Columnas de Hormigon Armado - Cirsoc 201-2005

” O 5 D 0 A 0 2 M R 1 A 0 N 2 C O G I O S M R R I C O H O E G I D D S O A C N N M U U G L E O S C “ : 6 0 0 2 O S R U C -

COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO

R E C I P C

Ing. Aníbal A. Manzelli


R E C I P C

11

COLUMNAS DE Ho.Ao. NORMALES y ZUNCHADAS

22

DIAGRAMAS DIAGR AMAS DE INTERACCION INTERACCION – DIAGR DIAGRAMAS AMAS SIMPLIFIC SIMPLIFICADOS ADOS

33

DIAGRAMA DIAGR AMA MOMENTO-CURVAT MOMENTO-CURVATURA URA – DIAGRA DIAGRAMAS MAS SIMPLIFICADOS SIMPLIFICADOS

44

COLUMNAS CON FLEXION BIAXIAL

55

DETALLES CONSTRUCTIVOS SEGÚN ACI 318 y PRAEH CIRSOC 201 2002

66

INTRODUCCION AL ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

77

ANALISIS DE LA COLUMNA BIARTICULADA

88

LONGITUDES EFECTIVAS (LUCES DE PANDEO) EN SISTEMAS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES

99

SISTEMAS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES

10


R E C I P C

11


22

DIAGRAMAS DIAGR AMAS DE INTERACCION INTERACCION – DIAGR DIAGRAMAS AMAS SIMPLIFIC SIMPLIFICADOS ADOS

33


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10


R E C I P C

11 11

COLUMNAS DE SISTEMAS INDESPLAZABLES – METODOS SEGÚN SEGÚN ACI 318 318

12 12

COLUMNAS DE SISTEMAS DESPLAZABLES – METODOS SEGÚN SEGÚN ACI 318

13 13

APLICACIÓN DE TEORIAS DE SEGUNDO ORDEN PARA DETERMINAR MOMENTOS FLEXORES

14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16

ANALISIS GENERAL DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ

17 17

EFECTOS DE LA RIGIDEZ, DE LAS CARGAS SOSTENIDAS, DEL GIRO DE LAS FUNDACIONES, ETC.

18 18

COMPARACIONES

19 19

EJEMPLOS DE APLICACION


R E C I P C

11


22

DIAGRAMAS DE INTERACCION – DIAGRAMAS SIMPLIFICADOS

33

DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA – DIAGRAMAS SIMPLIFICADOS

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10


R E C I P C

LEYES CONSTITUTIVAS DE LOS MATERIALES

f y

0,85 f’c 0,85 f’c 3,0(1- 1)

3,0

[0/00]

HORMIGON

2,1 (ADN420)

3,0

[0/00]

ACERO

Donde: β 1 = 0,85

para f’c ≤ 30 Mpa

β 1 = 0,85 – 0,05 (f’c – 30 MPa) / 7 ≥ 0,65

para f’c > 30 MPa


R E C I P C

Determinación de Pn y Mn para una determinada deformación:


R E C I P C

Determinación de Pn y Mn para una determinada deformación:


R E C I P C

COLUMNAS CORTAS CON ESTRIBOS NORMALES Fórmula de adición

COMPRESION PURA RESISTENCIA MAXIMA CON Mu = 0

Pn 0.80 0.85f c' Ag Ast f y Ast

Donde: Ag : Sección bruta de hormigón Ast: Sección total de armadura = 0,65 para combinación de cargas según art.9.2: U= 1,4 (D + F) U= 1,2 (D+F+T) + 1,6(L+H) + 0,5 (Lr ó S ó R) ...................... Etc. Para cargas gravitatoria, permanentes y sobrecargas, de uso en edificios normales: U= 1,4 D


R E C I P C

COLUMNAS CORTAS CON ZUNCHOS EN ESPIRAL COMPRESION PURA RESISTENCIA MAXIMA CON Mu = 0

Fórmula de adición

Pn 0.85 0.85f c' Ag Ast f y Ast

Donde: Ag : Sección bruta de hormigón Ast: Sección total de armadura = 0,70 para combinación de cargas según art.9.2: U= 1,4 (D + F) U= 1,2 (D+F+T) + 1,6(L+H) + 0,5 (Lr ó S ó R) ...................... Etc. Para cargas permanentes y sobrecargas de uso en edificios normales:

” O 5 D 0 A 0 2 M R 1 A 0 N 2 C O G I O S M R R I C O H O E G I D D S O A C N N M U U G L E O S C “ : 6 0 0 2 O S R U C

Elementos comprimidos con zunchos en espiral: f 1 = f’c+4,1 f 2 = f’c + 4,1 p

p

f y As

f y As

-

R E C I P C

A s = A sp

p

p

2 . A sp . f y d c .s


R E C I P C

Elementos comprimidos con zunchos en espiral: f 1 = f’c+4,1 p

p

El aumento de la tensión última del hormigón del núcleo debe compensar la disminución de la sección por pérdida del recubrimiento.

p

s

f y As

dc A sp d2c s 4

2 .A sp .f y d c .s 4A sp dc s

A sp

.f y 2

s

s

dc s 4

c

p f y As

(0 ,85 f c'

0 ,85 f c' A g

dc s: separación entre zunchos

A s = A sp

4 ,1p)A c

 A g  c' ρ s ≥ 0.45  − 1  c  f y


R E C I P C

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COLUMNAS CORTAS FLEXION COMPUESTA RECTA Diagramas de interacción

Pn ó

Pn

Pn , Mn Pn ,

0,80

Mn

P 0n

-

R E C I P C

Mn ó Mn


R E C I P C

Diagramas de interacción

FLEXION COMPUESTA RECTA

P

Se puede puede calcular calcular igua iguall que con DIN 1045 con los planos límites ε cu

P 0n

= −0.003

φ = 0.65 0,80

P 0n

ε cu

ε y

0.005

φ = 0.90

= −0.003


R E C I P C

Diagrama Diagrama de interacción interacción simplificad simplificado o – Columnas Columnas rectangular rectangulares es

.P0n

.Pn

φ.P0n

.Pn(max) c

.Pbn .Mbn

φ.Pn(max)

