2011 Investigación de Operaciones II
Laura Orellana
Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Departamento de Operaciones y Sistemas
Contenido
Teoría de líneas de espera (Teoría de colas) ........................................................................................... 1 Elementos de un modelo de colas ........................................................................................................ 1 Notación Kendall-Lee ............................................................................................................................ 3 Modelo de procesos de llegada ............................................................................................................ 3 Modelo de procesos de servicio ........................................................................................................... 7 Modelo generalizado de Cola de Poisson ........................................................................................... 8 Medidas de desempeño en estado estacionario ............................................................................... 11 Sistema de líneas de espera MM1GD∞∞ .......................................................................................... 12 Sistema de líneas de espera MM1GDK∞ .......................................................................................... 15 Sistema de líneas de espera MMCGD∞∞ .......................................................................................... 17 Sistema de líneas de espera MMCGDK∞ .......................................................................................... 19 Modelo de autoservicio MM∞GD∞∞ ............................................................................................ 19 Sistema de líneas de espera MMRGDKK , R ≤ K (Modelo de reparación de máquinas) ........... 21 Sistema de líneas de espera no Poissonianos ................................................................................... 22 Modelo MG1GD∞∞ (Distribución de servicio general) .............................................................. 22 Líneas de espera exponenciales en serie ........................................................................................... 24 Redes de colas ....................................................................................................................................... 26 Parámetros de una red de colas.................................... .................. .................................... ................................... ................................... ............................. ........... 26 Redes de Jackson .............................................................................................................................. 26
Teoría de líneas de espera (Teorí
de colas)
Nace a principios de 1900 por A. K Er ang en su estudio en una compañía de teléfonos. a teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. En los modelos de colas se busca determinar los indicadores de desempeño del sistema en estudio y también señalar la cantidad promedio de espera q e ocurrirá en diversas circunstancias. Los modelos de línea de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más eficaz. Proporcionar demasiada capacidad de servicio (cajeros en un banco) implica costos excesivos; pero si no se cuenta con suficiente capacidad e servicio surgen esperas excesivas la idea es enco trar un balance entre el costo de servicio y la cantidad de espera. ¿Por qué?
Las filas se forman por un desequilibrio temporal entre la demanda de un servicio y la apacidad del sistema para suministrarlo. (Krajewski, Ritzman y Malhotra) Elementos d e un m odelo de colas
Población
Llegadas de la población
Cola
Instalación de servicio
… Llegadas al sistema
Dentro del sistema
1
Salida del sistema
Población • Fuente de entrada: consiste en la población de la cual se originan los clientes que se estudiaran en el sistema.
La fuente puede ser finita o infinita. Si el número potencial de nuevos clientes para el sistema resulta afectado notablemente por el número de clientes que ya se encuentran en el sistema, se dice que esa fuente de insumos es finita. Llegadas de la población • El comportamiento de los clientes: los clientes pueden ser pacientes o impacientes, los clientes impacientes
•
suelen “evitar” (no entrar al sistema), “cambiarse” de una cola a otra o “renunciar” (salir del sistema sin ser atendido). Tiempo entre llegadas: es el proceso de llegada de los clientes al sistema.
Cola • Cola: es el lugar en el cual los clientes esperan ser atendidos en el sistema.
•
La cola puede ser finita (# de maquinas esperando ser reparadas en un taller) ó infinita (# de cartas esperando ser entregadas en el correo). Disciplina de la cola: se refiere al orden con el cual los clientes son seleccionados de la cola para recibir servicio. Entre las más importantes se encuentran: FIFO (First In First Out) LIFO (Last In First Out) SIRO (Service In Random Order) Por prioridades o o o o
Servicio • Mecanismo de servicio: consiste en una ó más estaciones de servicio (fases), cada una de ellas con uno o más
canales de servicio paralelos, llamados “servidores”.
2
•
Tiempo de servicio: es el proceso de servicio que se presta a los clientes. Ambos tiempos pueden ser probabilísticos, como la llegada de clientes a un banco, ó determinanticos como el tiempo disponible para la solución de un parcial.
