COORDENADAS COORDENADA S POLARES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF PDF Y VIDEOS Posted on 6 mayo, 2013 by admin
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Hasta ahora hemos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano. En este capítulo estudiaremos otro sistema denominado sistema de coordenadas polares el cual ofrece otras ventajas con respectos a la coordenadas cartesianas. En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se le representa por un par de números donde “r” es la distancia del polo al
punto dado y donde es el ángulo de inclinación del radio vector OP con respecto al semi-eje positivo llamado
eje
POSICIÓN
DE
UN
polar.
PUNTO
EN
COORDENADAS
POLARES
En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se representa por un par de números , donde r
es
la
RELACIÓN
distancia ENTRE
del
LAS
origen
(llamado
COORDENADAS
polo)
RECTANGULARES
al
punto
Y
LAS
dado: POLARES
Sea O el polo y OM el eje polar de un sistema de coordenadas polares y al mismo tiempo sean el origen y
el
eje
de
las
x
de
un
sistema
de
coordenadas
rectangulares.
Sea P (ver fig) un punto cualquiera del plano, (x;y) sus coordenadas rectangulares, y sus coordenadas polares. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN PUNTOS EN COORDENADAS POLARES TRAZADO
DE
CURVAS
EN
COORDENADAS
POLARES
La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es: ECUACIÓN
DE
ECUACIÓN
LA
DE
UNA
RECTA CIRCUNFERENCIA
La ecuación polar de una circunferencia con centro en y radio a>0 es INTERSECCIÓN
DE
GRÁFICAS
EN
COORDENADAS
POLARES
Cuando teníamos dos gráficas determinadas por ecuaciones cartesianas en las variables x, y , para hallar todos los puntos de intersección de sus gráficas simplemente resolvíamos ambas ecuaciones simultáneamente. Sin embargo, cuando se trata de dos gráficas descritas por ecuaciones en coordenadas polares r, , esta técnica no proporciona necesariamente todos los puntos de intersección de ambas gráficas. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán este hecho. PLICACIONES ÁREA VOLUMEN
DE
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LAS UNA
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SÓLIDO
INTEGRALES REGIÓN DE
EN EN
REVOLUCIÓN
COORDENADAS COORDENADAS EN
COORDENADAS
POLARES POLARES POLARES
El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la región limitada por la curva y las rectas es dado por la fórmula.
Aplicaciones
DE
LAS
COORDENADAS
POLARES
Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio
del
movimiento
Posición
circular
y
y
el
movimiento
orbital.
navegación
:
Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan
un
sistema
modificado
de
coordenadas
para
polares
ligeramente
la
navegación.
Modelado
:
Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Citemos por ejemplo las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos). Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar,
el
más
común
de
los
micrófonos,
tiene
por
ecuación
r = 0,5 + 0,5 senq OBJETIVOS : * Identificar los elementos la representación en coordanadas polares: polo, eje polar, ángulo, radio vector. * Representar puntos con coordenadas polares. * Determinar la gráfica y la ecuación de la cardioide en coordenadas polares. *Representar curvas usando coordendas polares.
INTRODUCCIÓN : Los conceptos de ángulo y radio ya se usaban en el primer milenio antes de Cristo. El astrónomo Hiparco (190-120 aC) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo, y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas. En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, el trabajo del griego no fue extendido a un sistema de coordenadas completo. Existen varias versiones sobre la introducción de las coordenadas polares como sistema de coordenadas formal. Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. En el Método de las fluxiones, escrito en 1671 y publicado en 1736, Sir Isaac Newton estudió la conversión entre el sistema de coordenadas polares y otros nueve sistemas de coordenadas. En el periódico Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix. Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas realmente COORDENADAS POLARES Hasta ahora hemos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano. En este capítulo estudiaremos otro sistema denominado sistema de coordenadas polares el cual ofrece otras ventajas con respectos a la coordenadas cartesianas. En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se le representa por un par de números donde “r” es la distancia del polo al
punto dado y donde es el ángulo de inclinación del radio vector OP con respecto al semi-eje positivo llamado eje polar. * coordenadas polares de P. * coordenadas polares de “P”; para cada punto P del plano existe un conjunto de coordenad as polares.
