Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo Parcial de C´ alculo alculo III
3 de enero enero de 20 2017 17
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(ln2), sabiendo que x x es la soluci´
x˙ = 2x y, xy˙ =(0)3=x 2,2, 2yy +(0)1,1,= 3.3. −
−
Respuesta:
Convertimos el problema diferencial asociado a un sistema diferencial en uno asociado a una ecuaci´on on diferencial con x con x,, como unica ´unica funci´on on inc´ognita. ognita. Derivamos la primera ecuaci´on on y reemplazamos la segunda ecuaci´on on en la ecuaci´on on derivada: x ¨ = 2x˙ − y˙ ⇒ ¨x = 2x˙ − 3x + 2y 2 y − 1, despejamos y de la primer primeraa ecuaci ecuaci´´on on del sistema y = diferencial (L) de segundo orden:
x˙ + 2x, reempl reemplaza azamos mos y obtene obtenemos mos la ecuaci ecuaci´´on on
−
x ¨ = 2x˙ − 3x − 2x˙ + 4x 4 x − 1 ⇒ ¨x − x =
1.
−
Las condiciones iniciales se transforman en x(0) = 2 y x˙ (0) = 4 − 3 = 1. La soluci´on on general de la ecuacion diferencial obtenida es: x = c = c 1 et − c2 e t + 1. 1. −
Hallamos los valores de las constantes c constantes c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general:
x(0) = c = c + c + c + 1 = 2, 2, 1
2
x˙ (0) = c = c 1 − c2 = 1
⇒
c1 = 1, c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es e t + 1, de donde x(ln 2) = 2 + 1 = 3. on 2. (30 puntos ) Hallar las soluciones constantes de
x˙ = y = y
2
5x + 6, 6, y˙ = x = x − y. −
Respuesta:
Las soluciones constantes constantes o estacionarias verifican x˙ (t) = 0 e y˙ (t) = 0, para todo t
y
2
5x + 6 = 0, 0, x − y = 0 −
⇒
, as´ı
∈ R
y 2 − 5y + 6 = (y (y − 3)(y 3)(y − 2) = 0. 0.
Por lo tanto, y tanto, y = 3 o y = 2 y como x = y = y,, los puntos fijos del sistema son: (2, (2 , 2), (3, (3, 3). Las soluciones constantes son: ϕ son: ϕ((t) = (2, (2, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 3). 3. (30 puntos ) Hallar y(x), con y y (a) = A , y(b) = B tal que b
(y )2 + y 2 dx → m´ın .
a
Respuesta:
La funci´on on objetivo f (y, y ) = (y )2 + y 2 no depende de la variable independiente x, de esta manera la soluci´ on del problema satisface la ecuaci´on on on de Euler Lagrange:
−
f = c
⇒
2
2
(y(y) )+ y (y ) + y = (y )y + y
y f y
2
2
−
2
2
−
2
2
= c
Planteamos y = y tan y tan ϑ, obtememos y obtememos y 2 /y sec /y sec ϑ = c = c,, de donde y donde y = c = c sec ϑ. Hallemos Hallemos x x en funci´on on de ϑ de ϑ::
dx dy/dϑ c sec ϑ tan ϑ = = = 1. ⇒ x = ϑ = ϑ + + d, d, dϑ y y tan ϑ
por consiguiente y cos(x cos(x − d) = c .
ϑ = x = x − d,
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo Segund o Parcial de C´ alculo alculo III II I
3 de enero enero de 20 2017 17
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
b
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(ln2), sabiendo que x x es la soluci´
x˙ = 2x y, xy˙ =(0)3=x 2,2, 2yy +(0)1,1,= 3.3. −
−
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 1, 1, d) x(ln (ln 2) = 23 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = −1,
c) x(ln (ln 2) = 4, 4, f) x(ln (ln 2) = 3, 3,
2. (30 puntos ) Hallar las soluciones constantes de
x˙ = y = y
2
5x + 6, 6, y˙ = x = x − y. −
Respuesta:
a) ϕ(t) = (t2 , −2) y ϕ( ϕ (t) = (0, (0, 3), 3), d) ϕ(t) = (2, (2, 2) y ϕ( (3, 3), 3), ϕ (t) = (3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) ϕ(t) = (0, (0, 0) y ϕ( ϕ (t) = (1, (1, 0), 0), e) ϕ(t) = (0, (0, 2) y ϕ( (3, 0), 0), ϕ (t) = (3,
c) ϕ(t) = (1, (1, 1) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t), f) ϕ(t) = (t, 2) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t),
3. (30 puntos ) Hallar y(x), con y y (a) = A , y(b) = B tal que b
(y )2 + y 2 dx → m´ın .
a
Respuesta:
a) x2 + y − c1 = c = c 2 x, d) xy = xy = c, c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) c1 = y = y cos( cos(x x − c2 ) , e) y = dx = dx 2 /(c − x),
c) x2 + (y (y − c)2 = d, f) xy( xy (x + c + c‘ y )2 = c 2 ,
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2
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pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
c
3.
a
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(ln2), sabiendo que x x es la soluci´
x˙ = 2x y, xy˙ =(0)3=x 2,2, 2yy +(0)1,1,= 3.3. −
−
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 0, 0, d) x(ln (ln 2) = −1, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 4, 4, e) x(ln (ln 2) = 3, 3,
c) x(ln (ln 2) = 23 , f) x(ln (ln 2) = 1, 1,
2. (30 puntos ) Hallar las soluciones constantes de
x˙ = y = y
2
− 5x + 6, 6, y˙ = x = x − y.