.Ptn

φ.Pbn

φ.Ptn

. 0.85.f 'c . A g

.Mbn

.Mn

Ase

A st

A st .f y

0.80 0.85 f 'c . Ag Ast

Ast f y

0.43 h b.f 'C .Pbn .0.32.h

. 0.6.A se 0.15.A ss .f y .

h d' 2

.A stotal .f y

.Mbn Ass

b

h


R E C I P C



R E C I P C



R E C I P C

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10 10


R E C I P C

Diagrama momento-curvatura simplificado Columnas rectangulares

.Pn

φ.P0n

.Pn

cu = -0,003

c

d

φ.Pn(max) φ.P

y = 0,0021 (para f y= 420 Mpa)

φ.Pbn

.Mn φ.Mbn

(1/r)P (1/r)max

(1/r)max 2. y / (0.9.d) (

cu+ y)/

(1/r)

d

(1/r)max 0,005 / d para acero ADN 420


R E C I P C

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FLEXION COMPUESTA OBLICUA Reemplazo por flexión compuesta recta para columnas con simetría según dos ejes y armadura en las cuatro caras. Distintos métodos. z

Compatibilizando deformaciones. Métodos iterativos. Diagramas de interacción (“rosetas’).

Método de Bresler ( Arts. 10.3.5 y 10.3.6):

1 Pu

-

R E C I P C

Programas de computadora

1 Pn

1 P nx

1 P ny

1 Pn0


R E C I P C

Método de Bresler y

DATOS :

Muy = Pu ex x

u

1 Pn

Mux= Pu ey

1 P nx φ P n 0

φPn

M uy

1 Pn0

= φ 0.85 f c' ( Ag − Ast ) +

f y Ast 

φPn Pn0

Pn0 0,8 Pn0

Pu

0,8 Pn0

Pnx

Pn

Pny

Pbx

Pby

Mux Pnt

1 P ny

M ux

φMnx

Muy Pnt

φMny

VERIFICAR


R E C I P C

Método de Bresler - RESUMEN 1.

Se determinan P u , M ux y M uy .

2.

Se estima la armadura.

3.

Se determinan, en forma exacta o simplificada, los diagramas de interacción para momentos alrededor del eje x y alrededor del eje y . Como alternativa, pueden utilizarse los diagramas adimensionales incluidos en diversas publicaciones.

4.

Se obtienen los valores de P nx , P ny y P n0.

5.

Se determina el valor de P n con la expresión de Bresler.

6.

Se debe verificar que P u

P n

Nota: La expresión de Bresler es más precisa cuando se cumple: P nx > P bx y P ny > P by

φPn

φPn Pn0

Pn0 0,8 Pn0

0,8 Pn0

Pnx

Pny

Pbx

Pby

Mux

φMnx

Muy

φMny


R E C I P C

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ANALISIS DE LA COLUMNA BIARTICULADA LONGITUDES EFECTIVAS (LUCES DE PANDEO) EN SISTEMAS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES SISTEMAS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES


DIMENSIONES PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS (hormigonadas en obra) Columnas rectangulares 200mm • Lado mín. • Diámetro mín. armadura principal db 12 mm

DIMENSIONES MINIMAS A CONSIDERAR

Columnas circulares (hormigonadas en obra) Diámetro mín. 250mm • • Diámetro mín. armadura principal d b 12 mm

Columnas armadas con zunchos en espiral • Diámetro mín. 300 mm • Diámetro de los zunchos d 10mm

-

R E C I P C

SECCION EQUIVALENTE

Se puede adoptar la sección circular equivalente calculando todas las magnitudes para dicha sección: Ag ,As, cuantías, resistencias, etc


R E C I P C

LIMITES PARA LA ARMADURA DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS

ARMADURA DE

•ARMADURA MINIMA

A’st

0.01 Ag

•ARMADURA MAXIMA

A’st

0.08 Ag

COLUMNAS

Para columnas sobredimensionadas, se puede determinar la armadura para una sección efectiva reducida no menor que el 50% del área total Ag. •

• Por lo tanto, para este caso, la armadura mínima se

determina en función de esa sección efectiva reducida.


R E C I P C

LIMITES PARA LA ARMADURA DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS

NUMERO DE BARRAS LONGITUDINALES

•4 BARRAS DENTRO DE ESTRIBOS CERRADOS RECTANGULARES •3 BARRAS DENTRO DE ESTRIBOS CERRADOS TRIANGULARES. •6 BARRAS RODEADAS POR ZUNCHOS EN ESPIRAL. CUANTIA VOLUMETRICA DE LA ARMADURA COMPUESTA POR ZUNCHOS EN ESPIRAL

s

0.45

A A

g c

1

f' c f y

f y 420 MPa


R E C I P C

DISPOSICION DE ARMADURA : ESTRIBOS


R E C I P C

DISPOSICION DE ARMADURA

Alternativa con ganchos


R E C I P C

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DIAGRAMAS DIAGR AMAS DE INTERACCION INTERACCION – DIAGR DIAGRAMAS AMAS SIMPLIFICA SIMPLIFICADOS DOS

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R E C I P C

EFECTO DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS



e

A

e

-

R E C I P C

e

C

B


R E C I P C

EFECTO DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS 1 P

M0=P.e

e

0

P(

o

+

MII= M0 + P(

a)

2 o

+

M=H. /4

a)

+

a

H=1

3 Aprox. Parábola cuadrática

P

Integrando los diagramas: 1 2

0

a

3 2

0

a

MM EI

M MII EI

M0 II MII ).l 2 . M ( 48 EI 5

II l

l

1 2 MII .l . 8 EI

M0 MII ).l 2 .(1) 0.115.l2 .(1) ( 48 r r 5

1 2 1 1 .l .( ) 0.125.l 2 .( ) 8 r r

Valor máx. para diagrama rectangular “3”


P

1 e e

a

0

MII= P(

M0=P.e

o

+

a)

M=H. /4 H=1

Aprox. Curva sinusoidal

P Integrando diagramas

0

a

0

0

0.

-

R E C I P C

2

1

M. MII EI

l

P / PE 1 P / PE

2

y

0

MII .l 2 2 .EI

P.( 0

0

a 2

).l 2

.EI

0

(

0

a

1 P / PE

a ).

0

0

.

