MEDIDAS, GRÁFICAS Y CÁLCULO DE ERRORES EN EL LABORATORIO DE FÍSICA
1
ÍNDICE Números decimales... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
Notación científica! O"#en #e $a%nit&#
Cifras significativas.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
5
Cif" Cif"a' a' 'i%n 'i%nif ific icat ati( i(a' a'! ! O)e" O)e"ac acio ione ne'' a"it$ a"it$*t *tica ica'' con con cif"a cif"a'' 'i%nificati(a'!S&$a! Re'ta! +"o#&cto! Cociente! +otenciación! Ra#icación! Re%a' #e "e#on#eo #e n-$e"o'
Características de un instrumento de medida ... ... ... ...
8
Algunos instrumentos de medida ... ... ... ... ... ... ... ...
9
Re%a #e $e#i". Cai/"e. To"nio $ic"o$*t"ico
edidas... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
!"
E""o"e'! E0actit&# 1 )"eci'ión! E'ti$ación #e e""o" e0)e"i$enta! E""o" a/'o&to! E""o" "eati(o! E""o" )o"cent&a
Com#inaci$n de incertidum#res incertidum#res ... ... ... ... ... ... ... ...
!8
S&$a #e $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o"! Dife"encia #e $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o" ! +"o#&cto #e &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" )o" &n n-$e"o e0acto! Cociente #e &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" )o" &n n-$e"o e0acto! +"o#&cto #e #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o"! Cociente #e #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o"! +otencia + otencia #e &na $a%nit&# afecta#a #e e""o"! Ra#icación #e &na $a%nit&# afecta#a #e e""o"! E""o" "eati(o #e &na f&nción e0)onencia! Seno #e &n 2n%&o afecta#o #e e""o"! Co'eno #e &n 2n%&o afecta#o #e e""o"! Tan%ente #e &n 2n%&o afecta#o #e e""o"! F&nción #e &na (a"ia/e F&nción #e (a"ia' (a"ia/e'!M*to#o /a'a#o en a #ife"encia #e o%a"it$o ne)e"iano #e &na f&nción
%alor %a lor m&s 'ro#a#le de una serie de medidas... ... ... ... ...
(5
Me#ia a"it$*tica! E""o" a/'o&to #e &na 'e"ie #e $e#i#a' ta 3&e n 4 56 De'(iación $e#ia! E""o" a/'o&to #e &na 'e"ie #e $e#i#a' ta 3&e n 7 56 De'(iación tí)ica De'(iación tí)ica #e a $e#ia! E""o" "eati(o 1 e""o" )o"cent&a
Com#inaci$n de desviaciones tí'icas ... ... ... ... ... ... ...
(8
S&$a! Dife"encia! +"o#&cto! Cociente! F&nción #e &na (a"ia/e! F&nción #e (a"ia' (a"ia/e'! (a"ia/e'! M*to#o /a'a#o en a #ife"encia #e o%a"it$o ne)e"iano #e &na f&nción! f&nción! Ec&acione' en a' 3&e inte"(ienen (a"ia/e' c&1o' e""o"e' 'on #e ti)o #e ince"ti#&$/"e' 1 #e #e'(iacione' tí)ica'! E8e"cicio' I
)r&ficas.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
"5
S&%e"encia' S&%e"encia' )a"a con't"&i" con't"&i" &na %"2fica! %"2fica! +en#iente #e &na "ecta! E8e"cicio' II. Re)"e'entac Re)"e'entación ión %"2fica %"2fica #e f&ncione' f&ncione' no ineae'! ineae'! +a)e o%a"ít$ico o%a"ít$ico!! +a)e 'e$io%a"ít$ 'e$io%a"ít$ico! ico! E8e"cicio' E8e"cicio' III. C2c&o #e a ince"ti#&$/"e ince"ti#&$/"e en a )en#iente #e &na "ecta! A8&'te #e &na "ecta 3&e no )a'a )o" e o"i%en
A*uste 'or mínimos cuadrados. ... ... ... ... ... ... ... ...
5+
A8&'te )o" $íni$o' c&a#"a#o'! E""o"e' #e o' )a"2$et"o' a 1 /! Coeficiente #e co""eación. E8e"cicio' I9. E8e"cicio )"2ctico
,es'uestas a los e*ercicios 'ro'uestos. 'ro'uestos. ... ... ... ... ... ...
5-
i#liografía... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
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N/E,01 DECIA2E1 Notaci$n científica La notación científica con'i'te en e'c"i/i" c&a3&ie" n-$e"o, %"an#e o )e3&e:o, en fo"$a #e &n n-$e"o #eci$a 3&e conten%a &na 'oa cif"a ente"a ;a #e a' &ni#a#e'<, 1 &na )otencia #e /a'e => 1 e0)onente )o'iti(o o ne%ati(o E8e$)o6 E'c"i/i" en notación científica o' 'i%&iente' n-$e"o' N-$e"o'
Notación científica =,?@ 0 =>=5
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0rden de magnitud Deno$ina"e$o' o"#en #e $a%nit&# #e &n n-$e"o, a a )otencia #e /a'e => $2' ce"cana a #ico n-$e"o E o"#en #e $a%nit&# #e &n n-$e"o no' #a &na i#ea #e '& ta$a:o 1 no' )e"$ite e(a" a ca/o ca'ificacione' con c"ite"io' c&antitati(o' +a"a aa" e o"#en #e $a%nit&# #e &n n-$e"o, 'it&a$o' *'te ent"e #o' )otencia' con'ec&ti(a' #e /a'e =>, o/'e"(an#o #e')&*' a c&2 #e ea' 'e a)"o0i$a $2' E8e$)o6 Encont"a" e o"#en #e $a%nit&# #e o' 'i%&iente' n-$e"o'
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E 'e enc&ent"a co$)"en#i#o ent"e => o 1 =>
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En a fi%&"a 'e )&e#e o/'e"(a" 3&e e n-$e"o 'e enc&ent"a $2' ce"ca #e => 3&e #e => >, )o" o tanto, '& o"#en #e $a%nit&# e' => +a"a e n-$e"o 5, 'e tiene 3&e '& o"#en #e $a%nit&# e' => > Mient"a' 3&e e o"#en #e $a%nit&# #e ?,? )&e#e 'e" in#i'tinta$ente => > ó => )o" 3&* Dete"$ine$o' ao"a e o"#en #e $a%nit&# #e n-$e"o H'te 'e enc&ent"a co$)"en#i#o ent"e => 1 =>
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Se o/'e"(a 3&e e n-$e"o 'e enc&ent"a $2' ce"ca #e => 3&e #e =>, )o" o tanto '& o"#en #e $a%nit&# e' => Sien#o o' #e o' n-$e"o' =5 1 5@, => 1 =>5 "e')ecti(a$ente
CI3,A1 1I)NI3ICAI%A1 Cifras significativas La' cif"a' 'i%nificati(a' #e &na canti#a#, (ienen #a#a' )o" to#o' o' #í%ito' $e#i#o' con ce"tea, $2' a )"i$e"a cif"a e'ti$a#a o #í%ito #&#o'o E n-$e"o #e cif"a' 'i%nificati(a' #e &na canti#a# e0)"e'a '& 'recisi$n La $e#i#a ?,@ $ tiene t"e' cif"a' 'i%nificati(a' La $e#i#a >,> ' tiene #o' cif"a' 'i%nificati(a' La $e#i#a 5,> c$ tiene #o' cif"a' 'i%nificati(a' La $e#i#a >,5 c$ tiene &na cif"a 'i%nificati(a La $e#i#a 5 J$ tiene &na cif"a 'i%nificati(a La $e#i#a 5,>> ' tiene t"e' cif"a' 'i%nificati(a' En oca'ione', )a"a conoce" e n-$e"o #e cif"a' 'i%nificati(a' #e &na $e#i#a, e' con(eniente e0)"e'a" a $i'$a en notación científica S&)on%a$o' 3&e o/tene$o' a 'i%&iente $e#i#a con t"e' cif"a' 'i%nificati(a'6 5,? $ Si a e0)"e'a$o' en $ií$et"o' 'e"ían 5?> $$ +o#"ía$o' )en'a" 3&e '& n-$e"o #e cif"a' 'i%nificati(a' e' ao"a #e c&at"o, o c&a no tiene 'enti#o, )e"o 'i a e'c"i/i$o' en notación científica 5,? 0 => (e$o', co$o e"a #e e')e"a", 3&e contin-a tenien#o t"e' cif"a' 'i%nificati(a'
0'eraciones aritmticas con cifras significativas 1uma6 La '&$a #e #o' o $2' $e#i#a' no #e/e 'e" $2' )"eci'a 3&e a $eno' )"eci'a #e a' $e#i#a' E8e$)o6 Se tienen 3&e '&$a" a' 'i%&iente' $e#i#a'6 ,@= $K ,=@ $ ,= $ Mate$2tica$ente a/an#o, )o#"ía$o' '&$a"a' #e a 'i%&iente $ane"a,
,@= $ ,=@ $ ,= $ =,@= $ De/e$o' con'i#e"a" 3&e e'ta$o' '&$an#o $e#i#a' 1 a o)e"ación ante"io" no e' co""ecta, 1a 3&e no )o#e$o' a'&$i" 3&e en a $e#i#a ,=@ $ a cif"a #e a' $i*'i$a' 'ea &n ce"o, )&e' en "eai#a# no o 'a/e$o' La $i'$a 'it&ación 'e )"e'enta con a $e#i#a ,= $ 3&e ace" entonce', 'i$)e$ente )"e'enta" to#a' a $e#i#a' con e $i'$o %"a#o #e )"eci'ión 3&e a $eno' )"eci'a #e a' $i'$a'
,@= $ ,=@> $ ,=>> $ =,@= $
,@= $ ,=@0 $ ,=00 $ =,?00 $
,5 $ , $ ,= $ =, $
La '&$a #e a #e"eca e' fia/e, 1a 3&e e' e "e'&ta#o #e &na '&$a #e $e#i#a' fia/e' Sin e$/a"%o, a '&$a #e a i3&ie"#a no o e', 1a 3&e #e'conoce$o' a' cif"a' 'e:aa#a' con 0
,esta6 La #ife"encia #e #o' $e#i#a' no #e/e 'e" $2' )"eci'a 3&e a $eno' )"eci'a #e a' $i'$a' E8e$)o6 Da#a' a' 'i%&iente' $e#i#a' ?@, c$ 1 ?, c$, encont"a" '& #ife"encia
?@,5 c$ ?,C c$ ?=, c$ 7roducto6 E )"o#&cto #e #o' o $2' $e#i#a' no #e/e tene" $2' cif"a' 'i%nificati(a' 3&e a $e#i#a 3&e tiene e $eno" n-$e"o #e ea' E8e$)o6 Cac&a" a '&)e"ficie #e &na )iea "ectan%&a" #e 5,5 $ #e a"%o )o" =, $ #e anco ;5,5 $<;=, $< ?,> $ "e'&ta#o 5( m(
Cociente6 E cociente #e #o' $e#i#a' no #e/e tene" $2' cif"a' 'i%nificati(a' 3&e a $e#i#a 3&e tiene e $eno" n-$e"o #e ea' E8e$)o6 Dete"$ina" a "a)i#e $e#ia #e &n $ó(i 3&e "eco""e ,? $ en ,= ' (
,? $ ,>5 $ ' != "e'&ta#o "8( m s ! ,= '
7otenciaci$n6 A ee(a" &na $e#i#a a &n e0)onente n, en e "e'&ta#o 'e con'e"(an tanta' cif"a' 'i%nificati(a' co$o tiene a $e#i#a E8e$)o6 Dete"$ina" e (o&$en #e &n c&/o #e =,? $ #e a#o 9 ;=,? $< =,?=? $ "e'&ta#o !95 m"
,adicaci$n6 A e0t"ae" a "aí #e &na $e#i#a, en e "e'&ta#o 'e con'e"(an tanta' cif"a' 'i%nificati(a' co$o tiene a $e#i#a E8e$)o6 Una )iea c&a#"a#a tiene &na '&)e"ficie #e , $$ Dete"$ina" a on%it&# #e '&' a#o' L
