UNIDAD I PROGRAMACION LINEAL Y NO LINEAL INTRODUCCION
DESARROLLO INTRODUCCION
En muchos problemas del comercio y de la industria, es importante tomar las decisiones que maximizan o minimizan una determinada cantidad. Por ejemplo, la gerencia de una planta podría estar interesada en establecer la forma más económica de transportar la producción desde la fábrica hasta los mercados; un hospital, en diseñar una dieta que satisfaga ciertos requisitos nutricionales, a mínimo costo; un inversionista, en elegir las opciones que maximicen sus ganancias; o un fabricante, en mezclar ingredientes según ciertas especificaciones, pero de modo que obtenga el mayor beneficio. En esta sección daremos varios ejemplos de problemas de programación lineal y mostraremos cómo se pueden formular modelos matemáticos para ellos. También consideraremos su solución geométrica. Por lo que podemos decir que la programación lineal consiste en la organización de recursos de carácter limitado, de tal forma que se obtenga un máximo de rendimiento. Cuando se hace referencia a rendimiento, se está hablando de la optimización del sistema que puede ser de dos formas así: • Maximización, cuando lo que se persigue es el máximo de utilidad o ingreso. • Minimización, cuando se persigue un mínimo de costos o egresos de una empresa. La programación lineal es una de las técnicas más útil de la investigación de operaciones una amplia gama de problemas empresariales, tales como: económicos, industriales, financieros, productivos, hospitalarios, etc. Para visualizar mejor lo anterior se utiliza el siguiente ejemplo: Una fábrica de muebles produce sillas, mesas y escritorios para los cuales ha establecido que rinden una contribución a las utilidades de $5.000, $8.000 y $6.000 por unidad respectivamente. Para la producción de dichos artículos la compañía cuenta con una disponibilidad semanal de 100 metros de madera, 150 metros de tubo y 120 horas de mano de obra (horas-hombre). Además, mediante un estudio se ha determinado que para producir una silla se requieren 5 metros de madera, 3 metros de tubo y 4 horas de mano de obra; para producir una mesa se necesitan 3 metros de madera, 6 metros de tubo y 3 horas hombre de trabajo; mientras que para producir un escritorio se requieren 7 metros de madera, 4 metros de tubo tub o y 3 horas de mano de obra. Se desea plantear el modelo de programación lineal que se genera a fin de incrementar al máximo las utilidades de la compañía. Análisis de la información La información paramétrica que ofrece el modelo es la utilidad de cada uno de los artículos, los recursos disponibles y el consumo de cada recurso por cada unidad producida. Por lo tanto hay que determinar qué cantidad de cada uno de los artículos se debe fabricar a fin de conseguir el máximo de utilidad la empresa. Esta cantidad se representa por medio de variables. En resumen la información se puede presentar como se realiza en el siguiente cuadro: Recursos Producto Disponible semanal Silla Mesa Escritorio Madera 5m 3m 7m 100 metros Tubo 3m 6m 4m 150 metros Mano de obra 4h 3h 3h 120 horas Utilidad unidad $5000 $8000 $6000 Variable En donde las variables se definen de la siguiente forma:
X
X1 = cantidad de sillas a producir por semana. X2 = cantidad de mesas a producir por semana.
X
X
X3= cantidad de escritorios a producir por semana. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, el objetivo es incrementar al máximo posible la utilidad total de la compañía, la cual está representada por la siguiente función lineal: 5000 1 + 8000 2 + 6000 3 a esta ecuación se le denomina función objetivo. La anterior función debe ser maximizada teniendo en cuenta que los recursos: madera, tubo y mano de obra son de carácter limitado y no se puede utilizar más de su disponibilidad así: 5 1 + 3 2 + 7 3 < 100 metros. Restricción para la madera. 3 1 + 6 2 + 4 3 < 150 metros. Restricción para el tubo. 4 1 + 3 2 + 3 3 < 120 horas. Restricción para la mano de obra. Las anteriores inecuaciones se les denominan restricciones funcionales del problema. Por lógica, y sin haber estudiado demasiado, se sabe que no se pueden producir cantidades negativas, entonces todas las variables del problema se deben restringir a valores no negativos así: 1 , 2 , 3 > 0 estas son las llamadas restricciones de no negatividad. En resumen, si se denota a la utilidad como Z el modelo matemático de programación lineal queda como se muestra a continuación:
X
X
X
X X X X X X X X X
X X
X
X X X X X X X X X X X X X
X
X
Max Z = 5000 1 + 8000 2 + 6000 3 Sujeto a: 5 1 + 3 2 + 7 3 < 100 metros de madera. 3 1 + 6 2 + 4 3 < 150 metros de tubo. 4 1 + 3 2 + 3 3 < 120 horas de mano de obra 1, 2, 3 > 0 Modelo general de programación lineal
Generalizando, si se tienen n productos o actividades y m recursos disponibles el problema se transforma en: Recursos Producto Disponible 1 2 3 … n 1 … 2 … 3 … … …
M
… …
Xj
a a
X
… …
a a
X
… …
a a
X
… … … … …
… …
a a
… …
b b b
b
Donde en forma generalizada se define lo siguiente: = cantidad disponible del recurso i (i = 1, 2, 3,........, m) = costo o precio unitario del producto o actividad j (j = 1, 2, 3, ....,n) j = cantidad a fabricar del artículo j (j = 1, 2, 3,...., n) = cantidad de recurso i (i = 1, 2, 3,........, m) necesario para fabricar una unidad del artículo j (j = 1, 2, 3,....,n). Esta es la forma más conocida y trabajada del modelo de programación lineal. Su planteamiento se presenta enseguida:
X a
X + X + X+ ... + X X X + X+ ... + X ¡Ü X X + X+ ... + X ¡Ü X X + X+ ... + X ¡Ü X= X + X+ ... + X ¡Ü X , X, X, ..., X ¡YO Max Z = = = =