Notación Kendall- Lee
Kendall en 1951 diseño la notación siguiente para representar sistemas de líneas de espera: A/B/C:D/E/F A: Naturaleza de los tiempos de proceso de llegada. B: Naturaleza de los tiempos de servicio. C: Cantidad de servidores en paralelo. D: Disciplina de la línea de espera. E: Máximo número de clientes en el sistema. F: Tamaño de la fuente. Modelo de pr ocesos de ll egada
Supondremos que la mayor parte de llegadas de clientes a un sistema ocurrirán en un instante dado. Definamos ti como el tiempo en el cual llega el i-ésimo cliente.
Para i ≥ 1, definimos Ti = ti+1 – ti como el i-ésimo tiempo entre llegadas. Por lo tanto T1=8-3=5 y T2=15-8=7. Al modelar el proceso de llegadas, supondremos que las Ti son variables continuas, aleatorias e independientes descritas por las variable aleatoria A. La suposición de independencia significa que el valor de T2 no afecta a otra Ti, la suposición de que cada tiempo entre llegadas está regido por la misma variable aleatoria, implica que la distribución de llegadas es independiente del momento del día o del día de la semana. Esta es la suposición de los tiempos estacionarios entre llegadas. Debido a fenómenos como las horas pico, esta suposición es a menudo irreal. Pero si se divide el día en tres segmentos: un segmento de horas pico por la mañana, un segmento a mediodía y otro por la noche, se puede decir que cada uno de estos segmentos es estacionario. Por último, la suposición de que cada Ti es continua, es por lo regular una buena aproximación de la realidad. Por ejemplo, el tiempo entre llegadas no necesariamente es de 1 o 2 minutos, puede ser 1.784 minutos. Si suponemos que la variable aleatoria A tiene una función de densidad f(t), para ∆t pequeños se puede decir que:
∆∆
Como el tiempo no puede ser negativo, se puede decir que: y
3
El tiempo promedio de una variable aleatoria es:
En la mayor parte de aplicaciones de líneas de espera, un aspecto importante es cómo obtener A de tal manera que refleje la realidad y siga siendo manejable desde el punto de vista matemático. La elección más común es la distribución exponencial. Distribución Exponencial
f(t) disminuye con La distribución exponencial con parámetro λ tiene una función de densidad rapidez para t pequeñas. Esto significa que son improbables los tiempos entre llegadas muy grandes. Para saber el tiempo medio entre llegadas de A se calcula:
1
Por tanto podemos definir a el tiempo medio o promedio entre llegadas y λ será la tasa de llegadas promedio, en unidades de llegada por unidad de tiempo.
Papel de la distribución exponencial Se tienen una serie de propiedades que hacen de la distribución exponencial una función idónea para teoría de colas. Entre las más importantes se tienen: Propiedad 1. Falta o carencia de memoria Esta propiedad se establece como: cumple con esta propiedad.
∆ | ∆ . Ninguna otra función de densidad
Pero qué significa? Suponga que nos advierten que no ha habido llegada alguna en las últimas t horas (es decir A ≥ t) y nos preguntan ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas durante las siguientes ∆t horas? (es decir ). Entonces por la falta de memoria se concluye que esta probabilidad no depende del valor de t y para todos . los valores de t esta probabilidad es
∆
∆ 1
Propiedad 2. Relación entre la Distribución Poisson y la Distribución Exponencial Esta propiedad está relacionada con la distribución de probabilidad del número de veces que ocurre este evento en un periodo dado. Sea N(t) el numero de ocurrencias en el tiempo t (t ≥ 0), donde el tiempo 0 es el instante en el que comienza la cuenta, la propiedad dice que:
! , para n=0, 1, 2,… 4
Es decir N(t) tiene una distribución Poisson con parámetro λt. Por ejemplo, para n=0
0
Que es exactamente la probabilidad que se obtuvo a partir de la distribución exponencial para que ocurra el primer evento después de un tiempo t.
La media de la distribución Poisson es: de manera que el número esperado de eventos por unidad de tiempo es λ. Por lo tanto se dice que λ es la tasa media a la que ocurren los eventos. Esta propiedad es útil para describir el comportamiento probabilístico de las llegadas cuando los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial con parámetro λ y en consecuencia, las llegadas ocurren de acuerdo a un proceso de entradas Poisson con parámetro λ. Algunas veces se dice que las llegadas ocurren “aleatoriamente”, lo que significa que suceden de acuerdo con un proceso de entradas Poisson. Distribución Erlang
Si los tiempos entre llegadas no parecen ser exponenciales, entonces se modelan con frecuencia, con la distribución Erlang. Esta es una función que se especifica con dos parámetros: un parámetro de proporcionalidad “R” y un parámetro de forma “K” (entero positivo). La distribución Erlang se define como:
Integrando por partes se obtiene
1! 0
Se puede analizar el caso para el cual k varia, la distribución Erlang toma diversas formas.
