¿CON QUÉ SABERES CUENTO? RESOLUCIÓN PASO POR PASO. I.-PUNTOGRAMA MATEMÁTICO. 1.- LA SIGUIENTE TABLA TE SERVIRÁ PARA TRAZAR UNA FIGURA GEOMÉTRICA. LA INFORMACIÓN DEL DE LA COLUMNA DEL EJE x TE SERVIRÁ PARA DETERMINAR LA COORDENADA DE DICHO EJE, LA COLUMNA DEL EJE y TE DARÁ LA COORDENADA y. ANOTA AMBOS RESULTADOS EN DONDE SE TE PIDE DENTRO DE LA COLUMNA “COORDENADAS”. FINALMENTE, LOCALIZA DICHAS COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO Y AL FINAL UNE CON LÍNEAS LOS PUNTOS EN EL SIGUIENTE ORDEN: A, B, C, D, E, ¿QUÉ FIGURA OBTIENES? EJE x EJE y COORDENADAS (x,y) SI CON DOS DOLARES COMPRAS 10/13 DE A (-6,5) LIBRAS DE PIÑON. ( )[ ] ¿CUÁNTO PIÑON COMPRAS CON 13 1. TODO NUMERO ELEVADO A LA 0 DOLARES? (POTENCIA ES IGUAL A “1”). 1. LA FORMA MÁS PRÁCTICA ES 2. TODA MULTIPLICACIÓN POR “0” ES UTILIZAR LA REGLA DE 3. IGUAL A “0”. POR LO TANTO: POR LO TANTO: (
)[ ( )[
] RECUERDAN QUE LA REGLA DE 3 ES MULTIPLICAR 13 POR 10/13, Y EL RESULTADO DIVIDIRLO ENTRE 2,
]
¿CUÁL ES EL 30% DE 10 EUROS? SI LOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES, ¿CUÁL B (3,-4) 1. REDCUERDEN QUE COMO VIMOS EN ES EL VALOR DE “x” (CONSIDERA EL SIGNO LA MATERIA VARIACIÓN EN LOS CONTRARIO EN TUS RESSULTADOS). PROCESOS SOCIALES, 30% INDICA UN 1. ESTE PROBLEMA SE RESUELVE POR ÍNDICE EN PORCENTAJE EL CUAL SE MEDIO DE UN TEOREMA QUE SE OBTIENE DE MULTIPLICAR UN LLAMA PROPORCIONALIDAD DE TALES NÚMERO EN DECIMALES Y O SEMAJANZA. EL CUAL DICE QUE LOS MULTIPLICARLO POR 100, PARA SEGMENTOS DE DOS TRIANGULOS REGRESAR AL ÍNDICE SE DIVIDE EL SEMEJANTES SON PROPORCIONALES PORCENTAJE ENTRE 100 Y SE ENTRE SI, SÍ CONSERVAN LOS MISMOS MULTIPLICA ÉSTE INDICE POR 10, ASÍ ANGULOS INTERIORES. E SABEMOS CUANTO REFLEJA UN 30% B DE 10. POR LO TANTO: F D EL SEGMENTO ̅̅̅̅ ES PROPORCIONAL AL SEGMENTO ̅̅̅̅ , ASÍ COMO EL SEGMENTO ̅̅̅̅ CON ̅̅̅̅ Y EL SEGMENTO ̅̅̅̅ CON EL ̅̅̅̅ . A
C
POR LO TANTO ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
ASÍ QUE SI TENÉMOS:
7
X
MEDIANTE UNA REGLA DE 3.
COMO DICE EL PROBLEMA QUE CONSIDERES SIGNO CONTRARIO (-).
