COMPENDIO EJERCICIOS ECUACIONES CHAPMAN KOLGOMOROV GRUPO # 10 OCTUBRE 2014
Julián Andres Gil Santos Fabián Andres Valderrama Ricardo Beltrán
20112020105 20112020127 20091020012
EJERCICIO No 1:
chapman-kolmogorov son OBJETIVO: Se pretende mostrar como las ecuaciones de chapman-kolmogorov de gran utilidad para resolución de problemas de la vida real en los que las matrices de transición y las probabilidades son de gran utilidad para la predicción de eventos.
ENUNCIADO: Se requiere desarrollar un software avanzado para el manejo de los cruces de calle, para esta labor se requiere analizar el tráfico y de acuerdo a los resultados poder estimar comportamientos para sincronizar el software de tal forma que se mejore la movilidad, para el análisis se calificará el tráfico de cada día como suave o pesado. Se estima que el comportamiento del tráfico de mañana, dependerá del comportamiento de ayer y hoy. De acuerdo al análisis se determinan los posibles estados así: 0: Tráfico suave ayer y hoy (LL). 1: Tráfico pesado ayer y suave hoy (NL). 2: Tráfico suave ayer y pesado hoy (LN). 3: Tráfico pesado ayer y hoy (NN). Y con la siguiente matriz de transición de un solo paso: 0,6 P = 0,3 0 0
0 0 0,5 0,4
0,4 0,7 0 0
0 0 0,5 0,6
¿Cuál es la probabilidad de que el tráfico este suave pasado mañana, dado que estuvo suave suave ayer y hoy?
FORMULAS USADAS
∑
CONCEPTOS CLAVES: Probabilidades, Ecuaciones de Chapman Kolmogorov, probabilidad condicional, matriz de transición, matriz de transición de n pasos.
PASOS
PROCEDIMIENTO Matriz de transición LL
1. Interpretar la matriz de transición de un solo paso.
NL
NN
LL
0,6
0
0,4
0
NL
0,3
0
0,7
0
LN
0
0,5
0
0,5
NN
0
0,4
0
0,6
Si m=n=1:
P^2 = P*P 2. Hallar la matriz de 2 pasos.
LN
0,6
0
0,4
0
0,6
0
0,4
0
0,3
0
0,7
0
0,3
0
0,7
0
0
0,5
0
0,5
0
0,5
0
0,5
0
0,4
0
0,6
0
0,4
0
0,6
0,36 0,2 0,24 0,2 0,18 0,35 0,12 0,35
P^2 =
0,15 0,2 0,35 0,3 0,12 0,24 0,28 0,36
Matriz a interpretar LL'
NL'
LN'
NN'
LL
0,36 0,2 0,24 0,2
NL
0,18 0,35 0,12 0,35
LN
0,15 0,2 0,35 0,3
NN
0,12 0,24 0,28 0,36
3. Interpretar la matriz Con 0’: Tráfico suave mañana y pasado mañana (LL’). 1’: Tráfico pesado mañana y suave pasado mañana (NL’). 2’: Tráfico suave mañana y pesado pasado mañana (LN’). 3’: Tráfico pesado mañana y pasado mañana (NN’).
Hallar probabilidad de Tráfico suave para pasado mañana, dado que hubo tráfico
suave ayer y hoy. P(Tráfico suave mañana| LL) = P(LL’|LL)+ P(NL’|LL) P(Tráfico suave mañana| LL) = 0.36 + 0.2 = 0.56
CONCLUSIÓN: Mediante la utilización de matrices de transición de n pasos y las ecuaciones de Chapman-kolmogorov podemos hallar probabilidades condicionadas lo que permite la toma de decisiones y la estimación de posibles eventos. BIBLIOGRAFÍA: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_invOper_carpeta/Clase2_II.pdf
EJERCICIO No 2:
OBJETIVO: Comprender el uso adecuado de las Ecuaciones de Chapman y Kolmogorov por medio de un ejemplo básico. ENUNCIADO: Se tiene el mismo programa de software instalado en dos computadores diferentes; se desea saber en cuál de los dos este programa es más eficiente, así que va a probar cuál de los dos computadores es mejor y conocer cual completa 100Gb de transferencia. Al comenzar la prueba la velocidad inicial del procesador en las 2 máquinas es de 30GHz, cada equipo en prueba tiene la probabilidad de que en intervalos de un segundo el reloj de la CPU acelere a 40GHz, desacelere a 30GHz o que se conserve la misma velocidad que mantenía hacia un segundo de la siguiente manera: Ordenador1 (O1) 30GHz 40 GHz
40GHz 0.3 0.2
40GHz 0.7 0.8
Ordenador2 (O2) 30GHz 40 GHz
40GHz 0.4 0.5
40GHz 0.6 0.5
a) ¿Cuál de los dos ordenadores tiene más posibilidades de estar a la máxima velocidad (40 GHz) a los 4 segundos de prueba? b) ¿Cuál de los dos ordenadores tiene más probabilidad de alcanzar los 100Gb en el menor tiempo posible?
