Inicial, Primaria, Secundaria y Academias

TEMARIO 2016 ÁLGEBRA

5.

1er año de Secundaria

6. 7. 8. 9.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Operaciones Básicas Potenciación I Potenciación II Ecuaciones Exponenciales Expresiones Algebraicas Términos Semejantes Multiplicación Algebraica Productos Notables I Productos Notables II Productos Notables III Factorización I Factorización II Ecuación de Primer Grado I Ecuación de Primer Grado II Ecuación Cuadrática I0 Ecuación Cuadrática II Ecuación Cuadrática III Sistema de Ecuaciones Lineales Intervalos Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita 21. Funciones I: Relaciones.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

ÁLGEBRA 3er año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

ÁLGEBRA 2do año de Secundaria

1. 2. 3. 4.

Polinomios: Grados y Valor Numérico Polinomios Especiales Multiplicación Algebraica Productos Notables I Productos Notables II: (Otras tablas para multiplicar rápidamente) División Algebraica I División Algebraica II División Algebraica III Factorización en Z I Factorización en Z II Ecuaciones de Primer Grado Ecuación Cuadrática Planteo de Ecuaciones LinealesI Sistema de Ecuaciones Lineales Inecuaciones de Primer Grado Funciones I

Leyes de Exponentes I Leyes de Exponentes II Ecuaciones Exponenciales Monomios 1

Polinomios Polinomios Especiales Productos Notables I Productos Notables II Productos Notables III Productos Notables IV División Algebraica División Euclidiana Cocientes Notables Factorización I Factorización II Máximo Común Divisor y Mínimo

1. Jr. Washington 1255 Lima 2. www.librospuc.com TEMARIO 2016

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

Común Múltiplo Fracciones Algebraicas Ecuaciones de Primer Grado Números Complejos Ecuación Cuadrática II Ecuación Cuadrática III Sistema de Ecuaciones Lineales Desigualdades Inecuaciones de Primer grado Inecuaciones de Segundo Grado

TEMARIO 2016

ÁLGEBRA 5to año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

ÁLGEBRA 4to año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

Teoría de Ecuaciones Polinomios Especiales Ecuaciones de Segundo Grado II II Ecuaciones Polinomiales Ecuaciones Fraccionarias Ecuaciones Irracionales Matrices I Matrices II Determinantes Sistema de Ecuaciones Lineales Sistemas No Lineales Desigualdades Inecuaciones de Primer Grado Inecuaciones de Segundo Grado Ecuaciones con Valor Absoluto Inecuaciones con Valor Absoluto Genética Funciones I Fisiología Respiratoria Inecuaciones Irracionales Logaritmos I

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Leyes de Exponentes Polinomios Productos Notables División Algebraica Factorización I Factorización II Matrices I Matrices II Determinantes Sistema de Ecuaciones Lineales Sistemas no Lineales Inecuaciones Fraccionarias y de grado Superior Ecuaciones con Valor Absoluto Inecuaciones con Valor Absoluto Funciones I Funciones Especiales Funciones II Logaritmos I: Propiedades Logaritmos II: Ecuaciones Progresión Geométrica Límites ARITMETICA 1er año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2

Cálculos Básicos Numeración I Numeración II Numeración III Conjuntos I Conjuntos II Adición en el Conjunto Z Sustracción en el Conjunto Z


9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

Sustracción en Q Multiplicación en Q Fracción de un Número Expresión Decimal de los Números Racionales 20. Divisibilidad I 21. Divisibilidad II

ARITMETICA 3er año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

ARITMETICA 2do año de Secundaria

Cálculos Básicos Razones de los Números Proporciones Promedios Magnitudes Proporcionales

6. 7. 8. 9.

Reparto Proporcional Regla de Tres Simple Regla del Tanto por Ciento Porcentaje (Aplicaciones Comercia les) Regla de Mezcla Teoría de Conjuntos I Teoría de Conjuntos II Numeración I Numeración II Numeración II

10. 11. 12. 13. 14. 15.

TEMARIO 2016

16. 17. 18. 19.

Multiplicación en Z División en Z Potenciación en Z Radicación en el Conjunto Z Razones de Números Proporciones Números Racionales Números Decimales Promedios Divisibilidad Criterios de Divisibilidad Números Primos Máximo Común Divisor (M.C.D.) Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

1. 2. 3. 4. 5.

TEMARIO 2016

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

3

Razones Proporciones Promedios Magnitudes Proporcionales Reparto Proporcional Regla de Tres Simple Regla de Tres Compuesta Regla del Tanto por Cuanto Aplicaciones Comerciales del Tanto por Ciento Regla de Interés Simple Regla del Descuento Mezcla Conjuntos I Conjuntos II Numeración Adición y Sustracción Multiplicación y División Conteo de Números Divisibilidad Racionales I Racionales II


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

ARITMETICA

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

4to año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Conjuntos Conjuntos II Numeración Conteo de Números Análisis Combinatorio Lógica Adición y Sustracción Multiplicación y División Teoría de la Divisibilidad Criterios de Divisibilidad Números Primos Máximo Común Divisor (M.C.D.) Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) Racionales I Racionales II Razones y Proporciones Promedios Magnitudes Proporcionales Reparto Proporcional Regla de Tres Simple Regla del Tanto por Cuanto Aplicaciones Comerciales Estadística

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Tanto por Ciento Interés Regla del Descuento Mezcla Estadística I Estadística II Conjunto y operaciones entre conjuntos Numeración Conteo de Números Cuatro Operaciones I Adicion y Sustracción Cuatro Operaciones II Multiplicación y Divicion Método Combinatorio Divisibilidad Números Primos Números Racionales


1. 2. 3.


3. 4. 5. 6.

TEMARIO 2016

GEOMETRIA

ARITMETICA

1. 2.

TEMARIO 2016

4.

Razones y Proporciones Serie de Razones Geométricas Equivalentes Promedios Magnitudes Proporcionales Reparto Proporcional Regla de Tres Simple y Compuesta

5. 6. 7. 8. 4

Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana Líneas Posiciones Relativas Entre Dos Rectas Posiciones Relativas Entre Dos Rectas Posiciones Relativas Entre Dos Rectas Operaciones Con Segmentos Ángulo Ángulos Según su Medida


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

9. La Bisectriz 10. Ángulos Según su Posición y Según la Suma 11. Operaciones con Ángulos 12. Ángulos Formados Por Dos Rectas Paralelas y Una Secante 13. Propiedades de los Ángulos Situados Entre Paralelas 14. El Triángulo ySus Propiedades 15. Clasicación de los Triángulos 16. Triángulos Rectángulos Notables 17. Líneas y Puntos Notables I 18. Congruencia de Triángulos 19. Cuadriláteros y Trapecios 20. Paralelogramos 21. Circunferencias

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

13. Propiedad de la Base Media y Media na Relativa a la Hipotenusa 14. Cuadriláteros 15. Trapecios 16. Paralelogramos 17. Circunferencia: Propiedades Básicas 18. Ángulos en la Circunferencia 19. Proporcionalidad Teorema de Tales 20. Relaciones en Métricas en Triángu los Rectángulos 21. Áreas GEOMETRIA 3er año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

GEOMETRIA 2do año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Líneas Geométricas Operaciones con Segmentos I Operaciones con Segmentos II Ángulos I Ángulos II Ángulos III Ángulos IV Triángulos Propiedades Adicionales de Triángulos 10. Líneas Notables en el Triángulo 11. Triángulos: Propiedades con las Lí neas Notables 12. Propiedad de la Bisectriz y de la Mediatriz

14. 15. 16. 17. 18. 5

Triángulos Rectángulos Notables Segmentos Ángulos Ángulos entre Rectas Parealelas Triángulos Líneas Notables Congruencia de Triángulos Aplicaciones de la Congruencia Polígonos Cuadriláteros Paralelogramos La Circunferencia Propiedad de la Base Media y Mediana Relativa a la Hipotenusa Cuadriláteros Trapecios Paralelogramos Circunferencia: Propiedades Básicas Relaciones Métricas en la Circunfe rencia


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

19. Áreas Triangulares 20. Área de Regiones Cuadrangulares 21. Área de Regiones Circulares


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.


17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

GEOMETRIA

GEOMETRIA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

TEMARIO 2016

Introductorio Segmentos Ángulos I Ángulos entre Paralelas Triángulos Líneas Notables Congruencia de Triángulos Aplicaciones de Triángulos Polìgonos Cuadriláteros Paralelogramo La Circunferencia Ángulos en una Circunferencia Proporcionalidad Semejanza Relaciones Métricas en los Triángulos Rectángulos Relaciones Métricas en la Circunferencia Área de Regiones Triángulares Relaciones de Áreas de Regiones Triangulares Áreas en Regiones Cuadrangulares Relaciones de Áreas Cuadrangulares Áreas de Regiones Circulares

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

6

Triangulos Lineas y Puntos notables en el Triangulo Congruencia de Triangulo Triangulo Rectangulos Notables Poligonos Cuadriláteros Paralelogramo La Circunferencia Ángulos en una Circunferencia Proporcionalidad Semejanza Relaciones Metricas en la Circunferencia Áreas de Regiones Triangulares Relación de Áreas de Regiones Triangulares Áreas de Regiones Cuadrangulares Relacion de Areas de Regiones Cuadrangulares Áreas de Regiones Circulares Nociones Basicas de la Geometria del Espacio Sólidos Geométricos II Prisma - Ci lindro Sólidos Geométricos II Pirámide - Cono


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA


2do año de Secundaria

Ángulo Trigonométrico Sistema Sexagesimal Relación Entre Sistemas Conversión de Unidades Aplicaciones del Teorema de Pitágoras Razones Trigonométricas I Razones Trigonométricas II Razones Trigonométricas III Razones Trigonométricas Recíprocas Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios Razones Trigonométricas Ángulos Agudos de 37° - 53° Aplicaciones en el T.R. con Ángulos Agudos de 37° - 53° Razones Trigonométricas de ÁngulosAgudo de 45° Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos de 30º - 60º Geometria Analítica Coordenadas del Punto Medio Geometría Analítica III R.T. de un Ángulo en Posición Normal I R.T. de un Ángulo en Posición Normal II R.T. de un Ángulo en Posición Normal III Ángulos Cuadrantales Números Reales Números Reales II

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

7

Sistema de Medición Angular Razones Trigonométricas I Razones Trigonométricas II Razones Trigonométricas de Ángu los de 37º - 53º y 16º-74º Razones Trigonométricas de Ángu los de 45º; 30º; 60º Aplicaciones Grácas en la Resolución de Triángulo Rectángulos Razones Trigonométricas Recípro cas Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios Nociones de Geometría Analítica Distancia entre dos Puntos Coordenadas del Punto de un Segmento Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal (seno, coseno, tangente) Razones Trigonométricas de Ángulos en Posición Normal II Signos de las Razones Trigonométri cas de Ángulos en Posición Normal Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales Reducción al Primer Cuadrant (Aplicaciones Grácas) Reducción al Primer Cuadrant (Aplicaciones Numéricas) Circunferencia Trigonométrica Función Función II Función Trigonométrica Seno y Coseno


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

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TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA



Ángulo Trigonométrico Longitud de un Arco Regla General de Conversión Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos II Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos Notables I Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos Notables II Propiedades de las Razones Trigonométricas de Ängulos Agudos R.T. de Ángulos Agudos Cálculo de Lados Geometría Analítica Coordenadas del Punto Medio de un Segmento Ecuación de la Recta Números Reales (R) Razones Trigonométricas de Ángulo de Cualquier Magnitud Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales y Coterminales Reducción al Primer Cuadrante Circunferencia Trigonométrica I Circunferencia Trigonométrica II Identidades Trigonométricas I Identidades Trigonométricas II Identidades Auxiliares Identidades Trigonométricas de la suma y diferencia de dos arcos

8

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Ángulo Trigonométrico Sistema de Medición Angular I Sistema de Medición Angular II Longitud de un Arco Supercie de un Sector Circular Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos II Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos III Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos IV Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos V Ángulos Verticales Ángulos Horizontales Razones Trigonométricas de un Ángulo de Cualquier Magnitud Reducción al Primer Cuadrante I Reducción al Primer Cuadrante II Circunferencia Trigonométrica I Circunferencia Trigonométrica II dentidades Trigonométricas I Identidades Trigonométricas II Identidades Trigonométricas de la Suma y Diferencia de Ángulos Identidades Trigonométricas del Ángulo Doble


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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TRIGONOMETRIA

RAZ. MATEMATICO



Ángulo Trigonométrico y Sistemas de Medición Angular Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos II Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos III Ángulos Verticales y Horizontales Sistema Cartesiano Ecuación de la Recta Razones Trigonométricas de Ángulos en Posición Normal Reducción al Primer Cuadrante Circunferencia Trigonométrica I Identidades Trigonométricas Idnetidades Trigonométricas Auxiliares Identidades Trigonométricas de la Suma y Diferencia de Ángulos Identidades Trigonométricas del Ángulo Mitad Identidades Trigonométricas del Ángulo Triple Transformaciones Trigonométricas de Suma o Diferencia a Producto Transformaciones Trigonométricas de Producto a Suma o Diferencia Funciones Trigonométricas Reales Funciones Trigonométricas Inversas I y II Ecuaciones Trigonométricas Resolución de Triángulos Oblicuángulos

1.

Lógica Recreativa I (Cerillas - Rela ción de Tiempo)

2.

Lógica Recreativa II (Parentesco - Situaciones Diversas)

3.

Habilidad Operativa

4.

Resolución de Ecuaciones

5.

Planteo de Ecuaciones

6.

Edades

7.

Ordenamiento Lineal, Vertical y Horizontal

8.

Ordenamiento Circular y Test de Decisiones

9.

Inducción Matemática

10. Fracciones I 11. Fracciones II 12. Tanto por Ciento 13. Operaciones Matemáticas I 14. Operaciones Matemáticas II 15. Sucesiones Numéricas I 16. Sucesiones Numéricas II 17. Series 18. Conteo de Figuras 19. Sucesiones Literales 20. Introducción a la Topología 21. Área de Regiones Sombreadas

9


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

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RAZ. MATEMATICO

RAZ. MATEMATICO



Matemática Recreativa Sucesiones Distribuciones y Analogías Numéricas Cuatro Operaciones I Cuatro Operaciones II Orden de Información Lineal Ángulo Trigonométrico Sistema Sexagesimal Ángulo Trigonométrico Sistema Sexagesimal Métodos Operativos I Operaciones Inversas Métodos Operativos II Falsa Suposición Métodos Operativos III Diferencia Total y UnitariaRegla Conjunta Criptoaritmética Fracciones: Operaciones Básicas Fracciones: Representación y Situaciones Problemáticas Reducción a la Unidad Tanto por Ciento Cronometría Inducción Matemática Resolución de Ecuaciones Planteo de Ecuaciones Edades

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

10

Lógica Recreativa Parentesco, Mentiras y Verdades Certezas Máximos y Mínimos Habilidad Operativa Razonamiento Inductivo y Deductivo Ordenamiento Horizontal y Deductivo Ordenamiento Circular y Test de Decisiones Sucesiones Analogías y Distribuciones Uso de la Sigma Conteo de Figuras Operaciones Matemáticas Arbitrrias Criptogramas Fracciones: Operaciones Básicas Fracciones: Representación y Situaciones Problemáticas Reducción a la Unidad Tanto por Ciento Cronometría Operaciones Inversas Método del Rombo Planteo de Ecuaciones Edades Soluciones II


TEMARIO 2016

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TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

RAZ. MATEMATICO

RAZ. MATEMATICO



1.

Situaciones Lógicas y Recreativas

2.

Operaciones Matemáticas

3.

Distribuciones y Analogías

4.

Criptoaritmética

5.

Orden de Información

6.

Cuadros de Decisiones

7.

Métodos Operativos I

8.

Métodos Operativos II

9.

Resolución de Ecuaciones

10. Planteo de Ecuaciones 11. Edades 12. Relojes 13. Fracciones

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

14. Reducción a la Unidad 15. Tanto Por Ciento 16. Series Numéricas 17. Conteo de Figuras

15. 16. 17. 18.

18. Análisis Combinatorio I 19. Análisis Combinatorio II

19.

20. Probabilidades 21. Situaciones Geométricas

20. 21.

11

Situaciones Lógicas y Recreativas Orden de Información (Horizontal y Vertical) Orden de Información Relación de Datos - Cuadro de Decisiones) Habilidad Matemática Cálculo Inductivo Ecuaciones Métodos Operativos I Enlace Químico I Métodos Operativos II Nomenclatura I Edades Relojes Criptoaritmética Operaciones Matemáticas Arbitrarias Sucesiones Analogías y Distribuciones Series Análisis Combinatorio I Factorial de un Número- Principios Fundamentales Análisis Combinatorio II Permuta ciones - Variaciones Combinaciones Probabilidades Razonamiento Geométrico


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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FISICA

FISICA



1. 2.

La Física y Los Fenómenos Físicos La Materia y Sus Propiedades Fases de una Sustancia Magnitudes Físicas y Medición Sistema Internacional de Unidades Guía de Experimentos Cinemática Velocidad Movimiento Rectilíneo Uniforme (M. R. U.). Aceleracion Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Guía de Experimentos La Gravedad Movimiento Vertical de Caída Libre (M.V.C.L.) Resistencia del Aire Movimiento Parabólico de Caída Libre Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU) Fuerza Diagrama de Cuerpo Libre Leyes de la Mecánica Estática

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

12

Sistema Internacional de Unidades Características del Movimiento (Cinemática) Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Caída Libre Vertical Equilibrio y las Leyes de Newton l Estática I Estática II Dinámica Trabajo y Potencia Energía Electrostática Movimiento Compuesto Movimiento Circular Transmisión de Movimientos en el Movimiento Circular Máquinas Simples Segunda Condición de Equilibrio Dinámica Circular Conservación de la Energía mecánica El teorema del trabajo y la Energía mecánica Hidrostática I


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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FISICA

FISICA



Análisis Dimensional I Análisis Dimensional II Análisis Vectorial I Análisis Vectorial II Análisis Vectorial III Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU - I Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) - II Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) - I Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) - II Movimiento Vertical de Caída Libre Movimiento Parabólico Movimiento Circunferencial Uniforme Leyes de Newton (D.C.L.) Estática I Estática II Estática III Dinámica Lineal Trabajo Mecánico Energía Mecánica Potencia Mecánica Presión

1.

Vectores

2.

Características Físicas del Movimiento Mecánico

3.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R,U.)

4.

Conteo de Números

5.

Análisis Combinatorio

6.

Movimiento Parabólico

7.

Movimiento Circunferencial Uniforme I

8.

Movimiento Circunferencial Uniforme II

9.

Estática I

10. Estática II 11. Dinámica Lineal 12. Rozamiento 13. Trabajo Mecánico 14. Energía Mecánica 15. Conservación de la Energía 16. Calorimetría 17. Cambio de Fase 18. Presión 19. Empuje 20. Electrostática 21. Campo Eléctrico

13


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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FISICA

QUIMICA



Análisis Dimensional Análisis Vectorial Características Físicas del Movimiento Mecánico Movimiento Rectilíneo Uniformemente (MRU) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Movimiento Vertical de Caída Libre Movimiento Parabólico Movimiento Circunferencial Uniforme I Movimiento Circunferencial Uniforme II Estadística I Estadística II Dinámica Lineal Trabajo Mecánico Energia Mecanica y Conservación de la Energía Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica Calor como Energía Cambio de Fase Hidrostática Electrostática Electrodinámica Circuitos Eléctricos

1.

División de la Química

2.

Materia

3.

Estructura Atómica

4.

Números Cuánticos

5.

Conguración Electrónica

6.

Tabla Periódica

7.

Enlace Químico I

8.

Enlace Químico II

9.

Nomeclatura Inorgánica I

10. Nomeclatura Inorgánica II 11. Nomeclatura Inorgánica III 12. Unidad Química de Masa 13. Unidad Química de Masa II 14. Composición Centesimal 15. Fórmulas Empíricas y Moleculares 16. Número de Avogadro (N = 6,023 x 1023) 17. Peso Equivalente 18. Reacciones Químicas 19. Reacciones Químicas II 20. Ecuaciones Químicas (Balanceo) 21. Contaminación Ambiental

14


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QUIMICA

QUIMICA



1.

¿Qué es la Química?

1.

Introducción

2.

Energía

2.

Estructura Molecular

3.

Sistema de Medición

3.

Números Cuánticos

4.

Materia

4.


5.

Átomo

5.

Tabla Periódica I

6.

Modelos Atómicos

6.

Tabla Periódica II

7.

Tipo de Átomos e Iones

7.

Enlace Químico

8.

Radioctividad

8.

Fuerzas de Enlaces Intermoleculares

9.

Números Cuánticos

9.

