TAREA CONTROL DE PROCESOS UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA
1. (70%) El tanque con agitación que se ilustra en la Figura se utiliza para calentar una corriente en proceso, de manera que se logre una composición uniforme de los componentes premezclados. El control de temperatura es importante, porque con una alta temperatura se tiende a descomponer el producto, mientras que, con una temperatura baja, la mezcla resulta incompleta. El tanque se calienta mediante el vapor que se condensa en un serpentín; se utiliza un controlador proporcional-integral-derivativo (PID) para controlar la temperatura en el tanque, mediante el manejo de la posición de la válvula de vapor. Se desea obtener el diagrama de bloques completo y la ecuación característica del circuito para los siguientes datos de diseño: Proceso
La densidad de la alimentación ρ es de 68.lb/pies3, y la capacidad calorífica Cp es de 0.80 Btu/lbºF. En el reactor se mantiene constante él volumen V be líquido a 120 pies3. El serpentín consta de 240 pies de tubo de acero de 4 pulgadas, calibre 40, con un peso de 10.8 lb/pie, capacidad calorífica de 0.12 .Btu/lbºF y diámetro externo de.7.500 pulgada, el coeficiente total de transferencia de calor, U, se estima que es de 2.1 Btu/min pieºF, con base en el área externa del serpentín. El vapor de que se dispone está, saturado a una presión de 30 psia; se puede suponer que el calor potencial de cond ensación λ es constante, con un valor de 966 Btu/lb. Condiciones de diseño
En las condiciones de diseño, el flujo de alimentación f es de 15 p ies3/min, a una temperatura Ti de 100 ºF. El contenido del tanque se debe mantener a una temperatura T de 1500 ºF. Las posibles perturbaciones son cambios en la tasa de alimentación y en la temperatura. Sensor y transmisor de temperatura El sensor de temperatura se calibra para un rango de 100 a 200°F y una constante de tiempo τt de 0.75 min. Válvula de control
La válvula de control se diseña con una sobrecapacidad del l00%, y las variaciones en la caída de presión se pueden despreciar. La válvula es de porcentaje igual, con un parámetro de ajuste de 50; la constante de tiempo τv del actuador es de 0.20 min.
2. (30%) Con la ecuación ecuac ión característica del ejemplo anterior construya el lugar geométrico de la raíz (conclusiones). Entrega: lunes 18 de noviembre 2:00 pm, entrega puntual (no se aceptan entrega posterior a la fecha y hora). Trabajo: Grupos máximos de 6. Nota: Realice todos los cálculos matemáticos paso a paso, recuerde que se califica lo que está escrito, no las explicaciones que usted hace después de calificado la tarea.
Solución Balance de energía en el tanque
∅ ∅ ( ) ∅
En el sistema no se presentan cambios considerables en la energía cinética y potencial, como tampoco se genera calor por reacción, ni se realiza trabajo de eje PV. La ecuación se simplifica de la siguiente manera:
ℎ ℎ≅ 1 ℎ ℎ ℎ 0 ℎ ℎ ℎ ℎ , ,
para los líquidos
; reemplazando en
1
w
Del balance de masa total
Asumiendo que la densidad y el volumen se mantienen constantes
Reemplazando en la ecuación (2)
Se tiene que
, para los líquidos
El calor es el calor transferido por el serpentín que se transfiere por convección, y depende del área de transferencia y del coeficiente total U
Con lo que se tiene una ecuación y 2 incógnitas (
2
Balance en el serpentín
En el serpentín el calor que entra equivale al calor de condensación del vapor, debido a que este entra saturado, de acuerdo con esto la ecuación del balance de energía se puede escribir como:
Reemplazando
ℎ ℎ ,,
Con lo que se tienen 2 ecuaciones y 3 incógnitas ( Donde: W es
3
el flujo másico del vapor
Es la capacidad calorífica del metal del serpentín
Ecuación de la Válvula de control Dado que la válvula es de tipo igual porcentaje, a partir de la ecuación (5-23) del libro Control Automático de procesos, SMITH y CORRIPIO:
|=− |= á−
Siendo vp la posición del vástago de la válvula.
