SISTEMAS DINAMICOS ETAPA 2 MODELAMIENTO EN DOMINIO DE LA FRECUENCIA
REALIZADO POR: PEDRO LUIS BELTRAN OTERO FAIDER RAMOS RUBIO MANUEL ANDRÉS DAGER ORTEGA JUAN CARLOS EPINAYU
GRUPO: 243005_8
TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA MARZO DE 2016
INTRODUCCION En la presente actividad realizaremos la segunda etapa del problema, incursionando con el moldeamiento matemático en el dominio de la frecuencia. El dominio de la frecuencia es una representación de una señal con respecto a su frecuencia, a diferencia de la representación del dominio del tiempo, la cual es más conocida y representa el valor de una señal en función del tiempo. Para pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia se utiliza la función de transferencia, aplicando una herramienta matemática llamada transformada de place.
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada 𝑖𝑖 (𝑡) y como variable de salida el voltaje en el condensador 𝑒𝑜 (𝑡):
El condensador posee una capacitancia 𝐶 = 1 F (Faradio). La resistencia es no lineal por lo que su corriente 𝑖𝑅 (𝑡) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es: 𝑖𝑅 (𝑡) =
√𝑒𝑜 (𝑡) 𝑅
, donde 𝑅 = 10 √V⁄A (√Voltios/Amperios ).
LLUVIA DE IDEAS Información sobre como poder encontrar el modelo matemático que pueda resolver nuestro problema planteado. Desarrollar algunas propuestas que puedan dar solución al problema, aunque no sean las más concretas. Encontrar algún programa que nos sea útil a la hora de comprobar nuestro problema. Analizar cada uno de los procesos para así dar solución a cada una de nuestras incógnitas.
CONCEPTOS CONOCIDOS Sistema eléctrico: Es una serie de elementos o componentes eléctricos o electrónicos, tales como resistencias, inductancias, condensadores, fuentes, y/o dispositivos electrónicos semiconductores, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o eléctricas. Sistemas dinámicos: es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas dinámicos, pero también existen modelos económicos, matemáticos y de otros tipos que son sistemas abstractos que son sistemas dinámicos. Sistema de control: es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales para controlar equipos o máquinas. Función de Transferencia: Es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema con una señal de entrada o excitación. Se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.
Diagrama de Bloques: Es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que, además, definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas.
Transformada de laplace: La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ecuación diferencial. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ecuación diferencial es una función seccionada. Sea f una función define como:
definida
para
CONCEPTOS DESCONOCIDOS Polos y Ceros: Es un método que permite evaluar los polos y los ceros de las expresiones racionales para hallar el conjunto solución en desigualdades. Su utilidad radica en la generalización y mecanización del proceso. Entiéndase por ceros a las expresiones polinómicas que conforman el numerador de la función y por polos a las expresiones polinómicas que conforman el denominador cuando este tiende a cero, aproximándose la función si es evaluada al infinito. Veamos, si queremos calcular el conjunto de solución de la siguiente inecuación
El ejemplo dado solo tiene un polo y un cero, para evaluar debemos igualar tanto numerador cero como denominador polo a cero:
cero
polo
Error de estados Estacionarios: Es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria. Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas.
Regla de Manson: Permite determinar la transmitancia entre cualquier señal de entrada y salida, o entre dos puntos cualesquiera, de un sistema por complejo que este sea, si se conoce su diagrama de bloques. El sistema puede contener múltiples entradas y salidas, lazos anidados y conexiones interactivas.
METODOLOGÍA EMPLEADA Las metodologías que se pueden proponer para cada una de las ideas ya mencionadas serian 4: 1. Para poder resolver el problema tenemos que abordar los diferentes interrogantes que se puede presentar:
Se debe leer minuciosamente el problema. ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos). ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos). Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Si se puede, se debe hacer un esquema de la situación.
2. Hay que plantear como resolver dicho problema de una manera flexible y recursiva. ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? ¿Se puede plantear el problema de otra forma? Imaginar un problema parecido pero más sencillo. 3. Como se realizó el diseño del plan y su puesta en práctica.
Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4. Y el más importante de los pasos es el final, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado. Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? ¿Se puede hallar alguna otra solución? Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.