* Si el se desplaza en sentido antihorario a partir del eje polar, es positivo y negativo en sentido contrario.
* La semirrecta que forma con el eje polar un ángulo se llama eje . * Al polo le corresponde (0;) donde es cualquier real. * Si , la correspondencia entre puntos del plano y las coordenadas polares es biunívoco. Es decir uno a uno. * Si P(r;) entonces r>0 si P está en el eje y r<0 si está en la prolongación del eje. POSICIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POLARES En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se representa por un par de números , donde r es la distancia del origen (llamado polo) al punto dado: y donde es el ángulo de inclinación del radio vector OP con respecto al eje “x” (parte positiva) llamado
el eje polar. La medida de se expresará en radianes. Ejemplo 1: En coordenadas polares, el punto es ubicado dibujando primero un rayo que parte del polo (origen) que haga un ángulo rad. Con el semieje x+(EJE POLAR); luego, sobre dicho rayo y desde el origen, se mide r=3 unidades. Ejemplo 2: Localizar los puntos dados en coordenadas polares. RESOLUCIÓN: * Observar que: de donde se deduce que:y en general RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS RECTANGULARES Y LAS POLARES Sea O el polo y OM el eje polar de un sistema de coordenadas polares y al mismo tiempo sean el origen y el eje de las x de un sistema de coordenadas rectangulares. Sea P (ver fig) un punto cualquiera del plano, (x;y) sus coordenadas rectangulares, y sus coordenadas polares. * Del gráfico: * Además: * Vemos que: Ejemplo 1: Trazar el punto y encontrar sus coordenadas cartesianas. RESOLUCIÓN: * Como entonces:
* Luego: Ejemplo 2: Hallar las coordenadas cartesianas de P si sus coordenadas polares son RESOLUCIÓN: * Entonces: Ejemplo 3: Halle un conjunto de coordenadas polares para P; si sus coordenadas cartesianas son (2 ; – 2) RESOLUCIÓN * Graficando: Ejemplo 4 : Transformando la ecuación a coordenadas cartesianas RESOLUCIÓN: Ejemplo 5 : Transformar la ecuación x2+y2=4x a coordenadas polares. RESOLUCIÓN: * Sabemos que : x2+y2 =r2 ; x = rcos * Reemplazando: ecuación de la circunferencia con centro en (2;0), ya que (x-2)2+y2=22. * Graficando: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN PUNTOS EN COORDENADAS POLARES * Por ley de cosenos en el ,OP1P2 Ejemplo: Calcule la distancia del punto al punto . RESOLUCIÓN: Otra forma seria pasando a coordenadas cartesianas De donde : De donde: * Entonces:
*Observar que el más conveniente pasar a coordenadas cartesianas cuando el ángulo no es conocido. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es: ECUACIÓN DE LA RECTA I)LA RECTA l NO PASA POR EL ORIGEN (POLO) : Sea d la distancia de N a P por Pitágoras: del triángulo ONP tenemos: ecuación de la recta que pasa por el punto N (punto de paso). Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta sabiendo que pasa por el punto y forma un ángulo de con el eje polar. RESOLUCIÓN: * Del gráfico: II) CUANDO LA RECTA l PASA POR EL ORIGEN (POLO) , donde a es constante; Ejemplo: Observaciones: 1) Si L es perpendicular al eje polar su ecuación es: donde el signo (+) si esta a la derecha del polo y (-) si esta a la izquierda del polo. 2) Si es paralela al eje polar su ecuación es: donde el signo (+) si está sobre el eje polar y (-) si está por debajo del eje polar. Ejemplo: Si entonces * En coordenadas cartesianas la ecuación de la recta L será x=2 recta vertical. Ejemplo: Si tenemos * En coordenadas cartesianas la ecuación de la recta L será y =-2 que es una recta horizontal. ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA La ecuación polar de una circunferencia con centro en y radio a>0 es * Esta fórmula sale aplicando la ley de cosenos en el .
