La presente guía practica pretende ser un referente en el aprendizaje de los contenidos básicos de la enseñanza obligatoria del 6to grado de educación primaria. Por esta razón, presenta un material de apoyo y estudio para estos estudiantes; lo que les permitirá solucionar en gran escala los vacíos de conocimientos que pudiesen tener los mismos, pues incrementa la habilidad del pensamiento lógico, los cálculos matemáticos mentales, la orientación temporo-espacial y el razonamiento ante diferentes situaciones que le serán de utilidad en la vida cotidiana. Por consiguiente, su importancia radica esencialmente en la facilidad y modernismo de poder poseer una guía complea de ejercicios que permitan a los estudiantes despejar sus dudas respecto al cálculo del área de triángulos y cuadriláteros, donde los contenidos se enfocan de una forma simple y didáctica permitiendo al estudiante complementar el estudio formal de esta disciplina. Por esta razón la presente guía se encuentra estructurada de la siguiente manera:
Pre test o prueba diagnóstica. Repaso de definiciones de triágulos t riágulos y cuadriláteros. Repaso de clasificación clasificación de triángulos y cuadriláteros. Definición de área y perímetro de una figura plana. Estrategias para el fortalecimiento de la definición de área perímetro. Desarrollo de fórmulas para calcular el área de triángulos cuadriláteros. Ejercicios resueltos de área y perímetro de triángulos cuadriláteros. Ejercicios propuestos para el cálculo de área de triángulos cuadriláteros cuadriláteros en diversos problemas.
y y y y
A continuación, se presenta una serie de preguntas referente a triángulos y cuadriláteros. Marca con una X la respuesta que consideres correcta. 1) Un triángulo es un polígono p olígono que tiene: Cuatro lados (
)
Tres lados (
)
Cinco lados( )
2) Un cuadrilátero es un polígono que tiene: Seis lados (
)
Tres lados ( )
Cuatro lados ( )
3) Un triángulo tiene: Dos veértices ( )
Tres vértices ( )
Cuatro vértices (
)
4) Un cuadrilátero tiene: Cuatro vértices (
)
Un vértice (
)
Tres vértices (
)
5) El rectángulo es un: Triángulo ( )
Cuadrilátero ( )
Exágono (
)
6) El cuadrado tiene sus lados: Iguales ( )
Desiguales ( )
Dos iguales y dos desiguales (
7) Un triángulo rectángulo se caracteriza por tener: Un ángulo mayor de 90° ( ) Un ángulo de 90° ( ) Un ángulo menor de 90° ( ).
)
8) Los cuadriláteros se clasifican en: Trapecios Trapecio s y triángulos (
)
Paralelogramos y cuadrados ( )
Paralelogramos Paralelogramos y no paralelogramos paralelogramos ( ) 9) Según sus lados, los triángulos se clasifican en: Rombo-rectángulo Rombo-rectángulo ( )
Trapecio-trapezoide (
)
Escaleno-isósceles-equilátero Escaleno-isósceles-equilátero ( ) 10) Según 10) Según sus ángulos, los triángulos se clasifican cl asifican en: Rectángulos-rombo-isósceles( Rectángulos-rombo-isósceles( ) Rectángulo-acu Rectángulo-acutángulo-obtu tángulo-obtusángulo( sángulo( ) escaleno-acutángulo-isósceles escaleno-acutángulo-isósceles ( )
¿Qué tanto sabes?
Proporcionar a los estudiantes del 6to grado de educación básica las diferentes herramientas, para el cálculo del área de triángulos y cuadriláteros cuadriláteros en diversas situaciones.
Repasar definiciones de triángulos y cuadriláteros. Identificar triángulos y cuadriláteros y su clasificación. Recordar la clasificación de triángulos y cuadriláteros. Definir área y perímetro de una figura plana. Utilizar estrategias para el fortalecimiento de los conceptos de área y perímetro. Desarrollar las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros. Resolver ejercicios de área y perímetro de triángulos y cuadriláteros. Proponer ejercicios para el cálculo del área de triángulos y cuadriláteros cuadriláteros en diversos problemas.
El triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. ángulos
vértices lados
Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.
1) Elabora un mapa donde se evidencie el concepto de triángulo.
2) Observa el tangram y responde.
¿Cuántos triángulos hay en el rompecabeza?
_____________________________ _______________________________________ __________
3) Obseva 3) Obseva la siguiente figura. Luego completa los enunciados: H l k
I m
a) Los segmentos l, m, k se llaman: _______________ b) Los puntos H, I y J son: ______________________
J
4) Determina 4) Determina cuál de las siguientes expresiones, define un triángulo. a) Es aquel que tiene sus lados iguales y sus ángulos rectos. b) Es un polígono de tres lados. c) Es aquel que tiene cuatro puntos no alineados llamados llamados vértices
5) Observa 5) Observa los polígonos y responde según la pregunta, la opción correcta.
A
B
¿Cuál de los polígonos son cuadriláteros? cuadriláteros? a) Los polígonos A y C. b) Los polígonos A y B. c) Los polígonos polígonos B y C. d) Solo el polígono A.
C
6) Observa 6) Observa detenidamente los polígonos que a continuación se presentan y luego responde las preguntas. pre guntas.
a) ¿Cuántos cuadriláteros azules hay? ______________ __ _________________________ ________________ ___ b) ¿Cuántos triángulos verdes hay?______________________ hay?__________________________________ ____________ c) ¿Cuántos cuadriláteros azules hay? ______________________________ ______________________________
d) ¿Cuántos cuadriláteros violeta hay? ____________ _ ________________________ _________________ ____ e) ¿Cuántos cuadriláteros amarillos hay? ________________________ ___________________________ ___ f) ¿Cuántos triángulos amarillos hay?________________________ hay?______________________________ ______ g) ¿Cuántos triángulos naranja hay?_________________________ hay?________________________________ _______ h) ¿Cuántos triángulos blancos hay?__________________________ hay?_________________________________ _______ i) ¿Cuántos cuadriláteros blancos hay? h ay? _____________ _ _________________________ ________________ ___ j) ¿Cuántos cuadriláteros fuccia hay? _____________ __ ________________________ _________________ ____ k) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? _____________________________ _____________________________ l) ¿Cuántos triángulos hay en total? ________________________________ ________________________________ m) En m) En las primeras dos líneas cuenta cuántos triángulos hay e indica cuántos suman los ángulos de los mismos._________________ n) ¿Cuánto suman los ángulos de los cuadriláteros de las dos últimas filas?___________________ filas?______________________________ ____________________________ ________________________ _______
Los triángulos se pueden clasificar según la longitud de sus lados en: son aquellos que tienen todos sus lados de igual
longitud.
tienen dos lados de igual longitud y uno diferente .
: son aquellos que tienen todos sus lados de diferente longitud.
Según la medida de sus ángulos se clasifican en:
son aquellos que tienen todos sus ángulos agudos, es decir, miden menos de 90°.
son los que tienen un ángulo recto, es decir, mide 90°,
los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el de mayor longitud, hipotenusa.
sn los que tienen un ángulo obtuso o mayor de 90°.
Los cuadriláteros se pueden clasificar así: son aquellos que tienen dos pares de lados paralelos.
Los cuadriláteros paralelogram p aralelogramos os son:
son los que tienen sus cuatro lados de igual longitud y además tienen todos sus ángulos rectos.
son los que tienen todos sus ángulos rectos y los lados consecutivos desiguales.
son los que tienen los cuatro lados de igual longitud, además, dos de sus ángulos opuestos son obtusos y los otros dos son agudos.
son los que tienen los lados opuestos de igual longitud y sus ángulos opuestos son de igual medida.
son los que no tienen ninguno de sus lados paralelos.
solo tiene un par de lados paralelos.
