INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS
INGENIERÍA MECATRÓNICA
Control . Tarea unidad IV
Anál An álii s i s y di d i s eño eñ o de d e co c o m pens pen s ador ad ores es en e n la l a fr ecu ec u enci enc i a
Profesor: Orlando Serrano
Alumnos:
Herrera Velázquez Gerardo José Romero Morales Pedro Alonso LOS MOCHIS SINALOA. MAYO /2017
Índice Introducción ........................................................................................................................................ 3 factores de la función de transferencia de lazo abierto .................. ............................ ................... .................. .................. .................. .............. ..... 4 Tabla de los diferentes factores .......................................................................................................... 5 Obteniendo Kpr: .................................................................................................................................. 7 Por medio de Routh-horwuitz conoceremos Kcr .................... ............................. ................... ................... .................. .................. .................. .............. ..... 8 Polos reales difrentes ........................................................................................................................ 10 Polos imaginarios .............................................................................................................................. 14 Polos parte real positiva .................................................................................................................... 16 función de transferencia) del Motor de CD ...................................................................................... 18 Usamos el modelo matemático de motor de cd .................. ........................... ................... ................... .................. .................. .................. ............... ...... 18
:
.......................................................................................................................... 18
Routh-Hourwitz ................................................................................................................................. 19 Función de transferencia da lazo abierto.......................................................................................... abierto.......................................................................................... 21
Se calcula la frecuencia de corte para cada factor:................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. ............ ... 21 Polos reales diferentes ...................................................................................................................... 23 Polos imaginarios .............................................................................................................................. 27 Polos con parte real positiva ............................................................................................................. 29 Conclusión ......................................................................................................................................... 31
Índice Introducción ........................................................................................................................................ 3 factores de la función de transferencia de lazo abierto .................. ............................ ................... .................. .................. .................. .............. ..... 4 Tabla de los diferentes factores .......................................................................................................... 5 Obteniendo Kpr: .................................................................................................................................. 7 Por medio de Routh-horwuitz conoceremos Kcr .................... ............................. ................... ................... .................. .................. .................. .............. ..... 8 Polos reales difrentes ........................................................................................................................ 10 Polos imaginarios .............................................................................................................................. 14 Polos parte real positiva .................................................................................................................... 16 función de transferencia) del Motor de CD ...................................................................................... 18 Usamos el modelo matemático de motor de cd .................. ........................... ................... ................... .................. .................. .................. ............... ...... 18
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Routh-Hourwitz ................................................................................................................................. 19 Función de transferencia da lazo abierto.......................................................................................... abierto.......................................................................................... 21
Se calcula la frecuencia de corte para cada factor:................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. ............ ... 21 Polos reales diferentes ...................................................................................................................... 23 Polos imaginarios .............................................................................................................................. 27 Polos con parte real positiva ............................................................................................................. 29 Conclusión ......................................................................................................................................... 31
Introducción En el presente trabajo se trabajará en el análisis y diseño de compensadores en la frecuencia, sabemos que los sistemas de control hoy en día son muy usados y requeridos en la industria. Estos sistemas permiten que las variables controladas permanezcan en un punto de referencia, o en cierto rango aceptable respecto a la manera en la cual se quiera que esté trabajando el sistema es decir la salida que se espera. Al realizar un análisis matemático obtendremos los cálculos necesarios para conocer la respuesta del sistema.
En el desarrollo de este trabajo veremos que pasa si jugamos con los polos de un sistema en que momento el sistema pasa de ser estable a inestable de acuerdo a la posición de estos, lo podremos visualizar con las gráficas de Bode que se desarrollaran en el software de Matlab .
1.-
Sea la siguiente función de transferencia en lazo abierto (planta)
factores de la función de transferencia de lazo abierto a) Determine los factores de la función de transferencia de lazo abierto, así como la frecuencia de corte de cada factor.
