Clases residuales.pdf

Cap´ıtulo 3 Congruencias 3.1. 3.1.

Clas Clases es resi residu dual ales es

En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en el a˜ no no 1801, Gauss introdujo el concepto de congruencia. Supongamos que a, b y m >   0 son n´ umeros enteros. Diremos que a y b son umeros congruentes m´ odulo odulo m si m  divide a a − b  y designaremos esta situaci´ on on mediante el s´ımbol ımb oloo a  ≡  b (m´od od m). La congruencia es una relaci´ on de equivalencia puesto que verifica las propieon dades reflexiva, reflexiva, sim´ sim´etrica etrica y transitiv transitiva. a. Esto nos permite agrupar a los enteros enteros en familias disjuntas de manera que dos n´ umeros son congruentes m´ umeros odulo odulo m  si y s´olo olo si est´an an en la misma. Estas familias se denominan clases residuales m´ odulo odulo m, y se designa por Zm  al conjunto formado por ellas. De la definici´on on anterior se deducen inmediatamente las siguientes propiedades. od od m) y  c  ≡  d (m´od od m), entonces  Proposici´ on on 3.1.1. Si  a  ≡  b (m´ i) a + b  + b  ≡  c +  c  + d  d (m´od od m). ii) ka  ≡  kb  k b (m´od od m)  para todo entero k  ∈  Z.  Z . iii) ac  ≡  bd (m´od od m). iv) an ≡  b n (m´od od m) od m)  para todo polinomio f  con v) f ( f (a)  ≡  f (  f (b) (m´od f  con coeficientes enteros. Los enteros 0, 0, 1, . . . , m  −  1 est´an an en clases residuales distintas. Como todo entero n   puede escribirse de manera unica u´nica de la forma n = mc + mc  + r  r con c   entero 1

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCI CONGRUENCIAS  AS 

2

y 0 ≤ r ≤ m  −   1, resulta que todo entero es congruente m´ odulo odulo m   con uno de los enteros 0, 0, 1, . . . , m  −   1. En particular existen exactamente m  clases residuales m´odulo odulo m  y cualquier conjunto de enteros incongruentes m´ odulo odulo m  constituyen un sistema residual completo. El conjunto Z conjunto Z m , m  ≥  2, dotado de las operaciones suma y producto emanadas de la proposici´on on anterior es un anillo conmutativo cuyo elemento neutro aditivo, clase 0, es 0 = (m (m) = mZ  m Z  y cuya unidad multiplicativa es 1 + (m (m). Proposici´ on on 3.1.2. Si  {a1, . . . , am }  es un sistema residual completo y  (k, m) = 1,

entonces el conjunto {ka 1 , . . . , k am }  tambi´en en es un sistema residual completo. Demostraci´  on. Si ka i ≡ ka j (m´od od m) entonces m | k(ai  −  a j ). Pero al ser k y m primos primo s entre s´ı, necesariam neces ariamente ente m | (ai  −  a j ). Es decir, los ka i  son incongruentes entr en tree s´ı m´odulo odulo m  y por lo tanto forman un sistema residual completo. De una manera an´ aloga podemos definir un sistema residual reducido como aloga todo conjunto de φ(m) residuos incongruentes m´ odulo odulo m, cada uno de ellos primo con m. De manera similar se demuestra la siguiente proposici´ on. on.  ( k, m) = 1,  { a1 , . . . , aφ(m) }  es un sistema residual reducido y  (k, Proposici´ on on 3.1.3. Si  { entonces el conjunto {ka 1 , . . . , k am }  tambi´en en es un sistema residual reducido reducido.. Se designa por Z∗m  al conjunto de las clases residuales primas con m. Es f´acil acil ver que constituyen un grupo multiplicativo de orden φ(m).

3.2. 3.2.

Cong Congru ruen enci cias as line lineal ales es

En esta secci´ on on intentaremos intentaremos resolver la ecuaci´ on en congruencias m´ as as sencilla de todas: la congruencia lineal. od od m)  tiene exactamente  Teorema 3.2.1. Si  (a, m) = 1, la congruencia  ax  ≡  b (m´ una soluci´  on m´  odulo m. Demostraci´  on.   Por la proposici´ on on 3.1.2, el conjunto {a, 2a , . . . , m a }  es un sistema residual completo. En particular uno y s´ olo uno de los residuos ser´ olo a congruente con b m´odulo odulo m. od od m) y  d  = (m, c), entonces  a  ≡  b (m´od od m/d) m/d). Lema 3.2.2. Si  ac  ≡  bc (m´ Demostraci´  on.   Como m | c(b − a), enton entonces ces (m/d) m/d) | (c/d)( c/d)(a a − b). Pero Pero como como (m/d, m/d, c/d c/d) = 1, entonces (m/d (m/d))  |  a − b.

3

3.2. CONGRUENCIAS LINEALES 

Teorema 3.2.3.  Supongamos que  (a, m) = d. Si  d   b  la congruencia 

ax  ≡  b

(m´od m)

no tiene soluciones, mientras que si  d  |  b  la congruencia tiene exactamente  d soluciones m´  odulo m que vienen dadas por  x1 , x1 + m1 , . . . , x1 + (d − 1)m1, donde  m 1 = m/d, a1  = a/d, b1 = b/d y  x 1  es la soluci´  on de la congruencia  a 1x  ≡  b 1 (m´od m1). Demostraci´  on.  Si la congruencia tiene alguna soluci´ on entonces, como d  |  a y  d  |  m, necesariamente d tiene que dividir a b. Cualquier soluci´ on x de ax ≡ b (m´od b) debe serlo tambi´en de a1 x ≡ b1 (m´od m1). Pero como (a1 , m1 ) = 1 la soluci´on x1  es u´nica m´odulo m1 . Sin embargo la clase residual m´odulo m1  a la que pertenece x1  consta de d clases residuales distintas m´odulo m: las clases a las que pertenecen los n´ umeros x1 , x1 +m1 , . . . , x1 +(d − 1)m1 . Por lo tanto la congruencia ax ≡ b (m´od m) tiene exactamente las d   soluciones descritas en el enunciado. El teorema anterior nos muestra cmo las congruencias lineales se reducen a resolver congruencias donde el m´ odulo y el coeficiente de la x son primos entre s´ı. La manera m´ as econ´ omica de resolver esta la congruencia ax ≡ b (m´od m) con (a, m) = 1 consiste en resolver primero la ecuaci´ on ax  ≡  1 (m´od m) utilizando el algoritmo de Euclides y multiplicar dicha soluci´on por b. Ejemplo:  Resolver

la ecuaci´on 51x  ≡  27 (m´od 123).