Ejemplo: Halle la ecuación polar de la circunferencia de centro y radio 8. RESOLUCIÓN: reemplazando en la fórmula tenemos: ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR EL POLO Ejemplo: Grafique r=5 RESOLUCIÓN: Observación : representa la ecuación polar de una circunferencia de radio |a| tangente al eje supongamos que a>0 Observación : representa la ecuación polar de una circunferencia de centro |b| tangente al eje polar. Supongamos que b>0 Ejemplo : Grafique RESOLUCIÓN: DISCUCIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuación en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis. I) SIMETRÍA : A) La curva es simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando se sustituye B) La curva será simétrica con respecto al eje p/2 si se obtiene una ecuación equivalente cuando se sustituye C)La curva será simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando se sustituye II) INTERCEPTOS CON LOS EJES PRINCIPALES A) Con el eje polar se hece y se resuelve para r. B) Con el eje se hace y se resuelve para r. C) Con el polo se hace r=0; y se resuelve para de aquí salen las rectas tangentes al polo.
III) EXTENSIÓN Si la curva se encuentra encerrada dentro de una circunferencia de radio K. IV) TABULACIÓN Se determina los valores de r correspondientes a algunos valores asignados a . Luego se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva. RECTAS TANGENTES EN EL POLO Son rectas que pasan por el origen, cuya forma general es constantes las que se hallan haciendo r=0 en la ecuación polar, como veremos mas adelante, y resolviendo para . Por ejemplo,en la gráfica de * La dirección de las rectas tangentes se obtienen haciendo r=0 en la ecuación y resolviendo luego para : * Estas dos últimas ecuaciones para representa a la misma recta: el eje normal “y”.
Ejemplo 1: Graficar el siguiente cardioide: RESOLUCIÓN: * SIMETRÍAS : Se verifica fácilmente que la gráfica solamente es simétrica respecto al eje polar “x”, pues la ecuación no
varia al reemplazar por . por lo tanto será suficiente considerar los valores de que cubran puntos de la gráfica en el semiplano superior; el resto lo concluiremos por simetría. * INTERCEPTOS : * Existen 4 puntos de intersección con los ejes principales: * RECTAS TANGENTES EN EL POLO: * Haciendo r=0 en la ecuación , obtenemos * Por lo tanto, la recta es la única recta que pasa por el origen (polo)que es tangente a la gráfica en el polo. * EXTENSIÓN : La extensión esta dada por: * TABULACIÓN : * Cuando q aumenta de 0 a , cosq disminuye de 1 a – 1,y disminuye desde 2 hasta 0. * Con todos estos datos procedemos a construir la gráfica: * CARDIOIDE : Ejemplo 2 : Grafique: RESOLUCIÓN:
* Como la ecuación no se altera al reemplazar por la curva es simétrica con respecto al eje polar. * Si aplicamos los criterios de simetría vamos comprobar que la gráfica no es simétrica con respecto al polo ni al eje . * Veamos los interceptos con los ejes principales si * Entonces es una recta tangente al polo. * Si tenemos que: * Si tenemos que * Veamos la extensión: Como la curva se encuentra dentro de una circunferencia de radio 3. * Ahora tabularemos: Ejemplo 3 : Bosquejar la gráfica de la ecuación polar RESOLUCIÓN: * EXTENSIÓN: * INTERCEPTOS: * SIMETRÍA: Solo existe con respecto al eje normal y , pues la ecuación no varia al reemplazar por y r por -r. * RECTAS TANGENTES EN EL POLO: Hacemos r=0 en : * TABLA: Cuando aumenta de , r aumenta de hasta 2; Cuando aumenta disminuye de 2 hasta 0, y Cuando aumenta de , r diminuye de 0 hasta -2. Observación : La gráfica polar de la ecuaciones: se les llama limazón; palabra francesa que proviene del latín Limax que significa caracol. TIPOS DE CARACOLES: De la ecuación si caracol con un lazo. Si cardiode (forma de corazón) Si (caracol con hendidura)
