C) x E) 2

A)

B) x

2x D) x + 1

2

Simplifca

4

–9 + x2 x2 + 2x – 15 A) D)

20

x + 3 x + 5

B)

x – 3 x – 5

x – 3 x + 5

C)

x + 3 x – 5

E) 1

C)

A)

A) x

C)

C)

C)

10

Descompon

A)

B)

D)

E)

E)

Si calcula A + B

A) 1 C)

Á L G E B R A

B)

D)

7

B)

x + 1 x E) (x – 1)2

B) x – 1

D) (x + 1)2

E) 1

Simplifca

Descompon

A)

D)

4

9

+1

+ 1

B) 1

Simplifca

D) –2

B) –1

C) –5 E) 5

11/7 13/7 E) + x + 2 2x – 3

4

21

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

08

ECUACIONES II

7

Encuentra el mayor valor de la ecuación

A) 1 1

Resuelve x4 – 13x2 + 36 = 0

A) {-3 ; -2; 2; 3} C) {-3 ; -1; 1; 3} D) {0; 1; 2;3}

4

Determina la suma de las soluciones positivas

B) {-1; 1; 2; -2}

de x4 – 25x2 + 144 = 0

E) {-3 ; -2 ; -2 ; -1}

A) 1 D) 7

B) 3

B)2

D) –1

x4 – 4x2 – 12 = 0

C)

A) 0 D) 3

E) –

Calcula la suma de las soluciones positivas de la

10

ecuación x4 – 29x2 + 100 = 0 2

Determina la suma de las raíces de

5

Determina las raíces reales de

x4 – 8x2 – 9 = 0

A) -2 D) 1

B) -1

C) 0 E) 2

El valor que cumple la ecuación

A) {-5; -3; 3; 5} B) {-5 ; 5}

B) 6

6

C) 8 E) 7

B) 3

C) 5 E) 9

C) 2 E) 4

B)

x4 –

13x2 –

36 = 0

E) x4 – 9x2 + 9 = 0

E) No tiene solución

Determina la suma del mayor y menor valor de

A) -2 D) 1

B) -1

C) 0 E) 2

Tarea 1

2

4

13x2 +

A) 36 = 0 C) x4 + 13x2 + 36 = 0 D) x4 + 13x2 – 36 = 0

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación

3

x4 – 16x2 + 64 = 0 ?

30

B) 1

Las soluciones de una ecuación bicuadrática son – 3 ; –2 ; 2 y 3; halla la ecuación. x4 –

C) {-3 ; 3}

la solución de x4 – 10x2 + 9 = 0

x4 – 61x2 + 900 = 0, es:

A) 4 D) 10

A) 1 D) 7

x4 – 16x2 – 225 = 0

D) {3 ; 5}

3

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ?

C) 5 E) 9

8

A R B E G L Á

9

x4 – 12x2 + 3 = 0

Resuelve

x4 – 26x2 + 25 = 0

Halla la ecuación que tiene por soluciones a

- 3 ; 3 ; 4 ; -4.

4

Resuelve

9x4 + 10x2 – 19 = 0

4

31

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

08

ECUACIONES II

7

Encuentra el mayor valor de la ecuación

A) 1 1

Resuelve x4 – 13x2 + 36 = 0

A) {-3 ; -2; 2; 3} C) {-3 ; -1; 1; 3} D) {0; 1; 2;3}

4

Determina la suma de las soluciones positivas

B) {-1; 1; 2; -2}

de x4 – 25x2 + 144 = 0

E) {-3 ; -2 ; -2 ; -1}

A) 1 D) 7

B) 3

B)2

A) 0 D) 3

E) –

Determina la suma de las raíces de

5

Determina las raíces reales de

x4 – 8x2 – 9 = 0

A) -2 D) 1

B) -1

Calcula la suma de las soluciones positivas de la

A) {-5; -3; 3; 5} B) {-5 ; 5} D) {3 ; 5}

3

El valor que cumple la ecuación

6

10

B) 6

C) 5 E) 9

Las soluciones de una ecuación bicuadrática son – 3 ; –2 ; 2 y 3; halla la ecuación.

A) x4 – 13x2 + 36 = 0 C) x4 + 13x2 + 36 = 0 D) x4 + 13x2 – 36 = 0

B) x4 – 13x2 – 36 = 0 E) x4 – 9x2 + 9 = 0

B) -1

Tarea

C) 0 E) 2

1

2


3

Resuelve

Halla la ecuación que tiene por soluciones a

- 3 ; 3 ; 4 ; -4.

4

x4 – 26x2 + 25 = 0

Resuelve

9x4 + 10x2 – 19 = 0

4

4

REFORZANDO

NIVEL

I

9

Resuelve x4 – 5x2 + 4 = 0

C) -1; 1 E) -1; 2

10


3

B) 2

C) 1; –1 E) A, B y C

A R B E G L Á

4

REFORZANDO 11

Resuelve 36x4 – 97x2 + 36 = 0

A) 2/3 D) -3/2 5

C) 5 E) 25

B) 3/2

cuando a = 1, el valor de y es: A) 1 D) –2

NIVEL

D) x4 + 16x2 – 4 = 0

B) x4 – 16x2 – 4 = 0

2

A) 11 D) 11/4

B) 11/2

REFORZANDO

C) –2 E) 11/16

NIVEL

13

B) –1

5

Resuelve el sistema

A) 21 D) 24

En una ecuación bicuadrada, tres de sus soluciones son -3 ; 1; -1; determina la cuarta solución.

A) 1 D) 3

II

A) 0 D) 10

C) 2 E) 0

B) –1

C) 2 E) –2

B) 18

Halla 2 números positivos cuyo cociente sea 4/5

y su producto 80.

dar como respuesta xy.

E) x4 – 4x2 + 4 = 0

Encuentra la suma de las soluciones positivas 12

B) –1

III

C) x4 + 16x2 + 4 = 0

de la ecuación 16x4 – 73x2 + 36 = 0

En el sistema

Determina la ecuación que tiene por raíces

A) x4 – 16x2 + 4 = 0 C) -2/3 E) Todas

4

E) x4 – 64x2 = 0

la mayor solución.

B) 3

Halla el valor de m para que el sistema sea com-

patible indeterminado

B) x4 – 4x2 = 0

D) x4 + 16x2 = 0

Resuelve 3x4 – 74x2 – 25 = 0, da como respuesta

A) -5 D) 7

1

Las soluciones de una ecuación bicuadrada son -2; 0; 2; 0; determina la ecuación.

C) x4 – 16x2 = 0 C) 3 E) 5

09

SISTEMA DE ECUACIONES I

1 1 + = 12 x–4 x–2

B) –

A) x4 + 4x2 = 0

4x4 – 4x2 + 1 = 0? A) 1 D) 4

Halla las raíces reales de

A) D) A y B

A) -2 ; -1 ; 1; 2 B) -2 ; 2 D) 1; 2; 3; 4 2

31

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

1

A) 8 y 10 D) 18 y 5

C) 30 E) 28

B) 4 y 20

C) 16 y 5 E) 2 y 7

C) 1 E) – 3

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 – 20x2 + 64 = 0?

6

¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación

A) 1 D) 4

? A) 1 D) 4 7

B) 2

C) 3 E) 0

14

8

C) 3 E) Ninguna

Determina la ecuación bicuadrada cuyas solu -

ciones son: 3/2; - 3/2; 3/2; -3/2. A) 16x4 – 72x2 + 81 = 0

B) 16 x4 – 72x2 – 81 = 0

C) 3 E) 0 6

Determina una solución de la ecuación

A) 2 D) 8

x4 + x2 + 1 = 0?

B) 2

B) 2

3


A) 1 D) 4

15

B) 4

C) 6 E) -3

Encuentra un número positivo tal que dos veces

Al resolver

, el valor de x es:

Halla 2 números tales que su producto sea 245 y

uno es el quíntuplo del otro, (dar por respuesta el mayor de los números) A) 30 D) 45

A) 7 D) 5

B) 1/5

B) 35

C) 40 E) 20

C) 1/7 E) 1

su cuarta potencia más nueve veces su cuadrado sea igual a 68. A) 1 D) 3

B) 2

C) 4 E) 5

C) 16x4 + 72x2 + 81 = 0 D) 16x4 + 72x2 – 81 = 0

32

Á L G E B R A

Determina la suma del mayor y menor valor de

x4 – 16x2 + 64 = 0 ?

30

C) 2 E) 4

E) No tiene solución

A) -2 D) 1

C) 8 E) 7

B) 3

C) {-3 ; 3}

la solución de x4 – 10x2 + 9 = 0

x4 – 61x2 + 900 = 0, es:

A) 4 D) 10

A) 1 D) 7

x4 – 16x2 – 225 = 0

C) 0 E) 2

B) 1

C) 5 E) 9

ecuación x4 – 29x2 + 100 = 0 2

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ? x4 – 4x2 – 12 = 0

C)

D) –1

8

A R B E G L Á

9

x4 – 12x2 + 3 = 0

4

E) 81 x4 – 72x2 + 16 = 0

4

33

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

REFORZANDO

1

NIVEL

9

Resuelve x4 – 5x2 + 4 = 0

C) -1; 1 E) -1; 2

10


3

B) 2

C) C) 3 E) 5

16x2 =

A R B E G L Á

4

B) 3

11

B) 3/2

cuando a = 1, el valor de y es: A) 1 D) –2

NIVEL

D) x4 + 16x2 – 4 = 0

B) x4 – 16x2 – 4 = 0

2

A) 11 D) 11/4

B) 11/2

REFORZANDO

C) –2 E) 11/16

NIVEL

13

B) –1

5

Resuelve el sistema

A) 21 D) 24

En una ecuación bicuadrada, tres de sus soluciones son -3 ; 1; -1; determina la cuarta solución.

A) 1 D) 3

II

A) 0 D) 10

C) 2 E) 0

B) –1

C) 2 E) –2

Halla 2 números positivos cuyo cociente sea 4/5

y su producto 80.

dar como respuesta xy.

E) x4 – 4x2 + 4 = 0

Encuentra la suma de las soluciones positivas 12

B) –1

III

C) x4 + 16x2 + 4 = 0

de la ecuación 16x4 – 73x2 + 36 = 0

En el sistema

Determina la ecuación que tiene por raíces

A) x4 – 16x2 + 4 = 0 C) -2/3 E) Todas

4

E) x4 – 64x2 = 0

REFORZANDO

Resuelve 36x4 – 97x2 + 36 = 0

A) 2/3 D) -3/2 5

C) 5 E) 25

Halla el valor de m para que el sistema sea com-

patible indeterminado

0

la mayor solución.

A) -5 D) 7

1

B) x4 – 4x2 = 0

D) x4 + 16x2 = 0

Resuelve 3x4 – 74x2 – 25 = 0, da como respuesta

C) 1; –1 E) A, B y C

Las soluciones de una ecuación bicuadrada son -2; 0; 2; 0; determina la ecuación.

x4 –

09

SISTEMA DE ECUACIONES I

1 1 + = 12 x–4 x–2

B) –

A) x4 + 4x2 = 0

4x4 – 4x2 + 1 = 0? A) 1 D) 4

Halla las raíces reales de

A) D) A y B

A) -2 ; -1 ; 1; 2 B) -2 ; 2 D) 1; 2; 3; 4 2

I

B) 18

A) 8 y 10 D) 18 y 5

C) 30 E) 28

B) 4 y 20

C) 16 y 5 E) 2 y 7

Á L G E B R A

C) 1 E) – 3

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 – 20x2 + 64 = 0?