Observemos primero que (51, 123) = 3 y que 3 divide a 27. Luego esta congruencia tendr´ a exactamente 3 soluciones que ser´ an x1 , x1  + 41, x1  + 82 donde x1 es la soluci´on de la congruencia 17x ≡  9 (m´od 41). Para resolver esta congruencia resolvemos primero la congruencia 17x  ≡  1 (m´od 41) con el algoritmo de Euclides: 41 = 2 · 17 + 7 17 = 2 · 7 + 3 7 = 2·3+1 Yendo hacia atr´ a s tenemos que 1 = 7 − 2 · 3 = 7 − 2(17 − 2 · 7) = 5 · 7 − 2 · 17 = 5(41 − 2 · 17) − 2 · 17 = 5 · 41 − 12 · 17. Es decir, 17 · (−12)  ≡  1 (m´od 41) y por lo tanto 17 · (−12 · 9)  ≡  9 (m´od 41). Luego x1 ≡ −108 ≡   15 (m´o d 41), y las tres soluciones de la congruencia original son 15, 56 y 97.

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

4

od m). Teorema 3.2.4  (Euler-Fermat). Si  (a, m) = 1, entonces  aφ(m) ≡  1 (m´ Demostraci´  on. Sea r1, . . . , rφ(m)  un sistema residual reducido m´ odulo m. Entonces, por la proposici´on 3.1.3, ar1, · · · , arφ(m)   es tambi´ en un sistema residual reducido m´odulo m. Los productos de todos los elementos en cada sistema tienen que coincidir m´odulo m, r1 · · · rφ(m) ≡  a φ(m) r1 · · · rφ(m) (m´od m) y como r 1 · · · rφ(m)  es primo con m, podemos cancelarlo (ver lema 3.2.2) para obtener aφ(m) ≡  1 (m´od m). Teorema 3.2.5  (Fermat).  Para todo primo p y para todo entero a tal que  (a, p) = 1,

se verifica la congruencia  a p−1 ≡  1 (m´od p). Demostraci´  on.  Basta con observar que φ( p) = p − 1. El teorema de Euler-Fermat nos proporciona la soluci´ on expl´ıcita x = ba φ(m)−1 para la congruencia ax ≡  b (m´od m) cuando (a, m) = 1. 1739

En el ejemplo anterior tendr´ıamos que x1 ≡ 9 · 1739 (m´od 41). Para calcular (m´od 41) calculamos 0

172

≡   17 (m´od 41)

17

21

≡   2 (m´od 41)

17

22

≡   4 (m´od 41)

17

23

≡   16 (m´od 41)

17

24

≡   10 (m´od 41)

5

172

≡   18 (m´od 41)

y como 39 = 25 + 22 + 2 1 + 20 entonces 1739 ≡  18 · 4 · 2 · 17  ≡  29 (m´od 41). Luego x1 ≡  29 · 9  ≡  15 (m´od 41) y a partir de aqu´ı se procede como antes. Se advierte y se aconseja utilizar el algoritmo de Euclides para resolver las congruencias lineales por ser un m´etodo m´ as sencillo y eficiente que este que acabamos de ver.

3.3.

Congruencias polin´ omicas. Teorema de Lagrange

El estudio de congruencias polin´ omicas de grado superior resulta m´ as compli´ cado. Unicamente para las congruencias de grado 2 existe un m´etodo razonable (que se ver´a en el siguiente cap´ıtulo) para decidir cu´ ando tienen soluci´ on.

´  3.3. CONGRUENCIAS POLIN OMICAS. TEOREMA DE LAGRANGE 

5

Cuando el m´odulo es primo tenemos, sin embargo, el siguiente teorema. Teorema 3.3.1   (Lagrange).  Dado un primo p, sea  f (x) = c 0 + c1 x + · · · + cn xn un 

polinomio de grado n con coeficientes enteros tal que  p   c n . Entonces la congruencia  polin´  omica  f (x)  ≡  0 (m´od p) tiene, a lo m´  as, n soluciones. Demostraci´  on.  Vamos a proceder por inducci´on sobre el grado del polinomio. El caso n = 1 ha sido estudiado anteriormente. La congruencia c0  + c1x ≡ 0 (m´od p) tiene una soluci´on si (c1 , p) = 1. Hagamos la hip´otesis de que el teorema es cierto para n −1: si x1  es una soluci´ on n n n de c0 + · · · +cn x ≡  0 (m´od p), la ecuaci´ on c1 (x − x1 )+ · · · +cn (x − x1 )  ≡  0 (m´od p) debe ser verificada por cualquier otra soluci´ on. Es decir, existen enteros a2 , a3, . . . , an  tales que (x − x1 )(cn xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an )  ≡ 0

(m´od p)

debe ser satisfecha por todas las soluciones de nuestra ecuaci´ on. Como p es primo, las soluciones distintas de x1 deben serlo tambi´en de cn xn−1 + a2 xn−2 +  · · ·  + a n ≡   0 (m´od p) y, por hip´otesis de inducci´on, existen, a lo sumo, n − 1 soluciones de esta ecuaci´ on, lo cual completa la demostraci´ on del teorema de Lagrange. Corolario 3.3.2.  Si la congruencia 

cn xn + cn−1xn−1 + · · · + c0 ≡ 0

(m´od p)

tiene m´  as de  n  soluciones, entonces los coeficientes  c 0 , c1 , . . . , cn  deben ser m´  ultiplos  de  p. Demostraci´  on.  Supongamos que no es cierto y sea r el mayor entero tal que p   c r . La congruencia del corolario es equivalente a la congruencia cr xr +  · · ·  + c 0 ≡ 0 (m´od p), que tiene a lo m´as r  soluciones. La contradicci´ on surge porque estamos suponiendo que tiene por lo menos n + 1 soluciones. Teorema 3.3.3  (Wilson).

( p − 1)! + 1  ≡ 0

(m´od p).

Demostraci´  on.  Consideremos la congruencia (x − 1)(x − 2) · · · (x − ( p − 1)) − (x p−1 − 1)  ≡ 0

(m´od p).

El grado de esta congruencia es p − 2 y, sin embargo, tiene p − 1 soluciones por el teorema de Euler-Fermat. Por lo tanto, todos los coeficientes deben ser m´ ultiplos de  p y en particular el t´ermino independiente.

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

6

Observaci´ on: Toda congruencia de la forma

an xn + · · · + a0  ≡ 0

(m´od p)

es equivalente a una de grado menor o igual que p − 1. Para verlo basta con aplicar el teorema de Fermat x p ≡ x (m´od p).

3.4.