, $$ =,?5 $$ "e'&ta#o !54 mm(
,eglas de redondeo de números e$o' (i'to en o' e8e$)o' ante"io"e', a nece'i#a# #e ei$ina" #í%ito' 3&e ca"ecen #e 'enti#o e'to 'e conoce con e no$/"e #e "e#on#eo #e n-$e"o', 1 'e a)ica 'e%-n a' 'i%&iente' "e%a'6
a< Si a cif"a a ei$ina" e' $eno" 3&e ?, 'e )"oce#e a '& ei$inación 'in $2' /< Si a cif"a a ei$ina" e' $a1o" 3&e ?, 'e a&$enta en &na &ni#a# a -ti$a cif"a "eteni#a c< Si a cif"a a ei$ina" e' ?, 1 a 3&e e antece#e e' i$)a", 'e a&$enta *'ta en &na &ni#a# 1 'i e' )a" 'e #e8a co$o e't2 Ta$/i*n 'e &tiia a 'i%&iente "e%a6 'i a cif"a a ei$ina" e' $eno" 3&e ?, a -ti$a cif"a "eteni#a 'e 3&e#a i%&a Si a cif"a a ei$ina" e' ? o $a1o" 3&e ? entonce' 'e a&$enta en &na &ni#a# a -ti$a cif"a "eteni#a La' cac&a#o"a' a "e#on#ea" &tiian e'te $*to#o Co$)"&*/ao E8e$)o6 Re#on#ea" o' 'i%&iente' n-$e"o' a a' cent*'i$a', ,5,? 5,55, =,?=, ,@?,@ @,5@,?> ,?, >,>>,> >,>>,> >,>@>,= >= >,>>>,>= @,>@,> 5,?5,@ ,?,? 5,5, >,>>>,>=
CA,ACE,I1ICA1 DE /N IN1,/EN0 DE EDIDA La i$)o"tancia 3&e o' in't"&$ento' #e $e#i#a tienen act&a$ente tanto en e ca$)o #e a ciencia co$o en e #e a tecnoo%ía, e' ta, 3&e #ifíci$ente 'e conci/e a "eaiación #e c&a3&ie" t"a/a8o científico o tecnoó%ico, 'in e a)o1o in't"&$enta La e0)icación #e eo e' 'encia, o' 'enti#o' )&e#en en%a:a"no' E0i'ten $a%nit&#e' co$o a )"e'ión, &$e#a#, etc, 3&e no 'on )e"ce)ti/e' #e 'e" $e#i#a' a t"a(*' #e o' 'enti#o' 9a"iacione' $&1 )e3&e:a' #e a $a%nit&# a $e#i" 'o/"e)a'an a 'en'i/ii#a# #e n&e't"o' 'enti#o' De a $i'$a $ane"a, (ao"e' e0t"e$a#a$ente %"an#e' o $&1 )e3&e:o', ta$)oco )&e#en )e"ci/i"'e a t"a(*' #e o' 'enti#o' Re'&$ien#o, n&e't"o' 'enti#o' no 'on fia/e' De e'ta fo"$a o' in't"&$ento' #e $e#i#a 'e #i'e:an 1 con't"&1en )en'an#o en a nece'i#a# #e c&/"i" e'ta' 1 ot"a' ca"encia' E &'o a 3&e 'e #e'tine, a'í co$o, a' e0i%encia' #e )"eci'ión 1 e0actit&# en a $e#i#a, con#iciona"2n a cai#a# #e $i'$o, )o" eo e' i$)o"tante ante' #e a#3&i"i" &n a)a"ato #e $e#i#a, tene" $&1 ca"o c&ae' 'on a' )"e'tacione' 3&e 'e e')e"an #e $i'$o Un a)a"ato #e $e#i#a 3&e#a #efini#o )o" a' 'i%&iente' ca"acte"í'tica'6 ! Cota' $20i$a 1 $íni$a ! Ran%o ! Ra)i#e #e "e')&e'ta ! Sen'i/ii#a# ! Fi#ei#a# ! Re'o&ción o a)"eciación ! +"eci'ión
Cotas m&:ima ; mínima6 La cota $20i$a e' e (ao" $20i$o 3&e )&e#e $e#i"'e con &n in't"&$ento #e $e#i#a +o" ot"a )a"te, a (ao" $íni$o 'e e a$a cota $íni$a E' i$)o"tante conoce" a' cota' $20i$a 1 $íni$a #e &n in't"&$ento, eo e(ita"2 '& )o'i/e #ete"io"o 1 a &tiiación #e "an%o a#ec&a#o a a $e#i#a en c&e'tión ,ango6 E "an%o #e &n in't"&$ento no' 'e:aa e ni(e #e $e#icione' 3&e )&e#en "eaia"'e con * A%&no' in't"&$ento', co$o o' )oí$et"o', #i')onen #e #ife"ente' "an%o' )a"a a $e#i#a #e ten'ione', inten'i#a#e', ca)aci#a#e', in#&ctancia', etc ,a'ide<6 La "a)i#e #e &n in't"&$ento e't2 "eaciona#a con e tie$)o 3&e *'te nece'ita )a"a in#ica" e (ao" #e &na $a%nit&# 1ensi#ilidad6 Se entien#e )o" 'en'i/ii#a#, a a/ii#a# #e &n in't"&$ento )a"a #etecta" (a"iacione' $íni$a' #e a $a%nit&# a $e#i" C&anto $eno" 'ea a a)"eciación #e in't"&$ento #e $e#i#a $a1o" 'e"2 '& 'en'i/ii#a# 3idelidad6 Se #ice 3&e &n in't"&$ento #e $e#i#a e' fie, c&an#o "e)itien#o (a"ia' (ece' a $i'$a $e#i#a 'e o/tienen (ao"e', 'ino i#*ntico', )"2ctica$ente i%&ae' ,esoluci$n o a'reciaci$n6 La $eno" $e#i#a e0acta 3&e )&e#e "eaia"'e con &n in't"&$ento #e $e#i#a, "eci/e e no$/"e #e "e'o&ción o a)"eciación 7recisi$n6 La )"eci'ión #e &n in't"&$ento #e $e#i#a in#ica a $íni$a (a"iación #e $a%nit&# 3&e )&e#e 'e" #ete"$ina#a )o" e $i'$o Un in't"&$ento, co$o )o" e8e$)o &n te"$ó$et"o #i%ita, )&e#e tene" &na "e'o&ción o a)"eciación #e >,= PC 1 'in e$/a"%o '& )"eci'ión 'e" #e Q >, PC
A2)/N01 IN1,/EN01 DE EDIDA ,E)2A DE EDI, La "e%a #e $e#i" e' &no #e o' in't"&$ento' #e $e#i#a $2' 'i$)e' 1 #e $a1o" &'o Se )&e#en o/tene" con ea "e'&ta#o' con &na )"eci'ión a)"o0i$a#a #e Q >,? $$, 'in e$/a"%o )a"a eo, #e/e$o' e(ita" o' 'i%&iente' e""o"e'6 a< E""o" #e )a"aa8e /< E""o" en e ce"o c< Cai/"ación inco""ecta E e""o" #e )a"aa8e 'e co$ete a #i"i%i" a (i'&a o/ic&a$ente o #e'#e #i'tinta' #i"eccione' 'o/"e a e'caa #e $e#ición La $e8o" $ane"a #e $ini$ia"o, e' #i"i%ien#o a (i'&a )e")en#ic&a"$ente a a e'caa E'te ti)o #e e""o" oc&""e, no 'óo con a "e%a #e $e#i", 'ino con to#o' a3&eo' in't"&$ento' en 3&e &n in#ica#o" 'e $&e(a 'o/"e &na e'caa
+o'ición co""ecta +o'ición inco""ecta
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5
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Gene"a$ente o' e0t"e$o' #e a' "e%a' '&een encont"a"'e /a'tante #ete"io"a#o', )o" eo #e/e #e'confia"'e #e a )o'ición ce"o, no 'óo #e a "e%a, 'ino #e c&a3&ie" in't"&$ento #e $e#i#a +o" eo c&an#o 'e $i#e con a "e%a, e e""o" en e ce"o )&e#e e(ita"'e $i#ien#o co$o 'e in#ica en a 'i%&iente fi%&"a, "eco"#an#o &e%o #e "eaia" a '&/'t"acción 3&e co""e')on#a
=
5
?
@
?
@
Me#i#a inco""ecta
=
5
Me#i#a co""ecta
No"$a$ente a' "e%a' 3&e &tiia$o' '&een 'e" "e%a' econó$ica', )o" o 3&e %ene"a$ente a' e'caa' '&een e'ta" $a"ca#a' inco""ecta$ente Si 'e (an a &tiia" en $e#i#a' 3&e "e3&ie"an #e /&ena e0actit&#, #e/e"2 co$)"o/a"'e e't2, cooc2n#oa 8&nto a &na "e%a )at"ón, o/'e"(an#o a' ect&"a'
A'reciaci$n de una regla La a)"eciación #e &na "e%a 'e #ete"$ina $e#iante a e0)"e'ión A Don#e
L L n
L e' &na ect&"a c&a3&ie"a #e a "e%a #ife"ente #e ce"o L e' &na ect&"a #e a "e%a $eno" 3&e a ect&"a L n e' e n-$e"o #e #i(i'ione' ent"e a$/a' ect&"a'
CA2I,E E cai/"e o )ie #e "e1 e' &n in't"&$ento, %ene"a$ente #e ace"o, con'tit&i#o )o" &na "e%a R ;#e > ó > c$<, %"a#&a#a en $ií$et"o', 'o/"e a 3&e #e'ia &na )iea C, en a 3&e (a &n noni&', 1 c&1o ce"o #e/e coinci#i" con e ce"o #e a "e%a R c&an#o a' #o' )iea' A 1 B ;ent"e a' c&ae' 'e cooca e c&e")o c&1a on%it&# inea 3&ie"e $e#i"'e< e't2n en contacto Si o' ce"o' no coinci#en, a1 &n e""o" #e ce"o 3&e #e/e 'e" con'i#e"a#o a efect&a" a' $e#i#a' Si e ce"o #e noni&' 3&e#a 'it&a#o a a i3&ie"#a #e ce"o #e a "e%a R, e e""o" e' ne%ati(o, e' #eci" , a $e#i#a "eaia#a e' $eno" 3&e a "ea 1 )o" o tanto a1 3&e '&$a" a *'ta e e""o" #e ce"o En e ca'o #e 3&e e ce"o #e noni&' 3&e#e a a #e"eca #e ce"o #e a "e%a R, e e""o" e' )o'iti(o, a $e#i#a "eaia#a "e'&ta $a1o" 3&e a "ea 1 en e'te ca'o a1 3&e "e't2"'ea a a $e#i#a #e e""o" #e ce"o La )iea C 3&e#a i/"e )a"a $o(e"'e "e')ecto a "e'to #e in't"&$ento c&an#o 'e )"e'iona e /otón E i/e"a#o" #e
&n $ecani'$o #e "e'o"te La' )a"te' #e cai/"e 'e:aa#a' con a' et"a' A 1 B )e"$iten $e#i" #i2$et"o' inte"io"e' #e t&/o', )o" '& )a"te a (a"ia D, e' &tiia#a )a"a encont"a" a )"of&n#i#a# #e &n a%&8e"o +a"a $e#i" e e')e'o" #e &na )aca, e #i2$et"o #e &n t&/o, etc, 'e 'it-a e o/8eto a $e#i" ent"e A 1 B, #e')aan#o C a'ta 3&e e o/8eto a $e#i" 3&e#e )e"fecta$ente a)"i'iona#o La ect&"a #e a $e#i#a )e#i#a 'e ace contan#o e n-$e"o #e $ií$et"o' #e a "e%a R 3&e 'e enc&ent"an ante' #e ce"o #e noni&', 1 a' #*ci$a' ;e'to #e)en#e #e a )"eci'ión #e in't"&$ento< (ienen #a#a' )o" a3&ea #i(i'ión #e noni&' 3&e coinci#e con &na #e a "e%a R, $&ti)ica#a )o" a )"eci'ión #e cai/"e
A'reciaci$n del cali#re La a)"eciación #e &n cai/"e (iene #a#a )o" A
A" n
Don#e A" e' a a)"eciación #e a "e%a )"inci)a R 1 n e' e n-$e"o #e #i(i'ione' #e noni&' C En "eai#a# a a)"eciación #e &n cai/"e (iene #a#a )o" A A" ! An ;=< Don#e A" e' a a)"eciación #e a "e%a )"inci)a R 1 A n a a)"eciación #e noni&' C E )"o/e$a #e &tiia" a e0)"e'ión ante"io", '&"%e a #e'conoce" a a)"eciación #e noni&', 'in e$/a"%o, a o/'e"(a" &n cai/"e no' #a$o' c&enta 3&e 'e c&$)e a 'i%&iente "eación ent"e a a)"eciación #e a "e%a )"inci)a A " , a a)"eciación #e noni&' An 1 e n-$e"o #e #i(i'ione' n #e *'te -ti$o n An ;n ! =< A " An
;n ! =< A" n
S&'tit&1en#o An en a ec&ación ;=< o/tene$o'
A A" ! A
n A" ! ;n ! =< A" n A" ! n A" A" n n
A" A n
=Cu&l es la a'reciaci$n del cali#re >ue se muestra en la figura? =@u medida seala?
