Contoh Soal Matriks

Contoh Soal Matriks, Pengertian, Jenis-jenis, Sifat Operasi, Invers, Jawaban, Notasi dan Ordo, Penjulahan, Pengurangan, Perkalian, !ranspose, Skalar, "eterinan, Mateatika 4:02 PM

 Apa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftar nilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunan penulisannya? Jika susunan terseut dituliskan untuk per hari atau per ulan atau ahkan per tahun pasti akan menjadi sangat panjang! Perhatikan juga p"sisi tempat duduk peserta ujian! Apa yang kalian ayangkan tentang p"sisi erderet dari depan ke elakang dan dari kiri ke kanan? #asus$kasus di atas dapat disajikan dengan mudah menggunakan matriks!

%ujuan Pemelajaran :

&etelah mempelajari a ini, diharapkan kalian dapat '!

menjelaskan (iri suatu matriks)

2!

menuliskan inf"rmasi dalam entuk matriks)

*!

melakukan "perasi aljaar atas dua matriks)

4!

menentukan determinan matriks persegi "rd" 2)

+!

menentukan iners matriks persegi "rd" 2)

-!

menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua ariael dengan iners matriks)

.!

menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua ariael dengan determinan)

/!

menentukan determinan matriks persegi "rd" *)

!

menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga ariael!

Materi tentang matriks merupakan materi aru agi kalian!

Pemahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain determinan, ekt"r, dan transf"rmasi ge"metri! Matriks merupakan salah satu (ara untuk mempermud mempe rmudah ah penye penyelesai lesaian an sist sistem em persa persamaan maan line linear! ar! 1alam kehid kehidupan upan sehar sehari$har i$hari, i, matr matriks iks sangat memantu dalam men(atat hal$hal yang erhuungan dengan jajaran ilangan!

 A!

Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

'! Pengertian Matriks

Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan ("nt"h erikut! &e"rang sisa men(atat hasil ulangan hariannya untuk pelajaran Matematika, &ejarah, %3#, dan ahasa 3nggris dalam tael erikut!

Mata Pelajaran Matematika Sejarah TIK B. Inggris

Ulangan I 7 8 5 7

Ulangan II 8 7 7 9

Ulangan III 9 8 8 10

Ulangan IV 8 6 6 8

%ael %a el di atas dapat d apat disajikan dalam entuk yang leih sederhana!

1alam mema(a tael di atas, sisa tidak mengalami kesulitan karena dia sudah tahu aha aris ke$' adalah nilai Matematika, aris ke$2 nilai &ejarah, aris ke$* nilai %3#, dan aris ke$4 nilai ahasa 3nggris! Untuk k"l"m pertama menyatakan nilai ulangan 3, k"l"m ke$2 adalah nilai ulangan 33, dan seterusnya!

1alam matematika, susunan ilangan yang ditulis menurut aris dan k"l"m serta ditandai dengan tanda kurung di seelah kiri dan seelah kanannya diseut matriks! Nama aris dan k"l"m disesuaikan dengan urutannya! urut annya! Masing$masin Masing$masing g ila ilangan ngan yang ada di dalam tanda kurung ters terseut eut diseut elemen matriks!

Pada matriks di atas, elemen matriks aris ke$2 k"l"m ke$4 adalah - dan elemen matriks aris ke$* k"l"m ke$' adalah +! 5al ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks erikut!

Pada matriks di atas, elemen matriks aris ke$* k"l"m ke$4 adalah -! 6lemen matriks aris ke$2 k"l"m ke$* adalah /!

2! Notasi dan Ordo Matriks

Untuk Untu k menya menyatakan takan matriks, matriks, iasa iasanya nya digunakan huruf kapit kapital, al, seperti A, , 7, !!!, sedangkan sedangkan untuk menyatakan meny atakan elemen matr matriks iks ditu ditulis lis denga dengan n huruf ke(il! Misalnya, aij untuk meny menyatakan atakan tiap eleme elemen n matriks A, ij untuk menyatakan tiap elemen , dan seterusnya!

1ari uraian yang telah disam disampaika paikan n di atas, kita dapat mendefinisi mendefinisikan kan penger pengertian tian matriks seagai erikut!

Suatu atriks # berukuran  $ n adalah susunan berbentuk persegi panjang %ang terdiri atas  baris dan n kolo&

Matriks A iasanya din"tasikan seagai e rikut!

aij menyatakan elemen matriks pada aris ke$i dan k"l"m ke$j! Untuk ukuran m 8 n, sering kali diseut "rd" suatu matriks sehingga matriks A dapat ditulis !m

" n!

#adang$kadang, entuk umum matriks A dapat dituliskan se(ara singkat ke dalam n"tasi A 9  aij;,  9

 ij;, dan seterusnya!  

1ari uraian di atas dapat dierikan definisi yang jelas tentang "rd" matriks dan n"tasi matriks seagai erikut!

Ordo suatu atriks adalah ukuran atriks %ang en%atakan ban%ak baris diikuti dengan ban%ak kolo& Notasi dari atriks # din%atakan dengan # ' ( aij)&

Contoh Soal Matriks ': Matriks  ':

5asil penelitian tentang keadaan harga$harga p"k"k selama tahun 2004, 200+, 200-, dan 200. di suatu daerah adalah seagai erikut!

Tah#n +00, +005 +006 +007

Beras 1.900 +.-00 +.,00 +.600

$arga Per Kil%gram &alam '#(iah )#la Min*ak )%reng -.750 ,.500 -.900 ,.700 -.800 5.000 ,.000 5.600

a! &usunlah data di atas ke dalam entuk matriks dengan n"tasi A! ! erapa anyak aris dan k"l"m dari matriks A? (! &eutkan elemen$elemen pada aris kedua!

d! &eutkan elemen$elemen pada k"l"m ketiga!