10 JÓVENES COMEN CIERTO NÚMERO DE PIZZAS EN 27 MINUTOS. SI AHORA SE REÚNEN 30 JÓVENES CON LA MISMA NECESIDAD DE SACIAR SU APETITO, ¿EN CUÁNTO TIEMPO SE DEVORAN EL MISMO NÚMERO DE PIZZAS? 1. ORDENAMOS LA ECUACIÓN SUPONIENDO ENTONCES QUE x = 27 (CUANDO x=10 JÓVENES). POR LO TANTO CUANDO HABLAMOS DE 30 JÓVENES SERÍA ENTONCES 3x (3 POR 10 Y 30 JÓVENES). LA ECUACIÓN QUEDARÍA:
EN APOYA AL “NO A LA VIOLENCIA C (9,2) INTRAFAMILIAR” SE REPARTIERON EQUITATIVAMENTE METROS DE LISTÓN A 30 PERSONAS, ¿CUÁNTOS METROS DE LISTÓN LE TOCÓ A CADA PERSONA? (MULTIPLICA POR 10 EL RESULTADO) 1. ORDENAMOS UNA ECUACIÓN: POR LO TANTO:
RESOLVEMOS LA FRACCIÓN MIXTA: DESPEJAMOS PARA x, Y EL TIEMPO SERÍA:
DESPEJAMOS PARA x.
EL PROBLEMA PIDE QUE MULTIPLIQUES POR 10 EL RESULTADO, POR LO TANTO:
[
]
(
)
DIECISÉIS VECES LA PROBABILIDAD OBTENER UN “ÁGUILA” EN UN VOLADO. 1.
1.
HACEMOS OPERACIONES DE FRACCIONES DE SUMA, RESTA, DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN.
POR LO TANTO:
(
DE D (3,8)
LA PROBABILIDAD ES UN NÚMERO ENTRE 0 Y 1, QUE INDICA LAS POSIBILIDADES QUE TIENE DE VERIFICARSE QUE UN SUCESO SE REPITA. POR EJEMPLO AL LANZAR UNA MONEDA EL CUAL SÓLO TIENE DOS OPCIONES DE RESULTADO VARIABLE (ÁGUILA O SELLO) LA PROBABILIDAD PARA UNO U PARA OPTRO ES ½:
) POR LO TANTO:
ARTURO TIENE 3/2 LA EDAD DE SU HIJO, QUE ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN E (-6,-1) TIENE 32 AÑOS. (DIVIDE EL RESULTADO SEIS AL TIRAR UN DADO? (RESTA 7/6 AL ENTRE -8) RESULTADO). 1.
ORDENAMOS UNA RELACIÓN EN FUNCIÓN DE LA EDAD DEL NIÑO:
1.
OBTENEMOS LA PROBABILIDAD.
POR LO TANTO: ( ) CUANDO X=32, ENTONCES: EL PROBLEMA PIDE QUE RESTES 7/6 AL RESULTADO. ENTONCES: EL PROBLEMA PIDE QUE DIVIDAS EL RESULTADO ENTRE -8. ENTONCES:
YA TENEMOS LAS COORDENADAS:
COORDENADAS PUNTOS EJE x A -6 B 3 C 9 D 3 E -6
LA GRÁFICA DE ÉSTOS DATOS QUEDA COMO SIGUE:
EJE y 5 -4 2 8 -1
P
SE OBTIENE UNA FIGURA APARENTEMENTE DE UN PESCADITO. 2.
DE LA FIGURA OBTENIDA EN EL PUNTOGRAMA ANTERIOR, EL SEGMENTO ̅̅̅̅ SE INTERSECTA EN UN PUNTO “P” CON EL SEGMENTO ̅̅̅̅. CON ESTA INFORMACIÓN REALIZA LO QUE SE TE PIDE.