Congruencias simultaneas. Teorema Chino del resto

A continuaci´on vamos a cambiar de tercio y en vez de una sola congruencia vamos a considerar un sistema de ellas. umeros  m1 , . . . , mk  son primos entre s´ı, Teorema 3.4.1  (Chino del resto).  Si los n´  entonces el sistema 

  

x  ≡  b 1 x  ≡  b 2 ··· x  ≡  b k

(m´od m1 ) (m´od m2 ) (m´od mk )

tiene una unica ´  soluci´  on m´  odulo m = m 1 · · · mk  y ´esta viene dada por  x = M 1 M 1 b1 + · · · + M k M k bk , donde para todo j = 1, . . . , k, M  j = m/m j y  M  j  es el inverso de  M  j  mdulo m j . Demostraci´  on.  Es claro que x ≡ M  j M  j b j ≡ b j (m´od m j ) para todo j, ya que M i es un m´ ultiplo de m j   para i  =  j y M  j M  j ≡  1 (m´od m j ). Por otra parte, si x  es otra soluci´on del sistema entonces x ≡ x (m´od m j ) para todo j y, como los n´ umeros m1 , . . . , mk  son primos entre s´ı, resulta que x  ≡  x  (m´od m).

Veamos ahora una aplicaci´ on del teorema chino del resto para resolver congruencias polinmicas donde el m´ odulo es compuesto. umero de   j. El n´  Teorema 3.4.2. Sea  m = m1 · · · mk con  (mi , m j ) = 1  para  i = soluciones de la congruencia  an xn + · · · + a0 ≡ 0

(m´od m)

es el producto del nmero de soluciones de cada una de las congruencias  an xn + · · · + a0  ≡ 0

(m´od m) j , j = 1, . . . , k .

3.4. CONGRUENCIAS SIMULTANEAS. TEOREMA CHINO DEL RESTO 

7

Demostraci´  on.  En primer lugar es claro que cada soluci´ on de la congruencia mdulo m satisface cada una de las congruencias mdulo m j , j = 1, . . . , k. Por otro lado, si para cada k-upla (r1, . . . , rk ) donde r j   es una soluci´on de la congruencia an xn + · · · + a0 ≡  0 (m´od m) j y si x  es la soluci´on del sistema

  

x  ≡  r 1 ··· ··· x  ≡  r k

(m´od m1 )

(m´od mk )

dada por la proposici´ on anterior, entonces an xn + · · · + a0 ≡  a n r jn + · · · + a0  ≡ 0

(m´od m j )

para todo j y, por tanto, an xn + · · · + a0 ≡ 0

(m´od m1 · · · mk ).

El n´ umero de k-uplas (r1 , . . . , rk ) es precisamente el producto del n´ umero de soluciones de la congruencia an xn + · · · + a0 ≡  0 (m´od m) j  ara cada j = 1, . . . , k y cada una de ellas da lugar a una soluci´ on distinta de la congruencia original. Ejemplo:  Para

resolver x3 + 2x − 3 ≡  0 (m´od 45) escribimos el sistema



x3 + 2x − 3  ≡ 0 x3 + 2x − 3  ≡ 0

(m´od 5) (m´od 9)

.

La primera de estas ecuaciones tiene soluciones x = 1, 3, 4 m´odulo 5 y la segunda x = 1, 2, 6 m´odulo 9. Por lo tanto, la ecuaci´ on x3 + 2x − 3 ≡  0 (m´od 45) tiene 9 soluciones. Para encontrarlas teneos que resolver los 9 sistemas



x  ≡  a (m´od 5) x  ≡  b (m´od 9)

a = 1, 3, 4

b = 1, 2, 6.

Utilizando el Teorema Chino del resto se halla f´acilmente que las soluciones son x = 1, 6, 11, 19, 28, 29, 33, 34, 38 (m´od 45). Seg´ un lo visto hasta ahora, el problema de encontrar las soluciones de P (x) = a n xn + · · · + a0 ≡ 0

(m´od pα1 1 · · · pαr r )

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

8

queda reducido a estudiar congruencias de la forma P (x)  ≡  0 (m´od pα ), donde p  es un n´ umero primo. A continuaci´on vamos a presentar una estrategia que nos permite reducir dicho estudio al caso sencillo α  = 1. Si f (a)  ≡ 0

(m´od pα ),

0  ≤  a < pα ,

entonces f (a)  ≡  0 (m´od pα−1 ) y a ser´a de la forma a = qpα−1 + r con 0  ≤  r < pα−1 para alg´ un q , 0  ≤  q < p. Claramente f (a) ≡ f (r) ≡   0 (m´od pα−1 ) y decimos que r  ha sido generado por a. Es decir, cada soluci´ o n de f (x) ≡   0 (m´od pα ) genera otra de f (x) ≡ 0 (m´od pα−1 ). Pero precisamente estamos buscando el proceso contrario. Si f (r)  ≡  0 (m´od pα−1 ), ¿cu´ando existe un a  tal que f (a)  ≡  0 (m´od pα ) y que genere r? Cuando esto ocurra diremos que r puede subirse de pα−1 a pα . on de  Teorema 3.4.3. Sea α  ≥  2 y  r una soluci´  f (x)  ≡ 0

(m´od pα−1 ),

0  ≤  r < pα−1.

a) Si f  (r)   ´  de  pα−1 a  pα . ≡  0 (m´od p), entonces  r se sube de manera unica b) f  (r) ≡  0 (m´od p) b1 ) Si  f (r)  ≡  0 (m´od pα ), entonces  r  puede subirse de  p α−1 a  p α de  p formas  diferentes.

≡  0 (m´od pα ), entonces  r no puede subirse de  pα−1 a  pα . b2 ) Si  f (r)   Demostraci´  on. Si a genera r, a tiene que ser de la forma a = r + qp α−1 ,

0  ≤  r < pα−1 ,

0 ≤  q < p

y adem´as f (a)  ≡  0 (m´od pα ). Por lo f´ormula de Taylor en el punto r  tenemos f (r + qp

α−1

) = f (r) + qp

α−1



f  (r) + (qp

f  (r) ) + ··· 2

α−1 2

Observemos que todos los sumandos a partir del tercero son m´ ultiplos de p α . Luego 0  ≡  f (r + qp α−1 )  ≡  f (r) + qp α−1f  (r)

(m´od pα ).

3.5. RA´  ICES PRIMITIVAS 

9

Como f (r) = kpα−1 para alg´ un entero k, deberemos encontrar q   tal que k + qf  (r)  ≡ 0

(m´od p).