Pemahasan &"al Matriks :

a! A 9

! anyak aris pada matriks A adalah 4 dan anyak k"l"m pada matriks A adalah *! (! 6lemen$elemen pada aris kedua adalah a+1 9 2!*00, a++ 9 *!00, dan a+- 9 4!.00! d! 6lemen$elemen pada k"l"m ketiga adalah a1- 9 4!+00, a+- 9 4!.00, a-- 9 +!000, dan a,- 9 +!-00!

7"nt"h &"al 2:

1iketahui matriks  9

%entukan :

a! "rd" matriks ) ! elemen$elemen aris pertama) (! elemen pada aris ke$* dan k"l"m ke$2) d! elemen pada aris ke$2 dan k"l"m ke$4!

Penyelesaian :

a! Matriks  mempunyai * aris dan 4 k"l"m sehingga "rd" matriks  adalah * 8 4 atau din"tasikan B-  ,. ! 6lemen$elemen aris pertama adalah ., <+, ', dan /! (! 6lemen pada aris ke$* k"l"m ke$2 adalah *, ditulis -+ 9 *! d! 6lemen pada aris ke$2 k"l"m ke$4 adalah , ditulis +, 9 !

7"nt"h &"al * :

1iketahui sistem persamaan linear erikut!

*= > +y < = 9 4 += > 2y < * 9 / 2= < 4y > 2 9 -

a! &usunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A! ! %entukan "rd" matriks A! (! 5itunglah a-+ / a+1 / a1-.

Jaaan :

a! &istem persamaan linear di atas dapat disusun dalam tael erikut!

K%eisien "

K%eisien *

K%eisien 

Persamaan 1

-

5

21

Persamaan +

5

+

2-

Persamaan -

+

2,

+

1engan demikian, matriks yang ersesuaian dengan tael di atas adalah A 9

! @rd" matriks A adalah * 8 * atau ditulis !-  -. (! a-+ adalah elemen aris ke$* k"l"m ke$2, yaitu <4!

a+1 adalah elemen aris ke$2 k"l"m ke$', yaitu +! a1- adalah elemen aris ke$' k"l"m ke$*, yaitu <'! Jadi, a-+ / a+1 / a1- 9 <4 > + > <'; 9 0!

*! Matriks-Matriks *husus

eerapa ma(am matriks khusus yang perlu ka lian kenal adalah seagai erikut!

a! Matriks +aris

Matriks aris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu aris!

Misalnya:

P 9 * 2 'B C 9 4 + <2 +B

! Matriks *olo

Matriks k"l"m adalah matriks yang hanya terdiri atas satu k"l"m, Misalnya: (! Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang anyak aris sama dengan anyak k"l"m! Jika anyak aris matriks persegi A adalah n maka anyaknya k"l"m juga n, sehingga "rd" matriks A adalah n 8 n! &eringkali matriks A yang er"rd" n 8 n diseut dengan matriks persegi "rd" n! 6lemen$elemen a113 a++3 a--3 ...3

ann merupakan elemen$elemen pada diag"nal u tama!

Misalnya:

 A 9

merupakan matriks persegi "rd" 2!

9

merupakan matriks persegi "rd" 4!

6lemen$elemen diag"nal utama matriks A adalah ' dan '0, sedangkan pada matriks  adalah 4, -, '*, dan 2!

d! Matriks "iagonal

Matriks diag"nal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang ukan elemen$elemen diag"nal utamanya adalah 0 n"l;, sedangkan elemen pada diag"nal utamanya tidak semuanya n"l! Misalnya: e! Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diag"nal utama adalah ' satu; dan elemen lainnya semuanya 0 n"l;! Pada umumnya matriks identitas din"tasikan dengan 3 dan disertai dengan "rd"nya! Misalnya: f! Matriks Nol

Matriks n"l adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 n"l;! Matriks n"l iasanya din"tasikan dengan huruf @ diikuti "rd"nya, 4m  n. Misalnya: 4! !ranspose Suatu Matriks %ransp"se dari matriks A er"rd" m 8 n adalah matriks yang diper"leh dari matriks A dengan menukar  elemen aris menjadi elemen k"l"m dan sealiknya, sehingga er"rd" n 8 m! N"tasi transp"se matriks m n

A

8

adalah

!

7"nt"h &"al + :

Jika A 9

, tentukan !T dan "rd"nya!

Pemahasan :

%erlihat dari matriks A aha elemen aris ke$' adalah 4, 2, dan <', sedangkan elemen aris ke$2 adalah *, +, dan -! Untuk menguah matriks A menjadi !T, p"sisikan elemen aris ke$' menjadi k"l"m ke$' dan

elemen aris ke$2 menjadi elemen k"l"m ke$2 sehingga diper"leh !T 9

@rd" matriks A adalah 2 8 *, sedangkan "rd" A% adalah * 8 2!

!

*esaaan "ua Matriks

7"a perhatikan aha : 4 9 4) + 9 * > 2)  9 --

Perhatikan

juga

dengan

matriks

erikut!

Matriks terseut adalah dua matriks yang sama! 1emikian juga dengan matriks erikut!

%ampak aha elemen$elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama! &ekarang,

apakah matriks

merupakan dua matriks yang sama? 7"a selidiki, apakah elemen$

elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama?

Jika kalian telah memahami kasus di atas, tentu kalian dapat memahami definisi erikut!

1ua matriks A dan  dikatakan sama, ditulis A 9  jika matriks A dan  mempunyai "rd" yang sama dan semua elemen yang seletak ernilai sama! 6lemen yang seletak adalah elemen yang terletak pada aris dan k"l"m yang sama!

7"nt"h &"al + :

1iketahui A 9

,9

,79

, dan 1 9

!

 Apakah A 9 ? Apakah A 9 7? Apakah A 9 1?

Pemahasan :

1ari keempat matriks terseut, tampak aha matriks A 9  karena "rd"nya sama dan elemen$elemen

yang seletak nilainya sama! Matriks A  7 karena meskipun "rd"nya sama, tetapi elemen$elemen seletak ada yang nilainya tidak sama, sedangkan A  1 karena "rd"nya tidak sama!