Si (caracol convexo) SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL Si 1) Si (simetría con respecto al eje polar apunta hacia la derecha). 2) Si (simetría con respecto al eje polar apunta hacia la izquierda). 3) Si (simetría con respecto al eje apunta hacia arriba). 4) Si (simetría con respecto al eje apunta abajo). Observación : Las gráficas de las ecuaciones de la forma ó es una rosa que tiene n hojas si n es impar y 2n hojas si n es par. Si n=1 sale una circunferencia por eso a la se le considera como una flor de una sola hoja. Ejemplo : La gráfica de : Ejemplo 4: Gráficar la ecuación polar siguiente (lemniscata). RESOLUCIÓN : * La gráfica es sim étrica respecto al eje polar “x”, al eje normal “y”, y respecto al origen(polo). * Los interceptos con los ejes principales son: * Para las rectas tangentes en el polo hacemos r=0 en la ecuación dada: , es decir: y así, estas rectas son: . Nótese que de la forma de la ecuación se tiene que los únicos valores posibles para son tales que: * Esto indica que en la región del plano correspondiente a los valores de entre así como entre no existe gráfica para esta ecuación. * La construcción de la gráfica se hace a continuación: INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES Cuando teníamos dos gráficas determinadas por ecuaciones cartesianas en las variables x, y , para hallar todos los puntos de intersección de sus gráficas simplemente resolvíamos ambas ecuaciones simultáneamente. Sin embargo, cuando se trata de dos gráficas descritas por ecuaciones en coordenadas polares r, , esta técnica no proporciona necesariamente todos los puntos de intersección de ambas
gráficas. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán este hecho. Ejemplo 1: Hallar los puntos de intersección de y , para . RESOLUCIÓN: * Resolviendo ambas ecuaciones simultáneamente: * Obteniendo así el punto de intersección . La otra solución para genera este mismo punto. Sin embargo, como vemos en la figura, existe otro punto de intersección: el polo (origen); pero, no existe ningún par de coordenadas del polo que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente. * Recordemos que representan el polo, para cualquier valor de . por tanto, el polo será un punto de intersección de ambas gráficas si haciendo r=0 en ambas ecuaciones logramos encontrar al menos un valor para la ecuación (I) y al menos un valor que satisfaga la ecuación polar (II); donde y pueden ser diferentes en general. * Es decir, haciendo r=0 en: * De este modo, el polo se encuentra en ambas gráficas; en la primera con coordenadas polares (0;0) y en la segunda con coordenadas . Por lo tanto, los dos únicos puntos de intersección son y el polo. NOTA: Todo punto de coordenadas coincide con el de coordenadas . De esto se sigue que si la ecuación de una curva está dada en coordenadas polares de la forma * Entonces la misma curva tiene la ecuación de la forma general: , n cualquier entero. * Es decir: * Por esta razón es que la circunferencia dada por r=1, también esta dada por la ecuación: , también esta representada por la ecuación DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES Consideremos la ecuación de una curva dada por: Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por: Luego al reemplazar (I) en (II) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma. * Que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro . * Luego calculamos es decir * Pendiente: * Además se pueden demostrar que:
Ejemplo 1: Determinar el valor de la pendiente en: RESOLUCIÓN: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN COORDENADAS POLARES ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES Si es una función continua y no negativa sobre , el área “A” de la región encerrada por la gráfica de la
ecuación polar y los rayos y , se obtendrá, así: * Donde * Calculemos el área dA como si fuera de un sector circular de radio . * Entonces de donde el área que corresponde a la región limitada por y los rayos Será: Donde varían en el dominio ó en el dominio , según más conveniente. Observación: Antes de pasar a las aplicaciones aconsejamos al estudiante revisar los criterios para gráficar e intersecar curvas polares, como interceptos, simetrías, rectas tangentes en el polo. Ejemplo 1: Determinar el área de la región limitada por: RESOLUCIÓN: TEOREMA : Consideremos dos funciones tales que y sea el sector limitado por los gráficos y las rectas entonces el área de la es expresado por la fórmula: Ejemplo 2 : Hallar el área de la figura limitada por la curva: que está fuera del círculo r=a. RESOLUCIÓN : Sean: VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EN COORDENADAS POLARES El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la región limitada por la curva y las rectas es dado por la fórmula. Ejemplo : Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva alrededor del eje polar.
