TEORÍA Y PROBLEMAS PROBLEMA S SELECTOS
CÁLCULO I
Y COMO
RESOLVERLOS PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIER Í ÍA
CODEX
CALCULO I
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4118-17 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN SEPTIEMBRE , 2017 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
CALCULO I
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4118-17 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN SEPTIEMBRE , 2017 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
JOSE PAYE CHIPANA
CAPITULO I
CODEX-CÁLCULO I
JOSUE PAYE CHIPANA
INECUACIONES-VALOR INECUACIONES -VALOR ABSOLUTO-PARTE ENTERA
DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas INTERVALOS: Los intervalos son intervalos son subconjuntos de subconjuntos de números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real, considerando los siguientes tipos de intervalos: CERRADO:: a, b x R / a x b (a) INTERVALO CERRADO R a
b
(b) INTERVALO ABIERTO: ABIERTO: a, b x R / a x b R a
b
(c) INTERVALO CERRADO EN a Y ABIERTO EN b : a, b x R / a x b R a
b
(d) INTERVALO ABIERTO EN a Y CERRADO EN b : a, b x R / a x b R a
b
(e) INTERVALO INFINITOS:
a, x R / x a
a, x R / x a R
a
R a
, b x R / x b
, b x R / x b R
R
b
b
, x R / x R R
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN: Se llama conjunto solución de una inecuación a verifiquen , es decir que dichos números reales de la desigualdad en el todos los números que la verifiquen, sentido prefijado
1
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RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN: El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución. Es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifiquen la inecuación INECUACIONES POLINOMICAS: Una ecuación polinómica en una incógnita, es una condición de la forma
an1 x n1 an2 x n2 an3 x n3 .......... .. a2 x 2 a1 x a0 0 ó P ( x) an x n an1 x n1 an2 x n2 an3 x n3 .......... .. a2 x 2 a1 x a0 0 , donde P ( x) an x n
an , an1 , an 2 , an3 ,...... a2 , a1 , a0 son constantes
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICA: POLINÓMICA: Las inecuaciones polinómica de la forma: P ( x ) 0 ó P ( x ) 0 ,se resuelven de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica Para esto primero hallamos las raíces del polinomio P ( x) an x n
an1 x n1 an2 x n2 an3 x n3 .......... .. a2 x 2 a1 x a0 0
Analizamos Analizamos los siguientes siguientes casos: casos: CASO ESPECIAL: ESPECIAL: Las inecuaciones polinómica de segundo grado la forma: P ( x ) 0 ó P ( x ) 0 ,se resuelven de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica Para esto primero hallamos las raíces del polinomio P ( x) a2 x 2
FORMA DE INECUACIÓN
RAÍCES DE LA ECUACIÓN
a1 x a0 0 x1 , x2 Raíces diferentes : x1 x2 a2 x
a2 x 2
a2 x
2
a1 x a0 0 , a2 0
a1 x a0 0
, a2
a1 x a0 0
0
2
CONJUNTO SOLUCIÓN
x1 , x2
Raíz única: x1 Raíces no reales
Vacio
Vacio
Raíces diferentes: x1 x2
, x1 x2 , R x1
x1 Raíz única: Raíces no reales
R
CASO I: I: Raíces Reales y diferentes Analizar las raíces en la Recta Real Real y verificar verificar su valides valides en los intervalos intervalos Ejemplo.Ejemplo.- Resolver x
5
3 x 4 5 x 3 15 x 2 4 x 12 0
Solución Expresamos Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
x 3 x 2 x 1 x 1x 2 0 Se x 3
resuelve
la
x 2
x 1
x 3 x 2 x 1 x 1x 2 0
ecuación x 1
de
donde:
x2
Analizamos Analizamos los valores en la recta Real y formamos intervalos intervalos para analizar y verificar los Intervalos I I
I II
3
I III
2
I V
I IV
1
1
I VI 2
2
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R
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Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el I IV x 0 en la inecuación 05 304 503 1502 40 12 0 12 0 VERDADERO entonces I IV es solución de la inecuación y tomamos los intervalos en forma intercalada I I
I II
I III
3
2
I V
I IV