Si f  (r)   ´ nico y por tanto r puede subirse de ≡  0 (m´od p) dicho q   existe y es u manera u´nica. Si f  (r) ≡   0 (m´od p) y f (r) ≡   0 (m´od pα ) entonces p | k y k + qf  (r) ≡ 0 (m´od p) para todo q, 0  ≤  q < p. Es decir, r  se puede subir de p  maneras diferentes.

≡  0 (m´od pα ) entonces p   k y r no se puede subir Si f  (r)  ≡  0 (m´od p) y f (r)   porque no existe ning´ un q  tal que k + qf  (r)  ≡  0 (m´od p). Ejemplo.   Hallar

las soluciones de la congruencia x3 − x2 + 3x + 1 ≡ 0

(m´od 121). Como 121 = 112, primero buscamos las soluciones de la congruencia f (x) ≡  0 (m´od 11) donde f (x) = x3 −  x 2 + 3x  + 1. Se comprueba a mano que las nicas soluciones son r1 = 2 y r2   = 8. Veamos si estas soluciones se pueden subir de (m´o d 11) a (m´ od 121). Calculamos f  (x) = 3x2 − 2x + 3. Entonces f  (2) = 11 ≡  0 (m´od 11) y f  (8) = 179  ≡  3 (m´od 11). La solucin 8 (m´od 11) se puede subir de manera u ´nica y la soluci´on (m´od 11)  ser´a  a = 8 + 11q   donde q  es un entero tal que k + qf  (8)  ≡  0 (m´o d 11) y k  se define como k  = f (8)/11 = 473/11 = 43. Finalmente la congruencia 43 + 3q  ≡  0 (m´od 11) tiene como soluci´ on q  = 4. As´ı que a = 52 es la soluci´on (m´od 121) que se sube desde la soluci´ o n 8 (m´od 11). La solucin 2 (m´od 11) se puede subir de 11 maneras. La razn es que f (2) ≡ f  (2) ≡  0 (m´od 11). Siguiendo el teorema anterior, las 11 maneras corresponden a las soluciones a = 2 + 11q, 0  ≤  q < 11. 

Hemos demostrado que la congruencia original tiene 12 soluciones y las hemos calculado todass.

3.5.

Ra´ıces primitivas

Supomgamos que (a, m) = 1. El teorema de Euler nos asegura que aφ(m) ≡ 1 (m´od m), pero es posible que φ(m) no sea necesariamente el entero positivo m´ as peque˜ no x que verifica la ecuaci´on ax ≡  1 (m´od m). umeros primos entre s´ı, a y  m, llamaremos exponente  Definicion 3.5.1.  Dados dos n´  de  a m´  odulo m   al menor entero positivo e  tal que  ae ≡   1 (m´od m). Usaremos la  notaci´  on  e = expm (a).

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

10

Claramente si a ≡ b (m´od m) se verifica que expm (a) = expm (b). Esto nos permite considerar, indistintamente, exponentes de enteros o de clases residuales primas m´odulo m. umeros  a0 , a1, . . . ae−1 son inconTeorema 3.5.2. Si  e = expm (a)  entonces los n´  gruentes entre s´ı m´  odulo m. Adem´  as  ak ≡ a j (m´od m)   si y s´  olo si  k ≡ j (m´od e); en particular  ak ≡ 1 (m´od m) si y s´  olo si  k es divisible por  e. Demostraci´  on.   Sean k = c1 e + r 1, j = c2 e + r 2 , 0 ≤ r1 ≤ r2 < e  y supongamos k  j que a ≡ a (m´od m). Entonces ar1 ≡  a r2 (m´od m), lo que implica que ar2 −r1 ≡  1 (m´od m) y, por tanto, r1 = r 2  debido a la propia definici´ on del exponente e. Los n´ umeros expm (a) son, por tanto, divisores del n´umero φ(m). Puede darse el caso de que exista g de manera que expm (g) = φ(m). Es este un caso importante que recibe un nombre especial, se dice que g es una ra´ız primitiva m´odulo m. La existencia de una ra´ız primitiva g  es equivalente a que el grupo multiplicativo Z ∗m  sea c´ıclico y generado por las potencias de g. Por ejemplo g  = 3 es una ra´ız ´ primitiva mdulo 7: {31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 }  =  { 3, 2, 6, 4, 5, 1}. Sin embargo 2 no es ra´ız primitiva porque exp7 (2) = 3; es decir, 23 = 1. . A continuaci´on vamos a caracterizar los m´ odulos m para los que existen ra´ıces primitivas. odulo m  si y s´  olo si  m = 1, 2, 4, pk , 2 pk , Teorema 3.5.3.  Existen ra´ıces primitivas m´  donde  p designa a un n´  umero primo impar y  k  ≥  1. Demostraci´  on.  Veremos primero que si m es de la forma 1, 2, 4, pk o 2 pk con p primo impar, entonces Z∗m  es c´ıclico. Lo haremos en varios pasos: (1) Los casos m = 1, 2 son triviales. Z∗4 = {1, 3}   y es claro que 3 es una ra´ız primitiva. (2) Consideremos ahora Z p∗ con p primo impar. Sea f (d) = #{a  ∈  Z p∗ : expm (a) = d }, donde d es un divisor de φ( p) = p − 1. Es claro que d| p−1 f (d) = p − 1.





Por otro lado sabemos que d| p−1 φ(d) = p − 1. Si probamos la desigualdad f (d) ≤ φ(d) para todo d | p  −  1, las dos identidades anteriores fuerzan la igualdad f (d) = φ(d) para todo divisor de p  −  1. En particular f ( p  −  1) = φ( p − 1). Es decir, existen φ( p − 1) ra´ıces primitivas m´ odulo p.