Una función objetivo de maximización y las restricciones funcionales son del tipo menor o igual que. Esto no indica que siempre es así, eso depende de la formulación del problema y puede incluir lo siguiente: • La función objetivo puede ser de minimización. • Las restricciones pueden ser del tipo mayor o igual. • Las restricciones pueden ser de igualdad estrictamente. PASO 1: Formulación del modelo: Aqui se debe estructurar toda la información de parámetros y variables y la interactuación entre ellas. PASÓ 2: Análisis de la información: en este paso se debe realizar minuciosamente el análisis de cada parámetro del modelo y cómo influye en él; además, de permitir una visualización de lo que se quiere conseguir (objetivo) y definir a grandes rasgos las limitantes del sistema. PASÓ 3: Definición de variables: este es talvez el paso más importante, pues si la variable queda mal definida; la solución del problema arrojará malos resultados, conllevando a malas decisiones. Aquí se debe establecer qué se desea conocer (en matemáticas, incógnitas), para lograr la solución de un problema en particular. PASO 4: Establecer la función objetivo: con base en la definición de las variables se debe estructurar que es lo que más le conviene a la empresa o persona donde se está realizando la solución del problema. En general se llama maximización a todo aquello que entra a la empresa en términos benéficos (puede haber alguien entrando basura); como por ejemplo maximizar ingresos, utilidades y productividad entre otras y se habla de minimización a todo lo que no le convenga a la empresa pero que necesariamente lo debe realizar. Se habla acá de minimizar egresos y costos básicamente; también se puede hablar de minimizar la creación de desperdicios o contaminantes. En esta función cada variable debe tener un coeficiente de rendimiento según sea maximizar o minimizar. PASÓ 5: Determinar las restricciones: definida perfectamente la función objetivo se debe evaluar qué restricciones impiden lograr un valor máximo o mínimo de la función objetivo; pues necesariamente no habrá recursos infinitos para su utilización (si esto fuera así no habría problema y estaríamos perdiendo el tiempo). Entonces se parte del hecho que hay unos recursos de carácter limitado, entre los cuales se pueden nombrar los siguientes: dinero disponible, mano de obra disponible, materia prima disponible, restricciones gubernamentales, capacidad de producción, capacidad de almacenaje, restricciones del mercado, etc. Al igual que la función objetivo, en cada una de las restricciones, cada variable debe tener un coeficiente. No olvide que las restricciones de no negatividad también forman parte de las restricciones. PASÓ 6: Solución del modelo matemático La función objetivo: junto con las restricciones (pasos 4 y 5) en conjunto, es lo que se llama el modelo matemático. Éste se debe solucionar en lo posible con una técnica de optimización (hay más técnicas, como por ejemplo la simulación que no arroja soluciones óptimas), la cual permite hallar los valores de las variables definidas en el paso tres. PASÓ 7: Prueba del modelo y la solución: con base en la solución del modelo, se debe realizar
las pruebas pertinentes, especialmente corroborar en las restricciones, que se cumpla con la mejor utilización de los recursos y que la función objetivo tenga su valor óptimo. En este paso, se debe evaluar el funcionamiento del modelo con su respectiva solución; a fin de verificar el cumplimiento de los objetivos. PASÓ 8: Implantación del modelo: realizadas todas las pruebas de rigor en el punto anterior, no queda más que implementar la solución en la práctica. No olvide que la mayoría de modelos arrojan soluciones óptimas; que casi siempre en la realidad no funcionan perfectamente por diferentes factores. Por lo tanto no olvide aplicar el paso nueve. PASO 9: Controlar y retroalimentar: en todo momento se debe estar atento a cualquier modificación en la información y parámetros del modelo; a fin de ir evaluando los posibles cambios que se deban realizar y que no descontrolen el sistema. Modelación del problema
Ejemplo 1.1: La compañía SIGMA fabrica pupitres, sillas y mesas, para los cuales ha establecido que rinden una contribución a las utilidades de $ 5.000, $6.000 y $3.000 por unidad respectivamente. Para la producción de dichos artículos la compañía cuenta con una disponibilidad semanal de 150 metros de madera, 120 metros de tubo y 200 horas-hombre de trabajo. Plantee el modelo matemático de programación lineal que se genera si sabe que para producir un pupitre se requiere de 5 metros de madera, 3 metros de tubo y 4 horas hombre de trabajo; para producir una silla se requieren 3 metros de madera, 4 metros de tubo y 5 horas-hombre de trabajo; mientras que, para producir una mesa se requieren 2 metros de madera, 3 metros de tubo y 1 hora-hombre de trabajo. Análisis de información Para el planteamiento de este problema primero se organiza la información en la tabla: Recursos Producto Disponible semanal del Pupitres Sillas Mesas recurso Madera 5m 3m 2m 150 metros Tubo 3m 4m 3m 120 metros Horas hombre 4h 5h 1h 200 horas Utilidad unidad $5000 $6000 $3000 Definición de variables En la compañía SIGMA se debe decidir cuántos pupitres, sillas y mesas se deberán producir por semana para lograr un máximo de utilidad; por lo cual las variables de decisión son:
X1 =cantidad de pupitres a producir por semana X2 =cantidad de sillas a producir por semana X3 =cantidad de mesas a producir por semana Función objetivo La compañía debe garantizar un máximo de utilidad, por lo tanto la función objetivo es la siguiente:
X
X
X
Máx. Z = 5.000 1 + 6.000 2 + 3.000
Restricciones del modelo Además, la compañía debe tener en cuenta las siguientes limitaciones en los recursos:
X X X X X X X X X