Si vp=1, la válvula está totalmente abierta y sería el flujo máximo que puede pasar por ella y Cv sería el flujo que pasaría por la válvula en función de la posición del vástago:
Con lo que se tienen 3 ecuaciones y 4 incógnitas
,,,
Una válvula de control es un ejemplo de aplicación del modelo Masa – Resorte – Amortiguador Viscoso. Un resorte rodea al vástago, sostiene al diafragma y descansa sobre una base. La función de transferencia de la válvula se obtiene realizando un balance de fuerzas sobre el vástago para determinar su posición como resultado de todas las fuerzas que actúan sobre este:
El lado izquierdo es la fuerza resultante. El primer término del lado derecho es la fuerza ejercida por el aire comprimido sobre el diafragma de la válvula, el segundo es la fuerza ejercida por el resorte y el tercero representa La fricción ejercida hacia arriba que resulta del contacto entre el extremo del vástago y el empaque sobre el asiento de la válvula
Reordenando
La dinámica de una válvula neumática, usualmente, se aproxima a un sistema de primer orden porque generalmente M <<< . Despreciando el primer termino
Siendo:
Entonces:
0 : 1 1 1
Aplicando transformada de Laplace:
Sacando factor común
Reordenando:
Es decir, que si la variable de entrada a la válvula es la señal de salida del controlador en porcentaje de salida del controlador (% CO) y la variable de salida de la válvula es el flujo de salida de ella, entonces la ganancia de la válvula se define como
, %
Utilizando la regla de derivación en cadena, se puede mostrar a la ganancia de la válvula como el producto de tres términos que relacionan la dependencia de la posición de la válvula con la salida del
controlador, la dependencia del Cv con la posición de la válvula y la dependencia del flujo con el valor de Cv.
La dependencia de la posición de la válvula es, simplemente, la conversión de la salida del controlador en porcentaje a la fracción correspondiente a la posición de la válvula, pero el signo depende de si la válvula es de falla cerrada o de falla abierta.
± 1001 %
La función de transferencia de la válvula en el problema de estudio estará dada de la siguiente manera:
Donde M(s) es la salida del controlador y VP(s) es la variable manipulada, en este caso la posición del vástago. Entonces la ecuación de la válvula queda da la siguiente forma
1 1001
Con lo que se tienen 4 ecuaciones y 5 incógnitas
4
,,,,
funcion del Sensor- trasmisor
Un sensor de temperatura es un ejemplo de sensor de primer orden. En este hay un elemento que almacena energía y otro que la disipa. La relación entre la entrada y la salida viene dada por una ecuación diferencial del tipo:
1
La función de transferencia correspondiente es:
Con lo que se tienen 5 ecuaciones y 6 incógnitas
,,,,,
Función de transferencia del controlador
El denominado PID (control proporcional – integral – derivativo) es la combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa. Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada es
1 1
Ecuación 5.44 del libro de Smith y corripio
La función de transferencia es considerada la que corresponde a un controlador “PID Ideal” Con lo que finalmente se tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas, y se completa la obtención de un sistema de ecuaciones para el circuito de control. Lo siguiente es obtener el diagrama de bloques del circuito, para esto se deben linealizar las y aplicar transformada de Laplace a las ecuaciones del sistema.
