e t a
´ n Lineal Clase Clase 20: Regresi Regresion o Lineal y Sistem Sistemas as de Inecua Inecuacio ciones nes
Matem´aticas I
1.
e t a M
e t a M
P U
2013-2
Regresion o ´n Lineal
P U
Cuando un sistema lineal no tiene soluci´ on on decimos que es inconsistente. Como hemos visto, esto es equivalente a que el rango de A de A no coincida con el rango de la matriz aumentada. ¿Qu´e podemos po demos hacer en estos casos? Supongamos que el costo de producir 1,000 unidades es de 200,000 soles, el costo de producir 3,000 unidades es de 300,000 soles y el costo de producir 4,000 unidades es de 400,000 soles. Asumiendo que el costo es lineal deseamos encontrar su ecuaci´ on. on. Expresamos los c´alculos alculos en miles de unidades y en cientos de soles. Como C = C f f +C u q necesitamos necesitamos satisfacer las ecuaciones
1 e t a
1 e t a M
e t a M
2 = C f f + C u (1) 3 = C f f + C u (3) 4 = C f f + C u (4)
Ahora reducimos la matriz aumentada y observamos que
P U
1 1 2 1 3 3 1 4 4
←→
1 1 2 0 1 12 0 0 1
P U
lo cual nos dice que el sistema es inconsistente. Esto tiene sentido ya que los puntos (1,2) (3,3) y (4,4) no se encuentran en una misma recta. Esto se puede verificar calculando las pendientes o graficando los puntos. Si bien no existe una recta que pase por dichos puntos al mismo tiempo es posible a´ un un preguntar, ¿cu´ al es la recta que mejor se aproxima a los tres puntos? La al respuesta es sorprendentemente simple: basta con multiplicar el sistema por A por A T y resolverlo. resolverlo. Si T T T multiplicamos el sistema A sistema A x = b por p or A A obtenemos obtenemos el nuevo nuevo sistema A sistema A Ax = A = A b, en nuestro caso calculamos calculamos
1 e t a
1 1 2 1 3 3 1 4 4 1 1 1 3 8 9 1 3 4 8 26 27
1 e t a M 3 8 9 8 26 27
−→
lo cual quiere decir que la ecuaci´on on del costo es
P U
C =
9 9 + q. 7 14
←→
P U
1 0
0 1
e t a M 9 7
9 14
Si bien podemos comprobar que ninguno de los puntos dados satisface la ecuaci´ on, on, podemos ver de la figura que la recta encontrada se acerca bastante a los tres puntos. A este proceso se on on lineal. le conoce como regresi´
1 e t a
1 e t a M
c 2013 Todos los derechos derechos reserv reservados. ados. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
e t a M
e t a M
e t a 1 e t a
P U
1 e t a M
P U
e t a M
En la figura vemos los tres puntos y la recta encontrada. El primer punto es (1,2) y cuando 9 9 27 q = = 1 vemos que C que C es es igual a + = . La diferencia entre el valor de C de C y y la ordenada del 7 14 14 1 primer punto es 27 − 2 = − 14 y representa el error en aproximar el punto por la ecuaci´ on on de la 14 recta. Tomamos el cuadrado de dicho error, es decir 1/ 1/196, en parte para eliminar el signo. Si hacemos lo mismo con los otros dos puntos obtenemos 9/ 9/196 y 1/ 1/49. La suma de los cuadrados de los errores es 1 9 4 14 1 + + = = 196 196 196 196 14 y es una medida del error de aproximar los tres puntos por la recta encontrada. A dicha suma on on. la llamamos error de aproximaci´ A continuaci´on on enunciamos el teorema que justifica nuestros c´ alculos. alculos.
1 e t a
P U
1 e t a M
P U
e t a M
Teorema 1.1. Si el sistema Am n x = b es inconsist inconsistente ente y rango(A entonces el rango(Am n ) = n entonces T T nuevo sistema A Am n x = A b tiene soluci´ on unica ´ y dicha soluci´ on produce el menor error de aproximaci´ on.
2.
×
×
Sist Sistem emas as de Inec Inecua uaci cion ones es
×
Consideraremos s´ olo sistemas con dos variables ya que estaremos interesados principalmente olo en la representaci´ on on gr´ afica afica de estos sistemas. Recordemos que una ecuaci´ on o n de la forma Ax2 + By B y 2 + C xy + xy + Dx Dx + + E Eyy + F + F = 0 donde onica. Dicho conjunto de onica. A,B,C,D,E,F son constantes puede describir una recta o una c´ puntos puede ser entendido como el conjunto soluci´ on on de esta ecuaci´ on. Al cambiar la igualdad on. por una desigualdad como <,>, como <,>, ≤, ≥ la ecuaci´on on se convierte en una inecuaci´ on on y el conjunto soluci´on on se convierte en una regi´ o n del plano limitada por la recta o c´ on onica. onica. A continuaci´on on tenemos algunos ejemplos.