6

¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación

A) 1 D) 4

? A) 1 D) 4 7

B) 2

A) 1 D) 4

x2 +

C) 3 E) Ninguna

15

A)

81 = 0

B)

16 x4 –

72x2 –

Halla 2 números tales que su producto sea 245 y

uno es el quíntuplo del otro, (dar por respuesta el mayor de los números)

, el valor de x es:

A) 30 D) 45

C) 6 E) -3

A) 7 D) 5

Encuentra un número positivo tal que dos veces

A) 1 D) 3

ciones son: 3/2; - 3/2; 3/2; -3/2. 72x2 +

B) 4

Al resolver

B) 1/5

B) 35

C) 40 E) 20

C) 1/7 E) 1

su cuarta potencia más nueve veces su cuadrado sea igual a 68.

Determina la ecuación bicuadrada cuyas solu -

16x4 –

6

Determina una solución de la ecuación

A) 2 D) 8

1 = 0?

B) 2

C) 3 E) 0

3

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x4 +

8

14

C) 3 E) 0

B) 2

81 = 0

B) 2

C) 4 E) 5

C) 16x4 + 72x2 + 81 = 0 D) 16x4 + 72x2 – 81 = 0

32

E) 81 x4 – 72x2 + 16 = 0

4

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Entre Luis y Mario tienen 190 soles, si Mario tiene 16 soles más que Luis. ¿Cuánto tiene Luis?

7

A) 77 D) 32

B) 87

REFORZANDO 9

Resuelve

C) 46 E) 20

1

A) 10 D) 2/3

B) 2

C) 3/2 E) 1

A) {13; 3} D) {(13; 3)} 2

3

A R B E G L Á

A) 30 D) 35

B) 20

10

B) 13 y 3

4

C) 40 E) 10

dar por respuesta x + y A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6 5

Halla el valor de m, si:

(m – 2)x + (3m + 1) y = 5 x + 4 y = 2 no tiene solución A) 9 B) 3 C) –2

C) (13; 3) E) 3 y 7

10

B) {(10; 8)}

C) 8

C) {(27; 1)} E) {(5; 7)}

D) 4

dé el producto: xy

A) 5

B) 15

C) 6

REFORZANDO 11

E) 2

Si el siguiente sistema no tiene solución, halla el valor de p. px + 9 y = 5 4x + py = 8 A) 6 B) -6 C) 4 D) 6 ó -6 E) 0

A) 6 D) –1/6 12

mx + 2 y = m + 7

B) 2

REFORZANDO 6

Tarea 1

3

Resuelve

Resuelve

x2 + y + 4 = 0 6x + y = 5

En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas, ¿cuántos luchado res había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

7

8

B) 1/6

Luego de resolver:

4

NIVEL

A) 0

II

13

B) 3/2

x + 399 y = -8 x + 400 y = -10 halla x – y A) 972 B) 788 D) 792

C) -1/2 E)

Á L G E B R A

C) 11/6 E) 2

ax + by = 2ab bx + ay = a2 + b2

B) 2

C) 4

D) a + b

E) 3

Sean "x" e " y" números enteros positivos múltiplos de 3 y de 7 respectivamente, halla

(k - 1)x = - y x = 2 y tiene innitas soluciones, halla k 14

con la condición de que

sea entero y mínimo.

A) 13

D) 6

E) 8

D) 0

E) 10

B) 20

C) 10

Calcula "x" si: ( x > 0)

Si:

C) -788 E) 777

Si en un corral hay patos y conejos; si el número de ojos es 80 y el número de patas es 110, halla el número de conejos.

A) 15 D) 50 34

III

NIVEL

Halla

Si:

A) -3/2 D) 1/2

x + 5 y – 5 = 2 3 x + y = 4

4 2

Resuelve

C) –2 E) –1 ó 2

E) 10

Resuelve

2x + my = 9 A) 1 D) –2 ó 2

D) 12

e indica el valor de: x + y + z

Calcula el valor de m, para que el sistema sea

imposible.

E) 0

3 1 13 + = x + 5 y – 1 14 7 4 + =3 x + 5 y – 1

Si el siguiente sistema es indeterminado: mx + ny = 4 2x + y = 1 halla m – n2 B) -8

D) –1

Resuelve el siguiente sistema:

2x + y = 28 x + 2 y = 26

Resuelve

A) 0

Resuelve

9

I

NIVEL

x + y = 16 2x – y = 23

Resuelve

A) {(18; 10)} D) {(8; 10)}

Los 2/5 de la suma de 2 números es 20 y los 3/2 de su diferencia es 15, halla el mayor.

,

dar por respuesta x/ y

8

33

4

B) 30

C) 25 E) 20

A) 4 15

B) 2

C) 8

Resuelve

y da como respuesta x/ y A) 3

B) 4

C) 5

D) 2

E) 6 4

35

EDITORIAL INGENIO

EDITORIAL INGENIO

Entre Luis y Mario tienen 190 soles, si Mario tiene 16 soles más que Luis. ¿Cuánto tiene Luis?

7

A) 77 D) 32

B) 87

REFORZANDO 9

Resuelve

C) 46 E) 20

1

A) 10 D) 2/3

B) 2

C) 3/2 E) 1

2

B) 13 y 3

Los 2/5 de la suma de 2 números es 20 y los 3/2 de su diferencia es 15, halla el mayor.

A R B E G L Á

A) 30 D) 35

B) 20

10

4

C) 40 E) 10

dar por respuesta x + y A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6 5

(m – 2)x + (3m + 1) y = 5 x + 4 y = 2 no tiene solución A) 9 B) 3 C) –2

C) (13; 3) E) 3 y 7

10

B) {(10; 8)}

B) -8

C) 8

C) {(27; 1)} E) {(5; 7)}

D) 4

Resuelve el siguiente sistema:

A) 5

B) 15

C) 6

REFORZANDO 11

E) 2

12

B) 1/6

Luego de resolver:

REFORZANDO 6

Tarea 1

3

x + y = 4

Resuelve

x2 + y + 4 = 0 6x + y = 5

7

En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas, ¿cuántos luchado res había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

8

NIVEL

A) 0

II

B) 3/2

C) -1/2 E)

x + 399 y = -8 x + 400 y = -10 halla x – y A) 972 B) 788 D) 792

13

B) 2

C) 4

plos de 3 y de 7 respectivamente, halla

14

con la condición de que

sea entero y mínimo.

A) 13

D) 6

E) 8

D) 0

E) 10

B) 20

C) 10

Calcula "x" si: ( x > 0)

Si:

C) -788 E) 777

Si en un corral hay patos y conejos; si el número de ojos es 80 y el número de patas es 110, halla el número de conejos.

B) 30

A) 4 15

B) 2

C) 8

Resuelve

y da como respuesta x/ y

C) 25 E) 20

A) 3

B) 4

C) 5

SISTEMA DE ECUACIONES II

4

Dos terrenos de 80 cm2 costaron S / . 36 000 y el precio de uno de ellos es 4/5 d el precio del otro. Halle la diferencia de los precios de ambos.

7

A) 4000 D) 500

Resuelve

...(1) ...(2)

B) {(4; 8)}

B) 5

Halla el valor de x

5

B) –1

9

C) 1000 E) 2500

Un obrero recibe por cada día que trabajó la suma de 30 soles y si no asiste a sus labores se le descuenta 10. Al final de 25 días recibe 150. ¿Cuántos días dejó de trabajar?

A) 15 D) 10

B) 13

C) 11 E) 17

6

Á L G E B R A

... L 2

A) 8 B) 4

L

2

C) –4 D) –8 E) 1

L

A) 0 D) 3

1

B) 1

C) 2 E) 4

X

El sistema nx + my = 20 4x + 6 y = 5

4x + 2 y = 24 ...(1) 5x – 3 y = 41 ...(2) C) 2 E) 0

Calcula x + y

Y

halla m.

tiene solución única. Calcula el valor de a para vericar esta condición. A) –3 B) 3 C) {–3; 3} D) R –{–3; 3} E) R –[–3; 3]

C) 2 E) 8

10

se representa grácamente así:

(a + 1)x + (a + 9) y = 16a – 1 5x + 5ay = 24

Calcula y

B) -2

B) 2000

El sistema 6x – 5 y = 12 ... L 1 (m – 4)x + 10 y = 41

El sistema

3x + 5 y = 34 ...(1) 2x + 3 y = 20 ...(2)

A) 7 D) -7

35

C) 4 E) -1

8

A) 1 D) -2

E) 6

C) {-4; -8} E) {0; 8} y halla 5 y. A) 1 D) 2

3

D) 2

4

Resuelve

A) {(4; -8)} D) {0; 4}

E) 3

EDITORIALINGENIO

y + 2x = 0 3x – y = 20

2

D) a + b

4

10

A R B E G L Á

C) 11/6 E) 2

Sean "x" e " y" números enteros positivos múlti-

CAPÍTULO

1

Á L G E B R A

Halla

(k - 1)x = - y x = 2 y tiene innitas soluciones, halla k

A) 15 D) 50 34

Si:

A) -3/2 D) 1/2

x + 5 y – 5 = 2 3

Resuelve

4 2

Resuelve

III

NIVEL

ax + by = 2ab bx + ay = a2 + b2

2x + my = 9 C) –2 E) –1 ó 2

E) 10

Resuelve

A) 6 D) –1/6

mx + 2 y = m + 7

B) 2

D) 12

e indica el valor de: x + y + z

Calcula el valor de m, para que el sistema sea

A) 1 D) –2 ó 2

E) 0

dé el producto: xy

Si el siguiente sistema no tiene solución, halla el valor de p. px + 9 y = 5 4x + py = 8 A) 6 B) -6 C) 4 D) 6 ó -6 E) 0

imposible.

D) –1

3 1 13 + = x + 5 y – 1 14 7 4 + =3 x + 5 y – 1

Si el siguiente sistema es indeterminado: mx + ny = 4 2x + y = 1 halla m – n2 A) 0

Resuelve

Halla el valor de m, si:

2x + y = 28 x + 2 y = 26

Resuelve

A) {(18; 10)} D) {(8; 10)} 3

9

I

NIVEL

x + y = 16 2x – y = 23

Resuelve

A) {13; 3} D) {(13; 3)}

dar por respuesta x/ y

8

,

...(1) ...(2)

tiene infinitas soluciones, halla el valor de m/n. A) 1/5 D) 1

B) 3/5

Tarea 1

C) 2/5 E) 1/2

3

Indica el valor de y que se obtiene al resolver:

4

Un moderno buque de turismo tiene camaro tes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tiene 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo.

Para el sistema 2x + 5 y = a 3x – 2 y = b se sabe que su C. S. = {(3; 1)}, halla a + b.

2

Resuelve

2x – 3 y = 10 3x + y = 4 halla el C. S.

36

4

4

37

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

10 1

SISTEMA DE ECUACIONES II

4

Resuelve

y + 2x = 0 3x – y = 20

A) {(4; -8)} D) {0; 4}

Dos terrenos de 80 cm2 costaron S / . 36 000 y el precio de uno de ellos es 4/5 d el precio del otro. Halle la diferencia de los precios de ambos.

7

A) 4000 D) 500

Resuelve

...(1) ...(2)

B) {(4; 8)}

B) 5

Halla el valor de x

5

El sistema 6x – 5 y = 12 ... L 1 (m – 4)x + 10 y = 41

El sistema

3x + 5 y = 34 ...(1) 2x + 3 y = 20 ...(2) A) 1 D) -2

3

B) –1

C) 11 E) 17

6

Calcula x + y Á L G E B R A

... L 2

A) 8 B) 4

L

2

C) –4 D) –8 E) 1

L

A) 0 D) 3

1

B) 1

C) 2 E) 4

X

El sistema nx + my = 20 4x + 6 y = 5

C) 2 E) 0

10

Y

halla m.

tiene solución única. Calcula el valor de a para vericar esta condición. A) –3 B) 3 C) {–3; 3} D) R –{–3; 3} E) R –[–3; 3]

C) 2 E) 8

4x + 2 y = 24 ...(1) 5x – 3 y = 41 ...(2) B) -2

B) 13

se representa grácamente así:

(a + 1)x + (a + 9) y = 16a – 1 5x + 5ay = 24

Calcula y

A) 7 D) -7

A) 15 D) 10

C) 4 E) -1

8

2

C) 1000 E) 2500

Un obrero recibe por cada día que trabajó la suma de 30 soles y si no asiste a sus labores se le descuenta 10. Al final de 25 días recibe 150. ¿Cuántos días dejó de trabajar?

