Cour Regulation Industrielle

Chapitre1 : Introduction à la régulation industrielle 1- Qu’est-ce que la régulation industrielle ? C’est l’ensemble des techniques utilisées visant à contrôler une grandeur physique de telle sorte que celle-ci garde constamment sa valeur ou reste proche de la valeur désirée, quelles que soient les perturbations qui peuvent subvenir. Pour réguler un système physique, il faut obligatoirement les trois opérations fondamentales suivantes : iMesure : mesurer la grandeur réglée avec un capteur/transmetteur. iiDécision : en se basant sur la mesure, le régulateur doit élaborer le signal de commande qui permet de maintenir la grandeur réglée à la valeur désirée. iii- Action : suite à la décision du régulateur, l’actionneur agit sur la grandeur réglée. Exemple : Régulation de niveau d’eau dans un réservoir

Consigne (niveau référence)

Niveau mesuré Régulateur Commande

eau Capteur de niveau Grandeur régulée (niveau d’eau)

Actionneur

Réservoir

Perte

Figure 1.1 : Schéma de principe d’une régulation de niveau

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1

On peut représenter une régulation sous forme de schéma bloc de la manière suivante : Perturbation Consigne

transducteuur

+

Ecart 

-

Régulateur

Grandeur mesurée

Commande u

Actionneur

Procédé

Grandeur réglée

Capteur /transmetteur

Figure 1.2 : Schéma bloc d’une boucle de régulation

2- Régulation et asservissement Dans une régulation, on s’attachera à limiter les variations de la grandeur réglée autour d’une consigne constante lorsque le système est soumis à des perturbations. Pour d’autre systèmes, la perturbation la plus importante est la consigne elle même. En effet, la consigne peut varier en fonction du temps et par conséquent la grandeur réglée doit suivre les variations de la consigne. On parle, dans ce cas, d’un asservissement.

3- Transmission Deux types de transmission analogique sont couramment utilisés pour la communication entre les différents instruments des systèmes de régulation industrielle.  Transmission pneumatique : utilisée dans les industries pétrolières, pétrochimiques, sidérurgiques… Le signal pneumatique est une pression analogique (air comprimé). Le transmetteur convertit la grandeur mesurée (pression, débit, niveau…) en un signal analogique pneumatique normalisé, variable de 200 à 1000 millibars (mb) soit 3-15 psi. La représentation courante de cette transmission dans le schéma de procédé et d’instrumentation (Process and Instrument Diagram, P&ID) est un trait continu barré comme indiqué sur la figure 1.4.

Figure 1.4 : Schéma d’une transmission pneumatique Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI

2

 Transmission électrique : le signal électrique utilisé est une intensité ( ou une tension) analogique normalisée. Plusieurs échelles sont employées : intensité : 4-20 mA ; 10-50 mA, tension : 0-10V ; 1-11V ; 2.5-12.5V. Le signal intensité, d’échelle 4-20mA, est le plus souvent admis comme normalisée. La représentation courante de la transmission électrique, dans les P&ID, est une ligne en pointillé comme il est représenté sur la figure suivante : ………………. Figure 1.5 : Schéma d’une transmission électrique  Transmission numérique : En numérique, les signaux sont codés en binaire sur 8, 16, 32 ou 64 bits en liaison série ou parallèle. La représentation courante de la transmission numérique, dans les P&ID, est un trait discontinu. --------------------Figure 1.6 : Schéma d’une transmission numérique Souvent, il est nécessaire de faire une transformation du signal intensité en un signal pneumatique. A cet effet, on utilise un transducteur qui permet de convertir le signal électrique normalisé en un signal pneumatique normalisé.

4- Schéma de procédé et d’instrumentation Dans le schéma de procédés et d’instrumentation (P&ID), les instruments utilisés sont représentés par des cercles entourant des lettres définissant la grandeur physique réglée et leurs fonctions. La première lettre définie la grandeur physique réglée, les suivants la fonction des instruments. Un nombre indiquant le numéro de la boucle peut s’ajouter à l’intérieur du cercle. Exemple : Transmetteur de pression

PT Pression

Transmetteur


3

LT

Transmetteur de niveau

FT

Transmetteur de débit

TI

Indicateur de température

Pression Indicateur Régulateur PIC 10

Régulateur Indicateur de pression Numéro de la boucle

LIC

Régulateur Indicateur de niveau

FIC

Régulateur Indicateur de débit

TIC

Régulateur Indicateur de température

Signification de quelques lettres : A C E F I J L P S T V


1ère lettre Analyse Conductivité Tension Débit (Flow rate) Courant Puissance Niveau (Level) Pression Vitesse (Speed) Température Viscosité

4

Lettres suivantes Alarme Régulation (Control) Elément primaire Indication Lumière (Light or Low) Commutateur (Switch) Transmetteur Vanne (Valve)

Exemple : Régulation de niveau Reprenons le schéma de la figure 1.2. Ce schéma devient en utilisant le schéma de procédé et d’instrumentation (P&ID) :

Qe

hd

LIC 1

h

LT 1 Qs

Figure 1.7 : Schéma de procédé et d’instrumentation d’une régulation de niveau d’eau dans un réservoir

Vanne de régulation avec positionneur électro-pneumatique.

Pompe centrifuge.

5- Régulateurs Un régulateur est un organe qui reçoit la valeur d’une grandeur mesurée à partir d’un transmetteur sous forme de signal pneumatique ou électronique standard, le compare avec une consigne et génère un signal d’erreur, puis calcule et transmet un signal de commande fonction de l’erreur à un actionneur (vanne par exemple) qui agit sur le procédé dans le sens de la réduction du signal d’erreur. La fonction d’erreur peut être simple ou obéir à un algorithme mathématique complexe.


5

5.1- Classification des régulateurs Les régulateurs sont classés selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent : a- Pneumatique Ils sont utilisés dans l’industrie chimique du gaz, ne présentent pas de danger d’explosion, de moins en mois utilisés car lents et encombrants, mais le poids du passé est important car beaucoup d’installations sont encore en pneumatique. Sortie : 0,2 à 1 bar (3 à 15 psi). b- Electronique Ils utilisent des signaux analogiques à base d’amplificateurs opérationnels. Sortie : 4 à 20 mA. c- Numérique Actuellement, la plupart des régulateurs sont implantés dans les systèmes de conduite sous forme numérique, c'est-à-dire que la sortie du régulateur est calculée à chaque cycle de traitement en fonction de la consigne et de la mesure. La technologie numérique permet d’avoir une grande souplesse : opération arithmétique, auto ajustement des coefficients, possibilité d’émettre ou de recevoir des données. Le PID reste le régulateur le plus utilisé et le mieux connu, et bien qu’implanté sous forme numérique et avec de nombreuses améliorations, il se présente à l’utilisateur sous une forme très proche de la version initiale continue. 5.2 Aspects fonctionnels des régulateurs PID A- Action proportionnelle L’action proportionnelle consiste à générer une action qui varie de façon proportionnelle au signal d’erreur : u(t) = u0 + Kc e(t) = u0 + Kc (yc(t) – y(t)) où :

u(t) est la sortie du contrôleur, u0 est une valeur d’offset, Kc est le gain du contrôleur, yc(t) est la consigne, y(t) est la mesure de la variable à réguler.

La valeur de u0 peut être ajustée. Puisque u=u0 lorsque e=0, elle correspond à la valeur nominale de l’action autour du point de fonctionnement. Dans l’implantation pratique, u0 est mesurée en % (de même que u). Sa valeur par défaut est fixée généralement à 50%. Le gain Kc est ajustable.


6

La fonction de transfert d’un régulateur proportionnel est C(s) =

U(s)  Kc . E(s)

Un inconvénient inhérent au régulateur P est son incapacité à éliminer les erreurs en régime permanent, après un changement de point de consigne ou une variation de charge. B- Action Intégrale et Proportionnelle Intégrale L’intérêt du régulateur intégral est qu’il permet d’éliminer l’erreur de régulation qui persistait avec un régulateur proportionnel seul. Le régulateur intégral est rarement utilisé seul, on l’utilise avec un régulateur proportionnel. La sortie d’un régulateur PI est de la forme : 1 t u(t) = u0 + Kc (e(t) + 0e(τ)dτ ) Ti La fonction de transfert du PI est : C(s) =

U(s) 1  K (1  ). c E(s) Ts i

Problème de saturation de l’intégrale Un des problèmes du régulateur PI est le phénomène appelé saturation de l’intégrale (reset-windup en anglais). Celui-ci se produit lorsque la sortie du régulateur atteint une limite physique de l’actionneur. C- Action proportionnelle Dérivée L’objectif de l’action dérivée est d’anticiper les variations à venir du signal de mesure en appliquant une correction proportionnelle à sa vitesse de variation. La sortie d’un régulateur PD idéal est de la forme : u(t) = u0 + Kp (e(t) + Td

de(t) ) dt

où la constante Td est appelée temps de dérivée. La fonction de transfert du PD est : U(s)  K p (1  Tds) . C(s) = E(s) En pratique, il n’est pas possible de réaliser un régulateur PD idéal. On utilise en fait un module de dérivée filtrée :


7

C(s) =

U(s) Td s  K p (1  ) Td . E(s) 1 s N

Le réglage de la constante de filtrage Td/N permet d’amortir et de limiter la sortie du régulateur. Le coefficient N (5
Tds

1

t0

t0

t

t



T

d s Td 1  s N

1 t0


N t0

t

8

t

D- Action proportionnelle Intégrale Dérivée Les régulateurs rencontrés sur les installations industrielles combinent les effets P, I et D. La sortie d’un régulateur PID mixte standard, avec filtrage de la dérivée calculée sur l’écart, est donc de la forme : u(t) = u0 + Kp (e(t) + avec

1 t  e( τ)dτ +Td D(t)) Ti 0

Td dD(t) de(t)  D(t)  N dt dt

.