P PE

PE

2

.EI

l

2

P / PE 1 P / PE k=1

MC

f

M0 P.

0 23

M0

para

P. 0 1 P / PE

M0 (1 f F .P / PE ) 1 P / PE

M 0 .l

2

M0 (1 0.23P / PE ) 1 P / PE

El factor f F es función de la forma del diagrama M0. (P.E., vale –0,38 para diagrama triangular con M 0 en un extremo y valor cero en el otro. Vale –0,18 para diagrama con


R E C I P C

=1

MC

M0 P.

Mc

.M0 1 1 P / PC

PC

2

.EI (kl)2

M0

P. 0 1 P / PE

M0 1 P / PC

M0 (1 f F .P / PE ) Expresión analítica 1 P / PE

Momento de segundo adoptado por ACI 318

Factor de amplificación de momentos

PE

2

.EI

l

2

k=1 Columna biarticulada

Comparación de factores de amplificación Diagrama uniforme de momentos

Comparación de factores de amplificación Diagrama triangular de momentos

15.00 10.00

ACI 318 Analítica

5.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00

ACI 318 Analítica

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90


R E C I P C

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R E C I P C


Aplicar “Análisis de segundo orden”con las siguientes consideraciones: • Comportamiento no lineal de los materiales • Fisuración • Deformación del elemento • Desplazamiento lateral • Duración de las cargas (deformación diferida) • Retracción • Efecto de las fundaciones

Se podrán utilizar métodos alternativos como los indicados en los Arts. 10.11 , 10.12 y 10.13


MOMENTOS AMPLIFICADOS- CONCEPTOS GENERALES

f c′

E c

Momentos de inercia:

Vigas Columnas Tabiques no fisurados Tabiques fisurados Entrepisos sin vigas Areas

-

R E C I P C

=

Módulo de elasticidad:

Para cargas de servicio, se pueden utilizar estos valores de momentos de inercia multiplicados por 1.43

4700

[MPa]

0.35 Ig 0.70 Ig 0.70 Ig 0.35 Ig 0.25 Ig 1.00 Ag



Deformación diferida:

-

R E C I P C

I ∞

=

I (1 + β )

β d =

S u , permanente S máxima


R E C I P C


Luces de cálculo:

l u

l c

l c

l u

l u


R E C I P C


Longitudes efectivas de pandeo:

k l u



Longitudes efectivas de pandeo: Valor de k :

Casos de Euler y variantes Expresiones del BSCP (Art. C10.12.1) (British Standard Code of Practice)

-

R E C I P C

k l u

Expresiones útiles para programación !!!


Nomogramas de Jackson y Moreland (Art. C10.12.1) Longitud efectiva k lu

ψ A

I =∑ ∑ I

sup erior

col

Lcol

vig

Lvig

6

=

0.70( I1 L1 + I5 L5 ) 0.35( I 6 L6

+ I7

L7 )

5 7 1

3

4 2

-

R E C I P C

Sistemas indesplazables

Sistemas desplazables

ψ B

I =∑ ∑ I

col

Lcol L

inf erior

=

0.70( I1 L1 + I 2 L2 ) 0 35( I L

+I

L)


R E C I P C

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R E C I P C

MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

¿ Cuándo un pórtico o entrepiso se puede considerar como INDESPLAZABLE ?: Cuando es evidente Cuando

II M

Cuando

I 1,05 M

Q=

∑ P u ∆0 V u

lc

≤ 0,05

I M

Momento en extremo de columna obtenido por análisis de primer orden.

Q

Índice de estabilidad. P u

0

V

Carga vertical total mayorada; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel considerado. Deformación horizontal relativa de primer orden, determinada en forma elástica, debida a Vu y correspondiente al extremo superior con respecto al inferior del nivel considerado. Corte horizontal mayorado en el nivel considerado.


¿CUÁNDO UNA COLUMNA ES “INDESPLAZABLE”? 10.11 10.11

Consideremos el efecto P- ∆ en un entrepiso

∑ P

Rigidez =

H =

∆0

u

V u V u

l c

∆0

∆ ∑ P u l c

Rigidez =

Vu

∆

∑ P

V u

u

+ H ∆

l c

-

R E C I P C

∆= 1−

∆0 ∆0 ∑ lc

V u

M 0

M = u

1−

∆0 lc

∑ V u

Es “indesplazable” cuando: u

P − ∆ ≤ 0.05

∆

∑ P

Q ≤ 0.05


R E C I P C

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R E C I P C


¿ Cuándo se pueden ignorar los efectos de la esbeltez en un pórtico o entrepiso INDESPLAZABLE ?: k ns lu r

 M 1  ≤ 34 −12  ≤ 40  M 2  M 2

M 2

M 1

M 1

Curvatura simple

Curvatura doble

0 M 1 / M 2

-1

1

M 1 / M 2

0

r = 0,30 h para r = 0,25 h para

 z


R E C I P C


10.12 10.12

¿ Cómo se tienen en cuenta los efectos de la esbeltez en columnas pertenecientes a un pórtico o entrepiso INDESPLAZABLE ?: SI

k ns l u r

> 100

EMPLEAR TEORIA DE SEGUNDO ORDEN

SI

k ns

lu

r

≤ 100

MOMENTO AMPLIFICADO

M C =

ns

M 2



MOMENTO AMPLIFICADO

Cm Pu

ns

1

M C =

ns

M 2

P c =

1,0

10.12 10.12

π 2 E I

(k l u )2

0,75 Pc

C m = 0,6 + 0,4

Factor de reducción de la rigidez

M 1 M 2

≥ 0, 4

 0, 2 E c I g + E s I se  1 + β d  E I =  ó  0, 4 E I c g   1 + β d

-

R E C I P C

• Coeficiente para columnas SIN CARGAS TRANSVERSALES entre apoyos !!!. • Para columnas CON CARGAS TRANSVERSALES entre apoyos: C m = 1

Este valor,

, es un factor de reducción de rigidez. Tiene en cuenta la incertidumbre

k


R E C I P C

10.12 10.12


MOMENTOS AMPLIFICADOS M C =

ns

M 2

Curvatura simple


R E C I P C


M 1 C m = 0,6 + 0,4 M 2 “a”

“b”

≥ 0,4

El valor de Cm se determina de manera tal que el momento amplificado sea el mismo en ambas columnas,“a” y “b”.


