20 2010-20 -2011
C ours ur s de de:
R ésistance D es M Matériaux atériaux
( R .D M .M ) Uni ver si té H assan I I A i n Ch Univ Chok F ac. Sci S cie ence ncess Ca C asa sab bla lanca nca LP : TMBTP
P r: A. AKE F
INTRODUCTION GENERALE
La R La R ésistance D ésistance Des es M Matériaux atériaux (R.D.M. (R.D.M.), ), est la science la science du dimensionnement du dimensionnement des des pièces ou éléments qui constituent un ouvrage d’art ou tout objet tout objet utilitaire utilitaire..
Le gén génie civ ivil il,, domaine de la création intelligente,, s’appuie essentiellement sur intelligente la R la R .D.M. M. po pour ur la réalisation réalisation des ouvrages ouvrages d’art ou des constructions telles que les gros œuvres des bâtiments, bâtiments, les ponts en béton armé ou métalliques etc...
Le dimensionnement (réalisé (réalisé par des bureaux d’études) fait appel à des calculs qui prévoient le comportement mécanique de l’objet, vis à vis des contraintes imposées.. Toute conception imposées conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité,, sécurité esthétique.. d’économie et d’esthétique
Historiquement, les premiers travaux de Historiquement, recherche sur la R.D.M (tension (tension et flexion des poutres) poutres) remontent à la fin du XVIe siècle(( Etudes siècle Etudes exp expérim ériment entale aless de Galilée (physicien physicien,, mathématicien et astronome italien 1564 italien 1564--1642 1642). ). En 1678 En 1678,, Robert Hooke énonce Hooke énonce les bases de la théorie de l’élasticité linéaire. linéaire.
Chapitre I PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA STATIQUE
I Rappels mathématiques 1) Produit scalaire Le produit Le produit scalaire de deux vec vecteurs A et B (on dit A scalaire B ) est la quantité la quantité algébrique
définie par : A B
A B x.x
B
A
A xi
y .y z .z '
'
y j zk
Bx i '
'
y j z k '
A B A B cos q B A
'
Produits scalaires élémentaires dans élémentaires dans une base orthonormée
i
i
j j
k k 1
i , j , k
i
.
j
j
k
k i
0
2) Produit vectoriel Le produit Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B (on dit A vectoriel B ) est le vecteur le vecteur définie définie par : A B
n
A B A B sin θ n
n
A
-B A ; 0 θ π
n : vecteur unitaire
A xi
A B ai
a yz
'
'
i
j
k
x
y
z
y j z k '
y j zk
Bxi '
B
x ' y' z'
b j ck
y z ; b x z xz ; c xy x y '
'
'
'
'
Produ Produits its vector vectoriels iels élémentaires dan dans une base orthonormée directe orthonormée directe
i , j , k
.
i j k ; j k i ; k i j
j i k ; k j i ; i k j
Exercice 1 On considère le système d’axes (O, x, y, z) de base orthonormée directe
i , j , k
Effectuer les calculs suivants
:
z
O A AB AB
C
2
k
AB AB BC BC
.
O A O B O C A x
O i
2
j
2
3 B
y
Exercice 2
(O ; i , j , k ) est un repère orthonormée directe. On
considère les vecteurs :
A 3i
k
B 2 i
3 j k
C AB
1) Calculer le produit scalaireA.B et en déduire l’angle entre les vecteurs A et B.
2) Calculer les composantes du vecteur C .
3) Calculer par deux méthodes la norme de C.
II Statique des corps rigides 1) Système matériel a - Définition Un système Un système matériel est matériel est un corps, ou un ensemble de corps, ou une partie d’un corps dont-on se propose d’étudier l’équilibre ou le mouvement.
b - Remarque Dans ce cours, on se limitera à l’étude des systèmes matériels en équilibre en équilibre ou ou en quasi-équilibre (hyp ypot oth hès èses es des pe peti tite tess déformations). déformations ).
2) Force a - Définition Une force Une force représente représente la la mesure de mesure de ce qui pousse ou tire sur tire sur un objet. Elle est définie par un point d’application, une direction (un support), un sens et une valeur (module).
b - Unité L’unité de la force est le Newton (N) ou le
kilogramme-force (kgf). 1kgf (kgf). 1kgf = 10N=1daN
c - moment d’une force par rapport à un point.
Le moment Le moment d’une force F appliquée en un point M par rapport à un point O est donné par la relation la relation vectorielle : vectorielle :
OM F
M F/O
d - moment d’une force par rapport à un axe.
Le moment Le moment d’une force F appliquée en un point B par rapport par rapport à un axe Δ est donné par la relation la relation scalaire : scalaire : M F/O .u (OB F).u
M F/Δ
O B, F, u
u est est le vect vecteu eurr unitair tairee de Δ et O est est un poin oint quel quelco con nque de Δ.
3) Equilibre d’un corps ou d’un système a - Définition L'équilibre L'équilibre d'un d'un solide signifie qu'il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit : aucune translation; aucune rotation autour de quelque point (ou pivot) que ce soit.
b - Remarque L’équilibre d’un système matériel se
réalise uniquement grâce aux forces extérieures directement appliquées à sa surface limite (forces (forces de contact) contact) ou à ses molécules (forces (forces à distance). distance). Les forces intérieures ne sont pas pris en compte.
c - Principe de l’action et de la réaction Lorsqu'un objet S1 exerce une force (appelée « action « action ») ») sur un objet S2, l'objet S2 exerce une force opposée (appelée « réaction ») sur l'objet S1. Ce principe est également appelé « troisième loi de Newton ».
d - Equilibre sous l’effet de deux forces Un objet sollicité par deux forces est en équilibre si équilibre si et seulement si ces deux forces sont de même valeur et directement opposées.. opposées
t Solide en équilibre sous l’action de deux de deux forces. forces.
forces e - Equilibre sous l’effet de trois forces non parallèle
Un objet sollicité par trois forces non parallèles est en équilibre équilibre si et seulement si les supports de ces forces sont concourantes et concourantes et leur somme vectorielle est nulle (polygone des forces est nulle).
forces. Solide en équilibre sous l’effet de trois forces.
f - Transmission des forces Les
forces
sont
transmises par l’intermédiaire des surfaces en contact. contact. On détermine ces forces à partir des
conditions d’équilibre en utilisant la géométrie du corps non déformé. déformé.
On néglige les variations d’angle et de longueur qui résultent de l’application des
forces.
Représentation de Représentation de la transmission des forces et des moments externes
l’é quilibre g - Théorème fondamentale de l’équilibre Pour qu’un sy système matériel indéformable,, solli indéformable ollici citté par par plusieu ieurs forces soit en équilibre, équilibre, il faut et il suffit que le le torseur as associé au système des forces des forces extérieures (forces extérieures (forces de contact et de volume), appliquées au système soit nulle soit nulle..
Fext 0 Τ O M Fext/O 0
O est un poi p oint nt quelconque Après projection sur le système d’axes choisi, on obtient six obtient six équations. équations.