1) ¿Cómo se llaman las partes señaladas en el triángulo?
2) Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuántos lados tiene un triángulo? ___________________________
b) ¿Qué mide más en un triángulo rectángulo: un cateto o la hipotenusa? ___________________________ c) ¿Cuántos lados iguales tiene un tríángulo isósceles? isósceles? ___________________________
d) ¿Cuánto mide el ángulo recto en un triángulo isósceles? isósceles? ___________________________
e) ¿Cuántos lados iguales tiene un triángulo escaleno? ____________________________
3) Clasifica los siguientes triángulos
3 cm
3 cm
2,8 cm
5 cm
2 cm 2,6 cm 3 cm
Según sus lados Según sus águlos
2 cm
3 cm
4) Construye un triángulo usando los puntos y responde:
a) ¿Qué tipo de triángulo construiste construiste según sus lados? ____________________________ ________________________________________ ____________ b) ¿Qué tipo de triángulo construiste construiste según sus ángulos? ____________________________ ________________________________________ ____________
5) Dibuja los triángulos abajo indicados. indicados.
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
6) Traza los siguientes tríángulos: a) Un triángulo equilátero que tenga 3cm de lado
b) Un triángulo isósceles cuyo lado diferente mida 4cm
c) Un triángulo escaleno cuyos lados midan 5cm, 4cm y 3cm
d) Un triángulos rectángulos cuyos catetos midan 2cm y 5cm
7) Dibuja un cuadrado
8) Dibuja un rectángulo
9) Dibuja un rombo
10) Obesrva 10) Obesrva los siguientes polígonos y encierra en un circulo la opción correcta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(e)
(f)
(g)
a) ¿Cuál de los polígonos es un trapecio? ayg
b
cyd
e
f
b) ¿Cuál de los cuadrilateros cuadrilateros no tiene ningún lado paralelo? ayb
cyd
f
g
e
c) ¿Cuál de los polígonos tienen todos sus ángulos rectos? ayb
c
e
dyf
g
d) ¿Cuál de los cuadrláteros es un romboide? a yb
c
d
eyf
g
e) ¿Cuál de los cuadriláteros tiene todos sus ángulos rectos y los lados consecutivos desiguales? A
b
c
dye
f y g
¡ LO ESTAS LOGRANDO !
Recordemos que los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos en: Triángulos
Medida de sus ángulos
Acutángulo
Longitud de sus lados
Obtusángulo
Equilátero
Rectángulo
Escaleno Isósceles
De igual manera, los cuadriláteros se clasifican en: Cuadriláteros
No paralelogramos
Paralelogramos
Cuadrado Rectángulo
Romboide Trapezoide Rombo
Trapecio
1) Coloca el nombre a los siguientes polígonos.
________________
______________
____________
__________________
______________
__________________
_________________
2) Clasifica los triángulos según la longitud de sus lados.
___________________
_________________
__________________
3) Clasifica 3) Clasifica los triángulos según la medida de sus ángulos. 45°
60°
90° 65°
25°
_____________________
60°
60°
__________________
90°
45°
_________________
40°
20°
35° 120°
135° 25°
_______________________
70° 70°
_______________
25°
________________
4) Encierra 4) Encierra en u círculo la opción correcta. Los cuadriláteros paralelogramos paralelogramos se clasifican clasifican en: a) Equilátero – Isósceles – Escaleno. b) Trapecio – Trapezoide. c) Rectángulo – Cuadrado – Rombo – Romboide. d) Obtusángulo – Acutángulo – Rectángulo. Los triángulos se clasifican según la medida de sus ángulos en: a) Equilátero – Isósceles – Escaleno. b) Trapecio – Rectángulo. c) Rectángulo – Rombo – Cuadrado. d) Acutángulo – Obtusángulo – Rectángulo.
5) Une 5) Une con una linea la opción correcta.
