Concenpto en Acto y Teorema en Acto Dos

Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências Vol. 9 N o 3, 29

Teoremas-en-acto y conceptos-enacto en dos situaciones relativas a la noción de sistema cuántico Theorems-in-action and concepts-in-action in two situations regarding the notion of quantum system

Maria de los Ángeles Fanaro Niecyt- Unicen-Argentina; CONICET-Argentina [email protected]

Maria Rita tero Niecyt- Unicen-Argentina; CONICET-Argentina [email protected]

Marco !ntonio Moreira UFR! [email protected]."r

Resumen Se presentan los resultados de una parte de una investigación relativa a la Enseñanza de la Mecánica Cuántica en la Escuela Media 1, en la cual desde referenciales didácticos y cognitivos se analiza la viabilidad y adaptabilidad de una secuencia de situaciones diseñada para reconstruir conceptos y principios fundamentales. fundamentales. a secuencia comienza y termina con la E!periencia de la "oble #endi$a, produciendo la emergencia del comportamiento cuántico, pues la e!periencia se analiza con proyectiles cuya masa se va reduciendo sucesi sucesivam vament entee %asta %asta llegar llegar a los electr electrone ones. s. Se con consid sidera era al electr electrón ón como como el sistem sistemaa Caminos os Múltiples Múltiples de Feynma Feynman n utilizando cuántico más simple, se adapta el enfo&ue Camin software de simulación. Se introduce el principio de superposición, y el de correspondencia a partir del análisis del cociente entre la masa y la constante de 'lanc(. os resultados presentados a&u) son relativos al análisis de la conceptualización, conceptualización, a partir de la identificación de los posibles teoremas*en*acto +ergnaud, 1--/ Moreira, 00 &ue 1

a tesis se realizó en el marco del "octorado 2nternacional en Enseñanza de las Ciencias de la 3niversidad de 4urgos, 343, España, en convenio con la, 35#6S, 4rasil ba$o la dirección del "r. Marco 7ntonio Moreira y la "ra. Mar)a #ita 8tero !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências "##N $%&'($)

Teoremas-en-acto y conceptos-en-acto en dos situaciones""" #######################################################################################

utilizaron los estudiantes al abordar las primeras situaciones, y las inferencias &ue 9stos permitieron u obstaculizaron. Se destaca el carácter oportunista de la conceptualización señalado por ergnaud, y la necesidad de complementar la mirada didáctica y cognitiva cuando se trata de investigar la viabilidad y adaptabilidad de propuestas didácticas. Palabras-clave: mecánica cuántica/ escuela media/ e!periencia de la doble rendi$a/

teoremas*en*acto Resumo 7presenta*se resultados de parte de uma investiga:;o relative ao ensino de Mecncia de situa:?es desen%adas para reconstruir conceitos e princ)pios fundamentais. 7 se&u>ncia come:a e termina com o e!periment da dupla fenda produzindo a emerg>ncia do comportamento &uncia se realiza com pro$9teis cu$a massa 9 reduzida sucessivamente at9 c%egar aos electrons. Considera*se os electrons como o sistema &uncia partir da análise do &uociente entre massa e a constante de 'lanc(. 8s resultados apresentados a&ui s;o relativos B análise da conceitualiza:;o a partir da identifica:;o dos poss)veis teoremas*em*ato +E#673", 1--/ M8#E2#7 00 utilizados pelos estudantes ao abordar as primeiras situa:?es e as infer>ncias &ue estes permitiram ou obstaculizaram. "estaca*se o caráter oportunista da conceitualiza:;o assinalado por ergnaud e a necessidade de um ol%ar didático e cognitive &uando se trata de investigar a variabilidade e adaptabilidade de propostas didáticas. Palavras-Chave: Mecncia de dupla fenda/ teoremas

em ato. A$stract D%e results of a part of an investigation regarding t%e Deac%ing of =uantum Mec%anics at %ig% sc%ool level are presented. 4ase upon didactic and cognitive frameAor(s it analyzes t%e viability and adaptability of a se&uence of situations designed to reconstruct fundamental concepts and principles. D%e se&uence begins and finis%es Ait% t%e "ouble* Slit E!periment, producing t%e emergence of t%e &uantum be%avior, because t%e e!perience is analyzed Ait% pro$ectiles A%ose mass is reduced successively until arriving at electrons. D%e electron is considered as t%e simpler &uantum system and 5eynmans Multiple 'at%s approac% is adapted using simulation softAare. D%e principle of superposition and correspondence from t%e analysis of t%e &uotient betAeen t%e mass and t%e 'lanc(Fs constant are introduced. D%e results presented %ere refer to t%e analysis of conceptualization, from t%e possible identification of t%e t%eorem*in*act +ergnaud, 1--/ Moreira, 00 used by t%e students A%en approac%ing t%e first situations, and t%e inferences t%at t%ese alloAed or prevented. D%e opportunistic c%aracter of t%e conceptualization indicated by ergnaud stands out, as Aell as t%e necessity to complement t%e didactic and cognitive frameAor( A%en investigating t%e viability and adaptability of didactic proposals.


*anaro, +tero e oreira !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

#ey$ords% &uantum mec%anics/ %ig% sc%ool education/ double slit e!perience/ (noAledge*in*action.