3.5. RA´  ICES PRIMITIVAS 

11

Para completar el argumento s´ olo nos queda demostrar la desigualdad f (d)  ≤ φ(d): Dado d  |  p − 1, si f (d)   = 0 necesariamente existe un elemento a  ∈  Z p∗  tal que d = exp p (a) y, en particular, ad ≡  1 (m´od p). La congruencia xd ≡   1 (m´od p) admite, a lo m´as, d   soluciones m´odulo p y como la colecci´ on 1, a , . . . , ad−1 la satisface y son, adem´as, incongruentes entre s´ı m´odulo p, constituyen un conjunto completo de soluciones. S´olo nos queda contar cu´ antas de entre ellas tienen exponente igual a d. Es claro que si exp p (ak ) = d entonces (k, d) = 1 y, por tanto, su cardinal es a lo m´as φ(d) como quer´ıamos demostrar. (3) Sea g  una ra´ız primitiva m´odulo p. Es claro que g + tp   es tambi´en una ra´ız primitiva m´odulo p cualquiera que sea el entero t. Consideremos (g + tp) p−1 = g p−1 + ( p − 1)g p−2 tp + Ap2 = 1 + sp − g p−2 tp + Bp 2 = 1 + p(s − gp p−2 t) + Bp 2 , donde A, s, B  son enteros y g p−1 = 1 + sp. Podemos elegir el entero t   de manera que s  −  g p−2 t ≡    0 (m´od p), es decir,  p−1 ≡  0 (m´od p). (g + tp) = 1 + pu, u   Vamos a probar que, con dicha elecci´ on, g + tp  es una ra´ız primitiva m´ odulo k  p , para todo k  ≥  1. Supongamos que (g + tp)d ≡   1 (m´od pk ), siendo d   un divisor de φ( pk ) =  pk ( p − 1). Como gd ≡  1 (m´od p) y g es una ra´ız primitiva m´odulo p, d habr´a de ser un m´ultiplo de p − 1 y, por ser adem´as un divisor de pp k ( p − 1) podemos suponer que tiene la forma d = p l ( p − 1) para alg´ un l con 0  ≤  l  ≤  k − 1. Ahora bien, como l

l

(g + tp) p ( p−1) = (1 + up) p = 1 + vp l+1 para alg´ un v   ≡  0 (m´od p), necesariamente tiene que ocurrir que l = k − 1. (4) En el caso restante, m = 2 pk , p  primo impar, podemos proceder de la manera siguiente: Sea g  una ra´ız primitiva m´ odulo p k . Obviamente g + pk tambi´en lo es. Sea h el elemento impar del conjunto {g, g + pk }. Vamos a ver que h es ra´ız primitiva m´odulo 2 pk .

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

12 k

k

k

Como h φ(2 p ) ≡  h φ( p ) ≡  1 (m´od pk ) y obviamente h φ(2 p ) ≡  1 (m´od 2), entonk ces h φ(2 p ) ≡ 1 (m´od 2 pk ). Por otro lado, si d divide a φ(2 pk ) = φ( pk ) y es tal que hd ≡   1 (m´od 2 pk ), al ser h impar, tambi´en ser´a cierto que hd ≡  1 (m´od pk ) y por tanto g d ≡ 1 (m´od pk ). Pero como g es una ra´ız primitiva m´odulo pk entonces φ( pk )  |  d, lo que implica que d = φ(2 pk ). Luego h es una ra´ız primitiva. Para concluir la demostraci´ on del teorema tenemos que probar que Z∗m  no es c´ıclico si m no es uno de los enteros considerados en los casos anteriores. Lo haremos en dos pasos. (5) Caso m = 2k , k  ≥  3. Es una consecuencia de la observaci´ on siguiente: Si a   es un n´ umero impar, φ(2n ) entonces a 2 ≡  1 (m´od 2k ). Lo demostraremos por inducci´ o n en k. El caso k  = 3 se comprueba directaφ(23 ) mente. Observemos que 2 = 2 y que 12 ≡  3 2 ≡  5 2 ≡  7 2 ≡  1 (m´od 23 ). Supongamos el resultado cierto para k: a miembros al cuadrado obtenemos

φ(2k )

2

= 1 + 2k n. Elevando ambos

k

aφ(2 ) = 1 + (n + n2 2k−1 )2k+1 ≡ 1

(m´od 2k+1 ).

Basta, pues, observar que φ(2k ) = 2k−1 = 21 φ(2k+1 ). (6) En el caso general m = 2k pa11 · · · par r  , donde k ≥  2 si r = 1 y r ≥  2 si k = 0 o φ(m) k = 1, tambi´en demostraremos que si (a, m) = 1 entonces a 2 ≡  1 (m´od m). Sea g  una ra´ız primitiva m´ odulo p a11 , y sea n un entero positivo tal que g n ≡  a (m´od pa11 ). Tenemos que a

φ(m)

2

≡  g n

φ(m)

2

a1 1

≡  g φ( p1

a

r ) 2 nφ(2k )φ( p2 2 )···φ( pa r )

(m´od pa11 ).

Es claro que bajo nuestras hip´ otesis sobre el n´ umero m, podemos afirmar que a2 1 k ar el exponente 2 nφ(2 )φ( p2 ) · · · φ( pr  ) es un entero. En particular la congruencia anterior nos indica que a

φ(m)

2

≡ 1 (m´od pa11 ).

De manera an´ aloga podemos probar que a

φ(m)

2

≡ 1 (m´od pai i ),

i = 1, . . . , r .

´  3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA

13

Nos queda por probar que la congruencia anterior tambi´en se verifica para el m´odulo 2k . Si k  ≥  3 aplicamos la misma demostraci´ on del caso (5) para obtener que a Y como

φ(2k )

2

φ(2k )

es un divisor de

2

≡ 1 (m´od 2k ).

φ(m)

2

habr´ıamos acabado.

Si k ≤   2 tenemos que φ(m) = φ(2k )φ( pa11 ) · · · φ( par r ) = 2nφ(2k ) para alg´ un entero n. Por tanto, tambi´ en es cierto que a

φ(m)

2

k

= a nφ(2 ) ≡ 1

(m´od 2k ),

como quer´ıamos probar.

En el apartado (2) hemos observado que existen exactamente φ( p − 1) = φ(φ( p)) ra´ıces primitivas m´ odulo el primo impar p. Esto sigue siendo cierto para el caso general. Sea g una ra´ız primitiva m´ odulo m. Es claro que el conjunto

{g k : 1  ≤  k  ≤  φ(m), (k, φ(m)) = 1} consiste, precisamente, de todas las ra´ıces primitivas m´ odulo m. Por lo tanto, si m = 1, 2, 4, pk ´o 2 pk , p primo impar, existen exactamente φ(φ(m)) ra´ıces primitivas m´odulo m o, lo que es igual, el grupo c´ıclico Z∗m  tiene φ(φ(m)) generadores. Observemos tambi´ en que, fijada una ra´ız primitiva g m´odulo m, entonces φ(m)−1 {1, g , . . . , g }  es un sistema residual reducido m´odulo m. Por lo tanto, dado a, primo con m, podemos asignarle un u ´ nico n´ umero k, k k  ≤  φ(m) − 1 de manera que a  ≡  g (m´od m).

3.6.

0  ≤

Ley de reciprocidad cuadr´ atica

En el cap´ıtulo anterior hemos desarrollado con detalle la teor´ıa de las congruencias lineales ax + b  ≡  0 (m´od m). Ahora vamos a considerar las congruencias cuadr´aticas x2 ≡  a (m´od m). odulo m, representada por el  Definicion 3.6.1.  Dada una clase residual prima m´  entero a, diremos que es un residuo cuadr´  atico si la congruencia  x2 ≡ a (m´od m) tiene soluci´  on. En caso contrario diremos que a es un residuo no cuadr´  atico.