4) Système isostatique isostatique ou hyperstatique hyperstatique a - Système isostatique Un système est isostatique ou statiquement déterminé si le nombre d’inconnues (forces), est égal au
nombres d’équations d’équilibre. Le
problème est déterminé.
mathématiquement
b - Système hyperstatique Un système est hyperstatique si le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations d’équilibre. Le problème est mathématiquement indéterminé. On lève l’indétermination en prenant en compte la déformation du système ( petites déformations et compatibilité géométrique). géométrique).
c - Remarque On ne doit faire aucune hypothèse sur les forces extérieures inconnues. inconnues. En
d’autres termes, on ne connait ni leurs
directions, ni leurs sens, ni leurs intensités. La détermination de ces
caractéristiques fait l’objet de la
résolution du problème.
Exe xerrci cic ce3 : On considère le système de vecteurs liés suivant :
(O, F 1 ) ; (G, F 2 ) ; (F, (F, F 3 ) (O, F 4 ) ; (A (A, F 5 ) ; (B, (B, F 6 ) Avec,
F 1 OG ; F 2
F 4
GF ; F 3 FE FE
AB ; F 6 BE BE OA ; F 5 AB
Déterminer : 1) la résu sult lta ante F ext ext . 2) le mo mome ment nt ré résu sult ltan antt en O
M F / O
.
z G D
F E
O C A x
B
y
Exercice 4 Déterminer la tension du fil T et la réaction R R au au point O point O pour pour que la tige OA OA,, de longueur L et L et de masse m, soit en équilibre ( voir figure cidessous).
z
x O
Articulation
T G
mg
A y
Exercice 5 Déte Déterm rmin iner er la réact réactio ion n R A du mur mur li lissse et la réaction
R B
du so so l
rugueux qu qui
assurent
l’équilibre de la tige AB AB,, supposée homogène supposée homogène de
longueur 2L 2L et et de masse m, dans le plan vertical (Oyz Oyz). ). On donne .
A
z G
x O
mg
B
y
Chapitre II NOTIONS DE BASE
I Introduction 1) Qu’est-ce que la R.D.M. La résistance mécanique des matériaux (R.D.M. R.D.M.)), concerne leurs aptitudes à supporter les efforts extérieures auxquelles ils sont soumis (traction, compression, compression, cisaillement, flexion, fle xion, etc…)
2) But de la R.D.M. Le but but de de la R.D.M. la R.D.M. est d’assurer qu’on utilise, dans une pièce donnée une quantité minimale de matériau, matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : Résistance - Rigidité - Stabilité Endurance - Résilience
a - Résistance La pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées.
b - Rigidité Lorsqu’elle est sollicitée, la pièce ne doit
pas subir de déf éfor orma mati tioons excessives (E.L.S.).
c - Stabilité La pièce doit conserver son intégrité géométrique afin d’éviter les conditions (flambement). ). d’instabilités (flambement
d - Endurance Si elle est soumise à un chargement répété, la pièce doit tolérer doit tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de soll so llic iciita tattio ion ns va vari riab able less (f (fatigue des matériaux).
e - Résilience Dans le cas ou un chargement dynamique est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une certaine quantité d’énergie sans s’en tr trouver trop endommagé (résistance (résistance au choc). choc).
II Hypothèses de base Ces hypothèses Ces hypothèses permettent permettent de réduire de réduire la complexité des des déve dévelo lopp ppem emen ents ts mathématiques tout en conservant une certaine généralité. Ces hypothèses de base concernent la continuité, continuité, l’homogénéité l’isotropie homogénéité,, isotropie,, le s déformations et déformations et les forces les forces internes du matériau étudié.
1) Continuité Le matériau est continue, c’est-à-dire ne comportant ni comportant ni fissures ni cavités. cavités.
2) Homogénéité En tout point, le matériau possède les mêmes propriétés chimiques. chimiques. La plupart des matériaux d’ingénierie satisfont à ce critère (à l’échelle macroscopique). macroscopique).
3) Isotropie Les propriétés Les propriétés physiques sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions. La plupart des matériaux sont isotropes à l’échelle macroscopique. macroscopique.
4) Déformations Les déformations ont une influence négligeable sur la position des points
d’application ou sur la direction des
forces extérieures.
5) Forces internes Aucune for force ce in inte tern rnee n’agit da dans le matériau avant l’application des charges externes (état (état initial). initial).
6) Remarque Les forces internes, dites résiduelles dites résiduelles sont sont souvent présen ésenttes dans les matéria riaux. Elle résultent en général du processus du processus de fabrication (pliage, soudage, etc…). On tient compte de ces forces résiduelles en diminuant la force trouvée ou en augmentant le section (On prend une certaine sécurité certaine sécurité). ).
III Méthode de résolution On résout un problème de R.D.M. selon une démarche systématique qui comporte trois étapes fondamentales :
l’étude des forces et des conditions d’équilibre; l’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique;
l’application des relations forces-
déformations (E.L.S.).
1) Forces et les conditions d’équilibre
Fext 0 Τ O M Fext/O 0
O est un poi p oint nt quelconque Possibilité d’obtenir jusqu’à six équations
2) Déplacements et compatibilité géométrique
Une structure conserve sa continuité et son intégrité apr après ès avo voiir été été défo déform rmée ée sous l’action des charges externes ou celle ce lle de variations de température. Il est donc nécessaire d’étudier les déformations que déformations que subit chacun des composants de la structure et d’examiner les déplacements qui en résultent.
Exemple
Notions de compatibilité géométrique
3) Relations forces-déformations Avec l’application de de ces relations (rela elati tion onss co cons nsti titu tuti tive vess), nous faisons intervenir les propriétés du matériau et nous relions les forces étudiées à la première étape de résolution aux déformations analysées à la seconde étape.
IV Contrainte 1) Forces internes Les for forces int intern ernes es prise en compte sont celles due aux sollicitations exte extern rnes es et capa capabl bles es de dé défo form rmer er le matériau. La R.D.M. La R.D.M. consiste consiste à dimensionner à dimensionner le matériau pour qu’il supporte l’action des forces des forces internes sans internes sans se détériorer.
2) Etat des forces internes On étudie dans un système d’axes (xyz), le point interne I d’un corps soumis à des forces externes F , F .......F . 1
2
I
n
Le plan m est normal à l’axe des x et passe par I. La I. La section est section est soumise à des forces internes variant internes variant en intensités et en direction d’un point à un autre.
Au point I, une force une force d’intensité moyenne … agit sur sur l ’élément de surface ΔA . F. agit
x
F Fx F y F z
ΔA x
ΔyΔz
L’intensité moyenne de chacune de ces composantes,, par unité composantes unité de surface est :
Fx F F y z ; ; A x A x A x
(∆Fx/∆Ax) : la force interne agit dans la direction normale normale à la face face considérée. considérée. (∆Fy/∆Ax et ∆Fz/∆Ax) : la force interne agit parallèlement agit parallèlement à la face considérée. face considérée. Si ∆Ax tend vers 0, ces trois rapports tendent vers des limites qu’on définit comme étant les composantes des contraintes qu qui agissent sur la surface normale à l’axe des x au point I.