RESOLUCIÓN: * La variación de la integral es desde hasta . LONGITUD DE ARCO DE COORDENADAS POLARES Si f es una función continua en el intervalo cerrado , entonces la longitud de la curva , desde , está expresado por: Ejemplo: Hallar la longitud total de la cardioide RESOLUCIÓN : * Como la gráfica es simétrica. Aplicaciones DE LAS COORDENADAS POLARES Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital. Posición y navegación : Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación. Modelado : Los sistemas que presentan simetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Citemos por ejemplo las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos). Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección
del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 senq PROBLEMA 1: Gráfique los puntos cuyas coordenadas son: RESOLUCIÓN: PROBLEMA 2: Convierta P(1;-1) de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. RESOLUCIÓN: Como x=1 , y=-1, tenemos * Además: * Si consideramos , puesto , entonces: * Así, vemos que las representaciones para P son: problema 3 : Determine las coordenadas rectangulares del punto p , cuyas coordenadas polares son . RESOLUCIÓN: Del gráfico: Coordenadas rectangulares de P Coordenadas polares : RPTA : „„B‟‟
problema 4 : Determine la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es: (x – 2)2+(y – 2)2= 4 RESOLUCIÓN: Tenemos :C:(x – 2)2+(y – 2)2=4(ecuación rectangular) Cambiamos: Luego: Otro método. Aplicamos la ley de cosenos, en el sombreado.
RPTA : „„e‟‟
problema 5 : Determine la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es: x2 – y2=4. RESOLUCIÓN: Ecuación rectangular de la hipérbola H: x2 – y2=4 Cambiamos: Ecuación polar de la hipérbola: RPTA : „„B‟‟
PROBLEMA 6 : Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es dada por: x2+y2=a2 RESOLUCIÓN: * Se conoce que: *Como : Por lo tanto la ecuación polar es: PROBLEMA 7 : Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es : y2=4(x+1). RESOLUCIÓN: * Se conoce que: . Luego reemplazando en la ecuación y2=4(x+1) entonces de donde * Entonces: PROBLEMA 8 : Determine las coordenadas rectangulares del punto P, cuyas coordenadas polares son RESOLUCIÓN: Del gráfico: Coordenadas rectangulares de P. RPTA : „„b‟‟
PROBLEMA 9 : Determine la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es: (x – 2)2+(y – 2)2 = 4
RESOLUCIÓN: Tenemos: Haremos el cambio: Reemplazamos: RPTA : „„e‟‟
PROBLEMA 10 : Dada la ecuación rectangular del lugar geométrico x2 = 4y exprese la misma en forma polar. RESOLUCIÓN: Tenemos: Hacemos los cambios: Reemplazamos: RPTA : „„c‟‟
PROBLEMA 11 : Determine la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación cartesiana es: x2 – y2 = 2. RESOLUCIÓN: Tenemos: Hacemos el cambio: Reemplazamos: Por proporciones: RPTA : „„b‟‟
PROBLEMA 12 : La ecuación polar de la parábola es :, calcule la longitud del lado recto. A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 RESOLUCIÓN: Se tiene: Pasamos esta ecuación polar a la rectangular o cartesiana. Elevamos al cuadrado. D onde: Ahora ; longitud del lado recto (L.R)
RPTA : „„c‟‟
PROBLEMA 13 : Si (A,B) son las nuevas coordenadas del punto , después de trasladar los ejes a , entonces A – B es: RESOLUCIÓN: Tenemos: Conocemos: Así: A – B = 0 RPTA : „„d‟‟
