UNIVERSIDAD DE CHILE – FACULTAD DE MEDICINA ESCUELA DE SALUD PUBLICA División de Bioestadística Bioestadística de!o"#a$ía
BIOESTADISTICA PROBABILIDADES
Guía Nº 1
%a&do A#anda C'acón ()
De$ina De$ina *a#a *a#a &os &os si"+ientes si"+ientes e,*e#i!ento e,*e#i!entos s a&eato#i a&eato#ios os +n es*acio es*acio !+est#a& !+est#a& adec+adoadec+adoa. 4. c. d. e. $.
". '. i.
1)
Se se&eccion se&ecciona a a& a/a# a/a# +n e!*&eado e!*&eado en +na sección sección de +na e!*#esa e!*#esa 0+e tiene tiene 12 e!*&eados (3 e!*&eadas) Se c+enta e& n5!e#o de de e##o#es en &as 3 *#i!e#as 'o6as de +n te,to) Se &an/ &an/a a +na +na !oned !oneda a de (2 *esos *esos77 +na +na de 3 *esos *esos +n dado) dado) Se $a4#ic $a4#ican an a#tíc+ a#tíc+&os &os en +na +na &ínea &ínea de *#od+cci *#od+cción ón se c+enta c+enta e& n5!e# n5!e#o o de a#tíc+& a#tíc+&os os de$ect+osos *#od+cidos en +n *e#íodo de 18 'o#as) Se &an/ &an/a a +n dado dado #o6o #o6o ot#o ot#o ne"# ne"#o o se o4se o4se#v #van an &os &os n5!e n5!e#o #os s 0+e 0+e a*a# a*a#ec ecen en en &a ca#a s+*e#io#) Los a#tí a#tíc+&o c+&os s *#oveni *#ovenient entes es de +na +na &ínea &ínea de *#od+c *#od+cció ción n se c&asi$ c&asi$ica ican n en de$ect de$ect+os +osos os 9D.7 no de$ect+oso de$ect+oso 9B.) Se o4se#van o4se#van &os a#tíc+&os a#tíc+&os se anota anota s+ s+ condición) condición) Este *#oc *#oces eso o se cont contin in+ +a 'ast asta 0+e 0+e se *#od *#od+/ +/ca can n dos dos a#t a#tíc+& íc+&os os de$e de$ect ct+o +oso sos s consec+tivos o se 'aan ve#i$icado c+at#o a#tíc+&os c+a&es0+ie#a sea s+ condición) En +na enc+e enc+est sta a a $a!i $a!i&i&ias as con dos 'i6os 'i6os va#o va#one nes s o !+6e !+6e#e #es s se cons cons+& +&ta ta so4#e so4#e e& se,o de &os 'i6os 9e!*e/ando *o# e& !ao#.) Dos &i4#os &i4#os dist distin" in"+i4 +i4&es &es se co&o co&ocan can en dos dos casi&& casi&&e#os e#os n+!e n+!e#ad #ados) os) Los &:*i &:*ices ces de cie# cie#ta ta !a#ca !a#ca *oseen *oseen secci sección ón c+ad c+ad#ada #ada)) Dos de e&&o e&&os7 s7 de de &os &os 0+e 0+e +no +no es ve#de e& ot#o #o6o tienen tienen s+s &ados &ados n+!e#ados n+!e#ados con (7 17 ;7 8) Se 'acen #oda# a!4os &:*ices &:*ices so4#e +na !esa c+ando est:n en #e*oso se &een &os n5!e#os 0+e a*a#ecen en e& &ado s+*e#io#)
Un e,*e#i e,*e#i!ent !ento o consist consiste e en se&ecci se&ecciona ona## +na $ic'a $ic'a de +na ca6a ca6a 0+e conti contiene ene seis seis $ic'as $ic'as n+!e#a n+!e#adas das de& ( a& <) Dados Dados &as si"+ien si"+ientes tes desc#i* desc#i*cio ciones nes dete#!i dete#!ine ne &os es*aci es*acios os !+est#a&es a*#o*iados a& e,*e#i!ento conside#adoa. 4. c. d. e. $.
= = = = = =
>(7 17 ;7 87 37 (7 17 ;7 87 3? >N5!e#o *a#7 N5!e#o i!*a#? >(7 ;7 37 n5!e#o *a#? >(7 17 n5!e#o !eno# 0+e <7N5!e#o !eno# 0+e ;7;7 n5!e#o !ao# 0+e ;?
(
;)
Se se&ecciona a& a/a# +n a&+!no de +na sa&a de c&ases en &a c+a& se enc+ent#an (3 !+6e#es 0+e $+!an (2 0+e no $+!an7 12 'o!4#es 0+e $+!an (2 0+e no $+!an) Ade!:s se sa4e 0+e e& 12@ (3@ de &as !+6e#es 'o!4#es #es*ectiva!ente son !ao#es de 1( aos) De$ina *a#a este e,*e#i!ento a&eato#io c+at#o es*acios !+est#a&es distintos)
8)
A t#es *e#sonas A7 B C se &es *ide #eso&ve# +n *#o4&e!a de estadística) Conside#ando &os si"+ientes s+cesos A - >E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# A? B - >E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# B? C - >E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# C? E,*#ese +sando notación de con6+nto &as si"+ientes *#o*osiciones ve#4a&esa. 4. c. d. e.