3) Etat de contrainte a - Définition Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce. est homogène à une une pr pres essi sion on et est σ es exprimé en mégapascal (MPa MPa)) o u e n Newton par millimètre carré (N/mm² (N/mm²). ).
b – Contrainte Contrainte normale Les contraintes normales notée σ, sont définie par les relations :
xx
x
lim
A x 0
yy
y
lim
A y 0
zz
z
lim
A z 0
Fx A x Fy A y Fz A z
c – Contrainte Contrainte de cisaillement La contrainte de cisaillement ou tangen tangentie tielle lle notée notée , est définie par la relation : xy
yx
zx z x
lim
Fy A x
lim
Fx A y
lim
Fx A z
A x 0
A x 0
A z 0
et
et
et
xz
yz
zy z y
lim
Fz A x
lim
Fz A y
lim
Fy A z
A x 0
A y 0
A z 0
Convention de signe d – Convention Une face est positive lor lorsque sa normale externe est externe est dirigée dans le sens positif sens positif d’un axe axe.. Une contrainte est positive lorsqu’elle agit dans le sens positif d’un axe axe,, sur une face positive ou dans le sens négatif sens négatif d’un axe axe sur sur une face négative. négative.
Les mêmes composantes de contrainte agissent au point I sur la partie droite du corps sectionné (principe de la coupe: solide en équilibre en deux parties). parties ).
Etat de contrainte en un point e – Etat Etat de con onttra raiinte au poi oin nt I montrant toutes les composantes de contraintes sur les faces négative négativess et leurs leurs contre contrepart parties ies (primées) sur les faces positives. Lorsque les dimensions dimensions ∆x, ∆y et ∆z de l’élément tend tenden entt vers vers zéro, la valeur des composantes primées tend vers celle de leurs contrepartie non primées.
Réciprocité f – Réciprocité Les relations Les relations qui qui régissent les contraintes les contraintes de cisaillement sont cisaillement sont les suivantes :
x xyy y yxx ; y yz z zy ; x xz z zx
V Déformation 1) Présentation Sous l’action des forces externes et externes et des variations des variations de température, température, le corps se déforme : déforme : le point I se déplace en I’, le point A en A’, le point B en B’ et le point C en C’.
Trois éléments parallèles aux axes de référence avant déformation ; leur position relative et leur longueur après longueur après déformation.. déformation
Les angles Les angles entre entre les segments de référence ne sont plus les mêmes.
2) Déformation normale La déformation normale notée est le quotient de la variation de longueur par la longueur initiale, lorsque celle-ci tend vers zéro. ε xx ε x
lim Δx
Les trois déformations normales :
ε yy ε y
lim Δy
ε zz ε z
0
0
lim Δz
0
I' A'IA IA
I' B' IB IB I' C' IC IC
3) Déformation de cisaillement La déformation de cisaillement notée est la tangente de la variation d’un angle originellement droit lorsque les côtés, qui sous-tende l’angle tendent vers zéro. γ xy γ yx
lim 0 Δx Δ y0
Les trois déformations de cisaillement cisaillement :
γ yz γ zy
2
A' I' B')
lim
π B' I' C') tan ( 2
lim
π tan ( A' I' C') 2
Δy 0 Δ z 0
γ xz γ zx
tan (
π
Δx 0 Δ z0
3) Convention de signe Une déformation Une déformation normale normale est positive est positive a allongement.. lorsqu’il y a allongement Une déformation de cisa cisail ille leme ment nt est positive,, lorsque l’angle droit, sous-tendu positive par les côtés dirigés selon le sens positif d’axes de référence, diminue référence, diminue..
VI Relations constitutives 1) Notions de base Les relations Les relations constitutives décrivent le comportement de des matériaux et font inte interv rven eniir les les prop propri riét étés és du maté matéri riau au utilisé. On distingue les comportements élastique, plastique et visqueux. En R.D.M. En R.D.M.,, le comportement élastique des matériaux est le plus désiré.
2) Loi de Hooke Elle établit une corrélation entr entree la déformation suivant déformation suivant une direction et la contrainte dans contrainte dans cette direction.
E.ε
E est le module d’élasticité ou module de Young Young ou module module de rigidité. rigidité.
3) Loi de Coulomb Elle établit une corrélation entr entree la déforma rmation de cisaillement et e t la contrainte de cisaillement ou scission ou scission..
G.g
G es est le module d’élasticité en cisaillement ou module d’élasticité transversale ou module de Coulomb.
4) Coefficient de Poisson C’est le rapport de la déformation latérale à latérale à celle de la direction la direction axiale. axiale.
ν -
εt εL
0 ≤ ≤ 0,5 L ≥ 0 ; t ≤ 0
5) Relation entre E et G Cas d’un milieu isotrope milieu isotrope.. C’est la cas de la plupart des matériaux d’ingénierie.
G
E 2(1 ν) ν )
6) Forme généralisé de la loi de Hooke ε
ε
ε
x
y
z
E
1 E
y
1 E
z
1
σ
σ
σ
x
ν
(σ y
σ
ν
(σ x
σ
ν
(σ x
σ
z
)
z
)
y
)
Chapitre III TRACTION COMPRESSION
I Essai de traction simple C’est à Rob Rober ertt Ho Hook okee (Ph Phys ysic icie ien n et astronome anglais 1635-1703) que revient le s premières études expérim rimenta entalles sur l’élasticité des matériaux (en 1678 (en 1678). ).
Analysons l’effet d’un essai de traction sur une longue barre (ou un fil ) en métal.. métal
Fil métallique Comparateur
L
Charge
0
palpeur
II Diagramme II Diagramme contrainte-déformation F S rupture
Elasticité Plasticité Rupture
Seuil d’élasticité
limite
O
L = L
S et L sont respectivement la section et la longueur initiales longueur initiales du du fil métallique.
Piston Dispositif coulissant
De la pompe
huile
Manomètre
Eprouvette
Mâchoires de fixation
Machine de traction
F
S
Coupe longitudinale
d’une éprouvette
L
en traction
- F
Diagramme contrainte-déformation de l’acier à l’aide d’une machine de traction-compression F S
rupture limite
O
Elasticité Plasticité L L
Diagramme contrainte-déformation de la fonte la fonte (matériau fragile) fragile) F S
Elasticité Plasticité
rupture limite
O
L L
Diagramme contrainte-déformation du marbre F S
Elasticité L L
limite1
O limite2
limite2
limite1
Diagramme contrainte-déformation du béton du béton F S
Elasticité L L
limite1
O limite2
limite2
limite1
III Loi III Loi de Hooke
1) Expression de la loi Loi de Hooke Hooke en en élasticité linéaire (1676) σ E .ε
et
E
σ ε
2) Module d’élasticité E est le module le module d’Young (Thomas (Thomas Young: Young: Médecin et physicien anglais 1773-1829) 1773-1829) ou module ou module d’élasticité longitudinale longitudinale..