;n ! =< A" n
0,NI220 IC,0E,IC0 E to"nio $ic"o$*t"ico o )a$e" e' &n in't"&$ento 3&e 'i"(e )a"a $e#i" #i$en'ione' ineae' #e )e3&e:o' o/8eto' Con'i'te en &na )iea $et2ica con fo"$a a)"o0i$a#a #e U, #e a c&a )a"te &n ciin#"o 3&e 'i"(e #e t&e"ca a &n to"nio $ic"o$*t"ico So/"e e ciin#"o (a %"a/a#a &na %ene"at"i G 1 &na e'caa E, #i(i#i#a en = $$ o en $$ 1 c&1a a)"eciación no' in#ica e )a'o #e to"nio, e' #eci", o 3&e *'te a(ana a "eaia" &na (&eta co$)eta La ca/ea #e to"nio $ic"o$*t"ico e' &n ta$/o" T, c&1o /o"#e e(a &na e'caa ci"c&a", #i(i#i#a en ?> ó =>> )a"te' E a(ance #e to"nio #e/e ace"'e a)ican#o a ta$/o" &n $o$ento #e to"'ión a '& co"ona D 1 no a ta$/o" $i'$o E'ta t"an'$ite e $o(i$iento 'óo a'ta cie"to $o$ento #e to"'ión )"efi8a#oK #e')&*' 'e #e'ia, 1 '& "otación )o'te"io" no tiene efecto 'o/"e a ect&"a +o" o tanto e'te $ecani'$o no )e"$ite e #ete"io"o #e in't"&$ento, 1 a ect&"a fina co""e')on#e a &na )"e'ión fi8a #e a ca"a #e to"nio B, cont"a e o/8eto a $e#i"
C&an#o &tiice$o' e to"nio $ic"o$*t"ico, #e/e$o' en )"i$e" &%a", e(a" a '&)e"ficie #e B a'ta 3&e a%a contacto con e to)e A Entonce', a ect&"a #e to"nio #e/e 'e" ce"oK e' #eci", e /o"#e C #e to"nio #e/e coinci#i" con e ce"o #e a e'caa E, 1 a '& (e e ce"o #e a e'caa 'it&a#a en e /o"#e #e ciin#"o C, con a %ene"at"i G De no 'e" a'í, a1 3&e con'i#e"a" e e""o" #e ce"o 1 )a"a cac&a" *'te #e/e$o' tene" en c&enta a )"eci'ión ;a)"eciación< #e a)a"ato E e""o" #e ce"o )&e#e 'e" )o" e0ce'o ;)o'iti(o<, 'i a #i(i'ión #e C 3&e coinci#e con a %ene"at"i G e't2 enci$a #e ce"o #e C, 1 )o" #efecto ;ne%ati(o<, 'i e't2 #e/a8o Lo' e""o"e' a1 3&e "e'ta"o' a a' ect&"a' efect&a#a' a $e#i" a' #i$en'ione' ineae' #e c&e")o, 1a 'ean )o'iti(o' o ne%ati(o' +o" o tanto, o' e""o"e' ne%ati(o' a/"2 3&e '&$a"o' C&an#o 'e $i#e &n o/8eto, a ect&"a 'e "eaia a:a#ien#o a n-$e"o #e $ií$et"o' 3&e 'e ee en a e'caa E, e n-$e"o #e #i(i'ione' #e a e'caa ci"c&a" C #e ta$/o" ;#a#o )o" a #i(i'ión #e *'ta 3&e coinci#e con a %ene"at"i G< $&ti)ica#o )o" a )"eci'ión #e in't"&$ento
A'reciaci$n de un tornillo micromtrico La a)"eciación #e &n to"nio $ic"o$*t"ico (iene #a#o )o" A+ n Don#e + e' e )a'o #e to"nio C, e' #eci", o 3&e a(ana e to"nio a "eaia" &na (&eta co$)eta, 1 n e n-$e"o #e #i(i'ione' #e ta$/o" T
EDIDA1 Errores6 Uno #e o' )&nto' i$)o"tante' en a "eaiación #e &n e0)e"i$ento 'e cent"a en a $e#ición #e a' con'tante' 1 (a"ia/e' 3&e a)a"ecen in(o&c"a#a' en e $i'$o Se 'a/e 3&e a "eaia" a $e#ición #e a%&na $a%nit&#, a $e#i#a o/teni#a, 'ie$)"e 'e enc&ent"a afecta#a #e e""o", e""o" 3&e )&e#e 'e" 'i'te$2tico, acci#enta o aeato"io, o a$/o' a a (e
Se )"o#&cen )o" &tiia"6 Si'te$2tico'
Meto#oo%ía ina#ec&a#a In't"&$ento' #e $e#i#a #efect&o'o' +at"one' #e $e#i#a #&#o'o'
E""o"e' +a"ecen )"o#&cto #e aa" Acci#entae' o Aeato"io'
+&e#en 'e" #e/i#o' a a ac&$&ación #e $&ca' ince"ti#&$/"e' 'i'te$2tica' incont"oa/e' +&e#en )"o(eni" #e (a"iacione' int"ín'e. ca$ente aeato"ia' a ni(e $ic"o'có)ico
Lo' e""o"e' 'i'te$2tico', )o" '&' ca"acte"í'tica', 'ie$)"e 'e "e%i't"an #e')aa#o' en e $i'$o 'enti#o ;i3&ie"#a o #e"eca< #e (ao" $2' )"o/a/e, #e a' $e#i#a' o/teni#a' e0)e"i$enta$ente +a"a $ini$ia"o ten#"e$o' 3&e a)ica" $*to#o' #e $e#i#a a#ec&a#o', '&'tit&i" o co""e%i" o' in't"&$ento' #efect&o'o' 1 &tiia" )at"one' #e $e#i#a 'e%&"o' E0i'ten cie"to ti)o #e e""o"e' 'i'te$2tico', o"i%ina#o' )o" 'it&acione' tae', co$o "oce' 'o/"e o' e8e' #e c&a#"o' $ó(ie', i'te"*'i' e2'tica #e )e3&e:o' "e'o"te' 1 #e io' #e '&')en'ión, caenta$iento #e o' con#&cto"e' )o" efecto o&e, ca$)o' $a%n*tico' no o$o%*neo', etc, 3&e )o" '& )ec&ia"i#a# 'e con(ie"ten o 'on t"ata#o' co$o aeato"io' De e'ta $ane"a, (ienen 'e:aa#o' )o" e fa/"icante $e#iante e índice de clase del instrumento , 3&e )&e#e 'e"6 >,>?V, >,=V, >,V, >,V, =V, =,V, etc E e""o" #e in't"&$ento to$a &no #e e'o' (ao"e' 'óo c&an#o a ect&"a 'e "eaia ce"ca #e fon#o #e "an%o #e e'caa 'eecciona#o, )o" eo e' i$)o"tante &tiia" e "an%o #e e'caa a#ec&a#o a a $e#i#a 3&e (a a "eaia"'e, en ca'o #e no 'e" a'í *'te 'e #ete"$ina $e#iante a e0)"e'ión
error
= indiceescala W lecturamáximadelaescal a valorleídosobrelaescala
+o" '& )a"te, o' e""o"e' aeato"io', )o" $&co c&i#a#o 3&e )on%a e e0)e"i$enta#o", 'ie$)"e 'e $anife'ta"2n en a' $e#i#a' 1 tienen i%&a )o'i/ii#a# #e 'e" )o'iti(o' o ne%ati(o' Se )"e'entan co$o ate"acione' 3&e "e')on#en a #i't"i/&cione' )"o/a/ií'tica' 1 )&e#en anaia"'e a t"a(*' #e $*to#o' e'ta#í'tico', an2i'i' 3&e "eci/e e no$/"e #e teoría de errores. De/en ta$/i*n con'i#e"a"'e a3&eo' e""o"e' #e/i#o' a facto"e' )e"'onae' co$o6 #i't"acción, can'ancio, $aa' ect&"a' #e a e'caa #e in't"&$ento, $a a8&'te #e a' con#icione' o)e"ati(a' #e a)a"ato #e $e#i#a
E:actitud ; 'recisi$n Gene"a$ente '&een &tiia"'e a' )aa/"a' e:actitud 1 'recisi$n co$o 'i 'e t"atan #e a $i'$a co'a, No'ot"o' en e conte0to #e e""o", con'i#e"a"e$o' 3&e &n "e'&ta#o e' e:acto 'i e't2 "eati(a$ente i/"e #e e""o" 'i'te$2tico, 1 'reciso 'i e e""o" acci#enta e' )e3&e:o Un e8e$)o 3&e )&e#e a1&#a"no' a #ife"encia" a$/o' conce)to' )&e#e 'e" e 'i%&iente6 i$a%ine$o' 3&e e ca$)eón oí$)ico #e ti"o a /anco, e't2 #i')a"an#o, )"i$e"o con &na e'co)eta 3&e tiene cie"to #efecto en '& ca:ón 1 &e%o con ot"a en )e"fecto e'ta#o La' fi%&"a' #e a )2%ina 'i%&iente no' $&e't"an o' "e'&ta#o' #e '& act&ación en a$/o' ca'o' A )a"ti" #e o' $i'$o' )o#e$o' )en'a" 3&e o' #i')a"o' con a )"i$e"a f&e"on "eaia#o' con $&ca )"eci'ión ;)oco e""o" aeato"io< 1 )oca e0actit&# ;$&co e""o" 'i'te$2tico<, $ient"a' 3&e con a 'e%&n#a, o f&e"on con $&ca e0actit&# 1 $&ca )"eci'ión
M&ca )"eci'ión 1 )oca e0actit&# Lo' #i')a"o' 'e enc&ent"an $&1 )oco #i')e"'o', )e"o ae8a#o' #e cent"o #e /anco
M&ca )"eci'ión 1 $&ca e0actit&# Lo' #i')a"o' 'e enc&ent"an $&1 )oco #i')e"'o' #e cent"o #e /anco
Si ao"a e 3&e #i')a"a con a' e'co)eta' e' &n )"inci)iante, o' "e'&ta#o' )"o/a/e$ente, 'ean )a"eci#o' a o' 3&e 'e $&e't"an a contin&ación
+oca )"eci'ión 1 )oca e0actit&# Lo' #i')a"o' 'e enc &ent"an $&1 #i')e"'o' 1 ae8a#o #e cent"o #e /anco
+oca )"eci'ión 1 $&ca e0actit&# Lo' #i')a"o' 'e enc&ent"an $&1 #i')e"'o' )e"o a"e#e#o" #e cent"o #e /anco
Estimaci$n del error e:'erimental6 Error a#soluto Co$o 'e 'e:aó ante"io"$ente, en &na 'e"ie #e $e#i#a' #e &na $a%nit&# c&a3&ie"a, e e""o" aeato"io 'ie$)"e e'ta"2 )"e'ente, 1 'i /ien "e'&ta incont"oa/e, e' #e a%-n $o#o c&antifica/e, #e $ane"a 3&e )o#e$o' cac&a" '& (ao" n&$*"ico 1 con eo e "an%o #e ince"ti#&$/"e #e a' $e#i#a' "eaia#a', o c&a no' )e"$iti"2 #efini" a cai#a# #e a' $i'$a' A e""o" a'í c&antifica#o e a$a"e$o' error a#soluto o "e)"e'enta"e$o', en %ene"a, )o" X0 1 #e/e 'e" e0)"e'a#o en a' $i'$a' &ni#a#e' 3&e a $a%nit&# $e#i#a 0 De e'ta $ane"a ten#"e$o' (ao" $e#i#o 0 Q X0 o c&a no' in#ica 3&e e (e"#a#e"o (ao" #e a $e#i#a #e/e encont"a"'e #ent"o #e inte"(ao 0 . X0 (e"#a#e"o (ao" 0 X0 E Ze""o" aeato"io[ no e' con'ec&encia #e &na $e#i#a e3&i(oca#a, 'ino a ince"ti#&$/"e en a $a%nit&# $e#i#a, int"o#&ci#a en e )"oce'o #e co$)a"ación +a"a )o#e" e'ti$a" e i nte"(ao #e ince"ti#&$/"e, 'e ace nece'a"io "e)eti" a $e#i#a (a"ia' (ece' 1i las condiciones e:'erimentales son tales >ue todas los valores o#tenidos son iguales o s$lo se Bace necesario medir una ve< , e'ti$a"e$o' e inte"(ao #e ince"ti#&$/"e co$o 'e in#ica a contin&ación S&)on%a$o' 3&e tene$o' 3&e $e#i" e a"%o #e &na )iea con &na "e%a 3&e a)"ecia $ií$et"o' Si to$a$o' a $e#i#a, /ien )o" e0ce'o o /ien )o" #efecto, en $ií$et"o' e0acto' Co$o e""o" a/'o&to #e a $e#i#a con'i#e"a"e$o' a a)"eciación #e a "e%a
L Q = $$ >
=
5
?
@
L , Q >,= c$
Si a $e#i" a )iea con a "e%a, no' 'enti$o' con a ca)aci#a# #e e'ti$a" en fo"$a a)"o0i$a#a, a $e#i#a ent"e $ií$et"o', to$a"e$o' co$o e""o" a/'o&to, a $ita# #e a a)"eciación #e a "e%a En %ene"a, tanto e ca'o ante"io" co$o e'te, 'e )&e#en a)ica" a c&a3&ie" in't"&$ento con 'i'te$a #e $e#i#a )a"eci#o a #e a "e%a, )o" e8e$)o, a$)e"í$et"o' 1 (otí$et"o' anaó%ico', t"an')o"ta#o"e' #e 2n%&o', etc
L =, Q >,? $$ >
=
5
?
@
L ,= Q >,>? c$
Si &tiia$o' co$o in't"&$ento #e $e#i#a &n )oí$et"o #i%ita, utili
E8e$)o6 Con &n )oí$et"o #i%ita 'e a co$)"o/a#o 3&e a inten'i#a# #e co""iente en &n ci"c&ito e' #e , A Si a )"eci'ión (iene #a#a )o" Q;V ec #i%<, a $e#i#a 'e )&e#e )"e'enta" co$o , Q >,> A, )o" 3&* C&2 e' a a)"eciación #e o' 'i%&iente' in't"&$ento' #e $e#i#a
$ =>> >
ERLENMEYER A ? $ ?>> $
A =>> $
5>>
?> $ >> =?>
>>
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=>>
9ASO DE +RECI+ITADOS
> > @> ?> 5>
+ROBETA GRADUADA A $
>
>>
> =>
Error relativo6 E e""o" a/'o&to no "e'&ta '&ficiente )a"a e(a&a" a )"eci'ión #e &na $e#i#aK )o" e8e$)o, &n e""o" a/'o&to #e = $$ en a $e#i#a #e &na on%it&# #e =? $$, in#ica )oca )"eci'ión, 'in e$/a"%o, e'e $i'$o e""o" a/'o&to en a $e#i#a #e &na on%it&# #e =>>> J$, i$)ica &na %"an )"eci'ión +o" e'ta "aón int"o#&ci"e$o' &n n&e(o conce)to #e e""o" a$a#o e""o" "eati(o, e c&a 'e e0)"e'a co$o e cociente ent"e e e""o" a/'o&to 1 e (ao" $e#i#o Lo "e)"e'enta"e$o' )o" ] " , e' #eci" ε r = ∆ x x Error 'orcentual6 Co$o )&e#e (e"'e e e""o" "eati(o e' &n n-$e"o a#i$en'iona, 1 %ene"a$ente $&co $eno" 3&e a &ni#a#, )o" eo f"ec&ente$ente 'e e0)"e'a en fo"$a #e )o"centa8e $&ti)ic2n#oo )o" =>>, 1 #an#o e "e'&ta#o en tanto )o" ciento #e (ao" $e#i#o
ε p ;V< = =>> W ε r = =>>∆ xW x
E8e$)o6 A $e#i" a on%it&# #e a )iea con a "e%a 'e o/t&(o 3&e L ,= Q >,>? c$ Si 3&e"e$o' )"e'enta" e'te "e'&ta#o e0)"e'an#o e e""o" )o"cent&a, e'c"i/i"e$o' L ,= c$ Q =,@V C&an#o 'e )"e'entan $a%nit&#e' con '& co""e')on#iente e""o", #e/e con'i#e"a"'e 3&e to#o e""o" co$o ta, e't2 '&8eto ta$/i*n a ince"ti#&$/"e' De e'ta $ane"a, no tiene 'enti#o e'c"i/i"o con &na %"an )"eci'ión, )o" eo, e' "eco$en#a/e )"e'enta"o con &na 'oa cif"a 'i%nificati(a, 'ie$)"e 3&e *'ta 'ea #ife"ente #e =, ca'o, 3&e c&an#o oc&""a, )&e#e e'c"i/i"'e con #o' cif"a' 'i%nificati(a' +o" '& )a"te a $a%nit&# $e#i#a #e/e )"e'enta"'e con a $i'$a )"eci'ión con 3&e 'e )"e'ente e e""o" E8e$)o6 La' $a%nit&#e' #e a co&$na #e a i3&ie"#a a)a"ecen "aona/e$ente e'c"ita' en a co&$na #e a #e"eca >,5@ Q >,>>5 c$
>,5@ Q >,>>? c$
,5?= Q >,>>= %
,5@ Q >,>> %
=,? Q >,>>? '
=,? Q >,>>@ '
>,@5 Q >,> $
>,@ Q >,> $
C&an#o tene$o' &n n-$e"o a)"o0i$a#o 1 no 'a/e$o' c&a e' '& ince"ti#&$/"e, con'i#e"a"e$o' 3&e e' a co""e')on#ie co""e')on#iente nte a '& "e#on#eo, e' #eci", a $ita# #e a &ni#a# #eci$a #eci$a co""e')on#iente co""e')on#iente a a -ti$a cif"a 'i%nificati(a e'c"ita E8e$)o6 La ince"ti#&$/"e #e n-$e"o a)"o0i$a#o ?, 'e"2 Q >,>? )o" 3&* C&an#o e n-$e"o a)"o0i$a#o e' &n ente"o to$a"e$o' co$o ince"ti#&$/"e a $ita# #e a &ni#a# #eci$a co""e')on#iente a a -ti$a cif"a 'i%nificati(a e'c"ita 3&e 'ea #ife"ente #e ce"o E8e$)o6 La ince"ti#&$/"e #e n-$e"o 5>> 'e"2 Q ?> )o" 3&*
=Cu&l es la incertidum#re de los siguientes números a'ro:imados? ^
,
^
=,
^
?,
^
=,?