I VI 2
1
1
R
Conjuntos solución es: x 3,2 1,1 2, CASO II: Raíces Reales y Repetidas (múltiples) (a) Cuando el orden de la multiplicidad de
raíces del polinomio P ( x) an x an1 x an2 x an3 x .......... .. a2 x a1 x a0 0 es: - PAR la raíz no se considera para la determinación de los intervalos, la raíz se analiza en el conjunto solución total al final si verifica se añade si no verifica se la quita del conjunto solución (b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P ( x) an x n an1 x n1 an2 x n2 an3 x n3 .......... .. a2 x 2 a1 x a0 0 es: - IMPAR la raíz se considera de orden 1 para la determinación de los intervalos, la raíz se analiza como el CASO I (Raíces Reales y diferentes) Ejemplo.- Resolver n
n1
n 2
n3
una
de
las
2
x 5 x 7 x 32 x 0 3
2
Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
x 12 x 3 x 2 0 Se resuelve la ecuación x 1 2 x 3x 2 0 de donde: x 1 de orden PAR se analiza al final, en la Solución Final x 3 x 2 de orden IMPAR se analiza los valores en la recta Real y formamos intervalos para analizar y verificar los Intervalos I I
I II
I III
R
3
2
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el I I x 0 en la inecuación 03 502 70 32 0 0 6 0 FALSO entonces I I NO es solución de la inecuación y tomamos los intervalos en forma intercalada I I
I II 2
I III
R
3
Conjuntos solución es: x 2,3 PERO NOS FALTA Analizar el valor de Orden Par verificamos si cumple para añadir o rechazar el valor en la solución x 1 de orden PAR remplazando en la inecuación
1
512 71 32 1 0 0 0 VERDADERO entonces x 1 SE AÑADE AL CONJUNTO SOLUCIÓN en este caso en nuestro 3
conjunto ya se encuentra si no fuera de esa manera tendríamos que añadirla Conjuntos solución es: x 2,3 3
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CASO III: Algunas de las Raíces NO son Reales (COMPLEJO 1 i ) Cuando algunas de las raíces del polinomio n n 1 n 2 n 3 2 P ( x) an x a n1 x an2 x an3 x .......... .. a 2 x a1 x a0 NO SON REALES, en este caso a estas raíces NO SE CONSIDERAN en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismos procedimiento que los (CASOS I y II) Ejemplo.- Resolver x 4
2 x 2 3x 2 0
Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
x x 1 x 1x 2 0 2
Se
resuelve
x 1
x 2
la x
x x 1 x 1x 2 0 2
ecuación
1 3 2
Complejo x
1 3 2
de
donde:
Complejo
Analizamos los valores en la recta Real y formamos intervalos para analizar y verificar los Intervalos Sin tomar en cuenta las Raíces Complejas I I
I II
1
I III
R
2
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el I II x 0 en la inecuación 02 0 10 10 2 0 2 0 FALSO entonces I II NO es solución de la inecuación y tomamos los intervalos en forma intercalada I I
I II
I III
1
R
2
Conjuntos solución es: x ,1 2, INECUACIONES FRACCIONARIAS: Una ecuación FRACCIONARIA en una incógnita, es de la forma
P ( x) Q( x)
0 ó
P ( x ) Q ( x )
0 , donde
P ( x) y Q( x) son polinomios
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN FRACCIONARIAS: de
la
forma:
0 P ( x)Q( x) 0, Q( x) 0 ó
inecuaciones
P ( x)
0 P ( x)Q( x) 0, Q( x) 0 , se resuelven de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de cada
Q( x)
FRACCIONARIA
P ( x)
Las
Q( x)
ecuación polinómica Restringiendo Q( x) 0 para dar la solución se sigue el mismos procedimiento se Realiza para INECUACIONES POLINÓMICAS Ejemplo.- Resolver 2 x x 1 x 1 x x 1
x
4
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Solución La inecuación se puede escribir de la forma x x 1
x 1 x
2 x x 1
0
2 x 2 x 1 x x 1 x 1
P ( x) Q( x)
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0 P ( x)Q( x) 0, Q( x) 0
0 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 0, x x 1x 1 0
Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
2 x x 1 x x 1x 1 0 2
Se resuelve la ecuación de donde: x 1 , x 0 , x 1 , estos valores noven estar incluidos en el conjunto solución para cuidar la división en cero Q( x) 0 x
1
7 4
