CONCEPTO DE ANUALIDAD Y APLICACIONES PRINCIPALES Anualidad: En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Aplicaciones típicas: · Amortización Amortización de préstamos préstamos en abonos. abonos. · Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos · Constitución Constitución de fondos de de amortización amortización
Elementos de una anualidad Una anualidad ordinaria es una serie de pagos donde: -los pagos se realizan al final de cada periodo. -la fecha de inicio y final del plazo de la anualidad son conocidas -los periodos de capitalización y los intervalos de pago coinciden -el plazo de la anualidad comienzan en la misma fecha que de formaliza el convenio. En una anualidad intervienen los siguientes elementos:
Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente. Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año. Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se cobra o se paga la renta. Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.
Tipos de anualidades:
Anualidades Vencidas: Son aquellas cuyos pagos se realizan al final de cada periodo de pago. Anualidad Cierta: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Anualidad Contingente: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando. Anualidades Anticipadas: Son aquellas cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago. Anualidad Simple: Es aquella cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Anualidad General: Es aquella cuyo periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Anualidad Inmediata: Es el caso mas común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Se compra a crédito hoy un articulo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).
Tipos principales de anualidades Vamos a distinguir dos tipos de anualidades:
(a) Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes. (b) Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes. Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes.
Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del tiempo es: Pagos de valor R
R
R
R
R
R
|________|________|________|__. . .___|________| |
1
2
3
n-1
n
Inicio
fin
y para el caso de una anualidad anticipada de n pagos: Pagos de valor R
R
R
R
R
R
|________|________|________|__. . .___|________| |
1
2
3
n-1
Inicio
n fin
En estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor futuro o monto de una anualidad y el Valor presente de la anualidad. 1.3 Valuación de Anualidades Ordinarias
(a) Valor futuro de una anualidad ordinaria Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo? (b) El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:
R = valor del pago regular. i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo. n = número total de intervalos de la operación. Ejercicios: 1. Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una 3cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses? Aplicando (1.1):
(b) Valor presente de la anualidad. Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro? La fórmula que responde a la pregunta es:
Ejercicios: 2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24% anual (2% mensual).
¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés? Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10
(b) El cálculo del pago regular (R) Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso? Cuando conocemos el valor futuro, el pago regular se calcula como:
Ejercicios: 3. Una empresa tiene una deuda de $ 1, 000,000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1% (12% anual)? Datos: Valor futuro (S) = 1, 000,000; i = 0.01, n = 10
La deuda se paga con 10 documentos iguales mensuales de $ 95,582.08 Cuando conocemos el valor presente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:
Ejercicios: 4. Una persona que tiene disponible la cantidad de $ 1,250,000 desea utilizarlos para asegurarse un ingreso fijo mensual durante los próximos tres años. Con tal propósito, deposita esa cantidad en una cuenta bancaria renovable cada 30 días y una tasa de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la tasa de interés, ¿qué cantidad debería retirar todos los meses para que al final de los tres años la cantidad depositada inicialmente se hubiese agotado por completo? Datos: Valor presente = 1, 250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.
Si retira $ 40,099.64 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años. El número de periodos en un problema de anualidades Responde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor futuro o para agotar cierto valor presente mediante pagos regulares conocidos, dada la tasa de interés? Si tenemos el valor futuro la fórmula es:
Ejemplo: 5. Un trabajador sabe que en su cuenta de AFORE se le deposita $ 1,000 cada dos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la cantidad de $ 800,000 considerando una tasa de interés anual del 18 % (3 % e interés bimestral). La AFORE capitaliza intereses cada dos meses. Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000
Se necesitan aproximadamente 109 bimestres, algo más de 18 años. Cuando conocemos el valor presente de la operación, entonces el número de pagos se calcula de esta manera:
Ejemplo: 6. Una persona deposita hoy en una cuenta bancaria la suma de $ 125,000 con una tasa de interés mensual de 0.75% y piensa retirar de la cuenta $ 4,000 al final de cada mes hasta que la cuenta quede en cero. ¿Durante cuántos meses podrá hacer esos retiros? Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?
