Semana 1.- EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS, AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD Problema 1
Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos uno a uno y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos. a) Defina el árbol de probabilidades que corresponde corresponde a este experimento b) Determine el espacio muestral que corresponde a este experimento aleatorio Problema 2.- Una caja contiene 8 focos de luz eléctrica, 3 de los cuales son defectuosos.
De la caja se selecciona al azar un foco y se prueba, repitiéndose la operación hasta que aparezca un defectuoso. Construya el espacio muestral. Problema 3.- En un puesto de revistas ubicado en una plaza pública se recibe todos los
días 30 ejemplares de un diario. En un cierto cierto día, no se sabe cuántos va a vender. Defina Defina el espacio muestral y defina (indicando su composición) cada uno de los siguientes eventos: a) Se venden por lo menos 8 diarios. b) Se venden a lo más 8 diarios. c) Se venden exactamente 8 diarios. Problema 4
Supongamos que se lanzan dos dados de modo que cada uno de los 36 posibles resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, y se definen los eventos: A = Primer dado muestra la cara igual igual a 5 B = La suma de las caras mostradas por los dos dados es igual a 8 C = La suma de las caras mostradas por los dos dados es igual a 7 a) Construir el espacio muestral y dar la composición de cada uno de los eventos definidos. b) ¿Cuál de los dos eventos, B o C, tiene mayor probabilidad de ocurrencia? Problema 5
El 30% de los habitantes de la ciudad de Trujillo sintoniza el noticiero de televisión de la mañana; el 40% ve el noticiero de la noche y el 10% sintoniza ambos noticieros. Se escoge al azar una persona de esta ciudad; halle la probabilidad de que: a) Vea el noticiero de la mañana ó de la noche. b) No presencie ninguno ninguno de los dos. c) Presencie sólo el de la mañana o sólo el de la noche. Problema 6
Dados los eventos A y B definidos en el mismo espacio de probabilidad, para los cuales se sabe: P (A) = 0.2, P (B c)= 0.4 y P ( A C B C ) 0.3 . Calcular las siguientes probabilidades:
a) P ( A B )
b) P ( A B )
c) P ( A B C )
d) P ( A C B )
Problema 7
Dos vendedores trabajan en una librería. La probabilidad de que el vendedor más viejo llegue tarde cierto día es 0.20, de que el vendedor más joven llegue tarde cierto día es 0.15 y que ambos lleguen tarde es 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Cuando menos un vendedor llegue tarde al trabajo cierto día. b) Sólo un vendedor llegue tarde cierto día. Problema 8
En una industria se considera tres tipos de defectos A, B y C. La probabilidad de que un producto tenga el defecto C es 0.19, que tenga el defecto B es 0.28, que tenga el defecto A y B es 0.14, que tenga los defectos B y C pero no A es igual a 0.05, que tenga los defectos A y C pero no B es igual a 0.01, que tenga el defecto A pero no C es igual a 0.12 y que tengan los defectos A, B y C es 0.06. Si se selecciona un producto al azar cual es la probabilidad de: a) Tenga el defecto A b) No tenga ningún defecto. c) Tenga el defecto A o C pero no el defecto B. Problema 9
En una industria se considera tres tipos de errores A, B y C. La probabilidad de que un producto tenga el error A es 0.19, que tenga el error B es 0.28, que tenga el error C y B es 0.14, que tenga los errores B y A pero no C es igual a 0.05, que tenga los errores A y C pero no B es igual a 0.01, que tenga el errores C pero no A es igual a 0.12 y que tengan los errores A, B y C es 0.06. Si se selecciona un producto al azar cual es la probabilidad de: a) Presente el error C b) Presente al menos un error c) Presente el error el error B o C Problema 10
Para realizar el control de calidad se eligen en forma independiente 200 artículos producidos y se encuentra que 10 artículos tienen falla tipo A; 10 tienen falla tipo B; 12 tiene falla tipo C; 2 tienen fallas tipo A y B pero no C; 3 tienen fallas A y C pero no B; 5 tienen fallan B y C pero no A y un artículo tiene las 3 fallas. Cuál es la probabilidad que un artículo producido en un día cualquiera a) No tenga falla tipo A b) Tenga falla tipo A ó B c) Tenga falla tipo A pero no tipo C d) Sólo tenga dos tipos de fallas Problema 11
Dado un espacio muestral Ω se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son: P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2. a) ¿Pueden ser los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?
b) En caso de que su respuesta en (a) sea negativa, si la P(A) sigue siendo 2/3 ¿Cuánto debe ser la P(B) como máximo para que A y B sean mutuamente excluyentes? 1 c) Suponiendo que P ( A C B C ) , calcule P ( A B) . 6 d) Suponiendo que A B , calcule P ( A B) .