= = 510 2 10 1 = 5 5 10121 2 1 1 10 = 5 11 2
Tabla de los diferentes factores A continuación, desarrollaremos la tabla de los diferentes factores Factor 1
10 1 1 1 511 1 2
Valor de wc 1 10 0 5
2
Primeramente, conoceremos el factor c onstante: Magnitud:
1 = 0 = − 01 = 0 ̊ lG(jw)l=20
Angulo:
A con tinu ació n, c on oc eremo s el fac tor d e pr imer or den multipl icativo: Magnitud:
1 = − 101 = 10 ̊ lG(jw)l=20
Angulo:
En seguida, veremos el factor integrante:
Magnitud:
= 0 = − 0 = 90 ̊ lG(jw)l= -20
Angulo:
Ahor a sacamos el fac tor d e pr im er o rd en el di visor : Magnitud:
1 = = − 5 lG(jw)l= -20
Angulo:
Factor d e primer orden el divisor: Magnitud:
1 = = − 2 ̊ lG (jw) l= -20
Angulo:
Obteniendo Kpr:
Ceros:
= 5102
1. -10 Polos: 1. 0 2. -5 3. -2
1 510 2 = 0 = 510 2 7 = 10 10 7 10 10 7 10 103 14101 10 7 10 = 0 3 14 10 30 10 140100 2 37 140 100 = 0 10 = 13.63 = 0.9325 = 3.9323 Derivamos:
Calculando la ganancia Kpr:
9 3252 = 0.93250.0.932550. 932510 = 0.4463
Por medio de Routh-horwuitz conoceremos Kcr
= 5102
Ecuación característica:
1 5102 = 5 2 10 = 2 5 10 10 = 7 1010 703 107 707 10 7 03 = 710110 = = 7 7 7 703 1007 = 10 = 7 703 7 10 >0 0 > 10 >0 703 >0 7 37 10 > 0 37 > 10 3 >107 107 < 3 1
10+k
7
10k
Se saca valor de k para calcular la kcr.
Con el termino 10k se obtiene el valor de la ganancia (k) pero como es 0 no afecta ya que las ganancias siempre son mayores a 0. Ahora se va a calcular con el siguiente termino.
< 730 = 730
Polos reales diferentes Polos complejos conjugados Polos imaginarios Polos con parte real positiva
023.333
Polos reales difrentes b) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean reales diferentes y determine: escogeremos una ganancia de 0.3 • Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable.
Vemos que la ganancia es de 37.8 dB y el margen de fase es de 79.9 deg por lo cual nuestro sistema es estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos polos en -0.388 • La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela.
Vemos un sistema estable.
c) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean complejos conjugados y determine: Para que los polos sean complejos conjugados la ganancia deberá ser menor de 23.333 por lo que elegimos una ganancia de 20 • Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable.
En las gráficas vemos el margen de ganancia con un valor de 1.34dB y un margen de fase de 1.56deg en donde ambos son positivos por lo cual nuestro sistema se comporta de manera estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos ubicados los polos en -6.87, -0.0648 +5.39i,
-0.0648 -5.39i
• La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela.
Se observa en la imagen un sistema de polos complejos conjugados y después de un lazo de tiempo se logra estabilizar.
Polos imaginarios d) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean imaginarios y determine: Para tener polos imaginarios debemos tener un sistema críticamente estable y lo obtendremos con una ganancia de 23.333
Vemos que el valor del margen de ganancia es de 0.00133 dB y el margen de fase es de 0.0011 deg por lo cual nuestro sistema es estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Con la ganancia igual a 23.333 vemos que el lugar de los polos cambio • La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela.
Es un sistema críticamente estable.
Polos parte real positiva e) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos tengan parte real positiva y determine: para lograr esto tenemos que tener una ganancia mayor a 23.333 para obtener lo que se pide en el inciso usaremos una ganancia de 45
En esta ilustración tenemos que nuestro margen de ganancia es -5.7 dB y un margen de fase de -4.9 y al ser negativos nuestro sistema se convierte en inestable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Los polos están en 0.289, 7i y en 0.289 -7i • La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela .
Vemos una inestabilidad en el sistema.
función de transferencia) del Motor de CD 2.- Considerando el modelo matemático (función de transferencia) del Motor de CD, considere los siguientes parámetros y determine:
Usamos el modelo matemático de motor de cd
=
= 0.50.01 [0.50.110.0.0011] [10.10.010.01] = 510− 0.0.00651 0.1001 Para localizar la ubicación de los polos y ceros en el plano “S” Ceros: No hay ceros finitos Polos:
0.005 0.06 0.1001 0. 0 6± 0 . 0 6 0.040.1 0050.1001 , = == 02.002 = 9.99
: 1 − 0.01
510 0.05 0.1001 = 0 − 510 0. 0 5 0. 1 001 = ≈ = 0.01
= 510− 0.0.0051 0.1001 = 0.015 0.0.1021 0.1001 = 0 ≈ 0.15 0.12 0.001 = 0 ±√2 4 ≈ 0.12± 0.122. 040. 0 50. 1 001 01 − = 0.12±0.0916 0.12±√8.0.309410 3 0. 0 3 20.0.0091611 = 00..1120. = 7. 0 53 3 0 916 = 5×10 = 0. 9 463 0. 0 3 − . 0 6 = − 0.01 .1001 0.9463) 0.060. 9 463 0. 1 0010. 9 463 = (5×10 .01 − 4.236981 ×10 0.0.015373 .09472463 == 4.523161 Routh-Hourwitz utilizaremos el criterio de Routh-Hourwitz para saber el rango que debería de tener la ganancia.