^
=,
^
?,5
^
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^
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^
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^
>>>
C0INACI0N DE INCE,ID/,E1 INCE,ID/,E1 M&ca' (ece' no "e'&ta )o'i/e $e#i" #i"ecta$ente &na (a"ia/e, tenien#o 3&e o/tene"'e *'ta $e#iante a co$/inación #e ot"a' (a"ia/e' conoci#a' En e'to' ca'o' e' nece'a"io #ete"$ina" a ince"ti#&$/"e en a (a"ia/e #e'conoci#a a )a"ti" #e a' ince"ti#&$/"e' en a' (a"ia/e' conoci#a' A e'te )"oce'o #e c2c&o 'e e conoce co$o 'ro'agaci$n de errores. E0i'ten #ife"ente' fo"$a' #e #ete"$ina" a )"o)a%ación #e e""o"e', a contin&ación )"e'enta$o' #e fo"$a "e'&$i#a a%&na #e ea'
1uma de magnitudes afectadas de error S&)on%a$o' 3&e 'e $i#en a' (a"ia/e' a 1 /, o/teni*n#o'e o' (ao"e' e0)e"i$entae' a Q X a 1 / Q X /, #on#e X a 1 X / 'on o' e""o"e' a/'o&to', 1 'e no' )i#e cac&a" e (ao" 0 a /, e' #eci", 0 Q X 0 ;a Q X a< ;/ Q X /< +a"a '&$a" #o' o $2' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o", 'e '&$an a' $a%nit&#e' 1 co$o e""o" a/'o&to 'e to$a a '&$a #e o' e""o"e' a/'o&to' #e a' $a%nit&#e' x ± ∆ x = ; a + b< ± ; ∆a + ∆b<
Diferencia de magnitudes afectadas de error Sean a 1 / #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o" e""o" Se )i#e cac&a" 0 a ! /, e' #eci", 0 Q X 0 ;a Q X a< ! ;/ Q X /< +a"a "e'ta" #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o", 'e "e'tan a' $a%nit&#e' 1 co$o e""o" a/'o&to 'e to$a a '&$a #e o' e""o"e' a/'o&to' #e a' $a%nit&#e' x ± ∆ x = ; a − b< ± ;∆a + ∆b< Si 'e "e'ta"an a' ince"ti#&$/"e' 1 'e #ie"a e ca'o X a X /, 'e ten#"ía X 0 > E'to '&)on#"ía &n "e'&ta#o a/'&"#o, 1a 3&e #e #o' $e#i#a' incie"ta' o/ten#"ía$o' o/ ten#"ía$o' &n (ao" )"eci'o
7roducto de una magnitud afectada de error 'or un número e:acto Sea / &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" 1 a &n n-$e"o e0acto ;a ince"ti#&$/"e #e &n n-$e"o e0acto e' n&a< Se )i#e cac&a" 0 a/, e' #eci", 0 Q X 0 a ;/ Q X /< +a"a $&ti)ica" &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" )o" &n n-$e"o e0acto, 'e $&ti)ica e (ao" 1 e e""o" a/'o&to #e a $a%nit&# )o" e n-$e"o e0acto x ± ∆ x = ab ± a∆b
Cociente de una magnitud afectada de error 'or un número e:acto Sea / &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" 1 α &n n-$e"o e0acto Se )i#e cac&a" x
= b α −= , e' #eci",
0 Q X 0 ;/ Q X /< α.= +a"a #i(i#i" &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" )o" &n n-$e"o e0acto, 'e #i(i#e e (ao" 1 e e""o" a/'o&to #e a $a%nit&# )o" e n-$e"o e0acto x
± ∆ x =
b
α±
∆b α
7roducto de dos magnitudes afectadas de error Sean a 1 / #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o" Se )i#e cac&a" 0 a/, e' #eci", 0 Q X 0 ;a Q X a<;/ Q X /< +a"a $&ti)ica" #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o", 'e $&ti)ican a' $a%nit&#e' ent"e 'i, 1 co$o e""o" "eati(o 'e to$a a '&$a #e o' e""o"e' e""o" e' "eati(o' #e a' $a%nit&#e'
∆ x x
=
∆a ∆b +b a
#e')e8an#o X 0 3&e#a Xa X/ Xa X/ X0; <0 ; < a/ a / a / )o" o tanto
x ± ∆ x = ab ± ;
∆a
∆b + < ab a b
X0 Xa X/ , a )a"ti" #e )"o#&cto #e #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e 0 a / e""o", 'e )"oce#e #e a 'i%&iente $ane"a6 $ ane"a6 +a"a #e$o't"a" a e0)"e'ión
0 Q X 0 ;a Q X a<;/ Q X /< a/ Q / X a Q a X / Q X a X / De')e8an#o X 0 1 "eco"#an#o 3&e 0 a/, 3&e#a, X 0 ;/ X a a X / X a X /<
Di(i#ien#o a$/o' $ie$/"o' #e e'ta e0)"e'ión ent"e 0, 'e tiene, X0 Xa X/ Xa X/ 0 a / a / Si co$o e' #e '&)one" a' ince"ti#&$/"e' "eati(a' 'on $&co $eno"e' 3&e = ;X a Z a 1 X / Z /<, 'e )&e#e #e')"ecia" e -ti$o t*"$ino #e 'e%&n#o $ie$/"o 1 o/tene" fina$ente, X0 Xa X/ 0 a /
Cociente de dos magnitudes afectadas de error
Sean a 1 / #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o" Se )i#e cac&a" 0
x ± ∆ x =
a , e' #eci", /
;a ± ∆a< ;b ± ∆b<
+a"a #i(i#i" #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o", 'e #i(i#en a' $a%nit&#e' ent"e 'i, 1 co$o e""o" "eati(o 'e to$a a '&$a #e o' e""o"e' "eati(o' #e a' $a%nit&#e'
∆ x x
=
∆a ∆b +b a
#e')e8an#o X 0, 3&e#a, Xa X/ Xa X/ a X0; <0; < a / a / / )o" o tanto
x ± ∆ x =
∆a ∆b a ± + < ; a b a b b
X0 Xa X/ , a )a"ti" #e cociente #e #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e 0 a / e""o", 'e )"oce#e #e a 'i%&iente $ane"a6 .= X / .= .= ;a Q X a< 0QX0 ;a Q X a< ;/ Q X /< ;a Q X a< ;= Q / < / ;/ Q X /< +a"a #e$o't"a" a e0)"e'ión
X / .= X/ ;X / < Q < =Q Q #e'a""oan#o )o" e teo"e$a #e /ino$io tene$o' ;= Q / / / S&'tit&1en#o e #e'a""oo en a e0)"e'ión ante"io", 3&e#a, ;X / < Q < X/ 0 Q X 0 ;a Q X a
X/ X/ Z =, entonce' ;X /< 1 'e )&e#en #e')"ecia" o' t*"$ino' #e o"#en '&)e"io", Z / S&)onien#o 3&e / / 3&e#an#o, = XaX/ 0 Q X 0 ;a a X/ < .= Q X a
X 0 ;X a
/
X /
O/tenien#o fina$ente, X0 X X 0 a a / /
E*em'lo6 Un $ó(i "eco""e , Q >,>= $ en &n tie$)o #e 5, Q >,>= ' C&2 e' '& "a)i#e $e#ia Sa/e$o' 3&e Xt<
0 Q X0 ;( Q X(<;t Q
, ± >, >=m ± 5, ± >, >= s v
#e #on# e
∆ v
= +a"a "e'o(e" e'ta o)e"ación, cac&a$o' en )"i$e" &%a" e (ao" #e ( 1 &e%o e (ao" #e a ince"ti#&$/"e X( ,
.=
$ ( >,?? $ 5, ' '
+a"a cac&a" e (ao" #e a ince"ti#&$/"e 'a/e$o' 3&e
(
0
X( X0
Xt t X( ;
X0 Xt <( t
∴ 0
S&' tit& 1en #o 1 "e' o( ien #o o/t ene $o '
X( >,>>5 $ '.=
+o" -ti$o no' 3&e#a 3&e
7otencia de una magnitud afectada de error Sea a &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" Se )i#e cac&a" 0 a $, e' #eci", 0 Q X 0 ;a Q X a< $ +a"a ee(a" &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" a &n e0)onente $, 'e ee(a a $a%nit&# a e0)onente $ 1 co$o e""o" "eati(o 'e to$a e )"o#&cto #e e0)onente )o" e e""o" "eati(o #e a $a%nit&# X0 $Xa 0 a #e')e8an#o X 0, 3&e#a, Xa Xa X 0 $ 0 a $ a$ a )o" o tanto, Xa 0 Q X 0 a$ Q $ a $ a
,adicaci$n de una magnitud afectada de error Sea a &na $a%nit&# afecta#a #e e""o" Se )i#e cac&a" 0 a =$, e' #eci", 0 Q X 0 ;a Q X a<=$ +a"a e0t"ae" a "aí $ #e &na $a%nit&# afecta#a #e e""o", 'e e0t"ae a "aí $ #e a $a%nit&# 1 co$o e""o" "eati(o 'e to$a e )"o#&cto #e in(e"'o #e ín#ice #e a "aí )o" e e""o" "eati(o #e a $a%nit&# X0 Xa $.= ; a < 0 #e')e8an#o X 0, 3&e#a, Xa a=$ X a X 0 $.= 0 ; a < $ ; a < )o" o tanto, x ± ∆ x = a1/m ±
( = $ X a a $ a
)
Error relativo de una funci$n e:'onencial
Si 0 e' &na f&nción e0)onencia, e' #eci", 0 e0) J e J , a con'i#e"a" a' ince"ti#&$/"e' "e')ecti(a', tene$o', 0 Q X 0 e0) ;J Q X J< e ;J Q X J< eJ e QXJ Se #e$&e't"a 3&e e e""o" "eati(o #e &na e0)onencia (iene #a#o )o", X X J 0
1eno de un &ngulo afectado de error Si 0 'en θ , a int"o#&ci" a' ince"ti#&$/"e' "e')ecti(a', no' 3&e#a 0 Q X 0 'en ;_ Q X _<, #e #on#e 'e )&e#e #e$o't"a" 3&e,
0 Q X 0 'en ; θ Q Xθ< 'en θ Q X θ `co' θ` 9e$o' 3&e 0 'en _ 1 X 0 X _ co' _, con X _ en "a#iane' A fo"$a" e cociente
X0 , 'e o/tiene e 0
e""o" "eati(o
X0 X θ `cot θ` 0
Coseno de un &ngulo afectado de error Si 0 co' _, a int"o#&ci" a' ince"ti#&$/"e' "e')ecti(a', no' 3&e#a 0 Q X 0 co' ;_ Q X _<, #e #on#e 'e )&e#e #e$o't"a" 3&e,
0 Q X 0 co' ; θ Q X θ< co' θ Q X θ `'en θ` #on#e X _ (iene #a#o en "a#iane' 9e$o' 3&e 0 co' _ 1 X 0 X _ `'en _ ` A cac&a" e cociente
X0 X θ `t% θ` 0
X0 , 'e o/tiene e 0
e""o" "eati(o,
angente de un &ngulo afectado de error Si 0 t% _ , a int"o#&ci" a' ince"ti#&$/"e' "e')ecti(a', no' 3&e#a 0 Q X 0 t%;_ Q X _< +o" #efinición #e tan%ente #e &n 2n%&o, )o#e$o' e'c"i/i",
t% ;θ Q X θ<
'en ;θ Q X θ< co' ;θ Q X θ<
De'a""oan#o e'ta e0)"e'ión 1 con'i#e"an#o 3&e X _ Z = 'e tiene 'en X _ X _ 1 co' X _ ≅ =, 'e o/tiene,
'en θ Q X θ t% ;θ Q X θ< co' θ Q X θ #on#e X _ X _ `co' _ ` 1 X _ X _ `'en _ ` A )a"ti" #e a e0)"e'ión ante"io" 1 "eco"#an#o co$o 'e o/tiene e e""o" "eati(o #e cociente #e #o' $a%nit&#e' afecta#a' #e e""o" 'e #e$&e't"a 3&e,
0 Q X 0 t%;θ Q X θ< t% θ Q ;= Q t% θ< X θ X0 9e$o' 3&e 0 t% _ 1 X 0 ;= Q t% _< X _ A cac&a" e cociente 0 , 'e o/tiene e e""o" "eati(o,
X0 X θ c'c θ 'ec θ 0 Don#e X _ #e/e (eni" #a#o en "a#iane'
3unci$n de varias varia#les Si f&e"a f&nción #e (a"ia' (a"ia/e' f;0,1,<, a ince"ti#&$/"e 'e #ete"$ina a )a"ti" #e a e0)"e'ión bf bf X ` ` X0 ` ` X1 b0 b1
De e'ta e0)"e'ión %ene"a )&e#en ta$/i*n #e#&ci"'e to#a' a' ante"io"e' 9e" e8e$)o )"2ctico en a )2%ina ?=
%A20, A1 7,0A2E DE /NA 1E,IE DE EDIDA1 edia aritmtica6 Gene"a$ente tanto en o' t"a/a8o' #e in(e'ti%ación, co$o en a "eaiación #e a' )"2ctica' #e a/o"ato"io #e fí'ica 'e #e/en "eaia" no &na 'ino (a"ia' $e#i#a' #e a (a"ia/e o (a"ia/e' 3&e inte"(ienen en a e0)e"iencia A "eaia" &na 'e"ie #e $e#i#a', e (ao" 3&e tiene $2' )"o/a/ii#a# #e e'ta" )"ó0i$o a a $a%nit&# $e#i#a, e' e 'romedio o media aritmtica #e a 'e"ie, e0)"e'ión a"it$*tica 3&e 'e "e)"e'enta co$o,
x
=
= n
n
∑
=
x
x= + x + x
i
+ + x n
n
i ==
A e'te (ao" e a$a"e$o' valor m&s 'ro#a#le 1 'e"2 con'i#e"a#o co$o e $e8o" (ao" #e &na $e#i#a "eaia#a (a"ia' (ece'