C) {-4; -8} E) {0; 8} y halla 5 y. A) 1 D) 2

A R B E G L Á

B) 2000

9

...(1) ...(2)

tiene infinitas soluciones, halla el valor de m/n. A) 1/5 D) 1

B) 3/5

Tarea 1

C) 2/5 E) 1/2

3

Indica el valor de y que se obtiene al resolver:

4

Un moderno buque de turismo tiene camaro tes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tiene 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo.

Para el sistema 2x + 5 y = a 3x – 2 y = b se sabe que su C. S. = {(3; 1)}, halla a + b.

2

Resuelve

2x – 3 y = 10 3x + y = 4 halla el C. S.

36

4

4

37

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

10

Deduce la fórmula recursiva de la sucesión:

13

1 ; 5; 9; 13; 17; ...

RECURSIVIDAD II

En un proceso recursivo se tiene: f (6) = f (5) + f(4)

12

f (5) = f (4) + f(3) f (4) = f (3) + 5

A)

1

Halla el cuarto término de la sucesión denida

determina el valor de T = f (6) – 3 f (3)

A) 0 D) 9

B) C)

14

B) 3

por f (n) =

C) 10 E) 5

A) 37 D) 7

De la fórmula recursiva

3

2; n = 1 2 f (n – 1) + 3; n > 1 B) 38

C) 17 E) 27

Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es:

A) 1; 2; 4; 8

B) 2; 4; 8; 16

C) 1; 4; 16; 64 D)

D) 1; 8; 64; 256 halla el valor de f (3).

E)

A) 15 D) 19 REFORZANDO A R B E G L Á

11

E) 1; 2; 3; 4

NIVEL

III

15

B) 13

C) 17 E) 21

De la formula resursiva

Á L G E B R A

Te nemos el siguiente proceso recursivo: f (0) = 2 f (1) = 3

calcula el valor de f (2) + f (3)

f (2) = f (1) + f (0)

A) 57 D) 97

f (3) = f (2) + f (1)

B) 67

C) 87 D) 107

2

Dado el término general de la sucesión: an = 2 n ; n ≥ 1, halle su ecuación de recursividad.

4

Escribe la fórmula recursiva de la sucesión:

2; 2; 4; 6; 10; 16; 26; ....

Determina el valor de f (5).

A) 12 D) 21 12

B) 16

C) 24 E) 34

Se define f de manera recursiva tal que

A) A) B) B)

, además f (0) = 4, determina f (6). C) A) 1/2 D) 1

B) 1/4

C) 1/8 E) 1/16

D)

E)

C)

D)

E)

42

4

4

43

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

10

Deduce la fórmula recursiva de la sucesión:

13

1 ; 5; 9; 13; 17; ...

f (4) = f (3) + 5

A)

1

Halla el cuarto término de la sucesión denida

determina el valor de T = f (6) – 3 f (3)

A) 0 D) 9

B) C)

14

B) 3

12

RECURSIVIDAD II

En un proceso recursivo se tiene: f (6) = f (5) + f(4) f (5) = f (4) + f(3)

por f (n) =

C) 10 E) 5

A) 37 D) 7

De la fórmula recursiva

3

2; n = 1 2 f (n – 1) + 3; n > 1 B) 38

C) 17 E) 27

Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es:

A) 1; 2; 4; 8

B) 2; 4; 8; 16

C) 1; 4; 16; 64 D)

D) 1; 8; 64; 256 halla el valor de f (3).

E)

A) 15 D) 19 REFORZANDO A R B E G L Á

11

E) 1; 2; 3; 4

NIVEL

III

15

B) 13

C) 17 E) 21

De la formula resursiva

Á L G E B R A

Te nemos el siguiente proceso recursivo: f (0) = 2 f (1) = 3

calcula el valor de f (2) + f (3)

f (2) = f (1) + f (0)

A) 57 D) 97

f (3) = f (2) + f (1)

B) 67

C) 87 D) 107

Dado el término general de la sucesión: an = 2 n ; n ≥ 1, halle su ecuación de recursividad.

2

4


2; 2; 4; 6; 10; 16; 26; ....

Determina el valor de f (5).

A) 12 D) 21 12

B) 16

A)

C) 24 E) 34

A) B)

Se define f de manera recursiva tal que

B)

, además f (0) = 4, determina f (6). C) A) 1/2 D) 1

B) 1/4

C) 1/8 E) 1/16

C)

D)

D)

E)

E)

42

4

EDITORIALINGENIO

5

EDITORIALINGENIO

Dado el término general de la sucesión: an = 5n – 2; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva

8

Halla el el término que ocupa el lugar 13, en la

sucesión cuya ecuación recursiva es:

a) a1 = 13

A)

A) –23 D) –135

C)

B) –163

Tarea 1

b) an = an–1 – 3 ; n ≥ 2

B)

3

f (n) =

1; 3; 4; 7; 11; 18; .... 4

2

Dado el término general de la sucesión an = 3 n ; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva.

E)

REFORZANDO 6

Escribe los 4 primeros términos de la sucesión

9

cuya ecuación recursiva es:

Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es


C) –180 E) –108

D)

A R B E G L Á

1

De la sucesión 5; 7; 9; 11; ..

NIVEL

I

5

A) 3 ; 6 ; 12; 24 C) 3; 7; 10; 17; 27 D) 1; 4; 9; 16

determina el valor de T= a×b

E) 2; 4; 6; 8

A) 4 D) 9

B) 6

De la ecuación recursiva

A) 2 D) 16

C) 10 E) 15

B) 4

C) 8 E) 32

A) 7 D) 15 De la ecuación recursiva f (n) =

a) a1 = 5 b) an = an-1 + 7 ; n ≥ 2

A) 113 D) 115

B) 117

REFORZANDO

3

B) 11

A) 4 D) 8

A) 5 ; 7 ; 9 D) 5; 12; 16

C) 9 E) 2 4

II

El término general de una sucesión es

determina el valor de a.

Escribe los 3 primeros términos de la ecuación

A) 1 D) 4

a + f (n – 1); n ≥ 2

B) 6

NIVEL

C) 5 E) 17

recursiva

4; n = 1

tn = 4n + 3, siendo su ecuación de recurrencia

si f (4) = 10, calcula a. C) 120 E) 119

C) 3 E) -5


calcula f (5)

10

B) -1

halla f (4).

6

cesión cuya ecuación recursiva es:

Á L G E B R A

calcula f (2)

2

Halla el término que ocupa el lugar 17, en la su-

3 f (n – 1); n ≥ 2


su ecuación de recursividad es

B) 1; 3; 5; 7

2; n = 1

Se forma un triángulo equilátero de 3 cm de lado, luego un triángulo equilátero de 6 cm de lado, luego uno de 9 cm de lado, uno de 12 cm y así sucesivamente. Encuentra una fórmula recursiva que represente el perímetro de los triángulos equiláteros que se van formando.

A) 1 D) -3

7

43

4

B) 7; 9; 11

C) 3; 5; 7 E) 5; 5; 5

7

B) 2

C) 3 E) 5

La ecuación recursiva de una sucesión es


recursiva.

si su término general es tn = a ⋅ n + b, n ≥ 1 determina el valor de G = a×b

A) 2 D) 16 A) 5; 5;5; 5; D) 5; 7; 5; 7 44

4

B) 7; 7; 7; 7

B) 4

C) 8 E) 32

C) 7; 5 ; 7; 5 E) 5; 5; 7; 7 4

45

EDITORIALINGENIO

5

EDITORIALINGENIO

Dado el término general de la sucesión: an = 5n – 2; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva

8

Halla el el término que ocupa el lugar 13, en la

Tarea

sucesión cuya ecuación recursiva es:

a) a1 = 13

A)

1

b) an = an–1 – 3 ; n ≥ 2

B)

A) –23 D) –135

C)

B) –163

3


f (n) =

1; 3; 4; 7; 11; 18; .... C) –180 E) –108

4

2

D)

Dado el término general de la sucesión an = 3 n ; n ≥ 1, halla su fórmula recursiva.

E)

REFORZANDO A R B E G L Á

Escribe los 4 primeros términos de la sucesión

6

9

cuya ecuación recursiva es:

Escriba los 4 primeros términos de la sucesión cuya fórmula recursiva es

1

De la sucesión 5; 7; 9; 11; ..

NIVEL

I

5


determina el valor de T= a×b

E) 2; 4; 6; 8

A) 4 D) 9

B) 6

calcula f (2)

A) 2 D) 16

C) 10 E) 15

B) 4

C) 8 E) 32

REFORZANDO

A) 7 D) 15 10

De la ecuación recursiva f (n) =

a) a1 = 5 b) an = an-1 + 7 ; n ≥ 2

A) 113 D) 115

3

B) 11

C) 120 E) 119

A) 4 D) 8

A) 5 ; 7 ; 9 D) 5; 12; 16

C) 9 E) 2 4


A) 1 D) 4

a + f (n – 1); n ≥ 2

B) 6

II



si f (4) = 10, calcula a.

B) 117

NIVEL

C) 5 E) 17

recursiva

4; n = 1

tn = 4n + 3, siendo su ecuación de recurrencia

calcula f (5)

cesión cuya ecuación recursiva es:

C) 3 E) -5

De la ecuación recursiva 6

Halla el término que ocupa el lugar 17, en la su-

B) -1

halla f (4).

2

7

Á L G E B R A


su ecuación de recursividad es

B) 1; 3; 5; 7

3 f (n – 1); n ≥ 2

Se forma un triángulo equilátero de 3 cm de lado, luego un triángulo equilátero de 6 cm de lado, luego uno de 9 cm de lado, uno de 12 cm y así sucesivamente. Encuentra una fórmula recursiva que represente el perímetro de los triángulos equiláteros que se van formando.

A) 1 D) -3 A) 3 ; 6 ; 12; 24 C) 3; 7; 10; 17; 27 D) 1; 4; 9; 16

2; n = 1

B) 7; 9; 11

C) 3; 5; 7 E) 5; 5; 5

7

B) 2

C) 3 E) 5

La ecuación recursiva de una sucesión es


recursiva.

si su término general es tn = a ⋅ n + b, n ≥ 1 determina el valor de G = a×b

A) 2 D) 16 A) 5; 5;5; 5; D) 5; 7; 5; 7 44

B) 7; 7; 7; 7

B) 4

C) 7; 5 ; 7; 5 E) 5; 5; 7; 7

4

4

12

Sea la ecuación de recursividad.

1

calcula f (100)

B) 201

A) 6 D)666

C) 199 D) 999 13

9

A R B E G L Á

B) 2014

4

Reduce

tn = 5 – 3 n.

an = 2(2n+3) y su ecuación de recurrencia es

Su ecuación recursiva es

determina el valor de b.

calcula el valor de a.