Hidruros – Ácidos, Hidrácidos, Cationes y Aniones

10. Conguración Electrónica 11. Tabla Periódica I

10. Nomeclatura Inorgánca I

12. Tabla Periódica II

11. Nomeclatura Inorgánca II

13. Valencia y Concepto de Funciones

12. Nomeclatura Inorgánca III

14. Nomenclatura Inorgánica

13. Unidades Químicas de Masa

15. Hidróxidos

14. Composición Centesimal

16. Óxidos Ácidos(Anhídridos)

15. Estado Gaseoso I

17. Ácidos Oxácidos

16. Estado Gaseoso II

18. Iones Negativos

17. Mezcla de Gases

19. Sales Oxisales

18. Reacción Química (R y n – Redox)

20. Compuestos Orgánicos

19. Estequiometría

21. El Petróleo

20. Soluciones I 21. Soluciones II 15


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QUIMICA

QUIMICA



1.

Introductorio

1.

Química Orgánica

2.

Sistema de Unidades

2.

Hidrocarburos

3.

Estructura Atómica

3.

Alcoholes, Aldehídos y Cetonas

4.

Números Cuánticos

4.

Éteres, Ésteres y Ácidos Orgánicos

5.


5.

Amidas y Aminas

6.

Tabla Periódica I

6.

Química Orgánica

7.

Vitaminas

7.

Tabla Periódica

8.

Ácidos Nucleicos

8.

Enlace Químico I

9.

La Célula

9.

Enlace Químico II

10. Célula Eucariota: Cubierta y Membrana Celula 11. Célula Eucariota: Citoplasmano 12. Célula Eucariota: Núcleo Celular 13. Unidades Químicas de Masa 14. Densidad

10. Nomenclatura I 11. Nomenclatura II 12. Nomenclatura III 13. Unidades Químicas de Masa (UQM) 14. Estado Gaseoso I

15. Temperatura y Presión


16. Literatura Peruana Contemporánea:

16. Estequiometría I

El Indigenismo III

17. Estequiometría


18. Soluciones I

18. Reacciones Químicas

19. Soluciones II

19. Estequiometría I

20. Cinética Química y Equilibrio Químico

20. Soluciones I 21. Química Orgánica

21. Ácidos y Bases 16


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

BIOLOGIA

BIOLOGIA



1.

La Historia de la Biología

1.

Citología

2.

La Biología como Ciencia

2.

Taxonomía

3.

Origen del Universo y Origen

3.

Los Reinos Biológicos

de la Tierra

4.

Reino Monera

4.

Teorías sobre el Origen de la Vida I

5.

Reino Protoctista

5.

Teorías sobre el Origen de la Vida II

6.

Reino Protoctista: Protozoos y

6.

Características de los Seres Vivos

7.

Niveles de Organización

7.

Reino Fungi

de la Materia

8.

Reino Plantae I Briotas

8.

Eras Geológicas

9.

Teorías sobre la Evolución I

Mohos

y Pteridotas 9.

Reino Plantae II (Gimnospermas)

10. Teorías sobre la Evolución II

10. Reino Plantae III Angiospermas

11. Evidencias de la Evolución

11. Histología Vegetal

12. Evolución Humana

12. Organología Vegetal

13. Taxonomía

13. Flor, Fruto y Semilla

14. Los Reinos Biológicos

14. Reino Animal

15. Ecología

15. Phylum Poríferos y Celentéreos

16. Ecosistema

16. Phylum Platelmintos

17. La Temperatura

17. Pseudocelomados Nematelmintos

18. Cadena Alimenticia

18. Celomados Anélidos

19. Biomas

19. Celomados Moluscos

20. Recursos Naturales

20. Celomados Equinodermos

21. Contaminación

21. Phylum Artrópodos 17


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

BIOLOGIA

BIOLOGIA



1.

Anatomía Introducción

1.

Historia de la Biología

2.

Histología Tejido Epitelial

2.

Química de la Materia Viva:

3.

Tejido Epitelial:Epitelio Glandular

Bioelementos y Bioelementos

4.

Tejido Conectivo - Tejido

Inorgánicos

Cartilaginoso

3.

Biomoléculas Inorgánicas: Agua

5.

Tejido Conectivo - Tejido Óseo

4.

Glúcidos

6.

Histología:Tejido Muscular

5.

Lípidos

7.

Tejido Sanguíneo

6.

Proteínas y Enzimas

8.

Tejido Nervioso

7.

Vitaminas

9.

Aparato Cardiovascular

8.

Ácidos Nucleicos

9.

La CélulaI

10. Aparato Respiratorio 11. Sistema Digestivo (Tubo digestivo y Glándulas anexas) 12. Sistema Urinario

10. Célula Eucariota: Cubierta y Membrana Celular 11. Célula Eucariota: Citoplasma

13. Sistema Óseo - Muscular

12. Célula Eucariota: Núcleo Celular

14. Sistema Nervioso Central 15. Sistema Nervioso Periférico

13. Metabolismo Celular

16. Sistema Sensorial: El Tacto

14. Respiración Celular

17. Sistema Sensorial:

15. Ciclo Celular 16. Meiosis

El Olfato - El Gusto 18. Sistema Sensorial: Visión - Audición

17. Genética

19. Sistema Endocrino

18. Fisiología Cardiovascular

20. Sistema Reproductor Masculino

19. Fisiología Respiratoria

21. Sistema Reproductor Femenino

20. Fisiología Digestiva 21. Fisiología Urinaria 18


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

BIOLOGIA COMUNICACIÓN


1. 2.

3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Niveles de Organización de la Materia Viva Bioquímica I Bioquímica II: Biomoléculas Orgánicas I: Glúcidos, Lípidos y Vitaminas Bioquímica III: Biomoléculas Orgánicas II:Proteínas, Enzimas y Ácidos Nucleicos Citología I: Membrana Celular Citología II: Citoplasma y Núcleo Bioenergética I: Metabolismo Celular Respiración Celular Taxonomía Reino Plantae: Organología Vegetal I Reino Plantae: Organología Vegetal II Reino Plantae: Organología Vegetal III Reino Plantae: Fitohormonas Sistema Circulatorio o Cardiovascular Sistema Respiratorio Sistema Digestivo I Sistema Digestivo II Sistema Excretor Sistema Nervioso Anatomía Comparada Sistema Reproductor Evolución Evolución Biológica


1.

Introductorio Ortográco

2.

Nociones Lingüísticas

3.

La Comunicación

4.

El Proceso de la Comunicación

5.

La Semiótica

6.

El Signo Lingüístico

7.

Fonología y Fonética

8.

Ánalisis Fonológico

9.

Planos del Lenguaje

10. Variaciones Lingüísticas 11. Realidad Lingüística del Perú 12. Familias Lingüísticas 13. Origen y Formación del Español 14. Evolución del Español 15. El Español en la Actualidad 16. La Semántica y Valores Semánticos 17. Relaciones Semánticas 18. Cambios Semánticos 19. Etimología 20. Términos Excluidos y Oraciones Eliminadas 21. Comprensión de Lectura

19


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

COMUNICACIÓN

COMUNICACIÓN



1.

Introducción:Ortografía

1.

Ortografía

2.

Introducción: Teoría Lingüística

2.

Estudio del Lenguaje

3.

Comunicación y Funciones

3.

La Morfosintaxis

4.

El Adjetivo y Los Determinantes

5.

El Verbo y El Adverbio

6.

La Preposición y La Conjunción

7.

Gramática Generativa

8.

Análisis de la Estructura Profunda

9.

Los Sintagmas

del Lenguaje 4.

Gramática y Morfología

5.

Proceso formativo de las palabras

6.

Principales raíces, prejos y sujos

7.

El Nombre o Sustantivo

8.

Clasicación del Nombre

9.

El Adjetivo

10. Sintagma Nominal 11. Análisis Sintagma Nominal

10. Grados de Signicación

12. Sintagma Verbal

11. Los Determinantes

13. Análisis del Sintagma Verbal

12. El Pronombre

14. La Oración

13. El Verbo

15. Sintaxis

14. Conjugación del Verbo I

16. El Sujeto

15. Clasicación Morfológica del Verbo

17. El Predicado

16. Clasicación Sintáctica

18. Complementos del Predicado I

17. Verboides

19. Complementos del Predicado II

18. El Adverbio

20. Las Oraciones Compuestas por Coordinación Conjuntiva

19. La Preposición 20. Conjunción 21. Gramática Generativa

21. Los Signos de Puntuación

20


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

COMUNICACIÓN

COMUNICACIÓN



1.


1.


2.

La Comunicación

2.

La Comunicación

3.

El Lenguaje y sus funciones

3.

El Lenguaje

4.

Lengua y Habla

4.

Fonología y Fonética

5.

Variaciones Lingüísticas

5.

La Sílaba

6.

Realidad Lingüísticas

6.

Acentuación

7.

Origen y Formación del Español

7.

Morfología

8.

Evolución del Español

9.

La Semiótica

8.

El Sustantivo

9.

El Adjetivo

10. El Signo Lingüístico

10. Los Determinantes

11. La Semántica y Valores Semánticos

11. El Pronombre

12. Relaciones Semánticas

12. El Verbo

13. Normativa del Sustantivo

13. Clasicación Morfológica del Verbo

14. Normativa de Adjetivos

14. Clasicación Sintáctica del Verbo

y Determinantes 15. Normativa del Pronombre

15. Adverbio

16. Normativa del Verbo

16. Preposición

17. Normativa del Adverbio,

17. Conjunción 18.

La Preposición y La Conjunción

La Oración

18. Uso de la Coma y el Punto

19. El Sujeto

19. Uso del Punto y Coma,

20. El Predicado

los Dos Puntos y las Comillas

21. Complemento Predicativo Subjetivo

20. Uso de las letras: V – B; G – J

(CPS)

21. Uso de las letras: C - S - Z; H - X - CC 21


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

HISTORIA UNIVERSAL



La Historia: Generalidades I

2.

La Historia: Generalidades II

3.

La Hominización I

4.

La Hominización II

5.

La Comunidad Primitiva

1. 2. 3. 4. 5.

o Prehistoria (1ra Parte)

6.

La Comunidad Primitiva

7. 8. 9. 10.

o Prehistoria (2da Parte) 7.

Mesopotamia

8.

Mesopotamia: Manifestaciones Culturales

9.

TEMARIO 2016

HISTORIA UNIVERSAL

1.

6.

TEMARIO 2016

11. 12. 13.

Egipto

10. Egipto: Manifestaciones Culturales 11. Los Fenicios

14. 15. 16.

12. Los Hebreos 13. Los Persas 14. China

17.

15. India 16. Grecia (Periodo Creto - Micenico)

18. 19.

17. Grecia Clásica 18. Grecia: Etapa Macedónica 19. Roma

20.

20. Las Guerras de Expansión Romana

21.

21. Aportes Culturales de Roma

22

Los Bárbaros Reinos Bárbaros El Imperio Bizantino Árabes Preislámicos y La Vida de Mahoma Árabes - Época Islámica: La Expansión Los Últimos Califatos y La Cultura Musulmana Imperio Carolingio El Sistema Feudal (1ra Parte) El Sistema Feudal (2da Parte) El Sacro Imperio Romano Germánico Las Cruzadas (1ra parte) Las Cruzadas (2da Parte) La Guerra de los Cien Años y las Dos Rosas La Reconquista Española La Iglesia Medieval La Cultura en la Edad Media (1ra Parte) La Cultura en la Edad Media (2da Parte) Renacimiento Comercial Edad Moderna: Nuevas Luces en el Mundo Época de los Grandes Inventos (Nuevas Tierras por Descubrir) Capítulo 21. Descubrimientos Geográcos (S. XV - SVI)


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

HISTORIA UNIVERSAL

HISTORIA UNIVERSAL



El Capitalismo Mercantil y La Edad Moderna La Reforma: Crisis Religiosa La Contrarreforma o Reforma Católica Monarquías de Siglo XVI (Carlos I ó V) Monarquías de Siglo XVI (España Francia - Inglaterra) Siglo XVII: Inicio de Grandes Cambios Monarquías Absolutistas Monarquías de Europa Oriental Austria – Prusia Rusia Monarquías Modernas del Siglo XVIII Los orígenes de la Ilustración La Ilustración o Siglo de las Luces La Independencia de las Trece Colonias La Revolución Francesa (La Monarquía 1789 - 1792) La Revolución Francesa (La República 1793 - 1799) Era Napoleónica El Consulado (1799 - 1804) Era Napoleónica El Imperio (1804 - 1815) La Restauración Europea (S - XIX) Las Revoluciones Liberales del Siglo XIX Primera Revolución Industrial Segunda Revolución I ndustrial 23

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Primera Revolución Industrial Segunda Revolución Industrial El Socialismo Utópico El Socialismo Cientíco El Segundo Imperio Francés La Unicación Italiana La Unicación Alemana El Imperialismo Colonial El Imperialismo Británico Revolución Mexicana La Paz Armada y La Revolución Rusa Primera Guerra Mundial (1914 - 1918) La Crisis Económica (El Crack - 1929) Regímenes Totalitarios: Fascismo Regímenes Totalitarios: Nazismo Segunda Guerra Mundial I (1939 - 1945) Segunda Guerra Mundial II (1939 -1945) Guerra Fría (1945 - 1991) Reevolución China (1910 - 1976) Conicto Árabe - Israelí Revolución Cubana (1959 - Hasta el presente)


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

HISTORIA UNIVERSAL

HISTORIA DEL PERÚ


1ero año de Secundaria

El Comunismo Primitivo y El Proceso de Hominización Hominización Mesopotamia – Egipto Civilizaciones del Cercano y Medio Oriente Grecia Roma Roma - El Imperio El Imperio Bizantino Imperio Carolingio El Feudalismo Civilización Musulmana Las Cruzadas El Capitalismo Mercantil La Reforma y la Contrarreforma La Revolución Francesa (1789 - 1799) Era Napoleónica (1799 - 1815) Las Revoluciones Industriales Primera Guerra Mundial (1914 - 1918) Regímenes Totalitarios: Fascismo - Nazismo Segunda Guerra Mundial (1939 - 1945) Guerra Fría (1945 - 1991) Revolución China (1949 - 1976) Revolución Cubana (1959 - Hoy)

1.

Teoría de la Historia

2.

Historia del Perú

3.

El Poblamiento de América

4.

El Poblamiento Peruano: Periodo Lìtico

5.

El Precerámico El Periodo Arcaico

6.

El Periodo Formativo

7.

Periodicación del Desarrollo Cultural Andino

8.

El Horizonte Temprano: Chavín

9.

Paracas: Cavernas y Necrópolis

10. El Primer Intermedio: Mochica 11. La Cultura Nazca 12. La Cultura Lima 13. La Orfebrería Sicán La Cultura Lambayeque 14. La Cultura Tiahuanaco 15. La Cultura Huari 16. La Cultura Chachapoyas 17. Cultura Chancay y Reinos Aymaras 18. Los Chinchas y Los Chancas 19. Los Incas: Origen Historico - Legendario 20. Organización Política Incaica 21. Economía Incaica

24


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

HISTORIA DEL PERÚ

HISTORIA DEL PERÚ

2doo año de Secundaria


1.

Visión General del Tahuantinsuyo

2.

Panorama Histórico de La América Prehispánica

3.

TEMARIO 2016

Antecedentes, Causas y Contexto de la Invasión a América

4.

Los Viajes de Colón

5.

Los Otros Viajes Descubridores

6.

La Colonización en Tierra Firme

7.

La Invasión al Tahuantinsuyo

8.

Los Viajes de Pizarro

9.

El Tercer Viaje

10. La Marcha al Cusco: La Consolidación de la Invasión 11. Los Incas de Vilcabamba 12. La Visión de los Vencidos 13. Las Guerras Civiles 14. La Rebelión de los Encomenderos 15. Organización Política Colonial 16. La Economía Colonial I 17. La Economía Colonial II 18. Virreyes Representativos del Perú Colonial 19. La Sociedad en la Colonia 20. La Educación en la Colonia 21. La Cultura en la Colonia

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 25

Visión Panorámica del Perú en el Siglo XVIII La Inuencia Externa en la Indepen dencia de América Rebeliones Indígenas en el Siglo XVIII Rebelión de Túpac Amaru II (1780 - 1783) Aporte Ideológico de los Criollos Americanos Peruanos: “Precursores” Crisis de la Monarquía Española (1808 - 1812) La Contrarrevolución de Abascal (1806 - 1816) La Corriente Libertadora del Sur El Protectorado La Fase Peruana De La Independencia La Corriente Libertadora del Norte El Proyecto Bolivariano El Primer Militarismo Debates Doctrinarios, Gobiernos de Orbegoso y Salaverry La Confederación Peruano - Boliviana (1836 - 1839) La Restauración y La Anarquía Militar Economía Guanera: Prosperidad Falaz Primer Gobierno de Ramón Castilla Gobierno de José Runo Echenique Segundo Gobierno de Ramón Castilla La Guerra contra España (1864 1866)


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

HISTORIA DEL PERÚ

HISTORIA DEL PERÚ



1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La Guerra Contra España (1864 - 1866) La Crisis Enonómica: José Balta (1868 - 1872) Primer Civilismo: Manuel Pardo y Lavalle (1872 - 1876) Visión Panorámica del Perú en el Siglo XIX Guerra del Guano y el Salitre I Guerra del Guano y el Salitre II Reconstrucción Nacional I Reconstrucción Nacional II República Aristocrática I República Aristocrática II El “Oncenio” de Leguía El Tercer Militarismo La Primavera Democrática: Gobieno de Manuel Padro Ugarteche (1939 - 1945) José Luis Bustamante y Rivero (1945 - 1948) El Ochenio de Manuel A. Odría (1948 - 1956) La Convivencia (1956 - 1962) La Junta Militar (1962 - 1963) El Primer Gobierno de Fernando Belaunde Terry (1963 - 1968) La Primera Fase del Gobierno Revolucionario de las Fuerzas Armadas El Segundo Belaundismo El Fujimorato (1990 - 2000) Los Gobiernos Recientes

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

26

El Poblamiento de América El Poblamiento Peruano Culturas Preíncas I Culturas Preíncas II El Tahuantinsuyo I El Tahuantinsuyo I Invasión Europea a América La Europeización Los Españoles en Tierra Firme Viajes de Pizarro Caída del Tahuantinsuyo Teorías sobre la Evolución II El Virreinato Orígenes e Instituciones Luchas Anticoloniales S. XVIII - XIX Corriente Libertadora del Sur Corriente Libertadora del Norte El Inicio de la República Primer Militarismo Apogeo Republicano El Primer Civilismo y La Guerra con Chile La Reconstrucción Nacional El “Oncenio” de Leguía Del III Militarismo a la “Primavera Democrática” El Gobierno Revolucionario de las Fuerzas Armadas


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

LITERATURA

LITERATURA



1.

Mitología Griega

2.

La Estructura de la Historia

3.

El Clasicismo

4.

Homero

5.

Teatro Griego I

6.

Teatro Griego II

7.

Literatura Romana

8.

Finales de la Edad Medaia en Italia

9.

El Cantar del Mio Cid

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. El teatro Ingles

10. 11.

11. El Neoclasismo Francés 12. El Romanticismo

12. 13.

Francés Víctor Hugo 13. Realismo Francés 14. Fiódor Mikhailovitch Dostoievski

14.

15. El Vanguardismo Siglo XX 16. Narradores Contenporaneos

15. 16. 17. 18. 19.