Error a#soluto de una serie de medidas tal >ue n 46 Desviaci$n media Ante"io"$ente (i$o' 3&e c&an#o 'e #ete"$ina e (ao" #e &na $a%nit&# a )a"ti" #e &na 'oa $e#i#a, e e""o" int"o#&ci#o e't2 a'ocia#o a a a)"eciación #e a e'caa #e in't"&$ento, 'i 'e t"ata )o" e8e$)o #e "e%a', cinta' $*t"ica', t"an')o"ta#o"e' #e 2n%&o', /aana', a$)e"í$et"o' 1 (otí$et"o' anaó%ico', etc Reco"#e$o' 3&e e'to' -ti$o' ta$/i*n e(an a'ocia#o &na 'e"ie #e )e3&e:o' e""o"e' 'i'te$2tico' 3&e )o" '&' ca"acte"í'tica' 'on t"ata#o' co$o aeato"io' 1 o' c&ae' 'on in#ica#o' )o" e fa/"icante $e#iante e ín#ice #e ca'e #e in't"&$ento +o" '& )a"te, 'i e in't"&$ento e' #i%ita ,co$o a$)e"í$et"o', (otí$et"o', te"$ó$et"o', f"ec&encí$et"o', etc, e e""o" o con'i#e"2/a$o' a )a"ti" #e a )"eci'ión #e in't"&$ento, e c&a, ta$/i*n (iene 'e:aa#o )o" e fa/"icante Lo no"$a en &na e0)e"iencia o t"a/a8o #e a/o"ato"io, e' 3&e 'e ten%a 3&e to$a" a $e#i#a #e &na (a"ia/e (a"ia' (ece' En a%&na' oca'ione' 'e"(i"2 con n =, 1 en ot"a' ten#"e$o' 3&e ace"o )a"a n 4 5, ó )a"a n 5 C&an#o e n-$e"o #e $e#i#a' 'ea 5 o $eno" 3&e 5, )o#"e$o' to$a" co$o e""o" a/'o&to a desviaci$n media o 'romedio de desviaci$n #e a' $e#i#a', a a 3&e a$a"e$o' en fo"$a %ene"a δ0, 1 (iene #a#a )o"
∑ n
=
δ x = n
i x
i ==
#on#e x e' a $e#ia a"it$*tica #e a $a%nit&# $e#i#a 1 a' #ife"ente' 0 i #e 0
− x xi − x
e' e (ao" a/'o&to #e a' #e'(iacione' #e
C&an#o ten%a$o' 3&e "e)"e'enta" e "e'&ta#o #e &na $a%nit&# $e#i#a &n n-$e"o n #e (ece' ta 3&e = n 4 5, o a"e$o' #e a 'i%&iente fo"$a6
0 0 Q δ 0 S&)on%a$o' 3&e en &na e0)e"iencia 'e a $e#i#o 5 (ece' e tie$)o #e caí#a #e &na e'fe"a 'o/"e &n )ano incina#o, o/teni*n#o'e o' 'i%&iente' (ao"e'6 t= , 'K t ,@ 'K t , 'K t5 , ' E tie$)o #e caí#a $2' )"o/a/e con '& co""e')on#iente e""o" a/'o&to (en#"2 #a#o )o" t , Q >,> '
Co$)"&*/ao
Error a#soluto de una serie de medidas tal >ue n 56 Desviaci$n tí'ica Ante"io"$ente e$o' to$a#o co$o e""o" a/'o&to #e &n con8&nto #e $e#i#a' '& #e'(iación $e#ia
∑ n
δ x =
= n
i x
− x
i ==
Sin e$/a"%o, a #e'(iación $e#ia #e &n con8&nto #e $e#i#a', no e' e -nico ín#ice )a"a $e#i" a #i')e"'ión #e a' $i'$a' Ot"a fo"$a #e ace"o e' &tiian#o a desviaci$n tí'ica o desviaci$n est&ndar, a c&a 'e "e)"e'enta )o" n 1 'e #efine, )a"a &n con8&nto #e #ato' $&1 %"an#e, )o"
σ n = = n
∑ n
i ==
=
( xi − x )
C&an#o n e' )e3&e:o, 'e )&e#e o/tene" &na $e8o" e'ti$ación #e a #e'(iación tí)ica a t" a(*' #e a e0)"e'ión
n −1 = i ==
=
n
σ
=
∑
i
n −=
C
( x − x )
Tanto a e0)"e'ión σn co$o σn.= 'e )&e#en #ete"$ina" a t"a(*' #e c&a3&ie" cac&a#o"a científica #e /o'io Me#i#a' 3&e )"e'enten #e'(iacione' '&)e"io"e' a σn.= 'e )&e#en con'i#e"a" 'o')eco'a' 1 #e/en
co$)"o/a"'e #e n&e(o, )o" '& )a"te, $e#i#a' 3&e )"e'enten #e'(iacione' '&)e"io"e' a σn.= #e/en 'e" #e'eca#a' En n&e't"o' c2c&o' 1 'ie$)"e 3&e n =, e e""o" 3&e a'i%na"e$o' a (ao" #e a $a%nit&# 0 $e#i#a e0)e"i$enta$ente 'e"2 a desviaci$n tí'ica de la media , a c&a "e)"e'enta"e$o' )o" ' 1 #efini"e$o' #e a 'i%&iente $ane"a
';0< S&'tit&1en#o
'n.= n
n.= )o" '& (ao" 1 o)e"an#o, no' 3&e#a sx x nn
∑
− x )
n −1
=
=
i i ==
+o" o tanto, c&an#o )"e'ente$o' e (ao" #e &na $a%nit&# 0 o/teni#a en e a/o"ato"io a t"a(*' #e (a"ia' $e#i#a', )"inci)a$ente 'i n 7 ?, o a"e$o' #e a 'i%&iente $ane"a
0 0 Q ' ;0<
Error relativo ; error 'orcentual E e""o" "eati(o 1 e e""o" )o"cent&a 'e cac&an co$o en e ca'o #e &na 'oa $e#ición
e" '0;0<
e ) ;V< =>> e" =>> '0;0<
De/e con'i#e"a"'e e eco #e 3&e &n e0ce'i(o n-$e"o #e $e#i#a' n =>>, n =>>>, etc, e(a"ían ante' o #e')&*' a a int"o#&cción, en o' #ato' o/teni#o', #e e""o"e' #e ti)o 'i'te$2tico #e $&1 #ifíci #etección 1 co""ección En to#a e0)e"iencia #e/e (ao"a"'e a ca)aci#a# 1 e0actit&# #e ca#a in't"&$ento #e $e#i#a 3&e (a1a a 'e" &tiia#o, $ini$ian#o o' e""o"e' 'i'te$2tico', &na (e #etecta#a '& ca&'a, 1 e %"a#o #e )"eci'ión en e "e'&ta#o fina no 'e"2 $a1o" 3&e e $eno' 'e%&"o #e o' in't"&$ento' &'a#o'
C0INACI0N DE DE1%IACI0NE1 I7ICA1 C&an#o e')ecifi3&e$o' o' e""o"e' a )a"ti" #e a' #e'(iacione' tí)ica', ten#"e$o' 3&e a(e"i%&a" a #e'(iación tí)ica #e &na f&nción #e (a"ia' (a"ia/e' a )a"ti" #e a' #e'(iacione' tí)ica' #e *'ta' Se )&e#e #e$o't"a" 3&e a' "e%a' )a"a a co$/inación #e #e'(iacione' tí)ica', 'on a' 'i%&iente'6
1uma Sean 0 0 Q ';0< e 1 1 Q ';1< Si 'e no' )i#e cac&a" 0 1, #on#e Q ';<, 'e tiene 3&e
';< ';0< ';1<
K
';< ';0< ';1<
Diferencia Sean 0 0 Q ';0< e 1 1 Q ';1< Si 'e no' )i#e cac&a" 0 . 1, #on#e Q ';<, 'e tiene 3&e
';< ';0< ';1<
K
';< ';0< ';1<
7roducto Sean 0 0 Q ';0< e 1 1 Q ';1< Si 'e no' )i#e cac&a" 01, #on#e Q ';<, 'e tiene 3&e
';< ';0< ';1< 0 1
';<
;
';0< ';1< 1 0
<
Cociente Sean 0 0 Q ';0< e 1 1 Q ';1< Si 'e no' )i#e cac&a"
';< ';0< ';1< 0 1
0 , #on#e Q ';<, 'e tiene 3&e 1
';<
3unci$n de una varia#le Da#o 3;0<, entonce'
` `
#3 ';< #0 ';0<
;
';0< ';1< 0 1
<
3unci$n de varias varia#les Da#o 3;0,1,<, entonce'
';<
; < b3 b0
';0<
; < b3 b1
;1< '
';<
b3 b3 ';1< b0 ' ;0< b1
; <
; <
Co$)a"an#o e'ta' e0)"e'ione' con a' co""e')on#iente' a a )"o)a%ación #e ince"ti#&$/"e', o/'e"(a$o' 3&e en e'ta' -ti$a', tanto en a $&ti)icación co$o en a #i(i'ión, 'e '&$an o' e""o"e' "eati(o' #e a' (a"ia/e' 3&e inte"(ienen en a o)e"ación, $ient"a' 3&e en a )"o)a%ación #e #e'(iacione' tí)ica', o' e""o"e' "eati(o' 'e '&$an c&a#"2tica$ente
E*em'lo6 La #en'i#a# ρ#e &n c&e")o e' #e ,5@ Q >,>@ % c$ . 1 '& (o&$en 9 #e =5, Q >,5 c$ Si o' e""o"e' #e a #en'i#a# 1 e (o&$en e't2n e')ecifica#o' )o" '&' #e'(iacione' tí)ica' c&2 e' e (ao" #e a $a'a #e c&e")o Sa/e$o' 3&e
ρ Q ';ρ<
$ Q ';$< 9 Q ';(<
#e #on#e $ Q ';$< ;ρ Q ' ;ρ<<;9 Q ';(<< $ Q ';$< ;,5@ Q >,>@ % c$ .<;=5, Q >,5 c$< +a"a "e'o(e" e'ta o)e"ación cac&a$o' en )"i$e" &%a" e (ao" #e a $a'a $ 1 &e%o e #e e""o" ';$<, ta co$o 'e $&e't"a a contin&ación, C2c&o #e $6 $ ;,5@ % c$.<;=5, c$< @, % C2c&o #e ' ;$<6
';$< ';"< ';(< $ 9 "
K
';$<
;
S&'tit&1en#o 1 "e'o(ien#o o/tene$o'
';$< ≈ = % +o" -ti$o no' 3&e#a 3&e
$ @ Q = % todo #asado en la diferencial del logaritmo ne'eriano de una funci$n
';"<
';(< 9 "
<$
Un $*to#o "2)i#o 1 )"2ctico )a"a #ete"$ina" o' e""o"e' "eati(o' #e canti#a#e' o/teni#a' in#i"ecta$ente a )a"ti" #e ot"a' $e#i#a' en e a/o"ato"io, e' e 3&e 'e /a'a en a )"o)ie#a# #e #ife"encia #e o%a"it$o ne)e"iano #e &na f&nción S&)on%a$o' 3&e tene$o' 3&e #ete"$ina" e (o&$en #e &n ciin#"o con '& co""e')on#iente e""o", 'a/e$o' 3&e '& (o&$en (iene #a#o )o" a e0)"e'ión 9 d"
d D 5
#on#e D e' e #i2$et"o #e ciin#"o 1 '& at&"a Si δD 1 δ 'on a' ince"ti#&$/"e' #e #i2$et"o 1 a at&"a "e')ecti(a$ente, a ince"ti#&$/"e #e (o&$en 'e cac&a #e a 'i%&iente $ane"a6
d D 5
A)ica$o' o%a"it$o' ne)e"iano' a a e0)"e'ión 9
Ln 9 Ln
d Ln D Ln 5
Dife"enci2n#oa o/tene$o' δ9 #e a 'i%&iente e0)"e'ión
δ V V
=
δ D D
+
δh h
Si &na o a%&na #e a' (a"ia/e' o/teni#a' #i"ecta$ente en e a/o"ato"io, 'e encont"a'e en e #eno$ina#o" #e a ec&ación 3&e no' )e"$itie'e o/tene" a (a"ia/e in#i"ecta, a a)ica" o%a"it$o' ne)e"iano' e' co""e')on#e"ía a)a"ece" con 'i%no ne%ati(o, )e"o t"at2n#o'e #e c2c&o #e &n e""o" 1 con a intención #e o/tene" e e""o" $20i$o, 'e to$a"2 e (ao" a/'o&to #e to#a' a' (a"ia/e' 3&e 'e enc&ent"en en e #eno$ina#o"
Ecuaciones en las >ue intervienen varia#les cu;os errores son del ti'o de incertidum#res ; de desviaciones tí'icas +&e#e oc&""i" 3&e o' e""o"e' a/'o&to' #e a%&na' (a"ia/e' 3&e inte"(en%an en &na $i'$a ec&ación 'ean #e ti)o 3&e e$o' a$a#o ince"ti#&$/"e' 1 o' #e ot"a' (en%an in#ica#o' )o" a' #e'(iacione' tí)ica' En e'te ca'o, con(iene &tiia" a' fó"$&a' co""e')on#iente' a ti)o #e e""o"e' 3&e ) "e#o$inen )o" n-$e"o o )o" inf&encia en a ec&ación +a"a eo, )&e#e &tiia"'e e 'i%&iente a"tificio )a"a con(e"ti" #e fo"$a ficticia a' ince"ti#&$/"e' en #e'(iacione' tí)ica' o (ice(e"'a6 to$a" co$o #e'(iación tí)ica o' #e a ince"ti#&$/"e, o co$o ince"ti#&$/"e e #o/e #e a #e'(iación tí)ica Si 'e #e'conocen a nat&"aea #e o' e""o"e', e' "eco$en#a/e &tiia" a' fó"$&a' #e )"o)a%ación #e ince"ti#&$/"e' 3&e )"o)o"cionen a e'ti$ación $2' )e'i$i'ta
EE,CICI01 I
En o' 'i%&iente' e8e"cicio', $ient"a' no 'e e')ecifi3&e o cont"a"io, e e""o" &tiia#o en a' $e#i#a' 3&e a)a"ecen en o' )"o/e$a', (iene #a#o )o" '& ince"ti#&$/"e 1 no )o" a #e'(iación tí)ica =! E'c"i/i" e o"#en #e $a%nit&# #e tie$)o #e o' 'i%&iente' '&ce'o' e0)"e'a#o' en 'e%&n#o'6 a< Un a:o /< Un $e' c< Tie$)o 3&e ta"#a a & #e So en e%a" a a Tie""a #< Un $in&to e< Un 'e%&n#o f< D&"ación )"o$e#io #e &n )a"ti#o #e f-t/o %< Tie$)o &tiia#o )o" e So en %i"a" a"e#e#o" #e cent"o #e n&e't"a %aa0ia
! E'c"i/i" e o"#en #e $a%nit&# #e a' 'i%&iente' #i'tancia' e0)"e'a#a' en $et"o'6 a< Di'tancia #e a Tie""a a So /< Ra#io #e a Tie""a c< Di'tancia #e a Tie""a a a L&na #< a"%o #e &n ca$)o #e f-t/o e< Un $et"o f< Di2$et"o #e &n )"otón %< Un nanó$et"o ! E'c"i/i" e o"#en #e $a%nit&# #e a' 'i%&iente' $a'a' e0)"e'a#a' en Jio%"a$o'6 a< Ma'a #e So /< Ma'a #e a Tie""a c< Ma'a #e a L&na #