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

14

Es claro que el car´acter cuadr´ atico es independiente del representante elegido. En lo sucesivo mantendremos la ambig¨ uedad consistente en hablar de un entero particular como residuo cuadr´ atico o residuo no cuadr´ atico, en vez de mencionar a la clase residual que lo contiene. umero primo impar. Existen exactamente  p−1   resiProposici´ on 3.6.2. Sea p un n´  2 duos cuadr´  aticos y  p−1 residuos no cuadr´  aticos m´  odulo p. 2

Demostraci´  on.  Consideremos el siguiente sistema residual completo m´odulo p:



 p − 1  p − 1   , . . . , −1, 0, 1, . . . , − 2 2

Como (−k)2 = k 2 , existen, a lo m´as,

p−1

2



.

residuos cuadr´ aticos.

Por otro lado, la congruencia k 2 ≡  j 2 (m´od p), 1  ≤  k, j ≤ implica la igualdad k = j:

p−1

2

  , necesariamente

(k −  j)(k + j) ≡  0 (m´od p) implica que k  −  j ≡  0 (m´od p) o bien k + j ≡ 0 (m´od p), lo que junto con la relaci´ on 1  ≤  k, j ≤ p−1   nos da k = j. 2 Por lo tanto, los n´ umeros 12, 22, . . . ,  p.

 p−1 2

  2

son incongruentes entre s´ı m´ odulo

umero primo impar  p, el s´ımbolo de Legendre  Definicion 3.6.3.  Dado un n´  la funci´  on aritm´etica definida de la forma siguiente:

      a  p

=

0, +1, −1,

 a  p

es 

si  a  ≡ 0 (m´od p) si  a es un residuo cuadr´  atico si  a es un residuo no cuadr´  atico

umero impar. Tenemos que  Proposici´ on 3.6.4  (Criterio de Euler). Sea p un n´  n  p

≡  n

p−1

2

(m´od p),  para todo entero n.

Demostraci´  on. Si n ≡  0 (m´od p), entonces el resultado es inmediato. Supongamos que (n, p) = 1. El Teorema de Fermat nos dice que n p−1 ≡ 1 (m´od p). p−1

p−1

Es decir, (n 2 −  1)(n 2 + 1) ≡   0 (m´od p) y por lo tanto, una de las dos relaciones siguientes debe ser verificada: i) n

p−1

2

− 1  ≡  0 (m´od p).

´  3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA

ii) n Si

 n  p

p−1

2

15

+ 1  ≡  0 (m´od p).

= 1, la ecuaci´ on x 2 ≡  n (m´od p) tiene soluci´ on. En particular n

1 (m´od p): es decir, n verifica i): n

p−1

≡  1 =

2

p−1

 n  p

p−1

2

≡ x p−1 ≡

(m´od p).

Observemos que la ecuaci´ on x 2 ≡  1 (m´od p) tiene como soluciones los p−1 2 residuos cuadr´ aticos y que, por el teorema de Lagrange, no puede tener m´ as soluciones. Si

 n  p

= −1, entonces n no es un residuo cuadr´ atico y por tanto n

(m´od p). Necesariamente n

p−1

p−1

2

≡1

≡ −1 (m´od p).

2

on comCorolario 3.6.5.   El s´ımbolo de Legendre es, para cada primo p una funci´  pletamente multiplicativa. Demostraci´  on.

  mn  p

≡  (mn)

p−1

≡ m

2

p−1

2

n

p−1

2

   m  p

≡

n  p

(m´od p).

Pero como los valores que toma el s´ımbolo de Legendre son +1, 0, −1, necesariamente tenemos la igualdad

     mn  p

3.6.1.

m  p

=

C´ alculo de los s´ımbolos

n .  p

   −1  p

y

2

 p

umero impar. Tenemos que  Proposici´ on 3.6.6. Sea p un n´ 

  −1  p

= (−1)

p−1

2

=



+1, −1,

si  p  ≡ 1 si  p  ≡ 3

(m´od 4) (m´od 4).

Demostraci´  on.   Basta con aplicar el criterio de Euler y observar, como antes, que ambos miembros de la congruencia toman los valores +1 o −1 y, por tanto, la congruencia implica la igualdad. Proposici´ on 3.6.7.  Para todo primo impar  p tenemos la identidad:

 2  p

= (−1)

p2 −1

2

=



+1, −1,

si  p  ≡ ±1 si  p  ≡ ±3

(m´od 8) (m´od 8).

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

16 p−1

Demostraci´  on.  Consideremos las

2

   

≡  1( −1)1 ≡  2( −1)2 ≡  3( −1)3 ≡  4( −1)4

 p − 1 2  p − 3 4 ··· r

donde r es

p−1

2

o´ p −

p−1

2

congruencias siguientes:

≡

p−1

2

(−1)

(m´od (m´od (m´od (m´od p−1

2

p) p) p) p)

(m´od p)

  seg´ un el caso.

Multipliquemos estos sistemas de congruencias y observemos que cada entero situado en los miembros de la parte izquierda es necesariamente par. Resulta que: 2 · 4 · 6 · · · ( p − 1)  ≡

 

p−1  p − 1 !(−1)1+2+···+ 2 2

(m´od p).

Es decir, 2

p−1

2

   

p2 −1  p − 1  p − 1 !  ≡ !(−1) 8 2 2

(m´od p).

Podemos dividir por ( p−1   )! para obtener 2

 2  p

≡ 2

p−1

2

≡  ( −1)

p2 −1

(m´od p)

8

que, por la misma raz´on de la proposici´on anterior, implica la igualdad:

 2  p

3.6.2.

= (−1)

p2 −1

8

.

Ley de reciprocidad cuadr´ atica

La ley de reciprocidad cuadr´ atica fue descubierta por Euler en torno al a˜ no 1745. Gauss, a su vez, tambi´en la descubri´ o y produjo la primera demostraci´on completa en 1796, varios a˜ nos despu´es de sus Disquisitiones Arithmeticae . Hoy en d´ıa se conocen muchas demostraciones distintas. A continuaci´ on vamos a presentar una de las m´ as sencillas conceptualmente, que est´ a basada en el siguiente lema de Gauss.

´  3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA

17

Lema 3.6.8   (de Gauss). Sea  p un primo impar y  a un entero no divisible por ´el.