CONCEPTOS CLAVES:
Procesos Estocásticos: Es un concepto matemático que sirve para caracterizar
una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.
Cadenas de Markov, Ecuaciones de Chapman y Kolmogorov
SOLUCIÓN PASOS
PROCEDIMIENTO
1. A partir de cada una de las matrices dadas por el problema (matriz de transición de velocidad), de O1 (Matriz P) y O2 (Matriz Q), se calcula P 3 Q3 para resolver el ítem a). Se debe tener en cuenta que en el segundo 1 la velocidad es la misma en los dos ordenadores, así que el primer paso de transición ocurre en el segundo 2 2. De acuerdo al paso anterior el ordenador que tiene mayor probabilidad de tener la máxima velocidad en 4 segundos se observa en el desarrollo
1.
2.
Ra/ El ordenador 1 tiene mayor probabilidad tiene mayor probabilidad de estar a mayor velocidad a los 4 segundos, siendo esta de 0.777
3. Ahora se procede a resolver el punto b)
3. Con el fin de transferir 100Gb en el menor tiempo posible, el ordenador debe acelerar y mantener una velocidad de 40m/s hasta lograr el objetivo, observándose en la siguiente tabla: Tiempo(seg)
Velocidad(m/s)
Transferencia alcanzada
1
30
30
2
40
70
3
40
110
Es necesario encontrar la probabilidad de que el ordenador esté a la máxima capacidad en cada segundo, esto se hace como en el ítem a), obteniendo así:
4. De acuerdo al procedimiento anterior se puede hallar la
4.
Para O1:
respuesta al ítem b)
Probabilidad de ganar = 0.7 · 0.77 = 0.539
Para O2: Probabilidad de ganar = 0.6 · 0.54 = 0.324 Rb/ el ordenador 1 tiene una mayor probabilidad de ganar la prueba, siendo esta del 0.539
CONCLUSIÓN: Por medio de este ejercicio fue posible comprender el uso de las Ecuaciones de Chapman y Kolmogorov sabiendo que estas son una identidad sobre distribuciones de probabilidad conjunta en un proceso estocástico. BIBLIOGRAFIA: Procesos Estocásticos. en: http://pendientedemigracion.ucm.es/info/jmas/mon/27.pdf
EJERCICIO No 3: Objetivo: En el siguiente ejercicio se pretende mostrar como las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov son de gran utilidad para la resolución de problemas en la vida cotidiana en donde las matrices de transición y las probabilidades son de gran utilidad para la predicción de los eventos que pueden llegar a suceder. Enunciado: Consideremos, una red LAN que conecta los computadores de una sala de informática, en la cual el funcionamiento correcto de la red LAN para el día de mañana depende exclusivamente del funcionamiento de ayer y de hoy.
0: Funciono correctamente ayer y hoy (SS). 1: No funcionó correctamente ayer y funcionó correctamente hoy (NS). 2: Funciono correctamente ayer y no funcionó correctamente hoy (SN). 3: No funcionó correctamente ni ayer ni hoy (NN). Y usando la siguiente matriz de transición de un solo paso:
¿Cuál es la probabilidad de que la red funcione correctamente pasado mañana, conociendo que funciono correctamente ayer y hoy? Formulas usadas:
Conceptos claves: Ecuaciones de Chapman-kolmogorov. Probabilidades. Matriz de transición.
Desarrollo:
PASOS 1. Interpretar la matriz de transición de un solo paso.
