O Crit´ Crit´ erio erio da Conden Condensa sa¸¸c˜ ao de Cauchy Francisco Oliveira de Lima 27 de fevereiro de 2014
Sum´ ario 1 S´ eries Num´ ericas 1.1 Resultados B´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 5
2 Crit´ erio da Condensa¸ca ˜o de Cauchy 2.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7
1
Cap´ıtulo 1 S´ eries Num´ ericas 1.1
Resultados B´ asicos
Defini¸c˜ ao 1.1.1. (S´erie Geom´ etrica) Diremos que uma s´erie ´e geom´etrica ´e convergente, quando for da forma +∞
1
pn =
1
n=0
− p .
Onde a raz˜ ao p satisfaz a rela¸ca˜o p < 1. Por outro lado, se p s´erie geom´etrica ´e divergente.
| | ≥ 1. Dizemos que a
||
∞
Exemplo 1.1.1. Mostre que s´erie
2 5
n=0
n
converge. Em seguida, obtenha a sua
soma. Solu¸ca ˜o: Com efeito, observamos a raz˜ ao da s´erie ´e menor que 1. Portanto, converge. Agora, a sua soma ´e dada por +∞
n
2 5
n=0
5 = . 3
∞
Teorema 1.1.1. Se a s´erie
an converge, ent˜ ao lim an = 0.
n=1
∞
Exemplo 1.1.2. Mostre que a s´erie
n=1
n n + 2
Solu¸ca ˜o: Com efeito, observamos que an = lim an = lim
n→∞
´e divergente. n
n + 2
n
n + 2
Ou seja, conclu´ımos que a s´erie diverge. 2
. Portanto, resulta que
= 1 = 0.
´ ´ CAP ´ ITULO 1. S ERIES NUM ERICAS
3
Proposi¸c˜ ao 1.1.1. Seja (an ) uma sequˆencia decrescente de termos positivos. Se a ∞
s´ erie
an ´e convergente. Ent˜ ao, lim (n.an) = 0. n→+∞
n=1
∞
Exemplo 1.1.3. (harmˆ onica) Mostre que a s´erie 1
1
n
n=1
´e divergente.
Solu¸ca ˜o: Com efeito, observamos que an = ´e uma sequˆencia decrescente de n termos positivos. Logo, segue que lim (n.an ) = lim
n→+∞
n→∞
n.
1
n
= 1 = 0.
Dessa forma, resulta que a s´erie harmˆ onica ´e divergente.
Teorema 1.1.2. (Teste da compara¸c˜ ao) Sejam ( an ) e (bn ) sequˆencias num´ericas ∞
tais que 0
≤ a ≤ b , para todo n ∈ N. n
Se a s´ erie
n
bn convergir, ent˜ ao a s´ erie
n=1
∞
an converge.
n=1
∞
Exemplo 1.1.4. Mostre que a s´erie
1
√
n
n=1
´e divergente.
√ n ≤ n, para todo n ∈ N . Logo,
Solu¸ca ˜o: De fato, inicialmente notamos que 1
1 √ ≤ . n n Mas, sabemos que a s´erie harmˆ onica diverge. Portanto, usando o crit´erio da com1 para¸c˜ao, conclu´ımos que a s´erie diverge. ∞
√
n
n=1
Teorema 1.1.3. (Teste de Leibniz) Seja (an ) uma sequˆ encia decrescente que converge para zero. Ent˜ ao, a s´ erie alternada ∞
−
( 1)n+1an
n=1
´ e convergente. ∞
1 ´e convergente. + 4 n n=1 1 = 0. Al´em disso, observamos Solu¸ca ˜o: Primeiramente, notamos que lim n + n + 4
Exemplo 1.1.5. Mostre que a s´erie
−
( 1)n+1
→
∞
´ ´ CAP ´ ITULO 1. S ERIES NUM ERICAS
4
que a sequˆencia an satisfaz a desigualdade an an+1 para todo n que 1 1 1 an+1 an = = 2 0. n + 5 n + 4 n + 9 n + 20
≤
−
−
−
∞
Portanto, podemos afirmar que a s´erie
−
( 1)n+1
n=1
∈ N. Pois, temos
≤
1 converge. n + 4
Teorema 1.1.4. (Teste da Raz˜ ao ou Teste de D’Alembert) Seja a s´erie
an de termos positivos e suponhamos que
lim
n→+∞
an+1 = L. an
Ent˜ ao: (1) A s´erie converge, se L < 1 ; (2) A s´erie diverge, se L > 1 ; (3) O teste ´e inconcluisivo, se L = 1.