5! Reaia" a' 'i%&iente' o)e"acione'6 a< 5,=? c$ =,? c$ >,= c$ >,@ c$ /< =, $$ ! ,= $$ c< ;,=5 $<;, $< #< ,= $ ,= ' e< ,? c$ f<
,? $
?! Cac&a" e 2"ea #e &na )a"cea #e fo"$a "ectan%&a" #e a#o' a =,? $ 1 / ,5 $
@! E'ti$a" e (ao" #e A con &na cif"a 'i%nificati(a A ; 5 < ; 5 , 5< ; @< @=5, ! Encont"a" e e""o" )o"cent&a #e a' 'i%&iente' $e#i#a' 1 'e:aa" 'i 'e t"ata #e $e#i#a' co""iente', )"eci'a' o "&#i$enta"ia' a< +"of&n#i#a# #e &n )oo6 ? Q ? $ /< Te$)e"at&"a #e a/o"ato"io6 >,> Q >,? PC c< 9eoci#a# #e 'oni#o6 =,@ Q >,> $ ' .= #< Ma'a #e &n o/8eto6 =@ Q = % e< Me#i#a #e tie$)o6 ,> Q >, ' f< 9eoci#a# #e a &6 Q = J$ ' .= %< 9eoci#a# #e &na co""iente #e a%&a6 >,5 Q >,>5 $ ' .= < Me#i#a #e &na on%it =,? Q >,> c$
ε
Nota6 E""o" )o"cent&a co$)"en#i#o ent"e >,=V 4 ) 4 ?V6 $e#i#a co""iente E""o" )o"cent&a ) >,=V6 $e#i#a )"eci'a
ε E""o" )o"cent&a ε ) ?V6 $e#i#a "&#i$enta"ia
! Dete"$ina" c&2 #e a' 'i%&iente' $e#i#a' e' $2' )"eci'a A , Q >,> $$ B 5=> Q J$ ! Con &n cai/"e 3&e a)"ecia >,>? $$ 1 3&e no tiene e""o" #e ce"o, 'e a $e#i#o => (ece' a on%it&# #e &na )iea o/tenien#o o' 'i%&iente' (ao"e'6 =,@> $$K =,> $$K =,? $$K =,? $$K =,?? $$K =,5?K $$K =,> $$K =,@> $$K =,? $$ 1 =,@? $$ E0)"e'a" e "e'&ta#o #e a $e#ición con '& co""e')on#iente e""o"
=>! Da#a' a' 'i%&iente' $a%nit&#e'6 t= =,? Q >, ' t , Q >,= ' t ,5 Q >,= ' aa" 0 a ! / c ==! Si e a#o #e &n c&a#"a#o e' #e , Q >,= $$, encont"a"6 a< '& )e"í$et"o /< '& 2"ea =! => o/8eto' i#*ntico' tienen &na $a'a M > Q ? % C&2 e' a $a'a $ #e &no #e o' o/8eto'
=! E (o&$en #e &n c&/o (iene #a#o )o" 9 a Si a =?,> Q >,? $$, cac&a" e (o&$en #e c&/o 1 e e""o" )o"cent&a =5! Lo' 'i%&iente' (ao"e' co""e')on#en a &na 'e"ie #e $e#i#a' #e (o&$en #e &n c&/o6 =, c$ K =, c$K =,? c$K =,> c$K =,5 c$K =,> c$K =,@ c$K ==, c$K =, c$ 1 =,@ c$ C&2 e' e (o&$en #e c&/o =?! Se $i#e a 'ección S #e &na /a""a "ectan%&a" #e a#o' a 1 / con &n cai/"e 3&e a)"ecia >,= $$ 1 'e o/tienen a' 'i%&iente' $e#i#a'6 a ,5 Q >,= $$ / =, Q >,= $$ Si e cai/"e no tiene e""o" #e ce"o, cac&a" S 1 e e""o" )o"cent&a =@! Con &n to"nio $ic"o$*t"ico #e >,>= $$ #e a)"eciación 'e $i#e a a"i'ta #e &n c&/o, o/tenien#o e 'i%&iente (ao"6 a 5,?@ Q >,>= $$ Si e to"nio no tiene e""o" #e ce"o C&2 e' e (o&$en #e c&/o =! La )o'ición #e &n $ó(i en f&nción #e tie$)o (iene #a#a )o" a e0)"e'ión 0;t< 0 o (t Si )a"a t > 'e tiene 3&e 0o >, encont"a" 0 1 e e""o" )o"cent&a )a"a t =?,> Q >, ', 'a/ien#o 3&e ( ?,@ Q >,? $ ' .=
=! Da#o a =@> Q @ c$, cac&a" 0
= a
=! Cac&a" a #en'i#a# #e &n c&e")o 1 e e""o" )o"cent&a, 'a/ien#o 3&e '& $a'a M 5 Q % 1 '& (o&$en 9 => Q 5 c$ >! Da#a a S , #on#e S ?5@ Q c$ , encont"a" e (ao" #e a 1 e e""o" )o"cent&a =! Da#a a => Q $$ 1 / 5 Q 5 $$, encont"a" L a / 1 L / ! a ! aa" 'en ;P Q >,?P< ! aa" co' ;@5P Q =P< 5! aa" t% ;?P Q >,P<
?! aa" e
;? Q >,><
@! Lo' e""o"e' #e a' $a%nit&#e' 0 ,5 Q >, $$K 1 ,? Q >,> $$, e't2n e')ecifica#o' )o" '&' #e'(iacione' tí)ica' Cac&a" '& '&$a 1 '& #ife"encia ! Lo' e""o"e' #e o' n-$e"o' 0 ==,@ Q >,K 1 =,= Q >,>@, e't2n e')ecifica#o' )o" '&' #e'(iacione' tí)ica' Cac&a" '& )"o#&cto 1 '& cociente ! aa" e (ao" 1 e e""o" #e 01 con o' #ato' #e e8e"cicio ante"io" ! +o" e $*to#o #e a )"o)ie#a# #e a #ife"encia #e &n o%a"it$o ne)e"iano encont"a" a e0)"e'ión 3&e no' )e"$ita cac&a" e e""o" "eati(o en a $e#i#a in#i"ecta #e a "e'i'ti(i#a# #e &n con#&cto", 'a/ien#o 3&e *'ta (iene #a#a )o"
R d D R A ρ L 5L #on#e R e' a "e'i'tencia #e con#&cto", D '& #i2$et"o 1 L '& on%it&#
>! +o" e $*to#o #e a )"o)ie#a# #e a #ife"encia #e &n o%a"it$o ne)e"iano encont"a" a e0)"e'ión 3&e no' )e"$ita cac&a" e e""o" "eati(o en a $e#i#a in#i"ecta #e a acee"ación #e %"a(e#a# a )a"ti" #e a e0)"e'ión T d
%
#on#e T e' e )e"ío#o #e &n )*n#&o 'i$)e, a on%it&# #e io 1 % a acee"ación #e %"a(e#a# #e &%a"
),A3ICA1 En Fí'ica co$o en ot"a' ciencia' "e'&ta #e %"an &tii#a# a ea/o"ación #e %"2fica' a )a"ti" #e o' #ato' o/teni#o' en a' o/'e"(acione' e0)e"i$entae' La' %"2fica' tienen t"e' a)icacione' )"inci)ae'6 a ! Dete"$ina" a t"a(*' #e a' $i'$a' e (ao" #e a%&na $a%nit&#, )o" o %ene"a a )en#iente / ! 9i'&aia" a "eación e0i'tente ent"e a' (a"ia/e' 3&e inte"(ienen en e e0)e"i$ento c ! Da" &na "eación e$)í"ica ent"e #o' $a%nit&#e' Una con(ención e'ta/eci#a )a"a con't"&i" a' %"2fica', e' "e)"e'enta" en e e 8e #e a' a/'ci'a' ;e8e o"ionta<, a (a"ia/e in#e)en#iente, a c&a co""e')on#e a a $a%nit&# c&1o (ao" e'co%e e e0)e"i$enta#o"K 1 en e e8e #e a' o"#ena#a' ;e8e (e"tica<, a (a"ia/e #e)en#iente, e' #eci", a $a%nit&# c&1o (ao" 'e #ete"$ina en f&nción #e a (a"ia/e in#e)en#iente
( ;$'< t ! (a"ia/e in#e)en#iente ( ! (a"ia/e #e)en#iente
t ;'< La 'i%&iente ta/a #e #ato' co""e')on#e a a )o'ición #e &n $ó(i en f&nción #e tie$)o6
Tie$)o ;'<
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Re'&ta #ifíci o/'e"(an#o o' #ato' 3&e a)a"ecen en a ta/a o/tene" &na i#ea ca"a #e a "eación 3&e e0i'te ent"e a$/a' (a"ia/e' E'ta #ific&ta# )&e#e 3&e#a" '&)e"a#a con a con't"&cción #e a %"2fica )o'ición ! tie$)o +a"a eo, e tie$)o co$o (a"ia/e in#e)en#iente 'e "e)"e'enta"2 en e e8e #e a' a/'ci'a', 1 a )o'ición co$o (a"ia/e #e)en#iente, en e e8e #e a' o"#ena#a'
0 ;$< >
> 5 =@ t ;'< En a %"2fica o/'e"(a$o' 3&e en e inte"(ao #e tie$)o co$)"en#i#o ent"e t > ' 1 t 5 ', e $ó(i 'e ae8a #e o"i%en 1 a "eación ent"e a' #o' (a"ia/e' e' inea D&"ante e inte"(ao #e tie$)o co$)"en#i#o ent"e t 5 ' 1 t ', e $ó(i )e"$anece en "e)o'o )o" 3&* +o" -ti$o, #&"ante e inte"(ao #e tie$)o co$)"en#i#o ent"e t ' 1 t =@ ', e $ó(i "e%"e'a a )&nto #e )a"ti#a 1 a "eación ent"e a' (a"ia/e' ta$/i*n e' inea
1ugerencias 'ara construir una gr&fica Uno #e o' )"o)ó'ito' )"inci)ae' #e &na %"2fica e' #a" &na (i'ión #e o' "e'&ta#o' o/teni#o' en &n e0)e"i$ento, )o" o tanto, #e/e"2 ace"o #e a fo"$a $2' ca"a )o'i/e A contin&ación 'e )"e'entan a%&na' '&%e"encia' 3&e )&e#en 'e" #e &tii#a# )a"a '& "eaiación6 =! A con't"&i" a %"2fica #e/e )one"'e e tít&o, e')ecifican#o e e0)e"i$ento "eaia#o ! Lo' e8e' #e/en 'e" #i(i#i#o' #e fo"$a 3&e a "e)"e'enta" o' )&nto', *'to', no 3&e#en ni #e$a'ia#o 8&nto', ni #e$a'ia#o #i')e"'o' Si a #i(i'ión 'e "eaia a e'caa, *'ta #e/e "e'&ta" 'encia 1 #e f2ci o)e"ati(i#a#, )o" e8e$)o, = c$ #e e8e )&e#e e3&i(ae" a &na &ni#a# ó ;=>K =>>K >,=K etc< #e a $a%nit&# "e)"e'enta#a en e $i'$o Ta$/i*n )&e#e 'e" &tiia#a a #e = c$ 3&e "e)"e'ente a ó ? &ni#a#e' ! Re)"e'enta" #e fo"$a ca"a a' $a%nit&#e' 1 &ni#a#e' 3&e co""e')on#an a ca#a e8e Si e' nece'a"io "e)"e'enta" ta$/i*n a )otencia #e => )o" a 3&e #e/en $&ti)ica"'e o' (ao"e' "e)"e'enta#o' en o' e8e' 5! C&an#o 'e ten%a 3&e "e)"e'enta" en &n $i'$o 'i'te$a #e e8e', o' )&nto' )e"teneciente' a #ife"ente' %"2fica', *'to' ;o' )&nto'<, #e/en in#ica"'e #e fo"$a #ife"ente, )o" e8e$)o6 o, 0, Ta$/i*n &tiian#o #ife"ente' coo"e'6 , • C&an#o a' %"2fica' co$iencen a (e"'e #e$a'ia#o conf&'a', e' )"efe"i/e #i/&8a"a' )o" 'e)a"a#o 5
( ; => $'<
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?! La c&"(a #e/e 'e" t"aa#a #e fo"$a 3&e a $i'$a )a'e )o" a ona e3&i#i'tante a to#o' o' )&nto', e' #eci", )"oc&"an#o #i/&8a" a $e8o" c&"(a '&a(e a t"a(*' #e o' )&nto' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente
@! Sie$)"e 3&e 'e con'i#e"e nece'a"io o' )&nto' e0)e"i$entae' #e/en 'e" "e)"e'enta#o' 'e:aan#o '&' "e')ecti(o' inte"(ao' #e e""o" Lo' 'í$/oo' &tiia#o' )a"a eo #e)en#en #e a (a"ia/e en 3&e 'e $anifie'ten En ca'o #e e""o" en a (a"ia/e "e)"e'enta#a en e e8e #e a' a/'ci'a' 'e &tiia e 'í$/oo ; < en ca'o #e e""o" en a (a"ia/e "e)"e'enta#a en e e8e #e a' o"#ena#a', e 'í$/oo ; < 1 en ca'o #e e""o" en a$/a' (a"ia/e', c&a3&ie"a #e o' 'í$/oo' $o't"a#o' a contin&ación6
E8e$)o6 5 ( ; => $'<
o o
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5
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@
. t ;=> '<
! +a"a cac&a" a )en#iente, en ca'o #e 3&e a c&"(a "e'&te &na "ecta ;a c&"(a en &n %"2fico )&e#e 'e" &na "ecta, &na )a"2/oa, &na i)*"/oa, etc<, no #e/en 'e" &tiia#o' (ao"e' co""e')on#iente' a o' )&nto' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente, 'ino (ao"e' 3&e co""e')on#an a )&nto' 'it&a#o' 'o/"e a "ecta a8&'ta#a teó"ica o $an&a$ente
7endiente de una recta
1
L
+ ;0 ,1 <
1
∆1 1 . 0=
+ ;0 ,1 < 1
=
=
=
=
∆0 0 . 1= 0=
>
0
0
Tene$o' &na "ecta L no )a"aea a e8e ;, 1 to$a$o' 'o/"e ea o' )&nto' + =;0=,1=< 1 +;0,1<, ta co$o 'e $&e't"a en a fi%&"a Con'i#e"an#o 3&e X1 1 . 1= e' e inc"e$ento 'e%-n e e8e ;, 1 X0 0 . 0= e inc"e$ento 'e%-n e e8e :, c&an#o (a$o' 'o/"e a "ecta L #e'#e + = a'ta + Se #efine $ate$2tica$ente a a )en#iente #e a "ecta L co$o e cociente6
J
1 .1 D1 = D0 0 . 0=
E8e$)o6 Cac&a" a )en#iente #e a "ecta 3&e 'e $&e't"a en a fi%&"a 1 a )a"ti" #e '&' &ni#a#e' #ete"$ina" #e 3&e $a%nit&# fí'ica 'e t"ata
( ; $'< @ 5
>
=
J
D( $' . 5 $' = $' Dt ?'.'