Franz Kafka 17. Literatura Quechua: Mitos y Leyen das 18. Literatura de la Emancipación 19. Literatura de la República 20. Romanticismo Peruano

20. 21. 27

Literatura Medieval Española Literatura Medieval Italiana El Renacimiento Europeo Hamlet El Neoclasicismo El Romanticismo Víctor Hugo Realismo Europeo El Modernismo: Juan Ramón Jiménez El Vanguardismo del Siglo XX Narradores Contemporáneos: Franz Kafka La Generación del 98 Literatura Española del Siglo XX: Generación del 27 Literatura Prehispánica (Quechua Incaica) Literatura Colonial I Literatura de la Emancipación Literatura de la República Romanticismo Peruano El Realismo en el Perú: Manuel González Prada Modernismo Peruano: José Santos Chocano Posmodernismo: José María Eugren Abraham Valdelomar


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

LITERATURA

LITERATURA



Teoría Literaria: Géneros y Figuras Literatura Medieval Española Siglo de Oro Español: El Renacimiento Siglo de Oro Español II: El Barroco Teatro del Siglo de Oro Español I: Félix Lope de Vega Teatro del Siglo de Oro Español II: Pedro Calderón de la Barca Literatura Española del S. XVIII El Romanticismo Español El Realismo La Generación del 98 Juan Ramón Jimenez Generación del 27 Literatura Latinoamericana El Barroco Literatura Latinoamericana El Modernismo Literatura Latinoamericana Poesía Femenina Posmodernista Literatura Latinoamericana El Regionalismo o Criollismo Literatura Latinoamericana La Novela Indigenista Literatura Latinoamericana: El Vanguardismo Nueva Narrativa Hispanoamericana Miguel Ángel Asturias - Alejo Carpentier El Boom Latinoamericano: Julio Cortázar El Boom Latinoamericano: Gabriel García Marquez

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 28

Teoría Literaria: Géneros y Figuras Literatura Quechua: Mitos y Leyendas Teatro Colonial Literatura Colonial I Literatura Colonial II (Barroquismo y Neoclasicismo) Literatura de la Emancipación Literatura de la República Romanticismo Peruano I Romanticismo Peruano II Realismo Peruano Modernismo Peruano Literatura: Posmodernismo Literatura Contemporánea: El Vanguardismo Literatura Peruana Contemporánea: El Indigenismo I Literatura Peruana Contemporánea: El Indigenismo II Literatura Peruana Contemporánea: El Indigenismo III Literatura Peruana Contemporánea: La Generación del 50 (I) Literatura Peruana Contemporánea La Generación del 50 II La Generación del 60 Narrativa Literatura Peruana Contemporánea La Generación del 70: Narrativa La Generación del 70 Lírica


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

LITERATURA

GEOGRAFÍA



Teoría Literaria: Género y Figuras Versicación Castellana El Clasicismo: Literatura Griega I El Clasicismo: Literatura Griega II El Clasicismo: Literatura Latina Literatura Medieval: Mester de Juglaría y Mester de Clerecía Siglo de Oro Español: El Renacimiento Siglo de Oro Español II: El Barroco Teatro del Siglo de Oro Español Félix Lope de Vega Teatro del Siglo de Oro Español II: Pedro Calderón de la Barca El Neoclasicismo Europeo El Romanticismo Europeo El Realismo Europeo La Generación de 1898 La Generación de 1927 Origen de la Literatura en América y en el Perú Literatura Colonial y Republicana Literatura del Siglo XIX y llegada del Siglo Vanguardismo Latinoamericano Indigenismo Neo Indigenismo

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 29

Teoría Literaria: Géneros y Figuras Literatura Medieval Española Siglo de Oro Español: El Renaci miento Siglo de Oro Español II: El Barroco Teatro del Siglo de Oro Español I: Félix Lope de Vega Teatro del Siglo de Oro Español II: Pedro Calderón de la Barca Literatura Española del S. XVIII El Romanticismo Español El Realismo La Generación del 98 Juan Ramón Jimenez Generación del 27 Literatura Latinoamericana El Barroco Literatura Latinoamericana El Modernismo Literatura Latinoamericana Poesía Femenina Posmodernista Literatura Latinoamericana El Re gionalismo o Criollismo Literatura Latinoamericana La Novela Indigenista Literatura Latinoamericana: El Vanguardismo Nueva Narrativa Hispanoamericana Miguel Ángel Asturias - Alejo Carpentier El Boom Latinoamericano: Julio Cortázar El Boom Latinoamericano: Gabriel García Marquez


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

GEOGRAFÍA

GEOGRAFÍA



Aprendiendo Geografía Teoría Geográca: Concepto Teoría Geográca:Principios Geo grácos Universo: Concepto y Teorías Universo: Astros Universo: Vía Láctea y Sistema Sistema Planetario Solar Región Andina Región Amazónica Hidrografía Peruana Vertiente del Pacíco Vertiente del Océano Atlántico o del Amazonas Hoya Hidrográca del Lago Titicaca y Cuenca del Río M Lagos y Lagunas Mar Peruano Mar Peruano Corrientes Marinas: Características Climatología Ocho Regiones Naturales: Costa, Yunga, Quechua, Suni Ocho Regiones Naturales: Puna, Janca, Rupa Rupa, Omagua Actividades Extractivas: La Pesca Actividades Extractivas: Minería y Petróleo Actividades Productivas: Agricultura y Ganadería Actividades Transformativas: La Industria Actividades Distributivas: Transporte y Comercio

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

30

La Ciencia Geográca - Teoría Geográca Perú: Localización El Origen de los Continentes Geomorfología del Perú Hidrografía del Perú Mar Peruano América del Norte América del Norte: Hidrografía América del Norte: Orografía América Central América del Sur América del Sur: Orografía e Hidrografía Europa: Aspectos Generales Europa: Relieve Europa: Hidrografía y Litoral Asia: Aspectos Generales y Relieve Asia: Hidrografía y Litoral África: Aspectos Generales División Política África: Orografía, Hidrografía y Litoral Oceanía: Aspectos Generales División Política Oceanía: Orografía, Hidrografía y Litoral


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

GEOGRAFÍA

Teoría Geográca

2.

Teoría Geográca

3.

Sistema Solar I

4.

El Sistema Solar II

5.

Tiempo Geológico

6.

Geodesia I

7.

Geodesia II

8.

Geodesia III

9.

Movimientos de la Tierra


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

10. Husos Horarios y Hora Internacional 12. 13. 11. Cartografía 14. 12. Escala 15. 16. 13. Geósfera 14. Geodinámica Terrestre

17.

15. Hidrósfera, Oceános y Mares 16. La Atmósfera 17. Climatología 18. Geomorfología Litoral y Costa 19. Geomorfología Andina Volcanes, Mesetas, Cañones

TEMARIO 2016

GEOGRAFÍA


1.

TEMARIO 2016

18. 19. 20. 21.

20. Geomorfología Amazónica Filos. Altos, Restingas, Tahuampas 21. Mar Peruano Características y Corrientes Marinas 31

Teoría Geográca Teoría Geográca El Sistema Solar Movimientos de la Tierra Geodesia I Geodesia II Geografía Mundial: América Geografía Mundial: Europa Geografía Mundial: Asia Geografía Mundial: África Geografía Mundial: Oceania – Regiones Polares Regiones Polares Geomorfología Litoral y Costa Geomorfología Andina Geomorfología Amazónica Hidrografía Peruana: Vertiente del Pacíco y Hoya del Titicaca Hidrografía Peruana:Vertiente del Atlántico y Subcuenca Madre de Dios Actividades Extractivas: La Pesca Actividades Extractivas: Minería y Petróleo Actividades Productivas: Agricultura y Ganadería Actividades Transformativas: La Industria Actividades Distributivas: Transporte y Comercio


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

RAZ. VERBAL

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

RAZ. VERBAL



1.

Etimología

1.

Etimología

2.

Sinónimos

2.

Sinónimos - Antónimos

3.

Antónimos

3.

Analogias I

4.

Analogías I

4.

Analogías y Paremias

5.

Analogías II

5.

Oraciones Incompletas

6.

Práctica Integral I

7.

Oraciones Incompletas

8.

Práctica Integral II

9.

Conectores Lógicos

10. Series verbales

y Conectores Lógicos 6.


7.

Plan de Redacción

8.

Inclusión e Implicancia

9.

Práctica Integral

10. Oraciones Eliminadas

11. Parenmiología

11. Relaciones Conceptuales

12. Práctica Intengral III

12. Práctica Integral

13. Inclusión e Implicancia

13. Comprensión de Lectura I

14. Oraciones Eliminadas I

14. Comprensión de Lectura II

15. Oraciones Eliminadas II

15. Comprensión de Lectura III

16. Plan de Redacción

16. Práctica Integral IV

17. Práctica Integral IV

17. Lectura Crítica

18. Polisemia

18. Práctica Integral V

19. Términos Incluídos

19. Hiperónimos e Hipónimos

20. Comprensión de Lectura

20. Relaciones Conceptuales

21. Práctica Integral V

21. Práctica Integral VI

32


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

RAZ. VERBAL Etimología

2.

Sinónimos y Antónimos

3.

Analogías

4.

Oraciones Incompletas I

5.

Oraciones Incompletas II

6.


7.

Series Verbales

8.

Pràcticas Dirigidas

9.

Inclusión e Implicancia

TEMARIO 2016

RAZ. VERBAL


1.

TEMARIO 2016


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

10. Término Excluido 11. Oraciones Eliminadas 12. Práctica Integral III 13. Comprensión de Lectura I 14. Comprensión de Lectura II 15. Plan de Redacción

16. 17. 18. 19.

16. Lectura Crítica I 17. Lectura Crítica II 18. Práctica Integral III 19. Argumentación I

20. 21.

20. Argumentación II 21. Miscelánea

33

La Paráfrasis El Sumillado Relacionando Ideas El Cuadro Cuadro de Doble Entrada Las Ideas Dentro De Un Texto Estructura del Texto Nominación de Textos Redacción de Textos Descriptivos La Paráfrasis Palabras de Escritura Dudosa La Intención De Un Autor El Tono De Un Texto Inferencia Simple Lectura Crítica Oraciones Incompletas Conectores Lógicos y Elementos de Referencia Oraciones Eliminadas Práctica Integral El Cuadro Sinóptico La Comprensión en Contexto La Sinonimia Contextual Analogías Términos Excluidos


TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

RAZ. VERBAL 5to año de Secundaria

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Estructuración de Textos Comprensión de Textos Comprensión de Lectura Palabras Juntas y Separadas Uso de Grafías Analogías Términos Excluidos Cohesión Textual Oraciones Incompletas La Denición Normativa de Enlaces Inclusión de Enunciados Plan de Redacción Argumentación I Argumentación II Oraciones Eliminadas Coherencia Global Repaso El Tono de un Texto La Extrapolación Miscelánea

34

TEMARIO 2016

TEMARIO 2016

Telf.. 511 988961526 Movistar Telf Email: [email protected] / [email protected] Dirección: Jr. Washington 1255 Cercado de Lima

| 2015

IMPRESIONES LÁSER: INICIAL Cursos

3 Años # Páginas Costo



Lógico Matemático

152

6.84

228

10.26

275

12.38

Comunicación Integral Personal Social Ciencia y Ambiente Motor Fino

140

6.30

173

7.79

179

8.06

81

3.65

99

4.46

128

5.76

66

2.97

106

4.77

125

5.63

236

10.62

175

7.88

148

6.66

Aprestamiento Inglés Razonamiento Matemático Razonamiento Verbal Valores y Liderazgo

-

-

132

5.94

143

6.44

68

3.06

105

4.73

110

4.95

-

-

-

-

124

5.58

-

-

-

-

110

4.95

2.61

60

2.70

70

58

36.05

48.53

Nota: El costo de impresión, para inicial, inicial, por cara cara es a S/0.045 S/0 .045 céntimos, cé ntimos, son hojas de aplicación. Tenemos también en fondo de color, consultar precio al correo para mandarle un modelo.

La cará ula puede ser Doble Ring con Tapa Dura para una mejor manipulación de los niños o empastado.

3.15

63.56 63.56

.

IMPRESIONES LÁSER: PRIMARIA (s/.0.04 x p ágina) Cursos Lógico Matemátco Comunicación Integral Persona Social Ciencia y Ambiente Razonamiento Matemá tco Razonamiento Verbal Inglés Valores y Liderazgo

1º Primaria # Páginas Costo 142

5.68


12.56


12.08


15.28


16.40


14.72

184

7.36

344

13.76

330

13.20

304

12.16

348

13.92

368

14.72

96

3.84

166

6.64

184

7.36

148

5.92

144

5.76

142

5.68

116

4.64

134

5.36

234

9.36

148

5.92

108

4.32

208

8.32

314

12.56

158

6.32

122

4.88

162

6.48

148

5.92

160

6.40

354

14.16

200

8.00

298

11.92

302

12.08

324

12.96

364

14.56

122

4.88

106

4.24

108

4.32

110

4.40

116

4.64

136

5.44

70

2.80

62

2.48

88

3.52

92

3.68

107

4.28

105

4.20

55.92

59.36 59.36

66.64 66.64

65.92 65.92

Telf. Te lf. 511 988961526 Movistar 22

Email: [email protected] / [email protected] Dirección: Jr. Washington 1255 Cercado de Lima

ÁLGEBRA

68.2

74.04

ÁLGEBRA

5 Secundaria

Primer Bimestre

Índice Pág

Capítulo 1.

Leyes de Exponen Exponentes tes y Radical Radicales es

Capítulo 2.

Polinomios

13

Capítulo 3.

Productos Notables

19

Capítulo 4.

División Divisi ón Algebraica

25

Capítulo 5.

Factorización I

30

Capítulo 6.

Factorización II

35

7

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

Á lgebra

CAPÍTULO

1

Leyes de Exponentes

Potenciación

DEFINICIÓN 2 Exponente cero : Si a ∈ R ; a ≠ 0.

an = P   

a : base n : exponente P : potencia

a0 = 1

a ∈ R n ∈ Z P ∈ R

Ejemplos:

Ejemplo: Exponente

42 = 16

Potencia



30 = 1



(- 2)0 = 1



-50 = -1

Base 

DEFINICIÓN 1

(Observa que el cero afecta a 5) 0

53 = 51 = 5

DEFINICIÓN 3

Exponente natural : Si a ∈ R y n ∈  . +

Exponente negativo negativo : Si a ∈ R; a ≠ 0. an = a . a . a . ... . a “n” factores

a-n =

1 an

Ejemplos: 

x . x . x = x3



(-3)2 = (-3)(-3) = 9

Ejemplos:

 



-32 = -(3)(3) = -9

(Observa que el exponente afecta a 3) (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27 Álgebra - 5to. Secundaria



3-2 = 12 = 1 3 9 -1 1 -2-3 = 3 = 2 8 (Observa que el exponente ( -3) afecta a 2) 7


¿CÓMO CONTAR LOS GRANOS DE

DEFINICIÓN 4 Exponente fraccionario : Si m/n ∈ Q.

ARENA AREN A QUE QUE CAB CABEN EN EN EL UNI UNIVER VERSO SO?

am/n = n am Ejemplos: 

34/5 = 5 34

Teoremas T eoremas 1. am . an = am+n am 2. an = am-n; a ≠ 0 Recreación de la Muerte de Arquímedes durante la II Guerra Púnica. “ No tangeré circues meos meos” (No toques mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes (De la vida del general romano Marcelo, según Plutarco).

3. (a . b)n = an . bn

(

n

an ; a ≠ 0 bn 5. (am)n = am.n

4.

a b

(

=

6. n ab = n a . Arquímedes (287 - 212 a.C.) nació y murió en Siracusa, actual Italia. Fue sin duda el mayor matemático de la antigüedad. En una obra titulada Psammites (El Cálculo de los Granos de Arena , más conocida en español como El Arenario) se jactaba que podía enumerar los granos de arena necesarios para llenar el universo, utilizando para ello números gigantescos expresados mediante exponentes. Arquímedes comienza, basándose en los trabajos del astrónomo Aristarco (310 - 230 a.C.), con ciertas estimaciones relativas a los tamaños de la Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna, el Sol y las estrellas fijas; demostrando que el diámetro del universo usual hasta la distancia del Sol es menor que 1010 estadios (un estadio es igual a 147,8 metros). A continuación supuso que 10 000 granos de arena ya superaban a una semilla de adormidera, que el diámetro de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000 dedos. Con estas desigualdades, Arquímedes llegó a la conclusión que se necesitaban 1051 granos de arena para llenar la esfera del universo, generalmente aceptada aquel tiempo.

a b

7.

n

8.

cn

9.

m n

b

n

=

acm

a ;a≠0 b = n am n

a = mn a

Ecuaciones Exponenciales Elementos:

A. BASES IGUALES IGUALES am = an

m=n

⇒

Ejemplo:

Resuelve: 23x+1 = 210 3x + 1 = 10 ⇒ x = 3

B. FORMAS ANÁLO ANÁLOGAS GAS xx = aa Exceptuando:

çæ 1 ö÷÷

⇒

x=a æç 1ö÷ ÷

æ 1 ÷öççè 2ø÷ æ 1 ÷öèçç 4ø÷ ç ÷ = çç ÷ çè 4 ÷ø èçç 2 ÷ø

Ejemplo:

xx = 27 8

n

⇒

xx = 33

⇒

x=3

Álgebra - 5to. Secundaria

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” EJERCICIOS RESUELTOS

Resolución:

(32)x + 3x+3 = 28 32x + 3x+3 = 28 3x(3x + 33) = 28 3x(3x + 33) = 28 3x(3x + 27) = 1(1 + 27) x \ 3 = 1 x=0

1. Reduce: 20 veces 3 3 3 3 S = 3 x 2 . 3 x 2 . 3 x 2. ... . 3x 2 x . x . x . ... . x

Rpta.: c

30 veces a) x10 d) x-5

b) x5

4. Simplifica:

c) 1 e) x-10

n

ancn + anbn + bncn a-n + b-n + c-n

Resolución: 3 20

S = (3 x 2) 30 = ( x)

a) b) c) d) e)

60

3

x x60

extraemos: S=

x30 10 20 = x x

a+b+c ab + ac + bc abc a-1 + b-1 + c-1 an + bn + cn

Resolución:

Factorizando an + bn + cn en el numerador:

Rpta.: a

n

anbncn(b-n + c-n + a-n) a-n + b-n + c-n n

2. Calcula:

(

E= 1 64 a) 2 d) 16

-2-1

(

1 + 27

(

b) 4

-3-1

(

1 + 625

(

c) 8 e) 32

-4-1

(

anbncn = abc

Rpta.: c 5. El exponente de “x” que resulta al simplificar: E = 1+1/2

1+1/3 1+1/4 1+1/5

... 1+1/n xn

es:

Resolución:

(

1 E= 64

-2-1

(

1 + 27

(

-3-1

(

1 + 625

(

a) n2/2 d) 2

-4-1

b) n/2

c) 2/n e) 2n/n+1

( Resolución:

E = 64 1/2 + 271/3 + 6251/4

Operando las fracciones tenemos:

E = 64 + 3 27 + 4 625

E = 3/2

E=8+3+5

4/3 5/4 6/5

... (n+1)/n x

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n xn

E = 16 E = (n+1)/2 xn

Rpta.: d

E = xn/[(n+1)/2]

3. Si 9x + 3x+3 = 28, calcula “x”. a) 3 d) 2

b) 1

E = x2n/(n+1) c) 0 e) 6


Rpta.: c 9


Resolviendo en clase 1

Si x y = 2, calcula: (x y)x y . (x3)- y y . (4 y2) y-2

3

Efectúa: 2.3 2.6 2

a) Resolución:

b)

6

9.4 9.3 9 20 9.5 9

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Simplifica:

4

Si el exponente final de x es 7/4 en:

104 . 303 . 423 54 . 250 . 60 2 . 702

xn . x x ; x > 0. calcula n.

Resolución: Resolución:

Rpta: 10

Rpta:



5

Halla “x” si:

6

Simplifica:

62x-4 = 1 144x-2 16 Resolución:

W=

5 . 2x+2 - 2x+4 + 6 . 2 x-1 2x+5 - 15 . 2x - 2 . 2x+3

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno

7.

Sabiendo que:

10. Halla el exponente final de x:

2x-3 = 3, halla 21-x

8.

(xa)bc . (xbc)a . xac . xac ... xac . x ; x ≠ 0 ((x3a)b)c

Después de simplificar: n-2

32n+5 - 9 . 32n+1 24 . 3n+4

se obtiene:

9.

b veces

11. Halla “x” en: 8x+3 = 4 323x+1

Si:

12. Calcula el exponente final de “x” en: x

y

3 = 7 , calcula el valor de: x+1

y+1

x

P = 3 - 7 + 3 7 y - 7 . 3x + 3 . 7 y


F(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x ... (n radicales)

11


Para reforzar 1.

Calcula el valor de x en:

7.

2x . 2 = 3 4x a) 2 d) 1/4

b) -3/2

Simplifica:

(

1 2

a) 287 d) 123

3.

(

1 + 3

-(1/3)-1

(

(

1 + 4

Resuelve:

b) 281

(

c) 235 e) 435

5.

Luego de resolver la ecuación:

b) 9

x-2

a) 2 d) 1

9.

b) 3

c) 4 e) 0

Si ab = 1, calcula el valor de:

a) 1 d) ab c) 4 e) 5

x+2

b) 3/2

b) a

c) 5/2 e) 5

c) b e) a/b

10. Reduce: -1

-2

R = 3 642 + 162 a) 1 d) 4

- 83

b) 2

-1

c) 3 e) 5

11. Después simplificar la expresión:

E=

Reduce:

2-n

n

n

252 - 402 n n 202 - 322

n2 n2 n 4 + 16 2 2 16n + 64n

resulta:

5 3 15 3 P = 253 . 5 5 . 25 5 . 125

a) 1 d) 3 5

3

M = (ab)a (ba)b ((aa)b)a ((bb)a)a

1632 = 22 a) 2/5 d) 2

c) 4 e) 8

94 = 38 indica el valor de R = x-1 x + 1

-(1/4)-1

A = {(1/2)-3 + (2/5)-2 + (4/7)-1}0,0,55 B = {8(4/5)-2 - (2/3)-3 - (8/9)-1}(1/3)

4.

= 0,0001

b) 2

Calcula A + B, siendo:

a) 20 d) 6

-1 x27-3

x+1

-(1/2)-1

(

(0,01) a) 1 d) 6

c) 1/2 e) 5/3

8. 2.

