CORRELACION Y REGRESION Ejercicios resueltos Cuestiones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Calcular la media, media, desviación desviación estándar, varianza, intervalo, intervalo, etc. utilizando los los cálculos intermedios intermedios y funciones de Excel. Dibujar un diagrama de dispersión. dispersi ón. Dibujar un diagrama de probabilidad normal para cada variable. Calcular el coeficiente de correlación. ¿Qué parte parte de la variación variación observada observada en la concentración catalítica de Fosfatasa alcalina alcalina (columna (columna X ) se explica por la aproximadamente relación linear con la ALT (columna Y )? Determinar la ecuación de regresión por mínimos cuadrados. Hallar los residuales. residuales. Dibujar un diagrama diagrama de residuales, residuales, diagrama QQ de residuales residuales y diagrama de residuales frente a valores ajustados: ¿es apropiado el modelo lineal? Suponiendo un valor de x
= 0,85 , ¿cuál es el valor esperado de y ?
Datos Determinaciones Determinaciones de enzimas marcadores de hepatopatía: hepatopatía: fosfatasa alcalina y ALT. Colum Columna na X: result resultad ados os de deter determin minar ar fosfat fosfatasa asa alcal alcalina ina;; Colu Column mna a Y: Y: resu result ltad ados os de deter etermi mina narr ALT ALT
n = 49 supuestos pacientes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
X 0,10 0,20 0,10 0,20 0,10 0,01 0,01 0,10 0,90 0,80 1,00 0,80 0,01 0,01 0,30 0,20 0,10 0,01 0,10 0,60 1,19 2,40 0,01
Y 20 30 25 30 35 35 40 30 60 55 60 30 20 25 20 25 45 25 40 45 50 75 40
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
0,58 1,30 1,20 2,40 1,50 1,40 2,00 2,50 2,50 1,25 1,50 1,90 2,40 2,41 2,38 1,50 2,00 2,50 1,20 2,00 2,40 2,60 2,00 1,50 2,38 2,39
35 60 65 80 65 65 65 70 75 60 65 70 70 60 85 50 60 70 60 65 90 80 70 60 65 80
El aspecto de los primeros 12 datos en Excel es:
El cálculo de las cantidades necesarias para la realizar un estudio estadístico descriptivo se hace utilizando 1 las siguientes funciones
fórmula
función Excel
n
Suma
(1)
∑
i
i =1 n
Suma de cuadrados
(2)
∑
2 i
i =1
1
Para acceder a estas funciones, debe teclearse directamente la instrucción o acceder al menú funciones, como se explica en el Apéndice A.
2
fórmula
función Excel
n
∑
(3)
Suma de productos
i
yi
i =1
El resultado es el siguiente:
fórmula Media
=
(4)
(5)
s=
2
1 n
función Excel
n
∑ x
i
i =1
1
n
∑( n −1
2
x− x)
i
i =1
(6)
2 n n ∑ xi 1 2 x 2 − i =1 s = ∑i n − 1 i =1 n
(7)
s = s
Varianza
Desviación típica
2
Los resultados, utilizando el cálculo con las fórmulas o directamente con las funciones es el mismo:
Una forma alternativa es utilizar la opción
del menú
3
:
Al pulsar
y seleccionar
sobre esta opción se abre la siguiente ventana:
la opción
con
para dar paso a la siguiente pantalla:
En el que hay que introducir en la ventana
las celdas que contienen las observaciones, indicando que están agrupadas por columnas:
Nótese que al marcar en la opción se ha introducido la fila 1 en la definición del conjunto de observaciones. El resto de opciones se dejan por defecto.
Al
esta pantalla, en una hoja de cálculo nueva aparece el resultado del análisis descriptivo:
4
2. Dibujar un gráfico de dispersión Pulsar
en la barra de herramientas de Excel la opción
Pulsar
en la opción
que abre el menú
para iniciar una serie de cuatro pasos del asistente para gráficos en la
primera pantalla:
5
Seleccionar
la opción
y pulsar
en
para acceder a la pantalla:
Es posible introducir cambios y rótulos utilizando las ventanas de la pestaña y mejorar estéticamente el aspecto de los diagramas. Sin embargo, para simplificar esta exposición se obviaran estos detalles.
Pulsar
en
para acceder a la tercera página del asistente, donde se puede introducir la
información complementaria e introducir rótulos en el diagrama:
6
Pulsar
en
para acceder a la cuarta página:
que señala la ubicación del diagrama de dispersión y se procede a finalizarlo :
Situar el cursor y pulsar
sobre un punto cualquiera del diagrama
7
pulsando en
Abrir el menú contextual pulsando el botón derecho del ratón
]
la opción
]
la opción
Seleccionar
Seleccionar La pestaña
]
:
para abrir el menú siguiente:
.