Complejo y x
1
7 4
Complejo
I II
I I
1
I IV
I III 0
R
1
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el I IV x 10 en la 210
10 1 0 0 FALSO 1010 110 1 2
inecuación
entonces I IV
NO es solución de la
inecuación y tomamos los intervalos en forma intercalada I I
I II
I IV
I III
1 0 Conjuntos solución es: x ,1 0,1
R
1
VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número x R , de notaremos por x , se define por la regla:
x si x 0 x ó x si x 0
x
x 0 x
si x 0 si x 0 si x 0
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: a 0 a a, a (1) (2) (3)
(4)
a ab a b a
(5)
a b
ab
a b
ab
{desigualdad
triangular} PROPIEDADES PARA RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DONDE INTERVIENEN VALOR ABSOLUTO:
0a 0 a b b 0 a b a b (2) a b a b a b (3) (4) Si b 0 Entonces: P1) a b b a b también de esta forma a b b a a b (1)
a
5
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P2) a b b a b también de esta forma a b b a a b P3) a b b a b también de esta forma a b b a a b (5)
P1) a b a b a b (6)
Si
b0
(7)
Si
b0
P2) a b a b a b
b b a b 2 Entonces: a b a b a Entonces: a 2
b
(8) 2
P1) a a 2
P2) a a 2
PARTE ENTERA x (MÁXIMO ENTERO) DEFINICIÓN: Si “ x ”es un número real, el máximo entero de “ x ”representaremos por x , mayor que todos los enteros menores o iguales a “ x ”, es decir: x maxn Z / x n Por definición de Máximo entero se Tiene: x n n x n 1 , n Z ó x n x n, n 1
, n Z
PROPIEDADES DEL MÁXIMO ENTERO x Z Por definición (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)
x x x Z x R, x x Por definición x x x 1, x R 0 x x 1, x R x x , x R x n x n, n Z x n x n 1, n Z x n x n, n Z x n x n, n Z , x R x n x n 1, n Z , x R x, y R, si x y x y x y x y Si n Z nx n x x x Si x R y n Z
n
n
6
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P1) a x b a x b 1 a x b a 1 x b (16)
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Si a y b Z , x R
P2) a x b a x b
P3)
CAPITULO II
FUNCIONES Es un conjunto de pares ordenados x, y de elementos de los cuales
FUNCIÓN: que ninguno de dos pares tienen el mismo primer elemento
DOMINIO: Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados RANGO: Es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados NOTACIÓN: A DOMINIO y B RANGO f ( x) : A B Dominio de la función: Df A Rango de la función: Rf B *DEFINICIÓN INGENIERIL: LA FUNCIÓN ES UNA TRANSFORMACIÓN (PROCESO) DE ELEMENTOS DE UN SISTEMAS INICIAL (DOMINIO) HACIA UN SISTEMA FINAL (RANGO) REGLAS PARA HALLAR EL DOMINIO: El dominio de una función dada por y f ( x )
es el conjunto de valores “admisibles” de " x" para las cuales y f ( x ) R tomemos las siguientes restricciones: N x
(1)
f ( x )
(2)
f ( x )
2n P x ;
D x
;
Df x R D x 0
Df x P x 0
f ( x ) lga P x ; Df x P x 0 (3) FUNCIONES DEFINIDAS CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA: En las funciones definidas con dos o mas reglas de correspondencia, su dominio y rango se determinan de la siguiente forma: La Función esta definida por: f ( x )
x Df 1 f 1( x ) , donde f x Df 2 2( x )
Df 1 Df 1
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DOMINIO DE f X SE DETERMINA: Df x Df 1 Df 2 RANGO DE f X SE DETERMINA: Rf x Rf 1 Rf 2 NOTA: ESTA FORMA DE CALCULO SE EXTIENDE A FUNCIONES CON MAS DE DOS REGLAS DE CORRESPONDENCIA OPERACIONES CON FUNCIONES: P1) f g x f x g x D f g D f Dg P2) f g x f x g x D f g D f Dg f f x D f g D f D g g x 0 g x g x
P3)
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTIVA: x1 , x2 D f x1, x2 D f
Si
f x1 f x2
implica x1 x2 es INYECTIVA
FUNCIÓN SOBREYECTIVA: y R f x D f Si
y f x
Im f Rf es La imagen de la función es igual a rango de la función SOBREYECTIVA FUNCIÓN BIYECTIVA: Es una función que es inyectiva y sobreyectiva
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Si f x está en el dominio de g x tiene sentido componer las funciones f y g para x . La Composición g f y se lee [ f Compuesta