+o" a' &ni#a#e' (e$o' 3&e 'e t"ata #e &na acee"ación
5
?
@
t ; '<
EE,CICI01 II =! Reaia" e e't&#io #e a (a"iación #e a on%it&# #e &na ci"c&nfe"encia 1 e 2"ea #e '& cí"c&o en f&nción #e "a#io ;S&%e"encia6 Con't"&i" o' %"2fico' on%it&# en f&nción #e "a#io 1 '&)e"ficie en f&nción #e "a#io< ! La ta/a #e #ato' 3&e 'e $&e't"a a contin&ación co""e')on#e a a )o'ición #e &n $ó(i en f&nción #e tie$)o Con't"&i" e %"2fico )o'ición!tie$)o 1 #ete"$ina" '& (eoci#a# 0 ;$<
t ;'<
>,> 5,> , =, =@,> =, 5,= ,>
>,> =,> ,> ,> 5,> ?,> @,> ,>
! Lo' )&nto' 3&e 'e o/'e"(an en a 'i%&iente fi%&"a co""e')on#en a (ao"e' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente Di/&8a a c&"(a 3&e $e8o" "e)"e'ente a "eación e0i'tente ent"e a' (a"ia/e' 3&e i nte"(ienen en e e0)e"i$ento
a
(
t
t
5! La ta/a #e #ato' 3&e 'e $&e't"a a contin&ación co""e')on#e a a' )o'icione' #e #o' $ó(ie' A 1 B en f&nción #e tie$)o Con't"&1e a' %"2fica' )o'ición!tie$)o #e a$/o' $ó(ie' &tiian#o &n 'i'te$a #e e8e' co$-n Cac&a &e%o a "a)i#e #e o' $ó(ie' Mó(i A 0 ;$<
Mó(i B t ;'< 0 ;$< t ;'<
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?! En a fi%&"a 'e $&e't"an t"e' %"2fica' Se:aa"6 a< C&2e' 'on a' (a"ia/e' #e)en#iente' 1 c&2e' a' (a"ia/e' in#e)en#iente' /< En 3&* %"2fica' a "eación ent"e a' (a"ia/e' e' inea
a
(
(
t
t
@! La ta/a #e #ato' A co""e')on#e a &na f&nción #e )"o)o"cionai#a# #i"ecta 1 a ta/a #e #ato' B a &na f&nción #e )"o)o"cionai#a# in(e"'a Con't"&i" a' %"2fica' #e a$/a' f&ncione' 1 a )a"ti" #e a' $i'$a' e0)ica" en 3&e con'i'te &na f&nción #e )"o)o"cionai#a# #i"ecta 1 &na f&nción #e )"o)o"cionai#a# in(e"'a L&e%o a )a"ti" #e o' #ato' #e a ta/a B con't"&i" a %"2fica #e / en f&nción #e in(e"'o #e a Ta/a A 0 ;$<
Ta/a B / ;c$
Ta/a C (cm / ;c$< = .=)
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t
,e'resentaci$n gr&fica de funciones no lineales En oca'ione', a "e)"e'enta" %"2fica$ente o' (ao"e' o/teni#o' a $e#i" &na $a%nit&# en f&nción #e ot"a, 'e o/'e"(a 3&e no e0i'te &na "eación inea ent"e a$/a' (a"ia/e' S&)on%a$o' 3&e en &na e0)e"iencia #e a/o"ato"io, 'e "eco%en en &na ta/a #e #ato' a' #ife"ente' )o'icione' #e &n $ó(i a $e#i#a 3&e t"an'c&""e e tie$)o
t ;'< 0 ;$<
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Si a )a"ti" #e o' #ato' o/teni#o' 'e 3&ie"e encont"a" a "eación e0i'tente ent"e 0 e 1, )o#e$o' )"oce#e" en )"i$e" &%a" a con't"&i" a %"2fica )o'ición!tie$)o 0 ;$<
>
t ;'<
A )a"ti" #e a $i'$a, o/'e"(a$o' 3&e a "eación ent"e a$/a' (a"ia/e' no e' inea, 'it&ación 3&e )e"$ite )antea"no' a )o'i/ii#a# #e 3&e a )o'ición #e $ó(i 'ea )"o)o"ciona a c&a#"a#o #e tie$)o Una fo"$a #e co$)"o/a"o e' con't"&1en#o a %"2fica #e 0!t +a"a eo, en )"i$e" &%a", ee(a$o' a c&a#"a#o o' tie$)o' o/teni#o' en a ta/a ante"io" 0 ;$<
t;'< 0 ;$<
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t ;' <
En e'ta 'e%&n#a %"2fica )o#e$o' (e" 3&e o' )&nto' 3&e#an ainea#o' 'o/"e &na "ecta, #e e'ta fo"$a o' #ato' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente 'on co$)ati/e' con a i)óte'i' 0 Jt De/e tene"'e en c&enta, 3&e no 'e e't2 afi"$an#o 3&e a e0)e"iencia no' $&e't"e 3&e 0 e' )"o)o"ciona )a"a to#o t ee(a#o a c&a#"a#o, 'ino 3&e o' "e'&ta#o' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente, 'on co$)ati/e' con a i)óte'i' 3&e 0 e' )"o)o"ciona con t Re'&$ien#o, )o#e$o' (e" a t"a(*' #e a %"2fica 3&e 0 Jt )a"a o' tie$)o' o/teni#o' en a e0)e"iencia
Ao"a "e'&ta 'encio cac&a" J a )a"ti" #e a )en#iente #e a "ecta
J
D0 >,? $ '. K Dt
0 >,?t
La' &ni#a#e' no' in#ican 3&e en e "e'&ta#o 'e enc&ent"a i$)ícita &na acee"ación De e'ta $ane"a, )o#"ía '&)one"'e, 3&e e $o(i$iento e't&#ia#o e' #e ti)o 0 = at, #on#e J = a 1 )o" o tanto a = $ ' . E $i'$o )antea$iento )&e#e 'e" &tiia#o )a"a a' f&ncione' #e ti)o 1 J0 K 1 J05K 1 J0?KK 1 J0n
7a'el logarítmico La' f&ncione' #e ti)o 1 J0 n "eci/en e no$/"e #e f&ncione' )otenciae' De)en#ien#o #e (ao" #e n, '& %"2fica en )a)e $ii$et"a#o )&e#e #a"no' #o' ca'e' #e c&"(a'6 )a"a/óica' 'i n >, e i)e"/óica' 'i n > 1in em#argo una de las características >ue definen a una funci$n 'otencial es >ue cuando se grafican en 'a'el logaritmologaritmo F'a'el loglogG se o#tiene una recta, e(itan#o con eo to#o e )"oce'o "eaia#o en e e8e$)o ante"io"
1
1
@ ? 5
n>
n>
+a)e $ii$et"a#o
+a)e o%!o% =
0
>
5
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0
5
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0
1
1
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n>
n>
+a)e $ii$et"a#o
>
+a)e o%!o%
0
=
+a"a aa" n 1 J a )a"ti" #e %"2fico con't"&i#o en )a)e o%!o%, 'e )"oce#e #e a 'i%&iente $ane"a, Si a a f&nción 1 J0 n e a)ica$o' o%a"it$o' no' 3&e#a o% 1 n o% 0 o% J #e #on#e
n
D o% 1 D o% 0
o% 1 ! o% 1= o% 0 ! o% 0=
+o" '& )a"te J (iene #a#a )o" e )&nto #e co"te con e e8e 1 3&e 'e o/tiene a e0t"a)oa" a "ecta, ta co$o 'e $&e't"a en a 'i%&iente fi%&"a
1 @ ?
1
5
1 =
∆ o% ∆ o%
1
n
∆ o% 1 ∆ o% 0
0
J
=
0=
5 0
? @
0
7a'el semilogarítmico Si 'e en'a1a a i)óte'i' #e 3&e a "eación ent"e o' #ato' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente #e #o' $a%nit&#e' e' #e a fo"$a 1 J => n0, e'to 'e"2 cie"to, 'i a con't"&i" a %"2fica 1 f;0< en )a)e 'e$i! o%a"ít$ico, *'ta no' #a &na "ecta E'ta' f&ncione' ta$/i*n )&e#en e'c"i/i"'e co$o
1 e;n =>< n0
+a"a eo )a"ti$o' #e eco 3&e => 0 e;n =>< 0 , )o" o tanto, 1 Je;n =>< n0 , #e #on#e
1 Je,> n0
+a"a #ete"$ina" n 1 J a )a"ti" #e &n %"2fico con't"&i#o en )a)e 'e$i!o%a"ít$ico, )"oce#e$o' #e a 'i%&iente $ane"a A a f&nción 1 J =>n0 e a)ica$o' o%a"it$o', o/tenien#o
K
o% 1 o% J n0o% => #e #on#e
D o% 1 n D0
o% 1 o% J n0
o% 1 ! o% 1= 0 ! 0=
1 @ ?
1
5
1=
∆ o% 1
n
∆ o% 1 ∆ 0
∆ 0
J = >
=
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5
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@
0
0
J (iene #a#a )o" e )&nto #e co"te con e e8e 1 3&e 'e o/tiene a e0t"a)oa" a "ecta, ta co$o 'e $&e't"a en a fi%&"a
EE,CICI01 III =! En &na )"actica #e ana$iento o"ionta #e &n $ó(i 'e an o/teni#o a' 'i%&iente' )o'icione' ;0,1< #e $i'$o Dete"$ina" a ec&ación #e '& $o(i$iento 1 a "a)i#e inicia ( o0 con 3&e f&e ana#o 0 ;c$< 1 ;c$<
=@,> 5,> ,> 5>,> 5,> ?@,> @5,> ,> 5,> ==,> =,@ >,@ 55,= @>,> ,5 ,
! La ta/a #e #ato' 3&e 'e $&e't"a a contin&ación co""e')on#e a a (eoci#a# #e 'ai#a ( #e &na /aa, 3&e at"a(ie'a #ife"ente' e')e'o"e' 0, #e &na $i'$a ca'e #e $a#e"a Dete"$ina" a ec&ación 3&e no' #a a (eoci#a# #e 'ai#a #e a /aa en f&nción #e e')e'o" #e a $a#e"a 0 ;c$< ( ;$' .=<
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C&lculo de la incertidum#re en la 'endiente de una recta La fi%&"a no' $&e't"a &na %"2fica c&1a "ecta a 'i#o con't"&i#a con &na "e%a 1 a8&'ta#a a o8o a t"a(*' #e o' )&nto' o/teni#o' e0)e"i$enta$ente, a $e#i" a $a'a 1 e (o&$en #e #ife"ente' $&e't"a' #e &n $i'$o $ate"ia
$ ;%< >
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>
5
@
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9 ;c$ <
De ac&e"#o a a' e'caa' e'co%i#a' en ca#a &no #e o' e8e', a ince"ti#&$/"e en a $a'a e' "eati(a$ente )e3&e:a en "eación con a ince"ti#&$/"e o/teni#a a $e#i" e (o&$en, )o" eo, a c"& o e "ect2n%&o #e ince"ti#&$/"e' 3&e#a "e#&ci#o )"2ctica$ente a /a""a' o"iontae' De a %"2fica o/'e"(a$o' 3&e a f&nción 3&e "eaciona a a$/a' (a"ia/e' e' #e a fo"$a $ J9 #on#e J e' a )en#iente #e a "ecta De/e$o' '&)one", 3&e 'i a "ecta t"aa#a e' a 3&e $e8o" 'e a8&'ta a o' )&nto', c&1a' coo"#ena#a' 'e an o/teni#o a )a"ti" #e (ao"e' e0)e"i$entae', a ince"ti#&$/"e #e #ico' (ao"e', #e/e con#&ci" a 3&e a )en#iente #e a "ecta 'e enc&ent"e a'í $i'$o, afecta#a #e e""o" A contin&ación 'e $&e't"a &n $*to#o 3&e )e"$ite e c2c&o #e #ica ince"ti#&$/"e a )a"ti" #e con'i#e"acione' %"2fica'
S&)on%a$o' 3&e a )a"ti" #e &no' #ato' e0)e"i$entae' 'e con't"&1e a "ecta AB
1 F
B D +?