B) 4

A) 1 D) 4

C) 8 E) 32

dad A) 96 D) 60

C) 100 E) 6666

B) 2

La ecuación recursiva

14

REFORZANDO 11

NIVEL

El término general de una sucesión es tn = 2x3n–1, siendo su ecuación recursiva f (n) =

46

B) 2

4

B) 3

C) 4 E) 6

Á L G E B R A

Calcula el menor valor de a + b al resolver

C47 + C57 + C86 + C97 = Cba

B) 2

A) 80 D) 67 15

B) 84

A) 9 D) 13

C) 3 E) 5

B) 10

C) 11 E) 15

C) 50 E) 70


III calcula f (49)

A) 250 D) 5000

B) 2500

C) 500 E) 1000

3

Calcula el valor de n en cada caso.

C2n =

10

A) 5 y 10 D) 10 y 4


A) 1 D) 4

5


A)

2; n = 1 af (n – 1); n ≥ 2

A) 2 D) 5

halla el valor de f (12)

B) an = 2n–1 E) an = 5n–1

14 C14 x = C 2x – 1

C) 84 E) 90

Efectúa

A) 1 D) 4

está representada por el término general de la sucesión: A) an = 4n–1 C) an = 8n–1 D) an = 3n–1

B) 69

C) 3 E) 5 2

10

Calcula el producto de valores para " x" en la igual-



A) 2 D) 16

13

NÚMERO COMBINATORIO


determina el valor de f (2014)

A) 200 D) 99

45

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

8

C) 8 E) 32

B) B) 5 y 13

C3n – 5 =

56

C) 8 y 13 E) 5 y 5

6

Luego de resolver n!(n! – 2) n! + 2 = 3, halla (n!)! A) 120 D) 400

B) 720

C) 520 E) 500

C) 3 E) 5

4

47

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

8

12

Sea la ecuación de recursividad.

1

4

Reduce

determina el valor de f (2014) calcula f (100)

A) 200 D) 99

B) 201

A) 6 D)666

C) 199 D) 999 13

9

A R B E G L Á

B) 2014

tn = 5 – 3 n.

an = 2(2n+3) y su ecuación de recurrencia es

Su ecuación recursiva es

determina el valor de b.

calcula el valor de a.

B) 4

A) 1 D) 4

C) 8 E) 32

dad A) 96 D) 60

C) 100 E) 6666

B) 2

La ecuación recursiva

14

A) an = C) an = 8n–1 D) an = 3n–1

B) an =

REFORZANDO 11

NIVEL

tn = 2x

15

B) 84

46

B) 2

A) 9 D) 13

C) 3 E) 5

B) 10

C) 11 E) 15


calcula f (49)

A) 250 D) 5000

B) 2500

C) 500 E) 1000

3

Calcula el valor de n en cada caso.

A)

C2n =

10

B)

A) 5 y 10 D) 10 y 4

C3n – 5 =

B) 5 y 13

6

56

C) 8 y 13 E) 5 y 5

Luego de resolver n!(n! – 2) n! + 2 = 3, halla (n!)! A) 120 D) 400

B) 720

C) 520 E) 500

C) 3 E) 5

4

EDITORIALINGENIO

Resuelve

9

Halla el valor de n, en:

REFORZANDO 1

A) 10 D) 16

B) 12

C) 14 E) 18

A) 2 D) 8

B) 4

B) 60

3

(40320! + 1)! – ((8!)!)! (40320! – 1)!

10

20! 100! 40! + + 19! 99! 39!

y calcula a · b. A) 16 D) 64

B) 8

A) 20 D) 160

C) 4 E) 18

B) 60

4

9

10

C) 6 E) 8

B) n – 1

11

n + 1 Resuelve Cn8 – 1 = C10 , halla "n".

REFORZANDO 6

NIVEL

1

3

En cada caso halle el valor de x.

II

13

que (x – 4)! = 1. 7 2

Simplifca

4

Reduce

Si M =

B) 17

B) 6

C) 6 E) 3

Calcula el valor de " n", en la ecuación

B) 4

14

C) 10 E) 21

B) 143

C) 156 E) 226

Calcula el valor de " n" en

(n + 4)(n + 4)!( n + 6)! = 70!×71×72 (n + 5)! – ( n + 4)! A) 60 D) 64

11! 10! + 12!

C) 5 E) 7

Calcular

A) 80 D) 223

5! + 6! + 7! 5! + 6!

N=

III

10! – 9! – 8! 11! + 12! + 8! 10!

Se verica

A) 3 D) 17

NIVEL

x!(1 + x!) = 2 x! + 15

A) 8 D) 16

halla el valor de m×n.

Halla la suma de los valores de " x", sabiendo

Resuelve

C) 13 y 16 E) 12 y 15

C0n – 4 + 3C1n – 4 + 3C2n – 4 + C3n – 4 = 20

C) 10 E) 14

C07 + C17 + C28 + C39 = Cmn + 3,

Tarea

B) 12 y 14

A) 7 D) 4

C) 6 E) 7

B) 9

C) 8 E) 9

Halla la suma de los valores de "x" en cada caso

REFORZANDO

B) 4

A) 8 D) 12

B) 7

A) 10 y 11 D) 9 y 14

C) (n + 1)! E) n! + 1

12 5

Calcular "x" en 5C5x = 9C4x – 1

15 B) C15 x + 2 = C 9

Halla el valor de " n" en

A) 5 D) 8

C) 4 y 5 E) 6 y 8

10 A) C10 x = C8

(2n – 1)! = 21×4! 10

C) 100 E) 190

B) C24n = 70 B) 6 y 3

A) 6 D) 10

n! + (n – 1)! (n – 1)!

Simplifca

Calcula el valor de " n" en cada caso

A) Cn3 = 20 A) 3 y 4 D) 6 y 4

C) 100 E) 190

B) 5

A) n + 1 D) (n – 1)!

Reduce

= ((a!)!)b!

8

Halla el valor de " n" en (2 n – 3)! = 5040

A) 4 D) 7

Resuelve la ecuación

I

NIVEL

20! 100! 40! + + 19! 99! 39!

C) 16 E) 10

2

8

Reduce

A) 20 D) 160

A R B E G L Á

47

4

EDITORIALINGENIO

7

Á L G E B R A

Calcula el menor valor de a + b al resolver

C) 50 E) 70

2; n = 1 af (n – 1); n ≥ 2

B) 2

C) 4 E) 6

C47 + C57 + C86 + C97 = Cba


A) 1 D) 4

B) 3

III

siendo su ecuación recursiva

f (n) =

5


A) 80 D) 67


3n–1,

A) 2 D) 5

halla el valor de f (12)

2n–1

E) an = 5n–1

14 C14 x = C 2x – 1

C) 84 E) 90

Efectúa

A) 1 D) 4

está representada por el término general de la sucesión: 4n–1

B) 69

C) 3 E) 5 2

10

Calcula el producto de valores para " x" en la igual-



A) 2 D) 16

13

NÚMERO COMBINATORIO


15

B) 62

C) 65 E) 66

Si se cumple

halla M×N.

A) 11/19 D) 17/41

48

4

B) 7/11

C) 11/133 E) 57/63

halla la suma de los valores de " x".

A) 0 D) 5

B) 2

C) 4 E) 6

4

49

Á L G E B R A

EDITORIALINGENIO

EDITORIALINGENIO

Resuelve

7

9

Halla el valor de n, en:

REFORZANDO 1

A) 10 D) 16

B) 12

C) 14 E) 18

A) 2 D) 8

B) 4

B) 60

3

(40320! + 1)! – ((8!)!)! (40320! – 1)!

10

20! 100! 40! + + 19! 99! 39!

y calcula a · b. A) 16 D) 64

B) 8

A) 20 D) 160

C) 4 E) 18

B) 60

4

9

10

C) 6 E) 8

B) 4

11

6

B) 9

1

3

En cada caso halle el valor de x.

NIVEL

II

13

que (x – 4)! = 1. 7 2

Simplifca

4

Si M =

C) 10 E) 21

III

C) 6 E) 3

Á L G E B R A

Calcula el valor de " n", en la ecuación

B) 4

Calcular

B) 143

C) 156 E) 226

Calcula el valor de " n" en

A) 60 D) 64

11! 10! + 12!

C) 5 E) 7

(n + 4)(n + 4)!( n + 6)! = 70!×71×72 (n + 5)! – ( n + 4)!

5! + 6! + 7! 5! + 6!

N=

Reduce

B) 6

A) 80 D) 223 14

B) 17

NIVEL

10! – 9! – 8! 11! + 12! + 8! 10!

Se verica

A) 3 D) 17

x!(1 + x!) = 2 x! + 15

A) 8 D) 16

halla el valor de m×n.

Halla la suma de los valores de " x", sabiendo

Resuelve

C) 13 y 16 E) 12 y 15

C0n – 4 + 3C1n – 4 + 3C2n – 4 + C3n – 4 = 20

C) 10 E) 14

C07 + C17 + C28 + C39 = Cmn + 3,

Tarea

B) 12 y 14

A) 7 D) 4

C) 6 E) 7

n + 1 Resuelve Cn8 – 1 = C10 , halla "n".

REFORZANDO

C) 8 E) 9

Halla la suma de los valores de "x" en cada caso

REFORZANDO

Halla el valor de " n" en

A) 8 D) 12

B) 7

A) 10 y 11 D) 9 y 14

C) (n + 1)! E) n! + 1

12 5

Calcular "x" en 5C5x = 9C4x – 1

15 B) C15 x + 2 = C 9

B) n – 1

A) 5 D) 8

C) 4 y 5 E) 6 y 8

10 A) C10 x = C8

(2n – 1)! = 21×4! 10

C) 100 E) 190

B) C24n = 70 B) 6 y 3

A) 6 D) 10

n! + (n – 1)! (n – 1)!

Simplifca

A) n + 1 D) (n – 1)!

Reduce

= ((a!)!)b!

A) 3 y 4 D) 6 y 4 C) 100 E) 190

B) 5

Calcula el valor de " n" en cada caso

A) Cn3 = 20

Halla el valor de " n" en (2 n – 3)! = 5040

A) 4 D) 7


8

20! 100! 40! + + 19! 99! 39!

2

8

I

NIVEL

Reduce

C) 16 E) 10 A) 20 D) 160

A R B E G L Á

15

B) 62

C) 65 E) 66

Si se cumple

halla M×N.

A) 11/19 D) 17/41

48

B) 7/11

halla la suma de los valores de " x".

C) 11/133 E) 57/63

A) 0 D) 5

B) 2

4

4

CAPÍTULO

BINOMIO DE NEWTON

7

B) 5to.

4

A) 4096 D) 4098

Calcula el valor de k en el desarrollo de (1 + x)43,

B) 4099

C) 6to. E) 8vo.

A) 14 D) 18

B) 15

El término independiente de x, en

A) 0,018 D) 0,001

3

B) 0,002

6

4

B) 18

B) 12

Indica el lugar que ocupa el término que sólo

10

Halla n para que el t25 del desarrollo de:

; xy ≠ 0 ∨ x > 0 contenga a x con

B) 210

A) 13 D) 21

C) 11 E) 13

Misael va a la panadería a comprar pasteles y observa que sólo quedan 10 pasteles de dife rentes sabores de igual precio, pero sólo puede comprar 6, entonces, ¿de cuántas maneras puede hacer esta elección? A) 110 D) 120

C) 5 E) 12

C) 10 E) 20

1

C) 220 E) 200

exponente 44.

B) 14 C) 19 E) Es imposible determinarlo

Tarea

A) 14 D) 18

3

B) 15

C) 10 E) 20

1 1/2 20 En el desarrollo de   3x2 + 2   x   calcula el coeciente de x10.

Calcula el 4to término de

( x – y

2

50

A) 10 D) 20

¿Qué lugar ocupa un término de grado 18 en el desarrollo de (x2 + by)15? A) 14 D) 15

C) 0,084 E) 0,025

Dos términos consecutivos del desarrollo de (x + 1) 5 tienen igual coeciente; luego estos tér minos son: A) Primero y segundo B) Segundo y tercero C) Tercero y cuarto D) Antepenúltimo y penúltimo E) Penúltimo y último

5

Calcula "n", si al desarrollar:

(x6 - 1)4. (x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n, se obtiene 25 térmi nos.