E est exprimé en
2 N/m ou Pa Pa..
3) Remarque La loi de Hooke de Hooke est est en effet une loi une loi locale. locale. Con Co nsidér idéron onss un tron tronço çon n d'ép 'éprouve ouvett ttee de longueur infiniment petite b et qui subit un allongement b. S b Tronçon d’éprouve d’éprouvette tte
En tout point M de la section S, la contrainte est définie par :
F ΔF Eε (M ) σ(M) lim S Δ S 0 Δ S
Pour un mat matér éria iau u ho homo mogè gène ne,, l’effort normal est normal est répartie dans chaque section de façon uniforme. façon uniforme.
σ(M) Ct e
ΔF ΔS
F
Δb
S
b
E
E
ΔL L
4) Quelques valeurs du module de Young Young Matériau Acier de construction Cuivre Bois Fonte Aluminium Verre Béton
E en GPa 210 124 3 à 20 8 3 à 17 0 69 69 20 à 50
Exercice 1 Un barreau rectiligne de section constante S = 6 cm2 et de longueur longueur L = 4 m est soumis à une tension axiale F = 126 2600 000 0 N. Trouver son module de Young sachant que son allongement total est L=0,40 cm. cm.
IV Dimensions après traction ou compression
1) Dimension longitudinale L'expérience montre que lors d’un essai de traction ou de compression d’une d’essai, barre la dimension longitudinale su subit une augmentation ou une diminution une diminution..
σ
F S
et
ε
ΔL L
F : la charge
L : la longueur initiale initiale
S : la section
∆L : la variation de longueur
FL donne ΔL ES pourr une une tract traction ion.. ∆L > 0 pou ∆L <
0 pour pour une une compr compressio ession. n.
2) Rigidité du barreau La rigidité du du barreau notée K est donné par la formule suivante : K
F
ΔL
ES L
3) Remarque Pour toute variation de charge ou de section,, il faut faire intervenir une section longueur longueur infinitésim infinitésimale ale dL et écrire écrire : Δ(dL) L
ΔL
F ES F
dL
ES dL 0
F est la charge charg e appliquée à
l’élément dL
Exercice 2
Un fil d’aluminium de 30 m de long est soumis à une contrainte de tension de 700 de 700 l ’allongement total du fil.
2 Kg/cm
. Calculer
4) Dimension transversale L'expérience montre que lors d’un essai de traction d’une barre d’essai, la dime di mens nsio ion n tr tran anssve vers rsal alee su subit une diminution.. diminution
On pose :
εt ν εL
0 ≤ ≤ 0,5 L ≥ 0 ; t ≤ 0
est le module de Poisson (savant franç fra nçai aiss 17 1781 81-1 -184 8400), ou mo module de compression transversale. transversale.
5) Variation du volume a Ap.déf
a
Av.déf
(1+ t)a
(1+ L)a
La variation du volume de l’élément cube découpé dans la barre d’essai est: Δ V a (1 ε L ) (1 ε t ) a 3
2
3
a (1 ε L ) (1 ν ε L ) a 3
2
(1 - 2 ν ) ε L a (1 2 ν ) ΔV V
(1 2 ν )
ΔL L ΔL L
3
V
3
D’ap D’aprè rèss l’ex l’expé péri rienc ence, e, le volume d’une barre ne peut pas diminuer en traction, traction, alors :
0 ν
1 2
matériau homogène
6) Quelques valeurs du coefficient de Poisson Matériau Cuivre Aluminium Acier de construction Laiton Fontes Verre Béton
0,33 0,33 0,27 à 0,30 0,37 0,21 à 0,26 0,18 à 0,30 0,20
V Coefficient de sécurité pour les charges en traction En pratique on affecte à la limite élastique des matériaux limite, un coef coeffi fici cien entt dit de sécurité compris entre 1 entre 1 et et 10 10.. Condition de résistance :
σ maxi
σ limite α
Exercice 3 Un barreau carré d’acier de de côté a côté a = 5 cm et cm et de longueur longueur L=1m est soumis à une tension axiale F=32.104 N N.. 1) Calculer l’allongement du barreau. 2) Déterminer la diminution de la dimension latérale due à cette charge.
VI Traction d’un barreau suspendu sous l’effet de son poids O
O z
dz
S
L z
S
L z
Le tronçon élémentaire est en état de traction de traction sous l’effet du poid oids du matér atéria iau u situ situéé au dessous de ce tronçon. -N
dz
N= gS(L-z).k Son allongement est: Δ(dz)
N(z N(z ) ES
dz
ρgS(L z ) ES
dz
L’allongement total du barreau est donné par : zL
ρg N(z N (z)) ΔL dz ES E z 0
L
(L z)dz
z 0
z L
z ρgL ρgL ΔL Lz E 2 z 0 2E 2
ρg
ΔL
mgL 2ES 2ES
2
Exercice 4 Un barreau carré de bronze, de section constante de 49 de 49 cm2 et de longueur 6 longueur 6 m, est fixé rigidement au sol. Sa base supérieure est soum oumise à une charge de compression compression de 5000 de 5000 Kg. Kg. 1) Calculer la contrainte normale de compression et déduire les nouvelles dimensions du barreau. 2) Que deviennent ses dimensions si on tient compte compte du poids du barreau barreau ? ? On donne: bronze= 0,008 Kg/cm3.
VII Dilatation thermique Une variation de température température entraine entraine généralement un allongement ou un raccourcissement. La raccourcissement. La déformation due à la dilatation thermique est thermique est donné par :
εT
α ΔT
est le coefficient de dilatation dilata tion thermique. T est l’écart de température.
L’allongement ∆LT correspondant à la variation de température se calcule par :
ΔLT
ε T L αL ΔT
VIII Cylindre à paroi mince sous pression 1) Cylindre ouvert a - Géométrie du cylindre Cylindre
supposé infiniment long. L’épaisseur t est beaucoup plus petite que le rayon moyen R ((t/R) ((t/R) < (1/10)). (1/10)). La contrainte La contrainte est est supposé être uniforme être uniforme dans toute l’épaisseur de la paroi.
se fait dans le système de coordo rdonnées L’étude se cyli cylind ndri riqu ques es (x, (x, r, ), à cause de la géométrie axisymétrique du axisymétrique du système.
b - Contrainte circonférentielle
Projection verticale :
N est la force par unité de longueur du tirant circulaire.
σc σθ
N t
PR t
c - Remarque Les autres forces sont nulles, nulles, donc les contraintes correspondantes sont aussi nulles,, d’où : nulles σ r σ x
τ r θ τ xθ τ xr 0
d - Déformations
L’allongement circonférentielle (∆C) du cylindre de longueur initiale 2πR et de section bt est donné par : ΔC
ΔC
F (2π (2π R) btE bt E
(2π R) σ c (2π E
N (2π (2π R) tE
2
2π R P tE
Du point de vue pratique, c’est la variation ∆R du du rayon qui nous intéresse. Cf 2 R C
2 (R R) D’où : ΔR
ΔC
2π
2
PR tE
2) Cylindr Cylindree fermé fermé a - Géométrie du cylindre Le cylindre est bouché au aux deux extrémités. La pression exercée sur les bouchons crée par conséquent une tension longitudinale dans la paroi du cylindre, laquelle se superpose à la contrainte circonfér circonférentielle entielle..