Semana 2.- PROBABILIDAD CONDICIONAL - EVENTOS INDEPENDIENTES Problema 1
Si P(A)=P(B)=0.3 y P(AB)=0.2, calcule P(AC/BC).
Rpta. 6/7 = 0.8571
Problema 2
De los resultados de una investigación de mercados, se pudo determinar que el 50% de los consumidores, prefiere leche entera, 37% consume leche evaporada y 30% consume leche en polvo. Asimismo, que 7% sólo consume leche entera y evaporada, el 8% sólo consume leche entera y en polvo, 5% sólo consume leche evaporada y en polvo y el 5% consume las tres leches. ¿Cuál será la probabilidad de que a) una persona consuma leche entera o evaporada, más no leche en polvo. b) una persona consuma al menos dos tipos de leche. c) La persona consuma las tres leches si se sabe que consume leche en polvo. Problema 3
Según ENAHO (Encuesta Nacional de Hogares) la siguiente tabla presenta la distribución de algunos hogares de acuerdo a su distrito de procedencia y si esto influye con el hecho de tener los servicios de Internet y cable. Cercado de Lima Con Sin Internet Internet Con cable Sin cable.
42 56
35 50
Santiago de Surco Con Sin Internet Internet
75 12
60 10
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un hogar al azar, tenga cable y no tenga Internet? b) Si se elige un hogar y tiene cable, ¿Cuál es la probabilidad de elegir un hogar que tenga internet? c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un hogar que no tenga cable o pertenezca al cercado de Lima? Problema 4
Mensualmente la oficina de la Bolsa de Valores estudia tres grupos de industrias: Química, Minera y de Alimentos. Se reporta que el 29% de las empresas pertenecen a la industria Química, el 22% a la Minería, y el 44% a la industria de Alimentos y el 28% no se dedica a ninguna de estas actividades. Además el 3% de las empresas se dedican sólo a la industria Química y minera; el 23% no se dedica ni a la industria Química ni a la de Alimentos y el 8% se dedica sólo a la industria Minera y de Alimentos. Por último, el 20% sólo se dedica a la industria Química. Calcular la probabilidad de que al elegir una empresa al azar: a) Se dedique al rubro de la industria Química ó Minera pero no de Alimentos. b) Si se dedica a la industria de Alimentos, determine la probabilidad de que también lo haga en los otros 2 rubros en estudio.
Problema 5.- En un determinado hotel, se sabe que la probabilidad de satisfacer las
exigencias de un cliente es 0.901, la de que un cliente vuelva al hotel es 0.91 y la probabilidad de satisfacer al cliente si éste ha vuelto al hotel, es de 0.99. Se pide: a) La probabilidad de que habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel. b) La probabilidad de que no habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel. Problema 6.- Las estaciones de Enterprice-Service venden gasolinas de 84, 90 y
95 octanos. Además el cliente de esta cadena de grifos puede elegir si a la gasolina que compra se le agrega aditivos para mejorarla. El siguiente cuadro resume los resultados de una muestra representativa de 1050 clientes de acuerdo a sus preferencias. 84 octanos (A) Gasolina con aditivos(CA) Gasolina sin aditivos (SA) Total
Octanaje de gasolina 90 octanos 95 octanos (B) (C)
62 158 220
115 425 540
55 235 290
Total
232 818 1050
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de una estación de servicios seleccionado al azar, compre gasolina de 84 octanos o gasolina sin aditivos? b) Si a la salida de la estación, al azar se selecciona un cliente y se le consulta sobre el tipo de gasolina comprada y responde que ha sido de 84 octanos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido gasolina con aditivos? c) Si a la salida de la estación, al azar se selecciona un cliente y se le consulta sobre el tipo de gasolina comprada y responde que no ha sido de 84 octanos . ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina sin aditivos? Problema 7.- Se tira un par de dados hasta que aparezca un 4 ó un 7 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba. Se quiere calcular la probabilidad de que se obtenga 4 antes de 7. Problema 8.- Usted y un amigo se turnan para lanzar un dado hasta que uno de ustedes
gana al obtener un tres o un cuatro. Supongamos que su amigo lanza primero, calcular la probabilidad de que usted gane el juego. Problema 9.- Los empleados de una gran agencia de viajes se encuentran separados en
tres divisiones: Administración, Promoción y Ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Administración (A) Promoción (P) Ventas (V)
Mujer (M)
Hombre (H)
20 60 100
30 140 50
Si se elige aleatoriamente un empleado: a) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en Ventas b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de Administración?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la división de Promoción, si es mujer?.