Introducci%n Este traba$o forma parte de una investigación sobre la enseñanza de nociones fundamentales de Mecánica Cuántica en la Escuela Media. +5anaro, 0-. Se elaboró una secuencia didáctica para estudiantes del @ltimo año de la escuela secundaria y se implementó en un curso de treinta estudiantes. a propuesta es alternativa a la tradicional, &ue se encuentra en los libros de te!to, y no tiene una estructura estrictamente %istórica +5anaro, 8tero y Moreira, 0Ga. a investigación en su totalidad analiza la viabilidad y adaptabilidad de la propuesta a partir de las acciones de los estudiantes y aporta a la comprensión del proceso de construcción de conocimiento en el aula +5anaro, y 8tero 0H/ 5anaro y 8tero, 0-. Se utilizaron varios instrumentos para analizar la viabilidadI un test escrito realizado al final, las respuestas escritas de los alumnos en cada situación y los protocolos originados en el registro de audio de las clases relativos a la actividad grupal y un test diseñado para analizar las opiniones de los estudiantes sobre la secuencia. El proceso de conceptualización se analiza a partir de la identificación de los posibles teoremas en acto utilizados por los estudiantes y las inferencias realizadas . 7&u) se presentan los resultados relativos a la E!periencia de la "oble #endi$a, &ue es la primera etapa de la secuencia didáctica. a secuencia completa comienza y culmina con la E!periencia de la "oble #endi$a +E"#, por&ue 9sta permite dar sentido a la formulación probabil)stica &ue e!plica los resultados J de otro modo Kine!plicablesL J de la distribución de electrones. a distinción fundamental entre el comportamiento de las part)culas clásicas y de los sistemas cuánticos se plantea en las situaciones posteriores, cuando se realiza el cálculo de probabilidades para part)culas libres y electrones libres utilizando la t9cnica KCaminos M@ltiplesL de 5eynman +7rlego, 0H en un marco geom9trico*vectorial, adaptado al conocimiento de los estudiantes +5anaro, 8tero y 7rlego 0Gb. uego, los resultados se aplican al cálculo de probabilidades de la E"#, y se encuentra la e!presión matemática &ue e!plica la curva de probabilidad, tanto para electrones como para bolillas. Esto conduce a colocar a la constante de 'lanc( en un lugar privilegiado, pues es la relación entre dic%a constante y la masa, lo &ue decide si se distinguen los efectos cuánticos o no. En la 5igura 1 se presentan los conceptos y principios clave &ue se pretend)an abordar con la secuencia.



E!periencia de la "oble #endi$a con

electrones

con

bolillas Se obtiene Se obtiene una curva '+ x &ue resulta de =P

P1,2( x )

P1,2( x )

Muy diferente de

x +P x

=P x +P x los e * llegan en unidades enteras pero no se distribuyen como bolillas, representan

Principio de Correspondencia

Q muy pe&ueña se detecta una curva KpromedioL

En el dominio clásico

Q es tal &ue se distinguen los má! y m)n

#iste%as cu&nticos

Patrn de !nter"erencia

En el dominio cuántico

5ormulación SD7 para calcular amplitud totalI considerar la contribución +suma de amplitudes de todos los K L

3tiliza

Constante de Planck

Se compara con $ccin

#

Runto con

para el electrón, Sh

Longitud de onda asociada λ

h =

p

'ermite asociar a la materia P (x) ~ 4 cos2 (

m d 0 XT

x

Principio de #uperposicin

P (x) = |A tot (x)|2

Atot(  F) = C exp (i !"l # h )

)

7plicado a la E"#

5igura 1I Conceptos y 'rincipios a ser enseñados +5anaro, 0-

En particular, este traba$o e!plora y analiza los invariantes operatorios J teoremas y conceptos*en*acto J identificados en la etapa donde los estudiantes deb)an imaginar y anticipar los resultados de la E"# cuando se utilizan bolillas, y contrastarlos despu9s con bolillas y electrones. Esto se realizó utilizando el software K"oppelspaltL 0, &ue permite fi$ar las condiciones iniciales de la e!periencia +anc%o y separación de rendi$as, etc. y visualizar los impactos y la curva de probabilidad P(x). El diseño de la secuencia incluye un con$unto de tareas para analizar el efecto en la forma de la curva cuando se var)a el anc%o de las rendi$as y su separación. uego, se propone cambiar bolillas por electrones para poner en evidencia el comportamiento radicalmente distinto, e introducir la idea de electrón como sistema cuántico. En el 7ne!o se presentan ambas situaciones tal como fueron presentadas a los estudiantes. 2nteresa conocer los teoremas en acto utilizados por los estudiantes al abordar las dos primeras situaciones para comprender las inferencias &ue los estudiantes realizaron, y los posibles obstáculos &ue surgieron en la conceptualización del electrón como sistema cuántico. 'or otro lado, ya &ue la secuencia es un instrumento en el cual cada etapa se sostiene en la anterior, resulta fundamental &ue los estudiantes no sean superados por estas primeras situaciones, y as) %asta llegar al final. 'or lo tanto, el buen funcionamiento de estas situaciones constituye un primer indicador de viabilidad de la propuesta.

&arco te%rico 0

KE!perimento de la doble rendi$a en Mecánica CuánticaL +0. Creado por Mut%sam, N +ersión . traducido al español por Oolfamann y 4ric(mann '%ysics Education #esearc% 6roup of t%e 3niversity of Munic%. 8btenido en 2nternet de %ttpIPPAAA.p%ysi(.unimuenc%en.dePdida(ti(P"oAnloadsPdoppelspaltPdslit.%tml