C) 3069 E) N.A.

depende de x: 2

9

si se sabe que los coecientes de los términos de lugares (2k + 1) y ( k + 2) son iguales.

8

A R B E G L Á

Determina la suma de los coecientes del desa -

rrollo de (3x + y2)6

¿Qué lugar ocupa el término que contiene x29 en el desarrollo de (2x2 + 3x-1)22? A) 4to. D) 10mo.

49

EDITORIALINGENIO

14 1

C) 4 E) 6

)6

3  a

6

Calcula el término central de  + a 

4

Simplifica:

C0100 + C1100 + C2100 + ... + C 100 100

4

51

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

14

BINOMIO DE NEWTON

A) 4to. D) 10mo.

B) 5to.

4

A) 4096 D) 4098

Calcula el valor de k en el desarrollo de (1 + x)43,

B) 4099

C) 6to. E) 8vo.

A) 14 D) 18

B) 15

El término independiente de x, en

A) 0,018 D) 0,001

3

B) 0,002

6

4

B) 18

B) 12

Indica el lugar que ocupa el término que sólo

10

Halla n para que el t25 del desarrollo de:

; xy ≠ 0 ∨ x > 0 contenga a x con

B) 210

A) 13 D) 21

C) 11 E) 13

Misael va a la panadería a comprar pasteles y observa que sólo quedan 10 pasteles de dife rentes sabores de igual precio, pero sólo puede comprar 6, entonces, ¿de cuántas maneras puede hacer esta elección? A) 110 D) 120

C) 5 E) 12

C) 10 E) 20

1

C) 220 E) 200

exponente 44.

B) 14 C) 19 E) Es imposible determinarlo

Tarea

A) 14 D) 18

3

B) 15

C) 10 E) 20

1 1/2 20 En el desarrollo de   3x2 + 2   x   calcula el coeciente de x10.

Calcula el 4to término de

( x – y )6

2

50

A) 10 D) 20

¿Qué lugar ocupa un término de grado 18 en el desarrollo de (x2 + by)15? A) 14 D) 15

C) 0,084 E) 0,025

Dos términos consecutivos del desarrollo de (x + 1) 5 tienen igual coeciente; luego estos tér minos son: A) Primero y segundo B) Segundo y tercero C) Tercero y cuarto D) Antepenúltimo y penúltimo E) Penúltimo y último

5

Calcula "n", si al desarrollar:

(x6 - 1)4. (x4 + x2 + 1)2n(x2 - 1)2n, se obtiene 25 térmi nos.

C) 3069 E) N.A.

depende de x: 2

9

si se sabe que los coecientes de los términos de lugares (2k + 1) y ( k + 2) son iguales.

8

A R B E G L Á

Determina la suma de los coecientes del desa -

rrollo de (3x + y2)6

¿Qué lugar ocupa el término que contiene x29 en el desarrollo de (2x2 + 3x-1)22?

1

7

3

6

Calcula el término central de  + a   a

4

Simplifica:

C0100 + C1100 + C2100 + ... + C 100 100

4

51

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

16

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

7

9


Resuelve

Log32x + Log3x5 – 14 = 0 y da como respuesta el producto de soluciones.

1

4

Resuelve Log3(x – 2) = 4

A) 81 D) 70

B) 83


A) 1 D) –1/3

Log2(7x – 1) = Log 2(x + 11)

C) 69 E) 100

A) 1 D) 4

B) 2

A) 3-3 D) 33

C) 3 E) –3

B) 3-5

Resuelve la inecuación

10

Resuelve

Log 1 (Log3(3x – 1)) = –1

Log6(x – 2) = Log6(16 – x) 2


5

Log2(x + 3) + Log 2(x – 3) = Log 2(x + 11) e indique la suma de sus raíces. A) 1 D) 4

3

B) 2

C) 5 E) A y B

B) 16

C) 5/3 E) 3

Á L G E B R A

4

C) 10 E) 6

A) 82 3

B) 1 3

C) 3

D) 1 9

6

Log(3x)(3x + 20) = 8Log 2 4 2 B) 1

B) -25

A) 9 D) 7

C) 3 E) 5

Resuelve

A) 1/3 D) 3/5

Resuelve Log5x2 – 3 = 1

A) 25 D) -5

C) 35 E) 1

C) 1/2 E) 1/4

8

A R B E G L Á

B) 2

E) 1 27

Resuelve Logx(x + 6) = 2

A) 1 D) 1/3

B) 2

C) 3 E) -3

Tarea

3

En la ecuación

LogxLogx – Log x9 + 20 = 0, 1

Resuelve

indica el producto de soluciones.

Log5(2x + 1) = 2

4 2

Luego de resolver Log(x + 3) + Log(2 x + 1) = Log(3 – 2 x)

Resuelve

Log 1 (x – 5) = Log 1 4 – Log 1 (x – 2) 2

2

2

indica el producto de sus soluciones.

56

4

4

57

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

16

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

7

9


Resuelve

Log32x + Log3x5 – 14 = 0 y da como respuesta el producto de soluciones.

1

4

Resuelve Log3(x – 2) = 4

A) 81 D) 70

B) 83


A) 1 D) –1/3

Log2(7x – 1) = Log 2(x + 11)

C) 69 E) 100

A) 1 D) 4

B) 2

A) 3-3 D) 33

C) 3 E) –3

B) 3-5

Resuelve la inecuación

10

Resuelve

Log 1 (Log3(3x – 1)) = –1

Log6(x – 2) = Log6(16 – x) Resuelve la ecuación

2

5

Log2(x + 3) + Log 2(x – 3) = Log 2(x + 11) e indique la suma de sus raíces. A) 1 D) 4

B) 2

C) 5 E) A y B

B) 16

6

B) 1

A) 82 3

B) 1 3

C) 3 E) 1 27

Resuelve Logx(x + 6) = 2

A) 1 D) 1/3

C) 5/3 E) 3

Á L G E B R A

4

C) 10 E) 6

D) 1 9

Log(3x)(3x + 20) = 8Log 2 4 2 A) 1/3 D) 3/5

B) -25

A) 9 D) 7

C) 3 E) 5

Resuelve

3

Resuelve Log5x2 – 3 = 1

A) 25 D) -5

C) 35 E) 1

C) 1/2 E) 1/4

8

A R B E G L Á

B) 2

B) 2

C) 3 E) -3

Tarea

3

En la ecuación

LogxLogx – Log x9 + 20 = 0, 1

Resuelve

indica el producto de soluciones.

Log5(2x + 1) = 2

4 2

Luego de resolver

Resuelve

Log 1 (x – 5) = Log 1 4 – Log 1 (x – 2)

Log(x + 3) + Log(2 x + 1) = Log(3 – 2 x)

2

2

2

indica el producto de sus soluciones.

56

4

4

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

REFORZANDO

NIVEL

I

8

B) 10

C) 8 E) 3 1

log2x = 3; log3 y = 2; log4z = 0 A) 9 D) 18 2

C) 13 E) 20

3

B) 2

B)

A) 73 D) 63

Calcula el lugar que ocupa el número 333

A) 34° D) 67°

C) 83 E) 76

NIVEL

III

B) {2; 5}

2

Calcula el 7° término en la P.G.

5

A) 2187

Resuelve e indique la suma de raíces en:

B) 2187 2

D) 5294

C) 0,0001 E) 1000

A) 21/4 D) 6 13

REFORZANDO 6

NIVEL

÷ ÷ 4 ; 2 ; 1; ... 9 3

C) 2187 3 E) 5333 2

A) 729 8 D) 729 64

A) 7 D) 10 7

B) 8

14

C) 9 E) 11

15

58

B) 9

4

C) 2 E) 6

C) 243 32 E) 729 128

C) 4 E) 7

Log6(x + 8) + Log 6(x – 8) = 2 A) –100 D) 8

Si 3log3a – 3log3b = 6, calcula

A) 3 D) 27

B) 729 16

Resuelve e indica el producto de soluciones en:

II

Indicar la suma de las cifras de la solución de

log2(log3x – 2) = 4log 162

B) 5/4

Á L G E B R A

Calcula el octavo término de la P.G.

÷ ÷ 48; 72; 108; ...

C) {–5; 2} E) {–2}

log2x – log x2 = 24 B) 0,0001

C) 66° E) 111°

C) 2 E) –2

Indica la menor solución al resolver

A) 0,001 D) 100

B) 34°

25

log2[(x – 1)2 + 3x + 1] = log 2(4x + 12)

12

B) 80

En la P.A. ÷ 3; 8; 13; 18; ...

Indica el conjunto solución de

A) {–2; 5} D) {5}

C) 3 E) 81

4

Calcula el término de lugar 24.

C) {–3} E) {3}

B) 1/2

REFORZANDO 11

En la P.A. 4; 7; 10; 13; ...

Resuelve Log 1 (3x + 2) = Log 1 (4x)

A) –1 D) 4

C) 3 E) 5

9 –1

B) {–2}

25

Indica el producto de las soluciones al resolver

A) 9 D) 1 5

10

C) 8 E) 64

Calcula log11(x + 11) si

A) 1 D) 4 4

B) 4

Resuelve logx(x + 6) = 2 e indique su C. S.

A) {–2; 3} D) {2}

Si log2(log3(log2x)) = 0, halla x. A) 2 D) 16

A R B E G L Á

B) 12

9

17

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Resuelve log5(x + 2) = 2

A) 23 D) 5

Calcula x + y + z, si:

1

57

B) –64

C) 10 E) –10

3

Indique verdadero (V) o falso (F) según corres ponda.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

1. Si la razón es negativa la P.A. es decreciente. 2. La suma de términos equidistantes es el do ble del término central. 3. Si la razón es negativa la P.A. es creciente.

A) 0 D) 3

A) FFF D) FVV

B) 1

C) 2 E) 4

B) FFV

6

Calcula el trigésimo término de la P.A.

  (x – 4); (2 x + 4); (4 x + 8); ....

A) 360 D) 324

B) 348

C) 336 E) 312

C) FVF E) VVV

Resuelve logx + log(x – 1) = log6

A) –2 D) 3

B) –1

C) 2 E) 4

4

59

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

REFORZANDO

NIVEL

I

8

A) 23 D) 5

Calcula x + y + z, si:

1

B) 10

C) 8 E) 3 1

log2x = 3; log3 y = 2; log4z = 0 A) 9 D) 18 2

B) 12

C) 13 E) 20

3

B) 4

4

B) 2

C) {–3} E) {3}

B) 1/2

A) 73 D) 63

Calcula el lugar que ocupa el número 333

A) 34° D) 67°

C) 83 E) 76

NIVEL

B) {2; 5}

2

Calcula el 7° término en la P.G.

5

A) 2187

Resuelve e indique la suma de raíces en:

B) 2187 2

D) 5294

C) 0,0001 E) 1000

A) 21/4 D) 6 13

REFORZANDO 6

NIVEL

÷ ÷ 4 ; 2 ; 1; ... 9 3

C) 2187 3 E) 5333 2

A) 729 8 D) 729 64

7

B) 8

A) –100 D) 8 14

C) 9 E) 11

Si 3log3a – 3log3b = 6, calcula

15

A) 3 D) 27

B) 9

58

C) 243 32 E) 729 128

C) 4 E) 7

Log6(x + 8) + Log 6(x – 8) = 2

Indicar la suma de las cifras de la solución de

A) 7 D) 10

B) 729 16

Resuelve e indica el producto de soluciones en:

II

log2(log3x – 2) = 4log 162

B) 5/4

C) 2 E) 6

B) –64

C) 10 E) –10

3

Indique verdadero (V) o falso (F) según corres ponda.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

1. Si la razón es negativa la P.A. es decreciente. 2. La suma de términos equidistantes es el do ble del término central. 3. Si la razón es negativa la P.A. es creciente.