Si y k=1 la distribución Erlang es similar es una distribución Exponencial, a medida que k aumenta, la Si
distribución Erlang se comporta mas como una distribución normal. Para valores extremadamente grandes de k, la distribución se aproxima a una variable aleatoria con varianza cero (tiempo constante entre llegadas). Ejemplos 1) El tiempo entre llegadas en una dependencia de la Oficina Estatal es exponencial, con valor medio de 0.05 hora. La oficina abre a las 8:00 A.M. a) Escriba la distribución exponencial que describa el tiempo entre llegadas.
5
0.05
Dado que el tiempo promedio entre llegadas de los clientes es
La distribución exponencial que describe el tiempo entre llegadas tiene un parámetro 20 y se ´puede definir de la siguiente manera
20 b) Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta las 8:15 A.M. La probabilidad de que no llegue cliente a la oficina en los próximos 15 minutos es igual a la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor a ¼ de hora, así:
0.25 10.25 . 0.25 1 20 11 . 0.25 Esta probabilidad también se puede calcular a partir de la distribución Poisson como la probabilidad de n = 0.
0.25 0 200.250! 0.25 0
.
c) Son las 8:35 A.M. El último cliente entró a las 8:26. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M.? ¿Y de que no llegue hasta las 8:40 A.M.? La probabilidad de que llegue antes de las 8:38 es independiente de la hora a la cual llego el anterior por la “carencia de memoria”, así que la probabilidad buscada es igual a la probabilidad de un tiempo entre llegada menor o igual a 3 minutos (de 8:35 a 8:38)
.
0.05 20 1 O que existe al menos una ocurrencia en los próximos 3 minutos
0.05 1 10. 05 0 . 0.05 1 1 200.050! 1 La probabilidad de que no llegue hasta las 8:40, es la probabilidad de un tiempo entre llegada mayor a 10 minutos (0.167 hora) o la probabilidad de ningún cliente en ese tiempo.
0.167 0 200.1670!
.
6
.
d) ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 8:10 y las 8:45 A.M.? La cantidad promedio de clientes por unidad de tiempo es λ, por tanto para un periodo de 35 minutos en promedio se esperan
20
0.58 11.6
2) Se sabe que el tiempo entre fallas de un refrigerador es exponencial, con una media de 9000 horas (más o menos 1 año de funcionamiento), y la empresa otorga una garantía de 1 año con el refrigerador. ¿Cuáles son las probabilidades de que la garantía cubra una reparación por descompostura? Dado que el tiempo entre fallas tiene un promedio de
9000
Se busca la probabilidad de una ocurrencia en un periodo de tiempo de 9000 horas o que el tiempo entre llegadas supere este tiempo.
1 9000 9000 0 9000 0!
O su equivalente
1 11 9000 1 9000 Modelo de pr ocesos de servicio
Suponga que los tiempos de servicio de clientes distintos son variables aleatorias independientes, y que cada tiempo de servicio está regido por una variable aleatoria S cuya función de densidad es S(t). Calculando el tiempo de servicio medio de un cliente.
1
Las unidades de la variable es el tiempo de servicio promedio por cliente, de modo que las unidades de son clientes por unidad de tiempo. Por esta razón a se le llama tasa de servicio. Observe que si los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial servicio medio de un cliente será .
7
, entonces el tiempo de
Modelo g eneraliz ado de Cola de Poisson
El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema ha estado funcionando durante un tiempo suficientemente largo. En donde se suponen que las frecuencias tanto de llegada como de salida dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio. Se define lo siguiente: n = cantidad de clientes en el sistema λn = frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema n = frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema Pn = probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema El modelo generalizado define a pn como función de λn y n. Las probabilidades se calculan usando el diagrama de frecuencias de transición La distribución exponencial se basa en la hipótesis que durante un tiempo suficientemente pequeño h > 0, puede presentarse cuando mucho una llegada.
