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Guía Práctica N 9
Reguladores y Compensadores Reguladores Diseño de reguladores
El diseño de un regulador mediante el lugar de raíces está basado en la capacidad de análisis del diseñador. En general, a partir de las especificaciones de diseño, típicamente el error en régimen permanente, velocidad de respuesta (tp, tr, ts) y sobreimpulso (Mp), se utiliza la acción proporcional para, en la medida de lo posible, disminuir el error en régimen permanente consiguiendo una respuesta dinámica adecuada. Si ésta no se ajusta a las especificaciones, se introduce una acción derivativa que mejora el comportamiento transitorio pero aumenta el error, y finalmente, si es necesario, se incorpora una acción integral para, tratando de no afectar al comportamiento dinámico, disminuir o anular el error en régimen permanente. El diseño de reguladores se puede realizar:
• • •
mediante lugar de raíces (ver Ogata K. y Kuo B.) mediante métodos frecuenciales (ver Kuo B.) mediante métodos estandarizados: Ziegler-Nichols, etc. (ver Ogata K.)
Compensadores Introducción El objetivo de esta guía es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida invariantes en el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. El cálculo puede enfocarse desde el método del lugar de raíces o del análisis frecuencial según sean especificaciones de diseño.
La modificación de la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el sistema para un desempeño satisfactorio. Sin embargo, en mucho casos, el solo ajuste de ganancia tal vez no proporcione una alteración suficiente del comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Normalmente el incremento de ganancia mejora el comportamiento en estado estable, pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) a fin de modificar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se requiere. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado de denomina compensación. El diseño de un compensador es una labor de análisis de la respuesta frecuencial de un sistema. Conociendo los efectos que sobre dicha respuesta (normalmente visualizados sobre diagramas de BODE) ocasiona la introducción de un compensador de adelanto o de atraso, se ajusta ésta para conseguir que el resultado final sea el deseado. La función de transferencia de un compensador de adelanto es: Gc( s ) = Kc
(s + a) (s + b)
(Ts + 1)
= Kcα
(α Ts + 1)
s+
= Kc s+
1 T 1
con ( a < b ) ó (0 <
α < 1)
T α
El efecto más destacable del compensador de adelanto es el de aportar fase, con lo que sí se escogen adecuadamente los valores de a y b, se conseguirá que aumente el margen de fase del sistema. La compensación en adelanto produce un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estacionario. Puede acentuar los efectos del ruido a altas frecuencias. La función de transferencia de un compensador de atraso es: Año: 2008
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Gc( s ) = Kc
(s + a) ( s + b)
(Ts + 1)
= Kcβ
= Kc
( β Ts + 1)
s+ s+
1
T con ( a > b ) ó ( β > 1) 1 β T
La compensación en atraso produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estacionario a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruidos a altas frecuencias. El diseño de compensadores por adelanto o atraso por lugar de raíces puede estudiarse en detalle y con ejemplos resueltos de l a bibliografía de referencia (sugerimos Ogata K). El diseño de compensadores de adelanto o atraso de fase por método frecuencial puede estudiarse en detalle y con ejemplos resueltos de la bibliografía de referencia (sugerimos Ogata K.). Para el caso de diseño por método frecuencial presentamos a continuación un resumen del método tanto para compensadores de adelanto como de atraso: Ajuste de un compensador de adelanto: Resumen del Método FRECUENCIAL Datos de partida. Especificaciones de error y fase deseada γ(). Incorporar al sistema un amplificador que aporte la ganancia K para que se verifique la condición estática (error). El sistema tendrá ahora una FDT en lazo abierto K.G(s) Dibujar el Bode de K.G(s) y hallar en él el margen de fase
Obtener el aporte de fase necesaria que se agregará al sistema φm = γ deseada - γ0 + margen de seguridad
Obtener
= α
1− x 1+ x
x = sen
φm
Obtener Km = +10 logα
Leer wm en el Bode de KG(s) como la frecuencia en la que: 20 log | KG(S) | = Km Obtener: T =
1 wm α
El compensador será: Gc (s ) =
1 K s + T α s + 1 T α
Dibujar el bode de Gc(s).G(s) y comprobar q ue el valor de cumple con la especificación. φm. Si no, repetir con mayor
Año: 2008
γ
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Ajuste de un compensador de atraso: Resumen del Método FRECUENCIAL Datos de partida. Especificaciones de error y fase deseada γ().
