CONCEPTOS BÁSICOS DE LA VIBRACIÓN El estudio de las vibraciones vibraciones hace referencia al estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y, a las fuerzas asociadas a estos movimientos. movimientos. Todos los cuerpos que poseen una masa y elasticidad son capaces de vibrar. Esta vibración comienza porque hay algo que lo saca de su posición de equilibrio. La respuesta del sistema frente a esta excitación desequilibrante es llevar su estado otra vez al punto de equilibrio, comenzando así, una oscilación respecto al punto de equilibrio entre el movimiento excitante y el movimiento recuperante. recuperante. Existen dos tipos diferentes de vibraciones según la excitación sobre el sistema:
VIBRACIÓN LIBRE Se realiza una excitación inicial y se anula. Se deja al sistema vibrar (oscilar) libremente.
VIBRACIÓN FORZADA El sistema se somete a una excitación externa, externa, a menudo repetitiva, que provoca la oscilación.
1. MOVIMIENTO OSCILATORIO Un sistema, formado por masa y elasticidad, al que se le aplica una excitación puede vibrar. Es decir, puede describir un movimiento oscilatorio respecto a un punto de equilibrio. El movimiento oscilatorio del sistema puede repetirse regularmente siguiendo un patrón, o puede desplegar una considerable irregularidad.
Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo τ, se denomina periódico. El tiempo de repetición τ es el periodo de oscilación, y su recíproco f recíproco f = = 1/ τ se llama frecuencia de oscilación.
Si se designa el movimiento temporal del sistema como x(t) debe cumplirse para todo movimiento periódico que: x(t) = x(t + τ) El movimiento periódico más simple es el movimiento armónico.
1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO El movimiento armónico puede representarse mediante una masa suspendida de un resorte liviano. Considerando la masa como un sistema continuo cuyo centro de gravedad se encuentra en el centro. Si la masa se desplaza de su posición de equilibrio y se la libera (vibración libre), comenzará una oscilación hacia arriba y hacia abajo. Si imaginamos que nuestro sistema ideal masa - resorte, también se desplaza con un velocidad lineal constante, el movimiento en el espacio que está describiendo puede representarse como una función seno:
entonces, nuestro movimiento será:
Esta ecuación describe el movimiento que se conoce como, movimiento armónico siendo:
A = amplitud ω = pulsación de la oscilación (rad/s)
T ó τ = periodo de oscilación f = frecuencia de oscilación
Otro ejemplo de movimiento armónico sería la función coseno.
DERIVACIÓN Derivando la expresión para el movimiento armónico podemos obtener tanto la velocidad como la aceleración.
Como se puede observar, la velocidad y la aceleración de un movimiento armónico son también funciones armónicas, con la misma frecuencia de oscilación pero desfasadas en adelanto respecto a la posición π/2 y π radianes respectivamente.
Examinando la expresión obtenida para la aceleración de una función armónica, podemos ver que:
esto es, en el movimiento armónico la aceleración es proporcional al desplazamiento, y está dirigido hacia el origen. Por otra parte, la 2ª Ley de Newton establece que:
Un movimiento armónico resulta, para sistemas con resortes lineales y fuerzas que varían [Excitación forzada] como:
donde k representa la constante de rigidez del resorte lineal:
REPRESENTACIÓN VECTORIAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO Es más práctico representar el movimiento armónico por medio de números complejos. Cualquier vector X en el plano xy se puede representar como un número complejo de la forma:
Sí A indica el módulo o valor absoluto del vector X , y tita representa el argumento o ángulo entre el vector y el eje x, entonces también podemos expresar el vector X como:
Notación Exponencial Si nos fijamos en el término "unidad imaginaria" vemos que sus potencias dan una serie como:
Entonces, las funciones coseno y seno de la expresión del vector X se pueden expandir en una serie:
El resultado de estas series es:
Por lo tanto, la expresión del vector X puede darse también como:
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1.3 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA Las siguientes definiciones son de utilidad cuando tratamos con movimientos armónicos y otras funciones periódicas:
Ciclo de vibración Es el movimiento de un cuerpo con masa y elasticidad desde su posición no perturbada o de equilibrio hasta su posición en una dirección, y luego de vuelta a la posición de equilibrio, y luego a su posición extrema en la otra dirección, y de vuelta a la posición de equilibrio.
Amplitud [A] Desplazamiento máximo de un cuerpo vibratorio a partir de su posición de equilibrio
Periodo de oscilación [τ] Tiempo transcurrido en completar un ciclo de movimiento.
siendo ω la fr ecuencia circular.
Frecuencia de oscilación [ f ] Cantidad de ciclos por unidad de tiempo.