Halla “x” si:

b) 5

c) 25 e) 5 5

a) 5 d) 1,25

b) 2,5

c) 2 e) 0,5

12. Después de simplificar: 6.

Efectúa:

E=

10

3 -2 -2 -4 2 E = (x-5 )-1 . x(-3)2 . (x -1) -2 (x ) . x . (x )

a) 1 d) x-32

12

b) x

c) x32 e) x-1

32x/(x- y) + 6 . 3 2y/(x- y) x- y y 3x+y

se obtiene: a) 3 d) 6

b) 4

c) 5 e) 7



Á lgebra

CAPÍTULO

2

Polinomios

Monomio Término algebraico de exponentes enteros y positivos p ara todas sus variables (expresion racional entera). Ejemplos:      

M(x, y) = x 3 y4 M(x, y, y, z) = x5 y3z5 M(x, y, y, z) = x4 y3z6 x2/y3 x4 y1/2 x6 y2/3z

Monomio Monomio Monomio

2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.) Es el mayor grado de uno de los términos. 

3. GRADO RELATIVO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.) Está dado por el mayor exponente de la variable referida.

No es monomio No es monomio No es monomio



P(x, y) = 2x4 y2 + 6x3 y5 + 7x7 GR(x) = 7 ; GR(y) = 5



Q(x, y) = 6x4 y5 - 2x5 y3 - y6 GR(x) = 5 ; GR(y) = 6

4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO Está dado por el monomio de mayor grado.

Polinomio Expresión algebraica entera de uno o más términos.



Ejemplos:

= 6x4 y2 - 5x2 + 3xy3 + y4 Polinomio de 4 términos 3 5



P(x,y,z) = 3x2 y3z - 5x y + 3y P(x,y,z) Polinomio de 3 términos



P(x,y,z) = 2xy - 5xy2z4 P(x,y,z) Polinomio de 2 términos

4

Grados

P(x, y) = 4x3 y2 5

-

2x2 y5 + 6x4 y6 7 10

G. A. (P) = 10

 P(x,y)

Polinomios Especiales Término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables (expresion racional entera).

1. POLINOMIO ORDENADO Es aquél donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo. Ejemplos:

1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)



P(x) = x16 - 2x10 + x2 + 1 Polinomio Ordenado Descendente.



Q(x) = 2 + x 4 + 5x7 + x10 Polinomio Ordenado Ascendente.

Está dado por el exponente de la variable indicada. 

M(x, y, y, z) = 32x4 y5z7 G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

M(x, y, y, z) = 4x2 y4z5 GR(x) GR (x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5 Álgebra - 5to. Secundaria

13


2. POLINOMIO COMPLETO Es aquél donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor hasta el término independiente (exponente cero). Ejemplos: 

P(x) = 6x2 + 2x + 3x 3 + 5 tiene 4 términos



Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Halla el coeficiente de M(x, y) = (1/2) n9mx3m+2n y5m-n cuyo grado es 20 y el grado relativo de “x” es 14. a) 16/81 d) 16/9

b) 81/16

c) 9/16 e) 81/8

Resolución:

tiene 5 términos

2.1. Propiedad En todo polinomio completo se cumple:

GA = 3m + 2n + 5m - n = 20 GR(x) = 3m + 2n = 14 8m + n = 20 3m + 2n = 14

# Términos = Grado + 1 \

Sea:

P(x) = 2x2 + 5x + 1 tiene 3 términos 3=2+1

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquél donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

P(x,y) = 6x2 + xy 2.º 2.º

m=2 \

-

y2 2.º

P(x,y) = 6x2 + xy - y2 2.º 2.º 2.º 4 2 3 3 6  Q(x,y) = 2x y + 3x y + y 6.º 6.º 6.º 4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Son aquéllos que tienen el mismo valor númerico para un mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismos coeficientes en términos homólogos. 

Ejemplos: 

2x + 3 ≡ 3 + 2x



5x3 + 2x - 1 + 4x2 ≡ 4x2 - 1 + 2x + 5x3

5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

Ejemplo:

14

n=4

coeficiente = (1/2)4 92 = 81/16

P(x + 2) = x + P(x) y P(3) P(3) = 1 calcula el valor de 2. Si P(x P(5) + P(1). a) -4 d) 2

P(x) ≡ 0x3 + 0x2 + 0x + 0 P(x) ≡ 0

b) 0

c) 1 e) 4

Resolución:

En P(x + 2) = x + P(x) \

x=1 P(3) = 1 + P(1) 1 P(1) = 0

\

x=3 P(5) = 3 + P(3) P(5) = 3 + 1 P(5) = 4

\

P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4

Es aquél donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. Es decir, decir, sus coeficientes son todos ceros. 

⇒

Rpta.: b

Ejemplos: 

16m + 2n = 40 -3m - 2n = -14 13m = 26

Rpta.: e Álgebra - 5to. Secundaria


3. Si el término independiente del polinomio: P(x) = 2(x-3)2 (x -2)3 (x-m)2 (x+1)3 es -576, halla el valor de m2. a) 1 d) 16

b) 4

c) 9 e) 25

Resolución:

Sabemos que P(0) = término independiente P(0) = 2(-3)2 (-2)3 (-m)2 ( (1) 1)3 = -57 5766 = 2 . 9 . (-8)(m2) = -576 m2 = 4

Rpta.: b 4. En el polinomio homogéneo: r q P(x, y) = xm + yn+p + xn yp + xp yn + xq yr + x y la suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valor de: E=m+n+p+q+r a) 12 d) 27

b) 15

c) 18 e) 36

Por homogeneidad m=n+p=q+r=k \ 6k = 54 k=9

Nota El término independiente independie nte es un término de grado cero, así: 4 = 4x0

Observación Polinomio Completo y Ordenado

m=9,n+p=9,q+r=9

P(x) = x3 - 2x2 + 5x - 4

E = 9 + 9 + 9 = 27

Observa que cumple con las dos condiciones anteriores.

Rpta.: d 5. Si el polinomio: P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2) (x + 1) (x - 2) + (c + 3) (x - 3)(x - 2) es idénticamente nulo. Halla a + b + c. a) 0 d) 3

Para elegir los mate-riales adecuados, en cuanto a calidad y ca cant ntid idad ad,, pa para ra co cons nstru tru ir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y fluidez del tráfico automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.

El símbolo ≡ significa que los polinomios son idénticos.

Resolución:

\

¿cÓMO EVITAR ERRORES?

b) -1

c) 2 e) -3

UN TREN DE MONOMIOS Un polinomio está conformado por monomios de la misma forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x 3, x2, x, 7, lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7; un polinomio.

Resolución:

Evaluamos: P(3) = (b - 2)(4)(1) = 0 ⇒ b = 2 P(2) = a(-1)(3) = 0 ⇒ a = 0 P(-1) = (c+3)(-4) 4)((-3) = 0 ⇒ c = -3 ⇒

a = 0 , b = 2 , c = -3 a + b + c = -1

Rpta.: b Álgebra - 5to. Secundaria

15



Si P(x) = ax2 + 2x - 1 y P(-2) = 7, el valor de “a” es:

3

Resolución:

Rpta:

2

Calcula el grado de: P(x, y, z) = 8xa ybzc, sabiendo que: GA - GR(x) = 11, GA - GR(y) = 12 GA - GR(z) = 13.

Calcula m . n si P(x, y) = 2x m+1 yn-2 - 5x m+2 yn-1 + 7x m+3 yn-3 es de GA = 20 y de GR(y) = 8. Resolución:

Rpta:

4

Halla el valor de A + B si: 15 - 4x ≡ A(2 - x) + B(1 + x) Resolución:

Resolución:

Rpta: 16

Rpta:



5

Dado el polinomio: P(x) = 2xc+d-1 - 3xb-c+1 + 5xa+b-4 + 2xa-3 completo y ordenado descendentemente, halla el valor de a + b + c + d.

6

Si: P=

(3X+1) (5X-1)

=9X+2

Hallar: P

é êë(

2

+

5

)(

2-

5

)ùúû


Rpta:

Rpta:


7.

8.

Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n + (3x + 1) n + (5x - 1)n + b con término independiente 5 y suma de coeficientes 38. Halla P(-1). (n es par)

Siendo: P(x, y, z) = 3axa+2 yb+2 + 2b ya+1zc+3 + 5cxb+4zc un polinomio homogéneo de grado “m + 2”, calcula:

10. Si: P(2x+3) = 7-6x Hallar: P(x + 1)

11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio P(x) = Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x, sea idénticamente nulo.

(a+b+c)n n+1 a n +b n +c n

9.

Calcula A + B + C si: (x + 1)[A(x + 2) + B(x - 2) - 3x] + 15x = (x - 2)[3x + c(x + 2)] se verifica para todo “x”.


12. Si: P^xh= x x x es de tercer grado para un valor de "n". Deicho valor es: 3 5

2

2

17


Para reforzar

1.

Halla la suma de los siguientes términos semejantes: A = (a + 3b + c)xa-5 yb+c+8 B = (2b + 4c + 3)x3 y10 a) 15x3 y10 c) 20x3 y10 d) 16x3 y10

2.

3.

4.

c) 72 e) 12

b) 6

c) 7 e) 9

b) 0

c) 1 e) 4

Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3 + 3) . (5x 7 - 7)n-4 + (8x - 9)10 es 449, entonces el valor valo r de “n” es: a) 5 d) 10

18

b) 6

b) 6 e) 12

c) 8

b) 81/16

9.

c) 9/16 e) 81/8

Dada la expresión algebraica: R(x, y) = 6xm-2 yn+5 + 3xm-3 yn - 8x m-1 yn+6, halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado relativo de “x” es 6. a) 30 d) 42

c) 117 e) 119

Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el valor de P(5) + P(1). a) -4 d) 2

6.

8.

Si P(x, y) = xm+2 y5 + 7x10 yn + 2xm+3 yp es homogéneo, con grado de homogeneidad 11, halla “m + n + p”. a) 5 d) 8

5.

e) 21x y

Halla a . b en: P(x, y) = 5x2a ya+b+1 + 12xa-b y2b-1 si GR(y) = 9 y GA = 19. a) 15 d) 18

(

a) 16/81 d) 16/9

3 10

b) 63

Halla el coeficiente de n M(x, y) = 1 . 9mx3m+2n . y5m-n 2 cuyo grado es 20 y el grado relativo a “x” es 14.

(

b) 18x3 y10

Si P(x) = 2x2 + 5x + 2 y Q(x) = 6x + 1, halla P(Q(1)). a) 125 d) 135

7.

b) 35

c) 36 e) 45

Si el polinomio: n+33 n+ n+11 P(x) = 3xn+ - xn+22 + xn+ + ... + 3 completo, ordenado y tiene 38 términos; el valor de “n” es: a) 33 d) 39

b) 34

c) 37 e) 40

10. Encuentra el valor de a + b en la siguiente igualdad: 13 - 4x ≡ a(x + 2) + b(x - 1) a) -8 d) -2

b) -6

c ) -4 e) 0

11. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión: a+55 a+ a+33 a+ a a+ a+11 a-2 a-1 M = (x + x a+ 5)2 (x -2x + 1) (x - x + 3) sea de grado 64? (a > 2)

a) 6 d) 5

b) 3

c) 2 e) N.A.

12. Si. P(x) = x2 - 1 Calcular: P éêë P P ( 3 )ùúû 2

a) 9 d) 8

b) 80

c) 81 e) 27



Á lgebra

CAPÍTULO

3

Productos Notables

1. CONCEPTO Son los productos que se obtienen en función directa sin necesidad de multiplicar multiplicar..

Trinomio Cuadrado Perfecto Perfecto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplos: 

(x + 3)2 = x2 + 2(3)x + 3 2



(x - 4)2 = x2 - 2(4)x + 4 2



(5x + y)2 = (5x)2 + 2(5x)(y) + y2

Identidades de Legendre (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab Ejemplos: 

(x + 3)2 + (x - 3)2 = 2(x2 + 32)



(x + 2)2 - (x - 2)2 = 4(x)(2)

Nota (x - y)2 = (y - x)2

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobrentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y las operaban según las reglas de la geometría. Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un Álgebra geométrica que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra Álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II, “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre s obre los segmentos y dos veces el rectángulo rectángul o contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a 2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He He aquí la demostración: demostración: a

b

a

a2

ab

b

ab

b2

ab =

a2

+

+

b2

ab

El área del cuadrado mayor es (a + b) 2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores. Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Desarrollando: x2 - 2xy + y 2 = y2 - 2yx + x 2


19


Reduce: (a + b)2 - (a - b)2 ab

N=

1. Si : x2 + 1 = 3 , x2 calcula: x6 + 1 x6

Solución.-

Por Legendre: (a+ b)2 - (a - b)2 = 4ab

a) 0 d) 3 3

4(ab) = 4 = 2 ab

⇒

Diferencia de Cuadrados (a + b)(a - b) = a2 - b2

Calcula : M = 46 . 44 - 452

Solución.-

c) 2 3 e) 3

Resolución:

(

x2+1 3 = 3 3 x2 x6 + 1 +3x2. 1 x2+1 = 3 3 x2 x6 x2 x6 + 1 +3( 3) = 3 3 x6 x6 + 1 = 0 x6

(

(

Ejemplo: 

b) 3

Haciendo x = 45

(

Rpta.: a

La operación se convierte en: M = (x + 1) (x - 1) - x2 Aplicando productos notables: M = x2 - 1 - x2

2.

Si : M = 2 + 3 ; N= 2- 3 calcula (M+N)2

Reduciendo términos semejantes: M = -1

a) 3 d) 6

b) 4

c) 5 e) 7

Identidad de Stevin (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab Ejemplo: 

(x + 3)(x + 4) = x2 + 7x + 12

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado 2

2

2

Ejemplo: 

2

2

2

(x + y + 3) = x + y + 3 + 2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3) ⇒

20

x

a

x x2

ax

b bx

ab

2

(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc

2

Geométricamente la identidad identida d de Stevin se demuestra así:

= x2 +

bx +

ax

+

ab

Según sus áreas: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab

(x + y + 3)2 = x2 + y2 + 9 + 2xy + 6y + 6x Álgebra - 5to. Secundaria


4. Si : (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

Resolución:

(

)

K = 2+ 3+ 2 - 3

(

2

2

calcula:

K = 2+ 3 +2 2+ 3 + 2- 3

)( 2- 3 )

E= 3 x + 2y + 2x +y

4

x2+z2 2xz

2

K = 2+ 3+2 ( 2+ 3 )( 2- 3 )+2- 3

a) -2 d) 1

b) -1

c) 0 e) 2

Resolución:

K = 4+2 2 3 2-

2

Si (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

K = 4+2 1 ⇒

x - y = x - z = y - z = 0

K=6

x=y=z

\

Rpta.: d

3. Si :

Remplazando en "E" E= 3 x + 2x + 4 x 2+x2 2x +x 2x2

(

x+y 2 =xy , 2 calcula: E= 6 x - 2 y 4 xy

(

a) 1 d) 4

E= 3 1

1

Rpta.: e c) 3 e) 5

5. Si : x3+y3+z3=0; x2+y2+z2+3=xy+xz+yz Calcula:

Resolución:

4

E= 2

b) 2

Si :

+

x3 y3z3 (x+y)(x+z)(y+z)

(x+y)2 =xy 4 (x+y)2=4xy x2+2xy+y2=4xy x2 - 2xy+y2= 0 (x - y)2 = 0 ⇒ x=y

Remplazando en "E"

E=

E=

6 x-2 4 x2

x

4 x x

a) 1 d) 5

Rpta.: b Álgebra - 5to. Secundaria

c) 2 e) 3

Resolución:

x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz- yz) yz) 2 2 2 2 2 2 0 -3xyz=(x+y+z)(x +y +z -x - y y -z -3) -3xyz = -3(x+y+z) ⇒ xyz = x+y+z Elevando al cubo: x3 y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x) Reemplazando: x3 y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x) \

E= 2

b) 4

x3 y3z3 (x+y)(x+z)(y+z) = 3

Rpta.: e 21



Si:

3

R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2 M = ( 3 +2)2+( 3 - 2)2

Si: x2 - 5x + 1 = 0 Calcular: 2

x +

calcula R+M.

1

x

2

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Si:

4

Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.

x+x-1=3 calcula x2+x-2. Resolución: Resolución:

Rpta: 22

Rpta:



5

Si:

6

Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.

x - y = 4, xy =3; =3; halla x3- y y3 Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:


10. Si:

7. Reducir: ( x

2

2

)

+ 2 x - 5 - ( x -1)( x - 2 )( x + 3)(x + 4)

a

=

5 -

3+

b

=

3 -

2 -1

c

= 1-

9.

5

Calcular: M=

8.

2

2

2

2

a b c + + ac bc ab

Efectúa: E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

11. Si x2+ 12= 18 calcula E=x -1 x x

Efectúa:

12. Si: x3 = 1; x ≠1 Calcular: x2 + x

R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1 +1))


23


Para reforzar

1.

Si: (a+b)2 = 2(a2+b2) Calcula el valor de:

8.

2 2 E= a +13b + 23a - 17b ab 2a

a) 13 d) 16

2.

4.

[(

2

-4

a2 b 2 2 b ( a (

b) 24

c) 15 e) 72

b) 1/2

b) -1

9.

b) x6

b) a2

c) a3 e) a6

Calcula el valor de: a+b+c, si: a2+b2+c2=2 (a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32 a) 2 d) 32

b) 4

c) 8 e) 64

10. Dada la siguiente igualdad: x y z 4 = yz + xz + xy , calcula el valor mumérico de: x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy) R = x(x - yz)+y(y - xz)+z(z - xy) a) 9 d) 8

b) 7

c) 5 e) 6

11. Si se sabe que: 2x 1 +xy = y 1 - xy calcula el valor de:

c) 5/2 e) 9/2

c) 0 e) 2

2x - y + )2x+y 2x - y 2x+y (

E= a) 18 d) 15

c) x8 e) x12

b) 17

12. Si a 3+b 3+c 3=0 y (a c)2=12, a; b; c ≠ 0. calcula:

c) 16 e) 14

-

b) 2+(a

-

c) 2 +(b

A= 1 + 1 + 1 bc ac ab

Efectúa: R = ( x + 3 ) ( x2- 3x + 9) ( x - 3 )(x2+3x+9)+ 729 a) x3 d) x10

24

( ]( [( ( ] 2

Si (a+b)3=a3+b3, además a, b≠ 0; señala el valor de a . b a) -2 d) 1

7.

c) 16 e) 64

1 1 4 Si m + n + m+n calcula: 2 2 J = 4m+n + m +n 4m- 2n mn a) 3/2 d) 7/2

6.

c) 145 e) 194

b) 8

Simplifica: a b2 a b E = + ( + b a b a a) 36 d) 16

5.

b) 146

Sabiendo que: [6+ 36 - a2].[6- 36 - a2]=8 halla a4. a) 4 d) 32

a) a d) a4

c) 15 e) 17

Si: a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12 Halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2. a) 132 d) 164

3.

b) 14

Reduce a su mínima expresión: [(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2 +6 +644

a) 1/2 d) 2/3

b) -2

c) 3/2 e) -1/2


-


Á lgebra

CAPÍTULO

4

División Algebraica Monomio Entre Monomio

Identidad fundamental de una división polinomial.

Nos remitimos a la Ley de Exponentes.

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Ejemplos: 



Residuo Cociente Divisor Dividendo

15x7 y4z5 = 15 x7-2 y4-1z5-3 3 3x2 yz3 = 5x5 y3z2

( )

2. MÉTODO DE RUFFINI RUFFINI Se utiliza para casos en que el divisor es de primer p rimer grado.

1001 9-3 15-12 1001x9w15 = x w 91 91x3w12 = 11x6w3

( )

DIVIDENDO (RAÍZ DEL DIVISOR)

Polinomio Entre Monomio Nos remitimos a separar el polinomio término por término y utilizar lo visto anteriormente.

COCIENTE

Ejemplos: 

15x7w8 + 21x6w3 - 3 15x 3xx5w2 entre 3x3w 15x7w8 + 21x6w3 - 3x5w2 3x3w 3x3w 3x3w 5x4w7 + 7x3w2 - x2w

Coeficientes restantes del divisor con signo cambiado

Línea Divisoria

 Sólo   

cero D(a) = V.N. V.N. del dividendo cuando x = a

coeficientes. Polinomio Polin omio completo completo y ordenado. ordenado. 2 q(x) = 3x + x - 5 r(x) = 4x + 12 Álgebra - 5to. Secundaria

Residuo

D(a) = R

Ejemplos: 

Cociente

r(x) = 0

Evaluemos en x = a D(a) = (a - a)q(a) + R

Coeficientes del Dividendo

i v i s o r



El resto que resulta de dividir un polinomio determinado, por el binomio “x - a”, es igual al valor numérico del polinomio dividendo, en el cual se ha efectuado la sustitución de x por a. Veamos: D(x) = (x - a)q(x) + R

1. MÉTODO DE HORNER d

q(x) = x3 + 2x2 - x - 2

Teorema T eorema del Resto

Polinomio Entre Polinomio Coeficiente principal del divisor



RESIDUO

Halla el resto de dividir: 4x4 - 3x3 + 5x2 - 6x + 4 entre x - 2 x - 2 = 0 x=2 R = 4(2)4 - 3(2)3 + 5(2)2 - 6(2) + 4 R = 52 25


“A + B”, en la siguiente división exacta. 1. Determina “A 6x4 + 5x3 - x2 + Ax + B 2x2 + 3x + 1 Resolución:

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner.