El inversionista podrá hacer 35 retiros completos y tendrá un excedente inferior a $ 4,000. El cálculo de la tasa de interés. No existe una fórmula que nos permita conocer la tasa de interés en un problema de anualidades, debido a que no es posible su despeje a partir de alguna de las fórmulas generales de anualidades. Para n = 2, la tasa de interés es:
Para n = 3, tenemos dos soluciones:
También se encuentra una solución real bastante extensa para n = 4, pero junto con dos soluciones no reales. Para valores grandes de n, la tasa de interés debe encontrarse por prueba y error. En la actualidad existen calculadoras (y por supuesto programas de computadoras) que lo hacen rápidamente. Ejemplos:
7. Una Administradora de Fondos para el Retiro le dice a un afiliado que si en los próximos cuatro años (48 meses) deposita mensualmente (al final del mes) la cantidad de $800, al término de este plazo tendrá acumulada un monto de $ 55,652.18. ¿Qué tasa de interés mensual está implícita en este cálculo? Datos: R = 800, S48 = 55.652.18, n = 48; i =? Resolución mediante calculadora financiera: Se introducen los datos (lo cual depende de la calculadora) y luego se pide a la calculadora que encuentre por prueba y error la tasa de interés. La calculadora financiera TI BAII PLUS, utiliza los símbolos siguientes: · PMT, para R á 800 · PV, para A (valor presente) · N, para el número de periodos. á 48 · FV, para S (valor futuro) á 55652.18 · I/Y, para la tasa de interés por periodo (la calculadora encuentra que es = 0.0150 = 1.5% mensual) Valuación de anualidades adelantadas
Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes: El valor futuro de la anualidad adelantada es:
Ejercicios: 8. Hacer el cálculo del ejemplo 4.1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?
El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:
Ejercicios: 9. Hacer el cálculo del ejemplo 4.2, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10
El cálculo del pago de la anualidad se resuelve como: (a) Cuando conocemos el valor futuro,
Ejercicios: 10. Hacer el cálculo del ejemplo 3, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: Valor futuro = 1,000,000; i = 0.01, n = 10
(b) Cuando conocemos el valor presente:
Ejercicios: 11. Hacer el cálculo del ejemplo 4.4, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.
Cuando lo desconocido es el tiempo en un problema de anualidades, también tenemos dos fórmulas: (a) Cuando conocemos el valor futuro:
Ejercicios: 12. Hacer el cálculo del ejemplo 4.5, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.
Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000 (b) Cuando conocemos el valor presente: Ejercicios: 13. Hacer el cálculo del ejemplo 4.6, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio. Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?
El cálculo de la tasa de interés es un problema de anualidades adelantadas. Igual que en el caso anterior, la tasa de interés no puede ser despejada matemáticamente y se debe encontrar por prueba y error. Para resolver con una calculadora financiera, se requiere indicarle a ésta que se trata de anualidades que se pagan al comienzo del intervalo.
Construcción de una tabla de amortización de deudas Una tabla de amortización de deudas es una descripción detallada de la evolución de la deuda desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo. La descripción incluye el pago regular y su descomposición en intereses y amortización del principal. Ejercicios: 14. Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual. Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pagos que se deben realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:
Aplicando los valores del problema:
Cinco pagos anuales de $ 250,456.455 liquidan por completo el crédito. Construimos la tabla de amortización.
Saldo de la deuda inicial: es el valor de la deuda que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna. Pago anual: es la cantidad de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada. Intereses: es igual al Saldo de la deuda inicial x tasa de interés Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses. Saldo de la deuda final: es igual al saldo de la deuda inicial - amortización de capital. El saldo de la deuda final de un año es igual al saldo de la deuda inicial del año siguiente.
Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés Cuando los créditos son a pagar en plazos muy largos, normalmente la tasa es flotante, es decir, se ajusta según alguna tasa de referencia del mercado. ¿Cómo se reconstruye la tabla cuando cambia la tasa de interés? Se sigue el siguiente procedimiento: 1) Se determina el saldo de la deuda a partir del cual se aplica la nueva tasa de interés. 2) Se encuentra el valor del nuevo pago anual considerando el nuevo saldo de la deuda, la nueva tasa de interés y los abonos que faltan por pagar. 3) Con el valor del nuevo pago anual se hace la tabla de amortización para los abonos que restan pagar. Ejercicios: 1.15 Supongamos que en el ejercicio anterior, después del segundo pago se eleva la tasa de interés del 8 % al 10 %. Viendo la tabla de amortización sabemos que el saldo impago después del segundo pago es de $ 645,450.57 y faltan tres abonos por pagar.