Linealización de la ecuación de la válvula
Realizando una expansión de series de Taylor de la función de la válvula del valor
∝− ln − ln ln() ln( ) ln Reemplazando (4) y (5)
alrededor
5
Definimos:
1 ln 1001 100ln 1 1
Linealización del balance de energía del tanque, mediante expansión de la serie de Taylor:
,, , ( ̅, , , ) (̅, , , )[̅] (̅, , , ) ( ̅, , , ) ( ̅, , , ) ( ̅, , , ) [] ( ̅, , , ) ( ̅, , , ) [] ( ̅, , , ) ( ̅, , , ) [] ( ̅, , , )
( ̅, , , ) [] ( ̅, , , ) , ̅, , , ) [ ̅] , ,(
Por lo que:
, ̅, , , ) ,, ( Por lo que el balance de energía en el quedaría de la siguiente manera en variables de perturbación
Para el serpentín no es necesario linealizar. Entonces la acusación expresada en variables de perturbación
Aplicando transformada de Laplace:
Sacando factor común,
Despejando
0 1 , tenemos:
:
+ +
(6)
A partir del balance del tanque ya linealizado:
[ ] [ ] [ ] [] 7
Donde
,
Definiendo:
,
,
,
son las variables de desviación
Reemplazando en la ecuación (7)
Aplicando transformada de Laplace:
0 1
Sacando factor común
Despejando
:
:
+ + +
8
Reemplazando (7) y en (8) se obtiene la siguiente expresión:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
111 1 1 1 1 1
1 11 1 1 1 11 11 1 11 1 11
Diagrama de bloques
El diagrama de bloque en lazo abierto sería:
Cerrando el lazo:
Por lo que podemos deducir las siguientes relaciones:
9 10 11 12 13
Reemplazando (11) en (9):
Reemplazando (13) en (10):
(6)
Reemplazando (12) en (14):
Reordenando:
: 1 : 1 1 1
Sacando factor común
Despejando
Ecuación característica del sistema
De la función de transferencia del circuito cerrado se obtiene la ecuación característica
Donde
1
= función de transferencia del circuito abierto (FTCA)
La ecuación característica se puede expresar de la siguiente forma:
1 1 1 11 0 11 Los valores numéricos de la ecuación se obtienen de la descripción del serpentín y las condiciones de la válvula y el tanque
1.0 % 0.75 2.8545% 0.2 1.62 ⁄ 0.4211 4.63 0.5238 Reemplazando los valores numéricos
1.620. 1 1 1 0.2.281 545 4.6310. 4 211 10.751 523810.42110 1 10.2.281 545 2.425 4.630.0.6582238510.4211 0 10.751 8 545 0. 6 82 12. 10.751 0. 2 1 2.425 5.15380.5790 2. 8 545 82 5790 1 0.15 0.72.5845 0.22. 8545 2.425 5.0.165380. 82 5790 12.85450.15 2. 8515 2.85452.425 5.0.165380. 0. 6 822. 8 545 8545152.8545 12.425 5.153850. 2.5790. 0
1.946 0. 087 0.579 0.5790 10.363 2.425 2.4251.0.9467735. 1.1538946 5.1538 2. lugar de la raíz
Para dibujar el lugar de la raíz partimos de la ecuación característica de la función de transferencia del circuito cerrado. El primer paso obtener los polos y ceros de la FTLA, pero debemos sintonizar para conseguir un el tiempo de y como no conocemos el valor de integración y el tiempo derivativo. Para esto se deben determinar los parámetros de ajuste de razón de asentamiento de un cuarto para el controlador PID, mediante el método de la ganancia última; también se deben calcular las raíces de la ecuación característica cuando el controlador se ajusta con esos parámetros. Lo primero es utilizar el método de substitución directa para calcular la ganancia y el período de oscilación últimos de un controlador proporcional.