Respuesta:
a) ϕ(t) = (0, (0, 0) y ϕ( ϕ (t) = (1, (1, 0), 0), d) ϕ(t) = (0, (0, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 0), 0), g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) ϕ(t) = (1, (1, 1) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t), e) ϕ(t) = (t, 2) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t),
c) ϕ(t) = (2, (2, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 3), 3), 2 f) ϕ(t) = (t , −2) y ϕ( ϕ (t) = (0, (0, 3), 3),
3. (30 puntos ) Hallar y(x), con y y (a) = A , y(b) = B tal que b
(y )2 + y 2 dx → m´ın .
a
Respuesta:
a) c1 = y = y cos( cos(x x − c2 ), 2 d) y = dx = dx /(c − x), g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 + (y (y − c)2 = d, e) xy( xy(x + c + c‘ y)2 = c 2 ,
c) xy = xy = c, c, 2 f) x + y − c1 = c = c 2 x,
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3
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pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
b
3.
f
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(ln2), sabiendo que x x es la soluci´
x˙ = 2x y, xy˙ =(0)3=x 2,2, 2yy +(0)1,1,= 3.3. −
−
Respuesta:
b) x(ln (ln 2) = 23 , e) x(ln (ln 2) = 1, 1,
a) x(ln (ln 2) = 4, 4, d) x(ln (ln 2) = 3, 3, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
c) x(ln (ln 2) = −1, f) x(ln (ln 2) = 0, 0,
2. (30 puntos ) Hallar las soluciones constantes de
x˙ = y = y
2
5x + 6, 6, y˙ = x = x − y. −
Respuesta:
a) ϕ(t) = (1, (1, 1) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t), d) ϕ(t) = (t, 2) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t), g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) ϕ(t) = (2, (2, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 3), 3), e) ϕ(t) = (t2 , −2) y ϕ( (0, 3), 3), ϕ (t) = (0,
c) ϕ(t) = (0, (0, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 0), 0), f) ϕ(t) = (0, (0, 0) y ϕ( (1, 0), 0), ϕ (t) = (1,
3. (30 puntos ) Hallar y(x), con y y (a) = A , y(b) = B tal que b
(y )2 + y 2 dx → m´ın .
a
Respuesta:
a) x2 + (y (y − c)2 = d, d) xy( xy (x + c + c‘ y )2 = c 2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) xy = xy = c, c, e) x2 + y − c1 = c = c 2 x,
c) y = dx = dx 2 /(c − x), f) c1 = y = y cos( cos(x x − c2 ),
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
e
on del problema a valor inicial: 1. (40 puntos ) Hallar el valor de x(ln2), sabiendo que x x es la soluci´
x˙ = 2x y, xy˙ =(0)3=x 2,2, 2yy +(0)1,1,= 3.3. −
−
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 23 , d) x(ln (ln 2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = −1, e) x(ln (ln 2) = 0, 0,
c) x(ln (ln 2) = 3, 3, f) x(ln (ln 2) = 4, 4,
2. (30 puntos ) Hallar las soluciones constantes de
x˙ = y = y
2
5x + 6, 6, y˙ = x = x − y. −
Respuesta:
a) ϕ(t) = (2, (2, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 3), 3), d) ϕ(t) = (t2 , −2) y ϕ( (0, 3), 3), ϕ (t) = (0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) ϕ(t) = (0, (0, 2) y ϕ( ϕ (t) = (3, (3, 0), 0), e) ϕ(t) = (0, (0, 0) y ϕ( (1, 0), 0), ϕ (t) = (1,
c) ϕ(t) = (t, 2) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t), f) ϕ(t) = (1, (1, 1) y ϕ( ϕ (t) = (t, −t),
3. (30 puntos ) Hallar y(x), con y y (a) = A , y(b) = B tal que b
(y )2 + y 2 dx → m´ın .
a
Respuesta:
a) xy = xy = c, c, d) x2 + y − c1 = c = c 2 x, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = dx = dx 2 /(c − x), e) c1 = y = y cos( cos(x x − c2 ) ,
c) xy( xy (x + c + c‘ y )2 = c 2 , f) x2 + (y (y − c)2 = d,