5 1 + 3 2 + 2 3 ≤ 150 metros de madera. 3 1 + 4 2 + 3 3 ≤ 120 metros de tubo. 4 1 + 5 2 + 3 ≤ 200 horas-hombre. También se deben considerar las restricciones de no negatividad (restricciones de signo de las variables), ya que en este caso, no se pueden producir unidades negativas de ningún producto. Tales restricciones son las siguientes: 1 , 2 , 3 ≥0 Modelo matemático completo En compendio, el modelo matemático de programación lineal para la compañía SIGMA queda de la siguiente manera:
X X X
X
X
X
Máx. Z = 5.000 1 + 6.000 2 + 3.000 3 s.a. 5 1 + 3 2 + 2 3 ≤ 150 metros de madera. 3 1 + 4 2 + 3 3 ≤ 120 metros de tubo. 4 1 + 5 2 + 3 ≤ 200 horas-hombre. 1 , 2 , 3 ≥ 0 restricciones de no negatividad
X X X X
X X X X X X X X
Ejemplo 1.2: La compañía BETA ha sacado del mercado un producto que ya no le era rentable, lo cual genera que haya una capacidad disponible semanal que no se está utilizando en sus 3 departamentos así: 200 horas en corte, 240 horas en soldadura y 150 horas en empaque. El departamento de producción propone que dicha capacidad sea utilizada en la producción de puertas, ventanas y claraboyas en la forma más eficiente posible, para dichos artículos se ha establecido un posible precio de venta de $5.000, $3.000 y $4.000 por unidad respectivamente. Además se ha determinado que para producir una puerta se requiere de 2 horas en corte, 3 horas en soldadura y 5 horas en empaque. Para producir una ventana se requiere 5 horas en corte, 4 horas en soldadura y 1 hora en empaque; mientras que para producir una claraboya se requiere 4 horas en corte, 2 horas en soldadura y 3 horas en empaque. Plantee el modelo de programación lineal que se genera si se sabe que el departamento de mercadeo informo que mínimo se venderán 20 ventanas y como máximo 10 claraboyas. Solución Análisis de información Primero y para mejor comprensión en la siguiente tabla se resume la información de la compañía BETA. Sección Producto Disponible semanal Puerta Ventana Claraboya Corte 2h 5h 4h 200 horas Empaque 5h 1h 3h 150 horas Soldadura 3h 4h 2h 240 horas Precio venta $5000 $3000 $4000 Venta Min 20 Max 10 La compañía BETA debe establecer qué cantidad de puertas, ventanas y claraboyas debe producir semanalmente, por lo tanto las variables de decisión se definen de la siguiente forma:
X1 =cantidad de puertas a producir por semana X2 =cantidad de ventanas a producir por semana X3 =cantidad de claraboya a producir por semana Función objetivo Como el precio de venta de cada artículo, genera el ingreso de la compañía, y éste debe ser lo más alto posible; la función objetivo se establece de la siguiente forma
X
X
X
Máx. Z = 5.000 1 + 3.000 2 + 4.000
Restricciones del modelo Además, la compañía debe tener en cuenta las siguientes limitaciones en los recursos:
X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 100 horas disponibles de montaje 1.5X1 + 3X2 + 2.5X3 ≤ 175 horas disponibles de decoración También, se deben considerar las restricciones generadas por el pronóstico del departamento de mercadeo que son: dado que mínimo se venderán 20 ventanas, la producción de ventanas deberá ser mínimo 20, que en términos del modelo es 2 ≥ 20; y como máximo se venderán 10 claraboyas, su producción se restringe a máximo 10 unidades de la siguiente forma: 3 ≤ 10. Unido a todo lo anterior, se definen las restricciones de no negatividad de la siguiente manera: 1 , 2 , 3 ≥0 Modelo matemático completo En compendio, el modelo matemático de programación lineal para la compañía BETA queda de la siguiente manera:
X
X
X X X
X
Máx. Z = 5.000 X1 + 6.000 X2 + 3.000 3 s.a. 5 1 + 3 2 + 2 3 ≤ 150 metros de madera. 3 1 + 4 2 + 3 3 ≤ 120 metros de tubo. 4 1 + 5 2 + 3 ≤ 200 horas-hombre.
X X X X X X X X X X2 ≥ 20 venta mínima de ventanas. X3 ≤ 10 venta máxima de claraboyas. X1 , X2 , X3 ≥ 0 restricciones de no negatividad. Ejemplo 1.3: La compañía ALFA se dedica a la fabricación de esferos, estilógrafos y plumillas en dos tipos de talleres; en el primero de ellos se realiza el montaje y en el segundo la decoración. El departamento de producción determinó que para la fabricación de un paquete de 10 esferos se requiere de una hora de trabajo en montaje y 1.5 horas en decoración; que para la producción de un paquete de 10 estilógrafos se requiere de dos horas de montaje y 3 en decoración; mientras que para la producción de un paquete de 10 plumillas se necesita 1.5 y 2.5 horas respectivamente. Plantee el modelo matemático de programación lineal que se genera a fin de maximizar el beneficio si se sabe que se dispone mensualmente de 100 horas para montaje y 175 para decoración; y que la utilidad generada por cada esfero es de $200, por cada estiló- grafo es de $250 y por cada plumilla es de $225
Sección
Producto Disponible por mes Esfero Estilógrafo Plumilla Montaje 1h 2h 1.5 h 100 horas Decoración 1.5 h 3h 2.5 h 175 horas Utilidad/und $200 $250 $225 Definición de variables Observe que la utilidad viene dada por unidad, mientras que el consumo de horas de producción está dada por paquete de 10 unidades; por lo tanto las variables de decisión pueden estar definidas tanto por paquetes, como por unidades a fabricar. Por comodidad en el presente, se trabaja por paquete, por lo que las variables de decisión quedan de la siguiente manera:
X1 = paquete de esfero a producir por mes X2 = paquete de estilógrafo a producir por mes X3 = paquete de plumillas a producir por mes Función objetivo Función objetivo La compañía debe garantizar un máximo de utilidad, por lo que la función objetivo queda definida de la siguiente manera:
0X + 3.500X2 + 2.250X
Máx. Z = 2.00
En esta función objetivo, las utilidades se han multiplicado por 10 ya que la variable quedo estipulada en términos de paquete Restricciones del modelo Al igual que en los ejemplos anteriores hay que considerar las limitaciones en la disponibilidad de los recursos así:
X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 100 horas disponibles en montaje. 1.5X1 + 3X + 2.5X ≤ 175 horas disponibles en decoracion. Modelo matemático completo En resumen, el modelo matemático de programación lineal para la producción de la compañía ALFA, junto con las restricciones de no negatividad, es como se presenta a continuación:
X X X X 1.5X 3X 2.5X X X X
X 2250X
Máx. Z = 2000 1 + 2500 2 + s.a. 1 + 2 2 + 1.5 3 ≤ 100 horas disponibles en montaje. 1 + + ≤ 175 horas disponibles en decoracion. 1 , 2 , 3 ≥ 0 restricciones de no negatividad. Ejemplo 1.4: La compañía GAMA fabrica camisas y blusas en una línea de producción con tres procesos que son: corte, ensamble y empaque. Se ha establecido que una camisa genera una utilidad de $7.000 y una blusa una utilidad de $9.000. Mediante un estudio de tiempos se estableció que una camisa requiere de 1 hora en corte, 3 horas en ensamble y ½ hora en empaque; mientras que una blusa
requiere de ½ hora en corte, 4 horas en ensamble y 1 hora en empaque. Se sabe que la compañía GAMA trabaja 8 horas diarias durante 5 días a la semana. ¿Cómo queda el modelo de programación lineal si se sabe que actualmente se cuenta con 40 trabajadores en la sección de corte, 80 trabajadores en la sección de ensamble y 20 trabajadores en la sección de empaque? Solución Análisis de información Se presenta el resumen de la información de la compañía GAMA, teniendo en cuenta que las horas disponibles en cada proceso se calculan multiplicando los 5 días laborales en cada semana por 8 horas laborables por día; y este resultado multiplicado por la cantidad de trabajadores disponibles en cada proceso. Así, para el proceso de corte la disponibilidad es: (5 días)(8 horas/día) (40 trabajadores) = 1600 horas disponibles en la semana. Seccion
Producto Disponible semanal Camisa Blusa Trabajadores Corte 1h ½ h 40 1600 horas Empaque 3h 4h 80 3200 horas Soldadura ½ h 1h 20 800 horas Precio venta $7000 $9000 Definición de variables La compañía GAMA se debe preocupar por determinar que cantidad de camisas y blusas debe fabricar semanalmente, por lo cual las variables de decisión quedan de la siguiente manera:
X1 =cantidad de camisas fabricadas por semana X2 =cantidad de blusas fabricadas por semana Función objetivo Ahora, el parámetro de rendimiento de la compañía es su utilidad, lo cual genera la siguiente función objetivo:
X
X2
Máx. Z = 7.000 1 + 9.000
Restricciones del modelo Además, se debe tener en cuenta la disponibilidad de horas en cada proceso. Esto define las siguientes restricciones:
X1 + ½ X2 ≤ 1600 horas disponibles en el proceso de corte. 3X1 + 4X2 ≤ 3200 horas disponibles en el proceso de ensamble. ½ X1 + X2 ≤ 800 horas disponibles en el proceso de empaque. Modelo matemático completo Todo lo anterior, anexándole las restricciones de no negatividad; presenta el siguiente modelo en total:
X
X
Máx. Z = 7.000 1 + 9.000 2 1 + ½ 2 ≤ 1600 horas disponibles en el proceso de corte.
X
X
X X X X X X
3 1 + 4 2 ≤ 3200 horas disponibles en el proceso de ensamble. ½ 1 + 2 ≤ 800 horas disponibles en el proceso de empaque. 1 , 2 ≥0 Ejemplo 1.5(dieta): Una compañía cervecera dispone de un jardín infantil para darles albergue a los hijos de los empleados. La nutricionista de la empresa estableció que a cada niño se le debe suministrar diariamente un mínimo 25 miligramos de calcio,15 miligramos de hierro y 24 miligramos de vitaminas, pero no más de 30 mg. En el transcurso del día los niños son alimentados con leche por valor de $1.000 por litro, huevos a $150 cada uno y compotas que cuestan a $600 el frasco. Plantee el modelo de programación lineal que se genera si se sabe que un litro de leche contiene 2 miligramos de calcio, 3 miligramos de hierro y 1 miligramo de vitaminas; un huevo contiene 4 miligramos de calcio, 5 miligramos de hierro y 3 miligramos de vitaminas; mientras que un frasco de compota contiene 6 miligramos de calcio, un miligramo de hierro y 2 miligramos de vitaminas. Solución Análisis de información Este tipo de problemas consiste en determinar la cantidad de alimentos que se deben comprar, para satisfacer unos requerimientos alimentitos de tal forma que el costo se haga mínimo. Se estructura la información de la empresa cervecera en la siguiente tabla. Nutrientes
Alimentos Requerimiento diario Camisa Blusa Compota Corte 2 mg 4 mg 6 mg Min 25 Empaque 3 mg 5 mg 1 mg Min 15 Soldadura 1 mg 3 mg 2 mg Min 24 y Max 30 Precio venta $1000 $150 600 Definición de variables El jardín infantil debe decidir qué cantidad de cada alimento debe suministrar a cada niño diariamente, por consiguiente las variables de decisión a utilizar se definen a continuación:
= cantidad de litros de leche a suministrar a cada niño por día = cantidad de huevos a suministrar a cada niño por día. = cantidad de frascos de compota a suministrar a cada niño por día. Función objetivo Con base en lo dicho anteriormente, a la compañía en este caso le conviene invertir en los alimentos la menor cantidad de dinero posible, por lo tanto la función objetivo queda como sigue a continuación: Min
=1000 +150 +600
Restricciones Restricciones del modelo Para este caso, las restricciones tienen que ver con garantizar los requerimientos nutricionales de cada niño. Esto con base en la definición de la variable queda así:
+ 4 + 6 ≥ 25 Miligramos mínimos de consumo de calcio. 3 + 5 + ≥ 15 Miligramos mínimos de consumo de hierro. + 3 + 2 ≥ 24 Miligramos mínimos de consumo de vitaminas. + 3 + 2 ≤ 30 Miligramos máximos de consumo de vitaminas. 2
Observe, que estas dos últimas restricciones en su lado izquierdo son la misma, pero una garantiza un consumo mínimo y la otra un consumo máximo de vitaminas. Modelo matemático completo Por lo tanto el modelo completo, junto a las restricciones de no negatividad queda de la siguiente manera:
=1000 +150 +600 + 4 + 6 ≥ 25 Miligramos mínimos de consumo de calcio. 3 + 5 + ≥ 15 Miligramos mínimos de consumo de hierro. + 3 + 2 ≥ 24 Miligramos mínimos de consumo de vitaminas. + 3 + 2 ≤ 30 Miligramos máximos de consumo de vitaminas. ,, ≥ 0 Min s.a 2
Método grafico Solución única
Un problema de programación lineal tiene solución única cuando un solo punto del área factible de solución, es la solución óptima del problema; por lógica ese punto óptimo debe ser un vértice del área factible de solución. Esto se puede observar en el siguiente ejercicio. Ejercicio 2.1. La compañía Sigma produce bibliotecas y escritorios para los cuales se ha establecido un precio de venta por unidad de $9.000 y $10.000 respectivamente. Para la producción de dichos artículos la compañía cuenta con una disponibilidad mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se debe fabricar mensualmente si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que para producir un escritorio se requieren 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija? Solución Análisis de la información Para obtener una mejor visualización de la información, en la tabla siguiente se presenta toda la información referente al problema de la compañía Sigma. Recursos
Alimentos Biblioteca Madera 7m Tubo 10 m Lija 6u Utlidad $9000 Definición de variables
Disponibilidad Escritorio 10 m 8m 15 m $10000
700 metros 800 metros 900 metros
= Cantidad de bibliotecas a fabricar por mes = Cantidad de escritorios a fabricar por mes Planteamiento del modelo
X
X
Máx. Z = 9.000 1 + 10.000 2 1 + 10 2 ≤ 700 horas disponibles en el proceso de corte. 10 1 + 8 2 ≤ 800 horas disponibles en el proceso de ensamble. 6 1 + 15 2 ≤ 900 horas disponibles en el proceso de empaque. 1 , 2 ≥0
7X X X X X X X X
Para solucionar este ejercicio por medio del método gráfico, se debe necesariamente graficar cada una de las restricciones; inicialmente suponiendo una igualdad y en el gráfico se le da el sentido. Primera restricción Se supone la igualdad y se hallan los puntos de corte con los ejes; por ejemplo en esta primera restricción si 1 es cero, despejando 2 es igual a 70. Esto conforma el par ordenado ( 1 , 2 ) = (0,70) y de igual forma se calcula el otro punto, que genera el par ordenado (100,0) cuando toma el valor de cero en la misma restricción y se despeja 1 .
X
X
X
X X
X →X =0 →X =70∴(0,70) 7 +10 =700 →{ →X =0 →X =100∴(100,0)
Estos puntos de corte con los ejes se marcan en el gráfico y se juntan mediante una línea recta. En la siguiente grafica se muestra el área factible de esta restricción. Obsérvese que se ha sombreado toda la región comprendida desde la recta graficada hasta el origen, porque la restricción es menor o igual. El área sombreada es donde se garantiza consumir como máximo 700 metros de madera.
Restricciones de madera 80
70
60
50
40
30
20
10
0 0
20
40
60
80
100
120
Segunda restricción Aplicando el mismo procedimiento de la primera restricción para hallar los pun-
140
tos de corte con los ejes se tiene:
=100∴ (0,100) 10 + 8 =800 →{→X→X =0=0 →X →X =80∴ (80,0)
El área sombreada garantiza consumir como máximo 800 metros de tubo.
Restricciones de tubo 120
100
80
60
40
20
0 0
20
40
60
80
100
120
140
Tercera restricción Utilizando el mismo procedimiento se obtiene:
→X =60∴ (0,60) 6 +15 =900 →{→X→X =0=0 →X =150∴ (150,0)
El área sombreada corresponde a la disponibilidad de 900 pliegos de papel de lija (se puede consumir menos de esto, pues la restricción es menor o igual).
Restricciones de lija 70
60
50
40
30
20
10
0 0
20
40
60
80
100
120
140
150
Para hallar el área factible de solución hay que hallar la intersección de todas las restricciones en un solo gráfico. Función objetivo La función objetivo tiene tres variables; por lo tanto para poder graficarla se debe suponer un valor arbitrario para Z. con base en este valor y utilizando el mismo procedimiento de las restricciones se grafica la función Z, que corresponde a lo siguiente:
X1 + 10X2 Entonces: Con Z = 900, se obtiene lo siguiente: →X =90∴ (0,90) 9 +10 =900 →{→X→X =0=0 →X =100∴ (100,0) Máx. Z = 9
La recta Z= 900 queda por encima del área factible de solución, lo que indica que con esos recursos no se alcanzará una utilidad de 900 pesos. Se probará entonces con un valor menor de Z, supóngase 500, se obtiene:
=0 →X =50∴ (0,50) 9 +10 =500 →{ →X→X =0 →X =55.55∴ (55.55,0)
La recta Z=500 atraviesa el área factible de solución, lo que indica que en cualquier combinación de producción entre los dos artículos sobre esta recta que darían sobrando recursos. Para hallar el punto óptimo, basta con graficar una sola recta Z (con cualquier valor arbitrario) y si queda por encima del área factible, se traslada paralelamente hacia el origen hasta cuando toque el primer punto del área factible de solución y si queda cortando el área factible de solución, se traslada paralelamente en sentido contrario al origen hasta cuando toque el último punto del área factible de solución. En general, el punto óptimo de un problema de maximización es el punto que se encuentra dentro del área factible de solución y está más lejano del origen teniendo en cuenta la inclinación de la función objetivo, Z. Con base en esta definición, observe que si se traslada paralelamente la recta Z=900 hacia el
origen (hasta tocar el primer punto del área factible de solución) o la recta Z=500 en sentido contrario al origen (hasta cuando toque el último punto del área factible de solución); llegarán a tocar el mismo punto (punto óptimo), que para nuestro ejemplo es la intersección entre la recta del límite máximo de consumo de madera y la recta de consumo máximo de tubo. En la grafica el área factible de solución es el área sombreada que es el área donde para cualquier cantidad de producción entre bibliotecas y escritorios alcanzan los recursos disponibles. Entonces, el punto óptimo se halla encontrando la intersección entre estas dos restricciones de la siguiente manera:
Intersección entre:
7X1 + 10 X2 = 700 restricciones de madera 10X1 + 8X2 = 800 restriccion de tubo. Para hallar los valores de las variables de un sistema de éstos (sistema lineal de ecuaciones simultáneas) se puede realizar por igualación, sustitución, eliminación o cualquier otro método conocido. Utilizando el método de eliminación así:
7X + 10 X = 700 (−10) 10X + 8X = 800 (7) −44X = −1400
Se multiplicó la primera ecuación por -10 y se le sumó a la segunda multiplicada por 7. , tomando este valor y De tal forma que simplificando se obtiene el valor de reemplazándolo en cualquiera de las ecuaciones originales se halla el valor de la otra variable. Aquí se reemplazó en la primera ecuación así: + 10 = 700 Despejando se obtiene lo siguiente:
X= ,
7X
3500 4200 600 700− X = 7 11 = 77 = 11
Interpretación de la solución Con base en esta solución, en la compañía SIGMA se deben producir 600/11 de bibliotecas ( = 600/11) y 350/11 de escritorios ( = 350/11). Con estas cantidades de producción se halla el ingreso máximo reemplazando la solución en la función objetivo así:
X
X
= + 10
Máx. Z = 9
Los precios de venta son $9000 y $10000 respectivamente; y que el problema ha sido resuelto con $9 y $10, por lo tanto el ingreso de la compañía es $8900000/11 (multiplicando por 1.000 el valor hallado de la función objetivo). Análisis de recursos Con base en la solución obtenida se puede calcular cuánto de cada recurso se consume y cuánto de cada recurso sobra; tan solo basta reemplazar los valores de las variables en cada una de las restricciones. Recursos Sobrante Disponible Consumo Madera 700 metros 7(600/11)+10(350/11)=700 0 Tubo 800 metros 10(600/11)+8(350/11)=800 0 Lija 900 metros 6(600/11)+15(350/11)=8850/11 1050/11 Indican que se consume toda la madera y todo el tubo (más que lógico, la solución óptima salió de la intersección de estas dos restricciones); y se consumen 8.850/11 de pliegos de papel de lija, por lo que quedan sobrando 1050/11 del mismo recurso. Indican que se consume toda la madera y todo el tubo (más que lógico, la solución óptima salió de la intersección de estas dos restricciones); y se consumen 8.850/11 de pliegos de papel de lija, por lo que quedan sobrando 1050/11 del mismo recurso. Solución óptima múltiple
Una solución óptima múltiple se establece cuando al trasladar la recta Z no toca un solo punto extremo del área factible de solución; sino que por el contrario toca un segmento de recta. Cualquier combinación de producción sobre ese segmento de recta, será solución óptima para el problema. Ejercicio 2.2. La compañía Hierro Colado dispone semanalmente para la fabricación de sus artículos de 350 metros de lámina y 360 metros de ángulo. Además, se ha establecido que con esos recursos se fabrican puertas y ventanas para los cuales se ha determinado que rinden una contribución a las utilidades de 70 y 50 pesos por unidad respectivamente. También, se sabe por medio de un
estudio de consumo de materiales que una puerta requiere de 7 metros de lámina y 4 metros de ángulo y que una ventana requiere de 5 metros de lámina y 9 metros de ángulo. ¿Qué cantidad de cada artículo se debe fabricar si se sabe que el departamento de mercados estableció que máximo se venderán 40 puertas? Se presenta un resumen de la información de este ejercicio. Producto recursos Disponible Puertas Ventanas Lamina 7m 5m 350 m Angulo 4m 9m 360 m Utilidad unitaria $70 $50 Ventas Max 40 Utilizando el mismo procedimiento aplicado al ejercicio anterior, entonces se planteará primero el modelo. Definición de variables
= Cantidad de puertas fabricadas por semana = Cantidad de ventanas a fabricadas por semana Con base en esta definición el modelo a resolver se establece de la siguiente manera:
X
X
Máx. Z = 70 1 + 50 2 1 + 5 2 ≤ 350 Restricciones de metros de lámina. 4 1 + 9 2 ≤ 360 Restricciones de metros de angulo.
7X X X X X1 ≤ 40 Restricciones de venta maxima de puertas X1 , X2 ≥0
A continuación se procede a graficar cada una de las restricciones sin ninguna explicación adicional; ya que este proceso es igual para cualquier tipo de problema. Se presenta la gráfica de todas las restricciones, junto con la función objetivo. Además, se sombrea el área factible de solución y el segmento de recta que corresponde a la solución óptima. Primera restricción
=0 →X =70∴ (0,70) 7 + 5 =350 →{ →X →X =0 →X =50∴ (50,0)
Segunda restricción Tercera restricción
= 40.
=0 →X =40∴ (0,40) 4 + 9 =360 →{ →X →X =0 →X =90∴ (90,0)
;
Observará el lector que en esta restricción la única variable restringida es por lo tanto la otra variable puede tomar cualquier valor desde cero hasta el infinito. Esto se observa claramente en la figura 3.5. Función objetivo Dándole un valor a Z=4000 (arbitrario) se obtiene lo siguiente:
=0 →X =80∴ (0,80) 70 +50 =4000 →{ →X→X =0 →X =57.14∴ (57.14,0)
Tal como se observa en la grafica tanto el punto D como el punto G son solución óptima del problema; así como cualquier punto intermedio comprendido entre esos dos puntos. Si se toma la recta Z=4000, y se traslada paralelamente hacia el área factible de solución hasta que toque el primer punto de dicha área, tocará simultáneamente todos los puntos del segmento de recta AB. Por lo tanto se dice que este ejercicio tiene soluciones óptimas múltiples. Como son infinitos puntos (soluciones) los que hay en el segmento de recta; entonces, sólo vamos a hallar los dos extremos. Estos dos extremos son justamente los puntos D y G. Solución en el punto D En este punto se interceptan las dos primeras restricciones (lámina y ángulo). Utilizando el método de eliminación, se multiplica la primera ecuación por -4 y la segunda por 7; seguidamente se suman para eliminar la variable , y poder despejar la variable
7X + 5 X = 350 (−4) 4X + 9X = 360 (7) 43X = 1120
.