6

5 -9

-1

A

Haciendo el esquema : Cociente: Q(x) = x 3 - 2x2 + x - 3

B

-3

-2

coeficientes = Q(1) = -3

Divisor 2x - 1

6 3

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de P. Ruffini.

∑ de

Haciendo el esquema : 2 -3 -1

Resolución:

2 -3 0

1

diferente de la unidad

-1

0

división exacta

1/2

2

-5

-7

2

4 1 -2 -4 2

9 1 -3 -6 6

1

-2

-3

2

÷

1

4. Halla el residuo de la siguiente división : (x - 3) (x + 7) 60 + 7 x+6

del esquema : A - 1 = 0 ⇒ A = 1 B - 1 = 0 ⇒ B = 1 A+B=2 ∴

Resolución:

Como el grado del dividendo es muy elevado y sólo só lo nos piden el residuo, entonces utilizaremos el “Teorema del resto”.

2. En la siguiente división : 4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B x2 + 5x + 2

Regla práctica :

Determina el valor de “AB” si tiene como residuo: 3x + 10.

x+6=0 x = -6 Reemplazando en el dividendo : R = (-6 - 3) (-6 + 7)60 + 7 R = -2

Resolución:

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner.

Resolución:

Haciendo el esquema : 1 -5 -2

4

4

23 24 -20 -8 -15 3

1

A

B

-6 -5

-2

3

10

residuo del esquema : A - 11 = 3 ⇒ A = 14 B - 2 = 10 ⇒ B = 12 AB = 168 ∴

3. Divide: 2x4 - 5x3 + 4x2 - 7x + 9 2x - 1 e indica la suma de coeficientes del cociente. 26

5. Halla el residuo de la división : x90 + x80 + x60 + x20 + 4 x10 + 1 Como en el dividendo los términos son potencia del término del divisor (x 10), haremos un cambio de variable. 9 8 6 2 Sea : x10 = y y + y + y + y + 4 y + 1

Como sólo nos interesa el residuo, entonces aplicamos el “Teorema del resto”. Regla práctica : y + 1 = 0 y = -1 Reemplazando en el dividendo : R = (-1)9 + (-1)8 + (-1)6 + (-1)2 + 4 R=6 Álgebra - 5to. Secundaria



Halla el cociente de la siguiente siguiente división: 3 2 x + 5x - 7x + 5 x2 + 2x - 3

3

Luego de dividir x5 - 3x2 + x + 1 x2 + x - 1 halla el residuo de la división.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Al efectuar la siguiente división: 4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12 4x2 + 5x + 6 indica su cociente.

4

Divide e indica el cociente de: 3x3 + 2x2 + x + 1 x+1 Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


27


5

Calcular la suma de los coeficientes del cociente de:

6

La división: 5

4

3

ax - bx 9 + cx - c + 3 3x

202

3

2

3x - 2x + 1

201

+ 2x + 8x + 7 x-1

exacta: Calcular el valor de: a + b - c

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


7. Si: P(x) = x3 - 0,111x2 - 0,999x + 2012 Evaluar: P(0, 999)

8. Si: P(x) = 12x4 - ax3 + bx2 - 31x - 15 es dividendo por Q(x) = 4x2 - 5x - 3 Calcular: a - b

10. Halla el resto al dividir: 2x3 + 3x2 - 5x + 6 x+2

11. Halla el cociente al dividir: 2x3 + x2 - 6x + 4 2x - 3

9.

Halla el divisor del esquema de Horner en función de “x”. a b c

a

b

28

b b b

a b c b c c c d

a c2 e

12. Hallar el resto de: (x + 1) 2013 + x + 6 x2 + 2x + 2



Para reforzar

1.

Luego de efectuar: 3x6 + 2x5 + x4 + 2x + 3 x3 - x + 1 indica el cociente. a) 3x3 + 2x2 + 4x - 1 b) 3x2 + 2x - 1 c) 3x2 + 4x - 1 d) x3 + 2x2 + 1 e) x3 - 3x - 1

2.

En la siguiente división por Horner 7 1 2 4 5 c -1 b -4 a -2 -4 1 2 2 2 d 3 9 halla la suma de “a + b + c + d” a) 1 d) 4

3.

b) 2

Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente: 4

a) 20 d) 23

4.

3x + 2x - 3x - 3 x - 2 b) 21

c) 22 e) 48

3x4 - 2x3 + 9x2 +3x + 6 3x - 2 b) 4 c) 5 e) 7

b) 60

c) 70 e) 90

Halla el resto al dividir: x4 - 2x3 + 3x2 - x + 1 x - 2 a) 11 d) 14

b) 12


Halla el resto al dividir: (x3+x2+4 +4))2m+( +(xx3+x2+3 +3))n + x3 + x2 + 6 x3 + x2 + 3 a) 1 d) 4

8.

b) 2

a) 13 d) 10

9.

c) 3 e) 5

Calcula a - b si el resto de 3x4 - 4x3 + 3x2 + ax2 + 2x - 2 x2 - x + b es 8x - 2; además a ∧ b ∈ R +. b) 18

c) 5 e) 16

La división: 2x4 + 5x3 + ax + a x2 - x + 1 da como resto un polinomio de grado cero. ¿Cuál es? a) -1 d) 8

b) -3

c) 2 e) 4

10. Calcula (m + p)n si el resto de la división mx4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 - 5x + 2 es -5x + 8 y la suma de los coeficientes del cociente es 4. a) 34 d) 37

b) 35

11. Si: P (x) = x4 + 2 Calcular: P^ 3 -

Halla el resto al dividir: 2x8 - 3x6 + 3x4 + 2 x2 + 2 a) 50 d) 80

6.

2

Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente:

a) 3 d) 21

5.

c) 3 e) 12

7.

a) 1 d) -2

c) 36 e) 38

3

2x -2

3x+3

2

b) -1

c) 2 e) 3

12. Si la división: 4

3

2

ax + bx - 2x - 3x - 2 2

4x + x - 1

es exacta el valor de: a - b es c) 13 e) 15

a) 20 d) 5

b) 25

c) 10 e) 1 29


Á lgebra

CAPÍTULO

5

Factorización I

CONCEPTOS P REVIOS REVIOS

Factor o Divisor

Todo polinomio que divide en forma exacta a otro polinomio.

Factor Algebraico

Todo polinomio de grado no nulo que divide en forma exacta a otro polinomio.

Factor Primo

Admite por divisores a 1 y a sí mismo.

Ejemplo:

P(x; y) = xy2 Sus divisores son: No es un factor algebraico * P1(x; y) = 1 * P2(x; y) = x Únicos factores * P3(x; y) = y primos * P4(x; y) = xy * P5(x; y) = y2 * P6(x; y) = xy2

FACTORIZACIÓN

Criterios de Factorización

Consiste en transformar un polinomio en otro equivalente, expresado como una multiplicación de factores primos sobre un determinado campo numérico.

• • • •

CRITERIOS

Factor Común Agrupación de Términos Identidades Método del Aspa Simple

DE F ACTORIZACIÓN

Factor Común

Agrupación

Identidades

Se eligen las bases comunes afectadas por el menor exponente.

Se seleccionan convenientemente los términos, de tal manera que generen un factor común.

Es la aplicación inmediata de algunos Productos Notables.

P(x; y) = 3x4 y6 + 2x3 y4 Factor Común: x3 y4 P(x; y) = x3 y4(3xy2 + 2)

P(a;b;c;d)= ab+cd+ad+cb Agrupando 1.º con 3. º y 2. º con 4.º a(b + d) + c(b + d) (a + c)(b + d)

30

* * * * *

a2 - b2 = (a + b)(a - b) a3+b3=(a+b)(a2 - ab+b2) a3-b3 = (a - b)(a2+ab+b2) a2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a2 - 2ab + b 2 = (a - b)2



1. Factoriza :

P(x,y) = x2 y (x2 - 2xy + y 2) Reconocemos en el paréntesis un "Trinomio cuadrado perfecto".

P(x, y) = x3 y2 + x2 y + x2 y3 + xy2 Resolución:

Extraemos las letras comunes con menor exponente de cada término. P(x,y) = xy (x2 y + x + xy2 + y) Agrupamos convenientemente los términos del paréntesis. P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)] Extraemos el factor común: P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy)

2. Factoriza :

P(x,y) = x2 y (x - y)2 de donde, los factores primos son: x ; y ; (x - y)

4. Factoriza : P(x) = xm+3 + xm + x5 + x2 - x3 - 1 Resolución:

Agrupamos convenientemente por parejas, ya que la división en los tres grupos da x3. )+((x5+x2)-(x3+1 P(x) = (xm+3+xm)+ +1))

Extraemos el factor común en cada paréntesis.

P(x, y) = (x2 - y)2 - (x - y2)2 Resolución:

P(x) = xm ( (xx3+1)+x2 (x3+1 +1))-(x3+1 +1)) al extraer el factor común se obtiene:

Reconocemos que se trata de una "Diferencia de cuadrados".

P(x) = (x3 + 1) (xm + x2 - 1)

P(x,y) = (x2- y+x- y y2)(x2- y-x+y2)

Por suma de cubos, tenemos:

Agrupamos convenientemente el primer paréntesis. P(x,y)=[(x+y)(x- y)+( y)+(xx- y)]( y)](xx2-x- y y +y2)

P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1 -1))

5. Factoriza : P(x,y) = x2 - y2 - 8x + 16

Extraemos el factor común: P(x,y)=(x- y)(x+y+1)(x y)(x+y+1)(x2-x- y+ y+ y2)

Resolución:

Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto: P(x,y) = (x2 - 8x + 16) - y2

3. Factoriza :

Obteniéndose una expresión de la forma: 4

3 2

2 3

P(x) = x y - 2x y + x y Resolución:

Extraemos el factor común de cada término.


P(x,y) = (x - 4)2 - y2 Aplicando la diferencia de cuadrados. P(x,y) = (x - 4 + y)(x - 4 - y) 31



Factoriza: Factori za: F(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3

3

Luego de factoriza: F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1 indica un factor.


Rpta:

2

Factoriza: Factori za: P(x, y) = (x + 1) 2 - (y - 2)2 y halla un factor primo. Resolución:

Rpta: 32

Rpta:

4

Factoriza: S(n)=(n+3)(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)+(n+1) e indica el factor que más se repite. Resolución:

Rpta:



5

Factoriza: Factori za: P(a) = (8a3 - 27) (8a3 + 27) e indica el número de factores primos. Resolución:

Rpta:

6

Factoriza: Factoriza: m+nn m+ P(x;y)=xm+ +ym+nn+(xy)m+ (xy)n e indica un factor primo. Resolución:

Rpta:


7.

Halla uno de los factores primos de: ac(a+c)+ab(a - b) - bc(b+c)

10. Factoriza: R(a, b, c) = a3b2 + b3c2 - a3c2 - b5 e indica un factor primo.

8.

Factoriza: P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)-112 e indica un término de un factor primo.

11. Indica un factor primo de: P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab - c2 - d2 - 2cd

9.

Factoriza e indica como respuesta el número de factores primos de: P(x) = x32 - 1

12. Factoriza: P(x) = 1 + x (x+1) (x+2) (x+3); e indica un factor primo.


33


Para reforzar

1.

Factoriza 8x3 + 27; e indica el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) 2x - 3 c) 2x + 3 d) 9x2 - 6x + 4

2.

3.

e)

b) x - y

b) x - 1

5.

c) x + 1 e) x + 7

b) 3x

c) -2x e) 10x

Factoriza: ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2) e indica el número de factores primos. a) 1 d) 4

34

c) 3 e) 8

Factoriza: P(x) = 9x4 - 9x2 + 6x - 1 e indica un término de un factor primo. a) 2x d) -6x

6.

b) 2

b) 2

8.

c) 3 e) 5

b) -2

9.

c) -3 e) -5

Factoriza: 2ab + b2 + c2 + 2ac + 2bc e indica la suma de los factores primos. a) a + b + c c) a + b - c d) 2b+2c+2a

c) x - 2y e) x5

4. Factoriza: P(x; y) = x7 + x4 y3 + x3 y4 + y7 e indica el número de factores primos. a) 1 d) 4

a) -1 d) -4

4x2 - 6x + 9

Factoriza: P(x) = x6-x2+2x(x4 - 1) + (x4 - 1 1)) e indica el factor primo que más se repite. a) x2 + 1 d) x + 2

Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de: x2 - 2x - xy + y + 1

b) 3x + 2

Factoriza: F(x, y) = x5 y5 - 2x6 y4 + x7 y3; e indica un factor primo. a) x + y d) x + 2y

7.

b) 2a+2b+c e) 3a+3b+3c

Factoriza: P(x; y; z) = (x3+y3+z3)3-x9- y y9-z9 e indica el número de factores primos. a) 1 d) 6

b) 2

c) 3 e) 8

10. Factoriza:

4x2 - 1 + 12xy + 9y 2 e indica un factor primo. a) 2x + 3y c) 2x + 3y + 5 d) 2x + 3y + 2

b) 2x + 3y - 1 e) 2x + 3y + 4

11. Factoriza: (m + n)(m - n) + 4(m + 1) e indica un factor. a) m + n + 2 d) n + 2

b) m + 2

c) m - 2 e) n - 1

12. Factoriza: P(a, b, c) = (a+b+c) (a-b+c) - (a + b) (a - b) e indica un factor primo. a) a d) 2a + b

b) c

c) 2a - c e) a + c



Á lgebra

CAPÍTULO

6

Factorización II

Aspa simple

Divisores Binómicos

Aplicable a polinomios de la forma: P(x;y)= ax2m+bxm yn+cy2n (m;n ∈ Z+) Caso particular: Para trinomios de una sola variable.

Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a 3. Ejemplo:

Factoriza: P(x) = x3 + 2x2 - x - 2

P(x)= ax2n+bxn+c

1) Determina los posibles valores que anulan al polinomio.

Ejemplos:

a) Si el polinomio es mónico se trabaja con: ± (divisores del término independiente)

1. Factoriza: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2 



P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2 5x +4y +8xy 2x - 3y -15xy - 7xy Los factores se generan en forma horizontal: P(x,y)= (5x+4y)(2x - 3y)

2. Factoriza: P(x)= 2x4 - 5x2+3 



Divisores Coeficiente Principal

Ejemplo:

+1; -1; +2; -2 2) En base a estos valores se realiza evaluaciones en el polinomio, hasta conseguir el valor que logre anularlo; este valor genera un factor de 1. er grado. Ejemplo:

P(1) = 13 + 2(1)2 - 1 - 2 = 0 como x=1 ⇒ factor: (x - 1)

Se descomponen los términos extremos: P(x)= 2x4 - 5x2 + 3 2x2 -3 2 x -1



b) Si el polinomio no es mónico se trabaja con: ± ( Divisores del Término Independiente )

Se descomponen los términos extremos, tal que la suma de los productos cruzados dé el término central:

-3x2 -2x2 -5x2

Generamos los factores así: P(x;y)= (2x2 - 3)(x2 - 1) El 2do factor aún es factorizable: P(x)= (2x2 - 3)(x+1)(x - 1) Álgebra - 5to. Secundaria

3)

Para conseguir otro factor se repite el proceso las veces que sea necesario.

Ejemplo:

P(-1) =(-1)3+2(-1)2- (-1) - 2 = 0 P(-2) =(-2)3+2(-2)2- (-2) - 2 = 0 ⇒ P(x) =(x + 1) (x - 1) (x + 2) 35


3. Factoriza:


P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

1. Factoriza: Resolución:

P(x) = (x2+3x)2+6x(x+3)+8

Aplicando "aspa simple", tenemos: Resolución:

Introduciendo el factor "x" en el segundo paréntesis se tiene: P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8 Aplicando "aspa simple":

P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

(x+3)2

-6

(x+3)2

-1

P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8 (x2+3x)

4

(x2+3x)

2

P(x;y)=[(x+3)2- 6][(x+3)2- 1] Aplicando "diferencia "diferencia de cuadrados" en el segundo corchete:

P(x) = (x2+3x+4)(x2+3x+2) Aplicando "aspa simple" en el segundo paréntesis: P(x) = (x2+3x+4) (x2+3x+2) x

2

x

1

P(x)=(x2+6x+9-6)(x+3+1)(x+3-1)P(x(x))=( =(xx2+6x+3)(x+4)(x+2)

4. Factoriza: P(x,y)= x3 + 2x2 - 5x - 6

P(x) = (x2+3x+4)(x+2)(x+1)

2. Factoriza: P(x;y)=x (x+y) 8xy (x+y)+12y 2

2-

2

Resolución: 4

Determinemos los posibles ceros del polinomio: Resolución:

Aplicando convenientemente leyes de exponentes y la ley distributiva: P(x;y)=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4 Por "aspa simple", obtenemos:

x = ± 1, 2, 3, 6 Si x = -1

⇒

P(-1) = 0

De donde, (x + 1) es divisor de P(x). Dividendo por el método de Ruffini

P(x;y)=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4 (x2+xy) - 2y2 (x2+xy) - 6y2

x3 + 2x2 - 5x - 6 x+1 R=0

P(x;y)=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2) Aplicando "aspa simple" en cada paréntesis: P(x;y)=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2) x +2y x +3y x - y y x -2y P(x;y)=(x+2y)(x- y)(x+3y)(x- 2y) 36

Esquema: 1 2 - 1 - 1 1 1

- 5 - 6 - 1

6 - 6 0

P(x) = (x + 1) (x2 + x - 6) P(x) = (x + 1) (x + 3) (x - 2) Álgebra - 5to. Secundaria


5. Factoriza:

O JO POR OJO DIENTE POR DIENTE

P(x,y)= 12x3 + 16x2 + 7x + 1

Las leyes son un conjunto de normas establecidas que se deben obedecer obligatoriamente. obligatoriamente.

Resolución:

Determinemos los posibles ceros del polinomio: x=± 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 2 3 4 6 12

1 Si x = - 2

⇒

Actualmente en todos los países existen leyes que reglamentan a la sociedad para así evitar el caos. En las matemáticas, particularmente en el álgebra, existen existen muchas leyes que nos indican indican cómo debemos proceder ante algún problema; por ejemplo las leyes de exponentes exponentes nos nos indican cómo debemos operar los exponentes, para ello se utilizan dos operaciones operaciones:: LA POTENCIACIÓN y LA RADICACIÓN RADICACIÓN..

1 P(- 2 ) = 0

1 de donde do nde (x + 2 ) es divisor de P(x). Dividimos:

Por Ruffini: 12x3 + 16x2 + 7x + 1 x+ 1. 2

-

12 16

7

1

- 6

- 5

- 1

12 10 2

0

1 2

P(x)=(x + 1 ) (12x2+10x + 2) 2

P(x)=(2x + 1)2 (6x 2 + 5x + 1) 2

Est ela don donde de se hal lan gra grabad bad as las 282 ley es del Cód Código igo de Hammurabi. En la parte superior, el rey Hammurabi (en pie) pie) recibe las leyes de manos del dios Shamash. La estela fue encontrada en Susa, de donde fue llevada como botín de guerra en el año 1200 a. C. por el rey de Elam Shutruk–Nakhunte. Actualmente se conserva en el Museo del Louvre (París).

Durante el gobierno del Rey Hammurabi de Babilonia se elaboró el primer código de leyes escritas escritas que que se conoce en la historia de la humanidad. El código de Hammurabi, conocido por la célebre sentencia ‘‘Ojo por ojo, diente por diente’’, está conformado por 282 leyes y decretos. Algunas de las sentencias de este código son: * Si un ciudadano ciudadano acusa a otro de homicidio, homicidio, pero pero no puede demostrarlo, entonces el que lo acusó será muerto. * Si un niño ha pegado a su padre, padre, a ese niño niño se le cortarán las manos.

P(x)=(2x +1) (2x + 1) (3x + 1) 2

* Si un hombre ha destruido destruido el ojo a un hombre libre, a él también se le destruirá un ojo. * Si ha roto un hueso al otro, a él se le romperá romperá un hueso.

P(x) = (2x + 1) (3x + 1) Álgebra - 5to. Secundaria

37



Luego de factorizar, señala el factor primo de mayor suma de coeficientes. P(x)=12x2 29x+15

3

-

Factoriza: M(x) = (x - 1)4+(x - 1)2- 6 e indica la suma suma de coeficientes coeficientes de un factor primo.


Rpta:

2

Halla la suma de los los factores primos primos de: x4 - 26x2+25 Resolución:

Rpta: 38

Rpta:

4

Halla un factor lineal de: x6 + 28x3 + 27 Resolución:

Rpta:



5

Calcular el número de las facturas primas lineales de: P(x) = x4 - 6x3 + 19x2 - 38x + 24

6

Factoriza: Factor iza: a2x2 + (a3 + a2 b + 1)x + a +b e indica un factor primo. Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

Factoriza: x3 - 2x2 - 5x + 6 e indica la suma de factores primos.