Incorporar al sistema un amplificador que aporte la ganancia K para que se verifique la condición estática (error). El sistema tendrá ahora una FDT en lazo abierto K.G(s) Dibujar el Bode de K.G(s) y hallar en él el margen de fase
Leer wg en el bode como la frecuencia en la que el margen de fase es el deseado más un margen de seguridad γ = γ deseada + margen de seguridad Leer el módulo B a esa frecuencia
Obtener el aporteβ de ganancia del compensador 20 log β = B [dB]
Obtener:
= T
10
wg
El compensador será:
Gc( s ) =
1 K s + T β s + 1 T
Dibujar el bode de Gc(s).G(s) y comprobar que el valor de cumple con la especificación. Si no, repetir con mayor φm.
γ
Ejercicios: 1) En el siguiente sistema se pide diseñar el regulador más simple que verifique, ante una entrada escalón en X(s) un Mp<5%, ts (criterio del 5%) <2.1 [seg] y un error en estado estacionario <10 % en Y(s). Para el regulador diseñado verificar las condiciones de diseño mediante la respuesta temporal. Z(s) X(s) +
-
1
Regulador
Y(s)
( s + 1)( s + 2)
2) Para un sistema de función de transferencia:
( s) = F Año: 2008
K (1+ 2 s )(1+10 s ) 3/6
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controlado con un regulador P-I, transductor y válvulas ideales (con ganancia unitaria y sin retardo): a) Adopte un rango de Ti para que el sistema sea absolutamente estable. b) Dentro del rango especificado elija un Ti para que el tiempo de establecimiento sea mínimo. c) Para dicho valor de Ti adoptado, qué valor de K utilizaría? 3) Dado el sistema de la figura se pide: a) Determine del sistema sin compensar el error de posición, su margen de fase y margen de ganancia. Es estable el sistema sin compensar? Justifique. A continuación se pide el diseño de 3 compensadores independientes que solo actuarán uno de ellos a la vez en serie con la planta: b) Diseñe, justificando todos los pasos, un compensador (de atraso o adelanto) para el sistema dado de tal forma que se cumplan con los siguientes requisitos: un error de posición 5 veces menor al que tiene el sistema sin compensar y un margen de fase mayor a 40º. Una vez compensado realice la respuesta temporal y frecuencial en Ccontrol y de las mismas obtenga: error de posición real, margen de fase y margen de ganancia. c) Diseñe, justificando todos los pasos, dos compensadores más: uno de atraso y otro de adelanto (son 2 diseños independientes y solo actuará uno de esos compensadores a la vez). Se pide que por cada uno el sistema cumpla con los siguientes requisitos: un error de posición 5 veces menor al mismo sistema sin compensar y un margen de ganancia superior a 10 [db]. El margen de ganancia debe ser el parámetro para el diseño solicitado, no una consecuencia del regulador propuesto. Una vez compensado realice la respuesta temporal y frecuencial por cada uno en Ccontrol y de las mismas obtenga: error de posición real, margen de fase y margen de ganancia. d) Si tuviera que elegir uno de los tres compensadores (el diseñado en el item b o los del item c) cual colocaría en el lazo de control. Justifique su respuesta para que sea válida. X(s) +
-
Gc
5
15
( s + 2).s
( s + 3)( s + 2)
Y(s)
4) Para el siguiente sistema a bucle cerrado se pide: a)Utilice el método de respuesta en frecuencia para hallar el valor de ganancia K necesario para obtener un MP del 15%. b) Diseñe un regulador PI por el método de respuesta en frecuencia con el fin de obtener cero error para una entrada rampa sin cambiar las características de la respuesta transitoria diseñadas en a) c) Después de realizar el diseño verifique el comportamiento del mismo hallando la respuesta temporal gráfica y analítica. X(s) +