"esde el punto de vista teórico en enseñanza y aprendiza$e, los registros presentados en este traba$o son interpretados en t9rminos de la teor)a de los campos conceptuales de 69rard ergnaud +1--/ Moreira, 00. Seg@n ergnaud la conceptualización es el n@cleo del desarrollo cognitivo e involucra una relación dial9ctica con situaciones* problemaI son las situaciones &ue dan sentido a los conceptos pero cuanto más se desarrollan, en el su$eto, los conceptos más situaciones +y más comple$as 9l o ella es capaz de dominar. En el marco de esa teor)a, conceptos son definidos por tres con$untosI un con$unto de situaciones &ue dan sentido al concepto +son su referente/ un con$unto de representaciones simbólicas &ue constituyen su si$nifi"ante/ un con$unto de invariantes en los &ue se basa la operatividad del concepto +le dan si$nifi"ado. Son esos invariantes &ue %acen operatoria la acción del individuo frente a las situaciones*problema. Son elementos cognitivos &ue ergnaud denomina como "ono"imientos%en%a""i&n &ue, a su vez, están constituidos por "on"eptos%en%a""i&n y teoremas%en%a""i&n. 3n concepto*en*acción es una categor)a, una propiedad, un predicado &ue se considera relevante a la situación y teorema*en*acción es una regla, una proposición &ue se da como verdadera respecto a dic%a situación. Sin embargo, un concepto*en*acción no es un concepto ni un teorema*en*acción es un principio cient)fico. 7demás de presentar un status diferente +psicológicos vs. cient)ficos los conceptos y teoremas*en*acción son largamente impl)citos. Conceptos y teoremas cient)ficos son e!pl)citos y se puede discutir su pertinencia y su validez, pero no es el caso para los invariantes operatorios. 'or eso, es necesario investigar cómo son y cómo se generan los conceptos y teoremas*en*acción para poder llevar al alumno desde su conocimiento impl)cito %acia el conocimiento cient)fico e!pl)cito &ue la enseñanza pretende, proceso &ue se lleva a cabo a largo plazo. 'or otro lado, seg@n ergnaud +0H los invariantes operatorios permiten comprender la doble caracter)stica propia de la acciónI ser sistemática y a la vez contingente. Sistemática por&ue, en muc%as situaciones, la acción está su$eta a reglas un)vocas. Es el caso, entre otros, de los algoritmos en matemáticas +las cuatro operaciones de la aritm9tica, la solución de algunas categor)as de ecuaciones, etc., y para los procesos impuestos a los operadores en ciertos puestos de traba$o +por e$emplo el pilota$e de aviones, etc.. Contingente por&ue las reglas generan acciones y conductas diferentes seg@n las situaciones en &ue se presentan. Esta contingencia de la acción es a@n más notable para las situaciones nuevas, cuando el su$eto no dispone de es&uemas en su repertorio, y debe improvisar para enfrentarlo. a contingencia se convierte en oportunismo, y el su$eto busca una solución en todos sus recursos cognitivos, es decir en los es&uemas anteriormente formados, susceptibles de abrir un camino %acia la b@s&ueda la solución. En la adaptación a nuevas situaciones y a la resolución de problemas, los invariantes operatorios cumplen una función esencialI o ya e!isten en los recursos del su$eto, y están descompuestos y recompuestos, o a@n no e!isten, emergen en situación, y se van articulando con los invariantes anteriormente formados. as situaciones propuestas para reconstruir conocimientos de Mecánica Cuántica son nuevas para los estudiantes, representan un salto con relación a la percepción y a la intuición, debido a las caracter)sticas propias de los sistemas cuánticos. a identificación de los teoremas en acto &ue pudieron ser utilizados por los estudiantes para resolver las cuestiones y los problemas propuestos permite analizar la conceptualización, y comprender el funcionamiento de las situaciones en los estudiantes.



&etodo'og(a uego de decidir y analizar los conceptos y principios &ue ser)an enseñados, se implementó la secuencia diseñada en un curso de 5)sica de treinta + estudiantes de 1G*1H años de edad. os estudiantes formaron seis grupos, &ue permanecen fi$os durante toda la secuencia. En los encuentros áulicos se planteó la siguiente forma de traba$oI T El material de estudio impreso se entregaba a los estudiantes clase a clase, para regular apropiadamente la introducción de novedades y problemas. 7l finalizar cada clase los estudiantes entregaban sus producciones al profesor. T El material impreso consist)a en preguntas y problemas, para los cuales los estudiantes deb)an conversar con los integrantes de su grupo, consensuar y formular respuestas escritas a las cuestiones planteadas. T os momentos de s)ntesis y consenso se planteaban con todos los grupos en forma simultánea procurando la formulación por parte de los estudiantes. T as preguntas de los estudiantes se respond)an con preguntas, para devolver la responsabilidad al alumno. T Se acordaron fec%as para la entrega de sus producciones escritas, y de evaluación final. "urante el desarrollo de cada una de las situaciones propuestas, se registraron en audio las conversaciones de cada grupo en cada encuentro. Dambi9n se recogió todo el material completo &ue se les %ab)a ido entregando clase a clase, lo &ue constituyó su carpeta de estudio/ las evaluaciones, los cuestionarios realizados y las notas del profesor. os registros en audio fueron transcriptos, constituyendo los protocolos de análisis. En cada encuentro y para cada grupo se identificaron secuencialmente los turnos de %abla correspondientes a cada estudiante. 7 partir del análisis de los protocolos, de las conversaciones y de sus representaciones e!ternas +respuestas, gráficos, s)ntesis, etc., se identificaron algunos de los teoremas y conceptos en acto, e inferencias de los estudiantes al abordar las situaciones. os resultados se presentan en la siguiente sección.

An)'isis* identificaci%n de 'os in+ariantes operatorios En esta sección se describen y analizan los teoremas en acto &ue posiblemente utilizaron los estudiantes al abordar las dos primeras situaciones. as situaciones propuestas son KnuevasL para ellos y entonces tienen &ue refle!ionar, e!plorar, dudar, intentar, para poder formular e!plicaciones. En todos estos procesos, la utilización de los teoremas en acto es esencial para la conceptualización, ya &ue estos son parte de los es&uemas de los alumnos, &ue pueden entrar en competición, ser acomodados, separados y recombinados. a identificación de los invariantes operatorios se realiza situación a situación debido a &ue son las situaciones las &ue moldean los conocimientos de los estudiantes, y las &ue dotan de sentido los conceptos &ue se &uieren enseñar +5anaro y 8tero, 0H !ituaci%n ,* Imaginando 'a E.periencia de 'a /o$'e Rendi0a con $o'i''as1 Esta situación re&uer)a primero a anticipar los resultados de la E"# con bolillas y luego, introducir la idea de probabilidad. os estudiantes se enfocaron en el proceso aleatorio de



emisión de la fuente y la llegada individual de los proyectiles, por lo tanto inferimos &ue se llamó de forma reiterada al concepto en acto de azar. os teoremas en acto relacionados con el problema de predecir en &u9 lugar de la pared se detectar)an impactos se denominaronI KDeoremas de los impactos (Ti)LI Ti 1: “Si las bolillas son disparadas al azar, la distribución es uniforme” Ti 2: “!as rendi"as imponen la forma en la distribución”