A) 0 D) 3

A) FFF D) FVV

B) 1

C) 2 E) 4

B) FFV

6

Calcula el trigésimo término de la P.A.

  (x – 4); (2 x + 4); (4 x + 8); ....

A) 360 D) 324

B) 348

C) 336 E) 312

C) FVF E) VVV

Resuelve logx + log(x – 1) = log6

A) –2 D) 3

B) –1

C) 2 E) 4

4

EDITORIAL INGENIO

Determina la suma de los 12 perimeros térmi-

9

nos de la siguiente progresión aritmética.

B) 228

Halla el valor de " x", de modo que los números

REFORZANDO

(x – 5); x; (x + 10); en ese orden, estén en P.G.

÷ x + 2; 2 x + 1; 4 x – 5; ... A) 128 D) 348

A) 1 D) 10

C) 358 E) 412

B) 2

C) 5 E) 20

1

A R B E G L Á

D) –1

3

Halla el término de lugar 12 de la siguiente P.G.:

A) 2 D) 16

B) 4

8

B) FFV

  1024; a; 256; b; 64; c

A) 640 D) 672 9

10

C) 325 E) 735

A) D) 317

C) 8 E) 32

4

B)

315

C) 608 E) 696

Calcula la suma de los 12 primeros términos de

A) 320 D) 372

Calcula el término de lugar 15 en la P.G.

314

B) 612

una P.A. cuyo término enésimo es 5n + 2

C) VVV E) FFF

B) 250

En la siguiente progresión Halla a + b – c

  (x – 1); (2 x + 1); (7 x – 1); ...

1 ; 1 ; 1 ; ... 128 64 32

E) –2

I

En la P.G.   81; a; b; c; 625 Calcula: a + b + c A) 225 D) 375

10

NIVEL

término general: an = 4n – 3. 1. Si la razón es –3. 2. Los tres primeros términos suman 15. 3. Todos sus términos son positivos.

2

¿Qué valor debe tomar n para que las expresiones 2n – 8; 6 n – 3 y 8 n + 3 dadas en este mismo orden; esten en progresión aritmética? A) 1 B) 1 C) 2 2

Indica verdadero (V) ó falso (F) en la P.A. de

A) VFF D) FVV

8

B) 324

Indica verdadero (V) ó falso (F)

•

La suma de innitos términos de 1 1 S = 1 + + + .... es 2 2 4

•

La razón en la P.G. ÷ ÷ 3; a; b; c; d; 96 es 4

•

El término central es

A) VVV D) FFV

316

C) E) 318

Calcula la razón de una P.A. si se cumple que el

C) 384 E) 414

t1∙tn

B) VFV

REFORZANDO

C) VFF E) FFF

NIVEL

cuarto término es 18 y el décimo es 12. A) –6 D) –3 5

B) –4

÷ ÷ 2013; 2009; 2005; .... A) 24 D) 27

Calcula la razón de una P.G. si se cumple que

A) 1,5 D) 0,6

B) 2

REFORZANDO 6 3

Tarea Indica el número de términos de una P.A. si el

Si el primer y tercer término de una P.G. son 4 y 9 respectivamente, entonces el segundo término es:

A) VFF D) FFV

En una progresión geométrica la suma de tres números consecutivos es 9 y su producto es –216. Halla el número mayor de los números en mención.

7

4

B) VVF

A) 970 D) 1920 13

B) 64

C) 960 E) 988

Calcula

A) 1/2 D) –1/3 14

B) –1/2

C) 1/3 E) 1/6

En la P.A. 14; 17; 20; 23; .... Calcula a2013 – a2010

A) 3 D) 12 15

C) 72 E) 84

B) 1940

S =  1 – 1 +  1 – 1 +  1 – 1 + ...  2   3 4   9 8 

C) VVV E) FFF

En la P.A. ÷ 15; x; y; z; 27 Calcula x + 2 y + z

C) 26 E) 28


Indica verdadero (V) ó falso (F).

A) 42 D) 78 60

II

3. El producto de los términos equidistantes es constante. 4

La suma de 3 números en P.A. es 12 y la suma de sus cubos es 408. Halla la suma de los cuadrados de dichos números.

NIVEL

B) 20

la P.A. ÷ (3x – 5); (4 x + 6); (6 x + 10); ....

1. Si la razón es menor que 1 y mayor que 0, la P.G. es decreciente. 2. La P.G. es alternada cuando la razón es me nor que 0.

primer término es (m – 2); la razón es (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m).

2

12

C) 4 E) 3

III

11 Calcula la suma de cifras del vigésimo término en

C) –2 E) –1

t8 = 1,5 y t15 = 192

1

59

4

EDITORIAL INGENIO

7

Á L G E B R A

Calcula el octavo término de la P.G.

÷ ÷ 48; 72; 108; ...

C) {–5; 2} E) {–2}

log2x – log x2 = 24 B) 0,0001

C) 66° E) 111°

III

Indica la menor solución al resolver

A) 0,001 D) 100

B) 34°

C) 2 E) –2

log2[(x – 1)2 + 3x + 1] = log 2(4x + 12)

12

B) 80

En la P.A. ÷ 3; 8; 13; 18; ...

Indica el conjunto solución de

A) {–2; 5} D) {5}

C) 3 E) 81

4

Calcula el término de lugar 24.

25

REFORZANDO 11

En la P.A. 4; 7; 10; 13; ...

Resuelve Log 1 (3x + 2) = Log 1 (4x)

A) –1 D) 4

C) 3 E) 5

B) 9 –1

B) {–2}

25

Indica el producto de las soluciones al resolver

A) 9 D) 1 5

10

C) 8 E) 64

Calcula log11(x + 11) si

A) 1 D) 4

Resuelve logx(x + 6) = 2 e indique su C. S.

A) {–2; 3} D) {2}

Si log2(log3(log2x)) = 0, halla x. A) 2 D) 16

A R B E G L Á

9

17

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Resuelve log5(x + 2) = 2

B) 6

C) 9 E) 15

¿Cuánto suman los 25 términos de una P.A. cuyo primer término es 4 y la razón es 10? A) 3440 D) 3100

B) 3210

C) 3140 E) 3350 4

61

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

7

EDITORIAL INGENIO

Determina la suma de los 12 perimeros térmi-

9

nos de la siguiente progresión aritmética.

B) 228

REFORZANDO

(x – 5); x; (x + 10); en ese orden, estén en P.G.

÷ x + 2; 2 x + 1; 4 x – 5; ... A) 128 D) 348

Halla el valor de " x", de modo que los números

A) 1 D) 10

C) 358 E) 412

B) 2

C) 5 E) 20

1

A R B E G L Á

D) –1

3

Halla el término de lugar 12 de la siguiente P.G.:

A) 2 D) 16

B) 4

B) FFV

  1024; a; 256; b; 64; c

9

10

C) 325 E) 735

A) D) 317

C) 8 E) 32

4

B)

315

C) 608 E) 696


A) 320 D) 372

Calcula el término de lugar 15 en la P.G.

314

B) 612

una P.A. cuyo término enésimo es 5n + 2

C) VVV E) FFF

B) 250

En la siguiente progresión Halla a + b – c

  (x – 1); (2 x + 1); (7 x – 1); ...

1 ; 1 ; 1 ; ... 128 64 32

E) –2

8

A) 640 D) 672

En la P.G.   81; a; b; c; 625 Calcula: a + b + c A) 225 D) 375

10

I

término general: an = 4n – 3. 1. Si la razón es –3. 2. Los tres primeros términos suman 15. 3. Todos sus términos son positivos.

2

¿Qué valor debe tomar n para que las expresiones 2n – 8; 6 n – 3 y 8 n + 3 dadas en este mismo orden; esten en progresión aritmética? A) 1 B) 1 C) 2 2

NIVEL

Indica verdadero (V) ó falso (F) en la P.A. de

A) VFF D) FVV

8

B) 324

Indica verdadero (V) ó falso (F)

•

La suma de innitos términos de 1 1 S = 1 + + + .... es 2 2 4

•

La razón en la P.G. ÷ ÷ 3; a; b; c; d; 96 es 4

•

El término central es

A) VVV D) FFV

316

C) E) 318

Calcula la razón de una P.A. si se cumple que el

C) 384 E) 414

t1∙tn

B) VFV

REFORZANDO

C) VFF E) FFF

NIVEL

cuarto término es 18 y el décimo es 12. A) –6 D) –3 5

B) –4

11 Calcula la suma de cifras del vigésimo término en

C) –2 E) –1

÷ ÷ 2013; 2009; 2005; .... A) 24 D) 27

Calcula la razón de una P.G. si se cumple que

t8 = 1,5 y t15 = 192 A) 1,5 D) 0,6

B) 2

REFORZANDO 6 3

Tarea 1

Indica el número de términos de una P.A. si el

Si el primer y tercer término de una P.G. son 4 y 9 respectivamente, entonces el segundo término es:

II

La suma de 3 números en P.A. es 12 y la suma de sus cubos es 408. Halla la suma de los cuadrados de dichos números.

A) VFF D) FFV

En una progresión geométrica la suma de tres números consecutivos es 9 y su producto es –216. Halla el número mayor de los números en mención.

7

B) VVF

A) 970 D) 1920 13

B) 64

A) 1/2 D) –1/3 14

B) 1940

C) 960 E) 988

Calcula

S =  1 – 

1 +  1 – 2   3

1 +  1 – 4   9

B) –1/2

A) 3 D) 12 15

B) 6

¿Cuánto suman los 25 términos de una P.A. cuyo primer término es 4 y la razón es 10? A) 3440 D) 3100

C) 72 E) 84

B) 3210

C) 3140 E) 3350 4

61

EDITORIALINGENIO

SUCESIONES Y SERIES

Calcula el valor de

7

9

E = 2 + 12 + 36 + 80 + ..... + 1100

Se dene la serie a1 = 1 a2 = 2 + 3 + 4 a3 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 : halla a2003 – a2002

A) 16525 D) 16720

B) 16016

4

A) 2710 D) 2570

Halla el valor de "S" en

A) 95950 D) 85850

5

B)

C)

D)

E = 2(2) + 4(3) + 6(4) + ...+ 40(21)

C) 2810 E) 2610

A) 6000 D) 6810

B) 6160

C) 6140 E) 6325

B) 128755

C) 49925 E) 95850

C) 16400 E) 16820

Halla

A)

B) 3410

Halla el valor de

S = 1100 + 299 + 398 + ..... + 50 51

Halla el valor de

8

2

C) 9 E) 15

4

18

A R B E G L Á

C) 1/3 E) 1/6

En la P.A. 14; 17; 20; 23; ....

CAPÍTULO

1

1 + ... 8 

Calcula a2013 – a2010

C) VVV E) FFF

En la P.A. ÷ 15; x; y; z; 27 Calcula x + 2 y + z A) 42 D) 78

C) 26 E) 28


Indica verdadero (V) ó falso (F).

3. El producto de los términos equidistantes es constante. 4

60

NIVEL

B) 20

la P.A. ÷ (3x – 5); (4 x + 6); (6 x + 10); ....

1. Si la razón es menor que 1 y mayor que 0, la P.G. es decreciente. 2. La P.G. es alternada cuando la razón es me nor que 0.

primer término es (m – 2); la razón es (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m).