7"nt"h &"al - :

%entukan nilai =, y, dan  jika

9

Jaaan : #arena kedua matriks di atas sama dan elemen$elemen yang seletak ernilai sama, diper"leh = 9 2, '2 9 *y atau y 9 4, dan 2 < y 9  atau  9 <2! Jadi, = 9 2, y 9 4, dan  9 <2!

7!

Penjulahan dan Pengurangan Matriks

'! Penjulahan Matriks

Jumlah matriks A dan , ditulis matriks A > , adalah suatu matriks yang diper"leh dengan menjumlahkan elemen$elemen yang seletak dari matriks A dan !

Misalnya:

Matriks

Matriks

dapat dijumlahkan dengan matriks

!

dapat dijumlahkan dengan matriks

!

dan seterusnya!

&e(ara umum, jika matriks A 9  aijB dan  9  ijB maka matriks A >  9  aijB >  ijB 9 aij > ijB!

agaimana jika kedua matriks mempunyai "rd" yang tidak sama?

Misalnya:

matriks

dengan matriks

! 1apatkah kedua matriks itu dijumlahkan?

7"a kalian diskusikan dengan teman$temanmu! &etelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentu kalian dapat menyimpulkan seagai erikut!

&yarat agar dua matriks atau leih dapat dijumlahkan adalah mempunyai "rd" yang sama!

7"nt"h &"al . :

1iketahui A 9

,9

, dan 7 9

%entukan :

a! A > ) ! A > 7!

Penyelesaian :

a! A >  9

! A > 7 9

7"nt"h &"al / :

7arilah nilai = dan y yang memenuhi

Jaaan :

tidak dapat dijumlahkan karena "rd"nya tidak sama!

%erlihat dari persamaan matriks ini, diper"leh -= > ' 9 *

 = 9 'D* dan 4y 9 /  y 9 2! Jadi, diper"leh nilai = 9 'D* dan y 9 2!

2! Pengurangan Matriks

a! awan Suatu Matriks

&eelum kita memahas tentang pengurangan matriks, terleih dahulu akan kita i(arakan mengenai laan suatu matriks!

Eaan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen$elemennya merupakan laan dari elemen$ elemen matriks A! &e(ara leih jelas, dari suatu matriks A 9  aijB dapat ditentukan laan matriks yang ditulis dengan
Jika A 9

, laan matriks A adalah
Jika  9

, laan matriks  adalah < 9

! Pengurangan terhadap Matriks

Pengurangan matriks A dan , ditulis A < , adalah suatu matriks yang diper"leh dengan mengurangkan elemen$elemen yang ersesuaian letak dari matriks A dan ! Atau, matriks A <  adalah matriks yang diper"leh dengan (ara menjumlahkan matriks A dengan laan dari matriks , yaitu A <  9 A > <; dengan < adalah laan matriks ! &eperti halnya dengan penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau

leih

dapat

dikurangkan

adalah

mempunyai

 A 9 aijB dan  9  ijB maka A <  9 aijB <  ijB 9 aijB <  ijB

7"nt"h &"al  :

1iketahui A 9

dan  9

! %entukan A < !

Jaaan :

7ara ':

#arena < 9

 A <  9 A > <; 9

7ara 2:

 A <  9

7"nt"h &"al '0 :

maka

"rd"

yang

sama!

&e(ara

umum,

jika

5itunglah F jika diketahui

Penyelesaian :

F9

*! Sifat-Sifat Penjulahan Matriks

 Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat$sifat penjumlahan matriks, lakukan Aktiitas erikut!

 Aktiitas :

%ujuan : Menemukan sifat$sifat penjumlahan matriks

Permasalahan : &ifat$sifat apakah yang erlaku pada penjumlahan matriks?

#egiatan : #erjakan s"al$s"al erikut di uku tugas!

'! 1iketahui matriks A 9

,  9

, dan 7 9

! %entukan hasil penjumlahan

erikut, kemudian tentukan sifat apa yang erlaku!

a! A >  (! A > ; > 7 !  > A d! A >  > 7;

2! Untuk matriks A 9

dan @ 9

, dengan "rd" A adalah 2 8 * dan "rd" @ adalah

2 8 *, apakah A > @ 9 @ > A? Apakah A > @ 9 @ > A erlaku untuk semua matriks yang dapat dijumlahkan?

*! 1iketahui matriks A 9

! %entukan A >  A! Matriks apakah yang kalian

per"leh?

#esimpulan : erdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja yang kalian per"leh?

erdasarkan Aktiitas di atas dapat ditemukan sifat$sifat penjumlahan dan pengurangan matriks seagai erikut! Jika A, , dan 7 matriks$matriks yang er"rd" sama maka pada penjumlahan matriks erlaku sifat$sifat erikut!

a! A >  9  > A sifat k"mutatif; ! A > ; > 7 9 A >  > 7; sifat as"siatif; (! Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks @ sehingga A > @ 9 @ > A 9 A! d! 3ners penjumlahan A adalah  A 9 @!

Perhatian :

Untuk pengurangan matriks tidak erlaku sifat k"mutatif, sifat as"siatif, dan tidak mempunyai unsur  identitas!

1!

Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks

'! Pengertian Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks

Misalkan A suatu matriks er"rd" m 8 n dan k suatu skalar ilangan real! Matriks  9 kA dapat diper"leh dengan (ara mengalikan semua elemen A dengan ilangan k, ditulis :

7"nt"h &"al '' :

1iketahui A 9

dan  9

!

%entukan :

a! *A) ! -) (! <*A > 2!