2. Hallar la matriz de 2 pasos.
3. Interpretar la matriz
PROCEDIMIENTO Matriz de transición:
[ ][ ] [ ] Si m=n=1:
Matriz a interpretar
Con 0: Funciono correctamente ayer y hoy (SS). 1: No funcionó correctamente ayer y funcionó correctamente hoy (NS). 2: Funciono correctamente ayer y no funcionó correctamente hoy (SN). 3: No funcionó correctamente ni ayer ni hoy (NN).
Hallar la probabilidad de que funcione correctamente pasado mañana, dado que funcionó correctamente ayer y hoy.
| | | | La probabilidad de que funcione correctamente pasado mañana es de 0,6125, que equivale al 61,25 %. Conclusión:
Mediante la utilización de matrices de transición de n pasos y las ecuaciones de Chapman-kolmogorov podemos hallar probabilidades condicionadas lo que permite la toma de decisiones y la estimación de posibles eventos. Bibliografía http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase2_II.pdf
EJERCICIO No 4: OBJETIVO: Utilizar las ecuaciones de Chapman Kolmogorov para resolver modelos con distribuciones probabilística, estos representados mediante una matriz estocástica, de la cual dependen los estados futuros de la misma. ENUNCIADO: Consideremos la capa física del modelo OSI, por medio de la cual se describe el proceso de cambio entre las señales eléctricas a cadenas de 0 y 1, por tanto serán las transformaciones que se hacen a la secuencia de bits para trasmitirlos de un lugar a otro, esta secuencia estará determinada por la probabilidad de obtener un voltaje necesario para un 0 o para un 1, en este caso el obtener un 1 depende de si se obtuvo en la anterior secuencia o no tanto en el primer bit como en el segundo.
La matriz de probabilidades es:
¿Cuál es la probabilidad de obtener el valor de 1 en el cuarto bit, dado que se obtuvo bit1 = 1 y bit2 = 1?
CONCEPTOS CLAVES: Matriz de transición de n pasos: arreglo de filas y columnas que contiene las probabilidades
que de que el sistema pase del estado i al estado j después de n transiciones. Estado: valor que cambia o evoluciona con el paso del tiempo. Matriz estocástica : es una matriz cuadrada en la que todos los datos son mayores o iguales que 0, y en la que la suma de todos los datos de un renglón es igual a 1.
FORMULA:
PASOS 1. Establecer transiciones
el
número
PROCEDIMIENTO Como se pide las probabilidades de obtener el cuarto de bit dado bit1 = y bit2 = 1, por lo tanto son dos transiciones, es decir 2 pasos. m=2.
2. Expresar la matriz con los pasos requeridos.
3. Encontrar las probabilidades en las de transición de la matriz.
P ( bit4 = 1 / (bit1=1 + bit2 =1)) = P ( (bit3=1 + bit4 =1) / (bit1=1 + bit2 =1) + P ( bit3 = 0 +bit4 = 1 / (bit1= 1+bit2 =1)) = 0.49 + 0.61 4. Tomar los datos correspondientes y concluir
5. Respuesta
La probabilidad de que el cuarto bit sea 1, dado que el bit1 = 1 y bit2 = 1.1 por lo tanto es seguro que se obtenga bit4 = 1
CONCLUSION: Las ecuaciones de Chapman Kolmogorov facilitan las operaciones y procedimientos respecto a la manipulación de los datos en un problema que maneje probabilidades de estados en matrices estocásticas, además es un procedimiento rápido y efectivo.
REFERENCIAS:
http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase2_II.pdf
EJERCICIO No 5:
OBJETIVO: Utilizar las ecuaciones de Chapman Kolmogorov para resolver modelos con distribuciones probabilística, estos representados mediante una matriz estocástica, de la cual dependen los estados futuros de la misma.