8.

9.

10. ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)? P(x) = x8 + x4 - 2

Dado el siguiente polinomio: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10 señala uno de los factores.

11. Factoriza:

Factoriza:

12. Factoriza: M(x)= x(x +2)(x-1)+ 4(x2-6) e indica un factor primo.

8

4

x + x + 1 e indica un factor primo.


P(x) = 6x2n+1+5xn+1 - 6x e indica un factor primo.

39


Para reforzar

1.

Factoriza: 3

7.

2

x - 8x + 13x - 6 e indica un factor primo a) x + 6 d) x + 5 2.

b) x- y+2 y+2

b) x + 7

c) x + 8 e) x + 12

Factoriza:

5.

b) x + 2

c) 3 - x e) x - 3

c) x + 3 e) x + 5

b) x + 1

c) nx + n e) x+2

Factoriza: 3(x2 + 2xy + y 2) - 4x - 4y + 1 e indica un factor primo. a) 3x+3y+1 d) 3x + 3y

b) x + y + 1 c) x + y - 1 e) x + y

a) 2x - 1 d) 3x + 2

b) 2x+1

c) 3x - 2 e) 4x+3

11. Señala la suma de los factores primos de: M(a;b;c)= a4- 2( 2(bb2+c2)a2+( +(bb2 - c2)2 a) 2a d) 3c

b) 4a

c) 2b e) 5b

Factoriza: 2x3+ x2+x -1 e indica el factor lineal. a) x-1/2 d) 2x - 1

40

Factoriza: mnx2 + (m2 + n2)x + mn y halla un factor primo. a) mx + m d) mx+n

9.

c) 12x e) 5x-3y

P(x)= x4+2 +2xx3 - 2x2 + x + 6 y señala la suma de los factores primos lineales.

Factoriza y señala un factor primo de: F(x) =x3- 4x2 - 13x - 8 a) x + 1 d) x + 4

6.

b) x - 21

8.

b) 12x+10y

10. Factoriza:

x3+6x + 14x+15 e indica un factor primo. a) x + 2 d) x + 3

a) 10x d) 10y

c) x- y+1 e) x

Factoriza: P(x) = (x+1)4 - 5(x +1)2+4 e indica un factor primo. a) x d) x + 9

4.

c) x - 3 e) x - 10

Factoriza: P(x;y)=(x - y)3-(x - y)2-2(x - y) e indica un factor primo. a) x- y+3 y+3 d) x- yy-8

3.

b) x - 6

Factoriza: P(x,y)=25x4 - 109x 2 y2 +36y4, indicando la suma de sus factores primos.

b) 2x+1

12. Hallar un factor primo de: x4 + 7x3 + 9x2 - 7x - 10 c) x+1/2 e) x+2

a) x - 1 d) x - 2

b) x- 5

c) x + 5 e) x2+x+5


ÁLGEBRA

5 Secundaria

Segundo Bimestre

Índice Pág

Capítulo 7.

Matricess I Matrice

43

Capítulo 8.

Matricess II Matrice

51

Capítulo 9.

Determinantes

57

Ecuaciones nes Lineale Linealess Capítulo 10. Sistema de Ecuacio

63

Capítulo 11. Sistemas No Lineales

69

Inecuaciones ones Fraccionarias y de Grado Superio Superiorr Capítulo 12. Inecuaci

74


Á lgebra

CAPÍTULO

7

Matrices I

DEFINICIÓN

Ejemplo:

Se define una matriz como un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.

5 3 -1

A= Así una matriz tiene la siguiente forma general: Donde: a11, a12, ..., a 21, ..., a m1, am2, ..., amn se llaman elementos de la matriz “A”. Además “a ij” es el elemento a11 a21 A = a … i1 …

am1

a12 ... a1j ... a1n a22 ... a2j ... a2n …

…

…

ai2 ... aij ... ain …

…

…

F i l a s

2. MATRIZ FILA Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir, decir, es de orden “1 x n”. Ejemplo:

am2 ... amj ... amn

Columnas ubicado en la fila “i”, columna “j”.

ORDEN DE LA MATRIZ Si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces se dice que esta matriz es de dimensión u orden “m x n” (no se efectúa).

B = (2 -4 6)1x3

3. MATRIZ NULA Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y se denota por ∅. Ejemplo:

Así la matriz “A”, se puede denotar denotar:: A = (aij)mxn donde: m, n ∈ Z+ i = {1; 2; 3; ... ; m} j = {1; 2; 3; ... ; n}

3x1

∅ =

0 0

0 0

0 0

4. MATRIZ CUADRADA Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas. Se denota: A = (aij)nxn o A = (a ij)n.

Ejemplo:

Escribe explícitamente la matriz: A = (aij)2x3 / aij = 2i - j

Ejemplo:

TIPOS TIPO S DE MA MATRIC TRICES ES 1. MATRIZ COLUMNA Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir, es de orden “m x 1”.


3 A= 5 7

4 2 3

Diagonal secundaria

-1 -6 1 Diagonal principal

43


Traza T raza de una una matriz matriz cuadra cuadrada da

d. Matriz escalar

Es la suma de los elementos de su diagonal principal. Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales, es decir:

Sea la matriz: n

A = (aij) → Traz(A) = ∑ aii

A = (aij)n es una matriz escalar si a ij =

i=1

Así, en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6

Ejemplos:

Casos particulares de una matriz cuadrada

Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, A = (aij)n es una matriz triangular superior si aij = 0; ∀ i > j.

3 0 ; B= 0 6 0

6 A= 0

a. Matriz triangular superior

0 6 0

3 2 1

0 0 3

Es aquella matriz escalar, escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por “I n”. In = (aij) / aij =

-4 7 ; B= 0 5 0

0 3 0

e. Matriz identidad

Ejemplos:

3 A= 0

k; i = j 0; i ≠ j

1; i = j 0; i ≠ j

Ejemplos:

b. Matriz triangular inferior Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran encimaa de la diagonal encim diagonal principal son iguales a cero, es decir, A = (aij)n es una matriz triangular inferior si aij = 0; ∀ i < j.

1 A= 2

5 0 ; B= 0 4 7

0 2 1

0 0 6

1 0 ; I3 = 0 1 0

0 1 0

0 0 1

RELACIONES ENTRE MATRICES

Dos matrices son iguales sí y sólo sí son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales. Así, dadas las matrices: A = (aij)mxn ; B = (b ij)mxn A = B ↔ aij = bij : ∀ i; ∀ j

c. Matriz diagonal Es aquella matriz que simultáneamente es triangular superior e inferior, es decir, todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. A = (aij)n es una matriz diagonal si aij = 0; ∀ i ≠ j. Ejemplos:

44

1 0

1. IGUALDAD DE MATRICES

Ejemplos:

A=

I2 =

Ejemplo:

Calcula “x - y” si las matrices son iguales. A=

x - 3y 1

x 2 ; B= y 1

6 - y 6 - x

2. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 7 0

2 0 ; B= 0 5 0

0 6 0

0 0 8

La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) es una matriz denotada por At ( de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas de la matriz A.



OPERACIONES CON MATRICES

Ejemplo:

2 3 2 A = 5 4 → At = 3 -1 6

1. ADICIÓN DE MATRICES 5 4

-1 6

3. MATRICES OPUESTAS

Sean las matrices: A = (aij)mxn ; B = (b ij)mxn luego la matriz suma de “A” y “B” es:

Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y además sus respectivos elementos son opuestos. Ejemplo:

A + B = (aij + bij)mxn

Ejemplo:

2 A= 0 1

-1 3 6 -1 → su opuesta es: 4 1 -2 1 -3 -A = 0 -6 1 -1 -4 -1

4 A= 1 3

-1 -5 6 5 ; B= 3 2 2 2 -4

4-5 -1+6 -1 5 → A + B = 1+3 5+2 = 4 7 3+2 22-4 5 -2

4. MATRIZ SIMÉTRICA Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simétrica.

Observación * A - B = A + (( -B) * A + ∅ = ∅ + A = A

Ejemplo:

* A+B=B+A 7 3 2 7 t A = 3 -1 4 → A = 3 2 4 -5 2

3 2 -1 4 4 -5

* (A + B) + C = A + (B + C)

como: A = At → “A” es simétrica.

5. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se llama antisimétrica. Ejemplo:

0 -2 3 0 2 -3 T A = 2 0 -4 → A = -2 0 4 -3 4 0 3 -4 0 0 -2 3 → -A = 2 0 -4 -3 4 0 T

como: A = -At → “ “A A” es antisimét an tisimétrica. rica.


Las matrices se utilizan en el cálculo numérico en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, etc. La utilización de matrices ( arrays ) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, y que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas; hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.

45



Resolución:

1. Dadas las matrices: A= 1 0 C=

A=

4 ; B = -1 0 ; 3 1 2

A=

2 1 -1 0

A=

calcula 3A - 2B + C. Resolución:

a21 a22 a23 1+1 1x2 1x3 2+1 2+2 2x3 2 2 3 3 4 6

4. Sea la matriz:

Reemplazando las matrices: 1 3 0

a11 a12 a13

4 -1 0 2 1 - 2 + 3 1 2 -1 0

efectuando:

-1 2 1 A = 3 2 1 , calcula 3A - 2I. 1 -2 0 Resolución:

3 12 + 2 0 + 2 1 0 9 -2 -4 -1 0

-3 6 3 3A = 9 6 3

5 12 2 1 + -2 5 -1 0

3 -6 0 2 0 0 2I = 0 2 0 0 0 2

7 13 -3 5 2. Dado el polinomio: f (x) = 3x2 - 5x - 2 y además A=

1 3

-5 6 3 ⇒ 3A - 2I = 9

4 3 3 -6 -2

2 . Halla f (A). 1 5. Si:

Resolución:

Reemplazando el valor x = A, en el polinomio y la identidad 1 del polinomio por I (matriz identidad), obtenemos: f (A) = 3A2 - 5A - 2I

A2 = A . A = 1 3

2 1

= 7 6

4 7

1 3

2 1

1 3 x+y= 2 1 4 -1

Luego:

f (A) =

7 6

4 1 -5 7 3

2 1 -2 1 0

0 1

21 12 -5 -10 -2 0 + + 18 21 -15 -5 0 -2

sumando las matrices obtenemos: f (A) = 14 2 3 14 3. Construye la matriz: a = i + j ; i ≥ j A = (aij)2x3 / a ij = i . j ; i < j ij 46

calcula xT. Resolución:

Calculamos:

f (A) = 3

1 3 3 -1 ∧ x+y= 2 1 x - y = -4 -1 4 -1 2 3

3 -1 x - y = -4 -1 2 3 4 1 (2x) = -2 2 6 2 x = -1 3 ⇒ xT =

2 1 0 . 2 2 1 0 1

2 -1 3 1 0 1




Construir la matriz: a A = [aij]2 × 3 / aij ij

3

Si:

= i + j; si : i ≥ j = ij; si : i < j

1 X + Y = 2 4

3

 1 - 1

3 X – Y = - 4  2

- 1



- 1 3 

Hallar: Xt

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

4

Dada:

- 1  A = 3  1

2

1

2

1

Si:



- 2 0 

− 1 − 2 − 2   A =  1 2 1  − 1 − 1 0 

Hallar la traza de (A2).

Calcular: 3A – 2I Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:


47


5

Dada la matriz:

6

A =

 2   0

Hallar la inversa de la matriz:

1 

 1  

A =

Además: P(x) = x2 – 5x +2

1 3 

2



9

Resolución:

Dar la suma de elementos de P (A). Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

Hallar la suma de los elementos de “X”, tal que:

- 2 X.  2

1

- 2 =   1 - 4

9.

Si la matriz:

 1  2   x

5



0

- y 3  -1 5



z 

6  

es simétrica. Hallar “x - y + z”

8.

Sean las matrices:

2 x − 1 A =  3−y C

y



2

; B

10. Dada la matriz:

5 − y = x + 1

− 2 5  = .  4 − 1

2 − x 2

 

y

 2 A =   1

0 



1  

Hallar la suma de los elementos de la matriz conmutable con “A”, cuya determinante sea 35 y cuya traza sea 12.

Hallar “A + C”, si: A = B

48



11. Dada la matriz:

12. Dada la matriz:

A =

 3   1

 0  A = 0   3

0 

 2  

Calcular la suma de elementos de "A n".

1 0 



0 2  0 0  

Calcular la suma de los elementos de: A40.

Para reforzar

1. Hallar: 1.

3. Dados: 3. (x – y)(z – w)

2 A=  3

si:

2x - z z-x 

w - y

1 =  w + y  2

2

1  B = 2 1

- 3

1

 4

-2

 6

1



3 2

Determinar “AB” a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 3

0

1

1 

- 1

a)   2 4 

2. Dados: 2.

d)  3

1

2

1

A=   - 1 0

- 1

b)  2

2

 5

1

- 1

2 

- 2

c)   3 6 

e)  1

 5

5

 

0

B=   - 1 2

Si: P(x, y) = 2x – y + 3

4.

Hallar la matriz inversa de:

8

Determinar: P(A, B)

4

4

a)   - 3 - 1

2 d)  4

3

3

b)   4 1 

- 2 4

2

A=   7 2

 


4 c) 

- 1

- 1 e)  3

4

señalar la traza de dicha matriz inversa.

1  - 1



3

a) 1 d) 5

b) 2

c) 7 e) 10

49


5.

Hallar la matriz "X" que resuelve:

1 2 

3

11 .X =   1 7

9.

Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que:

4



3

t

A

− A

2

Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 2

b) 1

c) 3

d) 7

b+4

 a − 2  =  2c − 4 

   3d − 1   2 

 2 − 1      1 3 

A =

e) N. A.

Dar como respuesta "a + b + c + d". 6. Si: 6. A =

a) 0 d) –2

1 2  y F = x2 – 3x + 2 (x) 1 − 2  

Hallar la suma de elementos de la diagonal principal de F(A). a) 2 d) 18

b) 14

c) 16 e) N. A.

b) –1

c) 2 e) 3

10. Sean las matrices:

 x − 3y x   y  1 − 4 − 8 =  2 3

A =  C

2 6 − y  ; B= y 1 6 − x 

Si: A = B, hallar “3A + 2C” 7.

− 1 − 1  9

Si:

0 2  1

1 2  x 

 1 0 

0 1

8  y  = 5      z  3

b) 2

− 2 − 1  9

11. Sean las matrices: aij A = (aij ) 2 x 3 aij aij

e) N. A.

Resolver el sistema: x – 2y = A

 0  a)  3   2

Donde: x, y ∈ K2x2 Además: A =

6 − 3  12 7 4  ∧ B = − 7   

8

 2  d)  0   2

 8

Hallar "x".

6

1

a)   1 4 

= 0 ↔ i = j = 1 ↔ i < j = 2 ↔ i > j

b ij

=

b ij

= 1 ↔ i ≠ j

0

↔ i = j

Calcular: At + B

2x + 3y = B

− 2 − 1  6

c)  7 e)  7

B = (b ij ) 3 x 2

8.

 9

− 2 − 1  9

c) 3

d) 6

9

b)  6

d)  8

Hallar “x + y + z” a) 1

− 2

a)  7

0

2

b)   − 3 6 

1

4

c)   6 1 

2 

 0  1  

 0  b)  2   2

3 

 0  2  

3 

 0  c)  2   1  0  e)  2   3

 1  2  

12. Dada la matriz “A”, calcular: A3 – 6A.

2

2

A=   1 0 



2

0

d)   − 3 0 

50

e) N. A.

a) A d) 3 I

b) 2 A

c) 2 I e) 4 I


3 



0 

1   1 



0  3  


Á lgebra

CAPÍTULO

8

Matrices II

MULTIPLICACIÓN MUL TIPLICACIÓN DE MATRICES

POTENCIACIÓN DE MATRICES

1. MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

DEFINICIONES

Definamos el producto de multiplicar un escalar (cualquiera) por una matriz de un cierto orden, como aquella matriz del mismo orden cuyos elementos se encuentran multiplicando por po r ese escalar. Sea: A = (aij)mx / k ∈ R ⇒ kA = (kAij)mx mxn n mxn n Ejemplo:

n

AB = C = (cik)mx / c = ∑ aij . bjk mxn n ik j=11 j=

-1 0 1 5 -2 3

2x3

c11 c12 c13 c22 c23

⇒ C = AB = c 21


Sean A y B matrices del mismo orden.

c23 = 6(1) + 4(3) = 18

Definimos el producto de multiplicar la matriz A = (aij)mxr por la matriz B = (bjk)rxn (en ese orden), a la matriz denotada por AB = C = (cik)mxn. Donde el elemento cik se calcula multiplicando la ii-ésima fila de A por la kk-ésima columna de B.

B=

∀ matriz A

c22 = 6(0) + 4(4( -2) = -8

2. MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES

;

A1 = A

c13 = 2(1) + (( -3)(3) = -7 c21 = 6(6(-1) + 4(5) = 14

-6 -18 = 0 12 -24 -12

2x2

*

c11 = 2(2(-1) + ((-3)(5) = -17 c12 = 2(0) + (( -3)( 3)(--2) = 6

-6(1) -6(3) -6( 6(--2) -6(4) -6(2)

2 -3 Sean A = 6 4

“n veces”

* Si AB = -BA entonces A y B son anticonmutativas.

(--6)A = -6(0) ⇒ (

Ejemplo:

An = A A ... A

* Si AB = BA se dice que A y B son conmutativas.

1 3 Sea A = 0 -2 4 2

Es decir:

* Dado una matriz cuadrada A y n ∈ N / n ≥ 2; definimos:

\ C=

-17 6 -7 14 -8 18

PROPIEDADES Sean A, B y C matrices del mismo orden y { λ ; δ } escalares para los cuales están definidas las operaciones de multiplicación con una matriz. Entonces se verifican: I. A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) λ(A + B) = λA + λB (λ + δ)A = λA + δA -A = ((-1)A II. A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC AB = 0 no implica que A = 0 ∨ AB = AC no implica que B = C

B=0 51


EJERCICIOS RESUELTOS 2 -1 4 8 1 1. Si A = -1 2 y B = halla traza(AB). 2 -1 3 0 1 Resolución:

Como A y B son conformes a la multiplicación, sea: C = AB = [ aibj]3x3 donde ai es la ii-ésima fila de A y j-ésima columna de B. bj es la jEntonces: traza(AB) = a1b1 + a2b2 + a3b3 traza(AB) = (8 - 2) + (( -8 - 2) + (0 + 3) = -1

Luego PQ = QP → P y Q son conmutables o permutables, a b c d b a y d c son conmutables o permutables. 4. Dadas las matrices 2 -3 -5 -1 3 5 A = -1 4 5 ; B = 1 -3 -5 1 -3 -4 -1 3 5 2 2 2 calcula (A + B) y A + B . Resolución:

\ traza(AB) = -1

1 -1 1 1 2 3 2. Siendo A = -3 2 -1 y B = 2 4 6 , calcula -2 1 0 1 2 3 AB y BA.

Calculemos previamente A2 y B2. 2 -3 -5 2 -3 -5 2 A = -1 4 5 -1 4 5 1 -3 -4 1 -3 -4 2 -3 -5 = -1 4 5 1 -3 -4

Resolución:

= A → A2 = A

1 -1 1 1 2 3 * AB = -3 2 -1 2 4 6 -2 1 0 1 2 3 0 0 0 = 0 0 0 = 0 (Matriz nula) 0 0 0 Nótese que AB = 0 no implica que necesariamente A = 0 ó B = 0. 1 2 3 * BA = 2 4 6 1 2 3

1 -1 1 -3 2 -1 -2 1 0

-1 3 5 B = 1 -3 -5 -1 3 5 2

-1 3 5 1 -3 -5 -1 3 5

-1 3 5 = 1 -3 -5 -1 3 5 = B → B2 = B Además, observa que A + B = I. Luego (A + B)2 = I2 = I A2 + B2 = A + B = I

11 6 -1 = -22 12 -2 -11 6 -1 De donde AB ≠ BA, en forma general.

3. Demuestra que las matrices

a b b a

c d d c

son so n

permutables; ∀ a; b; c y d. Resolución:

Siendo P =

a b c d yQ= b a d c

deseamos demostrar que PQ = QP PQ = = QP = = 52

a b b a

c d d c

ac+bd ad+bc bc+ad bd+ac c d d c

a b b a

Los ordenadores analógicos comenzaron a construirse a principios del siglo XX. Los primeros modelos realizaban los cálculos mediante ejes y engranajes giratorios. Con estas máquinas se evaluaban las aproximaciones numéricas de ecuaciones demasiado difíciles como para poder ser resueltas mediante otros métodos. Durante las dos guerras mundiales se utilizaron sistemas informáticos analógicos, primero mecánicos y más tarde eléctricos, para predecir la trayectoria de los torpedos en los submarinos y para el manejo a distancia de las bombas en la aviación.

ac+bd bc+ad ad+bc bd+ac




Si

A= 1 3

2 4

C= 2 4

3 5

;B= 4 2

3 ; 1

3

Si: A = (aij)4x3 / aij = 2 ; i = j -1 ; i ≠ j Calcula la suma de los elementos de “A”.