Une coupe Une coupe transversale à l’axe du du cylindre permet de calculer la contrainte x agissant sur la section annulaire (2 Rt).
πR 2 2πRt
b - Contrainte longitudinale x génère
une force Fx = 2 Rt x.
La pression exercée sur la surface du bouchon se traduit par une force Fp = P R 2. Equilibre, d’où :
x
PR 2t
et
x
c
2
c - Remarque La
conduite se rompra en premier lieu le long du cylindre. Les
autres forces autres forces sont sont nulles nulles,, donc les contraintes correspondantes sont aussi nulles,, d’où : nulles σ r τ r θ
τ xθ τ xr 0
d - Déformations
L’allongement ∆x qui en résulte pour la longueur caractéristique caractéristique b est : x
x
.b
E
PR P Rb
2tE
Chapitre III CISAILLEMENT
I Définitions Toute force agissant le long d’un plan en travers d’un matériau est appelée force de cisaillement ou effort ou effort tranchant notée tranchant notée généralement T.
L’effort tranchant divisé par la surface
sur la quelle il agit est appelée contrainte appelée contrainte de ci cisa sail ille leme ment nt notée notée géné généra rale leme ment nt (contrainte moyenne). moyenne).
II Hypothèses On admet que la contrainte de cisaillement est constante dans constante dans la section subissant subissant la force de cisaillement. Dans le cas d’une section circulaire, circulaire, la contrainte moyenne ne vaut que les trois les trois quarts de quarts de la contrainte au centre au centre de la section,, calculée par une théorie plus section élaborée.
III Réciprocité Considérons une pièce en forme d’un cube, d ’arrête a, dont les quatre faces sont soumises à des effort effortss tra tranch nchan ants ts comme l’indique la figure ci-après : F1
F1 = 1.S F2
F2 = 2.S F3 = 3.S
F4 F3
F4 = 4.S
1
O
2
k
4
j 3
i
L’équilibre du cube est assuré par les
relations :
1= 2= 3= 4=
III Distorsion Les angles Les angles droits aux droits aux sommet du carré, subissent une distorsion une distorsion.. La diminution La diminution de l’angle au sommet du carré, représentée ici par l’angle définit la déformation de cisaillement (exprimé en radians en radians). ).
/2
/2
Les expériences montrent que le diagramme de cisaillement a généralement la même allure que celui de traction ou de compression.
III Module de cisaillement Dans la zone la zone d’élasticité, la contrainte et la déformation de cisaillement sont liées par une relation une relation linéaire. linéaire.
τ G γ G est le module le module de cisaillement (ou cisaillement (ou module module d’élasticité transversale transversale ou ou encore module encore module
de Coulomb) Coulomb) ayant la dimension de N/m2 (ou Pa (ou Pa). ).
IV Condition IV Condition de résistance Comme dans le cas de la traction et de la compression, on considère en pratique la limite élastique (en cisaillement) admissible maxi. Nous avons :
τ max
τ limite α
Condition de résistance
Exercice 1 L’assemblage de la figure ci-après est utilisé
pour déterminer la résistance au cisaillement d’un joint d’un joint collé. collé. Pour une charge de 1200 de 1200 Kg à Kg à la rupture, rupture, quelle est la contrainte moyenne de cisaillement dans le joint ? Quelle sera la charge qu’il ne faut pas dépasser si le coefficient de sécurité vaut 6 vaut 6 ? ?
P
12 mm 36 mm
Joint collé
Exercice 2 Un poinçon Un poinçon circulaire 2 cm de diam diamèt ètre re util utilis iséé pour poinçonner un trou dans une plaque une plaque d’acier de 12 de 12 mm d mm d épaisseur. Si la force nécessaire pour faire pénétrer le poinçon dans la plaque est est 3.10 3.105 N,, N
calculer
la
contrainte
de
cisaillement
maximale maximale développée dans le matériau. matériau.
P
Exercice 3 On veut étudier le cisaillement d’un bloc parallélépipédique en élastomère en élastomère collé collé entre une plaque rigide et un support fixe comme co mme le montre la figure. Calculer l’angle de glissement
g et le
déplacement a sach sachan antt que: que: L=10cm, L=10cm, b=5cm, b=5cm, h=2.5cm G=800 KPa et KPa et T=100 T=100 daN. daN.
L b
T h Plaque rigide
Bloc en élastomère Support fixe
Avant déformation
h
Après déformation
a h
T
Chapitre IV TORSION
I Expérience
Etudions l’effet d’un essai de torsion sur un rouleau un rouleau en caoutchouc en appl appliq iqua uant nt à ses extrémités deux couples égaux et opposés.
Pour illustrer la déformation de ce matériau, on réalise sur sa surface un tracé sous forme d’un treillis treillis de de lignes lignes orthogonales comme orthogonales comme le montre la figure ci-contre.
Etat non déformé
Etat déformé
Après déformation, les lignes circulaires conservent leur forme, tandis que les lignes parallèles à l’axe du rouleau deviennent hélicoïdales deviennent hélicoïdales..
Mt
- Mt
z
II Torsion-cisaillement La torsion du rouleau induit un cisaillement. En effet, dans le cas des petites déformations, les déformations, les sections voisines glissent l’une par rapport à l’autre. Les contraintes sont donc tangentielles sur chaque section section tra transv nsversa ersale le (contraintes de cisaillement). cisaillement).
Considérons deux sections voisines séparées distantes de dz de dz.. O
r
d
dz
d
d d
: angle de cisaillement (d torsion. : angle de torsion.
).
d tan (d ) d g r dz
Remarque : D’après la relat elatio ion n précédente, les angles d et d doivent être exprimés en radians.
III Contrainte de cisaillement Le déplace déplacemen mentt tan tangen gentie tiell de la face supérieure supérieure du disque mince par rapport à la face inférieure et inférieure et à une distance r donnée,, est : rd donnée : rd .
Considérons, dans ce disque ce disque mince (car mince (car dz <<1), <<1), un petit cube comme le montre la figure ci-dessous. dr r.d d d
dz
La surface supérieure du cube élémentaire est : dS = rdrd . La contrainte de cisaillement s’écrit : d τ G γ G dα G r dz
Pour un matériau un matériau homogène l’angle de torsion varie linéairement en fonction de z de z.. d dz
ct e
(L) (L)
(0) L
Dans ce cas, la contrainte de cisaillement varie linéairement en fonction de r et atteint sa valeur sa valeur maximale sur maximale sur le contour du rouleau. rouleau.