ENUNCIADO: En 2013, las exigencias de los internautas sobre sus navegadores han cambiado drásticamente. Dentro de los software más populares por los usuarios por su variedad de plugins se tienen FireFox y Google Chrome, este último que cada vez adquiere mayor fuerza. Este año, los usuarios prefieren utilizar FireFox (46%), mientras que Google Chrome (14%). Suponga que un usuario comúnmente utiliza el motor de búsqueda de Mozilla Firefox y es muy probable que su próxima navegación la lleve a cabo a través del mismo navegador con probabilidad de 70%. Por otra parte un usuario asiduo del navegador Crome tiene una probabilidad de 60% de realizar su próxima búsqueda en el mismo navegador; a partir de la siguiente información calcule:
1. La probabilidad de que un usuario Mozilla migre a Crome en dos oportunidades. 2. La probabilidad de que un usuario Crome realice sus consultas con este navegador en 3 oportunidades. CONCEPTOS CLAVES: Matriz de transición de n p asos : arreglo
de filas y columnas que contiene las probabilidades que de que el sistema pase del estado i al estado j después de n transiciones. Estado: valor que cambia o evoluciona con el paso del tiempo. Mat riz est o cást ic a: es una matriz cuadrada en la que todos los datos son mayores o iguales que 0, y en la que la suma de todos los datos de un renglón es igual a 1.
FORMULA:
PASOS
PROCEDIMIENTO
6. Definir los estados
7. Matriz de transición
|
Si se define como el tipo de cola que una persona compra en su n-ésima compra futura (compra actual de procesador = )
:
8. Encontrar las probabilidades en las de transición de la matriz.
Por consiguiente,
.
Esto significa que la probabilidad de que un usuario Mozilla migre a Crome en dos oportunidades es de 0.52.
CONCLUSIÓN: Las ecuaciones de Chapman Kolmogorov facilitan las operaciones y procedimientos respecto a la manipulación de los datos en un problema que maneje probabilidades de estados en matrices estocásticas, además es un procedimiento rápido y efectivo.
REFERENCIAS:
Wayne L. Winston, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES APLICACIONES Y ALGORITMOS, Thomson, Cuarta edición, página 928
EJERCICIO No 6: OBJETIVO
Mostrar los pasos necesarios para resolver un problema de cadenas de Markov discretas mediante la aplicación de las ecuaciones de Chapman – Kolmogorov. ENUNCIADO
Se dispone de 4 módulos de atención que se van activando secuencialmente a medida que la cantidad de usuarios que deben ser atendidos aumenta. Cada módulo tiene un máximo de usuarios a los que se les puede entregar servicio. Cuando un módulo está completamente utilizado, entra en servicio el siguiente módulo. Si un módulo deja de ser utilizado, el módulo se desactiva temporalmente, quedando en servicio los módulos anteriores. Las probabilidades de transición, asociada a cada servidor se presentan en la siguiente tabla: Desde el 1 al 1: 0.3
Desde el 2 al 1: 0.4
Desde el 3 al 1: 0
Desde el 4 al 1: 0
Desde el 1 al 2: 0.7
Desde el 2 al 2: 0.2
Desde el 3 al 2: 0.3
Desde el 4 al 2: 0
Desde el 1 al 3: 0
Desde el 2 al 3: 0.4
Desde el 3 al 3: 0.1
Desde el 4 al 3: 0.5
Desde el 1 al 4:0
Desde el 2 al 4: 0
Desee el 3 al 4: 0.6
Desee el 4 al 4: 0.5
Se desea saber: 1.
¿Cuál es la probabilidad de que cada servidor esté en uso? 2. ¿Cuál es la probabilidad en dos pasos, de que el servidor 1 este en uso dado que el servidor 2 lo estaba? CONCEPTOS CLAVE Proceso estocástico: es una colección o familia de variables aleatorias { , con
ordenadas según el subíndice t que en general se suele identificar con el tiempo.
},
Cadenas de Markov: Las cadenas de Markov y los procesos de Markov son un tipo especial de
procesos estocásticos que poseen la siguiente propiedad:
-
Propiedad de Markov: Conocido el estado del proceso en un momento dado, su comportamiento futuro no depende del pasado. Dicho de otro modo, “dado el presente, el futuro es independiente del pasado”.
Transiciones: Representa un cambio de un estado a otro. Matrices: Una matriz es una tabla bidimensional
de números consistente en cantidades
abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. PASOS
PROCEDIMIENTO
Estado 1: El servidor 1 está siendo utilizado. Estado 2: El servidor 2 está siendo utilizado. 1. Definición de estados
Estado 3: El servidor 3 está siendo utilizado. Estado 4: El servidor 4 está siendo utilizado.