abre la siguiente pantalla
8
]
Marcar
Y
en las opciones
pulsar en
para obtener el diagrama con una línea recta orientativa del modelo que
puede seguir la relación entre X e Y :
3. Dibujar un diagrama de probabilidad normal Una forma práctica es utilizar la opción anteriormente para obtener la estadística descriptiva:
del menú
9
como se hizo
Al pulsar
y pulsando
sobre esta opción se abre la siguiente ventana:
,la opción
se selecciona con
para dar paso a la siguiente pantalla:
En este menú se entra el intervalo de celdas correspondientes a la variable Y , y a la variable X , mencionando si la primera celda contiene información del nombre de la variable:
10
Debe indicarse el destino de la información que Excel va a procesar, indicando la celda que será el extremo superior izquierdo de la salida (como se indica en este ejemplo) o si por el contrario se desea en una hoja o libro aparte:
Para obtener un gráfico de probabilidad normal, debe
y aceptar
pulsando
marcarse la correspondiente opción:
para obtener el siguiente resultado:
junto con la información de la r egresión:
11
y el correspondiente análisis de la varianza y de los coeficientes de regresión que tendrá interés desde el punto de vista inferencial:
4. Dibujar un diagrama de probabilidad normal Primeramente debe establecerse las clases en que clasificar los datos. En este ejemplo se han escogido 26 clases entre 0 y 2,6 con intervalos crecientes de 0,1 unidades: 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 etc. Para hallar la frecuencia acumulada en cada clase se
situará el cursor en la celda que queda delante
de la definición del primer grupo:
Y se procederá a insertar la función que proporciona la frecuencia acumulada. Para ello, se debe pulsar en
y seleccionar
y
en el menú:
12
Para que se abra el menú correspondiente a la función:
entrando en “Datos” el intervalo de casos y en “Grupos” el código de la primera celda de la lista de clases. Pulsar
y en esta celda queda registrado el valor de la distribución acumulada empírica. En la celda de
la derecha se expresará este valor en forma de fracción dividiendo por n + 1 :
de forma que el aspecto de esta primera línea es:
En la celda de la derecha se obtendrá el correspondiente inverso de la distribución normal insertando la función apropiada: pulsando en
y seleccionando
13
y
en el menú
Entrar pulsando
para obtener el menú:
En el que se entra la celda donde está la probabilidad acumulada tecleando el código de entrada y aceptar pulsando para que devuelva el valor de z . Copiando los contenidos de estas tres celdas (en el ejemplo F2:H2) a todo el intervalo de clases, se obtiene la siguiente tabla:
14
Finalmente, se trata de dibujar un diagrama de dispersión entre la marca de clase (en abscisas) y el valor de la desviación de la distribución normal estándar inversa ( z ) en ordenadas:
5. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson y de Spearman Para el cálculo del coeficiente de correlación de Pearson se requieren los siguientes cálculos intermedios:
fórmula Suma del cuadrado de las desviaciones
n
S
2
=∑
xx
n ∑ i 2 i =1 x −
i =1
Suma del producto de desviaciones
función Excel
i
2
n
n n ∑ yi ∑ xi n 2 i =1 i =1 SS yx = ∑ y xi − i n
i =1
15
cov ( X , Y ) =
Covarianza
r =
Coeficiente de correlación de Pearson
S yx n
S yx S yyS xx
El resultado de aplicar las funciones Excel es:
El coeficiente de correlación de 0,91 es sugestivo de que la relación entre X e Y es lineal. Una forma alternativa es utilizar el menú
Y seleccionar
para obtener como resultado una matriz de correlación:
6. ¿Qué parte de la variación observada en una variable se explica por la relación linear con la otra? Para investigar la parte de la variabilidad en la concentración catalítica de Fosfatasa alcalina ( X ) atribuible 2
a la variabilidad de ALT ( Y ), debe calcularse el coeficiente de determinación R :
fórmula Coeficiente de determinación
función Excel
S yx 2 2 R = r = S yyS xx
2
El resultado es: Es decir, el 82,3 % de la variabilidad de X es atribuible a la variabilidad de Y .
7. Determinar la ecuación de regresión por mínimos cuadrados El modelo de regresión yi
Pendiente Interceptación
= α + β xi + ε i
donde ε i
∼ N ( 0,σ 2 ) fórmula S yx β ˆ = S xx
ˆx αˆ = y − β
16
implica los siguientes cálculos:
función Excel
El resultado es:
El uso de la función también permite estimar los valores de la pendiente y de la interceptación, sin embargo su utilización (algo más compleja) es más apropiada para cálculos inferenciales,.