τ Cr avec CG
d dz
G
(L) (L)
(0) L
max k Oz
IV Moment IV Moment de torsion La force élémentaire de élémentaire de cisaillement est donnée par : dT τ dS G
d dz
2
.r drd drdθ
car d τ Gr et dS rdrdθ rdrdθ dz
dT
k
Oz
r
Le moment de torsion total qui s'exerce sur la section transversale est :
Mt
r τ dS G S
d
r dS dz 2
S
La quantité La quantité positive définie positive définie par :
I Oz
r dS 2
S
est Le momen momentt qu quad adra rati tiq que de de la section par section par rapport à son axe Oz. Oz.
I Oz
R
2π
r dr dθ
r 0
3
θ 0
4
π R 2
πD
4
32
R et et D D sont sont respectivement le rayon et le diamètre du rouleau d’essai.
Comme le moment de torsion est uniforme le le long du rouleau alors nous avons :
M t r τ dS GIOz
(L) (0) (L)
S
Mt I Oz
τ r
G
L
(L) (L)
M ext (L) (L)
(0) L
V Condition de résistance On considère en pratique la limite élastique admissible maxi. La condition est donnée par :
τ maxi avec
τ maxi
τ limite α M t r maxi I Oz
Exercice 1 Une éprouvette cylindrique en cuivre, de 2,5 de 2,5 cm de diamètre et de 1 m de longueur, est soumise à un couple de torsion de 210 Nm Nm comme le montre montre la figure. Calculer Calculer le module module d’élasticité transversale du cuivre testé sachant que l ’angle de torsion à l’extrémité ch chargée est de 4,9 degrés.. degrés
z=0
Section encastrée
z=0 z=L Mt
z=L Mt
Exercice 2
En
reprenant
les
données
de
l’exercice
précédent, calculer la contrainte de cisaillement maximale.
Exercice 3 Un tournevis est soumis à un moment de torsion Mext = 210 Nm comme le montre la figure. Le tronçon métallique AB AB à à une longueur L=200 L=200 mm et un diamètre d=7 mm. mm. Sachant que l’angle de torsion est (B)=14,9° (avec (A)=0°) 1) Calculer le module de cisaillement G de la tige métallique. 2) Déduire la contrainte de cisaillement maximale.
Vis A
B
L
A
Mext= MB=- MA B
V Concentration des contraintes Si la pièce cylindrique (arbre de transmission, outil ou autres) présente une brusque variation de section (gorge gorge,, rainur rainure, e, ép épau aule leme ment nt et etc.) ou bien que la pièce n’est plus cylindrique, alors la relation donnant l’expression de la con contrai train nte maxi maxima male le n’est plus valable à cause de la concentration la concentration des contraintes.. contraintes
τ max
d M t r max d G r max . ; r max dz I Oz 2
L expérience montre, dans montre, dans ce cas, cas, que la contrainte maximale est donnée par la formule : τ
' max
k.τ τ max ; où τ max k.
M t r max I Oz
k est est le coefficient le coefficient de concentration de contrainte. contrainte.
Chapitre V FLEXION
I Généralités 1) Présentation du prob problème lème Une poutre Une poutre horizontale suspendue horizontale suspendue en ses extrémités par deux câbles verticaux ou placée sur deux appuis fixes, subit une flexion qu qui se traduit par un changement de courbur courburee.
2) Hypothèses a - Le solide étudié La poutre possède un plan un plan de symétrie vertical.. vertical b - Les forces appliquées Toutes les forces les forces sont sont verticales verticales et et leurs lignes d’action sont dans le plan vertical de symétrie de la poutre.
c - Théorie - Théorie des poutres En théorie des poutres, on considère des fibres,, c'est-à-dire des petits cylindres de fibres matières générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la poutre ») ; la courbe moyenne passe moyenne passe par les par les centres de gravité des sections droites (sections droites (sections perpendiculaires perpendiculaires à la courbe moyenne).
Poutre quelconque
d - Navier et Bernoulli Lors
de la déformation, les sections droites restent perpendiculaires perpendiculaires à à la courbe moyenne. moyenne. La fibre neutre a un allongement nul nul ; ; courbure Les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées étirées.. courbure Les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées comprimées.. La
déformation longitudinale ε varie
de manière linéaire linéaire en en fonction de y. y.
Fibre neutre
Élément d'une poutre fléchie : les : les fibres forment des arcs de cercle cer cle co conce ncentr ntriqu iques es,, les fibres du haut sont donc comprimées et les fibres du bas étirées.
II Définitions 1) Poutre Grosse pièce de charpente horizontale en bois, en béton ou en métal soutenant une construction. 2) Fibre neutre La fibre générée par la courbe la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur lors de la flexion.
3) Flèche La flèche est le dépla déplacem cement ent vert vertica icall u y ( x x ) du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x . Le déplacement u y ( x x ) donne la forme finale de la fibre neutre, et est relié au ra rayon de courbure local courbure local
4) Déformé de la poutre La déformée de la poutre est le graphique de graphique de la fonction u y ( x x ) qui donne la forme la forme de la courbe moyenne. moyenne. 5) Rayon de courbure
C’est le rayon du cercle formé par la courbe moyenne. moyenne.
Pour les faibles déformations :
d 2u y
1 ρ dx 2
III Etude expérimentale des déformations
Dispositif de mesure de la flèche
Test de flexion trois-points sur un échantillon de béton de béton..
1) Variati ariation on de la flèche flèche a - Intensité de la charge Pour une charge appliquée au même point, on constate que la flèche est d’autant plus importante plus importante que que la charge la charge est plus grande plus grande..
b - Position de la charge La flèche La flèche est d’autant plus importante que la charge est est appl appliq iqué uéee lo loin des appuis.. appuis c - Dimension de la section Une poutre fléchit poutre fléchit d’autant plus plus que que sa section se section se trouve située dans sa position sa position de moindre inertie. inertie.
2) Déformations longitudinales
L’expérience fait apparaître :
un plan de fibres neutre qui conservent une longueur constante; les fibres situées au-dessus du plan neutre sont comprimées; les fibres situées au-dessous du plan neutre sont tendues.
3) Déformations transversales locales Dans certaines zones de la poutre (surtout au voisinage des appuis), appuis), on voit apparaître un phénomène de glissement de glissement transversal.. Ces déformations sont transversal négligeables devant les déformations longitudinales.
4) Conclusions La flexion es est une sollicitation complexe po pour laquelle nous retrouvons des notions telles que : la traction; la compression; compression; le glissement longitudinal; le glissement transversal.
5) Remarque Les Les résu résult ltat atss exp expérim érimen enta tau ux obte obten nus ont été énoncés sous forme d’hypothèses hypothèses par par les physiciens Navier physiciens Navier et Bernoulli. Bernoulli.
IV Contraintes et déformations 1) Illustration
Pour illustrer Pour illustrer ce ce type de déformation de déformation,, on considère l’expérience schématisée par la figure ci-après.
Mâchoires
d’un étau fixe
Charge
Etat non déformé
de la surface Ligne moyenne
latérale
Etat déformé
de la surface latérale
Après déformation, les couches les couches supérieures s’allongent tand tandis is que celles du bas se resserrent.. La couc resserrent couche he mo moyen yenne ne conserve pratiquement sa longueur. longueur. Découpons, par Découpons, par imagination, imagination, dans la barre, un tronçon un tronçon de longueur suffisamment petite dL.. dL
dL
d
d 2d
Le segm segmen entt in infi fini nités tésim imal al su sur la ligne moyenne conserve sa longueur dL.