La fonction de transfert du PID standard est :

Td s U(s) 1 ). C(s) = E(s)  K p (1  T s  T d i 1 s N L’effet dérivé est destiné à accélérer la réponse du régulateur. Cette accélération n’est en général pas souhaitée lors des changements de consigne, mais seulement pour corriger une erreur due à une perturbation. C’est pour cette raison qu’il est souvent possible d’utiliser une dérivée sur la mesure seule plutôt que sur l’erreur de régulation. L’effet dérivée n’existe donc que lorsque la mesure y(t) varie (perturbation) et non lorsque la consigne varie (changement de point de consigne).


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Chapitre2 :

Critère de performance d’une régulation 1-

Introduction

Lorsque l'automaticien doit réaliser la régulation d'un procédé il doit d'abord étudier le procédé, et déterminer quelles sont ses grandeurs caractéristiques : entrées, sorties, grandeurs d'état si possible. En suite, il réalise un modèle du procédé. Ce peut être un modèle de comportement ou un modèle de connaissance plus ou moins détaillé (intégrant la connaissance physique que l'on a du phénomène). Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

1

Dans un premier temps, il utilise ce modèle pour réaliser une simulation afin d'examiner la justesse au sein d'un système de commande afin de tester les réponses du procédé simulé face à des variations de consigne ou à des perturbations. Pour cela, il mettra au point une loi de commande qui peut être très simple lorsque l'organe de commande est un P, PI ou PID ou complexe. Ce système de commande a pour but de permettre d'assurer la stabilité de fonctionnement du procédé, de minimiser l'influence des perturbations et d'optimiser les performances globales.

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2

2- Schéma fonctionnel d'un système mono-variable régulé On peut représenter une régulation de la manière suivante : P1

Compensateur C3(s) Yc Consigne

Transducteur E(s)

+

Ecart  -

Fp(s)

Commande

Correcteur C1(s)

+U

+

+

Ampli. de puissance

P2

Actionneur

+

Processus

+

+

Y Sortie

F(s)

Anticipateur C2(s) Ym

Capteur Transmetteur R(s)

Mesure transmise

P1 : perturbation mesurable P2 : perturbation non mesurable.

Figure 2.1 : Schéma fonctionnel général d'un système régulé


3

L'objectif de la régulation est de garder la sortie y aussi voisine que possible de la consigne yc désirée, quelque soit les perturbations. La sortie est mesurée à l'aide d'un capteur/transmetteur indiquant la valeur ym. Cette valeur est comparée à la consigne ("set-point") yc d'où l'écart consigne – mesure : yc - ym. La valeur de l'écart est fournie au correcteur principal qui a pour fonction de modifier la valeur de la variable commande u afin de réduire l'écart  Le correcteur n'agit pas directement, mais à travers un amplificateur de puissance et un actionneur (vanne, moteur, …) auxquels il fournit une valeur u. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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3-

Relations entrées - sorties du système régulé

L'étude complète d'un système asservi exige de connaître les effets de la commande non seulement sur la sortie du processus, mais également sur son entrée de réglage. Dans le premier cas, on considère les performances vis-à-vis de l'utilisation (temps de réponse, précision, ...) alors que dans le second cas, on s'intéresse plutôt aux contraintes que supporte le processus; en effet, des niveaux importants peuvent être atteints durant les régimes transitoires et provoquer ainsi la saturation des organes de réglage. Dans ces conditions, six fonctions de transfert décrivent le comportement de l'ensemble tel que nous l'envisageons.


5

3.1 Fonctions de transfert sur la sortie réglée Y(s) = P2(s) + Fp(s) P1(s) + F(s) [C3(s) P1(s) + C2(s) Yc(s) +C1(s) (E(s) Yc(s) - R(s) Y(s))] Les grandeurs d'entrée de ce système linéaire sont des variables indépendantes de sorte que leurs effets peuvent être isolés (théorème de superposition) - Fonction de transfert en poursuite Hpour (s) = Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

Y ( s) ) P1 0,P2 0 Yc ( s) 6

=

F ( s)[C 2 ( s) E ( s)C1 ( s)] , 1F ( s)C1 ( s) R( s)

- Fonction de transfert en régulation - Partie mesurable : Hreg1(s) =

Y ( s) ) yc 0;P2 0 P1 ( s)

- Partie inconnue : Hreg2(s) =

Y (s) ) yc 0; P1 0 P2 ( s )

= =

F p ( s) F ( s)C 3 ( s) 1F ( s)C1 ( s) R( s)

,

1 1F ( s )C1 ( s ) R( s ) .

Constatations :  La fonction Hreg2(s) montre que le système est insensible à toute perturbation si le produit F(s)C1(s)R(s) maintient un module de valeur très élevée sur une plage fréquentielle étendue.


7

 La partie mesurable (P1) des perturbations peuvent être éliminées s'il existe une fonction de transfert de compensation C3(s) telle que :

C3(s) = -

F p (s) F (s)

.

 La fonction de transfert Hpour(s) montre d'abord que l'anticipateur C2 et le transducteur E permettent un ajustement de la dynamique de poursuite indépendamment de celle des régulations. En suite, le module de valeur élevée du produit F(s)C1(s)R(s) ne peut provenir que du processus F ou du correcteur C1 ou des deux simultanément.


8

3.2 Fonctions de transfert sur la commande : U(s) = C3(s) P1(s) + C2(s) Yc(s) + C1(s) [E(s) Yc(s) - R(s) ( P2(s) + Fp(s)P1(s) + F(s) U(s))] - Fonction de transfert en poursuite L pour (s) =


U (s) ) P  0; P  0 Yc ( s ) 1 2

=

C 2 ( s )  C1 ( s ) E ( s ) 1 C1 ( s ) R ( s ) F ( s )

9

-Fonction de transfert en régulation

- Partie mesurable : Lreg1(s) = - Partie inconnue : Lreg2(s) =

U (s) ) yc 0; P2 0 P1( s )

U (s) ) yc 0;P1 0 P 2( s )

= =

C3 ( s )  C1 ( s ) R( s ) F p ( s ) 1 C1 ( s ) R( s ) F ( s )



C1 ( s ) R ( s ) 1 C1 ( s ) R ( s ) F ( s )

En conclusion, on observe que les 6 fonctions ont un point commun : leur dénominateur directement lié aux caractéristiques du produit F(s)C1(s)R(s) que nous désignons désormais par : T(s)=F(s)C1(s)R(s) la fonction de transfert de la boucle. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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4-

Caractérisation des performances

L'analyse d'un système régulé (asservi) débouche toujours sur un schéma fonctionnel dont la structure générale est présentée sur la figure suivante : Chaîne d’action (directe) G(s)

Yc Consigne

Transducteur E(s)

+

P

Commande

-

Ecart CorrecteurU



C(s)

Processus F(s)

+ +

Y Sortie

Transmetteur

R(s)

Chaîne de réaction (retour)

Figure 2.2 : Schéma fonctionnel d'un système régulé Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Dans la plupart des cas, le compensateur et l'anticipateur n'apparaissent pas a priori, de sorte qu'une partie importante de la synthèse de la loi de commande du processus s'effectue à partir du schéma relativement simplifié de la figure 3.2. La fonction de transfert de boucle a pour expression : 1 T(s) = F(s) C(s) R(s) = K s 

N (s) D( s)

avec deg N(s) = m < deg D(s) = n,  le nombre d'intégrateurs (classe du système), m le nombre de zéro, n +  le nombre total de pôles, K le gain de boucle. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Les fonctions de transfert en BF sont données par des expressions (§3) toutes factorisées par 1/(1+T(s)). Il en résulte, pour ces expressions, un dénominateur commun dont on démontre qu'il est le polynôme caractéristique du système. Les racines du polynôme caractéristique sont les pôles obtenus lorsque le système est bouclé. Ils sont déterminants de la dynamique du système. Pour un système bouclé, il suffit d'effectuer la somme du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert T(s) pour retrouver ce polynôme caractéristique : PC (s)= KN(s) + s D(s). Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Les pôles en BF sont soit complexes conjugués, soit réels et induisent respectivement des modes de comportement oscillatoires ou apériodiques. Quels sont les critères qui permettent de définir le cahier des charges d'un système asservi ?