Jaaan :

2! Sifat-Sifat Perkalian +ilangan eal (Skalar) dengan Matriks

Perkalian ilangan real skalar; dengan suatu matriks dapat dilakukan tanpa syarat tertentu! Artinya, semua matriks dengan "rd" semarang dapat dikalikan dengan ilangan real skalar;! Misalkan A dan  matriks$matriks er"rd" m 8 n serta k 1&an k + ilangan real skalar;, erlaku sifat$sifat erikut!

a! k'A > ; 9 k ' A > k' ! k' > k2;A 9 k' A > k2 A (! k'k2 A; 9 k'k2; A

ukti :

1i uku ini, hanya akan diuktikan sifat a! Misalkan k' skalar, A dan  matriks er"rd" m 8 n!

7ara memuktikan sifat ini dapat juga dilakukan seagai erikut!

Misalkan matriks A 9  aijB dan  9  ijB, dengan i 9 ', 2, !!!, m dan j 9 ', 2, !!!, n

k 1A > ; 9 k 1aijB >  ijB; 9 k 1aij > ijB;

9 k 1aij > ij;B 9 k 1aij > k 1 ijB 9 k 1aijB > k  1ijB 9 k 1aijB > k 1 ijB 9 k 1 A > k 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! terukti;

6!

Perkalian Matriks

'! Pengertian Perkalian Matriks

Untuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikan ilustrasi erikut ini! Gina memeli "lp"in dan uku di dua tempat yang ereda! 1i t"k" 3, ia memeli * "lp"in dan 2 uku, sedangkan di t"k" 33, ia memeli 4 "lp"in dan * uku! 5arga "lp"in dan uku di kedua t"k" terseut sama, yaitu Gp2!+00,00 dan Gp4!000,00 per uah! erapa uang yang dikeluarkan Gina?

Tem(at

B%l(%in

B#k#

T%k% I

-

+

T%k% II

,

-

Barang

$arga

B%l(%in

'(+.500300

B#k#

'(,.000300

Untuk menghitung jumlah uang yang diayar "leh Gina dapat langsung kita hitung dengan (ara mengalikan anyaknya arang dengan harga masing$masing seagai erikut!

%"k" 3 : * 8 Gp2!+00,00; > 2 8 Gp4!000,00; 9 Gp'+!+00,00 %"k" 33 : 4 8 Gp2!+00,00; > * 8 Gp4!000,00; 9 Gp22!000,00

1i samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam entuk matriks seagai erikut!

P9

menyatakan anyak "lp"in dan uku yang dieli Gina! aris ' menyatakan t"k" 3 dan aris

2 untuk t"k" 33!

C9

menyatakan harga masing$masing "lp"in dan uku! 1aftar jumlah uang yang dikeluarkan

Gina dapat dilihat pada tael erikut!

Tem(at

$arga Pemelian

T%k% I T%k% II

-  '( +.500300 / +  '( ,.000300  '( 15.500300 ,  '( +.500300 / -  '( ,.000300  '( ++.000300

%ael pengeluaran di atas ersesuaian dengan perkalian matriks P 8 C, yaitu :

P8C9

1ari uraian di atas, matriks P er"rd" 2 8 2 dan matriks C er"rd" 2 8 ', sedangkan P 8 C er"rd" 2 8 ' sehingga agan perkalian dan hasil kalinya mempunyai huungan seagai erikut!

&e(ara umum, perkalian matriks didefinisikan seagai erikut!

Misalkan A matriks er"rd" m 8 p dan  matriks er"rd" p 8 n maka A 8  adalah suatu matriks 7 9  ijB er"rd" m 8 n yang elemen$elemennya pada aris ke$i, yaitu k"l"m ke$j  ij; diper"leh dari penjumlahan hasil kali elemen$elemen yang ersesuaian pada aris ke$i matriks A dan k"l"m ke$j matriks !

7"nt"h &"al '2 :

1iketahui matriks A 9

%entukan :

,  9 $* 2B, 7 9

, dan 1 9

a! A 8 ) (! 7 8 1) !  8 7) d! A 8 7!

Jaaan :

a! 5asil perkalian dari A 8 !

! 5asil perkalian dari  8 7!

(! 5asil perkalian dari  8 7!

d! A 8 7 9

tidak dapat dikalikan karena anyak k"l"m matriks A tidak sama dengan

anyak aris matriks 7!

2! Pengertian "ikalikan dari *iri dan "ikalikan dari *anan

&yarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika anyak k"l"m matriks kiri sama dengan anyak aris matriks kanan! Jika perkalian A 8  ada dapat dikalikan; maka dikatakan aha :

a! matriks  dikali dari kiri "leh matriks A) ! matriks A dikali dari kanan "leh matriks !

7"nt"h &"al '* :

1iketahui matriks A 9

dan  9

!

%entukan hasil perkalian

a! matriks A dikali dari kiri "leh matriks ) ! matriks A dikali dari kanan "leh matriks !

Pemahasan :

a!

Matriks

A

dikalikan

dari

kiri

"leh

matriks

,

erarti

:

=A9

! Matriks A dikalikan dari kanan "leh matriks , erarti :

 A =  9

%ampak dari hasil di atas aha A 8    8 A, artinya perkalian matriks tidak ersifat k"mutatif!

*! Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Misalkan matriks A, , dan 7 dapat dikalikan atau dijumlahkan! Untuk memahami sifat$sifat perkalian matriks, lakukan Aktiitas erikut!

 Aktiitas

%ujuan : Menemukan sifat$sifat perkalian matriks!

Permasalahan : &ifat$sifat apakah yang erlaku pada perkalian matriks?

#egiatan : #erjakan selidiki; s"al erikut di uku tugas!

1iketahui matriks A 9

,  9

, dan 7 9

, ! Jika k 9 2, tentukan hasil

perhitungan erikut!

a! A 8  dan  8 A! Apakah A 8  9  8 A?

 Apa kesimpulanmu?

! A 8 ; 8 7 dan A 8  8 7;!

 Apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?

(! A 8  > 7;, 7 8 ; > A 8 7;, dan A 8 7; > A 8 ;!

agaimana huungan ketiga "perasi perkalian matriks terseut?

d! A 8 3 dan 3 8 A dengan 3 matriks identitas!