R E C I P C

MOMENTOS DE II ORDEN EN UNA COLUMNA “INDESPLAZABLE” c =

δ ns

1−

M 2 P u

= 1−

= δ ns M 2

0.75 P c

P c = π 2

1 P u

EI

( k l u )

2

k ≤ 1.0

Curvatura simple

0.75 P c

P u

P u

P u

1

C m M 2

1

ns

l c

kl c

e0= M 2 / P u


c =

M 2 P u

1−

= 1−

P c = π 2

0.75 P c

c = δ ns

δ ns

= δ ns M 2

( k l u )

2

k ≤ 1.0

M 2 C m P u 0.75

I

C m

= 0.6 + 0.4

M 1

M 2

c

Curvatura doble

≥ 0.40

ns P u

P u

P u

C m M 2

P u

P u

1

C m M 2

1

C m M 2

-

R E C I P C

l

l c

2

kl

c

e0= C mM 2 / P u


R E C I P C


Excentricidad MINIMA : EL MOMENTO MAYORADO M 2 EN LA ECUACION M C = VERIFICAR:

M2

ns

M 2

DEBE

M2,mín Pu (15 0,03 h)

(ALREDEDOR DE CADA EJE EN FORMA SEPARADA) ( 15 y 0,03 h se expresan en mm)

CUANDO SE VERIFIQUE QUE M 2,mín > M 2, se debe adoptar el coeficiente C m = 1 ó calcularlo con la expresión :

Cm

0 ,6

0 ,4

M1 M2

0 ,4

considerando el cociente de los momentos calculados para los extremos M 1 y M


R E C I P C

10.12 10.12


¿ Cómo se tienen en cuenta los efectos de la esbeltez en columnas pertenecientes a un pórtico o entrepiso INDESPLAZABLE CON FLEXION OBLICUA?:

Para elementos comprimidos a flexión respecto de ambos ejes principales, el momento respecto de cada eje debe ser amplificado en forma separada, sobre la base de las condiciones de restricción correspondientes a cada eje.


R E C I P C

11 11

COLUMNAS DE SISTEMAS INDESPLAZABLES – METODOS SEGÚN ACI 318

12 12

COLUMNAS DE SISTEMAS DESPLAZABLES – METODOS SEGÚN ACI 318

13 13


14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16


17 17


18 18

COMPARACIONES

19 19



R E C I P C

MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES Art. 10.11.4 A. Es evidente que el sist. o nivel es indesplazable?

SI

B. Es C. Es

II

M

Q=

ó

I

1.05 M ?

∑ P ∆ u

V u l c

0

≤ 0.05...........conV u ≠ 0 ?

[Ec. 10.7]

I M


Q

Índice de estabilidad.

P u 0

NO

ó

Carga vertical total mayorada; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel considerado.

Sistema o nivel DESPLAZABLE Aplicar Art. 10.13

Deformación horizontal relativa de primer orden, determinada en forma elástica, debida a Vu y correspondiente al extremo superior con respecto al inferior del nivel considerado.

V u

Corte horizontal mayorado en el nivel considerado.

l c

Altura del elemento comprimido, medida desde centro a centro de los nudos del pórtico.

SISTEMAS O NIVELES INDESPLAZABLES


I Art. 10.12.1

Calcular longitud efectiva Art. 10.11.5

NO Es

k ns .l u r

l u

SI

> 100 ?

r (radio de giro) r=0.3h  ; r=0.25h

Realizar análisis de segundo orden según Art. 10.10.1

z

Art. 10.12.2

NO

-

R E C I P C

k ns.

Es k ns .l u ≤ 34 − 12 M 1 r

Para /M 2/ / M 1 /

II

M 2

SI ≤40

R


R E C I P C

II SI

NO

Hay cargas transversales en el elemento comprimido, entre apoyos ? C m = 1

C m = 1 ó C m= 0.6 + 0.4 M 1 / M 2

0.4

[Ec.10-14] Con /M 2 / /M 1 /

M 2

M 2

M 1

III

M 1

Curvatura simple

Curvatura doble

0 M 1 / M 2

-1

1

M 1 / M 2

0

Nota: En Ec.10-14, se debe utilizar el valor de obtenido en el análisis estructural, aún si


R E C I P C

III Calcular:

M c

con valor mínimo:

M 2

δ ns

= 1−

C m Pu u

ns

. M 2

[Ec.10 -9]

≥ P u (15 mm + 0 . 03 h )

[Ec.10.15]

≥1

[Ec.10 -10]

0 . 75 Pc c

donde:

Pc c

=

π 2 . E . I ( k ns .l u )

Adoptando:

EI

=

siendo

[Ec.1 0 -14]

2

0 . 2 E c I g

+ E s . I se

1 + β d β d

=

P u , PERMANENTE P u , MAXIMA

[Ec.10 -12]

(Si se adopta

IV

EI =

ó

d

0 .6

0 . 4 E c I g 1 + β d

⇒ EI =

[Ec.10 -13]

0 . 24 E c I g )


R E C I P C

IV Calcular la armadura con los valores de P u y el momento amplificado M C, utilizado, por ejemplo, diagramas de interacción.

En el caso de flexión OBLICUA, los momentos de segundo orden respectos de cada eje se calcularán en forma separada, de acuerdo a las condiciones de sustentación correspondiente a cada plano. Calcular armadura con diagramas en roseta, fórmula de Bresler, etc.