4.1- Stabilité

a- Définition

Un système est déclaré stable lorsque, soumis à une action extérieure fugitive, il revient dans son état initial. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Le système asservi doit être stable, en d'autres termes les racines du polynôme caractéristique (pôles de sa fonction de transfert de la boucle) doivent être à partie réelle négative, donc se situent dans la partie gauche du plan complexe (Re, Im). Im

Re


Figure 3.3 : Pôles stables 15

- Détermination des conditions de stabilité :  Les méthodes du lieu des pôles sont générales sans restriction d'application. De plus, elles renseignent directement sur la nature du ou des modes instables, mais il est souhaitable de disposer d'un outil logiciel pour la mise en œuvre.  Le critère de Routh  Le critère de revers  Le critère de Nyquist En présence d'un retard on utilise la formule de Padé pour approcher efficacement l'effet d'un retard : 1  0,5Ts  112 T 2 s 2 e Ts  1  0,5Ts  112 T 2 s 2 . Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Cette approximation est très suffisante pour évaluer les conditions de stabilité.

b- Degré de stabilité Un système stable exhibe un comportement transitoire :  lent s’il possède un pôle réel trop proche de l’origine,  oscillatoire mal amorti s’il possède une paire de pôles complexes conjugués proches de l’axe des imaginaires. Ainsi, la stabilité d’un système ne veut pas toujours dire un comportement satisfaisant. Un comportement convenable exige non seulement que les pôles du système aient tous une partie réelle négative mais en plus qu’ils soient situés suffisamment loin de l’axe des imaginaires purs. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Ces considérations justifient l'ajout d'une zone d'exclusion, définie par une droite verticale d'abscisse -3/TM signifiant que les pôles réels les plus lents assurent chacun un régime transitoire d'une durée maximale égale à TM. Im

Re

-3/TM Pôles dominants

Figure 3.4 : Marge de stabilité Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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La marge de stabilité absolue, fixée à  =3/TM, est respectée en recherchant les conditions de stabilité après avoir effectué le changement de variable suivant: s s- TM : correspond à la durée maximale du régime transitoire des pôles réels les plus lents ou des pôles complexes conjugués suffisamment amortis . La méthode des lieux des pôles ou le critère de Routh sont alors appliqués à T (s)=T(s-).


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c- Amortissement

A une paire de pôles complexes conjugués correspond au niveau de la réponse indicielle du système, un terme oscillatoire de la forme : eat sin(bt+). Le facteur sin(bt+) a une période de 2/b secondes. La condition de bonne stabilité est que les pôles complexes ne soient pas situés dans la zone du plan comprise entre l’axe imaginaire et les deux demi-droites faisant avec lui un angle donné.


20

Im 

Re

-3/TM

Figure 3.5 : Amortissement minimal


21

Prescrire une marge de stabilité pour le système linéaire, c’est choisir les réels 3/TM et  et interdire pour ses pôles la zone du plan hachurée sur la figure 3.5. Pour un système à mode dominant du seconde ordre, l'angle  représente le facteur d'amortissement minimum puisque   sin  d- Marge de gain et marge de phase Les marges de gain et de phase sont une manière de qualifier le degré de stabilité et d'amortissement d'un système asservi Marge de gain : Elle correspond au coefficient multiplicateur du gain de boucle qui conduit le système à la limite de stabilité, soit: mg = Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

1 T ( j c )

avec Arg(T(jwc)) = - 180°, 22

Ou mg,dB = -20log/T(jwc)/. Marge de phase : Elle correspond à l'avance de phase , par rapport à la frontière de stabilité, que présente la fonction de transfert T(jw) lorsque son module est unitaire, soit : mp =  + Arg ( T(jw1)) avec /T(jw1)/=1. Im /T/dB 1/mg 1

Arg(T)

mp

-180°

mp

-1

Re c

mg

1

c

Figure 6 : Marge de gain et marge de phase


23

L'imposition de valeurs minimales à ces marges vise à assurer un degré de stabilité correct au système. En pratique, il est d'usage de respecter simultanément les conditions mp>45° et mg>5dB.

4.2- Rapidité

a- Influence des pôles Les pôles ne doivent pas être trop négative car cela signifie qu’on souhaite une réponse très rapide en boucle fermée qui ne peut être obtenue qu’au prix d’une sollicitation très importante des actionneurs. Dans le plan complexe, cette disposition restreint encore le domaine des pôles dominants qui doivent rester en deçà d'une frontière de rapidité. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

24

Im

Re

-3/TM

Figure 3.7 : Limitation imposée pour ne pas trop solliciter les actionneurs


25

b- Influence des zéros La nature des zéros d’un système, comme celle des pôles, joue un rôle important dans sa dynamique. L’existence de zéros correspond à la présence de termes liés aux dérivées de l’entrée et va donc accroître la "vitesse de réaction" d’un processus pouvant même, si un zéro est dominant par rapport au(x) pôle(s), provoquer un risque de dépassement dans le cas d’une variation brutale de l’entrée du type échelon de position (figure 3.8). Exemple :

F (s) 


1  as (1  b1 s )(1  b2 s )

26

2

a = 2 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

1 .5

1

0 .5

a = 0 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

0

a = 0 .5 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

-0 . 5 a = - 2 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

-1

-1 . 5

0

100

200

300

400

500

600

Figure 3.8 : Influence des zéros sur la dynamique d’un système Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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La position des zéros dans le plan complexe et la présence ou non d’un retard, nous permettent de distinguer deux classes de systèmes linéaires : celle des systèmes dits à phase minimale et celle des autres. Définition : Un système linéaire est à phase minimale (on dit aussi à déphasage minimal) si : 1- sa fonction de transfert ne comporte pas de terme de retard pur es , 2- ses zéros sont stables, 3- ses pôles sont stables. Un système qui n’est pas à phase minimale est dit à phase non minimale ou encore à déphasage non minimal (on dit aussi à non minimum de phase). Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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4.3- Précision Le système régulé est précis si à tout instant la grandeur de sortie y(t) doit être au plus près de sa consigne yc(t). Pour qualifier et quantifier cette précision, on analyse l'écart ou l'erreur entre ces deux grandeurs, soit (t) = yc(t)-y(t). Cet écart est étudié en régime permanent ou en régime transitoire, selon que l'on s'intéresse à la précision statique ou à la précision dynamique. a- Précision statique des systèmes asservis En général, la précision statique ou l'erreur en régime permanent est plus employée lors de la conception des systèmes asservis. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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Une telle erreur est défini comme étant la valeur prise par (t) lorsque le temps tend vers l'infini. La fonction de transfert en boucle ouverte d'un système asservi est de la forme : T(s) =

K 1 b1 s  ... s  1  a1 s  ...

, K gain statique, classe du système. 1

L’écart (s) = yc(s)-y(s) s’écrit sous la forme (s) = 1  T (s) yc(s). L’écart statique

 ()  lim s ( s ) s 0

et lorsque s tend vers zéro T(s)  K/s

s  ()  lim s  yc ( s ) . s 0 s  K

alors Le tableau suivant résume les résultats obtenus pour les signaux tests unitaires en échelon de position, de vitesse (rampe) et d'accélération (parabole) et pour différentes classes de système: Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

30

Classe

Signal test Position Vitesse accélération

 =0

 =1

 =2

1/(K+1)

0 1/K

0 0 1/K

 



La précision statique est d'autant meilleure que K possède une valeur élevée.


31

b- Précision dynamique des systèmes asservis Assurer une bonne précision dynamique c'est garantir un bon comportement de la partie transitoire de l'écart  (t). On entend par ceci un amortissement suffisant et une convergence assez rapide de la partie transitoire. Assurer un amortissement suffisant revient à prescrire une borne supérieure pour le coefficient de résonance Q (facteur d’amortissement pour les systèmes de 2ème ordre). Le problème qui consiste à réduire le temps de convergence de la partie transitoire est un problème de rapidité, très lié à la bande passante du système.


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A présent, montrons sur un exemple que la bande passante d'un système caractérise sa rapidité.