3)
E& *#o4&e!a no es #es+e&to *o# nin"+na de &as t#es *e#sonas) E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# a& !enos +na de &as t#es *e#sonas) E,acta!ente +na de e&&as #es+e&ve e& *#o4&e!a) E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# &o !enos *o# E& *#o4&e!a es #es+e&to *o# A *e#o no *o# B ni *o# C)
Sea e& s+ceso de 0+e +n e!*&eado es "#ad+ado de +na esc+e&a s+*e#io#7 M e& s+ceso de 0+e +n e!*&eado sea casado C e& s+ceso de 0+e +n e!*&eado *#osi"a s+ ed+cación !ient#as t#a4a6a) Dete#!ina# &os si"+ientes s+cesos +sando notación de con6+ntosa. 4. c.
Un e!*&eado es "#ad+ado casado *e#o no si"+e s+ ed+cación) Un e!*&eado es "#ad+ado *e#o no es casado ni *#osi"+e s+ ed+cación) Un e!*&eado *#osi"+e s+ ed+cación *e#o *e#!anece so&te#o no se 'a "#ad+ado todavía)
<)
T#es est+diantes A7 B C inte#vienen en +na *#+e4a de natación7 A B tienen &a !is!a *#o4a4i&idad de "ana# e& do4&e de &a de C Ha&&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e "ane B o C)
)
De &as (2 nias de +na c&ase t#es tienen o6os a/+&es) Si se esco"en dos nias a& a/a#7 *#i!e#o con s+stit+ción &+e"o sin s+stit+ción) C+:& es &a *#o4a4i&idad en cada +na de &as e&ecciones de 0+ea. Las dos ten"an o6os a/+&es) 4. Nin"+na ten"a o6os a/+&es) c. Una *o# &o !enos ten"a o6os a/+&es)
)
En cie#ta $ac+&tad e& 13@ de &os est+diantes #e*#o4a#on !ate!:ticas7 e& (3@ #e*#o4a#on conta4i&idad e& (2@ #e*#o4a#on a!4os) Se se&ecciona a& a/a# +n est+diantea. Si #e*#o4ó conta4i&idad) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e #e*#o4a#a !ate!:ticas) 4. Si #e*#o4ó !ate!:ticas) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e #e*#o4a#a conta4i&idad) c. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e #e*#o4a#a !ate!:ticas o conta4i&idad) 1
G)
E& si"+iente c+ad#o contiene &a c&asi$icación de ;1( e!*&eados de +na e!*#esa7 #es*ecto a dos ca#acte#ísticasi.
E& n5!e#o de aos de *e#!anencia de cada +no de &os e!*&eados en &a e!*#esa)
ii. S+ #es*+esta a &a *#e"+nta - Desea 0+e se #ea&ice +na ne"ociación co&ectiva *a#a o4tene# +n a+!ento en &os sa&a#ios) Res*+esta Si
NJ de aos en &a e!*#esa Menos de ( ( K ; 8 K (2 M:s de (2 1 38 (; 1
No
(8
(
;8
;
No s
;
1
(
2
Se de$inen &os si"+ientes s+cesos S N A B C
= = = = =
>E!*&eados 0+e contesta#on sí? >E!*&eados 0+e contesta#on no? >E!*&eados 0+e *e#tenecen a &a e!*#esa !enos de +n ao? >E!*&eados con +no a t#es aos en &a e!*#esa? >E!*&eados con c+at#o a die/ aos en &a e!*#esa?
a. Enc+ent#e &a *#o4a4i&idad de cada +no de &os si"+ientes s+cesosi. S
B
ii. S
B
iii. 9S
N.C
A
iv. 9N
C.C
4. Esc#i4a +sando notación de con6+ntos &os si"+ientes s+cesosi. ii. iii. iv.
E!*&eados 0+e contesta#on sí *e#tenecen a &a e!*#esa de 8 a (2 aos) E!*&eados 0+e contesta#on sí *e#tenecen *o# &o !enos 'ace c+at#o aos a &a e!*#esa) E!*&eados 0+e contesta#on no s) E!*&eados 0+e contesta#on no s7 est:n en &a e!*#esa !:s de die/ aos)
c. Eva&5e &as *#o4a4i&idades de cada +no de &os s+cesos conside#ados en e& *+nto 4.) d. Ca&c+&e &as si"+ientes *#o4a4i&idades i.
P#o4a4i&idad de se&ecciona# +n e!*&eado 0+e *e#tene/ca a &a e!*#esa 'ace !enos de +n ao dado 0+e s+ #es*+esta $+e ne"ativa)
ii.