2. A partir de los datos iniciales se construye la matriz de transiciones. 3. Se determina el vector de probabilidad de transición estacionaria. 4. Con los datos de la matriz se plantea un sistema de cuatro ecuaciones.
5. Se resuelve el sistema de ecuaciones anteriormente planteado La probabilidad de que el módulo 1 esté en uso es 0.027 6. Solución pregunta
primera
La probabilidad de que el módulo 2 esté en uso es 0.189 La probabilidad de que el módulo 3 esté en uso es 0.351 La probabilidad de que el módulo 4 esté en uso es 0.433
7. Se emplea la fórmula para hallar la probabilidad en dos pasos.
8. Solución pregunta
segunda
Se obtiene que la probabilidad de que el servidor 1 este en uso dado que el servidor 2 lo estaba en dos pasos es de: 0.2
CONCLUSIÓN
Las ecuaciones de Chapman – Kolmogorov permiten hallar las probabilidades de los estados en diferentes instantes de tiempo de una manera rápida y precisa. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
http://www.academia.edu/7294938/03._Unidad_II_Procesos_Estocasticos http://www.dmae.upct.es/~mcruiz/Telem06/Teoria/apuntes_procesos.pdf
EJERCICIO No 7: Objetivo: Aplicar las Ecuaciones de Chapman y Kolmogorov para hallar la solución de un problema de programación que consiste en asignar los días de la semana a las visitas de posibles inversionistas. Problema Una empresa de valores requiere un software que organice por días las visitas a 7 posibles inversionistas. Para esto se desarrolla una aplicación que simula una agenda electrónica con la singularidad de que las actividades se distribuyen a lo largo de los 7 días de la semana de forma aleatoria. A cada día se le asignara un número del 0 al 6 luego se empleara un número aleatorio (random) que determinará qué día le corresponde a cada cliente. Se observa cuantos resultados diferentes han aparecido hasta cada momento.
a) Hallar el diagrama de transición de estados y la matriz de transición de una cadena de Markov que modele esta situación. b) Si hasta el momento han aparecido 2 resultados diferentes, ¿cuál es la probabilidad de que tras 2 generaciones de numero aleatorios más el número de resultados diferentes sea cuatro? c) ¿Si hasta el momento han aparecido 3 resultados diferentes, ¿cuál es la probabilidad de que tras realizar 2 generaciones de números aleatorios más el número de resultados diferentes sea cuatro? Formas utilizadas:
Conceptos claves:
Cadena: sucesión de cosas, acontecimientos Estados: comportamiento del sistema que es observable en el tiempo. Los sistemas tienen un estado inicial, pero pueden tener múltiples estados finales (mutuamente excluyentes). Diagrama Transición: herramientas de modelado de sistemas en tiempo real.
Solución: Pasos 1. Analizar los datos
Procedimiento El conjunto de estados que representa el sistema es S={0,1,2,3,4,5,6,}, lo que representa a cada cliente que se le asignara un día de la semana.
2. Encontrar la de transición
matriz
3. Obtener el diagrama de transición de estados (DTE) correspondiente
Según las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, dicha 4. Hallar la probabilidad probabilidad viene dada por el elemento (3,5) de Q2. Para de transitar en 2 hallar dicho elemento, debemos tomar Q y multiplicar la 3ª fila etapas desde el por la 5ª columna: estado 2 hasta el estado 4. Según las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, dicha 5. Hallar la probabilidad probabilidad viene dada por el elemento (4,5) de Q2. Para de transitar en 2 hallar dicho elemento, debemos tomar Q y multiplicar la 4ª fila etapas desde el por la 5ª columna: estado 3 hasta el estado 4.
Conclusiones:
Encontrar la matriz de transición es muy importante para resolver los problemas de este tipo, pues en el ítem b se debe multiplicar la 3ª fila por la 5ª columna según la ecuación de Chapman-Kolmogorov y para el ítem c multiplicar la 4ª fila por la 5ª columna. La interpretación dada en el ítem b dice que han aparecido 2 resultados para cada cliente y piden la probabilidad de que si generamos dos números aleatorios mas el número a obtener sea el estado cuatro correspondiente a otro cliente y pasa algo similar con el ítem c.