7mbos teoremas fueron utilizados por todos los subgrupos del grupo de clase. 7@n los estudiantes &ue utilizaron el teorema en acto &ue establece &ue la distribución aleatoria de impactos se relaciona con la presencia de las rendi$as, + Ti 2 sol)an volver al teorema en acto de la uniformidad + Ti 1, como si el concepto en acto azar les impidiera reconocer la presencia de las rendi$as y pensar en t9rminos probabil)sticos. El %ec%o de &ue en la situación se usaran los t9rminos KaleatorioL y KazarL y &ue se e!presara el desconocimiento del lugar de impacto de KcadaL bolilla, %abr)an obstaculizado inicialmente la comprensión de la distribución. Solo despu9s de introducir la definición de distribución de probabilidad y la curva, el azar perdió su posición dominante y los estudiantes interpretaron adecuadamente los má!imos, y m)nimos de la curva de probabilidad. Esto %a sido corroborado en las replicaciones realizadas, donde al no %acer referencia al azar, ninguno de los estudiantes utilizó el Ti 1 El siguiente fragmento de conversaciones de los estudiantes interesa por&ue permite inferir el uso del teorema Ti 1I A' !i *na "osa+ la rendi,a o lo -*e sea+ se proye"ta en la pared de madera "on *na l.nea as. pero *na /olita p*ede ir as. y 0a a otro l*$ar por-*e di"e en distintas dire""iones(1) el disparador di,o -*e era para "*al-*ier lado(1)A" te di"e+ *na /olilla -*e se diri$e ha"ia *na de las rendi,as p*ede re/otar en el /orde y terminar en "*al-*ier l*$ar+ o sea+ re/ota y se 0a para "*al-*ier l*$ar A3  4e/ota en el /orde"ito de la rendi,a y sale para "*al-*ier l*$ar (1) A' 5sta es la pared re/ota en *n /orde"ito a" y la ha"e des0iar+ pasa y la ha"e des0iar1

El protocolo siguiente corresponde a otro grupo de estudiantes muestra cómo se usan Di 1 y Di0 alternadamente, sin lograr consenso entre los estudiantes. 'arecer)a &ue el concepto en acto azar KllamaL a Di 1 en varias ocasiones, y %ace &ue se ignore el efecto de las rendi$as sobre la probabilidad de impactoI 711I Al a6ar+ al a6ar777 !i tira al a6ar+ lle$an al a6ar77 71U 8al 6ar9 711 y1 "on la misma dire""i&n de las rendi,as+ "on la dire""i&n -*e tira el "oso 71 Para m. 0an a lle$ar a la misma dire""i&n -*e en la "*al lle$an+ si salen1: 711 ;a a lle$ar en la misma dire""i&n de la "*al salen+ la misma dire""i&n777 Claro7
8tro de los grupos &ue tambi9n inicialmente utilizó Ti 1 , luego continuó sus razonamientos en base a Ti 2I A2  >*eno+ ehm::si pasan en todas las dire""iones de".a+ no9 A2' !.1Pero en todas no 0an a pasar por-*e estn las1las "osas1las rendi,as1 

Se identifica a cada estudiante con un sub)ndice num9rico Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências Vol. 9 N o 3, 29


7mbos teoremas en acto se utilizar)an alternativamente dependiendo de la inicialización del es&uema &ue se use para enfrentar a la situaciónI si prevalece el concepto de azar, se llama a Di 1, y si se privilegian las rendi$as, se llama a Di 0. os estudiantes del mismo grupo, un poco más adelante en la conversaciónI A? @o7 0an a "aer todas en el mismo l*$ar+ o sea1si te est di"iendo -*e se disparan al a6ar1 A? Par+ par777no 0es9 hay dos rendi,as77+ dos rendi,as1Bna y otra7 "omo son dos+ 0a a ha/er pelotitas1 ;a a ha/er ms a"7 por eso 0a a ha/er ms a" y a" -*e a"1 ponele+ -*e estn en las rendi,as777

Era esencial &ue los estudiantes abandonasen Di 1, por&ue es clave para entender &ue las rendi$as evitan una distribución uniforme de los impactos en la pared, &ue se producir)a solo si estas no estuvieran. 7demás, es clave para comprender &ue la distribución de probabilidad para las bolillas resulta radicalmente distinta cuando se utilizan electrones y están las rendi$as. 7 continuación de esta primer instancia de predicción para las bolillas, se definió el cocienteI @ de /olillas -*e impa"tan a *na distan"ia DxE del "entro de la pared #@ /olillas disparadas en total , para interpretar la ley de probabilidad &ue rige este fenómeno. Cuando los estudiantes trazaron la curva de '+ x, en general, no fueron consecuentes con sus predicciones iniciales sino con las definiciones de probabilidad ofrecidas. Vstas modificaron la forma en &ue se estaban interpretando los resultados, es decir reformularon la forma en &ue los estudiantes entend)an la e!periencia. 7s) en el trazado de curvas intervendr)an los siguientes dos teoremas en acto +Deoremas de la forma de la curva + TcI T"? Propor"ionalidad entre n de rendi,as y mximos+

y

T"2 !*perposi"i&n de efe"tos indi0id*ales en el "entro

7 continuación se presentan evidencias de la utilización del teorema en acto Tc1: #roporcionalidad entre n$ de rendi"as % m&ximos, &ue fue utilizado casi en todos los grupos. Este teorema llevar)a a inferir &ue “como 'a% dos rendi"as, las bolillas copian la forma en la pared de madera % forman dos fran"as de concentración, dos m&ximos en la cura de #(x)”

A' Por-*e nos dimos "*enta a" -*e en esta 6ona es menos pro/a/le -*e haya /olillas A3   sea+ m*"ho menos pro/a/le -*e en el medio A' 1a" se 0a a"er"ando a la 6ona ms pro/a/le A  (::) la "*r0a es "omo la -*e hi"imos antes por-*e 0a menos+ menos+ mas+ mas+ es $rad*al pero "omo son dos rendi,as 0a a ser nada+ nada+ *n po"o+ al$o y en el /orde "omo hay pared *na "osa rara (1) A3  Ge esta forma la "*r0a 0a m*y /a,a por-*e la pro/a/ilidad es m.nima: A  5n la "*r0a se manifiesta -*e en la pared ha/r ms pro/a/ilidad de impa"to en las l.neas de las rendi,as mientras -*e en el "ent.metro -*e dista entre l.nea y l.nea 1 pared la pro/a/ilidad de impa"to es n*la

os gráficos realizados por estos estudiantes se presentan en la 5igura 0 y son co%erentes con la conversaciónI



5igura 0I "ibu$o de la distribución de las bolillas en la pared y curva '+ x) utilizando el T"?