R E C I P C

11 11

COLUMNAS DE SISTEMAS INDESPLAZABLES – METODOS SEGÚN ACI 318

12 12


13 13


14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16


17 17


18 18

COMPARACIONES

19 19



R E C I P C

EFECTO DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS 0.2 Pc

1.2 Pc

1.0 Pc

P c = π 2

EI

H= 4V0 EI

EI

∆

EI

EI

L

0

M0

H I orden

V0

V0

H

+

2 .4

E f e c t o P

M0

V0

V0

∆

P c ∆

1.97 M0

L

− ∆

δ s

1.97

1.97

1.97

1.97

1.97 M0

=

∆ = ∆0

1 .9 7

L2


R E C I P C

∆

0

0.2 Pc

1.0 Pc

1.2 Pc

V0

V0

V0

M0

H I orden

V0

+

H

2 .4

∆

L

− ∆

1.97 V0

1.97 V0

∆1 +

2 .4

P c ∆

1.97 V0

1.97 V0

0.2 Pc

δ s

=

∆ = ∆0

δ s

=

∆1 = ∆0

1 .9 7

1.97 M0

1.2 Pc

1.0 Pc

1

L

E f e c t o P

↓

1.97 M0

P c ∆

E f e c t o P

H

M0

− ∆

0.97

1

R i g i d e z

2.50 V0

2.42 V0

0.78

0.82

2.06 V0

1.98 V0

1.981 M0 2.5

2.42

2.06

1.98

2 .5 0


R E C I P C

MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES

El factor k para calcular la longitud efectiva de pandeo debe ser :

k>1


R E C I P C


10.13 10.13

¿ Cuándo se pueden ignorar los efectos de la esbeltez en un pórtico o entrepiso DESPLAZABLE ?:

CUANDO k u / r < 22


R E C I P C


10.13 10.13

¿ Cómo se tienen en cuenta los efectos de la esbeltez en columnas pertenecientes a un pórtico o entrepiso DESPLAZABLE ?: SI

k ns

l

r

u

>

100

EMPLEAR TEORIA DE SEGUNDO ORDEN SI

k ns

l

r

u

≤

100

MOMENTOS AMPLIFICADOS EN LOS EXTREMOS DE LA COLUMNA: M 1 = M 1ns + s M 1s M 2 = M 2ns + s M 2s


INTRODUCCION A LOS EFECTOS DE LAS ESBELTEZ Si Pu es aprox. constante se puede aplicar el principio de superposición.

u u

+

=

-

R E C I P C

∆

Du

Du

s

ns

=

ns

“INDESPLAZABLE”

+

δ s “DESPLAZABLE”


R E C I P C


10.13 10.13

¿ Cómo se determinan los valores de s M s (para s M 1s y s M 2s ) en columnas pertenecientes a un pórtico o entrepiso DESPLAZABLE ?:

TRES OPCIONES: 1.

Análisis de segundo orden

2.

Método directo P-

3.

Factor de amplificación de momentos por desplazamiento lateral

Nota: Siempre se deben verificar todos los estados de cargas indicados en el Art. 9.2. Es decir, se deben obtener las armaduras para cada uno de ellos y adoptar la mayor.



R E C I P C

. El valor de Ec utilizado en el análisis de segundo orden se obtiene en función de f’c, mientras que las deformaciones se corresponden con un valor de Ec que es función de valor medio f’m > f’c. . El análisis de segundo orden es un modelo más ajustado al fenómeno de segundo orden en SD que el método de la

-

OPCION 1. ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

10.13 10.13

• Momentos M1 y M2

calculados por análisis de segundo orden. Rigideces según Art. 10.11.1. •Método más utilizado: P- iterativo. •Si las deformaciones por torsión son importantes, debería utilizarse un análisis de segundo orden 3D. El factor de disminución de rigidez se toma aproximadamente k =0,875 en análisis de segundo orden. Ese valor está incorporado en la tabla del reglamento. Este valor es mayor que el adoptado en el método de la amplificación de momentos (0,75). Razones:

Vigas Columnas Tabiques no fisurados Tabiques fisurados Entrepisos sin vigas Areas

0.35 Ig 0.70 Ig 0.70 Ig 0.35 Ig 0.25 Ig 1.00 Ag



EFECTO DE SEGUNDO ORDEN

-

R E C I P C

PROCESO ITERATIVO HASTA R 0

10.13 10.13


R E C I P C


OPCION 2. METODO DIRECTO P-

• CALCULAR: s

Donde: Q

Ms

Ms 1 Q

Ms

NOTA :

P

u

V

u

Q

0

l

c

Si s > 1,5 usar opción 1 ó 3 Índice de estabilidad.

P u 0

Carga vertical total mayorada; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel considerado. Deformación horizontal relativa de primer orden, determinada en forma elástica, debida a Vu y correspondiente al extremo superior con respecto al inferior del nivel considerado.

V u


l c



R E C I P C


10.13 10.13

OPCION 3. FACTOR DE AMPLIFICACION s Ms

Ms

1

Ms

Pu

0 ,75

Pc

P u

la sumatoria de todas las cargas verticales en u n piso,

P c

la sumatoria de las cargas críticas de las column as qu e resisten el desplazamiento lateral de un piso, 2

P c

la carga crítica de terminada c on la expresión

P c

E I

k l u

2


10.13 10.13

MOMENTOS DE II ORDEN EN UNA COLUMNA “DESPLAZABLE” ∆

D

D

u

∆

u

Si la columna es muy esbelta con alta carga axial, el máximo momento podría ocurrir entre extremos.

H u

H u

+

=

s

ns

l u r

P u

P u

1ns

1

k l u

=

δ s

35

>

u ' c

f Ag

1s

+

-

R E C I P C

2

δ s

2ns

c

1

= M 1ns + δ s M 1s

c = δ ns

M 2

δ ns

=

2s

C m P

C m

= 0.6 + 0.4

M 1

M

≥ 0.40


R E C I P C

10.13 10.13


Una columna perteneciente a un pórtico o entrepiso DESPLAZABLE puede tener el mayor momento de segundo orden entre los extremos de la misma, es decir, no coincidente con los mismos: CUANDO: lu

r

35 Pu f ' c A g

En este caso, se debe calcular la columna para : • La carga mayorada P u • M c = ns M 2 • M 1 = M 1ns + s M 1s • M 2 = M 2ns + s M 2s • k = 1 ó k <1

ns

1

Cm Pu

0,75Pc

1,0


R E C I P C


10.13 10.13 ADEMAS DE LOS ESTADOS DE CARGAS QUE INCLUYEN CARGAS HORIZONTALES, SE DEBE VERIFICAR LA RESISTENCIA Y ESTABILIDAD DE LA ESTRUCTURA PARA CARGAS GRAVITATORIAS MAYORADAS (1,2 D+ 1,6 L)