en g ] esta definida por: g f x g f x
(Tomar la imagen, por g x , de la imagen de x por f )
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN: Considerando las funciones f , g , I ( IDENTIDAD )
P1) f g x g f x
P2) f g h f g h
P3) f g h f h g h
P4) f g h f h g h
P5) f I I f
, f
1
1
, n Z , n
P6) I n I I I n I
n
n
impar
P7) I n I m I nm , n, m Z
DOMINIO DE: f g x f g x : D f g X D g g x Df
DOMINIO DE: g f x g f x : D g f X D f f x Dg
FUNCIÓN INVERSA: Si f 1 x Es la función inversa f 1 x f x , x / xD f donde:
Df 1
Rf
Rf 1
Df
la cual existe si f es INYECTIVA
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PROPIEDADES: P1) f 1 x f x x, x Df
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P2) f x f 1 x x, x Df 1
PROBLEMAS DE EXÁMENES RESUELTOS PROBLEMA 1
−−∙ ℎ°ℎ− +−;∶
Si 9
SOLUCIÓN: PASO 1: Recordando que
es una función inyectiva se cumple
− + −∙ − −− →→→ ∙ //
(°−)( )
…
PASÓ 2: Para simplificar la ecuación (1) procedemos a realizar un cambio de
variable:
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PASO 3: Remplazamos en la ecuación (1)
+ ∙− − −−
∙ ∙ ∙ −+ → ∙ ∙ ∙ … 2 ÷1 ∙∙∙∙ −∙ 9∙ ∙ −+ ;: ∴ −−
PASO 4: Para hallar con la ecuación (1)
basta con elevar al cuadrado la ecuación (2) y dividir
// ()2
PROBLEMA 2
+
Resolver: limx→π
SOLUCIÓN: Procedemos a realizar el cambio del límite para la utilización de los límites conocidos:
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PASO 1: Hacer el cambio de variable
; : → , →
PASO 2: Simplificamos y evaluamos
+ +++ − +∗ ∗ ∙ − ∗ ∙ ∙
L= limu→0
L== limu→0 L= limu→0
PASÓ 3: Llevamos el límite a formas conocidas para levantar la indeterminación: limx→0
L= limu→0 L= limu→0
1
1
1
1/2
∙ ⁄
L=
L = 16
PROBLEMA 3
+ +
Resolver: limx→π
SOLUCIÓN: PASO 1: Evaluamos el límite:
− →
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PASÓ 2: Realizamos el cambio de límite, para llevar el limite a formas conocidas:
; : → , → + + → − → − + −+ ∙ − + −+ → − → ; → → → → → +−∙∙∙∙ → } ∙∙− − ∴ − Si
Aplicando propiedades de límites:
1
1
0
1
e
PROBLEMA 4 Resolver: SOLUCIÓN:
→ ++−
Procedemos a realizar el cambio del límite para la utilización de los límites conocidos: PASO 1: Evaluamos el límite L=
→ ++−
PASO 2: Para levantar la indeterminación procedemos a factorizar los términos de base mayor
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→ ++− + + → +− +− + +−
L= L= L=
L=1 PROBLEMA 5
: ⟦⟦⟧|⟧|| | ≤< : << + << Determinar:
SOLUCION: PASO 1: Analizamos las funciones especiales:
|| ,,≥ < || " " ⟦⟧ →≤< ; ≤< ⟦⟧→ ; ≤< ;≤< + ; →≤ < ≤< ; ∶ ; ≤< ; ≤< ⟦⟦⟧|⟧|||;;≤< → ; ≤< ≤< * * *
*
//
PASO 2: Desarrollamos las funciones especiales con sus respectivos dominios.
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⟦ ⟧| | ; ≤< ; ≤< ; ≤< → ; ≤< ; ∩. → ∄ ∄ ∄ → ∄ ∄ ;);≤< ; ≤< − ( ≤< ; ≤< PASÓ 3: Analizamos el dominio de:
-2
-1
0
1
2
*
PASÓ 4: Realizamos la gráfica: “Parábola”
∗−
“Recta”,
PROBLEMA 1 Calcular el límite: L= SOLUCION;
−∙ → −++−
Evaluando el límite se observa una indeterminación: L =
; ≤< ; ≤<
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Luego recordando que Operando tenemos:
Sen(3x)= 3sen(x) - 4
(x)
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: sen(2x)=2sen(x)cosx)
lim→ −+++
e − lim→ −−+ lim→ −− 3: ; 0 3 >0 → 3>00 → 3 13 → <00 →3 1(3 11) lim→−− − ∙ ∗ lim→ − lim→ −√− ∗ lim→ √ ∗lim→ − → √ − √ ∗lim→ ∗lim→ − ∙ √ ln3 √ ∗lim→ − √ ln3 L=
Analizando la función valor absoluto se tiene;
L=
L=
Como los límites laterales no son iguales se concluye que:
Ǝ El limite puesto que L D= LI
PROBLEMA 2
→ ++ + ∙ − − 1 l→im 1 l→im 1⁄(1⁄) 1 l→im 1cos(1⁄()1⁄) 12
Calcular el límite: L =
Recordando que utilizaremos los limites conocidos:
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Repartiendo el denominador en el logaritmo, evitando exponentes negativos en la
expresión, además multiplicando y dividiendo por “x 2”, tal que por propiedades de logaritmos pueda subir como exponente.
