RELACIONES Y CLASES DE EQUIVALENCIA JUNIO DE 2015 Este Este tipo tipo de relac relacio ioes es !iar !iarias ias "#e$a "#e$a # papel papel i%por i%porta tate te e todas todas las ciecias por&#e per%ite clasi'car los ele%etos del co"#to e el &#e est( de'idas) *#c+as ,eces se trata a los ele%etos de # co"#to por s#s propiedades %(s o co%o o!"etos idi,id#ales) E estas sit#acioes- se p#ede i$orar todas las propiedades &#e o sea de iter.s / tratar ele%etos dieretes co%o e&#i,aletes- a %eos &#e p#eda diereciarse #tili3ado 4ica%ete las propiedades &#e os iterese) E este tra!a"o se pretede dar #a !re,e eplicaci6 eplicaci6 de s#s propiedades para los los die dierrete etess co" co"# #to toss- tei teie edo do e c#e c#eta ta &#e &#e es esta tass prop propie ieda dade dess se co%ple%eta etre s7)
1) LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Ua Ua Relac elaci6 i6 e # co" co"# #to to se lla% lla%a a de e&#i e&#i,a ,ale lec cia ia si c#%p c#%ple le &#e &#e es Re8ei,a- Si%.trica / 9rasiti,a) :i; :i; :ii; :iii;
9odo odo ele% ele%e eto to es es e&#i e&#i,a ,ale let te e a s7 %is %is%o %o)) :Re8 :Re8e ei, i,id idad ad;) ;) Si a es e&#i,alete a b- etoces b es e&#i,alete a a) :Si%etr7a;) Si a es e&#i,alete a b / b es e&#i,alete a c- etoces a es e&#i,alete a c) :9 : 9rasiti,idad;) rasiti,id ad;)
9EORE*A DE LA
Reflexiva : a R a → ( a ,a )
b R b → ( b ,b ) c R c →( c , c ) d R d → (d , d ) Luego ∀ x ∈ A [( x , x ) ∈ R ]
Simétrica :
( a , b ) ∈ R → ( b , a ) ∈ R ( c , d ) ∈ R → ( d , c ) ∈ R Luego ∀ x , y ∈ A [( x , y ) ∈ R ⟹ ( y , x ) ∈ R ]
ransitiva :
( a , a ) ∈ R y (a , b ) ∈ R → (a , b )∈ R ( a , b ) ∈ R y ( b , a ) ∈ R → ( a ,a ) ∈ R ( a , b ) ∈ R y ( b . b ) ∈ R → ( a , b ) ∈ R ( b , a ) ∈ R y ( a , a ) ∈ R → ( b ,a ) ∈ R ( b , a ) ∈ R y (a , b ) ∈ R → (b , b )∈ R ( b , b ) ∈ R y ( b , a ) ∈ R → ( b ,a ) ∈ R ( c , d ) ∈ R y ( d , d ) ∈ R → ( c ,d ) ∈ R ( c , c ) ∈ R y ( c ,d ) ∈ R → ( c , d ) ∈ R ( d , c ) ∈ R y ( c , c ) ∈ R → ( d , c ) ∈ R ( d , d ) ∈ R y ( d , c ) ∈ R → ( d , c ) ∈ R Luego , ∀ x , y ∈ A [ [ x , y ) ∈ R ∧ ( y , ! ) ∈ R→ ( x , ! ) ∈ R ]
Como las tres condiciones de la relación se cumplen, podemos asegurar que el conjunto A es una Relación de Equivalencia >
2) CLASES DE EQUIVALENCIA La
relaci6
de
e&#i,alecia R de'e s#!co"#tos
dis"#tos e "
lla%ados clases de equivalencia) Las clases de e&#i,alecia $eera #a partici6 del co"#to) Dado # ele%eto a ∈ " - el co"#to dado por todos los ele%etos relacioados co a de'e la clase [ a ] = {b ∈ " |b R a } Se le lla%a la clase de e&#i,alecia asociada al ele%eto a ) Al ele%eto a se le lla%a representante de la clase) Se lla%a orden al 4%ero de clases &#e $eera #a relaci6 de e&#i,alecia? si .ste es 'ito- se dice &#e la relaci6 es de orde 'ito)
DE@INICIN Sea R una relaciónde equivalencia sobre unconjunto A . #ara cada a ∈ A , llamaremos clase de equivalencia de queestén relacionados conél . La notaremos [ a ] , es decir : [ a ] = { x ∈ " | x R a }
DE*OS9RACIN= Sea A ={ a , b , c , d } y larelación R= { ( a , a ) , ( a ,b ) , ( b ,a ) , ( b , b ) , ( c , c ) , ( c , d ) , ( d , c ) , ( d , d ) } %alcular las%lasesde &quivalencia.
'ecimos que la clases son :
[ a ] ={ a , b } [ b ] = { a ,b } [ c ] ={ c , d } [ d ] ={ c , d } %omo obtenemos que [ a ] =[ b ] y [ c ]= [ d ] $odemosconcluir que solo existen dos % lases de &quivalencia .
>
LE*A ea R una relación de equivalencia sobre el conjunto !" Entonces, #i$ #ii$
%a& ' %b& si, y sólo si a R b " i %a& ( %b&, entonces %a& ) %b& ' *
DE*OS9RACIN #i$
%a& ' %b& si, y sólo si
a Rb "
+ólo si" En e-ecto, supongamos que %a& ' %b&" Como a . %a& y %a& ' %b&, entonces a . %b& de aqu/ que a R b " +i" upongamos que a R b y sea x cualquiera de !, entonces x . %a& 01 x R a '1 x R b 01 x . %b&
23ipótesis y transitividad de R4
5enemos, pues, que 6x . ! #x . %a& '1 x . %b&$ Es decir, %a& 7 %b&" 8or otra parte, x . %b& 01 x R b '1 x R a 2imetr/a de la 9ipótesis y transitividad de R4 01 x . %a&
5enemos, pues, que 6x . ! #x . %b& '1 x . %a&$ Es decir, %b& 7 %a&" :e la doble inclusión 9allada se encuentra el resultado" #ii$
i %a& ( %b&, entonces %a& ) %b& ' * 8robaremos la contra rec/proca" Es decir, %a& ) %b& ;' * '1 %a& ' %b& En e-ecto, %a& ) %b& ;' * '1 x . %b& 01 x R b '1 x R b '1
a Rb
01 %a& ' %b&
2imetr/a4
25ransitividad4 2!partado #ii$4
e puede observar que de lo anterior se dice que cualquiera de los elementos que componen una clase de equivalencia puede elegirse como representante de la misma >
B) RE@ERENCIAS ILIORA@IA @raF A/res- J) :200B;) ?lgebra @oderna" *.ico= *c raG Hill) Rec#perado el 2 de 05 de 2015 o3(le3 #ti.rre3- @) J) :10 de 200;) Universidad de CadiA ) Rec#perado el 0K de 0 de 2015- de +ttp=GGG2)#ca)es%ate%aticasDocecia2005M 200ESI1K1000BAp#tesLeccio)pd