5uungan apa yang terentuk?

e! A 8 @ dan @ 8 A dengan @ matriks n"l "rd" 2 8 2!

 Apakah A 8 @ 9 @ 8 A 9 @?

f! kA; 8  dan kA 8 ;! Apakah kA; 8  9 kA 8 ;?

#esimpulan : &ifat$sifat apakah yang kalian temukan dari kegiatan di atas?

erdasarkan Aktiitas di atas ditentukan sifat$sifat perkalian matriks seagai erikut!

Jika k ilangan real skalar;) A, , dan 7 matriks yang dapat dikalikan) serta  dan 7 dapat dijumlahkan maka erlaku sifat$sifat perkalian matriks seagai erikut!

a! %idak k"mutatif, yaitu A 8  9  8 A! ! As"siatif, yaitu A 8 ; 8 7 9 A 8  8 7;! (! 1istriutif, yaitu:

'; distriutif kiri: A 8  > 7; 9 A 8 ; > A 8 7;) 2; distriutif kanan: A > ; 8 7 9 A 8 7; >  8 7;!

d! Perkalian matriks$matriks persegi dengan matriks identitas 3, yaitu A 8 3 9 3 8 A 9 A "rd" 3 sama dengan "rd" matriks A;! e! Perkalian dengan matriks @, yaitu A 8 @ 9 @ 8 A 9 @! f! Perkalian dengan skalar, yaitu k A; 8  9 kA 8 ;!

 Aktiitas

%ujuan : Menentukan hasil perkalian matriks dengan antuan s"ftare k"mputer! Permasalahan : agaimana (ara menentukan hasil perkalian matriks dengan menggunakan s"ftare k"mputer? #egiatan : #ita akan menentukan matriks iners dengan Mi(r"s"ft 6=(el! Hungsi yang digunakan adalah MMUE%! Misalnya,

Untuk itu lakukan langkah$langkah erikut!

'! Masukkan elemen$elemen matriks pada sel$sel Mi(r"s"ft 6=(el!

2! %entukan hasil kali matriks A dengan ! 7aranya adalah seagai erikut! l"k sel$sel yang akan ditempati elemen$elemen matriks hasil kali dari matriks A dan ! #etik ' MM.!(, kemudian s"r"t sel$sel yang mengandung matriks A tadi! #emudian, ketik k"ma ,; ! &"r"t sel$sel yang mengandung elemen$ elemen matriks  diikuti dengan mengetik )!

%ekan 7%GE > &53H% > 6N%6G maka matriks hasil kali dari A dan  akan mun(ul! #esimpulan : Jika kalian melakukan langkah$langkah yang diinstruksikan dengan enar, kalian akan memper"leh hasil erikut!

4! Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah seuah ilangan ulat p"sitif dan A suatu matriks persegi, maka !n 9 A 8 A 8 A 8 !!! 8 A seanyak n fakt"r; atau dapat juga dituliskan !n 9 A 8 !n21 atau An 9 !n21 8 A!

7"nt"h &"al '4 :

1iketahui matriks A 9

+ , a. !  . !-  . +! .

! %entukan

Jaaan :

a! !+ 9 A 8 A 9

! !- 9 A 8 !+ 9

1engan (ara lain, yaitu !- 9 !+ 8 A, diper"leh :

!- 9 !+ 8 A 9 %ernyata, !+ 8 A 9 A 8 !+ 9 !-!

(! 2!, 9 2A 8 !- 9

H!

Invers Suatu Matriks

1ua hal penting yang diperlukan dalam men(ari iners matriks adalah transp"se dan determinan suatu matriks! Pada sua seelumnya, kalian telah mempelajari transp"se matriks! &ekarang, kita akan mempelajari determinan matriks!

'! "eterinan Suatu Matriks

a! "eterinan Matriks Ordo / $ /

Misalkan A 9

adalah matriks yang er"rd" 2 8 2 dengan elemen a dan d terletak pada diag"nal

utama pertama, sedangkan  dan ( terletak pada diag"nal kedua! 1eterminan matriks A din"tasikan Idet  AI atau A adalah suatu ilangan yang diper"leh dengan mengurangi hasil kali elemen$elemen pada diag"nal utama dengan hasil kali elemen$elemen diag"nal kedua!

1engan demikian, dapat d iper"leh rumus det A seagai erikut!

det A 9

9 ad < (

7"nt"h &"al '+ :

%entukan determinan matriks$matriks erikut!

a! A 9

!  9

Penyelesaian :

a! det A 9

! det  9

9 + 8 *; < 2 8 4; 9 .

9 <4; 8 2; < * 8 <';; 9 < +

! "eterinan Matriks Ordo 0 $ 0 (Penga%aan)

Jika A 9

adalah matriks persegi er"rd" * 8 *, determinan A dinyatakan dengan det A

9

 Ada 2 (ara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks er"rd" * 8 *, yaitu aturan &arrus dan met"de min"r$k"fakt"r!

#turan Sarrus Untuk menentukan determinan dengan aturan &arrus, perhatikan alur erikut! Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks !-  -! Kamaran perhitungannya adalah seagai erikut!

Metode Minor-*ofaktor 

Misalkan matriks A dituliskan dengan aijB! Min"r elemen aij yang din"tasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen$elemen aris ke$i dan k"l"m ke$j d ihilangkan! Misalnya, dari matriks !-  - kita hilangkan aris ke$2 k"l"m ke$' sehingga :

 Akan diper"leh M+1 9

! M+1 adalah min"r dari elemen matriks A aris ke$2 k"l"m ke$'

atau M+1 9 min"r a+1! &ejalan dengan itu, kita dapat memper"leh min"r yang lain, misalnya :

M1- 9 #"fakt"r elemen aij, din"tasikan K ij adalah hasil kali :21;i/j dengan min"r elemen terseut! 1engan demikian, k"fakt"r suatu matriks dirumuskan dengan :

K ij  :21;i/j Mij 1ari matriks A di atas, kita per"leh misalnya k"fakt"r a+1 &an a1- erturut$turut adalah

#2' 9 <';2>' M2' 9
K 1-  :21;1/- M1-  M1- 9

#"fakt"r dari matriks !-  - adalah k"fA; 9

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen$elemen suatu aris atau k"l"m; dengan k"fakt"rnya! Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu seuah aris atau k"l"m; kemudian kita gunakan aturan di atas! Perhatikan (ara menentukan determinan erikut!