∞
3 ´e convergente. ( + 2)! n n=1 3 Solu¸ca ˜o: Com efeito, observamos que an = . Portanto, encontramos (n + 2)! 3 1 an+1 (n + 3)! lim = lim = lim = 0. 3 n + n n + an n + 3 (n + 2)!
Exemplo 1.1.6. Mostre que a s´erie
→
∞
→∞
Logo, conclu´ımos que a s´erie converge.
→
∞
Teorema 1.1.5. (Teste da Raiz ou Teste de Cauchy) Seja a s´erie termos positivos e suponhamos que
√
lim
n
n→+∞
an de
an = L.
Ent˜ ao: (1) A s´erie converge, se L < 1 ; (2) A s´erie diverge, se L > 1 ; (3) O teste ´e inconcluisivo, se L = 1.
∞
Exemplo 1.1.7. Mostre que a s´erie
n=1
n + 3 5n + 2
n
´e convergente.
Solu¸ca ˜o: Para resolver essa quest˜ ao vamos aplicar o teste da Raiz. Logo, resulta lim
n→+∞
√ n
an
=
lim
n→+∞
n
n + 3 5n + 2
Logo, conclu´ımos que a s´erie converge.
n
= lim
n→+∞
1 n + 3 = . 5n + 2 5
´ ´ CAP ´ ITULO 1. S ERIES NUM ERICAS
5
Proposi¸c˜ ao 1.1.2. (Teste da Integral) Seja f : [1, ∞
cont´ınua, positiva e descrescente. Ent˜ ao, a s´ erie
R uma
fun¸cao ˜
f (n) converge se, e somente
n=1
∞
se, a integral impr´ opria
∞) →
f (x) dx convergir.
1
∞
Exemplo 1.1.8. Mostre que a s´erie harmˆonica
n=1
1 n
´e divergente.
Solu¸ca ˜o: Usando o teste da Integral, observamos inicialmente que f : [1, 1 definida por f (x) = ´e cont´ınua e positiva. Al´em disso, temos que
∞) → R
x
1 1 n + 1 − n = = − ≥ 0. n n + 1 n(n + 1) n + n Portanto, a desigualdade f ≥ f ´e v´alida para todo n ∈ N. Ou seja, conclu´ımos f n
− f
n+1
=
1
2
n+1
n
que f ´e decrescente. Agora, calculando a seguinte integral impr´ opria, temos
M
∞
f (x) dx =
lim
M →∞
1
1 x
1
dx =
lim (log (M )
M →∞
− log (1)) = +∞.
Logo, a integral ´e divergente. Portanto, resulta que a s´erie harmˆ onica diverge. ∞
Exemplo 1.1.9. (S´ erie de Dirichelet) Prove que a s´erie
n=1
com p > 1.
Solu¸ca ˜o: A sequˆencia an =
1 n p
M
∞
f (x) dx =
1
lim
M →∞
1
1 n p
´e convergente,
´e positiva e decrescente, para p > 1. Portanto,
1 x p
dx =
lim
M →∞
M (1
p)
1
−
− 1 − p 1 − p
=
1
p
− 1.
Logo, a integral converge. Portanto, resulta que a s´erie de Dirichelet ´e convergente.