8tro grupo de estudiantes en cambio, parecen utilizar el teorema en acto Tc2: Superposición de efectos indiiduales en el centro concluyendo &ue K aunue 'a% dos rendi"as, en el centro 'a% un m&ximo” 2mpl)citamente estar)an aceptando &ue el centro es el lugar &ue tiene el efecto de ambas rendi$as. En la conversación, ellos %ab)an acordado &ue la forma de la concentración ser)a en dos KbandasL relacionadas con la presencia de las rendi$as. Sin embargo, cuando dibu$aron los impactos, los concentraron en una sola región. En la curva de probabilidad, dibu$aron un @nico má!imo central indicando &ue la probabilidad es má!ima en el lugar correspondiente al medio de las rendi$as. A? :::-*e1el mximo::-*e tenHs+ -*e s*p*estamente es el "entro 1 A?3  ::indi"a mxima pro/a/ilidad A? 5l mximo1"oma:: -*e se en"*entra en el "entro indi"ado por la "*r0a11 *na mayor "on"entra"i&n de /olillas en el "entro de la pared: A?I m*estra -*e ha/r *na mayor "on"entra"i&n1 de /olillas en el "entro de la pared7 A? s.+ a medida -*e nos ale,emos del "entro de las rendi,as A? Mientras -*e1la pro/a/ilidad dismin*ir1 a medida -*e nos ale,emos del "entro de las rendi,as

os estudiantes de este grupo realizaron los siguientes gráficos, acorde a lo &ue previamente %ab)an conversadoI

5igura I "ibu$o de la distribución de las bolillas en la pared y curva '+ x) utilizando el T"2

7cerca de la Situación 1 se concluye &ueI * Cuando los estudiantes tuvieron &ue anticipar los resultados de la E"# utilizaron inicialmente el teorema en acto en acto de la distribución uniforme Di 1. 'osiblemente Di 1 resulta KgatilladoL por la referencia e!pl)cita al azar, &ue se menciona dos veces en Situación 1. uego, cuando logran reconocer la presencia de las rendi$as y su influencia en



la distribución de impactos, utilizan Di0 (“!as rendi"as imponen la forma en la distribución”)

* "espu9s de introducir la definición de probabilidad, cuando los estudiantes tienen &ue representar gráficamente la curva de distribución de probabilidad, la evidencia de la &ue disponemos indica &ue solo utilizar)an Di 0. Es decir, parecer)a &ue los estudiantes atribuyen la forma de la curva de probabilidad a la presencia de las rendi$as, bien colocando uno, o dos má!imos, esto es utilizando Dc 1 ó Dc0. Es importante destacar &ue los estudiantes llegan a esta conclusión a partir del análisis cualitativo de la e!periencia, antes de realizar la simulación. 'or otro lado, los protocolos muestran &ue los teoremas en acto Di 1, Di0, Dc1, Dc0, son inestables y &ue la necesidad de dar una respuesta escrita com@n, genera un consenso &ue tambi9n es inestable. Sin embargo, desde un punto de vista didáctico las conclusiones de los estudiantes satisfacen las anticipaciones realizadas en el diseño de la secuencia. !ituaci%n 2* !imu'aci%n 'a E/R con software1 Esta situación propon)a a los estudiantes como tarea inicial, simular la E!periencia de la "oble #endi$a con el softAare K"oppelspaltL seleccionando bolillas como proyectiles, y contrastar las predicciones &ue %ab)an formulado en la Situación 1. as pantallas del softAare muestran los impactos de las bolillas en la pared, la distribución de frecuencias seg@n la dirección x, la curva '+ x, respectivamente como se presenta en la 5igura WI

+a +b +c 5igura WI a El softAare muestra los impactos de las bolillas en la pared colectora b Xistograma generado por la distribución de las frecuencias seg@n x c Curva teórica de '+!

7 medida &ue los estudiantes disminuyen el parámetro Kseparación de las rendi$asL el softAare muestra un má!imo central, como se muestra en la 5igura UI

5igura UI Curva '+! obtenida con el softAare, configurando la distancia entre las rendi$as del mismo valor &ue su anc%o



El programa no permite &ue la separación de las rendi$as sea menor &ue su anc%o, para evitar la simulación con una sola rendi$a. 7l reducir la distancia de separación a determinado valor, el programa disminuye simultáneamente el anc%o de las rendi$as. Se busca generar a los estudiantes el problema de e!plicar Ypor&u9 es má!imo el valor en el centro de las rendi$as, cuando por all) no pasan las bolillasZ iniciando la idea de suma o superposición de curvas. 7ntes de realizar la simulación de la e!periencia con electrones, los estudiantes ten)an &ue anticipar si los electrones se distribuirán igual &ue las bolillas. Como ellos sólo disponen del concepto de electrón como Kpe&ueñas bolillasL, su respuesta ser)a afirmativa, y deliberadamente se busca &ue e!pliciten esta idea. Si simulan esta e!periencia seleccionando electrones de 1 J50+ rendi$as cuyo anc%o es 1 mm y separadas a una distancia de 1 mm, la salida del software muestra una gráfica con efectos de difracción y de interferencia, como los de la 5igura [I

5igura [I Curva '+! obtenida con el softAare, seleccionando como fuente a electrones