Bajo estas condiciones tenemos que:
Al igualar las dos frecuencias se obtiene la siguiente ecuación de balance:
Las ecuaciones de balance se resuelven recursivamente en función de p0 como sigue: Para n = 0
Para n = 1 Sustituyendo para P1
8
Y se puede demostrar por inducción que, en general:
……, 1, 2,… El valor de P0 se determina con
∑ 1
Ejemplo
Usted está realizando un análisis sobre la industria de elaboración de zapatos de vestir para niños, en el municipio de Jicalapa en La Libertad. La tasa (por año) a la cual las zapaterías ingresan a la industria está dada por p, que es igual al precio de reparación de un par de zapatos en dólares, y se define con la función p = Max (0, 2 – 0.5F), donde F = cantidad de zapaterías en Jicalapa. Durante un año determinado, la probabilidad de que una zapatería fracase es 1/(1+p). Genere un modelo de nacimiento muerte de esta situación. a) Estime el promedio de zapaterías en Jicalapa en el estado estable. Sea:
0,20.5 1 1 Calculando los valores de λ y en el estado estable: Estado
λ
0
2
1
1.5
2/5
2
1
½
3
0.5
2/3
4
0
1
µ
Planteando el diagrama de transición
A partir de ahí podemos plantear las probabilidades de estado estable: 9
0.24
0.241.0.55 0.241.0.550.167 0.241.0.550.1670.15 5 1.5 2.25 1.125 1 0.092 0.092 0.46 0.138 0.207 0.103 Para determinar el número promedio de zapaterías en estado estable procedemos a calcular un promedio ponderado: n
Pn
nPn
0 1 2 3 4
0.092 0.46 0.138 0.207 0.103
0 0.46 0.276 0.621 0.412 1.76 ≈ 2
b) ¿En qué fracción de tiempo habrá más de 2 zapaterías?
2 0.31 En una fracción de tiempo del 31% habrá más de 2 zapaterías.
10
Medidas de desempeño en estado estacionario
Ls = cantidad esperada de clientes en el sistema Lq = cantidad esperada de clientes en cola Ws = tiempo esperado de espera en el sistema Wq = tiempo esperado de espera en cola = cantidad esperada de servidores ocupados
Formula de Little
La tasa efectiva es igual a la nominal cuando todos los clientes que llegan se unen al sistema, es decir cuando no existe cantidad finita admisible en el sistema.
1
11
Sistema de líneas de espera MM1GD∞
Para analizar las propiedades de este sistema de cola, utilizaremos los siguientes parámetros:
1, 2,…
1,2,… Se sabe que:
, ,…, 1
Entonces definimos a tenemos:
como la intensidad de tráfico del sistema de líneas de espera, sustituyendo 1 en 2
1 1 Para que la serie 1 converja, se debe de cumplir que 0 1. Entonces:
1 1 1 1 0 1 1 0 1
Para Pn será:
Como
y 1 entonces se debe cumplir que para que haya un estado estable. Es fácil ver porque.
A partir de la ecuación 4 se deducen las medidas de desempeño de la siguiente forma: Cantidad esperada de clientes en el sistema (L s )
1 1 Observe que:
Si obtenemos: Al restar Por lo tanto:
2 3
2 3 1 12
1 1 1 ó Cantidad esperada de clientes en cola (L q )
Interesa conocer la cantidad esperada de personas en la cola. Observe que si están presentes 0 ó 1 cliente en el sistema, entonces nadie está en la cola, pero si n personas están presentes (n≥1) habrá n-1 en la línea de espera. Si estamos en estado estable.
1 1 1 Los tiempos esperados de espera en el sistema y en cola se pueden deducir utilizando las formulas de Little. Se puede determinar la distribución del tiempo de espera en el sistema ω, bajo los supuestos de que una disciplina FIFO, definiendo:
y
... Como el tiempo de espera de un cliente dado que hay n clientes en el sistema. Se sabe que An+1 tiene una distribución Erlang. Entonces se puede deducir que
Se puede concluir entonces que ω tiene una distribución exponencial con parámetro
1
Utilizando un análisis similar se puede deducir que:
Donde ωq es igual al tiempo de espera en cola. Ejemplo La tienda de abarrotes Elías tiene una caja de salida con un cajero de tiempo completo los clientes llegan al azar con una tasa media de 30 por hora. La distribución del tiempo de servicio es exponencial con media de 1.5 minutos. Esta situación causa una cola larga ocasional esta situación causa una cola larga ocasional y quejas de los clientes. Como no hay lugar para otra caja, el gerente piensa en contratar a otra persona que ayude a empacar los víveres y reduzca el tiempo esperado de servicio a un minuto, todavía con distribución exponencial.