La section transversale reste plane. plane. Par conséquent le raccourcissement et l’allongement de des couches sont proportionnelles à proportionnelles à la distance la distance transversale de ces couches mesurée à partir de la ligne moyenne.
La cont contra rain inte te no norm rmal alee da dans chaque couche est proportionnelle à son allongement ou à son raccourcis-sement. raccourcis-sement.
ε my
m coefficient coeffic ient de proportionnalité. proportionnalit é.
│y│distance par rapport à la fibre neutre.
σ Eε Em y
y
max
x
+
a
(y)
z dx
σ σ max max est
2y a
la contrainte la contrainte normale au normale au niveau de la couche la plus éloignée de la ligne moyenne.
Remarque: l’effort normal exercé normal exercé sur la secti section on tran transv sver ersa sale le droite du tronçon élémentaire est élémentaire est nul. a/2
F
b/2 b /2
dz σ
a/2 b b/2 /2
2y max
a
dy 0
b dé désigne la largeur de de la section
transversale.
V Moment de flexion 1) Calcul du moment Calculons le moment le moment de flexion exercé flexion exercé sur la section transversale. a/2
M f
-
y dF
a/2
a/2
M f
-
b/2 b /2
σ max
b/2 /2 a/2 b
-
b σ max a
2y a
2
dy dz
2
6
Ce moment est compté négatif compté négatif d’après le sens le sens conventionnel de conventionnel de la figure.
M f σ max
avec
a/2
I Gz
b/2 b /2
I Gz (a/2) ba
3
y dy dz 12 2
b /2 a/2 b/2
IGz est le moment quadratique de la section transversale par rapport à son axe de rotation Gz rotation Gz..
2) Moment de résistance Le moment de résistance de la section transversale est donné par : WGz
D’où :
I Gz (a/2)
I Gz y max axi i
M f σ max WGz
3) Moment admissible Les moments de flexion admissibles flexion admissibles dans dans le domaine de l’éla élasti sticit citéé lin linéair éairee sont donnés par l’inégalité inégalité suivante suivante :
Mf
σlimite WGz Mlimite
4) Remarques Dans Dans le cas de la déform déformati ation on de flexion de flexion pure,, le moment de flexion est pure proportionnelle à la contrainte normale maximale. Dans le cas de l’exemple ét étudié, le moment de flexion es est le même dans tou toutes tes les section sectionss tra transv nsversa ersales les de la barre (ou poutre).
Le mo moment de flexion est le même dans toutes les sections transversales de la barre (ou poutre), puisque son poids est négligé et négligé et que la barre n’est sollicitée qu’en ses extrémités par un couple.. Dans ce cas on dit qu’il s ’agit couple d ’une flexion pure. pure.
Principe de la flexion simple d’une poutre
Si la barre (ou la poutre), supporte des charges localisées ou localisées ou des charge des charge réparties ou que son poids son poids n’est plus négligé, alors chaque section transversale droite transversale droite subit subit à la fois un moment fléchissant Mf et un effort tranchant noté tranchant noté T. On dit qu’il s’agit d ’une flexion simple. simple.
Fonctionnement du béton armé en flexion
VI Equation de la déformée
G
Tangente(G)
G’ Tangente(G’)
tg t gα
dy dx
α
2
dα dx
en plus
dα 2d
dy
dx
2
Loi de Hooke appliquée à la couche supérieure,, donne : supérieure σ max
a 2 d E 2 dx
sachant que :
a dα E 2 dx
M f - σ max
E
a d2y 2 dx 2
I Gz (a/2) 2
nous obtenons :
M f
EI zz
d z dy
2
L’équation différentielle de la déformée est :
2
d y dx
2
M f EI zz
L’expression du rayon de courbure de
la déformée est donné par : 1
ρ
M f EI zz
VII Calcul de la flèche F -F
Admettons que l'extrémité (x (x = 0) est encastrée est encastrée et et que la section la section est constante.. constante
2
d y dx
2
d’où :
M f
dy
x dx y EI Gz
EI Gz
y(x)
Mex t
1 M ext 2 EI Gz
La flèche ‘maximale’ correspond dans ce cas la position x = L, L, soit :
x
y max
2
1 M ext 2 EI Gz
2
L
VIII Charges 1) Charges concentrées Les charges Les charges sont sont appliquées appliquées en des en des points précis.. En dehors de ces points les charges précis sont nulles. 2) Charges réparties Les charges sont distribuées su sur une certaine longueur de façon uniforme ou non.
3) Intensité de charges
L’intensité de charge notée q (force par
unité de longueur), est donnée par l’équation différentielle :
q lim
Δ x0
ΔF Δx
dF dx
4) Remarque Il est utile, lorsque nous utilisons les équations d’équilibre, de remplacer la charge répartie par sa résultante ré sultante qui qui lui est par définition statiquement équivalente. L
R
L
dF qdx 0
_
R x
0 L
L
xdF qxdx 0
0
L est la longueur de la poutre. poutre.
_
xest le point d’application de la résultante équivalente.
_
La posi positi tion on xest est donn donnée ée par par : L
_
x
qxdx 0 L
qdx 0 _
y
IX Relations différentielles d’équilibre 1) Effort tranchant T dT dx
-q
En intégrant entre deux sections de la poutre définies par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les efforts tranchants sont respectivement égaux à T1 et T2, nous avons : x2
T2
T1 qdx x1
2) Moment fléchissant Mf dM f dx
-T
En intégrant entre deux sections de la poutre définies par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les moments fléchissant sont respectivement égaux à M f1 et Tf2, nous avons : x2
Mf 2 Mf 1 T dx x1
3) Remarques
L’effort tranchant T est égal à la somme
algé al gébr briq iqu ue de dess fo forrces extér extérie ieur ures es situ située ée d’un mê même côté de la section (par convention à gauche). Le moment de flexion Mf est égal à la somme algébrique des moments de moments de toutes les les for forces ces exté extéri rieu eurres situ situéée d’un même côté de la section (p (par convention à gauche). A la section la section précise précise ou T = 0, le moment le moment fléchissant atteint fléchissant atteint une valeur maximale valeur maximale ou minimale
X Etat des contraintes 1) Contrainte normale a - Expression de σ σ max
2y a
par conséquent :
et
σy
σ max Mf
M f I Gz
a 2 IGz
b - Contrainte - Contrainte normale maximum La cont contra rain inte te est maximum dans la section pour laquelle M f est maximum. En plus dans cette section, la contrainte maximale est obtenue lorsque la variable y est maximale. σ maxi y maxi
M f maxi I Gz
M f maxi WGz
c – Condition Condition de résistance La condition La condition de résistance à l’extension du matériau constituant la poutre est :
σ maxi
σ limite α
2) Contrainte de glissement a - Présentation La flexion La flexion simple introduit simple introduit des contraintes des contraintes de cisaillement longitudinale égalent aux cont co ntra rain inte tess de ci cisa saiill llem emen entt tr tran ansv sver ersa sale less d’après la la règle de réciprocité des contraintes.