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-
Regulador
.( s + 10).( s + 11) K
Y(s)
s.( s + 3)( s + 6).( s + 9)
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5) Se desea controlar un sistema cuya función de transferencia es G(s). Para ello se dispone con el sistema de control indicado en la siguiente figura. Para calcular los parámetros del regulador PI se propone utilizar el segundo método de Zieger-Nichols. Una vez obtenido el regulador verificar la respuesta temporal, los márgenes de estabilidad, el error en estado estacionario y su tiempo de establecimiento ante una entrada escalón. ¿Cómo evalúa el diseño utilizando este método? Z(s) X(s) +
Kp (1 +
-
1 Ti.s
Y(s)
15
+ Td .s )
( s + 2).( s + 6).( s + 10)
6) Se desea diseñar un compensador para controlar una planta con función de transferencia G(s) y realimentación unitaria, de tal forma que responda ante una entrada escalón con un MP del 7,5 % y un tiempo de establecimiento (ts) de 400 [mseg].
G ( s) =
1
s.( s + 10).( s + 1000)
H(s)=1
7) Se desea diseñar un compensador de atraso y otro de adelanto para controlar a un sistema que trabaja a bucle cerrado, de tal forma de comparar la respuesta del mismo ante dos tipos distintos de compensadores. Las condiciones de diseño son un error de posición del 1% y un margen de fase de 60º . Una vez obtenida las dos funciones de transferencia de los compensadores obtener la respuesta temporal y frecuencial para verificar las condiciones de diseño. Le parece más adecuado utilizar, en este caso, alguno de los dos tipos de compensadores ?. Justifique. X(s) +
-
s +1
Compensador
( s + 0,1)( s 2
Y(s)
+ 10.s + 29)
8) Sea el siguiente sistema cuya función de transferencia es G(s). Se desea diseñar un compensador para que el sistema trabaje en bucle cerrado con un coeficiente de error estático de velocidad (Kv) de 20 [seg-1], un margen de fase no menor a 50 grados y un margen de ganancia de por lo menos 10 [db].
G (s) =
4
H(s)=1
s.( s + 2)
9) Dada la función G(s) la cual trabajará con un compensador serie a diseñar (la realimentación es unitaria). Se desea que el sistema tenga en bucle cerrado una constante de velocidad (Kv) de 20 [seg-1] y una relación de amortiguamiento (zita) de 0,70.
G (s) =
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1
s.( s + 10)
2
H(s)=1
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10) Considere un sistema con una planta inestable como el de la figura. Diseñe un control proporcional-derivativo (determine los valores de Kp y Td) de manera que la relación de amortiguamiento ζ del sistema de lazo cerrado sea 0,7 y ωn 0,5 rad/s. +
K (1 + Tds) p -
1 10000 (s - 1.1772) 2
11) Dado el sistema de control indicado en la figura, se propone compensarlo utilizando un compensador de atraso-adelanto de tal forma que wn=5 [rad/seg] y el coeficiente de error estático de velocidad sea de 80 [seg-1]. El compensador a utilizar tendrá la función de transferencia genérica Gc(s).
1 1 + s s + 1 2 T T . Gc( s) = Kc. γ 1 s+ s+ T 2 β .T 2 X(s) +
Gc(s)
-
con γ > 1 y β >1
Y(s)
4
s.( s + 0,5)
12) Determine los valores de K, T1 y T2 del sistema indicado en el siguiente lazo de control de modo que los polos dominantes de lazo cerrado tengan un zita=0,5 y Wn=3 [rad/seg].
X(s) +
Año: 2008
-
1.s + 1 T . K 2.s + 1 T
10
Y(s)
s.( s + 1)
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