a
CUANTO MIDE EL SEGMENTO ̅̅̅̅. (SUGERENCIA: USA EL TEOREMA DE PITÁGORAS) EL TEOREMA DE PITÁGORAS, QUE SE APLICA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DICE LO SIGUIENTE: EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA (c) ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS (a) Y (b). c POR LO TANTO: √
b
LA COORDENADA APARENTE DEL PUNTO “P” ES (-3,2) Y LA DEL PUNTO “E” ES (-6,-1). ( ) ( ) ( (
)
( )
(
) )
POR LO TANTO c = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
√
√
√
CALCULA EL ÁREA DEL CUADRADO PBCD. (SUGERENCIA: USA EL TEOREMA DE PITAGORAS Y LA FÓRMULA DEL ÁREA = LADO*LADO). LA COORDENADA APARENTE DEL PUNTO “P” ES (-3,2) Y LA DEL PUNTO “B” ES (3,-4) (
) ( )
( ) (
( )
)
(
)
POR LO TANTO c = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
√
√
√
RECORDANDO LA PROPIEDAD DE LA RAÍZ Y DE LOS EXPONENTES QUE UNA RAÍZ TAMBIÉN PUEDE SER EXPRESADA COMO UNA POTENCIA EN FRACCIÓN. POR LO TANTO: ̅̅̅̅ APLICANDO LA FÓRMULA DEL ÁREA DE UN CUADRADO L*L. RECORDEMOS ENTONCES DE IGUAL FORMA QUE CUANDO TENEMOS UNA MISMA BASE EXPONENCIAL EN UNA MULTIPLICACIÓN LOS EXPONENTES SE SUMAN. ⁄
( ⁄ ) ( ⁄ )
⁄
TODO NÚMERO ELEVADO A LA PRIMERA POTENCIAL ES EL MISMO. POR CONSIGUIENTE:
MUESTRA QUE EL TRIÁNGULO AEP ES SEMEJANTE AL TRIÁNGULO PBD. (SUGERENCIA: UTILIZA LAS PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CONGRUENTES).
COMO VIMOS EN UN EJERCICIO ANTERIOR DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES, UTILIZAMOS EL TEOREMA DE TALES: EL SEGMENTO ̅̅̅̅ ES PROPORCIONAL AL SEGMENTO ̅̅̅̅; DE IGUAL FORMA EL SEGMENTO ̅̅̅̅ ES PROPORCIONAL AL SEGMENTO ̅̅̅̅, ESTO ES ASÍ YA QUE LOS SEGMENTOS SON LINEALES Y ESTÁN UNIDOS POR UN MISMO VÉRTICE (EL PUNTO “P”), CONSERVANDO DE ÉSTA FORMA EL PARALELISMO ENTRE LOS SEGMENTOS ̅̅̅̅ Y ̅̅̅̅. PUDIENDO ENTONCES DEMOSTRAR DICHA SEMEJANZA MATEMÁTICAMENTE COMO SIGUE: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √
√
√
√
(
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ )
II.- ECUACIONES LINEALES. 1. SI SE SABE QUE EL AGUA SE CONGELA A 0° CELSIUS, (32° FAHRENHEIT) Y HIERVE A 100°C (212°F), ¿CÚAL DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES EXPRESA LA RELACIÓN ENTRE LA TEMPERATURA EN GRADOS CELSIUS Y GRADOS FAHRENHEIT?. SI 0°C = 32°F, Y 100°C = 212°F, ENTONCES TENEMOS:
2. UN MIGRANTE MEXICANO TIENE DOS PUESTOS PARA ELEGIR EN UNA CORPORACIÓN GRANDE EN LOS ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA. EN UNO DE ELLOS SE PAGA 12.50 DÓLARES POR HORA MÁS UNA COMPENSACIÓN UNITARIA ADICIONAL DE 0.75 DÓLAR POR UNIDAD PRODUCIDA. EN EL OTRO SE LE PAGA 9.20 DOLARES POR HORA MÁS UNA COMPENSACIÓN UNITARIA DE 1.30 DÓLARES. a. DETERMINA LAS ECUACIONES LINEALES PARA LOS SALARIOS POR HORA, “s”, EN TPERMINOS DE “x”, EL NÚMERO DE UNIDADES PRODUCIDAS POR HORA, PARA CADA PUESTO. b. USA UN INSTRUMENTO (SOFTWARE, FÓRMULAS TABLAS, ETC.) PARA CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS ECUACIONES LINEALES EN UN MISMO PLANO CARTESIANO Y ENCUENTRA EN PUNTO DE INTERSECCIÓN. c. INTERPRETA EL SIGNIIFCADO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE LAS GRÁFICAS DEL INCISO (b). ¿CÓMO PODRÍAS USAR ÉSTA INFORMACIÓN PARA SELECCIONAR EL PUESTO CORRECTO SI EL OBJETIVO FUERA OBTENER EL SALARIO MEJOR PAGADO POR HORA DE TRABAJO? LA ECUACIÓN EN EL PRIMER CASO ES: LA ECUACIÓN EN EL SEGUNDO CASO ES:
SI SE SUPONEN VALORES DE “x” PARA AMBAS ECUACIONES Y LAS GRAFICAMOS, OBTENEMOS LO SIGUIENTE:
PRODUCTOS x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SALARIOS y=S1 y=S2 12.5 9.2 13.25 10.5 14 11.8 14.75 13.1 15.5 14.4 16.25 15.7 17 17 17.75 18.3 18.5 19.6 19.25 20.9 20 22.2 LO QUE NOS INDICA EL PUNTO DE INTERSECCIÓN ES EL PUNTO EN EL QUE AMBAS EMPRESAS PAGARÍAN LOS MISMO POR UNA MISMA CANTIDAD DE PRODUCTOS ELABORADOS; ASÍ DEPENDE QUE ÉS LO QUE LO QUE BUSCAMOS; SI QUEREMOS MAYOR RENDIMIENTO DE DINERO POR HORA TRABAJADA, TENDRÍAMOS QUE PRODUCIR MÁS DE 6 PRODUCTOS Y SERÍA LA
SEGUNDA OPCIÓN DE EMPLEO; SIN EMBARGO, SI LAS EXPECTATIVAS SON BAJAS ACERCA DE LA PRODUCCIÓN POR OTRAS VARIABLES (MAQUINARIA, CAPACITACIÓN, COMPLEJIDAD, ETC) LA OPCIÓN PRIMERA OFRECE MAYOR RENDIMIENTO YA QUE SE OBTIENE MAYOR PAGO QUE LA OPCIÓN 2 CON MENOS DE 6 PRODUCTOS PRODUCIDOS. 3. DOS SOLUCIONES DE UN ÁCIDO, UNA CON 97% Y OTRA CON 90%, SE MEZCLAN PARA OBTENER 21 LT DE UNA SOLUCIÓN CON 95%. ¿CUÁNTOS LITROS DE CADA SOLUCIÓN SE EMPLEAN? PRIMERA ECUACIÓN:
SEGUNDA ECUACIÓN: (95% DE 21=19.95)
MÉTODO ALGEBRAICO POR SUMA Y RESTA (EXISTEN OTROS MÉTODOS COMO EL DE SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN, ASÍ COMO EL GRÁFICO) PERO ÉSTE MÉTODO ES EL MÁS SIMPLE. PARA PODER ELIMINAR UNA VARIABLE TENEMOS QUE BUSCAR HACER UNA SUMA Y RESTA ENTRE AMBAS ECUACIONES, DE TAL MANERA QUE UNA DE MIS VARIABLES SE ELIMINEN, EN ÉSTE CASO SE VA ELIMINAR LA “y” Y PARA DODER HACERLO, VAMOS A MULTIPLICAR TODA LA PRIMERA ECCUACIÓN POR “-0.90”, QUEDANDO DE LA SIGUIENTE MANERA: AHORA SI PODEMOS HACER LA SUMA Y RESTA: __________
____________
DESPEJAMOS PARA x.