La verificación se realizará de acuerdo a la opción adoptada para el cálculo. •

• Si no cumple con las condiciones impuestas, se deberán

redimensionar las secciones. • El valor de

será la relación entre la máxima carga axial mayorada de larga duración y la máxima carga axial mayorada total. d


R E C I P C

VERIFICACION DE LA ESTABILIDAD GLOBAL BAJO CARGAS GRAVITATORIAS 1 .2

H

+ 1 .6

L

10.13.6 10.13.6

∆0

d e s p la z a m i e n t o e n I o r d e n

∆

d e s p l a z a m ie n to e n I I o r d e n

∆ ∆0

El pórtico verifica la estabilidad global bajo cargas gravitatorias cuando:

Cualquiera

1)

∆ ≤ ∆0

2) δ s

∑ ∑ P P =∑ ∑ P

β d =

1

= 1−

∆ 0 ∑ P u

P permanente total

Por ej, β d

2 .5

1.2 D +1.6(0.2 L ) 1.2 D +1.6 L

3) δ s

≤ 2.50 →

1−

Vu l c

Vu l c 1

=

∆ 0 ∑ P u

∑ 0.75∑ P P u

≤ 2.5

c

En caso de no verificar se debe aumentar la rigidez del pórtico porque es muy

≤ 0.60



OPCION 1. ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN DEBE SER:

∆ II lat . ≤ I ∆ lat .

OPCION 2. METODO DIRECTO PDEBE SER:

Q

-

R E C I P C

2 .5

0<

NO es necesario VERIFICAR para CARGAS MAYORADAS GRAVITATORIAS si se adoptó el Método Directo, ya que 1,5 => Q 0,33 s Î

Pu Vu

0 lc

OPCION 3. FACTOR DE AMPLIFICACION DEBE SER:

VERIFICACION PARA CARGAS MAYORADAS GRAVITATORIAS (D y L). La carga lateral puede ser arbitraria o la correspondiente a cargas de viento, por ejemplo.

s

2,5

0,6

VERIFICACION PARA CARGAS MAYORADAS GRAVITATORIAS (D y L)


R E C I P C

11 11


12 12


13 13


14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16


17 17


18 18

COMPARACIONES

19 19



R E C I P C

10.13 10.13


DIAGRAMA DE FLUJO Art. 10.11.4

NO

SI

A. Es evidente que el sist. o nivel es indesplazable? ó II

B. Es M

C. Es Q =

I

1.05 M ?

∑ P ∆ u

V ul c

0

ó

≤ 0.05...........conV u ≠ 0 ?

[Ec. 10.7]

I M


Q

Índice de estabilidad.

P u 0

Sistema o nivel INDESPLAZABLE Aplicar Art. 10.12

Carga vertical total mayorada; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel considerado. Deformación horizontal relativa de primer orden, determinada en forma elástica, debida a Vu y correspondiente al extremo superior con respecto al inferior del nivel considerado.

V u


l c


SISTEMAS O NIVELES DESPLAZABLES

III


III Art. 10.12.1

Calcular longitud efectiva

k s.

l u

Art. 10.13.2

NO Es

k s .l u r

<

22

?

SI

R

V

-

R E C I P C

Dimensionamiento regular


R E C I P C

V SI

NO

K s lu / r > 100

Se debe utilizar un análisis de segundo orden de acuerdo al Art. 10.10.1 para calcular las solicitaciones en el sistema estructural analizado.

CALCULAR: M 1 = M 1ns +

s

M 1s

[Ec. 10-16]

M 2 = M 2ns +

s

M 2s

[Ec. 10-17]

M ins :

Momentos flexores debidos a cargas que no producen deformaciones laterales apreciables. Momentos flexores debidos a cargas que producen deformaciones M is : laterales apreciables.


2

OPCION 2. METODO DIRECTO P-

Calcular: δ s M . s

M s

= 1

−

≥ M s

Q

δ ≤ 1,5 s

-

R E C I P C

[Ec. 10-17]

A


A

VERIFICAR SI EL MAXIMO MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN SE ENCUENTRA ENTRE LOS EXTREMOS DE LA COLUMNA:

SI MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA

Art. 10.13.5

l u r

>

35

NO

P u

MOMENTO MAXIMO EN EXTREMO DE COLUMNA

f 'c . A g

[Ec. 10-19]

-

R E C I P C

2a

2c

3b. Dimensionar armadura con M 1 , M 2 y N


2a

MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA Calcular de acuerdo al Art. 10.12.3:

M c , 2 M 2

.M 2

M 2 ns

[Ec.10-9] s

. M 2 s

M 2 calculado de acuerdo al Art. 10.13.3

M 2

con valor mínimo:

C m P u

ns

1 (Si

ns

P c

1

[Ec.10-16 y 10-17]

P u (15mm 0.03h) C m

= 0.6 + 0.4

M 1

M 2

0.75 P c

[Ec.10.15] [Ec.10-10]

≥ 0.40

< 1, el momento máximo se encuentra en uno de los extremos) 2

-

R E C I P C

ns

. I . E

(k ns .l u )

[Ec.10-11]

2

Adoptando:

EI

0.2 E c I g E s I . se 1

d

[Ec.10-12]

ó

EI

0.4 E c I g 1

d

♦Calcular la armadura con el valor del esfuerzo axil P y el

[Ec.10-13]


R E C I P C

2c

NO

=> El estado de cargas analizado corresponde a cargas gravitatorias solamente ? (1.2D + 1.6L)

CONTINUAR

SI

2d


R E C I P C

2d

VERIFICACION DE ESTABILIDAD GENERAL PARA CARGAS GRAVITATORIAS MAYORADAS SEGÚN ART. 10.13.6.c

SI

NO Q

Pu Vu

0 lc

0,6 NO VERIFICA Se deben redimensionar las secciones

VERIFICA No existe riesgo de pandeo con cargas gravitatorias


3

OPCION 3. FACTOR DE AMPLIFICACION

Calcular: δ s M . s

= 1−

M s P U

∑ 0.75∑ P

≥ M s

C

-

R E C I P C

B

[Ec. 10-18]


R E C I P C

δ M . s

s

=

M s

P ∑ 1− 0.75∑ P

≥ M s

U

V

C

M s

Momento de primer orden

Σ P u

Carga vertical total mayorada ; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel

Σ P c

Sumatoria de todas las cargas críticas de las columnas y tabiques en el nivel considerado. considerado.

