UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
Sistemas dinamicos Consolidado trabajo colaborativo T!tor" di#$o %#rnando s#ndo&a Int#$rant#s" jor$# #nrri'!# robl#s #i#r v#r$ara *#rnand#+
Consolidado del trabajo colaborativo dos sistemas dinamicos
INTRODUCCION El trabajo con sistemas dinamicos implica un analisis riguroso de las variables que afentan los mismos para que las funciones obtenidas guarden concordancia con las intencionalidades del proceso a manejar. Por esta razon al analizar los sistemas dinamicos se tienen diferentes perspectivas de aproximacion al fenomeno. Desde el punto de vista del analisis del dominio del tiempo, recibiendo dos tipos de respuestas; la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera se origina desde las caracteristicas dinamicas del sistema y rige el comportamiento del mismo durante la transicion desde un estado inicial asta un estado final. Por otra pare en la segunda existe una dependencia de la se!al de excitacion al sistema lo que puede denotar si el sistemas presenta estabilidad. "ambien se puede centrar el analisis desde el punto de vista de la frecuencia donde el analisis matematico se centra en contrastar las respuestas con respecto a la frecuencia, principalmente desde series de fourie para convertir se!ales lineales en numeros infinitos o finitos. Este trabajo centra su atencion en el analisis de estado para una situacion especifica, por ser esta el conjunto mas peque!o de variables que pueden representar al sistema dinamico completo en un tiempo cualquiera.
Etapa 2 (fase1)
Cada estudiante deberá leer e identificar claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo realizará una lluvia de ideas, de tal forma que se planteen algunas hipótesis sobre cómo solucionar las situaciones planteadas en la etapa, basándose en conocimientos previos y el sentido común. Basados en esta discusión, los integrantes del grupo deberán elaborar un listado de conceptos, trminos y!o aspectos que conocen y un listado de aquello que se desconoce de las situaciones planteadas en la etapa.
"l problema que nos presentan presenta la implementación de un sistema para elevar la productividad de la empresa, se desea proteger el sistema y prevenir fallas para que la inversión no sea riesgosa. #ebemos saber el modelo matemático del equipo industrial para poder realizar las operaciones de revisión y prevención. "n la segunda etapa debemos encontrar el modelo matemático en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso.
#ebemos •
Con la ecuación lineal da la etapa $ encontrar% el modelo matemático por medio de la función de transferencia
•
&ediante un diagrama de bloques representar el sistema lineal
•
'or medio del diagrama de bloques encontrar la función de transferencia
•
#eterminar el error estacionario del sistema
•
#eterminar la estabilidad del sistema
Conceptos conocidos • • • • • •
(unción de transferencia #iagramas de bloques )ensores #iagramas de bloque )istema lineal (lu*o
Conceptos desconocidos • •
+ariables de estado Controlabilidad del sistema
•
ETAPA 2 (FASE 2) El grupo deber# definir la metodolog$a para la investigaci%n de acuerdo a lo alcanzado en la fase anterior. &na vez se tenga clara la metodolog$a, el grupo deber# definir y expresar de manera concreta lo que quiere resolver, producir o demostrar en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo proceder# a localizar, organizar, analizar e interpretar la informaci%n de diversas fuentes. En este caso nos dedicaremos a consultar sobre como allar el modelamiento matem#tico en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario del sistema y la estabilidad del proceso.
CONCE,TOS B-SICOS S#.al Dos defniciones de señal son: La variación en el tiempo o el espacio de una magnitud ísica. Una unción ue lleva inormación! generalmente acerca del estado o comportamiento de un sistema ísico. "or ejemplo:
#n este caso! la magnitud ísica es la temperatura $ su variación! ue e%presa como cambia la temperatura a lo largo del día! es lo ue entendemos por señal.
,rinci/al#s od#los at#0ticos d# las s#.al#s #l modelo matem&tico de una señal suele venir denominado por el tipo de unción ue la representa. "or ejemplo:
Como podemos observar! varían con el tiempo de orma mu$ dierente en un caso $ en otro. Las unciones correspondientes son:
'. $( t) * t +. $( t) * sin((+,t) Como vemos! ambas señales est&n dibujadas rente al tiempo! es decir! indican la variación de una magnitud con el tiempo. #sto es lo ue se denomina representación en el dominio del tiempo. #s importante tener en cuenta ue a la variable ue representa nuestra magnitud se la denomina variable dependiente. "or otro lado! en este caso concreto! las señales dependen del tiempo! variable a la cual se la denomina variable independiente.
Ti/os d# s#.al#s - partir de la variable independiente '. Señales continuas: Se dice ue una señal es continua si est& defnida en todo instante de tiempo. "or ejemplo! la temperatura. #n cualuier instante del día la temperatura tiene un valor.
+. Señales discretas: Se dice ue una señal es discreta si sólo est& defnida para valores determinados de la variable independiente (en instantes determinados de tiempo).
#n este caso! la señal sólo est& defnida en auellos instantes ue emos marcado con un círculo a/ul. #ntre dos círculos a/ules no se sabe lo ue pasa (la señal no est& defnida). "or ejemplo! conocemos el valor diario de las acciones de una determinada compañía en bolsa! pero a lo largo de un día determinado el valor de estas acciones puede aber cambiado muco entre la apertura $ el cierre de la sesión. 0tro ejemplo sería la medida de la temperatura ue se puede ver en los termómetros de las calles. La temperatura se mide cada minuto. #ntre dos medidas podría ocurrir ue la temperatura ubiera variado! pero no lo sabemos.