13
El gerente quiere que el porcentaje de tiempo que hay más de 2 clientes en la caja fuera menor a 25% a) Use las formulas del modelo MM1 para calcular Ls, Ws, Lq, Wq, P0, P1 y P2 de la operación actual. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 clientes en la caja?
30 3 4030 1 0.1 1 4030 30 0.075 404030 300.075 2.75
110.750.25 1 0.750. 25 0.1888 1 0.75 0.25 0.141 2 1 0.42 Existe un 42% de probabilidad de que haya más de 2 clientes b) Repita el literal anterior para la alternativa de ayuda.
30 1 6030 1 1 0.033 6030 30 0.0167 606030 300.0167 0.5 110.50.5 1 0.50. 5 0.25 1 0.5 0.5 0.125 2 1 0.125 Existe un 12.5% de probabilidad de que haya más de 2 clientes
14
Sist ema d e líneas de esp era MM1GDK∞
1, 2,…1
0 1,2,…,
Existirá el estado estable incluso cuando λ ≥ , porque el sistema rechazara cuando se encuentre lleno.
1 1 1 0,1,2,…, En caso de que
, se puede calcular la cantidad esperada de clientes en el sistema como: 1 1 11
Ejemplos 1) Los pacientes llegan al consultorio de un doctor siguiendo una distribución de Poisson, con la frecuencia de 20 pacientes por hora. La sala de espera no tiene lugar más que para 14 pacientes. El tiempo de consulta por paciente es exponencial, con promedio de 8 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no espere un paciente que llega? Sea: K = 15
20 7.5 2.667 Un paciente no espera siempre que no haya cliente, por tanto
12.67 1 1 12.67 2.510
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega encuentre un asiento vacío en la sala? La probabilidad de que haya un asiento vacio es la probabilidad de 14 clientes en el sistema
15
1 2.672.67 1 1 12.67 0.23 c) ¿Cuál es el tiempo total esperado que pasa un paciente en el consultorio? 2) Las probabilidades pn de que haya n clientes en un sistema MM1:GD5∞ se ven en la tabla siguiente: n pn
0 0.399
1 0.249
2 0.156
3 0.097
4 0.061
5 0.03
La frecuencia de llegada λ es 5 clientes por hora. La rapidez del servicio es 8 clientes por hora. Calcule lo siguiente: a) La probabilidad de que un cliente que llega pueda entrar al sistema. Un cliente que llega podrá entrar al sistema siempre que haya menos de 5 clientes,
1 0.97
Existe un 97% de probabilidad de que un cliente que llega pueda entrar al sistema. b) La frecuencia con la que los clientes que llegan no pueden entrar al sistema. La tasa de llegadas perdidas = c)
50.03 0.15 /
La cantidad esperada en el sistema. Dado que
, se puede calcular la cantidad esperada de clientes en el sistema como: 11 11 58 15158 558 1 58158
16
Sistema d e líneas de espera MMCGD∞
Supondremos que solo existe una cola de clientes que esperan ser atendidos en uno de los servidores en paralelo. Si hay j ≤ c clientes, entonces los j clientes están en servicio, si j ≥ c clientes están en presentes, entonces c servidores están ocupados y j – c clientes están haciendo cola. Si se modela como un proceso de nacimiento muerte, el proceso será:
1, 2,…
1,2,… 1,2,… Se define a , siempre que ρ < 1. Sustituyendo en la P , se obtienen las probabilidades de estado estable: ∑ 1 ! !1 ! 1,2,…, ! ,1,… Se puede demostrar que la probabilidad de estado estable de que todos los servidores estén ocupados está dada n
por:
!1 Y la cantidad esperada de clientes en el sistema y de clientes en cola se define de la siguiente forma: 1 Ejercicios 1) La compañía People's Software acaba de abrir un centro de asistencia técnica por teléfono para su nuevo software. Dos técnicos toman las llamadas, y el tiempo requerido para responder a las preguntas del cliente tiene distribución exponencial con media de 8 minutos. Las llamadas llegan según un proceso Poisson con tasa media llamadas se ponen en espera hasta que esté disponible una línea. de 10 por hora. Se espera que el año próximo la tasa media de llamadas disminuya a 5 por hora, por lo que el plan es reducir el número de técnicos a uno. a) Suponga que µ seguirá en 7.5 llamadas por hora el siguiente año, y determine Ls, Lq, Ws y Wq de ambos sistemas (actual y en un año). Para cada medida de desempeño, ¿qué sistema da el menor valor? 2) Imagine un banco con dos cajeros. Un promedio de 80 clientes por hora llega al banco, y esperan en una sola cola que se desocupe algún cajero. El tiempo promedio que se requiere para atender a un cliente es 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales.