Utilizamos la fórmula anterior y encontramos el valor del nuevo pago:
Ahora la tabla de amortización queda como sigue:
FONDOS DE AMORTIZACIONES Conceptos Básicos Habiendo estudiado las amortizaciones en el punto anterior, ahora presentamos el modelo matemático para constituir un "Fondo de Amortización". Señalábamos que las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del "Fondo de Amortización" se hace necesaria.
Procedimiento: Para calcular el monto que se desea obtener en el tiempo "n" a una tasa "i" es necesario conocer el importe de los depósitos o abonos periódicos, por lo que debemos utilizar la fórmula del monto de la anualidad ordinaria si los depósitos los hacemos al final de mes: Su monto: ó En su caso si los depósitos se hacen a principio de mes, se utiliza la fórmula del monto de la anualidad anticipada: Su monto: ó
Recordemos que la expresión i/m la utilizamos para el caso en que se tenga que calcular la tasa que habrá de capitalizarse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal (anual) del 12% y su capitalización es mensual, entonces se debe tomar (12/12).
Ejercicio: Supongamos los siguientes datos: La empresa AGSSA tendrá que realizar un pago por $527,500.00 el día 31 de diciembre del 2011 por concepto de liquidación de pasivos contraídos previamente, y será en una sola exhibición. Tal monto ya incluye el cargo financiero que acordaron por el financiamiento de las mercancías. Para ello la empresa toma la decisión de establecer un fondo de ahorro mensual a finales del mes de Marzo del 2010, a efecto de poder acumular la cantidad señalada. De las opciones de tasa de rendimiento que le han ofrecido, destaca la del 9% nominal capitalizable mensualmente, por lo que ahora la pregunta pertinente es: ¿Qué cantidad debe depositar a fin de mes para acumular el monto deseado? De la fórmula de la anualidad ordinaria tenemos que: Donde: M = Monto deseado i = la tasa de interés nominal m = la capitalización n= el tiempo o número de depósitos A= el abono o deposito mensual Se despeja A: para conocer el importe de cada depósito Resolvemos con la fórmula Este es el importe de cada depósito Ahora resolvamos el ejercicio considerando los mismos datos, sólo que los depósitos se hacen al principio de cada mes: De la fórmula de la anualidad anticipada: despejamos A y obtenemos: Se resuelve: Este es el importe de cada depósito
GRADIENTES Siguiendo el tema de Anualidades, se abre este otro tema denominado Gradientes, de cuya definición podemos partir: Definición: Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ ó %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad. Para clarificar mejor aún el concepto, visualicemos un ejemplo con los flujos de efectivo que genera un proyecto de inversión: por su misma naturaleza éstos tienden a aumentar en cantidad o en porcentaje constante cada período. Del gradiente que aumenta un porcentaje, tenemos el caso de los flujos de efectivo que crecen o disminuyen en determinado porcentaje por el efecto de la inflación constante por período. En ingeniería financiera o ingeniería económica se le conoce con el nombre de "Gradiente".