Cabe destacar que la frecuencia de oscilación f es una frecuencia lineal (ciclo/s) mientras que la frecuencia circular ω representa la velocidad del movimiento cíclico (rad/s).
Ángulo de fase [ ϕ ] Dos movimientos armónicos se denominan "sincrónicos" cuando ambos tienen la misma frecuencia o velocidad angular ω. No es necesario que dos oscilaciones
sincrónicas tengan la misma amplitud, ni que alcancen sus valores máximos al mismo tiempo.
De los movimientos sincrónicos anteriores podemos observar como los argumentos de la función seno (que se denominan fase)difieren en un ángulo. Este ángulo por el cual difieren los movimiento se denomina ángulo de fase.
Frecuencia natural Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial, la frecuencia con la cual oscila sin la acción de fuerzas externas se conoce como frecuencia natural. Un sistema vibratorio que tiene n grados de libertad, tendrá n frecuencias naturales de vibración distintas.
Pulsaciones Cuando se suman dos movimientos armónicos con frecuencias próximas entre sí, el movimiento resultante muestra un fenómeno conocido como pulsaciones.
2. MODELADOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS Por lo común un sistema vibratorio incluye:
Un medio para almacenar energía potencial [Resorte o Elasticidad]
Un medio para conservar energía cinética [Masa o Inercia]
Un medio por el cual la energía se pierde gradualmente [ Amortiguamiento]
La vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de está en energía potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energía se disipa en cada ciclo de vibración.
Grados de Libertad La cantidad mínima de variables independientes requerida para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. 1 G.D.L. = 1 variable necesaria 2 G.D.L. = 2 variables necesarias 3 G.D.L. = 3 variables necesarias y así sucesivamente.
Sistemas Discretos y Sistemas Continuos Algunos sistemas, sobre todo los que implican miembros elásticos continuos, tienen una infinitud de grados de libertad. Como ejemplo podemos poner una viga en voladizo.
Como la viga tiene una infinidad de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especificar su configuración de deflexión. Así entonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad. La mayoría de los sistemas de estructuras y máquinas tienen miembros deformables (elásticos) y por consiguiente tienen una infinitud de grados de libertad. Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se denominan sistemas discretos o de parámetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos. El tratamiento de un sistema como continuo da resultados muy exactos del comportamiento, sin embargo, el método analítico disponible se limita a una escasa selección de problemas tipo (vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas).
En la práctica, la mayoría de los sistemas continuos se estudian tratándolos como masa concentradas finitas, resortes y amortiguadores, esto es, tratándolos como sistemas discretos. Por lo común se obtienen resultados más precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir, aumentando la cantidad de grados de libertad del sistema.
Tipos de vibraciones
VIBRACIÓN LIBRE Y VIBRACIÓN FORZADA
Vibración Libre:
Es el movimiento oscilatorio resultante de dejar que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial.
Vibración Forzada
Es el movimiento oscilatorio resultante de someter a un sistema deformable a una fuerza externa (a menudo repetitiva) Si la frecuencia que produce la fuerza externa sobre el cuerpo coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condición conocida como resonancia. En esta situación, el sistema sufre oscilaciones peligrosas.
VIBRACIÓN NO AMORTIGUADA Y AMORTIGUADA
Vibración NO amortiguada:
Ocurre si durante la oscilación del cuerpo no se pierde o disipa energía por fricción y otra resistencia.
Vibración Amortiguada:
Ocurre si durante la oscilación del cuerpo se pierde o disipa energía por fricción y otra resistencia. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia.
VIBRACIÓN LINEAL Y NO LINEAL
Vibración Lineal:
Ocurre cuando todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente.
Vibración NO Lineal:
Si cualquiera de los componentes básicos que conforman el sistema se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente. Si la vibración es lineal el principio de superposición es válido y las técnicas matemáticas de análisis están bien desarrolladas. Para vibración no lineal, el principio de superposición no es válido y las técnicas de análisis son menos conocidas.
VIBRACIÓN DETERMINÍSTICA Y ALEATORIA
Vibración Determinística:
Si el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante se conoce como vibración determinística.
Vibración Aleatoría:
En algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la excitación puede presentar cierta regularidad estadística. Es posible estimar promedios como los valores medios o medios al cuadrado de la excitación. Si la excitación es aleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria del sistema también es aleatoria; se puede describir sólo en función de cantidades estadísticas.