Misalkan diketahui matriks A 9

1eterminan matriks A dapat dihitung dengan (ara erikut!

#ita pilih aris pertama sehingga

det A 9 a'' #'' > a'2 #'2 > a'* #'* 9

a'' <';'>' M'' >

a'2 <';'>2 M'2 >

a'* <';'>* M'*

9

9 a''a22 a** < a*2 a2*; < a'2a2' a** < a*' a2*; > a'*a2' a*2 < a*' a22; 9 a'' a22 a** < a'' a2* a*2 < a'2 a2' a** > a'2 a2* a*' > a'* a2' a*2 < a'* a22 a*'

 a11 a++ a-- / a1+ a+- a-1 / a1- a+1 a-+ 2 a1- a++ a-1 2 a11 a+- a-+ 2 a1+a+1 a--

%ampak aha det A matriks "rd" * 8 * yang diselesaikan dengan (ara min"r k"fakt"r hasilnya sama dengan det A menggunakan (ara &arrus!

7"nt"h &"al '- :

%entukan determinan dari matriks A 9

dengan aturan &arrus dan min"r$k"fakt"r!

Penyelesaian :

7ara ': Aturan &arrus;

det A 9 9 ' 8 ' 8 2; > 2 8 4 8 *; > * 8 2 8 '; < * 8 ' 8 *;  < ' 8 4 8 '; < 2 8 2 8 2; 9 2 > 24 > - <  < 4 < / 9 ''

7ara 2: Min"r$k"fakt"r;

Misalnya kita pilih perhitungan menurut aris pertama sehingga diper"leh :

det A 9

9 <2 < 2 *<'; 9 <2 > '- < * 9 ''

7"a kalian selidiki nilai determinan ini dengan (ara lain! Apakah hasilnya sama?

(! Sifat-Sifat "eterinan Matriks

erikut disajikan eerapa sifat determinan matriks

'! Jika semua elemen dari salah satu arisDk"l"m sama dengan n" l maka determinan matriks itu n"l!

Misal :

2! Jika semua elemen dari salah satu arisDk"l"m sama dengan elemen$elemen arisDk"l"m lain maka determinan matriks itu n"l!

Misal  9

#arena elemen$elemen aris ke$' dan ke$* sama;!

*! Jika elemen$elemen salah satu arisDk"l"m merupakan kelipatan dari elemen$elemen arisDk"l"m lain maka determinan matriks itu n"l!

Misal A 9

#arena elemen$elemen aris ke$* sama dengan kelipatan elemen$

elemen aris ke$';! 4! A 9 A 8 +! A% 9 A, untuk A% adalah transp"se dari matriks A! -! ! 21 9

, untuk ! 21 adalah iners dari matriks A! Materi iners akan kalian pelajari pada sua

erikutnya;! .! kA 9 kn A, untuk A "rd" n 8 n dan k suatu k"nstanta! &ifat$sifat di atas tidak diuktikan di sini! Pemuktian sifat$sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang leih tinggi!

2! Pengertian Invers Matriks

Misalkan dua matriks A dan  adalah matriks er"rd" n 8 n dan 3n adalah matriks identitas er"rd" n 8 n! Jika A 8  9  8 A 9 In maka matriks A diseut iners matriks , sealiknya  diseut iners matriks A! 1alam keadaan seperti ini maka dikatakan  aha A dan  saling iners!

Jika matriks A mempunyai iners, dikatakan aha matriks A adalah matriks n"nsingular, sedangkan jika  A tidak mempunyai iners, matriks A diseut matriks singular! 3ners matriks A ditulis ! 21!

7"nt"h &"al '. :

1iketahui A 9

dan  9

&elidiki, apakah A dan  saling iners?

Penyelesaian :

Matriks A dan  saling iners jika erlaku A 8  9  8 A 9 3!

 A 8  9

8A9

#arena A 8  9  8 A maka A dan  saling iners, dengan ! 21 9  dan B 21 9 A!

*! Menentukan Invers Matriks +erordo / $ /

Misalkan diketahui matriks A 9

, dengan ad < (  0!

&uatu matriks lain, misalnya  dikatakan seagai iners matriks A jika A 9 3! Matriks iners dari A ditulis ! 21 ! 1engan demikian, erlaku :

 A! 21 9 ! 21 A 9 3

Matriks A mempunyai iners jika A adalah matriks n"nsingular, yaitu det A  0! &ealiknya, jika A matriks singular det A 9 0; maka matriks ini tidak memiliki iners!

Misalkan matriks A 9

dan matriks  9

sehingga erlaku A 8  9  8 A 9 3! #ita akan

men(ari elemen$elemen matriks , yaitu p, L, r, dan s!

1ari persamaan A 8  9 3, diper"leh :

Jadi, diper"leh sistem persamaan :

ap > r 9 ' dan aL > s 9 0 (p > dr 9 0

(L > ds 9 '

1engan menyelesaikan sistem persamaan terseut, kalian per"leh :

1engan demikian,

Matriks  memenuhi A 8  9 3!

&ekarang, akan kita uktikan apakah matriks  8 A 9 3?

#arena ad < (  0, erlaku  8 A 9

93

#arena A 8  9  8 A 9 3 maka  9 ! 21!

Jadi, jika A 9

maka inersnya adalah :

untuk ad < (  0!