Halla “X”, si: 2( 2(X X - 3A) = (B(B - C) + 4(X4(X - A - B)

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Sea la matriz A = (aij )2x2 definida de la

4

Escribe explícitamente la matriz:

siguiente forma:

aij

i-j ; i j

i A = (aij)2x3 / aij = 3 - j ; i ≥ j i - j ; i < j

Resolución:

Halla la traza de “A “A”. Resolución:

Rpta:

Rpta:


53


5

Sea: A = 1 0 , 1 1 y

B= 2 0 1 1

6

C= 2 1 ; 3 1

Sea P(x) = x2 + 2x + 1 Halla P(A) si: A = 1 2 0 0 Resolución:

Halla (ABC) Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

Sea P(x) = x 2 + 3, halla P(A) Si: A= 1 1 3 1

9.

1 0 a C= c

Sea A = y

1 , 0 b ; d

B=

1 0 0 0

donde A3 + B3 = C, halla a + b + c + d

8.

Dado A = 3 0 2 1 y P(x) = x2 + 2x + 1, halla: P(A) + A 2

54

10. Dado P(x) = x2 - 6x + 7, halla “n” sabiendo que P(A) = nI, donde: 5 m A= 0 1



11. Calcula la traza de (A . B) si: A=

12. Halla la matriz “X” que resuelve:

senq cosq -cosq senq

1 3 11 4 .X= 2 1 7 3

B = senq -cosq cosq senq

Da como respuesta la suma de sus elementos.

Para reforzar

1.

3.

Si:

Sea: A=

1 1 , 2 3

C=

3 0 ; 2 1

A = 5 -7 3 -4 y Halla f(A) sabiendo que f(x) = x 3 - x2 + x + 3.

1 0 0 2

B=

Halla ABC. a) 11 -14 6 -7

b)

10 -14 6 8

11 -14 d) -6 -7

c)

e)

a) 3 0 0 6

5 -7 3 -4

d) 7 2 18 6

3 0 0 3

4. 2.

Dada la matriz “A”, calcula A3 - 6A.

A=

2 2 1 0

b) 7 2 0 8

Sea: 1 0 A= 0 1

y C =

c) 7 2 8 6 e) 6 2 7 9

,

B=

2 0 1 0

x y ; z w

Halla xy + zw si A3 + B3 = C. a) A

b) 2A

d) 3I


c) 2I e) 4I

a) 0 d) 3

b) 1

c) 2 e) 4

55


5.

Dadas las matrices: 1 0 1 1

C=

9.

y

D=

1 1 0 1

entonces puedes afirmar que (C8 . D9) es:

6.

a)

1 9 8 73

e)

73 9 8 1

b)

71 8 9 1

c)

72 8 9 1

e)

71 9 8 1

Si:

A=

2 5 5 13

,

B=

C=

1 0 0 1

,

AB = C

a) 5 d) 20

9 1 0 8 15

Halla la suma de los elementos de la matriz A . 15

15

a) 9 + 8 d) 2 . 815

Si: A2 =

b) 2 . 9

15

15

c) 9 - 8 e) 0

15

e)

d)

b) -1 -1 0 1

-1 0 1 -1

c)

e)

d)

0 -1 1 1

-1 -1 1 0 -1 1 1 0

Dada la matriz: A=

a)

1 2 4 3 1 -1

c)

-1 3 1 2 1 -2

d)

2 -1 3 1 0 1

56

b) -1 -1 3 3 0 2

e)

1 1 2 2 -1 0

0 -a ; a 0

entonces el valor de M1003 es:

4 3 1 2

-1 0 a) a1003 0 -1

y la función f(x) = x2 - x - 1, halla traz(f(A)).

0 -1 c) a1003 1 0

a) 5

1 -1 d) a1003 0 1

d) 14

b) 0 1 0 1 c) 1 1 1 0

12. Se tiene la matriz M = 8.

0 -1 1 1

3 -1 X - Y = -4 -1 , halla XT. 2 3

0 1 1 0 y BA = ; 1 0 1 -1

-1 -1 1 0

c) 15 e) 25

1 0 1 1 ; B= 1 0 0 0

a) 0 1 -1 1

Calcula (A - B)2. a)

b) 10

1 3 11. Si X + Y = 2 1 , 4 -1

3 -2 -3 2 , B2 = , 1 3 1 -3

AB =

a b c d

10. Calcula la matriz “X”, tal que A 31+XB32=XA33; donde: A=

A=

7.

Calcula a + b + c + d si:

b) 7

c) 10 e) 17

1 0 b) a1003 0 1

0 1 e) a1003 -1 0



CAPÍTULO

9

Á lgebra Determinantes

DEFINICIÓN El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada lo transforma en un escalar. Usualmente el determinante de una matriz cuadrada A lo denotamos por |A| o det(A).

PROPIEDADES Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden: 1. det(A + B) ≠ det(A) + det(B)

DEFINICIÓN DEL DETERMINANTE DETERMIN ANTE PARA UNA: 2. det(AB) = det(A) det(B)

1. MATRIZ DE ORDEN UNO Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a, al propio elemento a. Ejemplo:

Sea A = (-4) ⇒ |A| = -4

2. MATRIZ DE ORDEN DOS Sea A = (aij)2 ⇒ |A| =

a11 a12 = a11a22 - a21a12 a21 a22

Ejemplo:

Sea M =

3 -4 3 -4 ⇒ |M| = 5 7 5 7

= 3(7) - (5)( (5)(--4) = 41

3. det(A) = det(At) 4. Un determinante en el que los elementos de dos columnas (o filas) son respectivamente proporcionales, es igual a cero. 5. Cuando se permutan dos columnas (o filas) el 5. determinante cambia de signo. 6. Un determinante en el cual todos los elementos de de una fila o columna son ceros; es igual a cero. 7. Si se multiplican todos todos los elementos de una una fila (o columna) del determinante por un escalar, el mismo determinante queda multiplicado por dicho escalar.

3. MATRIZ DE ORDEN TRES Sea B = (bij)3 b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b31 b32 b33 b22 b23 b12 b13 b12 b13 =b11 b b -b21 b b +b31 b b 32 33 32 33 22 23


8. El determinante determinante no varía si a todos los elementos de una fila (o columna) se le añade el múltiplo de otra fila (o columna). 9. Si a todos los elementos del determinante se le multiplica por un escalar a, el determinante de la matriz queda multiplicado por an donde n es el orden de la matriz. 57


EJERCICIOS RESUELTOS 5 8 1. Calcula |A| = 9 8 5

4 8 9 8 5

3 6 9 8 5

2 4 6 8 5

1 2 3 4 5

Resolución:

Efectuando las siguientes transformaciones: c 1 - c2 ; c2 - c3 ; c3 - c4 y c4 - c5, se obtiene: 1 0 |A| = 0 0 0

1 2 0 0 0

1 2 3 0 0

1 2 3 4 0

1 2 3 4 5

3 4 1 2

4 1 2 3

Luego: |A| = (a+b+c)((a+b+c)(-a-b-c)( c)(--a-b-c) |A| = (a + b + c)3

Sumando todas las columnas en la primera y luego, sacando factor común, se tiene: 2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 = 10 . 1 1 1

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

Restando la primera fila de las demás y luego f 3 - 2f 2 y f 4 + f 2, resulta: 1 0 |A| = 10 . 0 0

2 1 2 -1

3 1 -2 -1

4 -3 -2 -1

1 0 = 10 . 0 0

2 1 0 0

3 1 -4 0

4 -3 4 -4

4. Halla “x”. 1 1 x a x 0 x 0

1 0 b 0

1 0 =0 0 c

Resolución:

Efectuando f 4 - cf 1, se tiene: 1 1 1 x a 0 x 0 b x-c -c -c

1 0 =0 0 0

x a 0 - x 0 b =0 x-c -c -c

Desarrollando por la regla de Sarrus: ab(x - c) + bcx + acx = 0 Luego:

Luego: |A| = 10 . 1 . 1 . (( -4)( 4)(--4) \ |A| = 160 58

a+b+c a+b+c a+b+c b-c-a 2b |A| = 2b 2c 2c c -a-b

1 0 0 |A| = (a+b+c) 2b -a-b-c 0 2c 0 -a-b-c

Resolución:

10 10 |A| = 10 10

Sumando todas las filas a la primera y luego sacando factor común de ésta, se tiene:

Restando la primera columna de las otras:

|A| = 5! = 120 2 3 4 1

Resolución:

1 1 1 = (a+b+c) 2b b-c-a 2b 2c 2c c -a-b

=1.2.3.4.5

1 2 2. Calcula |A| = 3 4

a-b-c 2a 2a 3. Halla |A| = 2b b-c-a 2b 2c 2c c -a-b

x=

abc ab + bc + ac




Hallar el determinante de la matriz:

1  A = 4 7

3

valor de |2A|.

2 3 5 8

Si “A” es de orden 4 y |A| = 2. Calcular el

 6 9

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Si:

a b c d

4

Calcular el determinante:

=0

1

1

1

5

7

10

25 49 100 100

Calcular: a+b b c+d d

+

a a+b c c+d

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


59


5

Si:

6

8

2

−3

x

1

7

−1 −6 =

Si:

 3   1

425 425

2

  - 2  .X =  - 1   - 4 2

5 



0  

Calcular: |X|

Obtener "x + 1". Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

8.

60

Resolver:

9. 3

x

−x

2

−1

3

x + 10

1

1

x –1

=6

x

cosx

seny

cosy

=

1 2

; x+y=

x

x

Calcular “x” si se cumple lo siguiente: senx

Hallar la solución de la ecuación: x

x

+2

x

x

x

=0

+3

10. Resolver: 10.

π

3

–2

1

3

1

x

–2 –2

–1

2

–1

=2



11. Hallar:

12. Hallar los valores de "k" para los cuales: k

−2 k + 2

k − 2

4

k

8

5

4

5

−1

1

8

−2

8

2

6

3

6

5

3

1

3

7

7

=0

Para reforzar

3. Calcular: 3.

1. Calcular: 1. a b c

1

c a b b c

1

1

35 37 34

a

23 26 25

a) a3 + b3 + c3 b) a3bc + b3ca + c3ab

a) 8

c) a2 + b2 + c2

d) – 14

b) 6

c) 7 e) – 16

d) a3 + b3 + c3 - 3abc e) a3 + b3 + c3 + 3abc

4. 2.

Calcular el valor de:

Hallar el valor de “x”:

1 2 3 3 1 1 2 1

x 2 1

2 4 3 0

0 1 1 =0

1 2 3 8

1 3 2

a) 1

b) 2

d) – 1


c) 3

a) - 2

e) – 2

d) 12

b) 6

c) 15 e) 30

61


5.

A que es igual:

9.

1 a a2

1

1

1

2

1

1+ m

1

c2

1

1

1+m

1 b b 1 c

a) b) c) d) e)

6.

(b – c) (c – a) (a – b) abc (a + b + c) a2 + b2 + c2 ab + ac + bc abc (ab + ac + bc)

a) m d) m–n

b) n

c) m+n e) m·n

10. Calcular: Q=

Calcular:

a) b) c) d) e)

Calcular:

1

z

−y

−z

1

x

y

−x

1

m+n

2n

2m

m+n

a) m d) m – n

x +y +z –(x + y + z) x2 + y2 + z2 + 1 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 – 1

–

m–n

–2n

2m

m–n

b) n

c) m+n e) 2m

11. Si “x” cumple la igualdad: 2

3

1

x

–1 1

1

x

= ( x – 2) 2

2

halle “y” de la siguiente igualdad: 7. Resolver: 7. x

15 − 2x 11 10 11 − 3x 17 16 7−x

a) 5 d) 6

=

0

1

1

2 1

x

y

2

x

=x

14 13

b) 3

c) 4 e) 2

a) 1 d) –2

b) 0

c) –1 e) –3

12. Calcular: 8.

Calcular el valor de la determinante: 1

| A |

a) 0 d) 3

62

=

3

4

8

7

−5 −2

2

−1

8

b) 1

|B |

=

x

x

x

x

0 2 x

x

x

0 0 3

x

x

0 0 0 4

x

0 0 0 0 5

c) 2 e) 4

a) 120 d) 90

b) 110

c) 100 e) 80



Á lgebra

CAPÍTULO

10

Sistema de Ecuaciones Lineales

SISTEMAS Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismo valores de sus incógnitas.

SOLUCIÓN SOLUC IÓN DE UN SISTEMA Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.

Conjunto Solución (C.S.) Es la unión de todas las soluciones de un sistema. Ejemplo:

*

*

x+y=9 x - y = 3 Solución: (6; 3) C.S. = {(6; 3)} 2

2

x + y = 13 x . y = -6 Solución: (3; -2)( 2)(--3; 2)(2; -3) (-2; 3) C.S. = {(3; -2)( 2)(--3; 2)(2; -3) (-2; 3)}

Sistema de Ecuaciones Lineales Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es de primer grado. Ejemplo:

*

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1 a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3 Solución: Soluci ón: (r (r,, s, t)


Incógnitas: x1 , x2 , x3 Coeficientes: a1, a2, a3, ..., d1, d2, d3 Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los siguientes métodos: 1. 2. 2. 3. 3. 4. 5. 5. 6.

Reducción (Gauss) Sustitución Igualación Determinantes (regla de de Cramer) Matricial Por gráfico

Sistema de dos Ecuaciones con dos incógnitas Regla de Cramer: a x + b1 y = c1 Sea el sistema : a 1x + b y = c2 2 2 El conjunto solución es: x=

D x D sistema

;

y =

D y D sistema

donde: D sistema = Determinante del sistema D x = Determinante de x D y = Determinante de y D sistema =

a1 b1 a2 b2

= a1b2 - a2b1

Dx=

c1 b1 c2 b2

= c1b2 - c2b1

Dy=

a1 c1 a2 c2

= a1c2 - a2c1 63


ANÁLISIS GRÁFICO GRÁFICO DEL SISTEMA SISTEMA

Ejemplo:

Resuelve:

a1x + b1 y = c1 a2x + b2 y = c2

5x + 3y = 5 4x + 7y = 27

5 3 27 7 5 x 7 - 27 x 3 x= = 5 x 7 - 4 x 3 5 3 4 7 35 - 81 = = -2 35 - 12 5 5 4 27 5 x 27 - 5 x 4 y= = 5 x 7 - 4 x 3 5 3 4 7 135 - 20 = =5 35 - 12

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS 1. Sistema Compatible Compatible

1. Determinado Si:

[2]

[1] x

2. Incompatible Si:

[2]

Las rectas son paralelas [1] x

3.Indeterminado Si:

2x + 10y = 12 8x - 7y = 5

b. Sistema Compatible Compatible Indeterminado

a1 b1 c1 a2 = b2 = c2

y [2]

Es cuando el número de soluciones es ilimitado; generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas.

Las rectas están superpuestas [1] x


Ejemplo:

x + y + z = 10 2x + 3y + 5z = 20

2. Sistema Incompatible Incompatible Es aquel sistema que no admite solución. Ejemplo:

x+y+z=9 y - z + 2x = 9 2x - y = 1 64

a1 b1 c1 a2 = b2 ≠ c2

y

a. Sistema Compatible Determinado

Ejemplo:

Solución única

(x0, y0)

Es aquel sistema que admite por lo menos una solución. Estos sistemas pueden ser:

Se conoce así cuando el número de soluciones es limitado, generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es mayor o igual al número de incógnitas.

a1 b1 a2 ≠ b2

y

1. Resuelve: 1. 2x + 5y = -24 ... (I) 8x - 3y = 19 ... (II) Resolución:

Si multiplicamos la ecuación (I) x 3 y (II) x 5; se obtiene: 6x + 15y = -72 40x - 15y = 95 46x = 23 x = 23/46 x = 1/2


Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Reemplazando en (I):

y=

(-24 - 2(1/2)) 5

4. Si el sistema: mx + ny = 3 3x + 2y = 1 tiene infinitas soluciones, indica el valor de: m - n 3

E=

y = -5 2. Resuelve: 2. 5x + 2y = 4 ... (I) 7x - 3y = -6 ... (II)

Resolución:

Si el sistema es compatible indeterminado, entonces se cumple: m/3 = n/2 = 3/1

Resolución:

Despejamos “x” de la ecuación (I) x=

4 - 2y ... (III) 5

De donde m/3 = 3 ⇒ m = 9 n/2 = 3 ⇒ n = 6 Finalmente:

m - n 9 - 6 = = 1 3 3

5. Calcula “m” “m” si el sistema es incompatible: En la ecuación (II) reemplazamos (III) obteniendo: 7

(m - 17)x - 20y = m - 13

( 4 -5 2y )- 3y = -6

3x + my = 2

Resolviendo esta ecuación obtenemos: y = 2.

Resolución:

Para halla “x” en la ecuación (III) reemplazamos “y” por 2 obteniendo:

Si el sistema es incompatible, entonces se cumple: m - 17 = -20 ≠ m - 13 3 m 2

x = 4 - 2(2) → x = 0 5 3. Luego de resolver resolver:: 4/m + 2/n = 6 3/m + 2/n = 5 indica (m + n). Resolución:

De la igualdad:

m(m - 17) = -60 m2 - 17m + 60 = 0 (m - 12)(m - 5) = 0 \ m = 12 ∨ m = 5

Sea x = 1/m ∧ y = 1/n se tiene: 4x + 2y = 6 ... (I) 3x + 2y = 5 ... (II)

Pero m - 13 ≠ -20

3

⇒

Restando (II) de (I) se obtiene: x = 1 ⇒ 1/m = 1 ⇒ m=1 Reemplazando en II: 4(1) + 2y = 6 y=1 1/n = 1 n=1 \ m+n=1+1= 2


m

m2 - 13m ≠ -40

m2 - 13m + 40 ≠ 0 (m - 5)(m - 8) ≠ 0 De ahí: m ≠ 5 ∧ m ≠ 8

Finalmente: m = 12 65



Resuelve:

Resuelve:

3

7x + 8y = 29

3x - 25 = 2y

5x + 11y = 26

3y + 5 = -2x e indica “x + y”.


Rpta:

2

Del sistema:

4

El par (2; 1), verifica el sistema:

3(x + 2) - 3(y - 4) = 12

ax + by + 10 = 0

2(x - 3) + 4(y - 3) = 8

ax - by + 2 = 0

halla “5x + y”.

halla “a - b”.

Resolución:

Resolución:

Rpta: 66

Rpta:

Rpta:



5

Dado:

6

Resuelve:

nx + 3y = 2n + 3 x+1 - 3 = 0 y

2x + (n - 1)y = 4n - 6 determina el valor de “n” para que el sistema

3 1 x + = 2 2 y + 1

sea compatible indeterminado.

indicando el valor de “x - y”.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

8.

9.

En el siguiente sistema: ax + 2y = 12 6x - 5ay = -12 determina el valor de “a” de modo que “x” e “y” tengan el mismo valor valor..

10. Calcula el valor de “λ” en el sistema si el conjunto solución es: {(n+12; n)}

¿Para qué valores reales del parámetro “k” el sistema tiene solución única? 3x + (k - 2)y = k + 3 3x + 5y = 8

11. Halla “y” en:

Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 2x - 3y = 2a - 1 determina el valor de “a” para que “x” valga el doble de “y”.

12. Halla “y” en:


3x - 2y = λ 2x + 3y = λ

2x + 5y = -24 8x - 3y = 19

8 6 = -2 x + 2 y - 3 9 + 2 = 4 x + 2 y - 3

67


Para reforzar

1.

Halla 3x + 3y si: 2x + 3y = 20002 x + 2y = 19992 a) 3 999 d) 6 000

2.

b) 1 333

7.

c) 1 1997 e) 1 999

Resuelve:

a) -5/6 d) 5/6 3.

b) -1/6

c) 1/6 e) 1

Resuelve:

a) (-3; 2) b) (5; -2) d) (-15/4; 11/4)

c) (-5; 2) e) ( -3; 0)

4. Resuelve:

20/x - 12/y = 3 8/x + 30/y = 7 indica “x + 2y”. a) 10 d) -4

5.

b) -1/2

c) -3/2 e) 1/2

Halla (m + n) para que el sistema sea compatible indeterminado. 5x + 3y = 1 mx - ny = 4 a) 5 d) 8

68

c) 12 e) 20

Halla el valor de de “m” para que el sistema no tenga solución. (5m + 1)x + (5m + 2)y = 7 (3m - 2)x + (3m - 1)y = 4 a) 0 d) 3/2

6.

b) 16

b) 6

c) 7 e) 10

b) 2

c) 3 e) 5

Si el sistema es compatible indeterminado, calcula a + b. (a - 3)x + (b - 2)y = 8 (a + 1)x + (b + 4)y = 24 a) 9 d) 13

9. x(3 + y) = y(5 + x) - 25 4(3 - y) = 2(x - 2) + 18 - 2y

a) 1 d) 4 8.

