2.- CONTEO DE TRIANGULOS Existen triángulos de una región, de dos regiones, de tres regiones, etc. Una región:
Dos regiones: Tres regiones:
En cada problema se cuenta primero el número de triángulos de una región que existen, luego de dos regiones, etc. Finalmente se suman los resultados anteriores para obtener el total de segmentos que existen en la figura del problema. Se recomienda enumerar a los triángulos de una región con números y a los de una región que no son triángulos con letras.
1.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura.
2 1 8 7
3 a c b 6
4 5
d
De 1 región De 2 regiones 12, 18, 2a , 4d, 5d, 87, 8 De 3 regiones 187, 8a3, 7b5, De 4 regiones 12a8 , De 5 regiones 2ab46, 7b45d De 6 regiones 8a37b 8a37b5, 5, 2ab45d De 7 regiones 78ab4 78ab45d 5d De 9 regiones 128a7b45d
8 + 7 3 1 2 2 1 1 25
7
2.- Hallar el número total de triángulos que hay en la siguiente figura que contenga un triángulo sombreado
a b 1 c h 3 f
d e
De 1 región: De 2 regiones: 1a, 1g, bc, De 3 regiones: 1ab, 1gf, ghc,bcd De 4 regiones: 1agh , abch De 5 regiones: 1aghfe, abch De 6 regiones: 1ahgfe, abcdhe, ghcfed De 7 regiones :
1 + 3 4 2 2 3 0 13
3.- Hallar el número total de triángulos rectángulos en:
a b 1 d
2 3
c
De 1 región: De 2 regiones: a1, b2, c3, De 3 regiones: dc3 De 4 regiones: 1agh , abch
3 + 3 1 1 8
4.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:
2 A 1
3 b
7
6
De 1 región: De 2 regiones: 1a, 17, 23, 34, 45, 56 De 3 regiones: 7b2, 345, 2b6, 7b4 De 4 regiones: 1b7b4 , 7b234,
5
7 + 6 4 2 19
8
5.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos dos letras. c
B b BB h
B a
B
Bi
d 4
6 B 5
con 2 letras de una región de 2 regiones: ab, ai con 3 letras de 3 regiones: ihe, con 4 letras de 3 regiones: ihc, chg de 5 regiones: ihcde con 5 letras: abhei
0 + 2 1 2 1 1 total : 7
6.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos tres letras: De la solución de ejercicio anterior, consideramos parte de esa solución: Con 3 letras, con 4 letras, y con 5 letras. 1+2+1+1=5
7.- Hallar el número total de triángulos:
8 2
9 7
A B
3 c 4
6
1 D
De 1 región: De 2 regiones: 89, 67, 96, De 3 regiones: 2a3, 3c4, 485, De 4 regiones: 8976 De 5 regiones: 2a3bc4, 3c4ef5 De 6 regiones: 2a3bc4def5 De 7 regiones : 12a3bc4def5
e
f
5
9 + 3 3 1 2 1 1 20
9
8.- Hallar el número total de triángulos isósceles que hay en la figura siguiente. ABCD es un cuadrado.
B
C 1 g f
A de 1 región: de 2 regiones: de 3 regiones: de 4 regiones: de 5 regiones:
ab, fg 1ab, 1fg, edc 1adg abcde, fgedc
a d
e
b c
D 1 + 2 3 1 2 9
10
CONTEO DE CUADRILATEROS Cuadriláteros Convexos son el cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, paralelogramos y cualquier otro cuadrilátero que cumpla las siguientes propiedades: Tomados 2 puntos interiores del cuadrilátero, el segmento recto que los reune queda siempre dentro de dicho cuadrilátero.
1.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura
a b
1
4
c
d
g f
2 e 3
de 1 región: de 2 regiones: de 3 regiones: de 4 regiones: de 5 regiones: de 6 regiones:
4 + 6 6 3 2 3 24
2.- Hallar el número total de cuadriláteros que hay en la figura
1
2
3
b
De 1 región: De 2 regiones: 23, 34, 56, De 3 regiones: b12, 234, De 4 regiones: b123, 456a De 5 regiones: b1234, 3456a De 6 regiones: 23456a De 7 regiones : b123456a
4
5 6 a
6 + 3 2 2 2 1 1 17
11
3.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura
De 2 regiones
0+
De 3 regiones: bif, gid, big, hid, cig, bid, hif, hic
8
De 5 regiones: bidef, habif, habid, hidef
4
de 7 regiones: abhidef
1 13
4.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura 1 2
4 3
7 8 9 10 11 12 13 14 15
a
5 6
b
De una region De 2 regiones: 5a, 6b De 4 regiones 1234, 781011, 891112, 10111314 11121415 De 9 regiones: 789101112131415 De 17 regiones:
15 + 2 5 1 1 24
12
5.- Hallar el número total de cuadriláteros que contengan dos triángulos sombreados
d
b
e
c
a
f
g
1 i
h
De 1 región: De 2 regiones: ef, 1c, fg, 1i, a1 De 3 regiones: dc1, a1i, 1ih, cfg, efi, icd De 4 regiones: b123, 456a
1 + 5 5 4 15
6.- En la pregunta anterior ¿cuántos cuadriláteros hay, tales que contengan por lo menos dos triángulos sombreados?
Con 2 triángulos Con 3 triángulos De 4 regiones 1cfi De 6 regiones ab1cfi Con 4 triángulos De 6 regiones 1cfigh, decf1i De 8 regiones ab1cfigh
15 1 1 2 1 Total: 20
7.- Cuantos cuadriláteros hay que contengan al menos tres triángulos sombreados
Cantidad de triángulos mayores iguales a 3 De la solución del último ejercicio Se tiene: 1 + 1 + 2 + 1 = 5 13