P c

=

β d

=

π 2 E . I . (k s .l u )

/

k s > 1

/

lu

V u , PERMANENTE

V u

β d

( EI de Ec- 10-12 ó Ec. 10-13

2

V u , MAXIMA Corte horizontal mayorado en el nivel considerado debido a acciones horizontales.

≅0

si las cargas laterales son debidas al viento(V u, PERMANENTE ≅ 0 )

: altura libre )


B

VERIFICAR SI EL MAXIMO MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN SE ENCUENTRA ENTRE LOS EXTREMOS DE LA COLUMNA:

SI MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA

Art. 10.13.5

l u r

>

35

NO

P u

MOMENTO MAXIMO EN EXTREMO DE COLUMNA

f 'c . A g

[Ec. 10-19]

-

R E C I P C

3a

3c

3b. Dimensionar armadura con M 1 , M 2 y N


3a

MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA Calcular de acuerdo al Art. 10.12.3:

M c , 2 M 2

.M 2

M 2 ns

[Ec.10-9] s

. M 2 s

M 2 calculado de acuerdo al Art. 10.13.3

M 2

con valor mínimo:

C m P u

ns

1 (Si

ns

P c

1

[Ec.10-16 y 10-17]

P u (15mm 0.03h) C m

= 0.6 + 0.4

M 1

M 2

0.75 P c

[Ec.10.15] [Ec.10-10]

≥ 0.40

< 1, el momento máximo se encuentra en uno de los extremos) 2

-

R E C I P C

ns

. I . E

(k ns .l u )

[Ec.10-11]

2

Adoptando:

EI

0.2 E c I g E s I . se 1

d

[Ec.10-12]

ó

EI

0.4 E c I g 1

d

♦Calcular la armadura con el valor del esfuerzo axil P y el

[Ec.10-13]


R E C I P C

3c

NO

=> El estado de cargas analizado corresponde a cargas gravitatorias solamente ? (1.2D + 1.6L)

CONTINUAR

SI

3d


R E C I P C

3d

SI

VERIFICACION DE ESTABILIDAD GENERAL PARA CARGAS GRAVITATORIAS MAYORADAS SEGÚN ART. 10.13.6.c

δ s =

1 1−

Σ P u 0.75Σ P c

≤2.5

NO

NO VERIFICA Se deben redimensionar las secciones

VERIFICA No existe riesgo de pandeo con cargas gravitatorias



RESUMEN Pórtico indesplazable

Pórtico desplazable

k u /r < 22

22 < k u /r <100

No tener en cuenta la esbeltez

Métodos A roximados

k u /r < 34 – 12

k u /r > 100

Análisis P - (∗∗)

(*)

(*)

100 > k u /r > 34 – 12 (M 1 /M 2 )

-

R E C I P C

/ 2 1

k u /r >100


R E C I P C

11 11


12 12


13 13


14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16


17 17


18 18

COMPARACIONES

19 19




Deformación diferida:

-

R E C I P C

I ∞

=

I (1 + β )

β d =

S u , permanente S máxima


R E C I P C

EFECTO DEL GIRO DE LA FUNDACION CONJUNTO COLUMNACOLUMNA- BASE 4E C IC

Kc

Kc Kb IC ;EC; c

lC

Kb se reemplaza por la rigidez al giro de la base M

K f

If ;A

f

P A f

1

2

ks

2 f

y

Coeficiente de balasto 2

f

M.y I f

k s .y

M.y 1 . I f k s .y

1

2

Para entrar en nomogramas Jackson - Moreland

M I f .k s 4E C I C

K f I f .k s

y

lC

I f .k s

If : momento de inercia de la sup. de contacto de la base (considerada rígida)


R E C I P C

11 11


12 12


13 13


14 14

METODO P- ITERATIVO

15 15

METODO P- DIRECTO

16 16


17 17


18 18

COMPARACIONES

19 19



R E C I P C

Ejemplo Nº 1 M2 PD= 450 kN PL= 250 kN e1= 25 mm e2= 50 mm

l c= 5,90m l u= 5,40m

H-20 / ADN 420 f’c= 20 MPa fy= 420 MPa M1= 0,5 M2

M1 1 S/ACI 318

Pu= 1,4 PD

= 630 kN

⇒ M1= 15.750 kNmm / M2= 31.500 kNmm

3,15 tm

Pu= 1,2 PD + 1,6 PL= 940 kN => M1= 23.500 kNmm / M2= 47.000 kNmm

2 Predimensionamiento:

Ag>

Pu . 1000 0,45 (f´c + fy t)

Pu . 1000 0,45 (20 + 6,3)

4,7 tm

80.000mm2

Se adopta sección 350 x 350 mm 3

Esbeltez:

4

Excentricidad mínima:

5

Klu r

= 1 x 5.400 0,3 x 350

= 51,4 > 34 – 12 M1 = M2

28

e min= 15 mm + 0,03 . 350 mm= 25,5 mm < e2= 50 mm

E= 4.700 (f’c) -2= 21.019 MPa EI = 0,4 Ec Ig Ig= 12,5 . 10 8 mm 4 1+ d d= 1,2 P / (1,2 P ) = 0,58

⇒ EI= 6,65 x 1012 MPa mm4


R E C I P C

6

Amplificación de momento flexor M2: Mc=

PC =

ns

M2

EI (klu)2 .

ns

=

.