1.2
Alguns Exemplos ∞
Exemplo 1.2.1. A s´erie
√ ∞
s´erie definida por
n=1
an de termos positivos ´e convergente. Mostre que a
n=1
an converge. n
Solu¸ca ˜o: Com efeito, usando a desigualdade entre as m´edias geom´etrica e aritm´etica. Onde, para n´ umeros reais a e b n˜ao negativos vale a rela¸ca˜o ab a+2 b . Portanto,
√ ≤ ∞
n=1
an = n
∞
n=1
an n2
1 1 an + 2 2 n
√ ≤
´ ´ CAP ´ ITULO 1. S ERIES NUM ERICAS ∞
Al´em disso, sabemos que as s´eries ∞
da compara¸ca˜o, a s´erie
n=1
∞
an e
n=1
√
6
n=1
1 n2
convergem. Portanto, pelo crit´erio
an ´e convergente. n ∞
1 ´e convergente. 2 + 3n + 4 n n=1 alida Solu¸ca ˜o: Inicialmente, sabemos que n2 n2 + 3 n + 4 ´e uma desigualdade v´ para todo n N. Dessa forma, encontramos
Exemplo 1.2.2. Mostre que a s´erie
∈
0 ∞
Mas, sabemos que
n=1
∞
a s´erie
n=1
1 n2
≤
1 2 + 3n + 4
≤n
≤ n1 . 2
converge. Portanto, pelo teste da compara¸ ca˜o, segue que
1 ´e convergente. n2 + 3n + 4 ∞
Exemplo 1.2.3. Seja a s´erie
∞
an convergente, com an
n=1
converge.
≥ 0.
Prove que
a2n
n=1
∞
Solu¸ca ˜o: Sabendo que
n=1
a o, temos que lim an = 0. Portanto, an converge. Ent˜ n→+∞
existe n0 N de modo que 0 an 1, para todo n n0 . Assim, conclu´ımos que 0 c˜ao, segue que a2n an < 1, para todo n > n0 . Logo, pelo teste da compara¸
∈ ≤ ≤
∞
n=1
a2n converge.
≤ ≤
≥
Cap´ıtulo 2 Crit´ erio da Condensa¸c˜ ao de Cauchy 2.1
Introdu¸c˜ ao
Proposi¸c˜ ao 2.1.1. (Crit´ erio da Condensa¸c˜ ao de Cauchy) Seja (an ) uma sequˆ encia n˜ ao-crescente de n´ umeros reais n˜ ao-negativos. Ent˜ ao, a s´ erie verge se, e somente se,
2.2
2k a2 convergir. k
an con-
Alguns Exemplos
Exemplo 2.2.1. Use o crit´erio da condensa¸c˜ao de cauchy, para mostrar que a s´erie ∞
n=1
1
n2
(2.1)
´e convergente. Inicialmente, aplicando o crit´erio mencionado acima, temos que ∞
n=1
1 n2
∞
=
k=1
1 2k . k 2 = (2 )
∞
k=1
1 = 2k
∞
1 2
k=1
k
A
Sabemos que a s´erie A ´e geom´etrica de raz˜ ao menor que 1. Portanto, conclu´ımos que a s´erie (2.1) ´e convergente. ∞
Exemplo 2.2.2. Mostre que a s´erie
n=2
log (n) ´e divergente. n
Solu¸ca ˜o: Com efeito, usando o crit´erio da condensa¸ca˜o de Cauchy, temos que ∞
log (n) = n
∞
n=2
k=2
2k .
log (2k )
2k
∞
=
k=2
X
∞
k.log (2) = log (2).
k
k=2
Y
7
´ CAP ´ ITULO 2. CRIT ERIO DA CONDENSAC ¸ ˜ AO DE CAUCHY
8
Por outro lado, sabemos que a s´erie Y ´e divergente. Portanto, conclu´ımos que X ´e uma s´erie divergente. ∞
Exemplo 2.2.3. Estude a convergˆencia da s´erie
n=1
Solu¸ca ˜o: Inicialmente, notamos que para p
1 n p
≤ 1, vale a seguinte desigualdade
1 ≤ , n n p
∞
∈ N. Al´em disso, sabemos que a s´erie ∞
o crit´erio da compara¸ca˜o, segue que
∈ R.