1 1 ⁄ 2 ( ) 1 l→im 3 ln 1 1cos(1⁄) 1 1 1 1 ⁄ 2 ( ) 1 1 l→im ln 1 →lim 1 3 (1cos(1⁄)) ⁄ 1 ⁄ 2 ( ) 1 1 1 1 1 lim→ ln 1 →lim 1 3∙ 1cos(⁄1⁄) (1⁄) 1∙1100∙0 21⁄21→→→ → √ −+√ −−− 5 2 4 ln t a n510 4 1 2√ √ 2 →lim 2 →lim sin714 ∙∙ 5 2 4 l n t a n510 2√ √ l→im 2 ; l→i m sin714 4 ??? 2√ 5 2 4 222)√ (√ √ l→im 2 l→im 2 5 2 4
Llevando “x2” como exponente del logaritmo, repartiendo el límite y factorizando:
Recordando que se puede decir que:
; por extremos y medios es lo mismo:
Usando limites conocidos y evaluando:
PROBLEMA 3
Calcular el límite:
Por propiedades de logaritmos, repartiendo el limite y ordenando:
Se puede expresar de la forma:
Para A existe la indeterminación
Donde:
, sumando y restando dos, luego operando:
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22)√ 5 2 2(√ 5 2 2) ( √ 2 2 5 2 2√ 5 2 4 √ 5 2 ∙ √ 22 22)√ 2(√ 5 2 2)∙ ( √ √ 22 2 √ 5 2 2√ 5 2 4 √ 5 2 2 2∙5 2 22 √ 5 2 2√ 5 2 4 √ 2 10 12 56 43 → 43 24 444 l→im1 l→im sin 1 l n t a n510 l n t a n5 2 4 4 l→i m sin714 l→im sin(7 2) 2 ; 2 ;→0 t a n5t a n 4 l n l n t a n5 1t a n5t a n l→i m sin7 4 →lim sin7 4
Racionalizando, de manera que aparezca
y se levante la indeterminación:
Para B, se utilizaran los limites conocidos:
Operando:
Cambio de base:
:
Sumando y restando uno, luego elevar a la potencia necesario de manera que tome la forma del limite conocido, y por propiedad de logaritmos el exponente no necesario puede bajar a multiplicar:
− ∙ − t a n51 2t a n5 l n 1 1 l n 1 l→i m 1tsin7an5 l→im 1tasn5in7 − 2tan5 1 2t a n5 l→i m ln 1 1tan5 ∙ 1tan5 ∙ sin7 − 2 cos5 si n 5 2t a n5 1 l→i m ln 1 1tan5 ∙ 1 cos5 ∙ sin5 sin7
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− 2sin5 1 2t a n5 l→i m ln 1 1tan5 ∙ cos5sin5 ∙ sin7 sin5;sin7 − si n 5 2t a n5 2 l→i m ln 1 1tan5 ∙ cos5sin5 ∙ si57n7 57 ln∙ 102 ∙ 1∙51∙7 → 107 ∙∙ ∙ ∙ ⟦+⟧||++ √
Se levantara la otra determinación enfocándose solo en las funciones que causan la indeterminación :
Aplicando limites conocidos y evaluando:
Llevando todo a la expresión, reemplazando:
Finalmente:
PROBLEMA 4
Obtener el dominio de la función f(x)=
Solución: Recordar que
f 2 n p x
D f : P x 0
a a P x a 1
Analizando primeramente la signo valor absoluto: para todo “x”
x 1 0 sgn x 1
0
1
Luego es problema se reduce a:
En dominio de la función
función
f x
f x será
x 2
1
1 2 x
4 4 x
igual al dominio donde se cumple cada uno de las
funciones simultáneamente es decir: x 2 1 0 restricciones D f x D f x : 4 x 0 1 2 x 0
:
x
2
1 0 4 x 0
1 2x
0
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1 x 0 2
D f x : V x 4 0 1 2 x 0 1 D f x : x 4 1 2 x 0 D f x : x 4
1 D f x : x 4 0 x
2
PROBLEMA 5
Obtener:
3 ; x 0 ; x 0 0 f g x si: f x x 2 2 ; 0,1 g x 2 x 1 ;0 x 1 1 5 ; x 1 ; x 1
Solución.Recordando que la composición de dos funciones existe en un dominio: D f g x