= teniendo el valor de , se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el valor de así: 7X1 + 5 = 350
5600 1350 350− X1 = 43 43 = 43 Esto indica que se deben producir 1.350/43 de puertas y 1.120/43 de ventanas. La utilidad generada por esta solución se calcula de la siguiente manera: 1350 1120 94500 5600 150500 Máx. Z = 70 43 + 50 43 43 43 43
=
+
=
=$3500
Producto Sobra Disponibilidad Consumo Lamina 350 metros 7(1350/43)+5(1120/43)=350 0 Angulo 360 metros 4(1350/43)+9(1120/43)=360 0 Ventas 40 unidades 370/43 1350/43 Del análisis de recursos de esta solución presentado en la tabla 3.4, se concluye que se está consumiendo la totalidad de lámina y ángulo; mientras que de la restricción de venta máxima de puertas establecida en 40 unidades, se venden 370/43 menos. Pues, se están produciendo solo 1.350/43 de puertas. El lector curioso podrá comprobar que 1.350/43 + 370/43 da exactamente el límite de la restricción establecido en 40 unidades de venta máxima de puertas. Solución en el punto G En este punto se interceptan la segunda y la tercera restricción. Es decir de la restricción de ángulo y la venta máxima de puertas. De esta última restricción se parte del hecho que 1 es igual a 40. Por lo tanto, sólo se reemplaza este valor en la restricción de ángulo para establecer el valor de 2 de la siguiente manera: 70(40)+ 5 2 = 350 5 2 = 350 - 280
X=
X
X
X
X
X2 = 705 = 14
Para obtener un máximo de la función objetivo de: Máx. Z = 70 + 50(14)=3500 Con base en esta solución se deben producir 40 puertas y 14 ventanas, para obtener una utilidad máxima de $3.500 por semana. Además, del análisis de recursos presentado en la tabla 3.5 se concluye que no se utilizan 74 metros de ángulo. La utilidad de $3.500 pesos se obtiene para las dos soluciones halladas en este ejercicio; razón de sobra para tener soluciones óptimas múltiples. Producto Sobra Disponibilidad Consumo Lamina 350 metros 7(40)+5(14)=350 0 Angulo 360 metros 4(40)+9(14)=286 74 metros Ventas 40 unidades 0 40
(40)
X=
Solución no acotada
En este tipo de problemas la solución se presenta en el infinito; ya que por más que uno traslade la recta Z paralelamente para buscar el punto más lejano del área factible de solución, nunca llegará. Ejercicio 2.3.
Una fábrica de artesanías se dedica a la producción de bolsos y chaquetas, los cuales comercializa directamente a los clientes en la plaza España. La venta de un bolso genera una utilidad de $2.000 y consume 5 horas de mano de obra; mientras que la venta de una chaqueta genera una utilidad de $3.000 y consume 9 horas de mano de obra. Por políticas de la compañía se requiere no mantener en ocio a sus trabajadores y por lo tanto se debe consumir en la producción un mínimo de 450 horas de mano de obra por mes. ¿Qué cantidad de bolsos y chaquetas se debe fabricar, si por estudio de mercados se sabe que mínimo se venderán 20 chaquetas y como máximo 30 bolsos por mes? se presenta en forma resumida la información de la empresa de artesanías. Producto Bolsos 5h
Mano de obra Venta minima Venta maxima 30 Uttilidad $2000 Definición de variables
Consumo 9h 20
Consumo Min 450
$3000
= Cantidad de bolsos fabricados por mes = Cantidad de chaquetas fabricadas por mes Con base en esta definición el modelo a resolver se establece de la siguiente manera:
X X2 Sujeto a 5X1 + 9 X2 ≥ 450 Restricciones de metros de lamina. X1 ≤ 30 Restricciones de metros de angulo. X2 ≥ 20 Restricciones de venta maxima de puertas X1 , X2 ≥0 Máx. Z = 70 1 + 50
Del mismo modo utilizado en los problemas anteriores se grafican las restricciones, se determina el área factible de solución y se grafica la función objetivo. Primera restricción
=0 →X =50∴ (0,50) 5 + 9 =450 →{ →X →X =0 →X =90∴ (90,0)
Esta restricción se aprecia sombreada en sentido contrario al origen, situación más que lógica, por cuanto el sentido de la restricción dice que es mayor o igual. Segunda restricción ≤ 30. Para esta restricción se traza una línea recta donde la variable es igual a 30, y se extiende al infinito paralela al eje . Tercera restricción
≥ 20. El sentido de esta restricción es mayor o igual por lo que se traza una línea recta en igual a 20; y el área factible de esta restricción es de esta línea hasta el infinito.
Función objetivo Para graficar la función objetivo se omiten los tres ceros (se divide por mil; e igual que en los
ejercicios anteriores se supone un valor arbitrario de Z, en este caso de 300.
=0 →X =100∴ (0,100) 2 + 3 =300→{ →X →X =0 →X =150∴ (150,0) Tal como se observa en la grafica, el área factible de solución es la parte sombreada que termina hacia arriba en el infinito. Para este problema se está buscando un punto máximo; pero, si se trata de trasladar la recta Z en sentido contrario al origen hasta alcanzar el último punto del área factible de solución; no se llegaría nunca, pues este punto se encuentra en el infinito. Para todo tipo de problemas como éste; en el que el óptimo se encuentra en el infinito se dice que tienen solución no acotada o ilimitada. Problema sin solución Un problema no tiene solución cuando no tiene área factible de solución; esto es que no hay un solo punto que satisfaga la totalidad de las restricciones del problema. Para que un problema
tenga solución debe tener por lo menos un punto común en todas las restricciones. Ejercicio 2.4. La compañía Epsilon produce baldosas y tabletas, las cuales generan una contribución a las utilidades de $5.000 y $4.000 por metro cuadrado respectivamente. Para la producción de dichos artículos se cuenta con una disponibilidad de 200 metros cuadrados de arena y 240 metros cuadrados de cemento por semana. ¿Qué cantidad de cada uno de los artículos se debe fabricar si se sabe que para producir un metro cuadrado de baldosas se requieren 4 metros cuadrados de arena y 3 metros cuadrados de cemento; mientras que para producir un metro cuadrado de tableta se requieren 5 metros cuadrados de arena y 8 metros cuadrados de cemento?. Suponga además, que el cliente garantiza comprar como mínimo 50 metros cuadrados de tableta. Solución Se presenta una mejor visualización de la información de la compañía Epsilon. Recursos Consumo Baldosas Tabletas Arena 4 mc 5 mc 200 mc Cemento 3 mc 8 mc 240 mc Venta minima 30 50 mc Uttilidad $5000 $4000 Definición de variables A esta compañía le interesa saber cuántos metros cuadrados de cada producto fabricar para obtener su máxima utilidad; por lo que las variables quedan definidas de la siguiente manera:
= metros cuadrados de baldosas a fabricar por semana. = metros cuadrados de tabletas a fabricar por semana.