. . .. . . .. ==?? ==?? Calculando b1
Calculando c1
− 0 . 0 60. 1 0010. 0 050. 0 1 0. 0 510 = = 0.1001 0.06 0.06
− 0.01 0 0. 0 510 0. 1 001 = 0.10010.00.60510 − = 0.010.06 Tenemos la sig. Matriz
0.0.00056 0.0.100011 − 0 0.1001 0.0510 0. 0 6 0.01 0
Sacando el rango de las ganancias obtenidas
− 0. 0 510 0.10.001 > 0 0. 0 6 − 0 510 0.06 > 0.1001 0 6 < 0.0.10010. − 0 510 0 ≤ < 120.12 ∴ = 120.12 ∴ Polos reales diferentes Polos complejos conjugados Polos imaginarios Polos con parte real positiva
0120.12
Función de transferencia da lazo abierto a) Determine los factores de la función de transferencia de lazo abierto, así c omo la frecuencia de corte de cada factor. Primeramente, s se iguala a jw S = jw Sustituimos:
Se calcula la frecuencia de corte para cada factor: Factores
wc
1. 0.1 2.
3.
4.
+
. + .
11 2.01025 19.9975
‖ = −‖ = 20= 00.1 = 20 . ‖ = −‖ =20 = 90
1) Factor constante: Magnitud: Angulo:
2) Factor integrativo: Magnitud: Angulo:
3) Factor de primer orden divisor:
‖ ‖ = 20 1 . = − . = . ‖ ‖ = 20 1 . = − . = .
Magnitud: Angulo:
4) Factor de primer orden divisor: Magnitud: Angulo:
Polos reales diferentes b) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean r eales diferentes y determine: • Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable. Para esto escogeremos una ganancia de 2.5
Vemos que el margen de ganancia es de 33.6 dB y el margen de fase es de 89.5 deg por lo cual nuestro sistema es estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos polos en -10.1, -1.64, -0.304 • La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela.
Tenemos un sistema estable
c) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean complejos conjugados y determine: usaremos una ganancia de 15 • Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable.
Vemos que la ganancia es de 18.1 dB y el margen de fase es de 50.7 deg por lo cual nuestro sistema es estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos polos en -10.3, -0.827 +1.49i, -0.827 -1.49i
• La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela
Vemos una gráfica que oscila y al lapso de un breve tiempo logra estabilizarse
Polos imaginarios d) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos sean imaginarios y determine: escogermeos la gamcia de 120.12 Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable.
Vemos un sistema críticamente estable con la ganancia es de 0.0086 dB y el margen de fase es
de 0.0214 deg por lo cual nuestro sistema es críticamente estable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos polos en -12, estable.
-0.000732 + 4.47i,
-0.000732 - 4.47i,
sistema críticamente
• La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela
Vemos un sistema con gran número de oscilaciones y es críticamente estable.
Polos con parte real positiva e) Seleccione el valor de la ganancia de manera que los polos tengan parte real positiva y determine: usaremos una ganancia de 190 • Las gráficas de bode en magnitud y ángulo e indique el valor del margen de ganancia y el margen de fase, y diga si el sistema es estable o inestable.
Vemos un sistema inestable con un margen de ganancia de -3.98 dB y el margen de fase es de -
9.49 deg por lo cual nuestro sistema es inestable.
• El lugar geométrico de las raíces e indique el valor de cada polo.
Tenemos polos en -12.9, inestable
0.425 +5.55i,
0.425 +5.55i los polos cruzan el eje es un sistema
• La respuesta a una entrada escalón unitario y explíquela.
Vemos una gráfica que no logra estabilizarse en ningún momento por lo tanto nuestro sistema es totalmente inestable
Conclusión Al realizar los diferentes ejercicios podemos decir que el hacer uso del compensador en el PID es una solución bastante buena para poder resolver el control de muchas aplicaciones en la industria. El tener a la mano la manipulación del compensador en nuestro sistema nos permitirá obtener una respuesta estable en donde al controlar una variable de cualquier índole, nos va permitir obtener una serie de resultados idóneos o deseables, al existir un control se evitará una pérdida de producto y existirá una optimización de tiempo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador será capaz de proveer una acción de control diseñado para los requerimientos del proceso en específico. Es decir, nos brindará la respuesta deseada y asi se llevará un control y una estabilidad en el sistema.
NOTA: los programas se fueron modificando de acuerdo a lo que iba pidiendo cada inciso, en este caso íbamos varando el valor de la ganancia para obtener lo que se pedía.