d) ¿Son independientes los sucesos V y H (V: Un empleado pertenezca al área de ventas y H: Un empleado de sexo Masculino)? Problema 10.- Tres jugadores de baloncesto, tienen las probabilidades de encestar: 0.2,
0.3 y 0.5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos puedan encestar y el otro no? Problema 11.- Una empresa de venta por correo considera tres posibles errores al
enviarse un pedido: A = el artículo enviado no es el solicitado B = el artículo se extravía C = el artículo sufre desperfectos en el transporte Suponga que el suceso A es independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P(A) = 0.02, P(B)=0.01y P(C)=0.04. Calcule la probabilidad de que al menos uno de estos errores ocurra en un pedido escogido al azar. R. 0.069 Problema 12.- En un Hotel el sistema de aire acondicionado esta formado por 3 componentes que funcionan de forma independiente A, B y C, la probabilidad de que falle A es 0.01, la probabilidad de que falle B es 0.02 y la probabilidad de que falle C es 0.01. Para que funcione el sistema del aire acondicionado se requiere que el componente A este funcionando y al menos uno de los otros 2 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de aire acondicionado funcione? Problema 13.- Para la señalización de un aeropuerto se han instalado 2 indicadores que
funcionan independientemente. Cuando hay una avería en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad 0.95 y el indicador B con probabilidad 0.9. Calcule la probabilidad de que: a) Durante una avería se accione solo un indicador. b) Durante una avería se accione a lo más un indicador. Problema 14.- Un sistema consiste de cuatro componentes que funcionan en forma independiente A, B, C1 y C2. La probabilidad de falla para A es 0.01, para B 0.02 y para C1 y C2 0.1. Para el funcionamiento del sistema se requieren los componentes A y B funcionando y por lo menos uno de los C. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?. Problema 15.- Un sistema de información tiene 4 equipos informáticos que proveen
información. Dichos equipos informáticos A, B, C y D actúan de manera independiente. La probabilidad de que el equipo A envíe una información falsa (falla el equipo A) es 0.01; para B 0.02; para C y para D 0.1. Para el funcionamiento óptimo del sistema de información se requieren los equipos A y B no fallen y por lo menos uno de los otros (C ó D) tampoco fallen. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no funcione óptimamente? Problema 16.- Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es
mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales, si la probabilidad de que una persona compre una póliza después de una visita es igual a 0,25 y si el conjunto de visitas constituye un conjunto de ensayos independientes. ¿Cuántos compradores potenciales deben visitar el vendedor para que la probabilidad de vender al menos una póliza sea de 0,8?
Problema 17.- En cierta gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular sin
plomo, 35% usan gasolina extra sin plomo y 25% gasolina premium sin plomo. De los clientes que consumen gasolina regular, sólo 30% llenan sus tanques. De los que compran gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto quienes llevan gasolina premium, 50% llenan sus tanques. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene su tanque? b) Si el siguiente cliente llena su tanque. ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? c) Si el siguiente cliente llena su tanque. ¿Cuál es la probabilidad de que no pida gasolina extra? Problema 18.- Antes de lanzar un producto al mercado, una compañía hace un estudio
de mercado, posteriormente emite un informe favorable ó d esfavorable. En el pasado 3 de cada 4 nuevos productos lanzados al mercado recibieron un informe favorable, además el porcentaje de los productos que resultaron lucrativos en el mercado dado que recibieron informe favorable es de 90%, asimismo el porcentaje de los productos que resultaron lucrativos en el mercado dado que no recibieron informe favorable es de 12%. Si la compañía está próxima a lanzar un nuevo producto: a) ¿Cuál es la probabilidad de que resulte lucrativo?. b) Si luego de su lanzamiento se conoció que el producto resultó lucrativo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido un informe desfavorable?. Problema 19.- La compañía Peugeot se ha presentado a una licitación automotriz. La
probabilidad de que Peugeot gane la licitación es 0.8 si no se presenta la firma Fiat, mientras que sólo 0.1 si se presenta. Sabiendo que hay una probabilidad de 0.6 de que Fiat se presente. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad que Peugeot no gane la licitación? b) Si Peugeot gana la licitación, ¿Cuál es la probabilidad que se haya presentado Fiat? Problema 20.- En una fábrica hay 3 máquinas que hacen calcetines. La producción en un día es la siguiente: Maquinas Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
N° unidades producidas por máquina 200 350 450
% producción defectuosa en cada máquina 3 5 2
Del total de la producción de un día se saca un calcetín al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (R=0.0325) b) Si un calcetín resulta sin fallas, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina B? (R=0.3437) Problema 21.- En una empresa de transportes hay tres tipos de servicios: bus
cama; presidencial y normal. El 30% de las veces la gente viaja en bus cama, el 50% en normal y el resto en presidencial. La probabilidad de que un cliente quede insatisfecho cuando viaja en servicio normal es 5%, la probabilidad de que un cliente viaje en el servicio presidencial y quede insatisfecho es 0.056.