Triángulo equilátero
Dos lados iguales, uno diferente
Triángulo acutángulo
Un ángulo mayor de 90°
Rombo
Todos sus ángulos son rectos
Triángulo isósceles
Dos ángulos opuestos obtusos y dos ángulos agudos
Cuadrado Obtusángulo
Sus tres lados iguales Todos sus ángulos agudos
Observa la siguiente figura.
Notarás que está dividido en varios cuadrados iguales. Si cada cuadrado mide 1m 2 entonces podemos decir que la superficie que ocupa la figura es de 12m 2. Entonces definiremos área de una figura plana como:
Observa la figura
Laura y Javier están colocando las baldosas baldosas en la pared que será su cocina. ¿Quién ha cuebierto más pared?
Las dos superficies cubiertas tienen formas diferentes. Para saber cuál de las dos es mayor utilizamos un cuadrado como unidad de medida, por ejemplo, una baldosa .
Por lo tanto, Laura lleva más pared cubierta y si cada baldosa es una unidad cuadrada entonces el área cubierta por Laura es de 17 unidades cuadradas. Si observamos la siguiente figura 6m 3m
3m 6m
Nos damos cuenta, que está formada por una línea poligonal (azul) que la forma llamada contorno o perímetro. Si queremos saber cuál es el perímetro de la figura, solo debemos sumar la longitud de todos sus lados así.
6
3
6
3
Entonces su perímetro será: 6 + 3 + 6 + 3 = 18 unidades de longitud. De aquí se deduce que el perímetro de una figura plana se define como:
1) Calcula el área de las siguientes figuras.
A
C
B
D
G
E
F
A) A
= _____________________ unidades cuadradas
B) A
= _____________________ unidades cuadradas
C) A
= _____________________ unidades cuadradas
D) A = _____________________ unidades cuadradas E) A = _____________________ unidades cuadradas F) A = _____________________ unidades cuadradas
G) A G) A = _____________________ unidades cuadradas
2) Calcula 2) Calcula el perímetro de las figuras. a) 3cm
3cm
3cm
El perímetro es: __________________ __________________ unidades de longitud.
b)
4cm 2cm
2cm 4cm
El perímetro es: __________________ unidades unidades de longitud. c)
2cm 2cm
2cm 1cm
1cm
1cm
2cm 1cm
2cm 2cm 6cm
El perímetro es: __________________ unidades unidades de longitud.
3) En la siguiente figura
3
2
3
2 2
El área de la superficie sombreada es: ___________unidades cuadradas. El perímetro de la figura es: _____________ unidades de longitud. El área de la superficie sin sombrear es: ____________ unidades cuadradas.
Encierra en un círculo la opción correcta. 1) El área de una figura plana se define como: a) La suma de sus lados. b) La suma de la parte sombreada de la figura. c) La medida de la superficie que ocupa la figura. d) La suma de el contorno y de la superficie de la figura 2) El área se mide en: a) Unidades de longitud. b) Unidades cuadradas. c) Unidades cúbicas. d) En litros. 3) El perímetro se define como: a) La suma de los cuadrados de la superficie de la figura. b) La suma de la longitud de los lados de la figura. c) La suma de los lados y la superficie de la figura. d) Todas las anteriores. 4) Hallar el área de la parte sombreada de la figura.
El área es: _________________ _________________ unidades cuadradas.
5) ¿Cuál es el perímetro y el área de la siguiente figura?
5.1) Perímetro ______________ unidades de longitud.
5.2) Área _______________ _______________ unidades cuadradas.