2

12

C) 4 E) 3

III

Una pelota de goma cae desde lo alto de un edicio, al rebotar sobre el piso alcanza una altura igual a 1/2 de la altura anterior, calcula el recorrido total de la pelota hasta que teóricamente quede en reposo, considerando que se dejó caer de una altura de 128 m. A) 384 m D) 450 m

B) 312 m

A) D)

B)

10

¿Qué precio pide por su cabello quien exige por el primer clavo de sus herraduras S / . 125; S / . 216 por el segundo; S / . 343 por el tercero; hasta S / . 1331 por el penúltimo clavo?

A) S / . 5316 D) S / . 5270

C)

B) S / . 4256

C) S / . 5397 E) S / . 6084

E)

C) 370 m E) 412 m

E)

6 3

Halla

A) 3020 D) 3080

B) 3960

C) 3040 E) 3780

La suma de "n" números pares consecutivos es "k ", ¿cuál es la suma de los " n" siguientes números pares consecutivos? A) k – 2n D) k + 3n

B) k 2 – 2n

C) 2k + 2n2 E) 2k + n2

Tarea 1

2

4

3

Dado el término general de una sucesión: an = an – 1 + 3, si a10 = 15, halla a8

4

Si en la sucesión a1 ; a2 ; a3 ; ..... ; an , se tiene

Si an = 3n + 6, es el término general de una sucesión, calcula a100.

que an+2 = an+1 + an ; para todo n ≥ 1; y además

Calcula

P = 1 + 1 + 1 + ... 10 100 1000

62

Á L G E B R A

a9 = a11 = 10, halla el valor de a3 + a4 + a5 + a6

4

63

Á L G E B R A

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

18 1

SUCESIONES Y SERIES

4

A) 2710 D) 2570

Halla el valor de "S" en

2

Halla el valor de

A) 95950 D) 85850

B) 16016

5

B)

C)

D)

E = 2(2) + 4(3) + 6(4) + ...+ 40(21)

C) 2810 E) 2610

A) 6000 D) 6810

B) 6160

C) 6140 E) 6325

B) 128755

C) 49925 E) 95850

C) 16400 E) 16820

Halla

A)

B) 3410

S = 1100 + 299 + 398 + ..... + 50 51

Halla el valor de

8

A R B E G L Á

9

E = 2 + 12 + 36 + 80 + ..... + 1100

Se dene la serie a1 = 1 a2 = 2 + 3 + 4 a3 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 : halla a2003 – a2002

A) 16525 D) 16720

Calcula el valor de

7

Una pelota de goma cae desde lo alto de un edicio, al rebotar sobre el piso alcanza una altura igual a 1/2 de la altura anterior, calcula el recorrido total de la pelota hasta que teóricamente quede en reposo, considerando que se dejó caer de una altura de 128 m. A) 384 m D) 450 m

B) 312 m

A)

B)

D)

10

¿Qué precio pide por su cabello quien exige por el primer clavo de sus herraduras S / . 125; S / . 216 por el segundo; S / . 343 por el tercero; hasta S / . 1331 por el penúltimo clavo?

A) S / . 5316 D) S / . 5270

C)

B) S / . 4256

C) S / . 5397 E) S / . 6084

Á L G E B R A

E)

C) 370 m E) 412 m

E)

6 3

Halla

A) 3020 D) 3080

B) 3960

C) 3040 E) 3780

La suma de "n" números pares consecutivos es "k ", ¿cuál es la suma de los " n" siguientes números pares consecutivos? A) k – 2n D) k + 3n

B) k 2 – 2n

C) 2k + 2n2 E) 2k + n2

Tarea 1

2

3

Dado el término general de una sucesión: an = an – 1 + 3, si a10 = 15, halla a8

4

Si en la sucesión a1 ; a2 ; a3 ; ..... ; an , se tiene

Si an = 3n + 6, es el término general de una sucesión, calcula a100.

que an+2 = an+1 + an ; para todo n ≥ 1; y además

Calcula

a9 = a11 = 10, halla el valor de a3 + a4 + a5 + a6

P = 1 + 1 + 1 + ... 10 100 1000

62

4

4

EDITORIALINGENIO

63

CAPÍTULO

REFORZANDO

NIVEL

I

8

19

INECUACIONES I

Halla cuántos términos tiene la siguiente suce-

sión:

3; 6; 9; 12; .........; 513 1

Calcula S = 1 + 2 + 3 + ..... + 40

A) 280 D) 380

B) 820

A) 150 D) 151

C) 500 E) 1020

3

B) 819

4

A R B E G L Á

C) 2/5 E) 1/2

10

B) 11200

n (n + 1)2

1 (n + 1)2

C) 12300 E) 12500

B) 23400

11

C) 21700 E) 22800 NIVEL

II

12

C) 5 3 8 E) 3

Halla el término general de la siguiente suce-

sión:

2 ; 2 ; 2 : 2 ; ... 3 8 15 24 1 n2 + 2n D) 2 2 n + 2n

B)

4

1 n2 – 2n

2 C) n 2 E) 2 2 n + 2

4, calcula el intervalo de x2 – 5. B) [-5; 11]

C) [5; 11] E) [-5; 11 〉

C) 1 E) 4

+ 1 C) n2 n + 1 n E) 2 n + 1

C) 101 100 99 E) 100

B) 1

2

NIVEL

15

Relaciona correctamente

III

5

b. (x – 2)2 ≤ 0

1. x ∈ ∅ 2. x ∈ R

c. x2 + 1 < 0

3. x ∈ {2}

a. x2 ≥ 0

A) a1 - b2 - c3 D) a2 - b1 - c3

B) -45

B) a2 - b3 - c1

¿A qué intervalo pertenece

5 – 3x , cuando 2

x ∈ [–3; 8〉?

A) 〈19/2; 7〉 D) ∅

B) 〈–19/2; 7]

C) 〈–19; 14〉 E) 〈1; 4]

C) a1 - b3 - c2 E) a3 - b1 - c2

C) -50 E) -100

B) 5318

C) 5088 E) 5010 3

13

14

A)

≤

A) 〈5; 11〉 D) 〈-5; 11]

Halla S = 7  8 + 8  9 + 9  10 + .... + 24  25

A) 5216 D) 5415

1 1 1 1 T = 1 + + + + + ... ∞ 3 9 27 81 B) 2 3

B) 0,4

Si –3 < x

Halla el valor de M = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – .... – 90

A) -90 D) -55

Calcula el valor de T.

A) 3 2 9 D) 5

4

Al momento que n = 100, la siguiente suma:

REFORZANDO

REFORZANDO

64

D)

B)

A) 100 101 1 D) 2

R = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + ...... + f (10)

7

1 n2

Si f (n) = (2 n)3

A) 25100 D) 24200

se obtiene por

1 1 1 1 + + + ... + n(n + 1) 1×2 2×3 3×4

halla el valor de R

6

A)

Halla el valor de

A) 10660 D) 10000 5

C) 500 E) 1020

B) 2

Luego de resolver

A) 0,5 D) 2

1 ; 2 ; 3 : 4 ; ... 4 9 16 25

Calcula

A) 1 D) 3/4

1

Halla el término general de la sucesión:

Calcula S = 1 + 4 + 9 + . ... + 169

A) 280 D) 380

C) 171 E) 181

C. S = [ a; +∞〉, halla el valor de a. 9

2

B) 170

Al resolver la inecuación

6

Resuelve x2 – x – 6 ≤ 0, e indica la suma de valo-

res enteros que la verifican.

Calcula

A) 18640 D) 24500

B) 19310

C) 20250 E) 21440

Si

, halla a1 + a2 + a3 + ..... + a99

A) 0,99 D) 0,009

B) 0,09

se obtiene C. S. = 〈 –∞; 2m – 17〉, halla m.

A) 3 D) 6

B) 4

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

C) 5 E) 12

C) 0,099 E) 0,0009

En la sucesión 5; 8; 11; 14; ...... la suma de los n primeros términos es 1274, determina (n + 2).

A) 28 D) 34

B) 32

C) 26 E) 30 4

65

Á L G E B R A

EDITORIALINGENIO

CAPÍTULO

REFORZANDO

NIVEL

I

8

19

INECUACIONES I

Halla cuántos términos tiene la siguiente suce-

sión:

3; 6; 9; 12; .........; 513 1

Calcula S = 1 + 2 + 3 + ..... + 40

A) 280 D) 380

B) 820

A) 150 D) 151

C) 500 E) 1020

3

B) 819

4

A R B E G L Á

C) 2/5 E) 1/2

10

B) 11200

n (n + 1)2

1 (n + 1)2

C) 12300 E) 12500

B) 23400

11

C) 21700 E) 22800 NIVEL

II

12

C) 5 3 8 E) 3

Halla el término general de la siguiente suce-

sión:

2 ; 2 ; 2 : 2 ; ... 3 8 15 24 1 n2 + 2n 2 D) 2 n + 2n

B)

4

1 n2 – 2n

2 C) n 2 2 E) 2 n + 2

4, calcula el intervalo de x2 – 5.

A) 〈5; 11〉 D) 〈-5; 11]

B) [-5; 11]

C) [5; 11] E) [-5; 11 〉

C) 1 E) 4

+ 1 C) n2 n + 1 n E) 2 n + 1

C) 101 100 99 E) 100

B) 1

2

NIVEL

15

Relaciona correctamente

III

5

b. (x – 2)2 ≤ 0

1. x ∈ ∅ 2. x ∈ R

c. x2 + 1 < 0

3. x ∈ {2}

a. x2 ≥ 0

A) a1 - b2 - c3 D) a2 - b1 - c3

B) -45

B) a2 - b3 - c1

¿A qué intervalo pertenece

5 – 3x , cuando 2

x ∈ [–3; 8〉?

A) 〈19/2; 7〉 D) ∅

B) 〈–19/2; 7]

C) 〈–19; 14〉 E) 〈1; 4]

C) a1 - b3 - c2 E) a3 - b1 - c2

C) -50 E) -100

B) 5318

C) 5088 E) 5010 3

13

14

A)

≤

Halla S = 7  8 + 8  9 + 9  10 + .... + 24  25

A) 5216 D) 5415

1 1 1 1 T = 1 + + + + + ... ∞ 3 9 27 81 B) 2 3

B) 0,4

Si –3 < x

Halla el valor de M = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – .... – 90

A) -90 D) -55

Calcula el valor de T.

A) 3 2 9 D) 5

4

Al momento que n = 100, la siguiente suma:

REFORZANDO

REFORZANDO

64

D)

B)

A) 100 101 1 D) 2

R = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + ...... + f (10)

7

1 n2

Si f (n) = (2 n)3

A) 25100 D) 24200

se obtiene por

1 1 1 1 + + + ... + n(n + 1) 1×2 2×3 3×4

halla el valor de R

6

A)

Halla el valor de

A) 10660 D) 10000 5

C) 500 E) 1020

B) 2

Luego de resolver

A) 0,5 D) 2

1 ; 2 ; 3 : 4 ; ... 4 9 16 25

Calcula

A) 1 D) 3/4

1

Halla el término general de la sucesión:

Calcula S = 1 + 4 + 9 + . ... + 169

A) 280 D) 380

C) 171 E) 181

C. S = [ a; +∞〉, halla el valor de a. 9

2

B) 170

Al resolver la inecuación

6

Resuelve x2 – x – 6 ≤ 0, e indica la suma de valo-

res enteros que la verifican.

Calcula

A) 18640 D) 24500

B) 19310

C) 20250 E) 21440

Si

, halla a1 + a2 + a3 + ..... + a99

A) 0,99 D) 0,009

B) 0,09

se obtiene C. S. = 〈 –∞; 2m – 17〉, halla m.

A) 3 D) 6

B) 4

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

C) 5 E) 12

C) 0,099 E) 0,0009

En la sucesión 5; 8; 11; 14; ...... la suma de los n primeros términos es 1274, determina (n + 2).