Por lo tanto el modelo matemático de programación lineal queda planteado de la siguiente forma:
X
X2
Máx. Z = 5000 1 + 4000 s.a
4X1 + 5X2 ≤ 200 3X1 + 8X2 ≤ 240. X2 ≥ 50 X1 , X2 ≥0 Para hallar la solución de este problema se comienza por graficar las restricciones de problema. Primera restricción
=0 4 + 5 =200→{ →X →X =0 Segunda restricción =0 3 + 8 =240→{ →X →X =0
→X =40∴ (0,40) →X =50∴ (50,0) →X =30∴ (0,30) →X =80∴ (80,0)
Tercera restricción
X2 ≥ 50.
Como se puede observar en grafica anterior, las primeras dos restricciones tiene un área común; pero ésta no se intercepta en ningún punto con el área factible de la tercera restricción, por lo tanto se concluye que el problema no tiene solución. Como se puede notar no se graficó la función objetivo; lo cual no es necesario ya que a pesar de lo que diga la función objetivo el problema no tiene solución. Una explicación más técnica de esta aplicación es que la empresa se comprometió a vender 50 metros cuadrados de tabletas, sin contar que los recursos (arenan y cemento); los cuales no alcanzan para producir esa cantidad. Para que este problema tenga solución hay que incrementar la capacidad de los recursos o disminuir la cantidad a vender. Problemas de minimización
Solución única No se va a repetir la definición de solución única nuevamente aquí, ya que el concepto es el mismo definido para un problema de maximización. Solución óptima múltiple
Al igual que para un problema de maximización, también se puede obtener muchas soluciones óptimas en un problema de minimización. Esto ocurre cuando el óptimo se establece como un segmento de recta y no en un solo punto. Solución no acotada Recordando la definición de no acotamiento, se dice que el área factible de solución tiende al infinito y al trasladar la función objetivo no se llega aún punto óptimo; ya que éste también se encuentra en el infinito. Problema sin solución Nuevamente, aquí vale recordar que un problema no tiene solución si no hay un solo punto que satisfaga la totalidad de restricciones del problema.
EJERCICIOS/ACTIVIDADES Unidad 1. Problemas de minimización
1. Combustibles Dextra produce gasolina y ACPM a un costo de 2.000 y 4.000 pesos por galón respectivamente. Mediante un estudio se ha establecido que para producir un galón de gasolina se requieren 4 horas hombre de trabajo, 6 horas máquina y 8 litros de petróleo; mientras que para producir un galón de ACPM se requieren 8 horas hombre de trabajo, 5 horas máquina y 10 litros de petróleo. Además, se sabe que para que no haya subutilización de los recursos se deben consumir mínimo 320 horas hombre y mínimo 300 horas máquina al mes. ¿Qué cantidad de cada combustible se debe fabricar si se sabe hay una disponibilidad mensual de 800 litros de petróleo? 2. Combustibles Dextra produce gasolina y ACPM a un costo de 2.000 y 4.000 pesos por galón respectivamente. Mediante un estudio se ha establecido que para producir un galón de gasolina se requieren 4 horas hombre de trabajo, 6 horas máquina y 8 litros de petróleo; mientras que para producir un galón de ACPM se requieren 8 horas hombre de trabajo, 5 horas máquina y 10 litros de petróleo. Además, se sabe que para que no haya subutilización de los recursos se deben consumir mínimo 320 horas hombre y mínimo 300 horas máquina al mes. ¿Qué cantidad de cada combustible se debe fabricar si se sabe hay una disponibilidad mensual de 800 litros de petróleo? 3. La compañía Siderurgia Ltda. produce un tipo de aleación especial compuesta por sílice y aluminio; los cuales compra a $3.000 y $5.000 por kilogramo respectivamente. Además, se sabe que la utilización de un kilogramo de sílice consume 5 miligramos de material radioactivo y 2 litros de agua; mientras que la utilización de un kilogramo de aluminio consume 4 miligramos de material radioactivo y da lugar a la aparición de 3 litros de agua. Por política de la compañía se debe consumir mínimo 20 miligramos de material radiactivo y se cuenta con una disponibilidad de 6 litros de agua. ¿Qué cantidad de sílice y aluminio se debe utilizar en la aleación si se sabe que se debe utilizar como máximo 8 kilogramos de sílice y que el gobierno nacional subsidia con $15.000 la utilización de cada kilogramo de aluminio? 4. Una compañía fabricante de calzado “El Pie Feliz” ha establecido que máximo venderá 30 par es de zapatos y como mínimo 40 pares de tenis. Para la producción de estos artículos se cuenta con una disponibilidad mensual de 180 metros de cuero y se ha establecido que el costo de producción de cada par de zapatos es de $5.000 y de cada par de tenis es de $4.000. Utilice el método gráfico para determinar que cantidad de cada uno de los productos se debe fabricar a fin de minimizar los costos totales de fabricación, si se sabe que un par de zapatos consume 3 metros de cuero y un par de tenis consume 6 metros de cuero.
BIBLIOGRAFIA
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