Dado x = 1, . . . , p−1   , sea  ax ≡ x ux (m´od p), donde  ux   es un entero del conjunto 2 p−1 {1, 2, . . . , 2 } y  x  =  ± 1. Entonces 

 a  p

=  1 · · ·  p−1 . 2

  , tanto el Demostraci´  on.   En primer lugar observemos que dado x, 1 ≤ x ≤ p−1 2 entero ux , 1 ≤ ux ≤ p−1 como el n´ umero x   est´ an un´ıvocamente determinados por 2 la relaci´on ax  ≡   x ux (m´od p). En efecto, si ax1 ≡ u (m´od p) y ax2 ≡ −u (m´od p), entonces a(x1 + x2 ) ≡ 0 (m´od p), lo que es imposible por ser 1  ≤  x 1 , x2 ≤ p−1 . 2 Multiplicando las congruencias para cada x, 1 ≤  x  ≤ a

p−1

2

 

 p − 1 1 · 2··· 2

Es decir a

p−1

2

≡   1 · · ·  p−1 1 · 2 · · · 2

≡   1 · · ·  p−1 2

p−1

2

   p − 1 2

  obtenemos (m´od p).

(m´od p).

Basta entonces con aplicar el criterio de Euler para concluir la demostraci´ o n del lema. atica).  Sean  p y  q  n´  umeros primos imTeorema 3.6.9  (Ley de reciprocidad cuadr´ pares distintos. Tenemos que 

    p q 

(p−1)(q−1) q  4 = (−1) .  p

Demostraci´  on.   Sean p = 2n + 1, q  = 2m + 1. Apliquemos el lema de Gauss para a = q  con respecto al conjunto {1, 2, . . . , n}, n = p−1 . 2 Tenemos, para cada x, 1  ≤  x  ≤  n, qx  ≡   x ux

(m´od p) con 1 ≤  u x ≤  n,

x ∈ {−1, +1}.

Es decir, qx =  x ux + py donde  x , ux , y est´an un´ıvocamente determinados por estas condiciones cuando x est´a dado. En particular x  toma el valor −1 si y s´olo si  py = qx + ux ,   con 1 ≤  u x ≤  n.

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

18 Ello implica que y > 0 y, adem´as, y  ≤

1 1 q  + 1 (qx + ux )  ≤ (q  + 1)n < = m + 1.  p  p 2

En otras palabras, x = −1 si y s´olo si podemos fijar un y  tal que la pareja (x, y) satisface las condiciones

 

1  ≤  x  ≤  n 1  ≤  y  ≤  m 1  ≤  py − qx  ≤  n.

Consiguientemente, si N  designa al n´ umero de tales parejas, el lema de Gauss nos dice que q  = (−1)N .  p An´alogamente  p = (−1)M , q 

 

donde M  es el n´ umero de parejas (x, y) que verifican

 

1  ≤  x  ≤  n 1  ≤  y ≤  m 1  ≤  qx − py  ≤  m.

Ahora como p y q   son primos entre s´ı y 1 ≤ x < p entonces qx −  py no puede ser nunca cero y podemos escribir

    p q 

q  = (−1)M +N ,  p

donde ahora M  + N  es el n´ umero de parejas que satisfacen las condiciones

 

1 ≤  x  ≤  n 1 ≤  y  ≤  m −n  ≤  qx − py ≤ m.

Sea S   el n´ umero de parejas (x, y) tales que

 

1  ≤  x  ≤  n 1  ≤  y  ≤  m qx − py <  − n.

´  3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA

19

Sea T  el n´ umero de parejas (x , y  ) que verifican

  

1 ≤  x  ≤  n 1 ≤  y  ≤ m qx  − py  > m.

Entre estos conjuntos existe una correspondencia biyectiva dada por x = n + 1 − x y  = m + 1 − y.

Por lo tanto S  = T . Por otro lado M +N +S + T  = mn, entonces (−1)M +N  = (−1)mn y el teorema queda demostrado.

3.6.3.

Ejemplos y aplicaciones

La ley de reciprocidad cuadr´ a tica es uno de los resultados m´as notables de la Teor´ıa de los N´ umeros: una relaci´ on sorprendente y a la vez sencilla entre las 2 propiedades de las congruencias x ≡ q  (m´od p) y x2 ≡ p (m´od q ). Es tambi´en pieza importante de otras teor´ıas aritm´eticas. a) La ley de reciprocidad cuadr´ atica nos permite calcular el valor de muchos casos.

 m  p

en

que queremos estudiar si la congruencia x2 ≡ 315 (m´od 65537) tiene soluci´ on, sabiendo de antemano que 65537 es rimo. Ejemplo:   Supongamos

Por supuesto podr´ıamos ir comprobando todos los restos m´ odulo 65537, pero la ley de reciprocidad cuadr´ atica nos proporciona un m´etodo mucho m´ as r´apido. Recordemos que el s´ımbolo de Legendre es una funci´ on multiplicativa. 32 5 7 = = 65537 65537 65537 4·65536 6·65536 7 65537 65537 = (−1) 4 (−1) 4 65537 5 7 2 3 = = (−1)(−1) = 1. 5 7

      315 65537

=

5 65537

32 · 5 · 7 65537

           

Es decir, la congruencia x2 ≡  315 (m´od 65537) tiene soluci´ on. De hecho tiene exactamente dos soluciones pero la Ley de reciprocidad cuadr´ atica no nos da una pauta para encontrarlas.

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

20

b) Otro ejemplo interesante de aplicaciones es el siguiente. Queremos saber para qu´e primos, la congruencia x2 ≡   3 (m´od p) tiene soluci´ o n. Es decir, para qu´e valores de p se tiene que  p3 = 1.

      3  p

Como

 p = 3

y

(−1)

p−1

2

=

=

+1 −1

+1 −1

p−1  p (−1) 2 . 3

si p  ≡ 1 (m´od 3) si p  ≡ −1 (m´od 3) si p  ≡ 1 (m´od 4) si p  ≡ −1 (m´od 4)

resulta que

  3  p

3.7.

=

+1 −1

si p  ≡ ±1 si p  ≡ ±5

(m´od 12) (m´od 12).

Ejercicios del cap´ıtulo 3

umero. Luego se ha escrito otro, permutando las cifras del  3.7.1.  Se ha escrito un n´  primero. La diferencia de los dos n´  umeros es   391738X   ¿Qu´e d´ıgito es la ultima ´  cifra  representada por  X ?  3.7.2. Sea S   un conjunto de  n enteros no necesariamente distintos. Demostrar que 

alg´  un subconjunto no vac´ıo de  S  posee una suma divisible por  n. 3.7.3.  Demostrar que 



n k=1

 k10k es m´  ultiplo de  3 si y s´  olo si  n   ≡  1 (m´od 3).