Como se puede observar en la figura anterior, el software cambia las unidades de x +&ue en bolillas estaba en cent)metros, a nanómetros, aun&ue no es posible &ue muestre en la interfaz gráfica el cambio en las dimensiones de las rendi$as, para &ue 9stas sigan siendo visibles al usuario. El ob$etivo de esta simulación es &ue los estudiantes perciban la diferencia entre el gráfico para electrones y para bolillas, interpretando los má!imos y m)nimos como a&uellos lugares donde %abrá má!ima concentración o no %abrá ninguna, respectivamente. 'ara propósitos de esta propuesta ser)a deseable &ue el software obviara los efectos de la difracción, pues as) resulta más notable el contraste entre ambos gráficos, pues de esta forma el valor má!imo sigue siendo en el centro. El software tambi9n permite colocar en la simulación una fuente luminosa, variando el color +frecuencia y la intensidad lum)nica. Si bien es posible analizar el efecto de la luz e introducir el principio de incerteza, esta situación no utiliza la fuente de luz para no apartarse de la cuestión centralI Ycómo se puede describir el comportamiento de los electronesZ y de all), introducir la noción de sistema cuántico. uego, la secuencia contin@a con la presentación y utilización de la t9cnica de Caminos M@ltiples para calcular la probabilidad de &ue un electrón libre se encuentre en un estado inicial de posición y tiempo a otro final. +5anaro, 8tero y 7rlego, 0H. Cuando se solicitó a los estudiantes abrir de a una de las rendi$as y notar la superposición de curvas, lo cual fue aceptado por el grupo de clase sin dificultades. En el momento en



&ue los estudiantes ten)an &ue anticipar si en esta e!periencia al cambiar las bolillas por electrones, %abr)a cambios en la distribución, y luego simular la e!periencia. Como se supon)a &ue ellos sólo dispon)an del concepto de electrón como Kpe&ueñas bolillasL se esperaba &ue su respuesta fuera afirmativa, y &ue se produ$era una perturbación cuando ellos vieran la distribución en Kbandas de concentración de impactosL proporcionada por el softAare. Este conflicto ser)a el punto de partida para la introducción de electrones como sistemas cuánticos. En el momento de anticipar, casi todos los estudiantes respondieron &ue los electrones se comportar)an como las bolillas. Sin embargo, cuando observaron los resultados e intentaron e!plicarlos, utilizaron dos teoremas en acto. +Deoremas de electrones +Te))I Te? D
7mbos teoremas en acto están relacionados con el concepto en acto de electrón y el teorema en acto &ue lo considera una part)cula e!tremadamente diminuta. El primer teorema en acto, les permitió inferir &ue el electrón puede KatravesarL la pared blindada, y el segundo, &ue la pe&ueñez del electrón comparada con las rendi$as, %ace &ue 9stos no se vean afectados por ellas. El teorema Te1 fue utilizado por uno de los grupos, &ue e!pl)citamente aceptan &ue los electrones p*eden atra0esar las paredes /lindadas, y entonces, interpretan &ue la pantalla colectora muestra una distribución uniforme de electrones. 'or una razón enteramente diferente a la esgrimida para las bolillas, los estudiantes insisten en la distribución uniforme de los impactos, tambi9n para los electrones. Ellos argumentaron &ue la distribución uniforme se debe a la propiedad de los electrones de atravesar paredes blindadas, como se aprecia a continuaciónI A?L%
os estudiantes se sorprendieron por&ue las fran$as donde se concentran los impactos eran más de dos, y estaban distribuidas en todo el anc%o de toda la pared. Como no disponen de conceptos ondulatorios subsumidotes para asociar la distribución con un patrón de



interferencia, interpretan el resultado en base a la Kincre)bleL cualidad de &ue los electrones atraviesan barreras. Esto oculta el conflicto &ue se esperaba producir al considerar &ue si los electrones son como bolillas y las bolillas copian la forma de las rendi$as, entonces no deber)an verse a%ora fran$as &ue en modo alguno se corresponden con las ranuras. El teorema en acto Te2I “!os electrones son bolillas mu% peue*as” fue utilizado por uno de los grupos, &uienes desde la primera situación %ab)a considerado el tamaño de las rendi$as como un factor importante en el análisis. Cuando predicen para los electrones, interpretaron &ue el reemplazo de bolillas por electrones se realizó de$ando el resto de los parámetros iguales +anc%o y separación de las rendi$as sin reparar en &ue se indicaba cambiar los parámetros para adecuar las dimensiones de la e!periencia. 'or lo tanto, predi$eron &ue si sólo se var)a el tamaño de los proyectiles %asta llegar a electrones manteniendo las dimensiones de las rendi$as, el comportamiento ser)a como el de las bolillasI A2'% @o+ por-*e1Claro1y -*e1hay mayor pro/a/ilidad en el "entro7 Por-*e::al ser ms pe-*eKo+ es mayor el n$*lo de donde::p*eden re/otar7 ;a a ir por e,emplo1 A2 % a sH+ pero por -*H entran todos9 Claro+ todo es m*"ho ms $randote ahora1Pon$amos eso ahora1 A2'% N*e depende del tamaKo1 A2 % @o+ por-*e al ser de menor tamaKo::eh1:0ar.a el n$*lo "on -*e pasa1:0ar.a la "*r0a+ de pro/a/ilidad1 A2'%  a*menta las 6onas de pro/a/ilidad por-*e ahora es m*"ho ms 1: A2'% Para m. es lo mismo -*e1"omo si se::se a$randaran las dos rendi,as::por-*e al a$randar las rendi,as+ es "omo -*e las /olas sean ms "hi-*itas+ enton"es se a$randan1 5nton"es le ponemos f*n"iona "omo si+ se a$randaran las rendi,as A2 % 5nton"es le ponemos f*n"iona "omo si+ se a$randaran las rendi,as A2 % F*n"iona "omo si se a$randaran las rendi,as en el "aso de las /olillas A2O%
"e la Situación 0 se concluye &ueI •