Cm > 1 – Pu / 0,75 Pc

=

1

6,65. 12 MPa mm4 = 2.252 kN (5400)2

Cm= 0,6 + 0,4 M1 = 0,8 M2 M2= 4,7tm= 47.000 kNmm

M2>M2,min= 2,4 tm= 24.000 kNmm

ns

0,8 1-

940 0,75 . 2252

1,80 ⇒ Mc= 1,80 . 940 . 50KNmm = 84.600KNmm 8,5tm Deformación Total ⇒ e + = 90mm

7 Dimensionamiento d/ h= 310/ 350mm Nu= 940KN Mu= 84.600KNmm AS1= AS2= 6,0cm2

Recubr. 94t 2,5cm 8,5tm ⇒ Se adoptan 2 20 (en c/cara)

2 20 Estribos 8 c/ 320mm 2 20

Comparación CIRSOC 201 – 1982 (DIN 1045)

P= 70t e1= 2,5cm e2= 5,0cm Sk= 5,90m ⇒ = 58,4 > 70; e= (0,65 . 5,0 + 0,35 . 2,5) cm= 4,13cm e/d= 0,118 ⇒ f=6,28cm Dimensionamiento: Con N= 70t M= 70 (4,13 + 6,28) tcm =7,3tm

> 45 – 25 M1 M2

33

AS1= AS2= 7,3cm2


R E C I P C

Pn

168t

0,11 . lu2 . (l/r)= 0,11 . (540)2 . 1,10 . 10-4 cm

3,5cm

135t e

94t Pbn

Mn 11tm 8,5tm

65t

0,8 . 5cm= 4,0 cm

e+

7.5 cm

Mc= 94 t . 0,075m= 7,1 tm

1,61 . 10-4

1,10 . 10-4

1 cm

1 cm

(1/r)

Considerando fluencia lenta, etc.: (1 + d)= 1,58 = 3,5 x 1,58 cm= 5,5 cm e+ = 9,5 cm= 95 mm

Mc= 94 . 0,095 tm

8,9 tm


R E C I P C

Ejemplo Nº 2 * Sistema indesplazable * H- 20 / ADN 420 3,6m

M2

Lc= 7,2m

Columnas 45x45 Vigas 30x45

1 Pu= 1,2PD+ 1,6PL= (80 + 95) t= 175 t Lu= 6,8m

M2= -(1,2M2D+ 1,6M2D)= -(7,4+ 9,7) tm= -17,1tm M1= 1,2M1D+ 1,6M1L= (7,4+ 6,8) tm = 14,2tm

M1

3,6m

2 Se adopta columna 45x45 3

Esbeltez: K lu = 0,92 .680 = 46 > 34- 12 (-0,83)= 44 40 r 0,3 . 45

De Nomogramas Jackson- Moreland Tomando 0,7Ig p/cols. 0,35Ig p/vigas sup. inf. 4,1 K= 0,92

⇒

4 Excentricidad mínima: e2,min= 15 mm + 0,03 . 450 mm = 28,5mm 2,9cm Min M= 175 . 0,029tm= /5,08/ tm < /M2/

5

M1= -0,83 M2

0,4 Ec . Ig 1+ d Ec= 4.700 f´ca = 210.190 kg/cm2 Ig= 341.719 cm4 EI= 1,97 . 1010 kg.cm4 d= 80 = 0,46 175 cm2 EI:


R E C I P C

6 Amplificación de momentos Mc=

Pc= ns=

ns

. EI (klu)2 0,4

. M2

ns=

Cm 1 1- Pu 0,75Pc

Cm= 0,6+ 0,4 (-0,83)= 0,27 < 0,4 Cm= 0,4

. 1,97 . 1010 kg= 497 t (0,92 . 680)2

=

= 0,75 < 1 ⇒ Se adopta

ns=

⇒ Mc= 17,1tm

1

1- 175 0,75 . 497 7

Dimensionamiento d/h= 40/ 45

10cm

Nu= 175t Mu= 17,1tm As1= As2= 11,0 cm2

Recubr. 3cm

Arm. Long. 12 16 Estribos 6

10cm

⇒ Se adoptan

c/ 25cm

12 16 (1,2%)

Comparación con CIRSOC 201- 1982 (DIN 1045)

40/45

P= 126 t M1= 10,4 tm M2= -12,2 tm Sk 0,90 . 720cm=648cm 45- 25 M1 66 ⇒ = 50< 66 N= 126 M2

No se considera M= 12,2 tm > 0,2 .d .N= 11,3 tm efectos de 2º

50< 70 As1= As2= 12,1cm2


R E C I P C

0,12 (klu2) (1/r)= 0,12 (0,92 . 680) 2 0,7 . 10-4cm= 3,7 cm

φPn

288t

e

0,4 . 10cm 4cm

Mc= 175 . 0,077 tm

230t 175t φPbn= 102t

e+

= 7,7 cm

13,5 tm < 17,1tm= M2

Considerando fluencia lenta, etc.: (1 + d)= 1,46 = 1,46 x 3,7cm = 5,4 cm

φMn 24tm

15tm

0,7 . 10-4 1,2 . 10-1 cm cm

91t

(1/ r)

e + = 9,4 cm

Mc= 175 . 0,094 tm = 16,5 tm < 17,1tm= M2

NOTA : El momento flexor en el extremo de la columna, M2, es mayor que el momento de segundo orden, MC.


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


R E C I P C


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R E C I P C


R E C I P C


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COLUMNAS DE Ho. Ao. SEGÚN ACI 318 . BIBLIOGRAFÍA BASICA

1.

PRAEH CIRSOC 201 – 2005 / REGLAMENTO Y COMENTARIOS

2.

CIRSOC - TABLAS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS- Noviembre 2002

3.

ACI 318 – 05

4.

“Reinforced Concrete”- 4th Edition. James MacGregor. Prentice Hall.

5.

“Essential Requirements for Reinforced Concrete Buildings” – ACI

6.

“Aproximate Moment-Curvature Relationships for Slender Columns”. Aníbal A. Manzelli (UBA) and Issam Harik (University of Kentucky). Journal of Structural Engineering. American Society of Civil Engineers. Vol. 119 No. 4 April 1993.

7.

“Prismatic and Nonprismatic Slender Columns and Bridge Piers”. Aníbal A. Manzelli (UBA) and Issam Harik (University of Kentucky). Journal of Structural Engineering. American Society of Civil Engineers. Vol. 119 No. 4 April 1993.

8.

“A Second Order Analysis Technique for Nonprismatic Bridge Piers”, American Society of Civil Engineers – Engineering Mechanics Division Conference, Ohio State University, Columbus , Ohio, May 19-22 1991, Vol.2, pp. 892-896.

9.

“Concrete Structures – Euro-Design Handbook”. Ernst & Sohn.

10.

“Reinforced Concrete Design”. Wang – Salmon. Addison-Wesley.

11.

“Hormigón Armado”. O. Möller. UNR Editora.

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R E C I P C

Columnas de Hormigon Armado - Cirsoc 201-2005

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