Se sabe además que la probabilidad de que un cliente quede insatisfecho cuando usa el servicio de bus cama es 7%?. Si se elige un cliente al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que quede satisfecho? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el servicio presidencial, si se sabe que quedó insatisfecho? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el servicio en bus cama si se sabe que quedó satisfecho? Problema 22
La probabilidad que un accidente aéreo, el cual es debido a fallas estructurales, sea diagnosticado correctamente es de 0.85. La probabilidad de que un accidente aéreo, el cual es debido a fallas no estructurales, sea diagnosticado como debido a fallas estructurales es 0.2. Si el 30% de los accidentes aéreos son debidos a fallas no estructurales, calcular la probabilidad de que un accidente aéreo haya sido debido a fallas estructurales, si fue diagnosticado como debido a fallas estructurales. Problema 23
Una pieza de repuesto puede ser producida por una cualquiera de tres máquinas. La máquina A necesita 3 minutos para terminar una pieza y produce el 1% de desechos, la máquina B necesita 1 minuto y 12 segundos para terminar una pieza y produce el 4% de desechos, la máquina C termina una pieza en 2 minutos y produce 5% de desechos. De la producción de un cierto día se escoge al azar una pieza y resulta ser buena. Calcular la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A o la máquina B. Problema 24
Según los resultados de una empresa que realiza sondeo de opinión, en la ciudad de Arequipa, el 47% de la población es considerada como de bajos ingresos, el porcentaje de la población que se opone a la regionalización dado que son de ingresos bajos es 38%; el 33% de la población es clasificada como de ingresos medios, el porcentaje de la población que se opone a la regionalización dado que son de ingresos medios es 32% y del restante porcentaje, considerado como de ingresos altos, el porcentaje de la población que se opone a la regionalización dado que son de ingresos altos es 68%. a) Si se elige al azar una persona de esta población, determine la probabilidad de que no se oponga al proyecto de regionalización. b) Suponga ahora que la persona elegida se opone a la regionalización, ¿Qué tan probable es que la persona pertenezca al grupo de ingresos bajos? c) El 40% de personas de ingresos altos y que se oponen a la regionalización, son jóvenes menores de 22 años. ¿Cuál es la probabilidad de que al ser elegida la persona sea de ingresos altos, se oponga a la regionalización y sea mayor de 22 años?
Semana 4.- VARIABLES ALEATORIAS. VALOR ESPERADO Y VARIANZA Problema 1.- Se convoca a una prueba de selección, que tiene como objetivo cubrir una gerencia del banco “Bank”. Se presenta 12 postulantes de los cuales 8 son peruanos y 4
extranjeros. Suponga que se seleccionan al azar 3 candidatos de entre todos ellos para concederles las entrevistas finales. Determinar la tabla de distribución de probabilidades y el valor esperado de la variable aleatoria X: número de candidatos peruanos entre los 3 finalistas. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos 2 candidatos peruanos entre los finalistas? b) Calcule e Interprete el “Valor esperado” y “Desviación Estándar” de la variable definida en (a). Problema 2.- Se venden 500 boletos de una rifa que consiste de un premio de $200, 4 premios de $50 y 10 premios de $5. Si cada boleto cuesta $1, y si usted adquiere un boleto. a) Hallar la distribución de probabilidad de la utilidad. b) Hallar la función de distribución. c) ¿Qué probabilidad hay de ganar algún juego? Problema 3.- Un fabricante de motores sabe que en un lote de 10 motores hay 2
defectuosos. Cada motor le cuesta 7500 soles y lo puede vender en 10000 soles. Al ofrecer el lote a una tienda le dicen que lo someterán a una prueba que consistirá, en seleccionar, al azar, dos motores y probar su funcionamiento. Si no se obtienen motores defectuosos, le compran el lote, en caso contrario se lo rechazan. a) Halle la distribución de probabilidad de la ganancia que deja el lote al fabricante. b) Calcule la ganancia esperada. Problema 4.- Una persona interviene en un juego sacando tres cartas en sucesión y sin