1
0 < para todo n
, onde p
1
n=1
n p
n=1
1 n
diverge. Portanto, usando
diverge, para p
≤ 1. Finalmente, para o
caso p > 1, iremos usar o crit´erio da condensa¸ca˜o de Cauchy. Logo, resulta que ∞
∞
1
1 2k . k p = (2 ) =1
n=1
=
n p
k
M
∞
1 (2k ) p
k=1
∞
1
−
=
k
1
2 p
1
−
k=1
N
Mas, N ´e uma s´erie geom´etrica de raz˜ ao menor que 1. Logo, a s´erie M converge. ∞
1 , onde p > 1. p ( ( )) n log n n=2 Solu¸ca ˜o: Pelo crit´erio da condensa¸ca˜o de Cauchy, resulta que
Exemplo 2.2.4. Estude a convergˆencia da s´erie
∞
n=2
1 = n(log (n)) p
∞
1 2 . k = log (2k )) p 2 ( =2 k
k
J
∞
k=2
1 1 = (k(log (2)k)) p (log (2)) p
∞
1
k=2
k p
L
Al´em disso, sabemos que L ´e uma s´erie convergente. Portanto, segue que a s´erie J converge. ∞
Exemplo 2.2.5. Mostre que a s´erie
n=2
1 n.log (n)
´e divergente.
Solu¸ca ˜o: Com efeito, usando o crit´erio da condensa¸ca˜o de Cauchy, temos que ∞
1
∞
n=2
n.log (n) A
=
k=2
2k .
1 2k .log (2k )
∞
=
k=2
1
1 = k.log (2) log (2)
∞
1
k=2
k
B
Mas, sabemos que B ´e a s´erie harmˆonica. Portanto, segue que a s´erie A diverge.
´ CAP ´ ITULO 2. CRIT ERIO DA CONDENSAC ¸ ˜ AO DE CAUCHY ∞
Exemplo 2.2.6. Mostre que a s´erie
9
log (n) ´e convergente. n2
n=2
Solu¸ca ˜o: Com efeito, usando o crit´erio da condensa¸ca˜o de cauchy, temos que ∞
log (n) = n2
∞
n=2
k
2 .
∞
log (2k )
=
(2k )2
k=2
k.log (2)
2k
k=2
C
∞
k
= log (2).
2k
k=2
D
k
Agora, precisamos verificar se a s´erie D e´ convergente. Sabemos que ak = k e 2 fazendo uso do teste da raz˜ ao, conclu´ımos que
lim
k→∞
ak+1 = lim k ak
→∞
√
k + 1
2k+1
= lim
k
k→∞
1 k + 1 = < 1 . 2k 2
2k
Portanto, a s´erie D converge. Assim, podemos concluir que a s´erie C converge. ∞
Exemplo 2.2.7. Mostre que a s´erie
1
n.log (n)
n=2
´e convergente.
Solu¸ca ˜o: Com efeito, usando o crit´erio da condensa¸ca˜o de cauchy, temos que ∞
∞
1
n=2
n.log (n)
=
k=2
2k
2k .log (2k )
∞
=
k
k=2
F
2k
2 . k. 2
√ √
1 = log (2) log (2)
∞
( 2)k
k=2 G
Agora, precisamos verificar se a s´erie D ´e convergente. Sabendo que ak = usando o teste da raz˜ ao, resulta que
√ √ √ √
k+1
lim
k→∞
ak+1 ak
( 2) k + 1 = lim k ( 2)k →∞
k
= lim
k→∞
√ √
k
2k = k + 1
√ √ k
( 2)k
e
√
2 > 1 .
Portanto, a s´erie G converge. Asssim, podemos concluir que a s´erie F converge.
Exemplo 2.2.8. Verifique a convergˆencia ou divergˆencia das s´eries a seguir, usando o teste da raz˜ ao e o crit´erio da condensa¸ca˜o de Cauchy. ∞
log (n) n
√ n=2
∞
e
Solu¸ca ˜o: A cargo do leitor ou leitora.
n=2
√
log ( n) n3
Referˆ encias Bibliogr´ aficas alise I. LTC. Rio de Janeiro, 2008. [1] Figueiredo, Djairo Guedes de.An´ ˜o ` a an´ alise real. UFPA. [2] Corrˆea, Francisco J´ ulio Sobreira de Ara´ ujo. Introdu¸ca alise real. IMPA. Rio de janeiro. 2004. [3] Lima, Elon Lages. An´ ´ ao ` a an´ alise matem´ atica. S˜ao Paulo, 2008. [4] Avila, Geraldo. Introdu¸c˜
10
