Clasificaci´on on de Ecuaciones Diferenciales Parciales Yarko Ni˜ no no C. y Paulo Herrera R. Departamento Departamento de Ingenier´ Ingenier´ıa Civil, Universidad de Chile
Semestre Primavera 2011
Calendario C´atedras s´ olo lo olo loss mi´erco ercole less. Laboratorios:
Lab 1: Lunes 07 de noviembre.
Lab 2: Lunes 21 de noviembre.
Lab 3: Lunes 05 de diciembre.
Lab 4: Lunes 19 de diciembre.
Lab 5: Lunes 02 de enero.
Controles:
Control 1: Mi´ ercoles ercoles 07 de diciembre.
Calendario C´atedras s´ olo lo olo loss mi´erco ercole less. Laboratorios:
Lab 1: Lunes 07 de noviembre.
Lab 2: Lunes 21 de noviembre.
Lab 3: Lunes 05 de diciembre.
Lab 4: Lunes 19 de diciembre.
Lab 5: Lunes 02 de enero.
Controles:
Control 1: Mi´ ercoles ercoles 07 de diciembre.
Conservation Laws Muchos Muchos problema probl emass en f´ısica ısi ca e ingeni ingenier er´´ıa pueden pue den ser model mo delado adoss a trav´ trav´es es de una ecuaci´ on de balance que incluya la integral de una funci´ on on on de flujo sobre la superficie de un volumen. En t´erminos ermin os generales, gener ales, dado una funci´ funcion o´n de flujo f de una variable u , que es conservada dentro de un volumen fijo con con superficie Ω, la ecuaci´on on de balance se escribe como
V
∂ f dΩ = ∂ t t Ω
·
V
V
u d
(1)
Conservation Laws Muchos problemas en f´ısica e ingenier´ıa pueden ser modelados a trav´es de una ecuaci´ on de balance que incluya la integral de una funci´ on de flujo sobre la superficie de un volumen. En t´erminos generales, dado una funci´ on de flujo f de una variable u , que es conservada dentro de un volumen fijo con superficie Ω, la ecuaci´on de balance se escribe como
V
∂ f dΩ = ∂ t Ω
·
V
V
u d
(1)
Utilizando el teorema de la divergencia,
Ω
f
· dΩ = − ∇ · f dV V
(2)
Conservation Laws (cont.) Como el volume
V es fijo, d dt
u d
V
V
∂ u = d V ∂ t
V
(3)
Entonces, ∂ u d V ∂ t
V = − ∇ · f dV V
(4)
Conservation Laws (cont.) Como el volume
V es fijo, d dt
u d
V
V
∂ u = d V ∂ t
(3)
V
Entonces, ∂ u d V ∂ t
V = − ∇ · f dV
(4)
V
Finalmente, como esta relaci´ on es v´alida para cualquier volumen ,
V
∂ u + ∂ t
∇ · f = 0
(5)
Expresiones de este tipo se conocen con ”Leyes de Conservaci´ on” (Conservation Laws ) e implican que la variable u es conservada en
V .
Conservation Laws (cont.)
Por ejemplo, la ecuaci´ on de advecci´ on-dispersi´on puede ser escrita asumiendo densidad constante definiendo un flujo
f = vC
− D ∇C
(6)
Entonces la ecuaci´ on de balance de masas se escribe como, ∂ C + ∂ t
∇ · f = 0 ∂ C + ∇ · (vC ) − D ∇2 C = 0 ∂ t que es una EDP de segundo orden.
(7)
Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales (EDPs) Variable dependiente: u = u (x 1 , x 2 , . . . , x n )
Ecuaci´on diferenciales a derivadas parciales (EDP) de orden m: ∂ u ∂ u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ m u F (u , x 1 , . . . , x n , ) ,..., , ,..., , ,..., 2 2 m ∂ x1 ∂ xn ∂ x1 ∂ xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales (EDPs) Variable dependiente: u = u (x 1 , x 2 , . . . , x n )
Ecuaci´on diferenciales a derivadas parciales (EDP) de orden m: ∂ u ∂ u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ m u F (u , x 1 , . . . , x n , ) ,..., , ,..., , ,..., 2 2 m ∂ x1 ∂ xn ∂ x1 ∂ xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
F es una EDP lineal si es una combinacion lineal de las derivadas de u ,
con coeficientes que pueden ser constantes o funciones de las variables independientes x i . F es una EDP cuasi lineal si es lineal en las derivadas de mayor orden,
pero los coeficientes de la combinacion pueden depender de las derivadas
Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales
Si la EDP no es lineal, ni cuasi lineal, entonces es no lineal. EDPs que son no lineales son mucho mas dif´ıciles de resolver anal´ıticamente que las ecuaciones lineales.
Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales
Si la EDP no es lineal, ni cuasi lineal, entonces es no lineal. EDPs que son no lineales son mucho mas dif´ıciles de resolver anal´ıticamente que las ecuaciones lineales. Una transformaci´ on de coordenadas (r , s )
→ (x , y )
es no singular si, ∂ r ∂ s J = ∂ x ∂ y
||
−
∂ s ∂ r =0 ∂ x ∂ y
Ecuaciones de segundo orden Notation:
∂ u ∂ x
= u x
∂ 2 u ∂ x 2
= u xx
Consideramos EDPs de la forma: A(x , y )u xx + 2B (x , y )u xy + C (x , y )u yy + F (x , y , u , u x , u y ) = 0
(8)
En algunos casos es posible reducir esta ecuaci´ on a una forma can´onica mediante una transformaci´ on de coordenadas no singulares, tal que: r = r (x , y )
(9)
s = s (x , y )
(10)
u (x y ) = v (r s )
(11)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Substituyendo y aplicando regla de la cadena:
+( +
2
2
Ar x + 2Br x r y + Cr y v rr
Ar x s x + Br x s y + Br y s x + Cr y s y ) v rs As x 2 + 2Bs x s y + Cs y 2 v ss
+ f (r , s , v , v r , v s ) = 0
(12)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Substituyendo y aplicando regla de la cadena:
+( +
2
2
Ar x + 2Br x r y + Cr y v rr
Ar x s x + Br x s y + Br y s x + Cr y s y ) v rs As x 2 + 2Bs x s y + Cs y 2 v ss
+ f (r , s , v , v r , v s ) = 0
(12)
Para eliminar los t´erminos de m´as alto orden podemos escoger las funciones r = r (x , y ) y s = s (x , y ), tal que
2
2
Ar x + 2Br x r y + Cr y
As 2 + 2Bs x s y + Cs 2
= 0 = 0
Ecuaciones de segundo orden (cont.)
2
2
Ar x + 2Br x r y + Cr y
As x 2 + 2Bs x s y + Cs y 2
= 0 = 0
En particular, podemos usar r = w 1 (x , y ) y s = w 2 (x , y ), donde w 1 y w 2 son soluciones de la ecuaci´ on: Aw x 2 + 2Bw x w y + Cw y 2 = 0
(13)
Ecuaciones de segundo orden (cont.)
2
2
Ar x + 2Br x r y + Cr y
As x 2 + 2Bs x s y + Cs y 2
= 0 = 0
En particular, podemos usar r = w 1 (x , y ) y s = w 2 (x , y ), donde w 1 y w 2 son soluciones de la ecuaci´ on: Aw x 2 + 2Bw x w y + Cw y 2 = 0
Esta ecuaci´ on es equivalente a: (w x + λ1 w y ) (w x + λ2 w y ) = 0
(13)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Aw x 2 + 2Bw x w y + Cw y 2 = 0
(w x + λ1 w y ) (w x + λ2 w y ) = 0
(14)
Entonces: λ1 + λ2 =
2B
A
(15)
y C λ1 λ2 = A
(16)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Aw x 2 + 2Bw x w y + Cw y 2 = 0
(w x + λ1 w y ) (w x + λ2 w y ) = 0
(14)
Entonces: λ1 + λ2 =
2B
A
(15)
y C λ1 λ2 = A
(16)
De (15): λ
2B
λ
(17)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) De (15): λ2 =
2B A
− λ1
(18)
Substituyendo en (16):
2
B C λ1 λ1 = A A 2B C 2 λ1 λ1 + =0 A A
−
−
(19)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) De (15): λ2 =
2B A
− λ1
(18)
Substituyendo en (16):
2
B C λ1 λ1 = A A 2B C 2 λ1 λ1 + =0 A A
−
(19)
−
Entonces: λ1 =
√ B ± B 2 − AC A
(20)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Finalmente de (18), λ2 =
2B A
−
√ B ± B 2 − AC A
=
√ B ± B 2 − AC A
(21)
Entonces las soluciones de (14) son: λ1 , λ2 =
√ B ± B 2 − AC A
(22)
Ecuaciones de segundo orden (cont.) Finalmente de (18), λ2 =
2B A
−
√ B ± B 2 − AC A
=
√ B ± B 2 − AC A
(21)
Entonces las soluciones de (14) son: λ1 , λ2 =
√ B ± B 2 − AC A
Tres casos posibles de acuerdo al signo del discriminante ∆ = B 2
∆ > 0, EDP es hiperb´ olica ∆ = 0, EDP es parab´ olica ∆ < 0, EDP es el´ıptica
(22)
− AC :
EDPs Hiperb´olicas ∆ = B 2
− AC > 0
→
λ1 y λ2 son reales y distintas.