SUSTITUÍMOS ESE VALOR DE “x” EN CUALQUIERA DE LAS PRIMERAS DOS ECUACIONES. DESPEJAMOS PARA “y”
COMPROBAMOS EN LA SEGUNDA ECUACIÓN AMBOS RESULTADOS ( ) ( )
RECUERDA QUE 19.95 ERA EL 95%DE LA SOLUCIÓN. MÉTODO GRÁFICO: SE HACEN LOS TABULADORES PARA AMBAS ECUACIONES:
x y1 y2 0 21 22.2 1 20 21.1 2 19 20.0 3 18 18.9 4 17 17.9 5 16 16.8 6 15 15.7 7 14 14.6 8 13 13.5 9 12 12.5 10 11 11.4 11 10 10.3 12 9 9.2 13 8 8.2 14 7 7.1 15 6 6.0 16 5 4.9 17 4 3.8 18 3 2.8 19 2 1.7 20 1 0.6 LA INTERSECCIÓN ES EL PUNTO EN DONDE SE SATISFACEN AMBAS ECUACIONES, POR LO TANTO EL RESULTADO DESEADO (15,6). 4. UNA TRIPULACIÓN SE DESPLAZA 28 KILÓMETROS POR HORA A FAVOR DE LA CORRIENTE Y 24 KILÓMETROS EN TRES HORAS CONTRA LA CORRIENTE. HALLAR LA VELOCIDAD DEL BOTE EN AGUA TRANQUILA Y LA VELOCIDAD DEL AGUA EN EL RIO. PRIMERA ECUACIÓN:
SEGUNDA ECUACIÓN: (24km/3hr = 8km/hr)
MÉTODO ALGEBRÁICO POR SUMA Y RESTA. HACEMOS LA SUMA Y RESTA. ________
________
DESPEJANDO PARA “x”
( SUSTITUYENDO EL RESULTADO EN LA PRIMERA ECUACIÓN: DESPEJAMOS PARA “y”.
)
(
)
COMPROBAMOS EN LA SEGUNDA ECUACIÓN.
MÉTODO GRÁFICO. SE HACEN LOS TABULADORES PARA AMBAS ECUACIONES.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y1 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
y2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
LA INTERSECCIÓN ES EL PUNTO QUE SATISFACE AMBAS ECUACIONES, POR LO TANTO ES LA SOLUCIÓN AL PROBLEMA: (18,10). III. RELACIONES Y FUNCIONES: 1. UN ESTUDIANTE QUE RECORRE DIARIAMENTE 7 KILÓMETROS PARA ASISITIR A LA UNIVERSIDAD RECUERDA, QUE DESPUÉS DE MANEJAR SU AUTOMÓVIL ALGUNOS MINUTOS, QUE SE LE HA OLVIDADO EL TRABAJO FINAL QUE DEBE ENTREGAR. MANEJANDO MÁS RÁPIDO QUE DE COSTUMBRE, EL ESTUDIANTE REGRESA A SU CASA, RECOGE EL TRABAJO Y DE NUEVO SE DIRIGE HACIA LA ESCUELA. DIBUJA UNA GRÁFICA POSIBLE DE LA DISTANCIA RECORRIDA POR EL ESTUDIANTE DESDE SU CASA, COMO FUNCÍON DEL TIEMPO. COMO NO MENCIONA TIEMPOS NI DISTANCIAS ENTRE LOS CAMBIOS DE DIRECCIÓN, TOMAREMOS SÓLO COMO DATO EL DE 7 KM DE QUE SE RECORRE DESDE SU CASA A LA ESCUELA Y MOSTRAREMOS ESOS CAMBIOS COMO VARIABLES.
TABULAR:
x 0 T1 T2 T3
y1 0 D1 0 7
T1
T2
T3
2. EN UNA CONFERENCIA INTERNACIONAL HABIA 112 DELEGADOS; 68 HABLABAN ALEMAN, 80 HABLABAN FRANCES Y 64 ITALIANO, ADEMÁS 28 DELEGADOS HABLABAN EXCLUSIVAMENTE FRANCES, MIENTRAS QUE 45 HABLABAN ALEMAN Y FRANCES; 51 HABLABAN FRANCES E ITALIANO Y 48 HABLABAN ITALIANO Y ALEMAN. SI TODOS HABLABAN AL MENOS UN IDIOMA: ¿CUÁNTOS HABLAN LOS TRES IDIOMAS?, ¿CUÁNTOS HABLAN SÓLO ITALIANO? QUEDA PENDIENTE LO DEMÁS….