•

•

'ara el caso de las bolillas, la suma de curvas fue aceptada en los grupos J más o menos e!pl)citamente J y esto resultó un buen punto de partida para encontrar diferencias con el caso de los electrones mostrado por el software. os estudiantes utilizaron De1 ó De0 o ambos, para e!plicar la distribución y la curva P + x para electrones &ue mostraba el software. 'ero como la salida muestra la curva de interferencia modulada por la difracción J un má!imo absoluto en el cero y varios má!imos %acia los costados J los estudiantes dirigieron su atención al má!imo central, sin sorprenderse por los m)nimos de la curva, &ue no aparec)an en el caso de las bolillas. Entonces, en lugar de reconocer las diferencias fundamentales entre las curvas para los electrones y las bolillas, las encontraron parecidas, pues ambas curvas de P + x tienen el má!imo en el centro. 8tro punto conflictivo ligado a De1 es &ue cuando los estudiantes advierten las fran$as de impactos en toda la pared, sólo consiguen e!plicarlas si los Kelectrones*bolitasL atraviesan la pantalla en cual&uier parte. Evidentemente, no reparan en &ue %ay zonas Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências Vol. 9 N o 3, 29


con ning@n impacto, ni relacionan este patrón con sus conceptos ondulatorios, &ue evidentemente no están a&u) disponibles. •

El obstáculo anterior complicó en parte la continuidad de la secuencia, pero fue sorteado por la intervención de la profesora, &uien señaló a los estudiantes la presencia de los m)nimos de la curva P + x &ue les %ab)an resultado inadvertidos. Se insistió en &ue las rendi$as afectan a la distribución de los electrones de forma &ue ya no se copia la forma de las rendi$as en la pantalla como lo %ac)an las bolillas, sino de otra forma, &ue resulta inesperada. 7 partir de esto se necesita y se buscará una e!plicación de tal comportamiento, esto resulta esencial para abordar la siguiente Situación de la secuencia, diseñada para dar sentido a la utilización de la t9cnica de KSumar Dodas las 7lternativasL para el cálculo de probabilidad

En otros protocolos de situaciones posteriores, e!presiones de los estudiantes como K ahora nos ests "am/iando n*estro pensamiento de1de toda la 0ida7:::los ele"trones no son /olillas71L estar)an indicando &ue ellos al menos dudaron de la idea de los electrones

como Kpe&ueñas bolillasL +5anaro y 8tero, 0H. Es decir, si bien las primeras dos situaciones lograron contrastar las ideas &ue los estudiantes ten)an acerca de los electrones, las caracter)sticas esenciales de los sistemas cuánticos se abordan plenamente al analizar el cálculo de probabilidad y modelizar la curva '+ x mediante de la aplicación de los resultados para el electrón libre +5anaro, 8tero, 0-. 'or lo tanto, desde el punto de vista didáctico es posible afirmar &ue las dos primeras situaciones funcionaron de la manera prevista.

Ref'e.iones fina'es Conocer los teoremas*en*acto utilizados en estas situaciones, %a permitido me$orarlas para replicaciones ya efectuadas. Se insiste además en &ue como profesores no es posible ignorar el carácter oportunista de la conceptualización señalado por ergnaud y se destaca &ue como investigadores es necesario complementar las miradas didáctica y cognitiva. Complementariedad, para la cual la Deor)a de los Campos Conceptuales resulta particularmente adecuada. Este análisis, realizado desde la Deor)a de los Campos Conceptuales de ergnaud, permitió ver funcionar el carácter oportunista de la conceptualización combinado con la presencia de invariantes operatorios +teoremas*en*acto y conceptos*en*acto construidos en la %istoria cognitiva del alumno, tal es el caso del teorema*en*acto relativo a los electrones &ue los identifica con pe&ueñ)simas bolillas, capaces de Katravesar paredesL. Este teorema* en*acto, construido a lo largo de años de escolaridad, tiene además un correlato mental imag)stico y otro pictórico, &ue está bien documentado en m@ltiples te!tos de f)sica y de &u)mica. Este traba$o muestra %asta &u9 punto, está obstaculizando la conceptualización del electrón como un sistema cuántico. 7 la vez &ue conduce a advertir acerca de la importancia de evitar esta aut9ntica creación didáctica, de electrones como bolitas con cualidades e!traordinarias como la de Katravesar paredesL. 5inalmente, se destaca por un lado, la necesidad de testear los productos de investigación en aulas reales, modificarlos, y nuevamente implementarlos, y por otro lado la relevancia de la intervención oportuna del profesor imbuido en la tarea &ue está desarrollando.



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2maginemos una e!periencia como la &ue muestra es&uemáticamente la siguiente figura. 'ared blindada con dos rendi$as 'ared de madera 5uente

de

bolillas

5igura 1I Es&uema de la disposición e!perimental de la doble rendi$a con bolillas

7 la derec%a, está representada una fuente disparadora de un c%orro de bolillas, &ue salen disparadas al azar dentro de un ángulo bastante grande por&ue, supongamos, la fuente disparadora no está bien su$eta, y se mueve al azar, en todas las direcciones. 'or cuestiones de simplicidad vamos a %acer dos consideraciones muy importantesI 1* as bolillas &ue salen de la fuente son indestructibles, y entonces llegan en unidades enteras a la pared de madera. 0* Salen disparadas de a una, a iguales intervalos de tiempo, y con la misma rapidez. 7 1U cm de la fuente, se encuentra una pared blindada con dos ranuras de tamaño tal &ue las bolillas pasan sin &ue &uede trabada ninguna en la rendi$a. Supongamos &ue las rendi$as tienen un anc%o de 1 mm, y ambas rendi$as se encuentran separadas a 1 mm tambi9n una de la otra. 7 la iz&uierda de la 5igura 1 +ver la escala de la regleta gris, se representa una pared de madera en la cual &uedan incrustadas las bolillas &ue impacten en ella. Esta pared de madera tiene en su base una escala perpendicular a la regleta gris, en la cual el  representa el centro de la pantalla, en esa dirección. Se pone en funcionamiento la fuente disparadora durante medio minuto apro!imadamente. uestra cuestión central esI C%o se distribuir&n en la pared de %adera las bolillas 9ue i%pactaron en ella>

Conversa con tus compañeros acerca de las siguientes cuestiones. Escribe las respuestas a continuación de cada pregunta, en el espacio &ue te de$amos para eso.