2.1 ANÁLISIS DE ELEMENTOS
RESORTE Un resorte es un eslabón mecánico que, en la mayoría de las ocasiones, se supone que tiene masas y amortiguamiento insignificante. El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal, sin embargo, cualquier cuerpo o miembro deformable puede considerarse como un resorte. Se dice que el resorte tiene un comportamiento lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x está relacionado con la fuerza aplicada:
donde k es la constante de rigidez del resorte cuyo valor depende de la masa y las propiedades del material del cual está construido el resorte. Cuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensión (o compresión), de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton, se desarrolla una fuerza de restauración de magnitud -F (ó +F ) opuesta a la fuerza aplicada. Esta fuerza de restauración trata de regresar el resorte alargado (o comprimido) a su longitud original no alargada o libre (l ).
MASA O INERCIA Se supone que el elemento de masa o inercia es un cuerpo rígido que puede ganar o perder energía cinética siempre que cambia su velocidad. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, el producto de la masa y su aceleración son iguales a la fuerza aplicada a la masa. El trabajo es igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento en la dirección de la fuerza, y el trabajo realizado en una masa se almacena como energía cinética.
AMORTIGUAMIENTO En muchos sistemas prácticos, la energía vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducción de energía, la respuesta, se reduce gradualmente. El mecanismo mediante el cual la energía vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguamiento. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la fuerza de amortiguamiento existe sólo si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador. El amortiguamiento se modela como:
Amortiguamiento viscoso El amortiguamiento viscoso es el mecanismo de amortiguamiento de mayor uso en el análisis de vibración. Cuando un sistema mecánico vibra en un medio fluido como aire, gas, agua o aceite, la resistencia ofrecida por el fluido en el cuerpo en movimiento hace que se disipe la energía. En el amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibratorio.
Amortiguamiento de Coulomb o de fricción en seco Aquí la fuerza de amortiguamiento es de magnitud constante pero de dirección opuesta a la del movimiento del cuerpo vibratorio. Es resulta-do de la fricción entre superficies que al frotarse están secas o no tienen una lubricación suficiente.
Amortiguamiento debido a un material o sólido o histerético Cuando un material se deforma, absorbe o disipa energía. El efecto se debe a la fricción entre los planos internos, los cuales se resbalan o deslizan a medida que ocurren las deformaciones. Cuando un cuerpo que experimenta amortiguamiento producido por el material se somete a vibración, el diagrama de esfuerzo-deformación muestra un bucle de histéresis. El área de este bucle indica la pérdida de energía por unidad de volumen del cuerpo por ciclo debido al amortiguamiento.
3. ANÁLISIS ARMÓNICOS (MOVIMIENTO PERIÓDICO) Como ya hemos visto, cuando el movimiento oscilatorio de un cuerpo deformable se repite a intervalos de tiempo τ, se denomina periódico. El tipo de movimiento periódico más simple que hay es el movimiento armónico, sin embargo, el movimiento vibratorio de la mayoría de los sistemas es no vibratorio. Es frecuente que se presenten vibraciones de diferentes frecuencias simultáneamente. Por ejemplo, la vibración de una cuerda de violín está compuesta de la frecuencia fundamental f y de todos sus armónicos 2· f , 3· f, 4· f, etc. Otro ejemplo es la vibración libre de un sistema con varios grados de libertad, a la cual contribuyen las vibraciones de cada frecuencia natural. Tales vibraciones se manifiestan en una forma de onda compleja que se repite periódicamente
Por suerte, cualquier función de tiempo periódica puede ser representada por la serie de Fourier como una suma infinita de términos seno y coseno relacionados armónicamente. Si x(t) es una función periódica de periodo τ, se la representa por medio de la serie de Fourier como:
donde ω = 2π/τ es la frecuencia fundamental y a 0, a1, a2, ..., b0, b1, b2, ..., son coeficientes
constantes. Para determinar los coeficientes a n y bn, basta con multiplicar la ecuación anterior por cos(nωt) y sen(nωt), respectivamente, e integramos a lo largo de un periodo τ = 2π/ω.
todos los términos del lado derecho de la ecuación se anularían menos uno, quedando entonces que:
Según el valor de aproximación, esto es, según el valor de n el resultado se acercará más o menos a la función periódica real.
Las series de Fourier pueden también representarse en términos de la función exponencial, sustituyendo en la ecuación:
Espectro de la Frecuencia Las funciones armónicas an·cos (nωt) o bn·sen (nωt) de la serie de Fourier se llaman armónicos de orden n de la función periódica x(t). El armónico de orden n tiene un periodo τ/n. Estos armónicos se trazan como líneas verticales en un diagrama de amplitud (a n y bn o dn y ϕn) contra la frecuencia (n·ω), llamada espectro de frecuencia o diagrama espectral.