D f g x D g x g x D f x
3 ; x 0 ; x 0 0 2 ;0 x 1 g x 2 x 1 ;0 x 1 f x x 1 Luego operamos las funciones: 1 5 ; x 1 ; x 1
Hallando f g x en sus respectivos dominios y simplificado:
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; x 0 3 ;0 x 1 3 3 ; x 1 0 2 1 ; x 0 f g x f g x 2 x 12 1 ;0 x 1 12 1; x 1 ; x 1 5 ; x 0 5 ;0 x 1 5 ; x 1
0 0 F
2 x 1 0 x
1
0 x
2
1 0 F 0 0 1 V 1
1
2
2 x 1
0 1 1 V 0 1 F 2 x 1 1 x 1 1 1 F
3 1 f g x 2 2 x 1 1 2
1 2
1
x 1 2 ; x 1
; x 0
f g
x
1 1 ;0 x 2 3 f g x 1 2 ; x 1 2 x 1 1 2 2 ; x 1
Nota:
EXAMEN I/2016 PROBLEMA 1 Evaluar:
Solución:
Evaluando el limite:
2
x 0
; x 0 ;
1
0 2 x 1 1 x 1 x 1
Final mente ordenamos según su dominio: f g x
: 0 x
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→ −− → − ⟹ − ????
conjunto vacío.
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Para determinar la indeterminación realizamos un cambio de límites y debido a la pres enci a de funci ones exponenc iales utilizaremos los siguientes limites conocidos.
→ 1 , →1 , →0 3+ ⟹→ + + + + 3 3 3 → 3 9 → 6 + + + ⦋ − + ⦌ 3 3 → 6 ∗ 1 ⏞ + + + ⦋ − + ⦌ 3 3 → 6 3⦋ → 1 → 1 3⦌ 363 → 3ln1 33 1 − 9 23 → 3⦋1 3 +⦌ ∗ 3 923 ∗ 92 REALIZAMOS CAMBIO DE VARIABLE: C.V:
Evaluando y utilizando los limites conocidos , tenemos: p
Finalmente se tiene que:
PROBLEMA 2 Graficar:
‖x ‖ - │x│
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Solución:
;≥0 ; <0
Analizando las funciones especiales:
│x│=
; ≤<1 ⋮ 32 ;;23≤<2 ≤<1 ≤<1 10 ;; 1≤< 0 0≤<1 1;2 ; 1≤< 2 2≤<3 ⋮ ⋮ 3; 3≤<2 2; 2≤<1 1; 1≤< 0 ; 0≤< 1 01; 1≤<1 2; 2≤<3 ⋮ ‖x‖= →
→‖x‖=
│x│
Desarrollado:
x
Finalmente realizamos la gráfica:
3
2
1
-4
-3
-2
-1 1
-1
2
3 ......
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PROBLEMA 3
+ 2 L lim→− −−│+│+
a) Dada :
verificar si se cumple:
b) Analizar si existe el limite:
Solución: a) Para demostrar el problema partimos de segundo miembro ya que es un poco
+ + − − − 5 5 5 5 5 5 2 2 2 ∙ 2 2 2 5+ 5−+ 5−−2 5+ 5−+ 5− 52 −− 2 más complejo y recordando que si :
b)el problema puede resolverse analizando por limites laterales debido ala presencia de funciones especiales “función signo y valor absoluto” pero una manera muc ho mas simple es aplicar la siguiente relación:
1, >0 ││ ∙( ) ││∙ 0, 0
││ 1,<0
, 0, 0>0 ,<0 ,≥0 ,<0 │1│ 1∙ 1→1 │+│+ + lim→− ++− −− lim→− +− 1⁄4 =
L= L=
→
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PROBLEMA 4 Evaluar:
Solución: Evaluando el limite:
→ − → 2ln1 00 ????
Operando el limite para llevar a limites conocidos y recordar que:
→1 ; → → ∗→ → 2ln → ln 1 − ⦌ → ⦋11 ∗→ 1 11 1 1 → √2 √2 √2 1 Finalmente tenemos lo pedido:
NOTA: los problemas trigonométricos se pueden resolver de muchas formas en forma general se resolver mediante un cambio de variable llevando la tendencia a(0) y luego así aplicar los limites conocidos.