7"nt"h

&"al

%entukan iners matriks$matriks erikut!

a! A 9

!  9

Jaaan:

'/

:

 Aktiitas :

%ujuan : Menentukan iners matriks persegi dengan antuan s"ftare k"mputer! Permasalahan : agaimana (ara menentukan iner matriks dengan menggunakan s"ftare k"mputer? #egiatan : #ita akan menentukan matriks iners dengan Mi(r"s"ft 6=(el! Hungsi yang digunakan adalah

M3N6G&6! Misalnya, akan ditentukan iners matriks

! Untuk itu lakukan langkah$langkah

erikut!

'! Masukkan elemen$elemen matriks pada sel$sel Mi(r"s"ft 6=(el yang mementuk persegi!

2! %entukan iners matriks A dengan (ara erikut! l"k empat sel yang akan ditempati elemen$elemen matriks iners dari A! #etik 9M3N6G&6I, kemudian s"r"t sel$sel yang mengandung matriks A tadi! 1iikuti dengan mengetik ;I!

%ekan 7%GE > &53H% > 6N%6G maka matriks iners dari A akan mun(ul!

#esimpulan : Jika kalian melakukan langkah$langkah yang diinstruksikan dengan enar, kalian akan memper"leh hasil erikut!

4! Menentukan Invers Matriks +erordo 0 $ 0 (Penga%aan)

3ners matriks er"rd" * 8 * dapat di(ari dengan eerapa (ara! Pada pemahasan kali ini kita akan menggunakan (ara adj"in dan transf"rmasi aris elementer!

a! "engan #djoin

Pada sua seelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks! &elanjutnya, adj"in A din"tasikan adj A;, yaitu transp"se dari matriks yang elemen$elemennya merupakan k"fakt"r$k"fakt"r  dari elemen$elemen matriks A, yaitu :

adjA; 9 k"fA;; T

 Adj"in A dirumuskan seagai erikut!

3ners matriks persegi er"rd" * 8 * dirumuskan seagai erikut!

 Adapun ukti tentang rumus ini akan kalian pelajari leih mendalam dijenjang pendidikan yang leih tinggi!

7"nt"h &"al ' :

1iketahui matriks A 9 menurut aris pertama!

! %entukan iners matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan

Jaaan :

%erleih dahulu kita hitung determinan A!

det A 9

9 ''; < 22; > ''; 9 <2

1engan menggunakan rumus adj"in A, diper"leh :

adjA; 9

Jadi, ! 21 dapat dihitung seagai erikut!

! "engan !ransforasi +aris 1leenter 

Untuk menentukan iners matriks An dengan (ara transf"rmasi aris elementer, dapat dilakukan dengan langkah$langkah erikut erikut!

'; entuklah matriks  !n  In;, dengan 3n adalah matriks identitas "rd" n! 2; %ransf"rmasikan matriks  !n  In; ke entuk In  Bn;, dengan transf"rmasi elemen aris! *; 5asil dari Eangkah 2, diper"leh iners matriks !n adalah Bn!

N"tasi yang sering digunakan dalam transf"rmasi aris elementer adalah :

a; Bi  B j : menukar elemen$elemen aris ke$i dengan elemen$elemen aris ke$j) ; k!Bi : mengalikan elemen$elemen aris ke$i dengan skalar k) (; Bi > kB j : jumlahkan elemen$elemen aris ke$i dengan k kali elemen$elemen aris ke$j!

7"nt"h &"al 20 :

%entukan iners matriks A 9

Penyelesaian :

Jadi, diper"leh ! 21 9

dengan transf"rmasi aris elementer!

#eterangan :

'D2 B1 : #alikan elemen$elemen aris ke$' dengan 'D2!

B+ < +B1 : #urangkan aris ke$2 dengan + kali elemen$elemen aris ke$'! B1 2 B+ : #urangi elemen$elemen aris ke$' dengan elemen$elemen aris ke$2! 2B+ : #alikan elemen$elemen aris ke$2 dengan 2!

7"nt"h &"al 2' :

%entukan iners matriks A 9

dengan transf"rmasi aris elementer!

Jaaan :

+! Persaaan Matriks +entuk #2 ' + dan 2# ' +

Misalkan A, , dan F adalah matriks$matriks er"rd" 2 8 2, dengan matriks A dan  sudah diketahui elemennya, sedangkan matriks F elum diketahui elemen$elemennya! Matriks F dapat ditentukan jika A mempunyai iners matriks n"nsingular;! Untuk menyelesaikan persamaan matriks erentuk AF 9  dapat dilakukan dengan langkah erikut!

 AF 9 

 ! 21AF; 9 ! 21  ! 21 A;F 9 ! 21  3F 9 ! 21  F 9 ! 21 1ari persamaan terakhir tampak aha kedua ruas dikalikan dari kiri "leh ! 21 sehingga diper"leh entuk penyelesaian F 9 ! 21! Untuk menyelesaikan persamaan matriks erentuk FA 9  dapat ditentukan dengan (ara mengalikan kedua ruas dari kanan dengan ! 21 sehingga diper"leh penyelesaian F 9 ! 2  1

seperti erikut!

FA 9 

 FA;! 21 9 ! 21  FA! 21; 9 ! 21  F3 9 ! 21  F 9 ! 21  21

@leh karena itu, diper"leh penyelesaian F 9 ! ! 1engan demikian, dapat disimpulkan seagai erikut! Penyelesaian persamaan matriks AF 9  adalah F 9 ! 21! Penyelesaian persamaan matriks FA 9  adalah F 9  ! 21!

Untuk leih jelasnya, perhatikan ("nt"h erikut!

7"nt"h &"al 22 :

1iketahui A 9

dan  9

!

%entukan matriks F yang memenuhi

a! AF 9 ) ! FA 9 !

Jaaan:

#arena det A 9 '- < '+ 9 '  0 maka matriks A mempunyai iners!

Jika di(ari inersnya, kalian akan memper"leh ! 21 9

7"a kalian tunjukkan;!