PROBLEMA 14 : Transformar la ecuación ,a coordenadas Cartesianas e identificar su gráfica en el plano. RESOLUCIÓN: * Recordando que * Ecuación cartesiana que corresponde a una hipérbola equilátera con centro en el origen, eje focal en el eje “x”, y con semiejes a=b=2
PROBLEMA 15 : Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones: RESOLUCIÓN: PROBLEMA 16 : Hallar los puntos de intersección de las curvas. RESOLUCIÓN: Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos. se tiene: Como se obtiene las mismas ecuaciones es suficiente resolver el sistema de ecuación iniciales. * Luego el punto de intersección de las curvas es : PROBLEMA 17 : Hallar las coordenadas polares de los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones: RESOLUCIÓN: Utilizando utilidades trigonométricas, multiplicando por “r” ambos miembros de cada ecuación y las
fórmulas de transformación, tenemos que: Además, intersectando ambas ecuaciones:
* Obteniéndose así los siguientes puntos: El polo (0), B(4;0) y , pero que ya no se considera por ser equivalente al punto B(4;0). PROBLEMA 18 : Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de: RESOLUCIÓN: * Entonces por la fórmula : PROBLEMA 19 : Hallar el área “A” de un lazo de la gráfica de la ecuación polar .
RESOLUCIÓN: * Tangentes en el polo: r=0 * Entonces la gráfica corta al origen en estos rayos. Un lazo (primer cuadrante) corresponde a . Por lo tanto : PROBLEMA 20 : Hallar el área de la región encerrada por la curva RESOLUCIÓN: * Como la gráfica es simétrica con respecto a los dos ejes entonces. PROBLEMA 21 : Calcular el área de la region limitada por la lemniscata RESOLUCIÓN: * Por simetría con respecto al eje polar se tiene: PROBLEMA 22 : Hallar el área A de la región que se encuentre fuera de la cardioide y dentro de la circunferencia . RESOLUCIÓN: En estos casos primero se deben hallar necesariamente los rayos correspondientes a los puntos de intersección de ambas gráficas: * Y como ambas gráficas son simétricas respecto al eje polar “x”, Si A1 representa el área de la parte correspondiente al primer cuadrante, entonces el área “A” está dada por la siguiente expresión:
PROBLEMA 23 : Dada la curva , calcular el área del bucle (lazo) de su gráfica. RESOLUCIÓN: PROBLEMA 24 : Hallar el área A de la región que se encuentra entre los lazos de la limazón . RESOLUCIÓN: * Tangentes en el polo: * Denotado por A1 a la parte correspondiente al primer cuadrante, y como la gráfica es simétrica respecto al eje normal y entonces : PROBLEMA 25 : Calcular el volumen de un sólido obtenido por rotación de la región acotada por la curva alrededor del eje polar. RESOLUCIÓN: * Por simetría se tiene: PROBLEMA 26 : Hallar la longitud del bucle (lazo) de la curva polar RESOLUCIÓN: * Por simetría se tiene: PROBLEMA 27 : Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la cardioide , a>0 alrededor del eje “x”.
RESOLUCIÓN: * Ubicando la región se tiene: * Del gráfico se observa que el sólido de revolución se obtiene de hacer girar alrededor del eje “x” la región de la parte superior de la cardioide. Relacionar: Hallar la distancia entre dos puntos P1( – 3;75°) y P2(5;45°) A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Indicar el número de puntos de intersección de las siguientes curvas: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 Indicar cual de las siguientes alternativas no es punto de intersección de :