PROBLEMA 5 DADA:
1 1 ; 2 123
Solución:
Simplificando la f mediante un cambio de variable:
ℎ∶1
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1 ⫽ 1 1 ⃗ 3 3 1 ⟹ 1 3 1 ∗ 3 ⃗→ 3 ⃗ 2 121 321 23 21 32 1 − ⟹32 22 21 ⟹1 ∗1 2363 213343 → 163 343
Luego remplazamos en la condición del problema:
Y como nos pide
Finalmente si
, igualamos estos dos argumentos de la función:
se tiene lo pedido:
EXAMEN I/2013 PROBLEMA 1 Anote un ejemplo de función f (x) par y otro g (x) impar , luego halle (f g)(x) y analice si es par o impar
Solución:
Recordando que: f (-x)= f (x) “función par”, f (-x)= f (-x) “función impar” Para el ejemplo: f (x) =x2 “función par” , g (x) =x3 “función impar” Sea: h(x) = (f g)(x) =f(g(x)) h(x) ={ g(x)}2 ={ x3}3=x6 analizando si es par o impar esta función 6 6 “función impar” h(-x)=(-x) =x =h(x)
→
(f g)(x) es función par
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PROBLEMA 2 Para la función f (x) ln(3x+3), identifique el Dominio y Rango
Solución: PASO 1 Recordando: f (x) =ln (P(x)) Df (x): P>0 PASO 2 Para nuestro problema: Df (x): 3x+3Z>0 //1/3 X+1>0 X>-1 o ]-1, ∞+ [ PASO 3: Hallamos el rango: 3x+3>0//ln Ln (3x+3)>ln (0) f (x) >-∞
∀
Df (x):]-1,∞[ Λ Rf (x):]-∞,∞+[
PROBLEMA 3
3. Analice si respuesta.
lim→1cosx
Es un límite indeterminad. Justifique su
Solución:
Analizando la indeterminación:
lim→1cos 0
“no es una indeterminación”
Analizando por los limites laterales para obtener el valor del límite si es que existe.
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− l→i m lim→ − →0−−→0− 0− l→im − l→im − − ∗∗ ∞ l→i m− lim→ − →0−+ →0 0 + − + l→im l→im −∗∗ 0
Cambio de límite:
Cambio de límite:
Ya que:
y
;
y
;
∞ 0 ; ≠
el límite no existe pero está definido.
No es un límite Indeterminado puesto que:
∞ , 0
PROBLEMA 4 Analice si existe o no el límite:
lim→ −
justifique su respuesta
Solución Para que exista el límite, deben existir sus límites laterales y estas deben ser iguales.
LI
lim→ − − − ∞ lim→ − − ∞
LI
LD =
≠
LD NO EXISTE LIMITE
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PROBLEMA 5
Para la función f (2x+1) =
+
; g-1(9/x)
f (x) ln(3x+3), identifique el Dominio y Rango
Solución: PASO 1 Llevando a la forma mas simple cada función: realizando operaciones, agrupando, etc. f (2x+1) =
+ + ++− → +− − − → − − → − − → → + + → + +− → → ff+− → − +− °°− + − − ° + ++ ++ ° + − − °° ° ° − +− + °°− + f (2x+1) =
Ahora para g(x) (3/x) = c.v. g(
f (x) =
//3 g(
=u
(3/x)) =g(
g(
=
x= ux-2u x=
=
u x
g(
f (x) =
:(
x f (x)- f (x)=x+3 x=
(x) =
Realilzando la composicion de las funciones de auditiva hacia afuera )(cos2x) (
(x)=g(
(
)(x)= ( (
(
)(x)=
∴ ° ° −
(x))
=
( )(cos2x)=
=
) (x)=
+
=
=
=3
=
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6. construir la gráfica de la función: a)
⟦⟧
⟦⟧ → ≤<1 3 ; 3≤<2 3 ; 3≤<2 2 ; 2≤<1 2 ; 2≤<1 1 ; 1≤<0 1 ; 1≤<0 ; ≤<1 0 ; 0≤<1 ⟦⟧ 0 ⟧ ⇒⟦ 1 ; 1≤<2 1 ; 1≤<2 2 ; 2≤<3 2 ; 2≤<3 3 ; ⋮3≤<4 3 ; 3≤<4 ⋮
Analizando la función parte entera:
Graficando cada recta en su respectivo dominio.
