CUADRILATEROS
PROF: JAIME QUISPE CASAS CUADRILATEROS
b) Trapezoides
Asimetricos.-Es Asimetricos.-Es
DEFINICIÓN .- Son polígonos que tienen cuatro lados, y
cuadrilátero irregular que no tiene
pueden ser:
ningún lado paralelo al otro.
II.
NO CONVEXO
CONVEXO
= 360º
x
A
los lados no paralelos
Altura (h) es el segmento
x
perpendicular
a
las
bases
h
M
trapecio.
C
se
denominan lados laterales del
x=
D
B Base Menor
se llaman bases del trapecio, y
B
Trapecio.-Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados
paralelos; los lados paralelos
C
un
N
Base Mayor
A
D
comprendidos entre ellas.
Mediana.- ( MN ) Es el segmento que une los puntos medios y
de los l ados laterales del trapecio.
=x+
Elementos
1) Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C y D, de las rectas que forman el cuadrilátero ABCD.
2)
Lados: Son
B
los
segmentos AB, BC, CD
y
el
vértice
común
= 180º
h : altura del trapecio
MN
AD
BC AD 2
Trapecio Escaleno
B
BC
CLASES DE TRAPECIOS
y DA limitados por dos lados
2
C
//
Trapecio Rectángulo
D
1
3) Ángulos interiores: Son los ángulos α,γ,ω,θ, formados por dos lados y el vértice común.
4) Ángulos exteriores : Son los ángulos ß1, ß2, ß3 y ß4, formados por un lado, un vértice y la prolongación del
Trapecio isósceles
lado adyacente.
5) Diagonales.-Son los segmentos BD; y AC Perímetro: De un cuadrilátero está dado por la suma de
sus cuatro lados
CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS
I.- Trapezoide.- Son cuadriláteros cuyos lados no son
aquellos que tienen sus
β β
A
consecutivos
iguales y los otros dos
C
paralelo. AB
Son
b
B
son
B
a) Trapezoides
lados
Paralelogramo.-Son aquellas figuras que sus
lados opuestos
paralelos, tales como:
simétricos.-
III.
C
CD
a a
BC
AD
D
=
180º
A
b
D
lados también iguales pero distintos a los anteriores.
1
CUADRILATEROS
PROF: JAIME QUISPE CASAS PROPIEDADES DEL RECTANGULO
CLASES DE PARALELOGRAMOS
Romboide
Q
Rombo
R
O
S
P
Rectángulo
1.- Cumple con las propiedades ya antes mencionadas
Cuadrado
2.- Las diagonales son iguales ( QS = PR ) 3.- La perpendicular que pasa por los puntos medios de los lados opuestos del rectángulo es su eje e simetría
PROPIEDADES DEL CUADRADO 1.b
a
θ
A
b
rombo
con
sus
45º 45º
45º 45º
45º 45º
45º
2.-Por sr un rectángulo a
θ
un
propiedades
C
α
ser
cumple
PROPIEDADES DE LOS PARALEOGRAMOS.B
Por
cumple
α
con
sus
propiedades respectivas. D
3.-
Las
diagonales
del
45º
1.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales
cuadrado son perpendiculares entre si, son congruentes y
2.- Los ángulos opuestos son iguales
son bisectrices de sus ángulos interiores.
3.- Las diagonales se bisecan. 4.- El punto medio de un a diagonal es su centro de su
PROPIEDADES DEL TRAPECIO.
simetría.
1.- La mediana de un trapecio es paralela a sus bases del
5.- Cada diagonal divide a un paralelogramo en triángulos
trapecio y es igual a la semisuma de ellas.
iguales.
7.- Dos lados consecutivos de un paralelogramo son suplementarios 8.- La suma de los cuadrados de las diagonales ( D y d ) es igual a la suma de los cuadrado de sus 4 lados. 2
2
1.- Cumple con las propiedades ya
αα
mencionadas anteriormente.
3.- Los ángulos interiores de un trapecio suman 360º 4.- Dos ángulos interiores del trapecio situados en el mismo lado lateral son suplementarios, es decir β + α = 180º 5.- En el trapecio isósceles los ángulos de cada base son 6.- La longitud del segmento que une los puntos medios de b las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de
PROPIEDADES DEL ROMBO.-
sus bases.
2.- Las diagonales de un rombo son θ θ
del mismo. 4.- Cada diagonal del rombo es su eje de simetría.
2
α α
PQ
B b
b
2
α
θ θ
M
3.- Las diagonales del rombo son bisectrices de los ángulos internos
2
congruentes
2
D + d = 2 (a +b ) , siendo : AC = D y BD = d
perpendiculares entre sí.
b B
2.- La mediana divide a la altura en dos partes congruentes
6.- Los ángulos interiores suman 360º
2
MN
β
N
P β
B
CUADRILATEROS
PROF: JAIME QUISPE CASAS NIVEL I
NIVEL II
1.
6.