33

Exemple : Considérons le système de fonction de transfert de

K boucle T(s) = s(1  Ts ) , la fonction de transfert en boucle fermée est T (s) 1 1 K      n donc H(s) = 1  T ( s) 1  s  T s 2 . En posant T , 2 KT et K K 1 2 2  s Nous obtenons H(s) = 1  s  . n  n2

Etudions le régime transitoire de  (t) qui résulterait de l’application au système asservi d’une consigne en échelon unitaire. Supposons dans un premier temps que le coefficient Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

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d’amortissement est supérieur à 1. Dans ce cas, nous savons que la réponse indicielle du système asservi est donné par : S 2 e S1t  S1e S 2t 1 y(t) = , S1  S 2 2 2 avec S1   n (    1) et S 2   n (    1) .

D’ou l’expression suivante de l’écart  (t ) 

(   2  1)e S1t  (   2  1)e S 2t 2  2 1

Comme S1 et S2 sont négatifs,  (t) converge vers zéro. Des deux exponentielles composant l'écart, la plus lente est e s2t . Donc,  (t) converge vers zéro, d'autant plus rapidement que S est grand. Or, pour un  fixe, S croit avec  n , donc avec la bande passante. 2

2


35

D'après l'expression de  n , l'augmentation de  n peut être réalisée par une élévation du gain statique K. Ceci demeure vrai dans le cas général. Si K continue à croître alors, compte tenue de l'expression de , décroît et devient inférieur à 1. La réponse indicielle et l'écart t correspondant deviennent oscillatoires en conséquence donc la diminution de la stabilité en boucle fermée. Les considérations précédentes sont générales : l'augmentation du gain statique en boucle ouverte améliore la précision dynamique et réduit la stabilité.


36

c- Critères de performances Les critères de performances sont en général des "critères de précision". Ils ont pour but de caractériser la qualité d'un système asservi au moyen de la valeur prise par une certaine grandeur déterminée à partir de la réponse du système à une entrée donnée. Les critères de performances permettent de déterminer les valeurs qu'il convient de donner aux paramètres du système; vu qu'il existe un certain compromis entre la précision dynamique et la précision statique d'un asservissement. On va citer maintenant les critères les plus souvent utilisés :


37

 Critère de l'intégrale du carré de l'écart (ISE Integral of the Squared Error)

D'après ce critère, un système asservi possède des performances 2

d'autant meilleures que la quantité I = 0  (t ) dt est faible. Pour en montrer la signification, on va appliquer ce critère à une entrée en échelon unitaire : 


38

a

Figure 9 : a- Réponse indicielle d’un système


39

b

b- : Evolution de l’écart en temps

c

d

Figure 9 : c- Valeur absolue de l’écart

d- Evolution du carré de l’écart


40

Pour que I ne devienne pas infini, le système asservi doit avoir un écart statique nul. Les valeurs les plus élevées de  , comprises entre 0 et t1 , jouent le rôle le plus grand dans cette expression. En fin une valeur réduite de I se traduit par une limitation de l'amplitude des oscillations de la réponse et correspond donc à un certain amortissement du système.


41

 Critère de l'intégrale de la valeur absolue de l'écart (IAE

Integral of Absolute value of Error)

Avec le critère précédent, on est souvent amené à choisir un amortissement trop faible, car  intervient au carré et les valeurs peu élevées de l'écart jouent parfois un rôle insuffisant dans l'expression de I. Aussi a-t-on proposé de caractériser les performances d'un système asservi par 

I = 0  (t ) dt


42

 Critère de l'intégrale de la valeur absolue de l'écart multipliée par le temps (ITAE Integral of Time multiplied Absolute value of Error)

Le critère consiste à considérer le système d'autant meilleur que l'intégrale : 

est petite.

I= 0 t  (t ) dt

L'application de ce critère à un asservissement garantit une réduction des oscillations transitoires de longue durée pouvant apparaître dans la réponse du système, ainsi qu'un temps de réponse peu élevé. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

43

Exemple : Pour illustrer l'usage des critères de performances pour l'analyse et la synthèse des systèmes asservis, considérons le système de fonction de transfert de boucle

1 T(s)= s( s  2 )

la fonction de transfert en boucle fermée est : H(S)

et dont

1 = 1  2s  s 2

.

Sa pulsation propose étant  n  1rad / s , ses performances ne dépendent que de son coefficient d'amortissement  . On souhaite choisir  de manière à minimiser un critère de performance donné. La figure 10 montre, pour différents critères de performances, la courbe représentant la valeur I, du critère en fonction du coefficient d'amortissement. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

44

3

I

1 I= 2

2

4 1

3

I=

2

  (t ) dt 

0





0

 (t ) dt



3 I= 0 t  (t ) dt

2 1 0.5

1

1.5

2



Figure 10 : la valeur du critère I en fonction du coefficient d'amortissement Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI

45

L'examen de ces courbes montre que l'intégral du carré de l'erreur (1) n'a pas une bonne sélectivité, c'est à dire qu'un changement de  au voisinage du minimum (par exemple de 0,6 à 0,8) ne produit pas un changement sensible de l'indice. Les autres courbes ont une meilleure sélectivité. Les courbes de la figure 10 montrent également, que pour le système du second ordre considéré,  = 0,7 est la valeur optimale par rapport à l'ensemble des critère considérés.


46

Chapitre 3 Méthodes de synthèse des correcteurs PID analogiques 1- Introduction Un système asservi doit être suffisamment robuste pour garantir trois niveaux de performance:  Sa stabilité  Une bonne précision statique  Une rapidité suffisante

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1

Le gros problème est que ces trois critères sont contradictoires: la précision comme la rapidité sont liées au gain, mais trop de gain peut avoir un effet déstabilisant. Corriger un système asservi, c'est assurer une compatibilité entre ces critères contradictoires et le correcteur sera l'élément " intelligent" qu'on ajoute au système initial pour assurer cette compatibilité. Dans ce chapitre, nous étudions le réglage des paramètres d'un correcteur dont la structure est préalablement fixée, c'est le cas du correcteur standard PID, très utilisé dans le milieu industriel. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

2

2- Synthèse par l’abaque de Black-Nichols Pour satisfaire au mieux les objectifs précédents il convient donc :  d'éloigner le lieu de Block de T(j  ) du point -1 (0dB, 180°) de façon à accroître sa stabilité, un tel résultat conduit à accroître la marge de phase et la marge de gain, souvent on prend mp>45° et mg> 10dB,  d'augmenter le gain du système en boucle ouverte, en particulier du côté des basses fréquences de façon à augmenter la précision, l'annulation de l'erreur de statisme peut être obtenue si le système en boucle ouverte admet une intégration. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

3

 d'augmenter la bande passante en provoquant un tassement des fréquences du côté des gains élevés pour le système en boucle ouverte, ce qui permet de limiter les distorsions tout en diminuant le temps de réponse du processus. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

4

2.1- Régulateur à action proportionnelle L'action proportionnelle correspond à un gain constant positif C(s) = kp. En effet, il permet seulement une translation verticale du lieu de Black du système en BO représentée dans l'abaque de Black. Un gain k <1 (atténuation) permet d'accroître la stabilité en abaissant la courbe mais cette action se fait au détriment de la précision. Un gain >1 (amplification) permet d'accroître la précision mais l'action se fait cette fois au détriment de la stabilité puisque 'on a m  et mg qui décroissent.


5

Le gain k =1 correspond à une recopie de signal d'entrée du correcteur, mais avec une éventuelle amplification de puissance. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

6

2.2- Régulateur à action proportionnelle et intégrale ( PI) Le correcteur de transmettante

C(s) = kp ( 1 +

1 Ti s )

introduit un pôle à l'origine et il est caractérisé par les lieux de Bode :


7

On constate que la correction PI n'affecte que les basses fréquences. Elle ramène un gain infini pour  = 0, c'est à dire en régime statique. Dans ces conditions l'écart de position est annulé. 2 Ti

A partir de  = , le correcteur PI n'a quasiment plus d'influence. La figure suivante résume l'influence sur la fonction de transfert de la boucle du correcteur PI :


8


9


10

1 Ti

Il est important d'avoir <  R , de façon à éviter un effet déstabilisant ainsi qu'il apparaît sur le schéma de la figure où le déphasage intervient trop en haute fréquence. C'est pourquoi on préfère souvent un réseau PI à un simple réseau intégrateur qui déphaserait de façon identique toute la gamme de fréquences


11

2.4- Régulateur à action proportionnelle et dérivée ( PD) La correction dérivée pure n'est que théorique : C(s) = kp ( 1 +Tds). Elle provoque un accroissement du gain et de phase vers les fréquences élevées ainsi qu'il apparaît sur les lieux de Bode. :


12

L'introduction de ce réseau correcteur (kp =1) produit les modifications du lieu de Black suivantes :


13

On constate que pour être efficace ce réseau correcteur doit vérifier 1/Td <  , c'est- à - dire que l'effet doit se produire suffisamment tôt. Dans ce cas, il y a augmentation de la marge de phase, de la marge de gain, de la pulsation de résonance et de la bande passante. Globalement, il y a donc, en augmentant kp, augmentation de la stabilité et de la précision du système en statique et en dynamique. R