SOLUCION A TAREAS DE LA ETAPA Tarea 1: A partir de la ecuación diferencial lineal encontrada en la Etapa 1, o suministrada por el docente (en caso de no cumplir con el objetivo inicial), exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. Ecuación diferencial Lineal 𝑒0´ (𝑡) +
1 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝑒0 (𝑡) =
1 𝑖 (𝑡) 𝑅𝐶 𝑖
Propiedad de la diferenciación real: 𝑠𝐸0 (𝑠) − 𝐸0 (0) +
1 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝐸0 (𝑠) =
1 𝐼(𝑠) 𝑅𝐶
Condiciones Iniciales (C.I.=0) tenemos 𝑠𝐸0 (𝑠) +
1 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝐸0 (𝑠) =
Luego 𝐺(𝑠) =
1 𝐼(𝑠) 𝑅𝐶
𝐸0 (𝑠) 𝐼(𝑠)
1 1 2𝑅𝐶 √𝐸0 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐺(𝑠) = = = 1 𝑠2𝑅𝐶 √𝐸0 + 1 𝑅𝐶(𝑠2𝑅𝐶 √𝐸0 + 1) 𝑠+ 2𝑅𝐶√𝐸0 2𝑅𝐶 √𝐸0
Luego la función de transferencia de la ecuación diferencial lineal es: 𝐺(𝑠) = 𝐺(𝑠) =
2√𝐸0 2𝑅𝐶√𝐸0 𝑠 + 1 10 𝑠+5
Tarea 2: Represente el sistema lineal mediante un diagrama de bloques En primer lugar tenemos la ecuación diferencial Lineal 𝑒0´ (𝑡) +
1 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝑒0 (𝑡) =
1 𝑖 (𝑡) 𝑅𝐶 𝑖
Aplicando Laplace con Condiciones Iniciales (C.I.=0) tenemos 𝑠𝐸0 (𝑠) +
1 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝐸0 (𝑠) =
1 𝐼(𝑠) 𝑅𝐶
Vamos a dejar el termino con la derivada de orden más alto a un lado de la igualdad en este caso sEo(s): 𝑠𝐸0 (𝑠) =
1 1 𝐼(𝑠) − 𝐸0 (𝑠) 𝑅𝐶 2𝑅𝐶 √𝐸0
Donde I(s) es la entrada y Eo(s) es la salida A partir de la ecuación anterior realizamos nuestro diagrama de bloques:
Tarea 3: Encuentre la función de transferencia del sistema a partir de la reducción del diagrama de bloques. En primer lugar tenemos el diagrama de bloques
Usando las propiedades del algebra de bloques empezamos a reducir
Propiedad algebra de bloques
Aplicamos la propiedades de bloques y nos queda 1 𝑠
1 1 1+( ) 𝑠 2𝑅𝐶√𝐸0
1 𝑠
= 1+
1 𝑠2𝑅𝐶 √𝐸0
Reemplazamos los bloques anteriores por el nuevo bloque
Aplicamos la siguiente propiedad del algebra de bloques para bloques en serie
1 ∗ 𝑅𝐶
1 1 𝑠𝑅𝐶 𝑅𝐶 = = = 𝐺(𝑠) 1 1 1 1+ 1+ 𝑠+ 𝑠2𝑅𝐶√𝐸0 𝑠2𝑅𝐶√𝐸0 2𝑅𝐶√𝐸0 1 𝑠
Como podemos observar nos queda nuestra función de transferencia G(s) y si reemplazamos los valores de R,C y Eo tenemos
Tarea 4: Determine el error en estado estacionario del sistema. De nuestra función de transferencia observamos que tipo es y con ayuda de la tabla dada en la bibliografía escogemos la fórmula para el tipo de función
En nuestra función de transferencia al observar que “s” no está acompañada por ninguna constaste ni multiplicada por nada podemos decir que es de tipo 0 entonces para hallar el error estacionario del sistema usamos la fórmula 1/(1+Kp) Para hallar Kp utilizamos: 𝐾𝑝 = lim 𝐺𝐿𝐴 (𝑠) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐺𝐿𝐴 (𝑠) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑠→0
1 𝑅𝐶 𝐺𝐿𝐴 (𝑠) = 1 𝑠+ 2𝑅𝐶 √𝐸0 1 𝑅𝐶 𝐾𝑝 = lim 1 𝑠→0 𝑠+ 2𝑅𝐶√𝐸0 Como “s” tiende a cero (0) 1 𝑅𝐶 𝐾𝑝 = lim = 2√𝐸0 1 𝑠→0 2𝑅𝐶 √𝐸0 𝐾𝑝 = 2 Teniendo el valor de Kp podemos reemplazar en la formula para la funcion de transferencia de tipo 0 1 1 + 𝐾𝑝 1 𝑒𝑠𝑠 = 1+2 𝑒𝑠𝑠 =
𝑒𝑠𝑠 = 0.33 Error en estado estacionario del sistema es decir la diferencia entre la entrada y la salida
Tarea 5: A partir de la ecuación característica determine la estabilidad del sistema. Primero buscamos nuestra función de transferencia en lazo cerrado ue seria la función de transferencia en lazo abierto realimentada: 1 𝑅𝐶 1 𝑠+ 1 2𝑅𝐶√𝐸0 10 10 𝑅𝐶 𝐺𝐿𝐶 (𝑠) = = = = 1 1 1 𝑠 + 5 + 10 𝑠 + 15 𝑠+ + 𝑅𝐶 𝑅𝐶 2𝑅𝐶√𝐸0 1+ 1 𝑠+ 2𝑅𝐶 √𝐸0
𝐺𝐿𝐶 (𝑠) =
10 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 𝐶𝐴𝑅𝐴𝐶𝑇𝐸𝑅𝐼𝑆𝑇𝐼𝐶𝐴 𝑠 + 15
Aplicamos Routh-Hurwitz: 𝑠1 1 | 𝑠0 15 COMO NO EXISTE UN CAMBIO DE SIGNO PODEMOS DECIR QUE EL SISTEMA ES ESTABLE
Conclusiones
La dinámica de sistemas es una herramienta que permite analizar sistemas complejos ya que cambian a través del tiempo y otros factores, ofreciendo como resultado un modelo que representa dicho sistema y ayuda en la toma de decisiones de los actores involucrados. En este trabajo aplicaron los conocimientos adquiridos para hallar las funciones y ecuaciones requeridas mediante el modelado matemático en dominio de la frecuencia usando método como las transformadas de Laplace el método RouthHurwitz, etc. con el fin de tener una mejor comprensión de lo que sucede en el sistema y poder plantear soluciones en caso de que se presenten fallas en el.
Referencias Bibliográficas
Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall. Ogata, K . (2010). Modelado matemático de sistemas de control. En: Ingeniería de control moderna (5a. ed.). (pp. 13-62). Madrid, España: Pearson Education. Nise, N . (2011). Modeling in the frequency domain. En: Control Systems Engineering (6a ed.). (pp. 33-116).Estados Unidos: John Wiley & Sons.