reemplazamiento de un mazo bien barajado por lo cual paga un sol. Si obtiene un numero impar de ases recibe 10 soles; en caso contrario, deberá pagar 3 soles más. a) Obtenga la función de distribución de la ganancia neta y, a partir de ella, calcular la probabilidad de que supere los cinco soles. c) Halle su esperanza matemática. Problema 5.- Supongamos que usted se encuentra en el siguiente dilema de inversión:
dispone de $10,000 para invertir en tres opciones. Si coloca el dinero en el mercado de valores obtendría una ganancia anual fija del 13%, si invierte en un negocio en el extranjero la ganancia anual fija se estima en 8.5%. La tercera opción que se le presenta es un plan de inver sión cuya ganancia anual puede ser considerada una “variable aleatoria”, cuyos valores dependen de las condiciones económicas del momento actual. Así, después de un análisis minucioso se ha determinado que la ganancia anual podría ser: 20% con probabilidad 0.3, 25% con probabilidad 0.25, 15% con probabilidad 0.18 y ganancia 10% con probabilidad 0.27. Determine, analizando la utilidad esperada cuál es el plan de inversión que más conviene. Problema 6.- Suponga que una ferretería compra 3 galones de pintura a un precio de 24
soles por galón y lo revende a 30 soles. Después de la fecha de vencimiento, los galones que no se vendieron, se devuelven; por lo que, la ferretería recibe del distribuidor una
cantidad igual a 3/4 del precio de compra por cada galón que no se vendió. Si la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X (número de galones que se vendieron) está dada por: X P(X)
0
1
2
3
1/k
1/k
2/k
2/k
a) Hallar la función de probabilidad de la ganancia neta. b) Determine su valor esperado y su varianza. Problema 7.- Sea la variable aleatoria X con la siguiente distribución:
a) b) c) d)
xi
p(xi)
0
a/9
1
2a/9
2 3
5a/9 a/9
Hallar a. Hallar: E(x) y V(X). Hallar: E(Y) y V(Y), donde Y= 3X+4. Calcular P(Y>1).
Problema 8
Sea la siguiente función de cuantía:
x P ( x) 15 0
x 1, 2, 3, 4,5 en otro lugar
Se pide: a) b) c) d)
P(x 2) P(3 x < 6) P(x 4 / x 1) Calcular E(x), V(x).
Problema 9.- El diámetro de cable eléctrico (en cierta unidad de medida) producido por
una compañía es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad
6 x(1 x), 0 x 1
f ( x)
o, en otro lugar
a) Calcular la probabilidad de que en un cierto día el diámetro de cable se mantenga mayor que 1 / 2. b) Hallar la esperanza y varianza. Problema 10.- La cantidad de tiempo, en horas, que una computadora funciona antes de fallar es una variable aleatoria X continua cuya función de densidad es:
x 200 f ( x) c * e , x 0 0,c.c.
a) Determinar el valor de c para que f(x) sea una función de densidad. b) Calcular la probabilidad de que la computadora funcione después de 100 horas. Problema 11.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
cx,0 x 4
f(x)=
0, c.c.
a) Determinar el valor de c, para que f(x) sea una función de densidad. b) Calcular: P(X>2) y P(1≤X≤3). c) Hallar: E(X) y V(X). Problema 12.- La duración de un componente electrónico (en meses) es una v.a. X
continua con f.d.p.
1 - X2 e f ( X ) 2 0
, X 0 , X 0
Un componente electrónico se vende en $100.00 y se g arantiza una duración de al menos un mes, en caso contrario el componente es reemplazado por otro nuevo. Si el costo de producción de un componente es $40. ¿Cuál es la utilidad esperada de un componente? Problema 13.- El tiempo de vida útil (en miles de horas) de un componente de los nuevos
procesadores para PC se considera una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad acumulada dada por: 0, x 0
kx , 0 x 200 F ( X ) 200 1, x 200
a) Determine la probabilidad de que dicho componente dure más de 100,000 horas. b) Si un componente dura menos de 50,000 se considera defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer componente instalado en el procesador sea defectuoso?. c) Supongamos que se ha determinado que la utilidad neta ($) por componente instalado es un a función tal que: se considera pérdida de $20 si 0