14

2.6- Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée Ce type de correcteur essentiellement théorique, combine les avantages des correcteurs PI et PD La fonction de transfert du régulateur PID s'écrit : C(s) = kp( 1

1 +Ts i

1 Ti s  TiTd s 2 + Tds) = kp Ti s

On cherche les racines du numérateur. Celles-ci sont réelles si : 4T  = Ti2 - 4Ti Td = Ti 2 ( 1 - T d )  0. i

Ti Condition réalisée pour Td  4 . Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

15

C(s) = kp

(1  1 s )(1  2 s ) Ti s

avec

1 2

=

Ti Td

Ti  τ  les deux racines s'écrivent : 1 2 (1

Ti Td  2  (1 1  4 2 Ti

et 1 4

Td Ti

) =

1   2

)= Ti 2

Ti 2

= Ti (1+  )

(1 -  )

Comme  <1, mais relativement proche de 0 si 4Td  Ti; la relation d'ordre entre les racines du numérateur et la constante de temps intégrale peut s’écrire :  2  1 < Ti


16

Pour  = p = 1 Ti Td

p

, la phase ramenée par le correcteur est nulle



Pour cette valeur, on vérifie que C( jp) dB = 20 log kp. Ce point particulier du lieu de transfert est intéressant : les actions intégrale et dérivée n'y ont plus aucune influence. On l'appelle point de pivot.


17


18

 L'action intégrale modifie les basses fréquences ( gain infini en BO) et assure un gain statique égal 0dB. L'écart de position est nul;  L’action dérivée agit sur les hautes fréquences en les amplifiants et en leur amenant une avance de phase. Il y a donc accroissement de la bande passante et de la stabilité


19

2.7 Conclusion Le correcteur qu'on essaie de synthétiser doit déformer le lieu de transfert en boucle ouverte de manière telle que le lieu de transfert en boucle fermée soit proche de celui d'un second ordre équivalent de gain statique si possible égal à 1, d'amortissement proche de 0,7 et de pulsation propre  élevée. n

Le nombre d'intégrations en BO fixe la capacité du système régulé à suivre sans erreur une consigne variable. Si le système non corrigé comporte un intégrateur, il n'est peut-être pas nécessaire d'en mettre un dans le correcteur.


20

3- Méthodes simplifiées de synthèse des correcteurs PID analogiques 3.1- Méthodes basées sur un modèle de réponse à l’échelon 3.1.1

Approximation de Ziegler et Nichols

C'est la méthode la plus ancienne (1942). Elle a pour objet la détermination du réglage d'un régulateur PID à partir de la réponse à un échelon du procédé. L’idée consiste à approximer la réponse du procédé à un échelon unitaire, que l’on suppose apériodique, par un modèle très simple de type F(s) = K Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

21

e Ts 1  S

.

K

Le coefficient de pente R est défini comme étant R=  .


22

Ils ont ensuite cherché, pour ce modèle, les paramètres du 

correcteur minimisant le critère

 (t ) dt  J= . 0

Pratique de la méthode : S'il est possible d'ouvrir la boucle, on règle Kp = 1, Ti à l'  et Td à 0, sans débrancher le correcteur. On envoie un échelon d'amplitude E0 en entrée, on observe la sortie et on mesure T et R. Les valeurs des paramètres du correcteur sont données sur le tableau au dessous. Le PID proposé est un PID mixte.


23

Régulateur

Boucle ouverte

1 Kp = TR

P

1 Kp = 0,9 TR

PI

Ti = 3,3T

1 Kp = 1,27 TR

PID


Ti =2T Td = 0,5T

24

Cette approche est aussi valable pour un processus intégrateur. Le modèle recherché est de la forme : e Ts F(s) = R S .


25

Cette approche est intéressante et facile à mettre en œuvre : une simple réponse indicielle suffit, le calcul des paramètres est aisé et ne nécessite pas de tâtonnements. On pourra remarquer que, pour le réglage du PID, Td =

Ti 4

En général, la réponse obtenue n’est pas satisfaisante mais constitue un point de départ pour un ajustement fin des paramètres du correcteur utilisé. Exemple :


26

3.1.2 Méthode de Chien – Hrones - Reswick Les essais s’effectuent en BO, mais les auteurs distinguent le cas où le système travaille en régulation ou en poursuite. Le tableau suivant donne le réglage proposé pour une réponse en BF à amortissement   0,7 (temps de réponse minimum)


27

Régulateur régulation P

PI

PID


Poursuite 1 TR

Kp = 0,3

1 TR

Kp = 0,3

1 TR

1 TR

Kp = 0,6 ; Ti = 4T

Kp = 0,35 ; Ti = 1,2 

1 Kp = 0,95 TR

1 Kp = 0,6 TR

Ti = 2,4T ; Td=0,4T

28

Ti =  ; Td = 0,5 T

3.1.3 Méthode de l’optimisation des critères Des tables ont été établies pour calculer le réglage optimal Ke  Ts d’un PID, pour un modèle du type : G(s)  1  τs .

Les coefficients du régulateur PID peuvent être calculés par les relations suivantes à partir des coefficients de la table cidessous : b

1 T k p  a  ; k τ τ Ti  K p T c  d  τ


pour le réglage en asservissement ;

29

Ti  K p

τ T c  τ

d

pour le réglage en régulation ; f

τ T Td  e  kp  τ  . T Elles sont valables si 0.1  τ  1.

Dans, les cas où le retard est très faible par rapport à la constante de temps, le plus simple consiste à choisir ce rapport à 0,1.


30

Réglage Asservissement

Réglage Régulation

ISE

IAE

ITAE

ISE

IAE

ITAE

a

1.26239

1.13031

0.98384

1.3466

1.31509

1.3176

b

-0.83880

-0.81314

-0.49851 -0.9304

-0.8826

-0.7937

c

6.03560

5.7527

2.71348

1.2587

1.12499

d

-6.0191

-5.7241

-2.29778 -1.25738 -1.3756 -1.42603

e

0.47617

0.32175

0.21443

0.79715

0.5655

0.49547

f

0.24572

0.17707

0.16768

0.41941

0.4576

0.41932


31

1.6585

Les coefficients du régulateur PI peuvent être calculés par les mêmes relations que pour le PID avec les coefficients de la table ci-dessous, en prenant Td=0. Réglage Asservissement

Réglage Régulation

ISE

IAE

TAE

ISE

IAE

ITAE

a

-

0.758

0.586

1.305

0.984

0.859

b

-

0.861

-0.916

- 0.960

-0. 986

-0.977

c

-

1.02

1.030

0.492

0.608

0.674

d

-

-0.323

-0.165

- 0.739

-0.707

-0.680


32

3.2 Réglage en ligne Dans un certain nombre de cas, il est impossible de laisser le procédé évoluer en BO. Pour ces systèmes, il est impossible de déterminer le modèle en BO du système. On est amené à régler le régulateur en BF.

3.2.1 Réglage par essai - erreur Le réglage en ligne peut se faire de façon empirique en utilisant une procédure qu’on peut résumer ainsi 1- Mettre le régulateur en mode manuel. 2- Enlever l’action intégrale et dérivée (mettre Ti au maximum Td au minimum). 3- Mettre le gain à une faible valeur. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

33

4- Mettre le contrôleur en mode automatique. 5- Faire une petite variation de consigne et observer la réponse de la variable contrôlée. Comme le gain est petit, la réponse sera très amortie. 6- Doubler le gain et refaire une variation de consigne. Continuer ainsi de suite jusqu'à ce que la réponse devienne oscillante. Cette valeur du gain est notée kc 7- mettre le gain kc/2. 8- Faire la même opération en réduisant Ti par un facteur de 2, jusqu'à obtenir une réponse oscillante pour une petite variation de consigne. 9- Mettre Ti au double de cette valeur. 10- Procéder de même pour la constante de dérivée : augmenter Td jusqu’ à obtenir une réponse oscillante, puis mettre Td à 1/3 de cette valeur. Cours Régulation Industrielle Par S.DOUBABI FST Marrakech

34

3.1.1

Approximation de Ziegler et Nichols

Lorsqu'il n'est pas possible d'étudier le système en boucle ouverte, on réalise un essai de pompage. Pour cela, on fait Ti =  ; Td = 0 et on augmente Kp jusqu'à sa valeur critique Kc. On mesure la période des oscillations Tc. Ziegler et Nichols proposent alors les valeurs de réglage du tableau suivant :


35

Régulateur

Boucle fermé

P

Kp = 0,5 Kc

PI

Kp = 0,45 Kc Ti = 0,83 Tc

PID


Kp = 0,6 Kc Ti = 0,5 Tc Td = 0,125 Tc

36

Chapitre 4 Correction des processus retardés 1- Notion de réglabilité Cette notion est principalement utilisée pour les processus ayant des retards purs importants. Si on examine la réponse indicielle suivante d'un processus apériodique sans effet intégrale :

1

TR

Td

Tm

On distingue trois phases successives : - un temps de retard TR, - un temps de décollement Td, - un temps de montée Tm.