Por otra parte tomando w (x , y ) = c , tenemos que: dw dx
= w x + w y
dy dx
=0
(23)
EDPs Hiperb´olicas ∆ = B 2
− AC > 0
→
λ1 y λ2 son reales y distintas.
Por otra parte tomando w (x , y ) = c , tenemos que: dw dx
Pero, w x =
= w x + w y
−λw , entonces
dy dx
=0
(23)
y
dy dx
= λ1 , λ2 =
√ B ± B 2 − AC A
las coordenadas w 1 (x , y ) = c 1 y w 2 (x , y ) = c 2 son las coordenadas caracter´ısticas de la EDP.
(24)
EDPs Hiperb´olicas Ecuaciones hiperb´ olicas siempre pueden ser reducidas a la forma:
− u
u xx
yy
= g (u x , u y , u , x , y )
Caracter´ısticas:
Las soluciones son de ”tipo onda”. Una pertubaci´ on en la condici´ on inicial no es percibida por todos los puntos del dominio al mismo tiempo. En un sistema fijo de coordenadas, perturbaciones tienen una velocidad finita de propagaci´ on. La informaci´ on viaja a lo largo de las caracter´ısticas de la ecuaci´ on. La soluci´ on tiene un limitado dominio de dependencia.
EDPs Hiperb´olicas (cont.)
Ejemplo: Ecuaci´ on de onda. 2 u ∂ 2 u ∂ 2 = c ∂ t 2 ∂ x 2
en el intervalo
−∞ < x < ∞, con condiciones iniciales u (x , 0) = f (x ) ∂ u (x , 0) = g (x ) ∂ t
EDPs Parab´olicas
∆ = B 2
− AC = 0
→
una u ´nica soluci´ on real, λ1 = λ2 =
−
B A
Entonces la ecuaci´ on diferencial caracter´ıstica es dy
B = dx A
que tiene una sola soluci´ on.
EDPs Parab´olicas (cont.) La forma can´ onica en este caso es u xx = g (u x , u y , u , x , y )
Caracter´ısticas:
Asociadas a procesos de difusi´ on. A diferencia de las ecuaciones hiperb´ olicas, no tiene limitado dominio de dependencia. Soluci´ on en tiempo t 0 depende de los valores en todo el dominio (incluyendo en los bordes) en el tiempo t < t 0 .
EDPs Parab´olicas (cont.)
Ejemplo: Ecuaci´ on de difusi´ on. ∂ u ∂ 2 u = ν 2 ∂ t ∂ y
Con condiciones iniciales y de borde: u (0, y ) = 0 u (t , 0) = U ; u (t ,
∞) = 0
t > 0
EDPs El´ıpticas
∆ = B 2
− AC < 0
soluciones complejas,
→ λ1 , λ2 =
−
√ B ± i B 2 − AC A
Entonces la ecuaci´ on diferencial caracter´ıstica es dy dx
=
−
√ B ± i B 2 − AC A
EDPs El´ıpticas (cont.)
La forma can´ onica en este caso es u xx + u yy = g (u x , u y , u , x , y )
Caracter´ısticas:
Soluciones complejas de la ecuaci´ on caracter´ıstica indican que la EDP no evoluciona con el tiempo. Representan problemas con condiciones de borde espaciales. Valores de la soluci´ on dentro del dominio dependen de las condiciones de borde.
EDPs El´ıpticas (cont.)
Ejemplo: Ecuaci´ on de Laplace.
∇2u = 0;
0
≤ r < 1, −π ≤ θ ≤ π
con condiciones de borde, ∂ u (1 , θ) = f (θ) ∂ r
Estas ecuaciones pueden ser usadas para modelar la distribuci´ on de temperatura en un disco de radio unitario.
Problema ”bien puesto” (well posed problem)
Soluci´ on satisface las siguientes condiciones:
Existe.
Es u´nica.
Depende continuamente de las condiciones iniciales y de borde.