0 0 0,363 3,1985 7,665 5,733 0,5771,9460 0,363 3,1985 7,665 5,7330,5791,946 0 0,363 3,1985 7,665 5,733 0,5791,946 0 1 0,363 3,1985 7,665 5,733 0,5791,946 0 3,1985 5,733 0 10 0,363 7,665 1,946 0,5790 11 3,1985 5,7330 :
Con
y
la ecuación característica se reduce a
Dividiendo entre s:
Si
y
Dónde:
Reorganizando en una ecuación real y otra imaginaria
Dividiendo (10) entre
Despejando
:
3,5,1798533 √ 3,51,798533 1,4 / 0,363 7,665 0,579 1,946 : 0, 3 631, 4 7, 6 651, 4 0, 5 79 6,7060%/% 1,946 2 2 1,24 4,5
De (11), despejamos
:
Reemplazando el valor de
Pero:
Despejando
:
De la tabla 6-1 del libro Control Automático de Proceso Smith y Corripio, para un controlador PID:
1,7 6,71,0607 3,9447 %/% 8 4,58 0,56 2 4,52 2,25
De al ecuación característica se tiene que
Pero:
1 1 1 1(1) 1 1 1 1 11 1 1 ′ 22.76 ′ 1 1 1 1 0,175′1,0,1226 2,2,42251 5,150,58 ′10,95170,8338 0,175 0,2 2,0088 0,1193
Reemplazando y resolviendo:
Definimos
:
Reemplazando valores:
Los zeros son:
Los polos:
0,8338 0,9517 0 0,1193 1,33 2,0088 5
Una vez que se tienen los ceros y los polos, se dibujan sobre el plano complejo. Y se trazan las partes del eje real que hacen parte del lugar de la raíz, sabiendo que sobre el eje real el lugar de raíz existe en el punto en que hay una cantidad impar de polos y ceros a la derecha del punto
Ilustración 1 partes del eje real que hacen parte del lugar de la raiz
Como hay 5 polos debe haber igual número de ramas que o lugares de raíz que parten de cada polo y llegan a un cero. La función tiene dos ceros, lo que quiere decir, que dos de las ramas terminan en los ceros sobre el eje real y las tres restantes tienden al infinito. Los lugares q ue tienden a infinito lo hacen sobre asíntotas. Todas las asíntotas deben pasar por el “centro de gravedad” de los polos y ceros de la FTLA. La ubicación del centro de gravedad (CG) se calcula como sigue:
∑ ∑ = =
Donde n es el número de polos y m es el número ceros
00,11931,332,052150,83380,9517 2.22 Entonces del punto sobre el eje real -2,22 parten 3 asíntotas hacia el infinito cuya dirección se determina con la formula, que da el ángulo que forma la asíntota con el eje real positivo
∅ 180°360° Donde k = 0, 1, 2, 3, …. , n – m – 1, numero de asíntotas
∅ 180°52360°0 180°3 60° 540° ∅ 180°360°1 52 3 180° 900° ∅ 180°360°2 52 3 300° 180° 300°
Del valor de los ángulos se infiere que una de las asíntotas coincide con el eje real negativo, las otras dos que forman ángulos de y de son simétricas respecto al eje real y cortan en algún punto el eje imaginario.
Los puntos en que los lugares se juntan y separan sobre el eje real, o llegan desde la región compleja del plano s, se conocen como “puntos de ruptura”, los cuales se determinan, frecuentemente, por ensayo y error, con base en la solución de la ecuación
1 1 = =
±90°
En los puntos de ruptura los lugares siempre se a1eján.o llegan al eje real con ángulos aproximadamente . Los puntos de ruptura suelen presentarse en los lugares sobre el eje real que unen dos polos; los lugares que nacen en los polos se separan en el punto de ruptura y nuevamente se encuentra en otro punto de ruptura para llegar a ceros que se encuentran sobre el eje real. Para los lugares de la raíz de la gráfica 1
10 0.11193 1,1 33 2,10088 51 0,18338 0,19517 0
Usando la función solve de MatLab obtenemos el siguiente resultado para S S= -0.0613 -0.8945 -1.5672 -3.7779 - 0.7488*i - 0.8592 0.7488*i - 0.8592
De los 6 valores posibles para S solo 3 son válidos. Estos son -0.0613, -0.8945, -1.5672, ya que se encuentran en la región del eje real donde los dos lugares se acercan el uno al otro. Estos lugares se pueden observar en la figura 1, representados por una línea de color verde. Antes de dibujar el diagrama final del lugar de raíz es conveniente conocer el punto en que los lugares cruzan el eje imaginario, con el cual se tiene un punto más para dibujar los lugares de raíz, lo que aumenta la precisión del diagrama. Dicho punto es la frecuencia última , y se encuentra mediante la aplicación del método de substitución directa. Anteriormente cuando se aplicó el método de substitución directa a la ecuación característica de este sistema, se determinó que la frecuencia de cruce o última es
El diagrama final del lugar de la raíz se muestra en la figura 2
1,4
Ilustración 2 lugar de la raíz