3.7.4.   Hallar el resto al dividir el n´  umero 999 998 997 . . . 003 002 001 000 entre 

13. umero n expresado en base  2 se escribe   10010100111010100011, Decir si  3.7.5.  El n´  es m´  ultiplo de  3. od n), 3.7.6.   Probar el rec´ıproco del teorema de Wilson: Si  (n  −  1)! + 1 ≡   0 (m´ entonces  n es primo. 3.7.7.  Demostrar que si  n + 2  es primo, n > 1, entonces  n2n + 1 no es primo.

3.7. EJERCICIOS DEL CAP ´  ITULO 3 

on  f (x, y) = 3.7.8.  Sea la funci´  y! + 1.

y−1

2

21

{|B 2 − 1| − (B 2 − 1)} + 2 donde  B = x(y +1)+

a) Demostrar que  f (x, y) es primo para todo x, y ∈ Z. b) Demostrar que para todo primo p   = 2, existen unos ´  unicos  x e  y  tales que  f (x, y) = p. 3.7.9.  Demostrar que para todo n  ≥  3, n

π(n) = 1 +



 j =3



( j  − 2)! ( j  − 2)! − j  j



.

3.7.10.   Sean   a,b,x0   enteros positivos, y sea  xn = axn−1 + b   para todo n ≥ 1.

Demostrar que  xn  no puede ser primo para todo n. o en un colegio que ten´ıa entre  150 y  300 colegiales. Ahora, 3.7.11.  D. Jos´e estudi´  aunque no recuerda el n´  umero de colegiales que eran, s´ı se queja de no haber podido practicar ni f´  utbol, ni baloncesto, ni balonmano porque, cuando en cada deporte se  intentaba organizar el colegio en equipos, siempre faltaba o sobraba uno. ¿Podr´ıas  recordar a D.Jos´e cu´  antos colegiales eran?  3.7.12.  Caracterizar los enteros  x que satisfacen simultaneamente las congruencias 

x  ≡  7 (m´od k), 2  ≤  k ≤  10. ¿Puede alguno de estos enteros ser un cuadrado?  od 98). 3.7.13.  Hallar todas las soluciones de la congruencia  x 3 +2x2 − x+6  ≡  0 (m´ od n) para todo a, (a, n) = 1, entonces  h  divide  3.7.14.  Demostrar que si  a h ≡  1 (m´ a  φ(n). 3.7.15.  Demostrar que el conjunto de puntos de coordenadas visibles desde el origen 

contiene cuadrados vac´ıos tan grandes como queramos. od 561) para todo a con (a, 561) = 1. 3.7.16.  Demostrar que  a560 ≡  1 (m´ ´  cifra de  13n! . 3.7.17.  Para cada entero positivo n encontrar la ultima 3.7.18.   Demostrar que existen infinitos enteros positivos que no son suma de tres 

cuadrados. umero de Fermat y  p  un primo. Demostrar que si  p  divide a  F n 3.7.19. Sea  F n  un n´  entonces  p = 2n+1 k + 1  para alg´  un entero k. 3.7.20.  Probar que todo entero satisface alguna de las congruencias 

x ≡  0 (m´od 2), x  ≡  3 (m´od 3), x  ≡  1 (m´od 4), x ≡  3 (m´od 8), x  ≡  7 (m´od 12), x  ≡  23 (m´od 24).

CAP ´  ITULO 3. CONGRUENCIAS 

22

odulo p y sea  A =  { a1 , . . . , a p−1}  el subconjunto 3.7.21. Sea  g  una ra´ız primitiva m´  de  Z ( p−1) p  donde cada  a i  se define como la ´  unica soluci´  on m´  odulo ( p − 1) p al sistema  i x  ≡  i (m´od p − 1), x  ≡  g (m´od p). Demostrar que  A tiene la propiedad de que todas las diferencias  ai − a j , i   =  j son distintas. Demostrar tambi´en que no puede haber un conjunto A con  p elementos  que tenga esta misma propiedad. 3.7.22.  Demostrar que existen infinitos primos de la forma  4n + 1.

on  x2 ≡  5 (m´od p) tiene solu3.7.23.   Hallar los primos  p para los cuales la ecuaci´  ci´  on. on necesaria y suficiente para que la progresi´  on aritm´etica  3.7.24.  a) Dar una condici´  an + b  tenga infinitos cuadrados. b) Utilizar el apartado anterior para estudiar la existencia de infinitos cuadrados en la progresi´  on  160 + 103n. on necesaria y suficiente, en funci´  on de  a, b y  c, para que  3.7.25.  Dar una condici´  la congruencia  ax2 + bx + c ≡  0 (m´od p) tenga soluci´  on. Aplicar esto ultimo ´  para  2 estudiar la existencia de soluciones de la congruencia  5x − 13x + 8  ≡  0 (m´od 37). on la congruencia  5x2 − 3.7.26.   Caracterizar los primos para los que tiene soluci´  3x + 1  ≡  0 (m´od p). 3.7.27. Demostrar que para todo polinomio Q(x) = ax 2 +bx+c, no constante, existen 

infinitos primos p para los que la congruencia  Q(x)  ≡  0 (m´od p) tiene soluci´  on. aticos positivos y me3.7.28.  Demostrar que el producto de todos los residuos cuadr´  nores que  p es congruente con  (−1)

p+1

2

(m´od p).

od 101) tiene una unica ´  solu3.7.29.  Demostrar que la congruencia  x5 ≡ 300x (m´ ci´  on. ultiplo 3.7.30.  Demostrar que la suma de tres cuadrados consecutivos no puede ser m´  de  19. un  3.7.31.   Demostrar que si  (x, y) = 1   entonces  x2 + y 2 no es divisible por ning´  primo p  ≡  3 (m´od 4). olo si  3.7.32.  Demostrar que  n puede escribirse como suma de dos cuadrados si y s´  en su factorizaci´  on en n´  umeros primos, ν 

n = 2

 pj ≡1

todos los  β k  son pares.



αj  j

 p

(m´ od 4)

qk ≡3



(m´ o d 4)

q kβk

3.7. EJERCICIOS DEL CAP ´  ITULO 3 

23

od ps ) con  p  primo impar, s ≥ 1, 3.7.33.   Consid´erese la congruencia  x2 ≡ pt b (m´ (b, p) = 1. Probar que  a) si  t  ≥  s, la congruencia tiene soluci´  on. b) si  t < s, la congruencia tiene soluci´  on si y s´  olo si  t  es par y b es un residuo cuadr´  atico m´  odulo p. 3.7.34.  Probar que 

     p x=1

x  p

x+1  p

=  − 1 si  p es cualquier primo impar.