6) Observa las siguientes figuras f iguras
3cm
3cm
3
+
3
+
3
3cm
Si cada lado mide 3 cm y tiene 3 lados, su perímetro perímetro será: Recuerda que el perímetro es la suma de los lados
_____+_____+_____=_____
Teniendo en cuenta la definición que hemos visto para el área de una figura, podemos aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones generales para el área de cada una de ellas. Observa como se deduce el área de las siguientes figuras:
Altura (h) Base (b)
El área del rectángulo es igual al producto de su base por su altura expresadas en la misma unidad. Es decir: A
= b.h
L
h L
b
El área del cuadrado cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado o al producto de su base por su altura. A
= l2 ó A
= b. h
Altura base
El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base y de la altura. Es decir: A = b.h 2
Altura h
Base (b)
El área de un romboide es igual al producto de la base por la altura. Es decir: A
= b. h
Base menor (b)
Altura (h)
Base mayor (B)
b
B h B+b
El área de un trapecio es igual a la suma de la base mayor (B) más la base menor (b) por la altura (h) entre 2. A
= (B+b).h 2
Diagonal mayor (D)
Diagonal menor (d)
Él área de un rombo es igual al producto de la medida de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) entre 2. A = Dxd 2
1) Calcula el área de las siguientes figuras a) 4cm 5cm A = _________
b)
3cm 2cm 5cm
A
= __________
c)
2cm 2cm 4cm
A
= _____________
d) 2cm
3cm
A = __________
¡ RECUERDA UTILIZAR LAS FÓRMULAS !
2) Observa el plano, calcula y responde 30m
40m
vivero 20m
casa
20m
30m 35m
a) ¿Cuál es el área del terreno? ______________________________ ___________________________________________ __________________________ _____________ b) ¿Cuál es el área del vivero? ______________________________ ___________________________________________ __________________________ _____________ c) ¿Cuál es el área de la casa? ______________________________ ___________________________________________ __________________________ _____________ d) ¿Cuántos m 2 ocupa la casa más que el vivero? ______________________________ ___________________________________________ __________________________ _____________
3) Observa el siguiente cuadro, mide con una regla y luego responde.
A
B
C D
a) ¿Qué área tienen las regiones A,B, C y D? _____________________________ __________________________________________ __________________________ _______________ b) ¿Cuál área es mayor? ¿Cuál área es menor? _____________________________ __________________________________________ __________________________ _______________ c) ¿Cuál es la suma de todas las áreas? _____________________________ __________________________________________ __________________________ _______________
1) Hallar el área de un rombo con diagonales de 5 cm y 2 cm. Procedemos a dibujar el rombo.
Aplicamos la fórmula A = Dxd 2
= 5cm 5 cm x 2cm = 10cm2 = 5cm2 2 2
A = 5cm2
2) Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 5cm de lado. Dibujamos el cuadrado y aplicamos las fórmulas.
5cm
A = L2 = (5cm2) = 25cm2 A = 25cm2
Su perímetro será de = 4 x 5 cm= 20cm
3) Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de 10cm de base y 6cm de altura. Dibujamos el rectángulo.
6cm 10cm
Aplicamos la fórmula A
= b.h
A
= 10cm . 6cm = 60cm 2 Su perímetro lo calculamos calculamos de la siguiente manera:
P = 2 (b+h) P = 2 (10cm+6cm) (10 cm+6cm) P = 2 (16cm) P = 32cm
4) Calcular el perímetro de un romboide de 4cm y 4,5cm de lados y 4cm de altura. Dibujamos el romboide 4cm 4cm
4,5cm
Su perímetro será: P = 2 (4cm+4,5cm) P = 2 (8,5cm) P = 17 cm Lo cual es igual a sumar sus lados. Es decir: 4cm + 4,5cm + 4cm + 4,5cm = 17cm P = 17cm 5) Calcula el área del sector colorado a partir de las fórmulas estudiadas. a) 1m 5m
3m 2m
Observamos un rectángulo y dentro una flecha compuesta por un triángulo y otro rectángulo. Para resolver este problema, calculamos el área del triángulo y el rectángulo de la flecha, y el área del rectángulo más grande. A = b.h 2
A = 3m.2m = A = 6m2 = 2 2
A
= b.h = 5m.1m = 5m2 =
A
= b.h = 7m.3m = 21m2 =
A = 3 m2
A = 5 m2 A = 21 m2
Ahora determinaremos el área coloreada de la figura, restando al área del triángulo grande (21m 2) el área de la flecha (3m 2+5m 2). Área coloreada = 21m2 - (3m2+5m2) Área coloreada = 21m2 – 8m2
Área coloreada =
13 m2
b)
4cm 2cm 6cm
Observamos rectángulos dentro de un trapecio. Para resolver calculamos el área del trapecio y el área del rectángulo. A
= (B + b) . h 2
A
= (6cm + 4cm) . 2cm = 10cm . 2cm 2 2
A
= 20cm2 2
A
= 10cm2
A
= b.h
A
= 4cm . 2cm = 8cm2
A
= 8cm2
Área coloreada = A
- A
Área coloreada = 10cm2 – 8cm2 Área coloreada = 2cm2
1) Calcula el área de un rectángulo de 5cm y 8cm de lados.