2

=TR+Td : correspond en fait au délai nécessaire pour qu'une commande ait une action réellement significative. Il est en général plus facile à déterminer que TR et Td. L'essai étant effectué en boucle ouverte sur le processus sans action intégrale, on appelle réglabilité le rapport Tm/. En pratique, le processus sera d'autant plus facile à régler que ce rapport sera important. Les systèmes à réglabilité élevée ont une réglabilité Tm/ >10. Toute action sur l'entrée provoque immédiatement une action sur la sortie et les processus correspondants sont en général faciles à réguler et à commander.

3

Les systèmes à faible réglabilité sont souvent ceux ayant un Tm/<4 (limite tirée de l'expérience industrielle). Ces systèmes se trouvent facilement dans l'industrie en particulier là où il y a transport de matière : Cimenterie, papeterie, chimie etc...

4

Exemple de système à retard : Trémie

q1(t) q2(t) x1

x2

Le débit de matière q2(t), en sortie du transporteur , est égal à celui en sortie de la trémie à l'instant t-,  étant la durée mise par l'élément de matière considéré lors de son déplacement entre x1 et x2.

5

Si Tm/ est faible, il faut attendre un temps élevé, comparativement à la constante de temps du processus, pour qu'une entrée commence à agir sur la sortie. Si on cherche à augmenter la précision par les méthodes usuelles comme l'accroissement du gain ou l'intervention d'une action intégrale, on a de grands risques de déstabiliser le processus. De tels processus ne peuvent pas en général être régulés par simples PID mais nécessitent des commandes plus complexes du type PIR, prédicteur de Smith ou plus généralement une correction numérique.

6

2- Régulateur PIR et prédicteur de Smith Les PID ne peuvent pas compenser entièrement ces retards, et dans ces conditions, ils conduisent à des réponses fortement oscillatoires. On utilise alors d'autres techniques dont certaines ont pour but de masquer le retard réel afin de travailler ensuite sur la stabilité et la précision.

7

2.1- Correcteur PIR L'utilisation d'un correcteur PIR, ou correcteur Proportionnel, Intégral et Retard, est intéressante dans le cas de système identifié selon le modèle de Broïda : K  θs F(s) = 1  τS e

Le schéma fonctionnel du correcteur PIR est la suivante :

8

On peut écrire :

U(s) 1 A  Kp(1  )( )  Ts 1 ε(s) Tis 1  A (1  e ) , Ts i

U(s) k p A(1 Tis) ε(s) = Tis  A(1  eTs ) .

En pratique, ce correcteur est réalisé sous forme numérisée et la fonction de transfert est transformée en algorithme numérique.

9

La fonction de transfert de la boucle du système s'écrit : K p A(1  Ti s)

K θ s T(s)= T s  A(1  e Ts ) 1  τs e i

Les choix KpK=1, Ti = et T= conduisent à : Ae θs

T(s) = τs  A(1  e  θs ) , et par suite à un polynôme caractéristique ne comprenant plus de termes de retard τ Pc(s) = 1 + A s

10

Les fonctions de transfert en poursuite et en régulation ont alors pour expressions :  Sur la sortie : 

Hpour(s) =

y(s) y c (s)

=

1 1

 A

s

e  s

et Hreg(s) =

y(s) p(s)

=

A

s  1  e  s 1

 A

s

.

Le système bouclé se comporte comme un premier ordre retardé, de gain statique égal à 1 (écart de position nul) de 

constant de temps A ce qui revient à diminuer le temps de réponse (hors temps de retard bien entendu).

11

 Sur la commande : Lpour(s) =

u(s) 1  τS  y c (s) 1  Aτ S

1 s et Lreg(s)= 1   s A

Le coefficient A est alors fixé selon la dynamique voulue ou en fonction des conditions de précision du régime établi. Le point remarquable apporté par la structure du correcteur PIR est dans les fonctions de transfert vis -à- vis du réglage (u) qui apparaissent totalement indépendantes du retard, dans la mesure où la compensation apportée par la boucle interne du correcteur WU((ss)) est correctement ajustée.

12

2.2- Prédicteur de Smith : Plus élaboré que le correcteur PIR, le prédicteur de Smith s'utilise également dans le cas de retard important. Il met en jeu la fonction de transfert F(s) e-s du processus.

Sa fonction de transfert s'écrit :

C(s) 

où A(s) est un correcteur classique. 13

U(s) A(s)  ε(s) 1  A(s)F(s)(1  e  s )

on déduit la fonction de transfert de boucle T(s) =

A( s ) F ( s )e  s

1  A( s ) F ( s )(1  e  s )

puis la fonction de transfert en BF: H(s)=

A(s)F(s)eθs 1  A(s)F(s)

Le schéma équivalent du système bouclé, corrigé par un prédicteur de Smith, est donc simple :

14

Le schéma équivalent du système bouclé, corrigé par un préditeur de Smith, est donc simple: On obtient un ensemble "correcteur + processus " classique bouclé, mais cette fois retardé. Le correcteur étant classique sa synthèse peut s'effectuer par les méthodes classiques.

15

Chapitre 5 Méthodes analytiques de synthèse Des correcteurs analogiques 1- Méthode des polynômes de Graham et Lathrop Dans cette méthode, on cherche à atteindre un modèle de fonction de transfert en boucle fermée qui nous convient le mieux. 1.1- Approche par un seconde ordre On essaie d'atteindre en BF le modèle du deuxième ordre : 1 1 H (s)   1  2 s  ( s ) 2 1  2r  r 2 n

où r =

S

n

n

est la pulsation complexe réduite.

Cette expression conduit à une fonction de transfert en BO

T(s) = C(s) F(s) telle que T(s) =

1 2

H ( s) 1 = = . r 1  H ( s ) 2r  r 2 r (1 ) 2

T(s) présente donc : - une intégration - un gain statique K=

n 2

Les performances attendues sont donc les suivantes :  écart de position nul  écart de traînage  v 

2

n

 dépassement fixé par 

1

Exemple : On prend   0,7 (temps de réponse minimum et faible dépassement) n est choisie de deux manières : 1,4  Soit n = ,  v étant fixé par le cahier des charges.

v

 Soit en fonction du temps de réponse demandé (   0,7  trn  3) Mais attention, des exigences trop importantes sur le temps de réponse peuvent conduire à la saturation de la commande (la saturation des actionnaires entraîne une dégradation des performances attendues). On obtient alors le modèle: 1 . H (s)  1  1,4 r  r 2 Si on désire en plus un écart de traînage nul, on montre que H(s) doit avoir la forme 1  a.r H(s) = . 1  a.r  r 2 1  a.r On vérifie en effet que la fonction de transfert en BO s'écrit alors T(s) = . 2 r Le système comporte une double intégration qui annule l'écart de traînage. 1.2- Généralisation Imposer le modèle du deuxième ordre n'est pas toujours possible et il faut prendre un modéle plus élevé équivalent au deuxième ordre. Graham et Lathrop ont calculé les modéles d'ordres supérieurs à 2, équivalents au deuxième ordre, qui minimisent le critère 

0 t  (t ) dt ,

Pour une entrée en échelon unité dans le cas d'un processus en BF et ont déterminé par simulation les valeurs des fonctions de transfert en BF de divers ordres assurant la minimisation du critère. Ils proposent deux modèles :  Le modéle H1(s) correspondant à  P  0 et  v fini  Le modéle H2(s) correspondant à  P   v = 0

2

Application

K , que l'on veut corriger pour un correcteur C(s) 1  s pour que le système bouclé ait les caractéristiques suivantes :  P   v = 0 et t r   . 1  3,2r S On prend le modéle H2(s) le plus simple : H2 (s) = avec pour r  n 1  3,2r  r 2 3 3  .   0,7, on sait que  n  tr  1  3,2 S 1  1,07 s Dans ces conditions : H 2 ( s )   1  3,2 S  S 1  1,07 s  0,11 2 s 2

Soit un système de F(s) =

n

2

n

n2

(1  1,07 s )(1  s ) H (s) alors C(s) = qui est F ( s ) (1  H ( s )) 0,11 K  2 s 2 physiquement réalisable.