A) 28 D) 34

B) 32

C) 26 E) 30 4

65

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

20 1

INECUACIONES II

7

A) x > 3 D) x > 5

Resuelve

4

9

Resuelve

B) 2 < x < 5

Para cuántos números enteros se verica la inecuación:

C) x > 1 E) x∈ ∅

A) 12 D) 7

Resuelve

B) 13

C) 8 E) N.A.

B) [-1; 2]

C) [-2; 5 〉 E) N.A.

(x + 4)6(x + 2)4(x – 4)8(x – 3)9 > 0 A) 〈–4; –3〉 B) 〈–∞; –3〉 D) 〈–3; +∞〉 – {–2}

C) 〈–∞; 3〉 E) 〈3; +∞〉 – {4}

e indica el menor valor entero que la verique. A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

8

A R B E G L Á

2

Indica la suma de valores enteros que verican:

A) 24 D) 28

3

B) 26

5

A) 〈1; 3〉 D) 〈1; +∞〉

Resuelve

B) 〈3; 8]

10

A) –1 D) 2

B) 0

A) [-3; 3] D) [-3; 6]

C) 〈3; +∞〉 E) 〈3; 6〉

A) 12 D) 20

6

B) 15

Á L G E B R A

C) 16 E) 21

Indica el intervalo solución en

Tarea se obtiene C. S. = 〈a; 0〉 ∪ 〈b; –a〉. Calcula el valor de a + 2b.

Resuelve

se obtiene como C. S. = 〈–∞; A] ∪ [B; C] ∪ {D}, halla el valor de A·B·C·D.

C) 27 E) 31

Luego de resolver la inecuación fraccionaria

Resuelve x + 2 > 8 – x

A) 〈0; 1〉 D) 〈1; +∞〉

B) 〈–1; 1〉

C) [–1; 3] E) 〈–5; 0〉

1

C) 1 E) 3

3

Resuelve

4

Para cuántos valores enteros se verica que

Resuelve las siguientes inecuaciones

e indica el intervalo solución común.

2

Luego de resolver la inecuación:

(x2 – x)2(x3 – 1)(2x2 – 3x + 1)(2x – 1)4 < 0 se obtiene C. S. = 〈–∞; a〉 – {b}, calcula a + b.

68

4

4

69

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

20 1

INECUACIONES II

7

A) x > 3 D) x > 5

Resuelve

4

9

Resuelve

B) 2 < x < 5

Para cuántos números enteros se verica la inecuación:

C) x > 1 E) x∈ ∅

A) 12 D) 7

Resuelve

B) 13

C) 8 E) N.A.

B) [-1; 2]

C) [-2; 5 〉 E) N.A.

(x + 4)6(x + 2)4(x – 4)8(x – 3)9 > 0 A) 〈–4; –3〉 B) 〈–∞; –3〉 D) 〈–3; +∞〉 – {–2}

C) 〈–∞; 3〉 E) 〈3; +∞〉 – {4}

e indica el menor valor entero que la verique. A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

8

A R B E G L Á

2

Indica la suma de valores enteros que verican:

A) 24 D) 28

3

B) 26

5

A) 〈1; 3〉 D) 〈1; +∞〉

Resuelve

B) 〈3; 8]

10

A) –1 D) 2

B) 0

A) [-3; 3] D) [-3; 6]

C) 〈3; +∞〉 E) 〈3; 6〉

A) 12 D) 20

6

B) 15

Á L G E B R A

C) 16 E) 21

Indica el intervalo solución en

Tarea se obtiene C. S. = 〈a; 0〉 ∪ 〈b; –a〉. Calcula el valor de a + 2b.

Resuelve

se obtiene como C. S. = 〈–∞; A] ∪ [B; C] ∪ {D}, halla el valor de A·B·C·D.

C) 27 E) 31

Luego de resolver la inecuación fraccionaria

Resuelve x + 2 > 8 – x

A) 〈0; 1〉 D) 〈1; +∞〉

B) 〈–1; 1〉

C) [–1; 3] E) 〈–5; 0〉

1

C) 1 E) 3

3

Resuelve

4

Para cuántos valores enteros se verica que

Resuelve las siguientes inecuaciones

e indica el intervalo solución común.

2

Luego de resolver la inecuación:

(x2 – x)2(x3 – 1)(2x2 – 3x + 1)(2x – 1)4 < 0 se obtiene C. S. = 〈–∞; a〉 – {b}, calcula a + b.

68

4

4

69

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

22 1

FUNCIONES I

Indica verdadero (V) o falso (F).

4

F = {(2; 3), (3; 5), (2; 3)} es función

( )

G = {(0; 3), (2; 3), (4; 1)} es función

( )

H = {(–2; 2), (–2; –2), (2; –2)} es función

( )

A) VFV D) VVF

B) FVV

7

Sabiendo que:

F(x) =

2

A) 26 D) 56

B) –26

B) 12

B. H(x) = (x + 7)2 + 4

es una función, calcula la suma de los elementos del rango, si a ≤ 0.

A) –2; +  y 4;  C) –2; +  y R D) R y 4; 

B) –2; +  y 4; 6

B) 0

C) 1 E) 2

E) R y R

C) 30 E) 4

5

C) 15 E) 20

De acuerdo al diagrama de las funciones F y G. G F

Halla el dominio de la función

A) {2} D) 〈–∞; 2]

B) 〈2; +∞〉

10

C) [2; + ∞〉 E) 〈–∞; 2〉

2

1

0

–3

3

4

0

6

–3

8

3F(2) + G(F(0)) . –F(2) A) –9/4 B) 9/4 D) –9/3

Halla el rango de

F(x) = ex + e–x – 2 siendo e = 2,7182...

F = {(3; 9), (5; a – b), (5; 3), (3; a + b)} A) 10 D) 18

Halla el rango en cada caso

calcula E = F(F(2)) – F(F(–1)).

C) VVV E) FFV

Calcula ab en la función

9

A. A(x) = x + 1 – 2

A) 4 D) 3

4x – 2; x < 0 3x + 3; x ≥ 0

8

A R B E G L Á

Si el conjunto de pares ordenados f = {(1; 0), (3; a2 + 2), (4; 0), (3; a + b), (4; b – 2)}

A) [– 2; +∞〉 B) [ 2 ; +∞〉A D) [2 – 2; +∞〉

C) [ 2; 2] E) [2 + 2; +∞〉

calcula

3

En la función

6

F(x) = {(2; 3); (1; 4); (3; 5); (4; 9)} calcula S = F(F(2)) + F(F(1)).

A) 5 D) 13

B) 7

C) 9 E) 14

C) –11 E) –7/3

¿Cuál o cuáles de los conjuntos 1. F = {(2; 4), (3; 4), (0; 0), (–1; 3)} 2. G = {(–1; 6), (6; –1), (–1; 1)} 3. H = {(–3; 3)} son funciones? A) Sólo I D) I y II

B) Sólo II

Tarea 1

3

¿Qué conjuntos representan funciones? F = {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2)} G = {(a; a), (b; b), (c; c), (d; d), (e; e)} H = {(–5; 2), (3; 9), (–5; 0), (0; 0)}

C) Sólo III E) I y III

I = {(2; 6), (3; 9),(4; 12), (2; 6)} 2

Si F = {(2; a2), (5; 3), ( a; – 1), (4; 6), (2; 16)} es una función, halla el dominio y rango.

4

1

2

3

5

3

1

1

2

5

3

2

3

halla E =

4

74

Dadas las funciones f y g denidas mediante los diagramas mostrados: g f

f (1) + g(3) . f ( g(1)) – f ( g(2))

Si f (x) = x – 2 + x, calcula el dominio de la función.

4

75

Á L G E B R A

CAPÍTULO

EDITORIALINGENIO

22 1

FUNCIONES I

Indica verdadero (V) o falso (F).

4

F = {(2; 3), (3; 5), (2; 3)} es función

( )

G = {(0; 3), (2; 3), (4; 1)} es función

( )

H = {(–2; 2), (–2; –2), (2; –2)} es función

( )

A) VFV D) VVF

B) FVV

7

Sabiendo que:

F(x) =

2

A) 26 D) 56

B) –26

B) 12

B. H(x) = (x + 7)2 + 4

es una función, calcula la suma de los elementos del rango, si a ≤ 0.

A) –2; +  y 4;  C) –2; +  y R D) R y 4; 

B) –2; +  y 4; 6

B) 0

C) 1 E) 2

E) R y R

C) 30 E) 4

5

C) 15 E) 20

De acuerdo al diagrama de las funciones F y G. G F

Halla el dominio de la función

A) {2} D) 〈–∞; 2]

B) 〈2; +∞〉

10

C) [2; + ∞〉 E) 〈–∞; 2〉

2

1

0

–3

3

4

0

6

–3

8

3F(2) + G(F(0)) . –F(2) A) –9/4 B) 9/4 D) –9/3

Halla el rango de

F(x) = ex + e–x – 2 siendo e = 2,7182...

F = {(3; 9), (5; a – b), (5; 3), (3; a + b)} A) 10 D) 18

Halla el rango en cada caso

calcula E = F(F(2)) – F(F(–1)).

C) VVV E) FFV

Calcula ab en la función

9

A. A(x) = x + 1 – 2

A) 4 D) 3

4x – 2; x < 0 3x + 3; x ≥ 0

8

A R B E G L Á

Si el conjunto de pares ordenados f = {(1; 0), (3; a2 + 2), (4; 0), (3; a + b), (4; b – 2)}

A) [– 2; +∞〉 B) [ 2 ; +∞〉A D) [2 – 2; +∞〉

C) [ 2; 2] E) [2 + 2; +∞〉

calcula

3

En la función

6

F(x) = {(2; 3); (1; 4); (3; 5); (4; 9)} calcula S = F(F(2)) + F(F(1)).

A) 5 D) 13

B) 7

C) 9 E) 14

C) –11 E) –7/3

¿Cuál o cuáles de los conjuntos 1. F = {(2; 4), (3; 4), (0; 0), (–1; 3)} 2. G = {(–1; 6), (6; –1), (–1; 1)} 3. H = {(–3; 3)} son funciones? A) Sólo I D) I y II

B) Sólo II

Tarea 1

3

¿Qué conjuntos representan funciones? F = {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2)} G = {(a; a), (b; b), (c; c), (d; d), (e; e)} H = {(–5; 2), (3; 9), (–5; 0), (0; 0)}

C) Sólo III E) I y III

I = {(2; 6), (3; 9),(4; 12), (2; 6)} 2

Si F = {(2; a2), (5; 3), ( a; – 1), (4; 6), (2; 16)} es una función, halla el dominio y rango.

4

1

2

3

5

3

1

1

2

5

3

2

3

halla E =

4

74

Dadas las funciones f y g denidas mediante los diagramas mostrados: g f

f (1) + g(3) . f ( g(1)) – f ( g(2))

Si f (x) = x – 2 + x, calcula el dominio de la función.

4

75

Á L G E B R A

EDITORIAL INGENIO

14

15

Grafca y = f (x) = |x – 4| + 2

A)

B)

Y

A)

Y

C)

B)

Y

D)

Y

X

X

–2

X

Y

X

4 4

Grafca y = –|x| + 2

C)

Y

D)

Y

Y

4 X 2

X

X

4

X

2

–2

E) N.A.

E) N.A

A R B E G L Á

CLAVE DE RESPUESTAS Curso Cap

CUADERNO DE TRABAJO

1

2

3

4

5

6

7

8

NIVEL I

9

10

1

2

3

NIVEL II

4

5

6

7

8

NIVEL III

9

10

11

12

13

14

15

C.T. ALGEBRA 4°

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