17
Determine. a) Número esperado de clientes presentes en el banco. b) Tiempo esperado que un cliente pasa en el banco. c) Fracción de tiempo que un cajero en particular está desocupado.
18
Sistema de líneas de espera MMCGDK∞
1, 2,…1
0 1,2,… 1,2,…
Ejercicio Eat & Gas es una gasolinera con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabida cuando mucho a cinco automóviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegan cuando el carril está lleno van a otra parte. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llenar y pagar las compras es exponencial, con 6 minutos de promedio. Determine lo siguiente: a) El porcentaje de automóviles que llenaran el tanque en otro lado. b) El porcentaje de tiempo en el que se usa la bomba. c) La utilización porcentual de las dos bombas. d) La probabilidad de que un automóvil que llegue no reciba servicio de inmediato, si no que se forme en la cola. e) La capacidad del carril que asegure que, en promedio no haya más del 10% de los vehículos que llegan se vayan a otra parte. f) La capacidad del carril que asegure que, en promedio, la probabilidad de que las dos bombas estén inactivas sea 0.05 o menos. M od el o d e au t o ser v i ci o M M ∞ GD ∞
1,2,… 1,2,… Asi: Entonces:
El resultado es:
! 11 1 2! !
Que es Poisson con promedio Ls=ρ. Como es de esperar Lq = Wq = 0 porque es modelo de autoservicio.
19
Ejercicio A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los exámenes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. Los registros de la ciudad de Springdale indican que la cantidad promedio de exámenes escritos es de 100 por día de 8 horas. El tiempo necesario para contestar el examen es de 30 minutos, más o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantes y el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. Determine lo siguiente: a) La cantidad promedio de asientos que debe tener el departamento de policía en el salón de exámenes. b) La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes. c) La probabilidad de que en un día no se haga examen alguno.
20
Sist ema de lín eas de espera MMRGDKK , R ≤ K (Modelo d e reparación de máq ui nas)
Es un modelo de origen finito, el cual consiste en tener K máquinas y R personas que las repararán. El tiempo en que una máquina permanece en buenas condiciones sigue una distribución exponencial con tasa λ. Siempre que una máquina se descompone, se envía a un centro de reparación que consta de R personas. Para un modelo de K=5 y R=2: Estado = numero de maquinas en malas condiciones 4λ
5λ 1
0
μ
3λ 2
2μ
2λ 3
2μ
λ 4
2μ
5
2μ
1, 2,…,
1, 2,…, 0,1,…,
Se definirá a: Ls = cantidad esperada de maquinas descompuestas Lq = cantidad esperada de maquinas que esperan servicio Ws = tiempo esperado que una maquina pasa descompuesta Wq = tiempo esperado que una maquina pasa esperando servicio Ejercicio Después de esperar mucho, el matrimonio Newborn fue recompensado con quíntuples (quintillizos), dos niños y tres niñas, gracias a las maravillas del progreso de la medicina. Durante los cinco primeros meses, la vida de los bebes transcurría en dos estados: despiertos (llorando, principalmente) dormidos. Según los Newborn las actividades “despierto-dormido” de los bebes nunca coinciden. En lugar de ello, el panorama parece ser totalmente aleatorio. De hecho la señora Newborn que es experta en estadística cree que el tiempo que llora cada bebe es exponencial con 30 minutos de promedio. El tiempo durante el cual duerme cada bebe también es exponencial, con una media de 2 horas. Determine: a) La cantidad promedio de bebes despiertos en cualquier momento. b) La probabilidad de que todos los bebes estén dormidos. c) La probabilidad de que los Newborn estén atareados porque haya más bebes despiertos (y llorando) que dormidos.