8. Hallar los residuales. Dibujar un diagrama de residuales, diagrama QQ de residuales y diagrama de residuales frente a valores ajustados: ¿es apropiado el modelo lineal? Si en el menú:
se ha
seleccionado la opción
Puede a su vez
seleccionarse las siguientes opciones para hacer un análisis de residuales:
Al pulsar
aparecen los siguientes datos:
Análisis de los residuales Observación Pronóstico Y
1 32,20679888
Resultados de datos de probabilidad Residuos
-12,2067989
Residuos estándares
-1,47656835
17
Percentil
1,020408163
Y
20
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
34,09774421 32,20679888 34,09774421 32,20679888 30,50494809 30,50494809 32,20679888 47,3343615 45,44341617 49,22530683 45,44341617 30,50494809 30,50494809 35,98868954 34,09774421 32,20679888 30,50494809 32,20679888
-0,49567454 -0,87175444 -0,49567454 0,337873378 0,543733985 1,148547896 -0,26694053 1,53207087 1,155990967 1,303336863 -1,86807859 -1,27070775 -0,66589384 -1,93403637 -1,10048845 1,547501199 -0,66589384 0,942687289
3,06122449 5,102040816 7,142857143 9,183673469 11,2244898 13,26530612 15,30612245 17,34693878 19,3877551 21,42857143 23,46938776 25,51020408 27,55102041 29,59183673 31,63265306 33,67346939 35,71428571 37,75510204
20 20 25 25 25 25 30 30 30 30 35 35 35 40 40 40 45 45
20 41,66152552 3,338474482 0,403831161
39,79591837
50
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
41,83673469 43,87755102 45,91836735 47,95918367 50 52,04081633 54,08163265 56,12244898 58,16326531 60,20408163 62,24489796 64,28571429 66,32653061 68,36734694 70,40816327 72,44897959 74,48979592 76,53061224 78,57142857 80,6122449 82,65306122 84,69387755 86,73469388 88,7755102 90,81632653 92,85714286 94,89795918 96,93877551 98,97959184
50 55 60 60 60 60 60 60 60 60 65 65 65 65 65 65 65 70 70 70 70 70 75 75 80 80 80 85 90
52,81810295 75,69854141 30,50494809 41,28333645 54,89814281 53,00719748 75,69854141 58,68003346 56,78908813 68,1347601 77,58948673 77,58948673 53,95267014 58,68003346 66,24381477 75,69854141 75,88763594 75,32035234 58,68003346 68,1347601 77,58948673 53,00719748 68,1347601 75,69854141 79,48043206 68,1347601 58,68003346 75,32035234 75,50944687
-4,09774421 -7,20679888 -4,09774421 2,793201117 4,495051912 9,495051912 -2,20679888 12,6656385 9,556583828 10,77469317 -15,4434162 -10,5049481 -5,50494809 -15,9886895 -9,09774421 12,79320112 -5,50494809 7,793201117
-2,81810295 -0,69854141 9,495051912 -6,28333645 5,101857192 11,99280252 4,301458595 6,319966538 8,210911865 -3,1347601 -7,58948673 -2,58948673 6,047329856 6,319966538 3,75618523 -5,69854141 -15,8876359 9,67964766 -8,68003346 -8,1347601 -7,58948673 6,99280252 -3,1347601 14,30145859 0,519567941 1,865239903 1,319966538 -10,3203523 4,490553128
-0,34088557 -0,08449751 1,148547896 -0,76004986 0,61713484 1,450682758 0,520316399 0,764480735 0,993214743 -0,3791893 -0,91804543 -0,31323152 0,731501844 0,764480735 0,454358616 -0,68931142 -1,92181264 1,170877111 -1,049961 -0,98400321 -0,91804543 0,845868848 -0,3791893 1,72994422 0,062848384 0,225624608 0,159666825 -1,24837853 0,5431898
18
Y los gráficos correspondientes a los residuales y a la recta ajustada
9. Suponiendo un valor de x = 0,85 , ¿cuál es el valor esperado de y ? yˆ = 18,909 x + 30,316 yˆ = 18, 909 × 0, 85 + 30, 316 yˆ = 43,39
19
Apéndice A. Acceso a las funciones Excel. 1. Colocar el cursor en la celda donde se va a colocar el resultado de la función. Por ejemplo, B52:
2. En la barra de utilidades aparecerá la identificación de la celda
3. Pulsar
sobre el signo
o en
™ y aparece el menú correspondiente a la última función
solicitada:
4. Pulsando
5. Pulsar marcar
el botón
se despliega una lista de las funciones utilizadas más recientemente:
sobre el nombre oportuno, por ejemplo la opción
. Si no es ninguna de estas,
y se abrirá el menú “Pegar función”
20
con diferentes posibilidades clasificadas por categorías. Marcar, por ejemplo
para
n
obtener
∑
i
yi
i =1
y aceptar la selección con
para que se abra el menú de la función en la hoja de cálculo:
6. A esta ventana se puede acceder de forma más directa pulsando la tecla el siguiente menú:
7. Pulsar
en
21
directamente
en
que hace aparecer
8. En la ventana
hay que introducir el intervalo de n
datos correspondiente al primer factor de
∑ x
i
yi : B2:B50. Alternativamente,
pulsando
se accede
i =1
a la hoja de cálculo en modo “marcar intervalo de celdas” para identificar con el cursor el conjunto de registros que se desea multiplicar. La ventana
que queda abierta indica el intervalo marcado. Finalizar
pulsando sobre el icono
de esta ventana
para regresar al menú de la función. Repetir este procedimiento para la ventana Matriz2, que tendrá este aspecto:
Obsérvese como en la parte inferior de la ventana del menú de función aparece el resultado de aplicar la función: .
Aceptar
pulsando en
Y en la celda de destino queda registrado este mismo resultado:
22