+
5
+
+
E +=
C
A
0 Una (e "e)"e'enta#a a %"2fica, to$a$o' en c&enta o' )&nto' e0t"e$o' #e a #e"eca #e o' inte"(ao' #e ince"ti#&$/"e, a8&'tan#o a t"a(*' #e o' $i'$o' a "ecta a&0iia" CD Re)eti$o' e )"oce#i$iento con o' )&nto' e0t"e$o' #e a i3&ie"#a #e o' inte"(ao' #e ince"ti#&$/"e, o/tenien#o a "ecta a&0iia" EF A contin&ación &ni$o' o' )&nto' CF 1 ED, con't"&1en#o #e e'ta $ane"a a' "ecta' CF 1 ED 3&e co""e')on#en a a' "ecta' #e )en#iente $20i$a ;J $20< 1 $íni$a ;J $ín< "e')ecti(a$ente Cac&a$o' a$/a' )en#iente', 1 aa$o' a #ife"encia #e ca#a &na #e ea' con a )en#iente J #e a "ecta $2' )"o/a/e AB La $a1o" #e e'ta' #ife"encia', to$a#a en (ao" a/'o&to, 'e"2 con'i#e"a#a co$o a ince"ti#&$/"e #e a )en#iente J 1 a a$a"e$o'
J E8e$)o6 En &na e0)e"iencia #e a/o"ato"io 'e an o/teni#o a' 'i%&iente' $e#i#a' #e a )o'ición #e &n $ó(i en f&nción #e tie$)o 1 'e no' )i#e 3&e cac&e$o' a "a)i#e #e $ó(i
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La "ecta #e %"2fico )o'ición!tie$)o f&e a8&'ta#a a o8o +a"a #ete"$ina" a "a)i#e #e $ó(i a t"a(*' #e a $i'$a, cac&a$o' a )en#iente con '& co""e')on#iente ince"ti#&$/"e, e' #eci" J J Q δJ
#on#e
X0 J Xt ≈ , c$ ' .= #e a $i'$a $ane"a J $in ≈ ,@> c$ '.= J $a0 ≈ ==, c$ '.= +a"a cac&a"
J 'e )"oce#e co$o 'e in#ica a contin&ación,
`J ! J $in` `, c$ ! ,@> c$ ' .=` =,= c$ '.= `J ! J $a0` `, c$ ! ==, c$ '.=` =,5 c$ '.= )o" o tanto
J =,? c$ '.= 1 fina$ente tene$o' 3&e
J , Q =,? c$ ' .=
A*uste de una recta >ue no 'asa 'or el origen No 'ie$)"e 3&e 'e "eaice a %"2fica co""e')on#iente a &na f&nción inea, a "ecta %"afica#a, o /ien '& e0t"a)oación, )a'a"2 )o" e o"i%en La 'i%&iente fi%&"a no' $&e't"a &no #e e'o' ca'o'
1
/
>
0
Ante"io"$ente (i$o' co$o o/tene" a ince"ti#&$/"e #e a )en#iente #e &na "ecta 3&e )a'a )o" e o"i%en En e ca'o 3&e e'ta$o' e't&#ian#o, a f&nción $ate$2tica 3&e "e)"e'enta a "eación ent"e a' (a"ia/e' 0,1 e' #e a fo"$a 1 J0 /, #on#e J e' a )en#iente #e a "ecta, 1 / e )&nto #on#e *'ta co"ta a e8e #e a' o"#ena#a' Co$o a "ecta $2' )"o/a/e B 'e enc&ent"a afecta#a #e e""o", e' ó%ico '&)one" 3&e a o"#ena#a en e o"i%en / ;)&nto #e co"te #e a "ecta con e e8e #e a' o"#ena#a'< ta$/i*n 'e enc&ent"a afecta#a #e e""o"
1
B
/ $a0 / / $in >
0
+a"a cac&a" e'te e""o", o/'e"(a$o' en a %"2fica #e a fi%&"a, 3&e a' )"oon%acione' #e a' "ecta' #e )en#iente $20i$a J $a0 1 )en#iente $íni$a J $in, inte"'ectan a e8e #e a' o"#ena#a' en o' )&nto' / $a0 1 /$in , "e')ecti(a$ente Encont"an#o a' #ife"encia' ent"e a o"#ena#a a o"i%en $2' )"o/a/e con a' o"#ena#a' a o"i%en $20i$a 1 $íni$a, 'e tiene 3&e a $a1o" #e e'ta' #ife"encia' to$a#a en (ao" a/'o&to, e' a ince"ti#&$/"e /&'ca#a
E8e$)o6 En &na e0)e"iencia #e a/o"ato"io 'e e'ti"a &n $&ee co%an#o #e $i'$o )e'a' #e #ife"ente $a'a La ta/a #e #ato' no' $&e't"a o' (ao"e' #e a eon%ación #e $&ee en f&nción #e a $a'a #e a' )e'a' co%a#a' Se )i#e cac&a" a )a"ti" #e a %"2fica eon%ación ! $a'a, a ince"ti#&$/"e en a o"#ena#a en e o"i%en
$a'a ;Q = %<
eon%ación ;Q >,? c$<
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Co$o (i$o' ante"io"$ente, )a"a #ete"$ina" a ince"ti#&$/"e en a )en#iente #e a "ecta $2' )"o/a/e B, 'e t"aan a' "ecta' a&0iia"e' ED 1 CF A )a"ti" #e a %"2fica 'e o/tiene 3&e a )"oon%ación #e e'ta' "ecta' inte"'ectan a e8e #e a' eon%acione' en o' )&nto' / $in >, c$ 1 / $a0 , c$, 'ien#o )o" '& )a"te / =,? c$
eo% ;c$< B
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5
E
/$a0
A C
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$a'a ;%<
Efect&an#o a' #ife"encia' en (ao" a/'o&to `/ ! /$in` `=,? c$ ! >, c$` >,@ c$
1
` / ! /$a0` `=,? c$ ! , c$ ` >, c$
+o" o tanto, a ince"ti#&$/"e en a o"#ena#a en e o"i%en (iene #a#a )o"
#/ Q >, c$
A/1E 70, INI01 C/AD,AD01 To#a a i'to"ia 3&e (a$o' a conta" a contin&ación, )o#"ía 3&e#a" "e'&$i#a )&'an#o &na' c&anta' teca' #e t& cac&a#o"a #e /o'io +o" 3&* te a conta$o' entonce', )o" (a"ia' "aone', &na #e ea' )a"a "eco$en#a"te, ;'i e' 3&e to#a(ía no o a' eco<, 3&e ea' e cat2o%o #e t& cac&a#o"a 1 te #e#i3&e' con ea a "e'o(e" a%&no' e8e"cicio' 1 )"o/e$a' #e e'ta#í'tica Ot"a, e' 3&e no #e'ea$o' 3&e #e)en#a' tota$ente #e t& cac&a#o"a, 1 e #ía 3&e )o" a ca&'a 3&e f&e"a, no )&#ie"a' &tiia"a, 3&e eo no 'ea $oti(o )a"a i$)e#i" 3&e 'i%a' t"a/a8an#o Un )"o/e$a %ene"a 3&e 'e )"e'enta a t"a/a8a" con #o' $a%nit&#e' ,Y o/teni#a' e0)e"i$enta$ente, con'i'te en #ete"$ina" a "eación f&nciona 3&e e0i'te ent"e a$/a' No' i$ita"e$o' a3&í a e't&#io #e &no #e o' ca'o' $2' 'encio' 3&e )&e#en )"e'enta"'e, e #e encont"a" a "ecta 3&e $e8o" 'e a8&'te a a 'e"ie #e )a"e' o"#ena#o' ;0,1< o/teni#o' e0)e"i$enta$ente S&)on%a$o' 3&e tene$o' n )a"e' + i;0i,1i< 1 3&e a "e)"e'enta"o' %"2fica$ente 3&e#an co$o 'e $&e't"a en a 'i%&iente fi%&"a
Y
+n + +5
+= +
>
+o#"ía$o', co$o ta$/i*n 'e io ante"io"$ente, #i/&8a" a o8o a c&"(a 3&e $e8o" )a"ece "e)"e'enta" a "eación f&nciona 3&e e'ta$o' /&'can#o, a#(i"tien#o 3&e 'e t"ata #e &na "ecta
Y
+n + +5
+= +
>
O/'e"(an#o a %"2fica 1 )o" "aone' teó"ica', )o#e$o' )en'a" 3&e ent"e 0 e 1 e0i'te &na "eación inea #e a fo"$a 1 a0 /
C&an#o o' e""o"e' co$eti#o' en e )"oce'o #e to$a #e #ato' 'on )e3&e:o', e'te $*to#o #e "e'o&ción %"2fica e' 'encio 1 '&' "e'&ta#o' /a'tante ace)ta/e', C&an#o e'to no '&ce#e a'í, e' con(eniente &tiia" &n
$*to#o 3&e no' )e"$ita o/tene" con $a1o" o/8eti(i#a# o' (ao"e' #e o' )a"2$et"o' a 1 / Dico $*to#o "eci/e e no$/"e #e a*uste 'or mínimos cuadrados E $*to#o #e $íni$o' c&a#"a#o' con'i'te en encont"a" a "ecta 3&e $ini$ice a e0)"e'ión S gh1i ! ;a0i /< +a"a $ini$ia" S i%&aa$o' a ce"o '& #e"i(a#a )a"cia "e')ecto a o' )a"2$et"o' a 1 /, o/tenien#o a' ec&acione' bS gh!1i0i a0 /0i > ba i bS gh!1i a0i / > b/ c&1a' 'o&cione' 'on a ng01 ! g0g1 ng0 ! ;g0< g1 ! ag0 / g1g0 ! g0g1 n ng0 ! ;g0<
Errores de los 'ar&metros a ; #
Lo' )a"2$et"o' 3&e 'e o/tienen )o" e $*to#o #e o' $íni$o' c&a#"a#o' 'e enc&ent"an, e(i#ente$ente, afecta#o' #e e""o", )a"a cac&a" o' $enciona#o' e""o"e' 'e #ete"$ina en )"i$e" &%a" a (a"iana #e a (a"ia/e 1, $e#iante a 'i%&iente e0)"e'ión
σ
g;1i ! 1i< 1 n!
#on#e 1i a0i / )o" o tanto
σ
g;1i ! a0i ! / < 1 n!
Conoci#a a (a"iana #e 1, o' e""o"e' #e o' )a"2$et"o' a 1 / (ienen #a#o' )o" a' 'i%&iente' e0)"e'ione'6
a
σ
'1
g;0i ! 0<
g;1i ! 1i<
=
n!
g;0i ! 0<
' g g 0 ;1 ! 1 < 0 g i i 1 i i σ / n g;0 ! 0< n ! n g;0 ! 0< i i
Un e't&#io #etaa#o #e e'te te$a )&e#e (e"'e en c&a3&ie"a #e o' i/"o' #e teo"ía 1 c2c&o #e e""o"e' 3&e 'e in#ican en a /i/io%"afía
E*em'lo6 La ta/a #e #ato' 3&e 'e $&e't"a a contin&ación )e"tenece a $o(i$iento "eaia#o )o" &n $ó(i Con't"&i" e %"2fico #e '& "a)i#e en f&nción #e tie$)o 1 #ete"$ina" a acee"ación #e $ó(i con '& co""e')on#iente e""o"
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Coeficiente de correlaci$n E coeficiente #e co""eación inea r, no' )e"$ite #ete"$ina" c&an ce"ca a &na ínea "ecta 'e a8&'tan o' (ao"e' #e a' $a%nit&#e' 0 e 1 o/teni#a' e0)e"i$enta$ente Lo' (ao"e' 3&e )&e#e to$a" " 'e enc&ent"an #efini#o' en e inte"(ao != 4 " 4 =, con " != "e)"e'entan#o &na co""eación )e"fecta$ente ne%ati(a, e' #eci", con to#o' o' )&nto' + i 'it&a#o' 'o/"e &na "ecta #e )en#iente ne%ati(a, 1 con " = "e)"e'entan#o &na co""eación )e"fecta$ente )o'iti(a, e' #eci" con to#o' o' )&nto' + i 'it&a#o' 'o/"e &na "ecta #e )en#iente )o'iti(a Co$o )&e#e '&)one"'e, en a3&ea' %"2fica' con't"&i#a' a )a"ti" #e #ato' o/teni#o' #e fo"$a e0)e"i$enta, #ifíci$ente )o#"e$o' e')e"a" co""eacione' )e"fecta$ente ne%ati(a' o )o'iti(a'
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Si /ien, e coeficiente #e co""eación " )&e#e 'e" #ete"$ina#o #i"ecta$ente con a%&no' $o#eo' #e cac&a#o"a' #e /o'io, a contin&ación $o't"a$o' &na #e a' fó"$&a' #e"i(a#a' #e a fó"$&a #efiniciona #e +"o#&cto!Mo$ento #e +EARSON 3&e )e"$iten e c2c&o #e " #e a 'i%&iente $ane"a6
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EE,CICI01 I% =! La 'i%&iente ta/a #e #ato' co""e')on#e a $o(i$iento #e'c"ito )o" &n $ó(i Cac&a"6 a< E coeficiente #e co""eación ent"e a$/a' (a"ia/e' /< La ec&ación #e a "a)i#e #e $ó(i en f&nción #e tie$)o c< La acee"ación #e $ó(i #< La "a)i#e inicia #e $ó(i
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EE,CICI0 7,ACIC0
Se nece'ita #ete"$ina" con '& co""e')on#iente e""o" e 2n%&o 3&e fo"$a e )ano incina#o 3&e 'e $&e't"a en a fi%&"a
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− y = − z
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k ,>o Q >,o
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