21
Sist ema de lín eas de espera no P issonianos
M od el o MG1 GD ∞ ∞ (D i st r i b u ci n de servicio general) Fo r m u l a d e Po l l a z e ck - K h i n t c h i n
En este modelo las llegadas se comportan de acuerdo a una distribución exponencial con parámetro y los tiempos de servicio poseen una media y varianza . Si
se puede demostrar q e:
Ejemplo El señor Smith tiene su propia empre a que está en el negocio de pintar casas, teniendo una demanda de 10 trabajos cada mes; los trabajos según una distribución de Poisson, además los clientes suelen esperar lo que sea necesario dado que el Sr. Smith garantiza sus trabajos. Las dimensiones de los trabajos suelen oscilar (uniformente) entre 200 y 350 metros uadrados de superficie por pintar. El equipo de trabajo del Sr. Smith es capaz de pintar 100 metros cuadrados or día. Encuentre lo siguiente: a) El número de trabajos que se tie en pendientes b) El tiempo que usted debe espera para que el Sr. Smith pinte su casa Modelo M/G/1:FIFO/N/∞
Datos explícitos del problema:
Datos implícitos del problema: Haciendo la conversión de metros cua rados a días, duración del trabajo:
22
1 í 3.5 í 350 · 100 í 2.75 í ó 2 3.5 2 1 2.75 í 0.36364 /í 3.5 2 12 0.1875 í
Literal a)
Dando solución a partir de la información anterior y aplicando las fórmulas pertinentes:
21 , 1 1 3 í 2.75 í 0.1875 í2 1 2 3 í · 2.75 í · 5.65278 1 2 21 3 í ·2.75 í 1 3 5.65278 0.36364
4.73612
Literal b)
3612 14.2084 í 4.71/3
23
Líneas de espera expon enciales en serie
Los modelos anteriores son muy útiles al analizar sistemas de líneas de espera con un servicio único o en paralelo, como se muestra en la figura.
Para el estudio de sistemas de líneas de espera en serie o de k etapas, como se muestra en la figura, en donde un cliente después de completar el servicio en la etapa 1, continúa el servicio en la etapa 2 y así sucesivamente hasta que se completa el servicio en la etapa k.
Se puede establecer que: 1) Los tiempos de llegadas para un sistema de líneas de espera en serie son exponenciales con tasa λ, 2) Los tiempos de servicio por cada servidor de la etapa i son exponenciales y 3) Cada etapa tiene una sala de espera de capacidad infinita, Entonces los tiempos entre llegadas para las llegadas a cada etapa del sistema de líneas de espera son exponenciales con tasa λ. Para que este resultado sea valido es sumamente necesario que cada etapa tenga capacidad infinita o en su defecto λ< c j j. Dicho resultado implica que cada etapa puede analizarse como un sistema MMCGD∞∞. La probabilidad conjunta de n1 clientes en la instalación 1, n2 clientes en la instalación 2, etc., es, entonces, el producto de las probabilidades individuales obtenidas a partir de las ecuaciones del modelo MMC. Esta probabilidad conjunta se puede expresar así:
,,… ,,… … } Solución en forma de producto 24
Ejercicio Considere un sistema de colas infinitas en serie, donde cada instalación de servicio tiene un servidor. Todos los tiempos de servicio son independientes y tienen distribución exponencial con media de 3 minutos en la instalación 1 y de 4 minutos en la instalación 2. La instalación 1 tiene entradas Poisson con tasa media de 10 por hora. a. Encuentre la distribución de estado estable del número de clientes en la instalación 1 y después en la 2. Muestre la forma de solución de producto de la distribución conjunta del número en las respectivas instalaciones. b. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos servidores estén desocupados? c. Encuentre el número total esperado de clientes en el sistema y el tiempo total de espera esperado total de un cliente.
25
Redes d e colas Parámetr os de una red de colas • • • • • •
La fuente exterior se llama a los clientes que no vienen de otra cola de la red. Cada instalación i tiene Ci servidores. Los clientes llegan a la instalación con tasa λi. La instalación i da servicio según una tasa µi. La probabilidad de ir del nodo i al nodo j está dada por pij. La probabilidad qi es la de salir del sistema desde el nodo i.