ℝ 1,0
b)
16 16 4 422 4
Analizando la función signo:
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4>0 ∀ ∈ ℝ, 1 ; 2 2>0 ⟶ 2 2 0 ;1 ;2 2 20 ⟶ ±2 2<0 ⟶ 1 002 1 002>0 2 2>0 ⟶ 10021002<0 2 2<0 ⟶ Donde:
Analizando para:
Si: x=100
(v)
Si: x=100
(F)
Realizando la gráfica:
ℝ 1,0,1 PROBLEMA 7
Para f (x)=x3+ , calcular
SOLUCION
lim→ +−
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−− + + lim→
L= simplificando. L= L= L=
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, agrupando de manera adecuada, factorizando
lim→ +− + lim→ +−++++ −++ lim→ ++ ++ −−+−− 3 3
L=3
L=
PROBLEMA 8
Calcular
→ ⌊−+∗ ⌋
Solución
Evaluando el límite:
=
Para levantar la indeterminación procedemos a sumar y restar uno en el argumento del logaritmo luego agrupando de manera adecuada y utilizando propiedades de los logaritmos llevando a limites conocidos.
∗ +−
→ →0 →0 lim→ 3 ∗ ∗ − ∗∗ + ln 1
L=
C.V. p =
Si X
L=
lim→ ⌊−+∗ ⌋
; P
→lim1
l→im sin 1 l→im 1cos
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L= L=
ln∗3 ∗ ∴
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L=
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PROBLEMA 9 OBTATIVA: hallar el valor de A y B para que la función sea continua en R
si2n ; >2 2; ;2≤≤2 4 <2
Para que f(x) sea continua en los puntos de discontinuidad, debe existir el límite, es decir, los límites laterales en cada punto de discontinuidad deben ser iguales (LI=LD).
Puntos de discontinuidad de la función f(x):
2 2 ; LI, LD limite lateral izquierdo y derecho
2 − 2 21 2 →−lim 4 lim→− 22 221− 34 34 →−lim 2+ 2 ⟶ 2 2 →lim 2− 2 Para
Igualando:
……. (1)
Para:
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lim→ si2n ; : →2+;→0+ : 2 si n lim→ sin2 lim → ∗ ⟶ 2 Igualando:
……. (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones de 2x2
(1) + (2)
2 34 ⟶ 438 2 438 ⟶ 4316 ∴ : ℝ, 4316 438
En (2)
EXAMEN II/2016 PROBLEMA 1 Anotar un ejemplo de una función
impar, deducir
−
y calcular
∘−
Solución:
⇒ ⇒ ∘ ⇒− ⇒ √ ⇒√ − √
La función . Calculando
calculamos la inversa, despejando reemplazando por
PROBLEMA 2
ln 1ln21
Identificar el dominio y el rango (Conjunto de imágenes) para la función:
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Solución:
1>0 ∧ 21>0 ⟹ >1 ∧ > ⇒ ⇒:1, ∞ l+n +− ⟹ +− ⟹2 1 ⟹2 11 ⇒ −12 ≠0⇒≠2 :∀∈ℝ 2 Lim → −
Para calcular el dominio restringimos el logaritmo neperiano de un número negativo: .
intersectando tenemos
Para el rango despejamos la variable y . .
PROBLEMA 3
Analice si existe o no el limite
. Justifique su respuesta.
Solución:
+ ∞ llimim→ ⇒ ⇒lilmim→ −+−+ ⇒l⇒limim→ −+ − ∞ → → −− → −− ≠
Analizando los limites laterales: LLD =
LLI =
Como se observa que el LLD
LLI. El límite no existe.
PROBLEMA 4
3 9−− 3≠3
Anote un ejemplo de una función que presente discontinuidad evitable (removible) en
Solución: .-
=
PROBLEMA 5
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∘−+∘ − −+ − ∗ ⇒ 2 2⇒⇒ 2∗ 2 ⇒ 2 → − −√ − − + − ⇒−21⇒ ⇒ −− −− ⇒− −− ⇒ ⟹ 371⇒ − − − − − ∘− ∘−− ⇒− − ⟹ −2 −√ √ − √ ⇒ −− √ √ √ √ √ √ −− −−√ − ⇒ ∘− ∘ − √ − √ √ −− −−√ − 3 cos37 ∘− ∘− 7√ 3√ 77cos315√ cos315 √ 3cos37 Si se conocen
=
;
Deducir la expresión
reducida de
Solución: .-
para hallar la inversa despejamos x
.
Para
Despejando x .
Hallando Primero Ahora
Encontrando lo pedido
PROBLEMA 6 Construir la grafica de la función a)
⟦3 ⟧ ≤<1 Solución: .-
⟦⟧ |‖4| ≤ <1⇒ 3≤<3 b)