b – Expression Expression de Iso Isolon lons la po port rtiion de poutre sit situ uée auaudessous du plan d’ordonnée Y et soit une fibre tendue de tendue de section ds et d’ordonnée y. y. b
dx
S1 G
G1
z Y
y
S2 G2
x
d s1
1 d s
a/2 σ ds 2
σ ds 1
y
ds
y
2
ds
Le tronçon isolé est en équilibre donc le torseur associé au système de forces extérieures se extérieures se réduit en G1 à :
Fext 0 Τ G M Fext/G 0
1
1
F
0
extt ex
entraine :
1
2
1
2
σ ds σ ds τ ds τ ds τds
1
0
soit en projection sur l’axe Gx :
σ1ds σ 2ds τ ds1 0
sachant que :
τ ds τ b dx , 1
σ1 y
Mf1 IGz
et σ 2 y
nous avons : a/2
y ds
τ b dx (M f2 M f1 )
Y
a/2
I Gz
y ds
τ b dx dMf
Y
I Gz
M f2 I Gz
a/2
d’où :
y ds
τ b dx dMf
Y
I Gz
a/2
et :
τ b
dMf dx
y ds
Y
I Gz
Par définition, W = ∫yds est le moment statique de de la portion de section (S) d’ordonnée comprise entre Y et a/2. Elle est positif et son unité est le mm3. dMf dx
a/2
y ds
- T et W
Y
finalement :
τ
TW
b I Gz
Exercice 1 Une poutre de longueur L, posée sur deux appuis O et A supporte une charge uniformément répartie q. 1) Déter Détermi miner ner les les réact réactio ions ns aux aux app appui uiss O et et A. Donner les expressions de l’effort tranc anchant ant et du moment fléch échissant le long de la poutre. Retrouver les équations différentielles d’équilibre. d’équilibre. 2) Tracer racer les diagram diagramme mess T(x) T(x) et Mf (x). 3) Appl Applica icati tion on numé numériq rique ue : q = 40 daNm daNm-1et L = 4m.
y
q A
O
x
Oz
q est une force par unité de longueur (q= constante). constante). La poutre repose sur un appui un appui fixe au point x = 0 et sur un appuis un appuis mobile au point x point x = L. L.
Etudions l’équilibr équilibree global global de de la poutre. y R(O)
+ q
R(A) A
Oz L R(O) R(A) q.dx 0 0 L L.R(A) xq dx 0 0
x
1) Calcul des réactions, T(x) et Mf (x)
R(O) R(A)
qL 2
Etud Etudio ions ns main mainte tena nan nt l’équilibre d’un tronçon de poutre de longueur x. q
y x
R(O) T(x) x
z
Calcul de l’effort tranchant T(x) T(x) R(O) qx
T(x) qx
qL 2
Calcul du moment fléchissant Mf (x) M f (x) (x) xR(O)
M f (x) (x)
q 2
x
2
x 2
qx
qL 2
x
Les équations Les équations d'équilibres vérifiées par les efforts les efforts intérieurs appliquée sur une section dro droite ite sont sont : dT q dx (x) dM f (x) T dx
Remarque: Ces équations sont Remarque: indépendantes des conditions aux limites ( limites ( conditions conditions d’appuis ).
2) Diagrammes Diagramme de l’effort tranchant qL/2
Tx L
O
-qL/2
2
L
x
Diagramme du moment fléchissant │Mf maxi │= qL2/8
Mf (x) L
O - qL2/8
2
L
x
Remarques : ction cor correspondant à la valeur La secti maximale du moment de flexion est appelée section appelée section dangereus dangereusee. L’effort tranchant T su subit une discontinuité au niveau des appuis (lieu des forces des forces concentrées). concentrées).
3) Application Application numérique q = 40 daNm-1 ; L = 4 m R(O)= R(A)
800 en N
T(x)
- 400( 400(x-2) en N
Tmaxi
800 N
Mf (x)
200 x 200 x((x-4) en Nm
Mfmaxi
800 Nm
Exercice 2 Une poutre de longueur L, posée sur deux appuis O et A supporte une charge localisée en son centre C. 1) Déter Détermi miner ner les les réact réactio ions ns aux aux app appui uiss O et et A. Donner les expressions de l’effort tranc anchant ant et du moment fléch échissant le long de la poutre. 2) Tracer racer les diagram diagrammes mes T(x) T(x) et Mf (x). 3) Déterm erminer l’expression de de la flèche maximale f c.
j i
F
O
x
C OA= OA =L
k
j i k
A
R(O) O
C
x
T(x T( x)
R(A) A
x
1) Calcul des réactions, T(x) et Mf (x) En tenant compte de la symétrie, on peut écrire : R(O) R(A) j i k
R(O) O
C
x
T(x T( x)
F 2
R(A) A
x
Calcul de l’effort tranchant T(x) Soit M un point d’abscisse x : Zone OC (0 < x < L/2)
T(x) R(O) T(x)
F 2
Zone OC (0 < x < L/2)
T(x) R(O) - F T(x)
F 2
Calcul du moment fléchissant Mf (x) Soit M un point d’abscisse x : Zone OC (0 < x < L/2) Mf (x) (x) xR(O)
M f (x) (x)
F 2
Zone OC (0 < x < L/2) M f (x) (x)
x
x
M f (x) (x)
F 2
F
2
( x
x
FL
2
L 2
)F
2) Diagrammes Diagramme de l’effort tranchant T(x) F/2 L
O
- F/2
2
L
x
Diagramme du moment fléchissant Mf (x)
O
L
x
L 2
- FL/4
│Mmaxi│= FL/4
3) Calcul de la flèche maximale On sait qu’on un point M d’abscisse x situé dans la zone OC, le moment de flexion est donné par : F M f (x) (x)
2
x
L’équation différentielle de la déformée entre O et C est la suivante : 2
EI Gz
d y dx 2
M f
ou
EI Gz
d2y dx
2
F 2
x
L’équation différentielle devient : 2
2EI 2EI Gz d y F
dx
2
x
Intégrons une première fois : 2EI 2EI Gz dy F
dx
x
2
2
C 1
En C milieu de la déformé, celle-ci possède une tangente horizontale
x = 1/2 ; y’ = 0 entraine : donc :
C1
2EI 2EI Gz dy F
dx
2
L
2
x
2
2
2
L
2
Intégrons Intégrons une deuxième fois : 2EI 2EI Gz F
y
x
3
6
2
L
2
x C2
On peut calculer C2 car en O (x=0 ; y=0), ce qui entraine C2 = 0. y
F 2EI 2EI Gz
(
x
3
6
2
L
2
x)
La flèche en C est donné pour x = L/2. 3
f C
f c en mm;
E en Nmm2
FL
48EI Gz
F en N; I en mm2.
L en en mm;
Pr A. AKEF