Comme C(s) =

2- Méthode des polynômes de Naslin Cette méthode a été proposée par Naslin. Le choix de   0,7 impose un dépassement maximum de 5%. On peut consentir un dépassement plus élevé mais inférieur à une limite Dmax% fixé à l'avance, ce qui correspond à un amortissement  min . L'origine de cette méthode est la suivante. Soit une fonction de transfert de 2 cd ordre : b0 H(s) = a0  a1s  a 2 s 2 a a b Si on pose  n2  0 , 2n  1 et K  0 , on peut ramener cette expression à la a2 a2 a0 Kn forme classique : H ( s )  2 . n  2n s  s 2

3

est donné par 2 

a1

a2n

, soit 4 2 

a12 . Comme le régime optimal d'un a0 a 2

a12 2 second ordre est obtenu pour   0,7  , on en déduit que = 2 = 1. 2 a0 a 2 Naslin a ensuite généralisé ce résultat à une fonction de transfert en BF de degré quelconque.

2.1- Fonctions de transfert à numérateur constant Les fonctions de transfert proposées par Naslin sont de la forme : b0 H (s)  a0  a1s  ...  an s n Dans laquelle il définit les rapports caractéristiques : an2 a12 a22 ... , n  1  , 2  , , a1a3 an 1an 1 a0 a 2 Il montre alors que le premier dépassement Dmax% à l'instant tpic est garanti si : 1   2  ...   n   0 . La constante  0 est de l'ordre de 2. Naslin vérifie ensuite expérimentalement ce choix sur des fonctions de transfert telles que b0=a0. Des fonctions de transfert de ce type donnent un écart de position nul. 1 Il obtient des résultats très probants avec :  0  4,8  log D% 2 a Pour cette valeur, tpic  2,2 1 . a0 Résumé Naslin a vérifié expérimentalement que le choix d'un réglage  i   0 constant de l'ordre de 2 : 1,8   0  2,4, avec b0 = a0, permet d'assurer à la réponse indicielle un premier dépassement D (en%) à l'instant tpic vérifiant : log10 (D%)  4,8- 2  0

tpic  2,2

a1 a0

De façon générale la condition  i   0 avec  0 de l'ordre de 2 assure un amortissement correct des régimes transitoires.

4

Le tableau suivant donne des indications pour le choix de la valeur de  0 en fonction du dépassement admissible ainsi que la valeur du coefficient d'amortissement  associé. D 0 

40% 1,6 0,3

20% 1,7 0,45

6% 2 0,7

1% 2,4 0,9

2.2- Fonction de transfert à numérateur non constant

On a maintenant H(s) =

b0  b1s

a0  a1s  ...  a n s n Il peut en résulter un accroissement du dépassement et une réduction du temps de réponse. C'est en particulier le cas pour des systèmes munis de correcteurs PI ou PID. La méthode reste applicable mais exige quelques modifications : Il convient a b d'adopter le réglage tel que :  c  1,5  4 0 1 ( 0  1,5) c = 0 corrigée a1 b0 Les conditions b0 = a0 et b1 = a1 imposeraient des erreurs en position et vitesse nulles.  Si la transmittante admet un numérateur du second ordre b0  b1s  b2 s 2 H(s) = a0  a1s  a n s n 3  a0

2

b1   (  0 - 1,5) avec Le réglage à adopter correspond à :  c = 1,5 + 16   a b  1 0 2 b 42 = 1 . b0b2 Les condition b0 = a0, b1 = a1 et b2 = a2 imposeraient des erreurs en position, vitesse et accélération nulles.

5

Application : On veut régler le processus de fonction de transfert en BO : F(s) =

3,2 (1  s )(1 5s )

avec les performances suivantes :  écart de position  p = 0  dépassement D  10% Le système ne possède pas d'intégrateur, le correcteur doit être de type PI. Sa 1 fonction de transfert s'écrit C(s) = kp ( 1 + ) et on va chercher à régler kp et Ti Ti s CF La fonction de transfert en BF s'écrit : H(s) = = 1 CF 3,2k p (1 Ti s ) 3,2k p (1 Ti s )  Ti s (1s )(1  5s )

H(s) =

3,2k p  3,2k pTi s 3,2k p  Ti (3,2k p  1) s  6Ti s 2 5Ti s 3

,

Où nous identifions : b0 = a0 = 3,2kp, b1 = 3,2kpTi , a1 = Ti(3,2kp+1) , a2 = 6Ti, a3 = 5Ti Le critère Naslin impose  0 =

1 3 ,8 [ 4,8 - log10 10 ] = = 1,9 2 2

Mais cette valeur demandera à être corrigée puisque le numérateur est du premier ordre avec a1  b1. Dans ces conditions : 1 = 2 =

Ti2 (3,2k p  1) 2 19,2k pTi 36Ti2

5Ti2 (3,2k p  1)

donc  c = 1,5 +4

  c (1)   c (2)

3,2k p 3,2k pTi 3,2k pTi (3,2k p  1)

( 1,9 - 1,5) = 1,5 +

6

5,12k p 3,2k p  1

5,12k p 36  1,5 + 5(3,2k p  1) 3,2k p  1 Ce qui conduit à kp  0,57. Prenons Kp = 0,57, on obtient tout de suite Ti  3,5s. Une autre solution aurait été de choisir Ti = 5s ce qui permet de compenser le pôle dominant de F(s) .

Remplaçons cette valeur dans (2), il vient :

7

Chapitre 6 Numérisation d’un régulateur analogique Pour fixer les paramètres d’un régulateur analogique, on utilise deux approches : - La première est une mode pratique, par exemple celle de Ziegler-Nichels toujours appréciée dans la pratique. - La deuxième est une synthèse analytique fournissant la fonction de transfert du régulateur C(s).

Yc Consigne

Commande

+

-

Ecart CorrecteurU



C(s)

Processus F(s)

Y Sortie

Figure 1 : Schéma fonctionnel intervenant dans le dimensionnement de régulateur analogique

1- Echantillonnage du régulateur analogique Une façon de traduire sous forme d’algorithme la fonction de transfert C(s) découlant d’une synthèse analogique se fonde sur l’approximation que la mise en série de convertisseur analogique - numérique et numérique - analogique ne déforme pratiquement pas un signal analogique, comme le schématise la figure suivante : e(t)

=

e(t)

CAN

CAN CNA

Figure 2 : Approximation commise lors d’une numérisation par échantillonnage Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

1

Il est clair que l’approximation est d’autant meilleure que la période d’échantillonnage est petite et que les signaux en jeu varient lentement au cours du temps. En commettant cette approximation, la fonction de transfert C(s) est maintenant complétée en amont et en aval par des convertisseurs. Le schéma fonctionnel de la figure 2 et donc remplacée par celui de la figure 3. yc(s)

(s)

(z) CAN

(s) CNA CAN

C(s)

u(s)

CAN

y(s)

u(s)

u(z) CNA

G(s)

C(z)

Figure 3 : Transformation du schéma fonctionnel de la figure 4.2 Théorème : Supposons que le processus analogique est au report, linéaire, causal et stationnaire ; soit C(s) sa fonction de transfert. Alors la mise en série du C.A.N, du système et du C.A.N est un processus discret décrit par la fonction de transfert discrète : C (s)   C ( z )  (1  z 1) Z  L1( ) s  

Démonstration :

Le C.N.A, le système et le C.A.N sont tous des éléments au report, linéaire, causal et stationnaire, leur mise en série est un processus discret lui aussi au report, linéaire, causal et stationnaire. Il peut ainsi être caractérisé par une fonction de transfert discrète C(z). On sait que C(z)=U(z)/(z) ne dépend pas de l’entrée (z) sélectionnée. (z) z z  1

(s) CAN CNA

Figure 4 :

1 s

C(s) C(z)

u(s) C ( s ) s

u(z) CAN

C (s) Z  L1[ ] s



Soit par exemple, l’échelon unité {(k)}={…, 0,1,1, …} dont la transformée en z est (z)=z/(z-1). Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

2

Dans ce cas la sortie du C.N.A est e(s)=1/s, le système fournie alors la réponse C(s)/s, ou dans le domaine temporel u(t)=L-1(C(s)/s). Finalement, le C.A.N génère le signal discret {u(k)}. Sa transfert en z est U(z)= Z{L-1[C(s)/s]}. Remarque : U(s)=C(s)/s => u(t)=L-1(C(s)/s). En fait, par Z{ L-1(C(s)/s)}, il faut comprendre la transformée en z de la version échantillonnée u(k) du signal analogique u(t). D’où le schéma fonctionnel de la figure 5 yc(s)

(s)

u(s)

u(z)

(z) CAN

C(z)

CNA

G(s)

y(s)

L’évaluation des paramètres de C(z) est ainsi achevée; Il suffit dès lors de réaliser l’algorithme en codant l’équation aux différences associée à C(z). Exemple : Soit un régulateur PID analogique de fonction de transfert C ( s )  K p (1 

1 Td s  ) Ti s 1  Td s N

La valeur N=10 est souvent adoptée en pratique. Au niveau de la synthèse de ce régulateur, la constante de temps Td/N peut normalement être négligée. On admet que les paramètres Kp, Ti et Td ont été ajustés. Alors    K  1 T s p d C ( z )  (1  z 1) Z  L1( (1   ) s Ti s 1  Td s   N  