2) Calcula 2) Calcula el área de un cuadrado cuadrado de 3cm de lados.
3) Si 3) Si el área de un rectángulo es de 45m 2 y uno de sus lados es de 5m ¿Cuánto miden sus otros lados?
4) Calcula 4) Calcula el área de un triángulo que tiene por base 4cm y de altura tiene 5cm.
5) Si 5) Si deseo colocar placas de cerámica en una habitación que tiene 3 y 6 metros de lados ¿Qué cantidad de cerámica debo comprar?
6) Dada 6) Dada el área del cuadrado, calcula la medida de sus lados.
Área del cuadrado
81cm 2
Lado del cuadrado
9cm
64cm 2
49cm 2
100cm 2
4cm 2
121cm 2
7) Calcula el área de la figura f igura según las medidas dadas 2cm 2cm ¡ TU
4cm
PUEDES LOGRARLO!
8) Hallar 8) Hallar el área de la siguiente figura. 3,5cm 1cm 3cm 6cm 2,5cm
9) Calcula 9) Calcula el área de la figura f igura coloreada.
2cm 3cm
De acuerdo a los conocimientos adquiridos realiza las siguientes actividades. 1) Marca con una en la si la expresión es everdadera o en si es falsa. V
Los cuadrláteros se clasifican en paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
El rombo tiene todos los lados iguales y los án-
gulos opuestos iguales.
El rectángulo es un trapezoide.
El trapecio es un polígono.
2) Une con una flecha f lecha según corresponda.
Tiene todos los lados iguales y ángulos iguales a 90°.
Tiene todos sus ángulos rectos y los lados consecuti-
vos desiguales.
Tiene un solo par de lados paralelos.
No tiene ningún par de lados paralelos.
F
3) Dibuja los triángulos abajo indicados. indicados. Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
4) Une la línea con la opción correcta. Triángulo equilátero
Dos lados iguales, uno diferente
Triángulo acutángulo
Un ángulo mayor de 90°
Rombo
Todos sus ángulos son rectos
Triángulo isósceles
Dos ángulos opuestos obtusos y dos ángulos agudos
Cuadrado Obtusángulo
Sus tres lados iguales Todos sus ángulos agudos
5) Hallar el área de la parte sombreada de la figura.
El área es _________________ unidades cuadradas. cuadradas.
6) Calcula el área de las siguientes figuras. 5cm 4cm 7cm
A
= ?
4 cm
5 cm
A
= ?
7) Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 7cm de lado. Dibujamos el cuadrado y aplicamos las fórmulas.
7cm
8) Calcular el perímetro del siguiente romboide 5cm 5,5cm
5cm
9) Calcula el área de la figura según las medidas dadas 4cm 4cm 8cm
10) Calcula 10) Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 12cm de lados.
Enciclopedia Flor de Araguaney 6. (2004). Editorial Santillana, S.A Enciclopedia didáctica didáctica 4. (2007). Serie Autana. Editorial Santillana S.A. Caracas. Gutierrez, Juan.
(2006). Editorial Girasol.
Matemática Fácil. Cuaderno de actividades. actividades. (2009). Editorial Santilla- na. Caracas.