1* a YCómo se distribuirán las bolillas &ue logren pasar por las rendi$as y lleguen a la pared de maderaZ YXabrá más en alg@n lugarZ Y'or &u9Z b #ealiza un bos&ue$o de lo &ue consideres &ue tendrá la pared de madera, al cabo de ese tiempo en la siguiente figuraI

5igura 0I "istribución de las bolillas en la pared de madera

Supongamos &ue en ese tiempo fi$o, contamos cuántas bolillas en total impactaron en la pared de madera, y llamamos a este n@mero @ . Consideremos la fracción f = @ de /olillas -*e impa"tan a *na distan"ia DxE del "entro de la pared @

o podemos decir e!actamente en &ue lugar de la pared incidirá una bolilla determinadaI una bolilla &ue se dirige %acia una de las rendi$as puede rebotar en el borde, y terminar en cual&uier lugar. "e esta forma, al realizar la e!periencia tomando distintos n@meros de bolillas disparadas, iremos obteniendo gráficos de frecuencias relativas, seg@n x +estos gráficos se llaman %istogramas Si disparamos muc%)simas bolillas, +es decir %acemos a  infinitamente grande, en el l)mite esta fracción representa la KprobabilidadL &ue una bolilla caiga a cierta distancia del centro de la pantalla. En este caso, la gráfica tiende a una curva, &ue llamaremos Kcurva de probabilidadL. 2- 7%ora pensemos en una curva de probabilidad de llegada a la pared seg@n la distancia al centro de las rendi$as x . Si a cierta distancia x del centro  +sin &ue nos importe la dirección

vertical en la &ue se encuentre se encuentran incrustadas muc%as bolillas, la probabilidad en esa x all) será alta. 'or el contrario, si %ay pocas bolillas, diremos &ue en esa x la probabilidad es ba$a. a Y'odr)as dibu$ar a&u) de forma apro!imada la curva &ue se obtendr)aZ


!


5igura I Curva de la probabilidad en función de ! +teórica

b "escribe a&u) la forma de la curva &ue dibu$aste en la 5igura  ?- 7%ora imaginemos &ue en la e!periencia anterior tapamos una de las rendi$as y

realizamos la e!periencia. uego, tapamos esa rendi$a y abrimos la otra. Y'odr)as dibu$ar en la parte iz&uierda de las figuras siguientes, cómo se distribuirán las bolillas en la pared de madera y en la parte derec%a, cómo será la curva de probabilidadZ

5igura WI 4lo&ueando # 1. 2z&uierdaI "istribución de las bolillas &ue llegaron a la pantalla. "erec%aI Curva de probabilidad seg@n ! cuando se blo&uea # 1

5igura UI 4lo&ueando # 0. 2z&uierdaI "istribución de las bolillas &ue llegaron a la pantalla "erec%aI Curva de probabilidad seg@n x

@- Y'odr)as e!plicar el resultado de la e!periencia con ambas rendi$as abiertas, con relación

a lo obtenido en cada una de las situaciones en donde se tapa una de las rendi$asZ Escribe tu respuesta a&u). #ituacin 2: #i%ulando la *87 con so"t/are

Como es muy complicado realizar la e!periencia &ue antes imaginamos en nuestro laboratorio, te proponemos &ue la simulemos con un softAare denominado K"oppelspaltversuc%L. uestra pregunta central esI C%o se puede e

1* Simula la e!periencia seleccionando bolillas, y ambas rendi$as a la vez, con un anc%o de 1mm y una separación de 0mm +Esto significa &ue las rendi$as tienen un anc%o de 1mm y están separadas a 1mm una de la otra.Enciende la fuente. a YCómo fueron tus predicciones con respecto a los resultados mostrados en la simulación en relación a la distribución de bolillas en la paredZ "escribe si coincidieron o no con lo mostrado en el softAare. b 8bt9n la curva de probabilidad, y dibu$ala a&u).



0* 7%ora mant9n fi$o el anc%o de las rendi$as en a  1mm, pero comienza a disminuir gradualmente la distancia de separación. a. "escribe lo &ue muestra la simulación en cuanto a los impactos en la pantalla b. "escribe la forma de la curva de probabilidad en este caso c. YCómo interpretas la forma de la curvaZ d. Y'odr)as e!plicar a &ue se debe la forma de la curva en el centro +!  Z * Cierra de a una las rendi$as de$ando los demás parámetros constantes y corre la simulación. a "ibu$a a&u) cada una de las curvas de probabilidad cuando se cierra cada rendi$a por separado b YCómo podr)an relacionarse la curva de probabilidad cuando están ambas rendi$as abiertas con cada una de las curvas por separadoZ W* Yos electrones son pe&ueñ)simas bolillas de carga el9ctricaZ YSe comportarán de la misma forma &ue ellosZ uestra pregunta clave esI Bu se obtiene en la *87 si se reali'a con electrones> U* Simula la e!periencia de la doble rendi$a con electrones de 1 Ne, con un anc%o de rendi$as de 1nm, y una distancia entre los puntos medios de las rendi$as de nm. a "escribe cómo resultó la distribución de los electrones en la pantalla colectora b #eproduce a&u) de manera apro!imada como resulta la gráfica de la curva de probabilidad, y describe su forma. c YCómo interpretas esta gráficaZ [* 7bre una de las rendi$as por vez, y enciende la fuente disparadora de electrones, de$ando todos los anteriores parámetros iguales. +anc%o 1nm, distancia nm, energ)a 1Nev a "escribe cómo se distribuyen los electrones en la pantalla en cada caso b YCómo son las curvas de probabilidad en cada casoZ "ibu$a las dos. c YDienen estas curvas alguna relación respecto a las curvas obtenidas con las bolillasZ d Con los electrones, Yse cumple &ue la curva de probabilidad cuando ambas rendi$as están abiertas es la su%a de cada una de las curvas de probabilidad por separadoZ 7ecebido e% 3ulho de 2DDE, aceito e% $gosto de 2DDF


Concenpto en Acto y Teorema en Acto Dos

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