Quelques calculs conduisent à :

C ( z )  K p (1 

Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech



Ti  z 1

3

N ( z  1) ze

N 

Td

)

2- Approximations numériques Partons du régulateur C(s) issu d’une synthèse analogique : C (s) 

U ( s ) b0 s m  ...  bm 1s  bm  n E (s) s  ...  an 1s  an

(4.1)

nm

Ou, sous la forme d’une équation différentielle : 



u ( n) (t )  ...  an 1 u (t )  anu (t )  b0 ( m) (t )  ...  bm 1  (t )  bm (t )

Cette relation est maintenant écrite au temps t=k : 



u ( n) (k)  ...  an 1 u (k)  anu (k)  b0 ( m) (k)  ...  bm 1  (k)  bm (k)

(4.2)

L’idée est de remplacer les grandeurs de différentielle, telles que dérivée, par des approximations numériques. On considère tout d’abord la première méthode d’Euler. Soit 

u (k  )  u (k)   0

u (k)  lim

Cette expression est changée avec 

u (k ) 

u (k   )  u (k ) 

Soit maintenant





(4.3)



u (k  )  u (k) u (k)  lim   0

Cette quantité est remplacée par 





u (k  )  u (k) u (k)  

Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

4



En remplaçant u par son expression, on a : 

u (k ) 

u (k  2 )  2u (k   )  u (k )

(4.4)

2

En portant les quantités (4.3) et (4.4) et celles obtenues par u(3)(k), … , u(n)(k), (1)(k), … ,(m)(k) dans (4.2), puis en prenant la transformée en z des deux membres, on obtient : U ( z)

 

 

 

 

 

 

z 1 n z 1 2 z 1 z 1 m z 1 2 z 1  ...  a n  2U ( z )  a n 1U ( z )  a nU ( z )  b0 E ( z )  ...  bm  2 E ( z )  bm 1E ( z )  bm E ( z )      

Avec U(z)= Z (u(k)) et E(z)=Z ((k)). Il en résulte la fonction de transfert discrète : U ( z) C ( z)   E( z)

   ...  b   b    ...  a   a

b0

z 1 m  z 1 n 

z 1 m 1  z 1 n 1 

m

(4.5)

n

En comparant (4.1) et (4.5), nous constatons que, pour numériser la fonction de transfert C(s), il suffit de remplacer s par (z-1)/. Avec cette approximation, comme z=s+1, le demi plan complexe gauche (Re s<0) est transformé dans le demi plan Re z <1 : un régulateur analogique C(s) BIBO stable peut conduire à un régulateur numérique C(z) qui ne l’est pas. Exemple 1: Soit à nouveau le régulateur PID analogique. En remplaçant s par (z-1)/, on aboutit à : 

C ( z )  K p (1 

N ( z  1) Ti  ) z  1 z  (1  N (  )) Td

Les pôles de ce correcteur sont 1 et 1-N/Td ; Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

5

Le pôle réel 1-N/Td est strictement plus grand que -1 si et seulement si <2Td/N est respecté. - Seconde méthode d’Euler La dérivée est définie par :



u (k)  u (k  )   0

u (k)  lim

Cette expression est changée avec 

u (k ) 

u (k )  u (k   ) 

De même, la dérivée deuxième est remplacée par 





u (k)  u (k  ) u (k)  



En remplaçant u par son expression, on a : 

u (k ) 

u (k )  2u (k   )  u (k  2 ) 2

Après substitution dans (4.2) et en prenant la transformée en z des deux membres on obtient : n 2 m 2 1 z 1  1 z 1  1 z 1  1 z 1  1 z 1  1 z 1    ...  an2U ( z )   an1U ( z )   anU ( z )  b0 E ( z )   ...  bm2 E ( z )   bm1 E ( z )   b E( z)                   m

U ( z )

D’où, finalement, la fonction de transfert discrète : m

1 z  1 z  b0    ...  bm 1   bm U ( z)       C ( z)   n 1 1 E( z)  1 z   ...  a  1 z   a n 1       n 1

1

(4.6)

Un examen de (4.1) et (4.6) montre que, pour numériser la fonction de transfert C(s), il faut remplacer dans celle-ci s par : Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

6

1  z 1 z  1  .  z

Dans cette approche, on a z=1/(1-s) ; en posant s=+j : z

1 1 .  2 2 2 1  (  j ) (1  )   

Il est évident que |z|<1 si <0 : le demi-plan complexe Re s<0 est transformé en un domaine contenu dans le cercle unité |z|<1. Par conséquent, la seconde méthode d’Euler bénéficie de l’atout qu’un régulateur analogique C(s) (BIBO) stable donne un régulateur numérique C(z) lui aussi BIBO stable, raison pour laquelle elle est parfois préférée à la première méthode. Exemple 2: Soit à nouveau le régulateur PID analogique. En remplaçant s par (1-z)/z, on aboutit à :  z N ( z  1) Ti C ( z )  K p (1   ) z  1 (1  N (  )) z  1 Td

La composante intégrale du régulateur de l’exemple 1 et celle obtenue maintenant s’écrivent, respectivement :

Ou :

 z Ti z 1

 Ti z 1  1 z Ti

 Ti

1  z 1

1  z 1

Ainsi, dans le second cas, vu qu’un facteur z-1 engendre un retard d’une période d’échantillonnage a disparu, le signal d’écart est exploité immédiatement, ce qui peut être bénéfique lors de relativement grandes périodes d’échantillonnage. Cours Régulation Industrielle Par S. DOUBABI FST Marrakech

7

Chapitre 7 Régulation des systèmes échantillonnés Cette méthode, de synthèse d’un régulateur numérique, se fond sur le modèle F(s), lequel est échantillonné. La fonction de transfert discrète F(z) qui en résulte rend possible une synthèse tenant compte de tous les phénomènes discrets en jeu. Il existe donc diverses techniques de synthèse discrète.

1- Correcteur à pôles dominants Cette méthode est bien adaptée aux processus simple c'est-à-dire modélisables par un système continu de degré maximum égal à 2 avec ou sans retard. Elle fournit un correcteur entièrement numériquement, sans aucun rapport avec un PID numérisé. Son but est d’obtenir un système en boucle fermée dont le comportement soit encore voisin de celui d’un système de deuxième ordre. Le système corrigé sera caractérisé par :  son régime transitoire : o amortissement , o pulsation naturelle n, o dépassement D désiré, o temps de réponse tr,  son régime permanant o erreur statique de position nulle o erreur statique de vitesse nulle

1.1 Calcul du correcteur

Pour répondre au cahier des charges ci-dessus, le correcteur devra répondre aux impératifs suivants : a) il doit composer les pôles et les zéros stables de la fonction de transfert en boucle fermée, c’est dire ceux situés à l’intérieur du cercle de rayon 1 (à l’exclusion de z=0). Ceci implique que C(z) comporte un terme C1(z) tel que : C1( z ) 

(1  p1z 1)(1  p2 z 1)

(1  z1z 1)(1  z2 z 1) Où les pi et zi représentent les pôles et les zéros stables de la fonction de transfert en boucle ouverte F(z).

b) Pour annuler l’écart statique de position et l’écart statique de traînage, il faut que le système soit de classe 2. Un intégrateur se caractérise par une fonction de transfert de la forma 1/(1-z-1). Donc le correcteur contiendra un terme : 1 C2 ( z )  1 2  q (1  z ) Où q est le nombre d’intégrations de la fonction de transfert en boucle ouverte.

c) enfin C(z) comportera autant de paramètres que de spécifications demandées : amortissement, temps de réponse, dépassement, … Il contiendra donc un terme de la forme : C3 ( z ) 

(1  A1z 1)(1  A3 z 1)

(1  A2 z 1)(1  A4 z 1) Où les Ai correspondent, chacun, à une spécification. Dans ces conditions, la fonction de transfert du correcteur s’écrit :

C(z)=KC1(z)C2(z)C3(z)

K est une constante. 1.2 Application

1 muni de son bloqueur d’ordre zéro. On désire s ( s  1) asservir ce système numériquement en utilisant un correcteur à pôles dominants permettant d’obtenir :  p=v=0,  =0.7,  tpic = 4

On considère le système F ( s ) 

Prenons =0.5s. La fonction de transfert du processus muni de son bloqueur d’ordre zéro est : F ( z )  0.1z 1

Calcul du correcteur Il aura pour fonction de transfert C ( z)  K

1  z 1

(1  z 1)(1  0.6 z 1)

1  0.6 z 1

Compensation

2- prédicteur de Smith On admet

1  A1z 1

1  z 1 1  A2 z 1

1 intégrateur

Il faut calculer les trois paramètres K, A1 et A2. Réalisation du correcteur

1

2 spécifications

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