Redes de Jackson
Una red de Jackson es un sistema de m instalaciones de servicio en donde la instalación i (i = 1, 2,...,m) tiene: 1. Una cola infinita 2. Clientes que llegan de afuera del sistema según un proceso de entrada Poisson con parámetro ai 3. Ci servidores con distribución exponencial de tiempos de servicio con parámetro µi. Un cliente que deja la instalación i se encamina después a la instalación j (j= 1, 2,…,m) con probabilidad pij o sale del sistema con probabilidad
1
Cualquier red de este tipo tendrá la siguiente propiedad. En condiciones de estado estable, cada instalación j (j = 1, 2, . . ., m) de una red de Jackson se comporta como si fuera un sistema de colas MMC independiente con tasa de llegadas
Donde
Redes abiertas o cerradas? Si qi ≠ 0 y ai ≠ 0, la red se dice que es abierta. Si qi = 0 y ai = 0, la red se dice que es cerrada.
Ejemplo: 1. Considere dos servidores. Un promedio de ocho clientes por hora llega desde fuera al servidor 1 y un promedio de 17 clientes por hora llega desde fuera al servidor 2. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. El servidor 1 es capaz de atender a una tasa exponencial de 20 clientes por hora, y el servidor 2 atiende a una tasa exponencial de 30 clientes por hora. Después de completar el servicio en el servidor 1, la mitad de los clientes sale del sistema, y la mitad se dirige al servidor 2. Después de finalizar el servicio en el servidor 2, ¾ de los clientes completan sus trámites y 1/4 regresa al servidor 1.
26
a. ¿Qué fracción del tiempo el servidor 1 está desocupado? Ésta es una red abierta de líneas de espera con a1 = 8 clientes/hora y a2 = 17 clientes/hora. Asimismo, p12 = 0.5, p21 = 0.25 y p11 = p22 = 0. Podemos determinar λl y λ2 al resolver λl = 8 + 0.25λ2 y λ2 = 17 + 0.5λ1. Así se llega a λl = 14 clientes/hora y λ2 = 24 clientes/hora. Se podría tratar al servidor 1 como un sistema MM1 con λ = 14 clientes/hora y µ = 20 clientes/hora. Entonces, p0 = 1 — ρ = 1 — 0.7 = 0.3. Por lo tanto, el servidor 1 está desocupado 30% del tiempo. b. Determine el número esperado de clientes en cada servidor. . 2.33 y para el servidor 2 . 4 Para el servidor 1 . .
c. Encuentre el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. . Para el servidor 1 0.167 y para el servidor 2 0.166 por tanto en promedio un cliente pasa en el sistema 0.33 h d. ¿Qué tanto cambiarían las respuestas de (1) a (3) si el servidor 2 pudiera atender sólo un promedio de 20 clientes por hora? En este caso, C2µ2 = 20 < λ2, de modo que no existe estado estable. Ejercicios 1. Considere un sistema de colas que consta de tres estaciones en serie. Cada estación consisten en un solo servidor, el cual puede procesar un promedio de 20 trabajos por hora (los tiempos de proceso e n cada estación son exponenciales). Un promedio de 10 trabajos por hora (los tiempos entre llegadas son exponenciales) llega a la estación 1. Cuando un trabajo completa el servicio en la estación 2, hay .1 de probabilidad de que regresará a la estación 1 y .9 de probabilidad de que pasará a la estación 3. Cuando un trabajo completa su servicio en la estación 3 hay .2 de probabilidad de que regresará a la estación 2 y .8 de que dejará el sistema. Todos los trabajos que completan su servicio en la estación 1 pasan inmediatamente a la estación 2. e. Encuentre la fracción de tiempo en que el servidor está ocupado. f. Estime la cantidad esperada de trabajos en el sistema. g. Estime el tiempo promedio que un trabajo pasa en el sistema. 2. En promedio llegan 10 trabajos por hora a un taller. Los tiempos entre llegadas de los trabajos son exponenciales. Se requiere un tiempo promedio de 10/3 minutos (bajo distribución exponencial) para finalizar un trabajo. Un tercio de tódos los trabajos terminados requieren, infortunadamente, ser retrabajados. Por lo tanto, hay una probabilidad de 1/3 de que un trabajo terminado debe esperar en la cola para ser traba jado de nuevo. En el estado estable, ¿cuántos trabajos esperaría uno encontrar en el taller? ¿Cuál sería la respuesta si un trabajo se termina, en promedio, en cinco minutos?
27