1engan demikian, dapat kita tentukan seagai erikut! a! AF 9   F 9 ! 21 9

! FA 9   F 9 ! 21 9

Pen%elesaian Siste Persaaan Matriks K!

inear dengan

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear! Pada pemahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

dua

'! Siste

ariael

dan

Persaaan

entuk

umum

tiga

inear

sistem

persamaan

linear

ariael!

"ua

dua

3ariabel

ariael

adalah

a=

>

y

9

p

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

';

(=

>

dy

9

L

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2;

Persamaan '; dan 2; di atas dapat kita susun ke dalam entuk matriks seperti di aah ini!

%ujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua ariael adalah menentukan nilai = dan y yang memenuhi sistem persamaan itu! @leh karena itu, erdasarkan penyelesaian matriks entuk AF 9  dapat

dirumuskan

asalkan

ad

7"nt"h

%entukan

seagai

2=

dari

sistem

>

=

(  0!

<

&"al

penyelesaian

erikut!

>

2*

persamaan

linear

erikut

:

dengan

(ara

matriks!

y

9

.

*y

9

.

Jaa:

1ari

persamaan

di

atas

dapat

kita

susun

menjadi

entuk

matriks

seagai

1engan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di a tas, diper"leh seagai erikut!

erikut!

Jadi,

diper"leh

2! Siste

penyelesaian

=

Persaaan

9

'

dan

inear

y

9

!iga

2!

3ariabel

#alian tentu tahu aha untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga ariael dapat dilakukan dengan eerapa (ara, misalnya eliminasi, sustitusi, gaungan antara eliminasi dan sustitusi, "perasi aris elementer, serta menggunakan iners matriks! #alian dapat menggunakan (ara$(ara terseut dengan

eas

yang

menurut

kalian

paling

efisien

dan

paling

mudah!

Misalkan dierikan sistem persamaan linear tiga ariael erikut! a'= > 'y > (' 9 d' a2= > 2y > (2 9 d2

a-"

/

 -*

/

-



&-

&istem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam entuk matriks seperti erikut!

Misalkan

A

9

,

F

9

,

dan



9

entuk

di

atas

dapat

kita

tuliskan

seagai

AF

9

!

Penyelesaian sistem persamaan AF 9  adalah F 9 !<1 ! 1alam hal ini, !<1 9

@leh

karena

itu,

asalkan

2=

:

A  0!

det

7"nt"h

%entukan

diper"leh

&"al

himpunan

>

24

penyelesaian

y

=

>

y

=

<

2y

dari

< > >

sistem

:

persamaan

erikut!



9

'



9

-



9

0

Jaaan

:

7ara

':

@perasi elemen aris, selain dapat digunakan untuk men(ari iners matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan

sistem

1engan menggunakan "perasi aris elementer!

persamaan

linear!

1engan demikian, diper"leh y 9 2! #ita sustitusikan nilai y 9 2 ke persamaan 2; sehingga :

y

>

*

''  2

9

 *

9

>

*

''

9

''

<

2

 *

9



 

9

*

&ustitusikan

y

=

y

>

9

2

dan

>





9

*

ke

persamaan

-=

9

>

';

sehingga

2

>

diper"leh

:

9

-

*

=

>

+

9

-

=

9

-

<

+

 =

Jadi,

9

penyelesaiannya

1engan

demikian,

adalah

=

himpunan

9

'

',

y

9

penyelesaiannya

2,

dan

adalah



O',

9

*!

2,

*;!

7ara

2:

&istem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam entuk matriks seagai erikut!

Misalkan

A

1engan

9

,F

menggunakan

, dan

min"r$k"fakt"r,

det

det

9



9

diper"leh

:

A

A

9

2*;

<

1engan menggunakan min"r$k"fakt"r, diper"leh :

9

'0;

>

<';<*;

9



1engan (ara yang sama, kalian akan memper"leh K -1  +3 K -+  2-3 &an K -- 1 ("a tunjukkan;!

1engan

demikian,

diper"leh

:

k"fA;

@leh

9

karena

itu,

9 :k%:!;;T.

adjA;

 AdjA;

9

Jadi,

F

9

Jadi, diper"leh = 9 ', y 9 2, dan  9 *! 1engan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas

*! Men%elesaikan

adalah

Siste

O',

Persaaan

2,

inear

dengan

*;!

"eterinan

&istem persamaan linear yang disusun dalam entuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan met"de determinan! Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua ariael dan

tiga

ariael

a!

adalah

a=

(=

seagai

>

y

>

erikut!

9

dy

p

9

L

! a'= > 'y > (' 9 d' a2= > 2y > (2 9 d2

a-"

/

 -*

/

-



&-

Pada sistem persaman linear dua ariael, entuk terseut dapat diuah ke entuk matriks erikut!

,

1 9

dengan

A

9

,

F

9

,

dan



9

!

9 ad < ( 1eterminan k"efisien = dan y, dengan elemen$elemen matriks A;

1=

9

9

pd

<

L

Kanti

k"l"m

ke$',

dengan

elemen$elemen

matriks

;

1y

9

9

aL

<

(p

Kanti

k"l"m

ke$2,

dengan

elemen$elemen

matriks

;

Nilai

=

dan

y

dapat

ditentukan

dengan

rumus

erikut!

1engan (ara yang sama dapat ditentukan =3 ="3 =*3 &an = untuk sistem persamaan linear tiga ariael seagai erikut!

Nilai

=,

y,

dan



7"nt"h

%entukan

dapat

ditentukan

dengan

&"al

penyelesaian

a!

sistem

=

linear

erikut

>

=

dengan

>

>

y

<

=

<

y

>

determinan!

4

9

y

=

met"de

9

2y

>

:

y

<

!

erikut!

2+

persamaan

2=

(ara

<*



9



0

9



<2

9

4

Penyelesaian

a!

&istem

persamaan

#ita

1

:

linear

di

atas

9<

disusun

nilai =3

tentukan

9

dapat

4

<

dalam

entuk

matriks

="3 '

9

erikut!

=* ! <

+