Marcar verdadero (V) o falso (F) En el romboide las diagonales son congruentes. ( ) En el rectángulo las diagonales son perpendiculares. ( ) En el rombo sus ángulos internos miden 90º ( ) a) FFF b) FFV c) FVV d) VFF e) VVV
En el trapecio isósceles ABCD, calcular AD, si : BC = CD = 10 B
a) 15 b) 25 c) 30 d) 20 e) 35 7.
2. Del gráfico, calcular “”
100º
d) 20º
70º
e) 35º
8.
A
D
9.
C
º
º
º
D
5. ABCD es un trapecio, calcular “x” x-1
A
C
D
Calcular la mediana del trapecio ABCD si: AB = 8 Y BC = 4 a) 6 b) 5 c) 9 d) 7 e)7,5
C
53º D
A
26º A
QC =
2
B
B
º
Q
B
4. Del gráfico. Hallar la m∢ACD
a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
70º
ABCD es un paralelogramo, donde CD = 10 y 4. Hallar AD a) 12 b) 10 c) 14 d) 15 e) 13
C
B
º
x
2º
3. En el romboide mostrado, AD = 3(CD) = 18. Hallar EL perímetro ABCD.
a) 54 b) 64 c) 74 d) 52 e) 44
e) 25º
d) 32º
a) 46 b) 52 c) 56 d) 48 e) 42
Calcular “x”, en el trapezoide mostrado
c) 15º
130º
c) 31º
D
A
b) 10º
3º
b) 30º
120º
a) 5º
a) 24º
C
10. Si ABCD es un rombo y BMC un triángulo equilátero, calcular “x” M a) 5º b) 15º
6
x
c) 10º d) 8º
B
A
40º
e) 20º x+3
C
D
3
CUADRILATEROS
PROF: JAIME QUISPE CASAS NIVEL III
17. En un trapezoide ABCD:
11. En un trapecio ABCD, la bisectriz interior de C corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo, si : BC = 7 y CD = 11. Calcular AD. a) 9 d) 18
b) 15,5 e) 16
c) 12,5
mA 3
mB 5
mC
6
a) 60º d) 75º
mD 2
b) 30º e) 90º
PQ = QR = RT =
PT 2
a) 50º d) 30º
. Calcular la m ∠QPT b) 60º e) 75º
c) 45º
b) 56º e) 62º
c) 72º
14. En un romboide ABCD; AB = 4 y BC = 10. Luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y “C” que cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de BE y EF a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
c) 7
15. ABCD y EFGD son cuadrados, CG = 16. Calcular la distancia entre los puntos medios de AG y CE a) 16
2
b) 4
2
c) 6
2
d) 8
2
e) 10
2
4
5
d) 7,5 45º
e) 8
D
19. Si ABCD es un romboide: AO = 4,5 ; BO = 3 Hallar : (AC + BD) a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20
B
C
O A
D
20. En el trapecio mostrado, calcular “x” B
a) 60º b) 100º c) 90º d) 120º e) 80º
C
x
D
A
P
F
A
G
E
D
b) VVF e) FVF
x C
B
A
D
22. Calcular “x”
Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. En el trapecio las diagonales se bisecan. En el rombo las diagonales son perpendiculares y congruentes.
a) VFV d) FFF
C
c) 7
a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º
16. Marcar verdadero (V) o falso (F).
b) 6,5
21. Calcular “x”, siendo ABCD un trapecio isósceles y además AC = BP = PD
C
B
4
B
A
13. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado BEFC, tal que: m∢ECD = 89º. Calcular la m∢AEC a) 68º d) 58º
c) 36º
18. Calcular la mediana del trapecio ABCD a) 6
12. En un trapecio PQRT ( QR // PT ) se cumple:
; Hallar la m∠D
c) VFF
a) 10º b) 15º c) 12º d) 25º e) 20º
110º
2x
50º 4x
CUADRILATEROS
PROF: JAIME QUISPE CASAS 23. Si ABCD es un cuadrado y CED un triángulo equilátero. C
B
a) 30º b) 60º E x c) 45º d) 37º D A e) 33º 24. En un romboide, las bisectrices interiores de B y C se cortan en un punto de AD . Calcular el perímetro de ABCD, si BC = K a) 4k d) 3k
b) 2k e) 2,5k
c) 5k
25. En el trapecio ABCD mostrado. Calcular AD; siendo PQ = 17 Y MN = 3
a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 80 30. En un paralelogramo ABCD se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Hallar la m∢MCN. a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 36º
C
B
a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 20
29. Calcular la base menor de un trapecio sabiendo que la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 40.
P M
Q
N
A
D
26. Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro del trapecio ABCE. C
B
a) 20 b) 30 c) 15 d) 12 e) 25
82º
A
5
E
D
27. Del gráfico, calcular “” si ABCD es un romboide a) 60º b) 65º c) 75º d) 70º e) 80º
B
70º
C
D
A
28. ABCD es un rectángulo, AB = 4 3 Y AD = 16. Calcular la mediana del trapecio AQCD a) 10 b) 15 c) 12 d) 13 e) 14
Q
B
C
30º A
D
5