A /artir d# la variabl# d#/#ndi#nt# ') Se dice ue una señal es -nalógica si: a) La señal es continua. b) Su amplitud puede tomar cualuier valor. +) Se dice ue una señal es Digital si: a) La señal es discreta
b) Su amplitud sólo puede tomar valores determinados. #jemplos del primer caso son todos los vistos asta el momento. 1eamos aora un ejemplo de señal digital
Estabilidad La noci%n de estabilidad es aquella que ace referencia a la permanencia de las características de un elemento o de una situaci%n a trav's del tiempo, de su condici%n de estable o constante. La estabilidad puede ser aplicada como característica a determinados fen%menos f$sicos as$ tambi'n como fen%menos sociales, ist%ricos, pol$ticos, econ%micos, culturales o individuales siempre que se mantenga la idea de constancia y permanencia de los elementos que componen a tal fen%meno. Por lo general, la noci%n de estabilidad se relaciona con un sinf$n de fen%menos de tipo f$sico o natural que se dan en el ambiente y que tienen por caracter$stica principal el mantenimiento de sus elementos en determinadas condiciones a trav's del tiempo. Esto quiere decir que la estabilidad es as$ la presencia de componentes que se mantienen como tales independientemente del cambio de otros factores externos. &n caso de estabilidad para las ciencias naturales podr$a ser la permanencia de las caracter$sticas de la materia por ejemplo, la estabilidad del agua de un recipiente. (i 'sta cambiara su volumen, su movimiento o sus componentes esenciales, la estabilidad ya no ser$a para ella una caracter$stica.
#rror de #stado #stacionario "l error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el lmite cuando el tiempo tiende a infinito -e.d. cuando la respuesta ha alcanzado el estado estacionario. "l error de estado estacionario dependerá del tipo de entrada -escalón, rampa, etc. y de -tipo del sistema que el sistema sea del tipo /, 0, 00,... . Nota: el análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas estables. "s responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un análisis del error de estado estacionario. &uchas de las tcnicas que se presentan devolverán una respuesta aún cuando el sistema es inestable1 obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable. C&lculo de errores de estado estacionario
2ntes de e3poner acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrará cómo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada empleada. "ntonces, derivaremos las fórmulas a aplicar en el análisis
de error de estado estacionario. "l error de estado estacionario puede calcularse de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentación unitaria. 'or e*emplo, digamos que tenemos el siguiente sistema%
el cual es equivalente al siguiente sistema%
'odemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final -recuerde que este teorema solo puede aplicarse si el denominador no tiene polos en el semiplano derecho%
2hora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partir de las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas% •
"ntrada "scalón -4-s 5 $!s%
•
"ntrada 4ampa -4-s 5 $!s67%
•
"ntrada 'arabólica -4-s 5 $!s68%
Cuando se dise9a un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente a perturbaciones. #igamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbación %
podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbación de un escalón con la siguiente ecuación%
(inalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con realimentación no unitaria% Fase 3: Diseño y ejecución del plan de acción – desde el 13 de abril al 26 de abril de 2015. En estas dos semanas el grupo define y ejecuta el plan de acci%n para dar soluci%n a la respectiva etapa del problema, a partir de la informaci%n obtenida en la fase anterior y de los contenidos tem#ticos del curso.
En este caso el problema se resolver mediante la utilizacion de la erramienta matlab. )uya funcion es la de tomar operaciones matematicas y mostrar la forma como funsionaria en un sistema electronico, y en nuestro caso tomaremos las ecuaciones planteadas en el problema y se agregaran a matlab y tomaremos distintas se!ales mediante variaciones de impulsos que le agregemos.
Estas serian nuestras ecuciones a simular.
"artiendo de la ecuación dierencial anterior
´
h ( t ) + 5 h ( t ) =qi ( t )
-plicando transormada de laplace! obtenemos:
(s23)4(s) * 5i(s) Si i se considera la entrada $ la salida! la unción de transerencia del sistema es: H ( s ) Qi ( s )
*
1
s +5
Diagrama bloues en La/o abierto
Diagrama bloues en la/o cerrado
6unción de transerencia en la/o cerrado
H ( s ) Qi ( s )
*
1
s+ 6
Se presenta en 7atlab la unción de transerencia en la/o abierto $ cerrado
-ora! observamos la estabilidad del sistema. La ecuación característica de un sistema es el denominador de la unción de transerencia del sistema igualado a cero. Los polos de un sistema son las raíces de la ecuación característica del sistema! esto es! las raíces del denominador de la unción de transerencia del sistema. Con base en la gr&fca de polos $ ceros (eje % los reales! eje $ los imaginarios) de la unción de transerencia en la/o cerrado: a) #l sistema es estable cuando los polos est&n en el semiplano i/uierdo
b) el sistema es inestable si por lo menos un polo est& en el semiplano dereco c) #s críticamente estable cuando los polos est&n en el eje imaginario d) Los ceros no intervienen en la estabilidad $ por tanto no importa su ubicación.
#n 7atlab! allamos la ubicación de los polos
Se alla un polo en 89
Como el polo se encuentra en el semiplano i/uierdo! el sistema es estable.
#l error de estado estacionario o estado estable. es igual a:
Ess
*'8
lim Gx s−0
% * unción de transerencia
la/o cerrado lim
1
Ess
*'8
Ess
* ' 8 1/ 6
Ess
* ;.<===
s−0
s +6
La grafca ante un escalón unitario es la Siguiente:
>ota: no se grafcó como indica la guía! debido a ue no sabemos como acerlo! pero se obtuvo la respuesta ante un escalón unitario.)