1 e t a
P U
1 e t a M 2
P U
e t a M
e t a
y
y
x y = 12 x + 1
1 e t a
P U
e t a M
y
x
y ≥ 12 x + 1
e t a M x
y ≤ 12 x + 1
y
P U y
1 e t a M x
y > 12 x + 1
x
y < 12 x + 1 2
2
e t a M
on on de la ecuaci´on on x − 2x + y + 2y 2 y = 0 y grafique Ejercicio 2.1. Grafique el conjunto soluci´
el conjunto soluci´on on que resulta de cambiar la igualdad por las cuatro posibles inecuaciones.
Definici´ on on 2.2. Un sistema de inecuaciones inecuaciones es un conjunto de m inecuaciones con n inc´ ogniognion on es la intersecci´ tas. El conjunto soluci´ on de las regiones que estas inecuaciones determinan. on
Ejemplo 2.3. Grafique el conjunto soluci´ on del siguiente sistema de inecuaciones: on
P U
2y x + 2y < 2 2 x − 2x + y < 0 x2 − 2y ≤ 0 2
P U
on puede ser expresada como y on como y < − 12 x + 1. Completando cuadrados Soluci´ on. La primera ecuaci´
1 e t a
1 e t a M
x2 la segunda se puede expresar como (x (x − 1) + y < 1. La tercera ecuaci´ on on se reduce a y ≥ . 2 Graficando cada una de estas inecuaciones obtenemos:
1 e t a
2
2
y
P U
1 e t a M 3
x
P U
e t a M e t a M
e t a M
e t a
Ejercicios Adicionales Ejercicios
e t a M
1. Las ventas anuales de una compa˜ n´ıa en millones millon es de soles est´an an dadas en la siguiente tabla A˜no 2007 Ventas 12
2008 19
2009 29
2010 37
2 011 45
P U
Si se asume que el crecimiento de la compa˜ n´ıa es lineal, estime est ime las ventas para este a˜ no no y calcule el error de aproximaci´ on. on. (Rpta. V = 8.4t + 11. 11.6)
P U
2. La oferta y la demanda est´ an dadas en las siguientes tablas an
1 e t a
1 e t a M
Unidades 1 4 9 Precio x unid. 2 6 8
Unidades 1 5 9 Precio x unid. 9 3 1
a ) Muestre que estos puntos no determinan una recta.
e t a M
on de la oferta y la demanda usando regresi´ on on on lineal (Rpta. O (Rpta. O : : p = b ) Calcule la ecuaci´ 5 28 q + + 2, D : p = −q + + ) 7 3
c ) Calcule el punto de equilibrio. (Rpta
77 91 , ) 18 18
3. Encuentre la ecuaci´ on de la recta que mejor aproxima los puntos (0, on (0, 0), (1, (1, 1/3), (2, (2, 2), (3, (3, 5) y grafique.
P U
P U
4. Dados los puntos en el plano P = (2, (2, 1), Q = (3, (3, 3) y R = (4, (4, 4). a ) Muestre que estos puntos no determinan una recta.
1 e t a M
on de la recta que mejor aproxima los puntos. on b ) Encuentre la ecuaci´
1 e t a
e t a M
c ) Si dicha ecuaci´ on modela la utilidad en funci´on on o n del n´ umero de unidades, calcule si umero
se producen pro ducen p´erdidas erdidas o ganancias gan ancias cuando c uando el n´ numero ´ de unidades es 1.
5. Se ha inaugurado a inicios del presente a˜ no una tienda de insumos de limpieza cuyos no ingresos mensuales en miles de soles est´an an dados en la siguiente tabla. Mes Enero Ingreso 0.25
Febrero 0.5
Marzo 1.25
Abril 2.25
Mayo 2.75
Si se asume que el ingreso es lineal, estime el ingreso para el mes de Junio. 6. Graficar el conjunto soluci´on on de los siguientes sistemas de ecuaciones.
P U
9(x 9(x − 1)2 + 4(y 4(y + 2) 2 ≥ 1 4x2 − y2 ≥ 4 x2 + y 2 < 25 2x + y2 < 0 a ) b ) x2 + 2x x > 0 x2 + y > 1
1 e t a
1 e t a M
P U
x2 + y 2 − 4y > 0 x2 − y < 0 c ) x+y ≤ 1
e t a M
7. Determine Determine graficamente graficamente el conjunto soluci´ solucion o´n de cada una de las siguientes desigualdades: a ) y > x + 1
4
e t a
b ) y ≤ −2x + 3 c ) y > −x2 + 1 d ) 4 < x2 + y 2 ≤ 49
e t a M
e t a M
8. En cada uno de los siguientes cuatro casos, determine el sistema de ecuaciones cuyo conjunto soluci´ on on es la regi´on on sombreada. sombreada.
1 e t a 1 e t a 1 e t a
P U
y -3
-3
1 e t a M 4
-4
P U
P U y
x
y 9
1 e t a M
-10/7
P U (4,5)
3
-4
4
x
-3
P U
2
1 e t a M 5
P U
e t a M 4
x
e t a M e t a M