De tal forma que también podemos identificarla como la renta variable, y cuyo intervalo de pagos distintos se hace en intervalo de pagos iguales. LA CLASIFICACIÓN DE ESTE TIPO DE RENTAS PERIÓDICAS VARIABLES ES: * Anualidad ó Rentas periódica con gradiente aritmético: La cuota periódica varía en progresión aritmética (A+ ga ó Rp + Ga). * Anualidad ó Rentas periódica con gradiente geométrico: La cuota periódica varía en progresión geométrica (A* ga ó Rp * Gg). Las características de este tipo de anualidades con gradientes aritméticos y geométricos son: * Los pagos o abonos distintos se realizan al final de cada intervalo de pago (aunque puede ser anticipado o prepagable). * Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad o renta periódica * Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago * El plazo inicia con la firma del convenio
Variables que se utilizan en este apartado: Mga ó VFga: Valor Futuro o Monto de una serie de cuotas con gradiente: aritmético o geométrico (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad) VAga: Valor actual del conjunto de rentas periódicas i: Tasa de Interés nominal (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i) m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) n: Tiempo Ga= Es el gradiente aritmético Gg= Es el gradiente geométrico Rp1= Anualidad o Renta periódica número 1
Gradientes Aritméticos De manera particular el gradiente aritmético (Ga) o uniforme es una serie de cuotas periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada período. A esto se le llama gradiente aritmético.
TIPOS DE INVERSIÓN Las inversiones consisten en renunciar a un consumo actual y cierto a cambio de obtener unos beneficios futuros y distribuidos en el tiempo. Hay diversos tipos de inversiones, pero a continuación le nombraremos las principales inversiones, algunas de ellas se basan en los objetivos para los cuales se realizan, otras en el tiempo y otras en la cantidad de veces que han de realizarse: Inversiones de Propiedad : es seguro y rentable para invertir en una propiedad. Es favorable para aquellas empresas que se propongan objetivos a largo plazo.
Depósitos a corto plazo : un depósito en el banco es la forma más simple de la inversión a corto plazo. Una de las principales ventajas de esta inversión es que, el proveedor tiene un 100% de garantía de la rentabilidad. Sin embargo, los retornos que se ofrecen son bajos en comparación con otras inversiones, pero no hay ninguna posibilidad de caer en el valor de la inversión al igual que otros tipos de inversiones. A corto plazo depósito ofrece total liquidez. Significa que todos los inversores pueden retirar su dinero cuando lo necesitan. Es perfecta opción para el ahorro a corto plazo o fondos de emergencia. Las inversiones a mediano plazo Entre los tipos de inversión podemos encontrar a las inversiones a mediano plazo. El período de tiempo de inversión en éstas de mediano plazo es un poco más largo que las de corto plazo, pero no llega a ser una inversión que implique varios años para poder ver resultados. Comprar una casa y venderla al plazo de dos años a mejor precio se podría considerar una inversión a mediano plazo. Comprar un coche y licenciarlo como taxi para ver ganancias podría considerarse también como una inversión a mediano plazo.
Las inversiones a largo plazo Estas son las que más tiempo toman, pero por lo general son las que brindan mejores beneficios. Las inversiones a largo plazo están relacionadas generalmente con el montaje de empresas o negocios de grandes dimensiones. Cuando alguien está creando una empresa no espera ver ganancias en el corto ni mediano plazo, sino montar una estructura que brindará sus beneficios a futuro. Un negocio grande, una empresa o una construcción se podría considerar como una inversión a largo plazo. Todos estos tipos de inversión son distintos, pero tienen sus beneficios. En nuestro sitio podrás encontrar mucha más información sobre inversiones, así que te alentamos a seguir buscando información, porque encontrarás datos interesantes.
Acciones : Los inversores son viables para obtener cuota de derecho y el valor de la empresa. Los inversores pueden evaluar a través de retorno de dividendos y ganancias de capital. A través de acciones, los inversores pueden invertir en la amplia gama de empresas que operan en diferentes regiones y puede beneficiarse de las ganancias a largo plazo. Bonos: Los inversores invierten dinero en los bonos durante un cierto tiempo, para obtener de nuevo en un tipo de interés. Sin embargo, a veces, los inversores pueden retirar el dinero depositado para el propósito comercial, es decir para sus negocios. Por lo general, un bono no es una opción ideal para la inversión a corto plazo. En lugar de bonos, los pequeños inversores se suponen que van a los fondos gestionados.
Referencias: http://matefinacierab1.galeon.com/aficiones831890.html http://es.wikipedia.org/wiki/Anualidad http://www.monografias.com/trabajos64/anualidades/anualidades.shtml http://www.eumed.net/libros/2010c/729/Fondos%20de%20amortizaciones.htm http://fondoscotizados.com/tipos-de-inversiones/