10x + 9y = 8 8x - 15y = -1 y da como respuesta “x + y”.

¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema? ax + 4y = 119 5x - ay = 34

b) 7

c) 10 e) 5

Si el par ordenado que verifica: nx + y = 4 y + mx = 2 es (1; 2), halla “nm”. a) 1 d) -1

b) 2

c) 0 e) -2

10. Resuelve: 3x - 2y + 1 = 0 7y + z - 4 = 0 2x + 4z + 3 = 0 si (x, y, z) es solución del sistema. Calcula el valor de: a) -1 d) 0

b) 3

c) 5 e) 1

11. La suma de dos números es 191. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4 y el residuo es 16. Entonces la diferencia positiva de dichos números es: a) 100 d) 132

b) 102

c) 121 e) 156

12. Resuelve:

y 2(x + a) - b = 2a bx + y - 2b = -b indicando el valor de “y”. a) 1 d) b/3

b) 2

c) 2b/3 e) b/4



CAPÍTULO

11

Á lgebra Sistemas No Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Es el conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas. Ejemplos:

y = x2 2x + 5y = 20 Sistema algebraico log(2x) + y = 5 1/2 yx + 5y = 20 Sistema no algebraico Para poder resolver el Sistema de Ecuaciones No Lineales no existe un método general; sin embargo, de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando: productos notables, factorización, diversos artificios, inclusive gráficamente.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Al resolver: x2 + xy + y2 = 4 ... (1) x + xy + y = 2 ... (2) (x0, y0) es una solución con con x0 < y0. Halla x0 y0.

(x + y)2 + (x + y) - 6 = 0 ⇒ (x + y + 3)(x + y - 2) = 0 I) Si x + y = -3 en (2) xy = 5 x(--x - 3) = 5 ⇒ y = -x - 3 ⇒ x( 2 x + 3x + 5 = 0 Cuya ecuación no deja soluciones reales. II) Si x + y = 2 en (2) xy = 0 ⇒ y = 2 - x ⇒ x(2 - x) = 0 Donde: x = 0 ∨ x = 2 y=2 ∨ y=0 Como x < y ⇒ x = 0 ∧ y = 2 \ x y = 0 2. Indica el número de soluciones del sistema: xy - 6 = y3/x ... (1) xy + 24 = x3/y ... (2) Resolución:

Sumando a la ecuación (2), 4 veces la ecuación (1) se obtiene: 5xy = 4y3/x + x3/y ⇒ 4y4 - 5x2 y2 + x4 = 0 Factorizando: (4y2 - x2)(y2 - x2) = 0 De donde: x = ±2y ; x = ±y

Resolución:

x2 + xy + y2 = 4 (+) x + xy + y = 2 2

2

x + 2xy + y + x + y = 6


I) x = y en (1): x2 - 6 = x2 ⇒ ∃ x II) x = - y y en (1): -x2 - 6 = -x2 ⇒ ∃ x 69

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” III) x = 2y en (2): 2y2 + 24 = 8y 2 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 4 ; y = 2 ⇒ (4; 2) es solución x = -4 ; y = -2 ⇒ ( (--4; -2) es solución IV) x = -2y en (2): -2y2 + 24 = -8y2 ⇒ y = ±2i x = -4i; y = 2i ⇒ (-4i; 2i) es solución x = 4i; y = -2i ⇒ (4i; -2i) es solución \ existen 4 soluciones.

3. ¿Cómo debe ser la dependencia entre entre “a” y “b” para que el sistema tenga solución única? x + y = 3 ... (1) ax + by = 5b ... (2) 5x - 3y = 7 ... (3)

5. Luego de resolver, resolver, indica el valor de (x + y - z)2. x2 + xy + xz = 24 xy + y2 + yz = 32 xz + yz + z2 = 8 Resolución:

(1) + (2) + (3): x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 64 ⇒ (x + y + z)2 = 64 x + y + z = 8 ∨ x + y + z = -8 En (3): z(x + y + z) = 8 I) Si x + y + z = 8 ⇒ z = 1 x + y - z = 6 II) Si x + y + z = -8 ⇒ z = -1 x + y - z = -6 \ (x + y - z)2 = 36

Observación Resolución:

De (1) y (3) x + y = 3 ... (1) ⇒ y = 3 - x 5x - 3y = 7 ... (3)

Sistemas equivalentes son aquellos que poseen una misma solución. * Si D sistema ≠ 0 ⇒ compatible determinada

En (3): 5x - 3(3 - x) = 7 ⇒ x = 2

* Si D sistema = D x = D y = 0 ⇒ compatible indeterminada

En (1): y = 3 - 2 ⇒ y = 1 En (2):

* Si D sistema = 0 y ( D x ≠ 0, D y ≠ 0) indeterminada ⇒ inconsistente o indeterminada

a(2) + b(1) = 5b 2a = 4b \ a = 2b

4. ¿Qué valor debe darse a “m” “m” para que el sistema admita solución única? y + mx = 2 ... (1) x + y = 10 ... (2) x + my = 3 ... (3) Resolución:

(1) + (3): y + mx + x + my = 5 ⇒ y(m + 1) + x(m + 1) = 5 (m + 1)(x + y) = 5 pero (x + y) = 10 , ⇒ (m + 1) . 10 = 5

En electrónica de consumo, los circuitos integrados han hecho posible el desarrollo de muchos nuevos productos, como computadoras y calculadoras personales, relojes digitales y videojuegos. Se han utilizado también para mejorar y rebajar el costo de muchos productos existentes, como los televisores, los receptores de radio y los equipos equipo s de alta fidelidad. Su uso está muy extendido en la industria, la medicina, el control de tráfico (tanto aéreo como terrestre), terrestre ), control medioambient medioambiental al y comunicaciones.

\ m = -1/2 70




Dado el siguiente sistema: 3 x+3-

3

y+2=4

4 x + 3 + 2 y + 2 = 12

Dado el sistema: 17 - 5 = 5 x + y x - y 34 1 =5 x + y x - y

Resuelve e indica el valor de x - y y..

Halla “x - y”

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Resuelve e indica el valor de “x”

4

Si {x, y, z} ⊂ R+, calcula (x + z) al resolver: (x + y)(x + z) = 56

2 5 1 + = y - 1 x + 3 2 2 1 + = 1 y - 1 z - 4 3 5 1 1 + = x - 3 z - 4 4

(x + y)(y + z) = 63 (x + z)(y + z) = 72 Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


71


5

Dado el sistema:

Al resolver, calcula el mayor valor de “y”.

6

x3 + y3 = 35

x2 + x + y = 12

xy(x + y) = 30

xy(x + 1) = 11

Determina la suma de las soluciones reales para “x” e “y”.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

8.

Resuelve:

ay + bx = c cx + az = b bz + cy = a e indica el valor de “y”

Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + xy + y2 = 5 x + xy + y = 7 calcula el mayor valor (x0 + y0)

10. Resolviendo el sistema: x2 + y2 - 6x + 4y + 5 = 0 x + 2y + 2 = 0 se puede decir que: a) b) c) d) e)

Sus soluciones son iguales. Tiene soluciones reales. Las soluciones son irracionales. Tiene 4 soluciones. No tiene solución.

x(y + z) + z2 = 14 y(z + x) + x2 = 9 z(x + y) + y2 = 13 indicando el valor máximo de (x + y + z).

11. Resuelve: 9.

72

Si el sistema: y - b = x2 x - b = y2 debe tener 2 soluciones reales, entonces el máximo valor entero de “b” es:

12. Si: x/y (x + y) = 12 12 y/x (x + y) = 3 halla “xy”



Resolviendo en clase

1.

Al resolver: x2 + x + y = 22 xy(x + 1) = 40 da como respuesta un valor de “xy” a) 9 d) 75

2.

b) 4 y 8

b) 8

c) 16 e) 4 ∨ 6

c) 9 e) -8

b) 2


e) 0

Resuelve el sistema: m . n(m + n) = 4 m2 + n2 = 14 m > n, indica (m - n) a) 4 d) 2 3

9.

c) 1

b) 2 6

c) 3 2 e) 3

Calcula el menor valor de “y” luego de resolver: x2 - y = 47 x2 y = 98 b) 48

c) - 60 e) - 63

10. Resuelve: (x + 3y)(x - y) = 48 x+y=8 e indica los valores de “y”. a) 3; -3 d) 1; 1/2

b) 2; -2

c) 1/2; -1/2 e) 1; -1

11. Resuelve el sistema y da el valor de “z”: xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27 a) 2 d) 8

b) 4

c) 6 e) 10

12. Resuelve: x2 + xy + xz = 24 ... (1) yx + y2 + yz = 32 ... (2) xz + yz + z2 = 8 ... (3) y halla el valor de (x + y + z)2

Encuentra el valor de “y” en: x(x + y + z) = 48 y(x + y + z) = 12 z(x + y + z) = 84 a) -3 d) 1

8.

m3 b) n

n - m3 3

a) - 49 d) 79

Resuelve: a(a + 2b + 3c) = 50 b(a + 2b + 3c) = 10 c(a + 2b + 3c) = 10 da como respuesta la suma de las componentes de una de las soluciones (a 0, b0, c0). a) 6 d) -7

6.

c) 10 e) 13

Al resolver el sistema: x+y=4 x2 y2 + 12 = 7xy {x; y} ⊂ R +; x ≠ y, halla (x - y)4 a) 16 ∨ 0 d) 24

5.

b) 8

d)

c) 26 e) 35

Resuelve el sistema en R + y calcula (x + y + z). xy + xz = ( 13 + x)( 13 - x) yx + yz = (4 + y)(4 - y) zx + yz = ( 71 - z)( 71 + z) a) 9 d) 11

4.

b) 18

Resuelve el siguiente sistema: x + y = m 3 xy ... (1) x3 - y3 = nxy ... (2) y da como respuesta 3 xy en función de “m” y “n”. m3 - n a) 3m

c) 15 e) -35

Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + y2 = 2xy + 4 x+y=6 calcula el mayor valor de 2x0 + 5y0 a) 20 d) 24

3.

b) -40

7.

c) 0 e) -2

a) 25 d) 81

b) 64

c) 60 e) 90 73


Á lgebra

CAPÍTULO

12

Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Hallando los puntos críticos: P.C. = {1; 2; 3}

Son aquellas que presentan la siguiente forma general: Ubicando en la recta numérica: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an > 0; 0; + (<; ≥; ≤) / n ∈ Z ∧ n ≥ 3 Donde : a0; a1; a2; ...; an → constantes o coeficientes coeficientes

RESOLUCIÓN A. Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo. B. Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden. C. Se C. Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos. D. Si el P(x) ≥ 0, se toman los intervalos positivos; po sitivos; si el P(x) ≤ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución. Ejemplo:

Resuelve: x3 - 6x2 + 11x - 6 ≤ 0 P(x) Resolución:

comenzamos +

1

-∞

+

2

3

+∞

Luego como P(x) ≤ 0, tomamos los negativos: x ∈ < <--∞; 1] U [2; 3]

Nota 1. A veces se encuentran trinomios y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces entonces se calcula su discriminante. Si D < 0 ∧ a > 0, entonces el trinomio es (+) ∀ x ∈ R, por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir dividir,, ésto no altera el sentido de la desigualdad. 2. Si encontramos factores factores de la forma: (ax + b)2n; n ∈ Z+ estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no. 3. Si encontramos factores factores de la forma: (ax + b)2n+1; n ∈ Z+ quedará en la inecuación sólo (ax + b).

Factorizando (x - 1)(x - 2)(x - 3) ≤ 0 74


Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Ejemplo:

2. Señala el valor de “a” para el cual el sistema: x2 - 4x + 3 < 0 ... (1) x2 - 2x + 4 ≤ 6 - x ... (2) x≥a ... (3) se verifica para un único valor entero de “x”.

Resuelve: (x2-2x+4)(x+3)2(x (x--7)3(x+1)(x (x+1)(x--2) ≥ 0 Resolución:

-

-

-

El trinomio (x2 - 2x + 4) tiene D = -12, negativo, coeficiente principal positivo, por lo tanto es (+) ∀ x ∈ R. Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido. El factor (x + 3)2 se descarta, pero su punto crítico x = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución. El factor (x - 7)3 es reemplazado por (x - 7). Luego tenemos: (x - 7)(x + 1)(x - 2) ≥ 0. P.C. = {{-1; 7; 2} +

-1

-∞

Resolviendo (1): x2-4x+3 < 0 ⇒ (x (x--1)(x 1)(x--3) < 0 Luego: 1 < x < 3 Resolviendo (2): x2 - x - 2 ≤ 0 ⇒ (x (x--2)(x+1) ≤ 0 Luego: -1 ≤ x ≤ 2 Graficando los resultados:

+

2

Resolución:

7

+∞

Ubicando en la recta: Luego como P(x) ≥ 0 se toman los puntos (+) más el punto crítico x = -3 x ∈ [ [--1; 2] U [7; + ∞> U {{-3}

-1

1

2

3

Luego, el único valor entero es 2. 3. ¿Entre qué límites debe variar “m” para que la inecuación: x2 + 2mx + m > 3/16 se verifique para todo valor real de “x”? Resolución:

De la inecuación tenemos: x2 + 2mx + m - 3/16 > 0

1. Resuelve: 1. 6 x2 - 2 2 x - 3 x + 2 ≤ 0

si se verifica ∀ x ∈ R, debe cumplirse:

Resolución:

Dándole una forma adecuada al primer miembro y factorizando: 6 x2 - (2 2 + 3) x + 2 ≤ 0 2x 3x

aplicando aspa simple

⇒ x=

-1 -2 2 2 3 1 2 = ;x= = 3 3 2 2

Estos son los “puntos críticos” + -∞

De lo último se tiene: 16 m2 - 16 m + 3 < 0 → (4m - 1)(4m - 3) < 0 Luego los puntos críticos son: m = 1/4 ; m = 3/4 Así tenemos:

+

2 2

1 > 0 ; (2m)2 - 4(1)(m - 3/16) < 0 coef. discriminante 2 de “x ”

2 3 3

\ C.S. = [ 2 /2; 2 3 /3]


+∞

1/4

3/4

Por lo tanto: 1/4 < m < 3/4 75



Resuelve:

3

Resuelve: x3 - 5x + 6x ≥ 0

(x + 5)(x + 3)(x - 7) ≤ 0 Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

4

Resuelve:

(x + 4)(x + 6)(x + 8) ≥ 0

x3 < 9x

Resolución:

Resolución:

Rpta: 76

Resuelve:

Rpta:



5

Resuelve:

6

Resuelve:

x3 - 6x2 + 11x - 6 > 0

x3 ≤ 16x

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:


7.

Resuelve: 3

x > x

8.

9.

10. Resuelve: (x2 + 1)(x2 + 2)(x - 3) > 0

Resuelve: x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 > 0 halla un intervalo de su solución.

11. Resuelve:

Resuelve: x5 - 5 5xx4 + 2x3 + 14x2 - 3 3xx - 9 < 0

12. Resuelve:


(x2 - x - 2)(x - 4) ≥ 0

x(x - 1)2 > 0

77

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IMPRESIONES LÁSER: SECUNDARIA (s/.0.04 x p ágina) Cursos Aritmética Álgebra Geometría Trigonometría Raz. Matemático Física Química Biología Lenguaje Literatura Raz. Verbal Historia del Perú Historia Universal Geografía

1º Secundaria # Páginas Costo Costo

2º Secundaria # Páginas Costo


137 133

5.48 5.32

129 147

5.16 5.88

120 185

4.8 7.4

116 216

4.64 8.64

124 190

4.96 7.6

127 108 97

5.08 4.32 3.88

151 124 94

6.04 4.96 3.76

138 124 116

5.52 4.96 4.64

203 147 136

8.12 5.88 5.44

157 105 148

6.28 4.2 5.92

123 148

4.92 5.92

154 118

6.16 4.72

143 115

5.72 4.6

161 151

6.44 6.04

155 173

6.2 6.92

146

5.84

272

10.88

312 12.48

344

13.76

368

14.72

200 146 103 165 93 142

8 5.84 4.12 6.6 3.72 5.68

175 163 97 277 91 157

7 6.52 3.88 11.08 3.64 6.28

187 185 98 157 145 130

193 160 102 198 124 298

7.72 6.4 4.08 7.92 4.96 11.92

157 209 106 238 199 222

6.28 8.36 4.24 9.52 7.96 8.88

74.72

85.96


7.48 7.4 3.92 6.28 5.8 5.2

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Para reforzar

1.

Resuelve: Resuelv e: (x + 1)(x + 3) 3)2(x - 7)5(x - 2) ≥ 0 a) b) c) d) e)

2.

3.

[-1, 2] U [7, ∞> U {{-3} [1, 2] U [7, [7, ∞> - { {--3} R N. A.

x ∈ [2, 3] U [7, ∞> x ∈ < <--∞, 2] U [3, 7] x ∈ [3, 7] x ∈ R x∈φ

Resuelve:

x - a x + b > x - b x+a

Resuelve:

x+1 x ≤ 2 - x x+3 si su C.S. = <<-∞, a> U , halla ab + a + b

a) -1 d) -7

φ

Resuelve: (x2 + 1)(x - 3 3))5(x (x-- 7)(2 - x x)) ≤ 0 a) b) c) d) e)

7.

8.

b) -5

c) -6 e) -8

Resuelve: x2 4 - 2 > x+2 x+2 a) x ∈ < <--2, 0> c) x ∈ <0, ∞> d) x ∈ φ

9.

b) x ∈ <0, 2> e) x ∈ <0, ∞>

Si la expresión: x 2 2 - 2 x - 1 x + 1 x - 1 es una cantidad no negativa, calcula el intervalo al cual pertenece “x”.


Para reforzar

1.

Resuelve: Resuelv e: (x + 1)(x + 3) 3)2(x - 7)5(x - 2) ≥ 0 a) b) c) d) e)

2.

3.

[-1, 2] U [7, ∞> U {{-3} [1, 2] U [7, [7, ∞> - { {--3} R N. A.

x ∈ [2, 3] U [7, ∞> x ∈ < <--∞, 2] U [3, 7] x ∈ [3, 7] x ∈ R x∈φ

Resuelve:

b) a < x < -b e) b < x < a

4. Resuelve: 4. x+4 x+2 ≥ x+2 x - 4 a) x ∈ [2, 4] b) x ∈ <2, 4> d) x ∈ < <--∞, 2> U <4, ∞> c) x ∈ <1, 3> e) N. A. Resuelve: (x + 4)(x - 2) ≤ 0 (x + 1)(x - 3) a) [-4, 1> U [2, 3> c) <-∞, -4> U [[-1, 2> d) [-4, 4] 6.

b) R e) φ

Resuelve: (x2 - 1)(x2 - 4) ≥ 0 x2 + 3x indica un intervalo solución. a) <1, 2> c) [-1, 0] d) <-3, -2]

78

8.

b) -5

b) <-∞, -3] e) N. A.

c) -6 e) -8

Resuelve: x2 4 - 2 > x+2 x+2

9.

si: a > b > 0

5.

x+1 x ≤ 2 - x x+3 si su C.S. = <<-∞, a> U , halla ab + a + b

a) x ∈ < <--2, 0> c) x ∈ <0, ∞> d) x ∈ φ

x - a x + b > x - b x+a

a) -a < x < -b c) a < x < b d) -a < x < b

Resuelve:

a) -1 d) -7

φ

Resuelve: (x2 + 1)(x - 3 3))5(x (x-- 7)(2 - x x)) ≤ 0 a) b) c) d) e)

7.

b) x ∈ <0, 2> e) x ∈ <0, ∞>

Si la expresión: x - 2 - 2 x - 1 x + 1 x2 - 1 es una cantidad no negativa, calcula el intervalo al cual pertenece “x”. a) b) c) d) e)

<-∞, -2> U <<-1, 1> U <3, ∞> <-∞, -2] U <<-1, 1> U [3, ∞> <-∞, -1> U <1, ∞> <-∞, -2] U <<-1, 3> - {1} [-2, -1> U <1, 3>

10. Resuelve: 3x - 2 4 < x+1 x - 2 halla un intervalo de la solución. a) <1, 2> d) <-1, 2>

b) <-2, 1>

c) <2, 4> e) N. A.

11. Halla una inecuación entera de coeficientes racionales de grado mínimo, cuya solución es: <-∞, -2> U <<-2, 2> U <3, ∞> a) b) c) d) e)

(x - 3)(x - 2)(x + 2)2 > 0 (x + 3)(x + 2)3 > 0 (x - 3)(x - 2)2(x + 2) < 0 (x - 3)2(x - 2)(x + 2) > 0 (x + 3)(x + 2)2(x - 2) ≤ 0

12. Resuelve: (x2 - 9)(x + 5)4(x + 8)(x - 2)3 ≤ 0 (x - 5)(x + 1) e indica el mínimo valor entero que puede tomar “x”. a) -3 d) 5

b) -7

c) -8 e) 1


Inicial, Primaria, Secundaria y Academias

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