Todo sobre estructuras algebraicas.\ grupos.\ anillos.\ cuerpos.
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Ejemplo 1: 1: Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente operación entre elementos de R:
Comprobar que
tiene estructura de grupo conmutativo .
Demostración: Se trata de comprobar el cumplimiento de cada cada una de las cinco propiedades del grupo conmutativo: 1)
cumple la propiedad asociativa. Para Para ello llo haga hagam mos en prim primer er luga lugarr a (b c): c):
Ahora veamos (a
b)
c:
Son iguales, por tanto la operación es asociativa. 3) En R existe elemento neutro para
:
el elemento neutro para esta operación es el 0. 4) Todo elemento x de R tiene su inverso:
5) Finalmente
es conmutativa, pues es obvio que: a
b=b
a
Ejemplo 2: 2: Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:
Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo conmutativo. Solución:: Debemos comprobar cada una de las propiedades del anillo Solución conmutativo. 1. (Z, ) Es un Grupo Abeliano 2. (Z, *) Es un Semigrupo conmutativo 3. Si * se distribuye sobre 1. Es (Z, ) un Grupo Abeliano? 1.1) Comprobemos 1.1) Comprobemos la asociatividad de : a
(b
c)
(a
b)
c =
En efecto,
=a
( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 =
( a + b - 8)
c =
( a + b - 8) + c - 8 =
a+b+c-
16.
a+b+c-
16.
es asociativa.
1.2) Veamos si en Z hay elemento neutro para : x
> x + e - 8 = x - > e = 8 (el 8 es el elemento neutro) e = x - neutro)
1.3) Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para
?:
En efecto, el elemento inverso del a es: 16 - a. 1.4) ¿ Es conmutativa a
b
?: =a+b-8
;
b
a = b + a
-8
Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales. 2. Es (Z, *) un Semigrupo conmutativo? 2.1) Comprobemos 2.1) Comprobemos si * es asociativa : a
* (b * c) = a * ( b + c - b c ) = a + (b + c - bc ) - a.(b + c - bc) = = a + b + c - bc - ab - ac - abc.
(a * b) * c = ( a + b - ab) * c = ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab ).c = = a + b + c - bc - ab - ac - abc.
Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa. 2.2) Comprobemos 2.2) Comprobemos si * es conmutativa: a * b = a + b - a.b
;
b * a = a + b - b.a
que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa. 3. Se cumple la propiedad distributiva? 3.1) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributiva respecto de la primera, , es decir, si se cumple: a * (b a * (b
c)
c)
= (a * b)
(a * c) ?
= a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) = = a + b + c - 8 - ab - ac + 8a = =
(a * b)
9a + b + c - 8 - ab - ac
(a * c) = (a + b - ab)
(a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) 8= = 2a + b + c - 8 - ab - ac
Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de anillo, falla la propiedad distributiva. distributiva.