Si se sa4e 0+e +n e!*&eado #es*ondió 0+e no) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e este ent#e +no a t#es aos en &a e!*#esa)
iii.
C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e +n e!*&eado 0+e *e#tene/ca a &a e!*#esa 'ace !enos de +n ao o ent#e +n ao t#es7 #es*onda a$i#!ativa!ente) ;
(2)
A7 B C son t#es s+cesos de +n es*acio !+est#a&7 ta&es 0+e A B son inde*endientes B C inco!*ati4&es) Se sa4e ade!:s 0+e P9A. = 27< P9B. = 27; P9C. = 271 P9A C. = 27(3) Ca&c+&e &a *#o4a4i&idad de 0+e a. No oc+##a nin"+no de &os t#es s+cesos) 4. c+##a A o B) c. c+##a B o C)
(()
En +n t#ian"+&o *a#tici*an &os e0+i*os A7 B C) Se esti!a 0+e &a *#o4a4i&idad de 0+e A "ane a B es 273 A B e!*aten es 27(2 A "ane a C es 2732 A C e!*aten es 27;2 B "ane a C es 2782 B C e!*aten es 27(3 a. 4. c. d.
(1)
Ca&c+&e &a *#o4a4i&idad de 0+e A o4ten"a ce#o *+ntos) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e &os ; e0+i*os te#!inen e!*atados) Ca&c+&e &a *#o4a4i&idad de 0+e A "ane e& ca!*eonato) Si A "anó a B)C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e C "ane e& ca!*eonato)
En +na ci+dad e& 2@ de &os ad+&tos esc+c'a #adio7 e& 82@ &ee e& *e#iódico e& (2@ ve te&evisión) Ent#e &os 0+e esc+c'an #adio e& ;2@ &ee &os *e#iódicos e& 8@ ve te&evisión) E& G2@ de &os 0+e ven te&evisión &ee e& *e#iódico só&o e& 1@ de &a *o4&ación tota& ad+&ta &ee e& *e#iódico7 ve te&evisión esc+c'a #adio) Si se e&i"e +na *e#sona a& a/a#7 se *ide &a *#o4a4i&idada. De 0+e esc+c'e #adio7 vea TV &ea *e#iódico 4. Sa4iendo 0+e &ee e& *e#iódico) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e vea &a te&evisión
(;)
Un "#+*o de 122 *#o*ieta#ios de a#te$actos e&ect#odo!sticos tienen &a si"+iente dist#i4+ción de !:0+inas &avado#as7 secado#as7 &ava*&atosLavado#as Secado#as Lava*&atos
((2 ((2 <2
Lavado#as secado#as Lava*&atos secado#as Lavado#as &ava*&atos Lavado#as7 secado#as Lava*&atos
82 13 ;3 12
Enc+ent#e &a *#o4a4i&idad de 0+e +n *#o*ieta#io ten"aa. 4. c. (8)
Una &avado#a Oo secado#a Oo &ava*&atos Ten"a só&o +na &avado#a Ten"a &ava*&atos secado#a7 sa4iendo 0+e tiene &avado#a)
De!+est#e 0+e si A B son dos s+cesos c+a&es0+ie#a de& es*acio !+est#a& S7 entonces-
P A B
C
B
C
A
( A) P ( B) - 2 P A B
P
8
(3)
Conside#e &os s+cesos A B7 c+os #es+&tados se !+est#an en e& si"+iente c+ad#o A
AC
B
273<
2718
BC
27(8
272<
a. Son A B inde*endientes 4. Son AC BC inde*endientes) (<)
De!ost#a# 0+e si A B son dos aconteci!ientos inde*endientes7 ta!4in &o soni. A BC
ii. AC B
()
De!+est#e 0+e si A B son s+cesos inde*endientes7 entonces s+s co!*&e!entos ta!4in &o son)
()
Sean A7 B C s+cesos ta&es 0+eP 9A. = 278
P 9B. = 273
P 9A ∩ C. = 27;
P 9C. = 27<
Si se sa4e ade!:s 0+e A B son s+cesos !+t+a!ente e,c&+entes s+cesos inde*endientes7 ca&c+&a#a. P 9A B C.
4.
P 9A O C.
c. P 9C
A
B C son
C
.
(G)
Cie#to !oto# e&ct#ico $a&&a *o# o4st#+cción de &os co6inetes7 *o# co!4+stión de& e!4o4inado o *o# des"aste de &as esco4i&&as) S+*ón"ase 0+e &a *#o4a4i&idad de o4st#+cción es e& do4&e de &a de co!4+stión de& e!4o4inado7 &a c+a& es c+at#o veces !:s *#o4a4&e 0+e &a in+ti&i/ación de &as esco4i&&as) C+:&es son &as #es*ectivas *#o4a4i&idades de $a&&a#
12)
Un 'o!4#e de 82 aos cont#ata +n se"+#o de vida di$e#ido a 12 aos) S+ !+6e# tiene ; aos) Si &a *#o4a4i&idad de 0+e +n 'o!4#e de 82 aos so4#eviva 12 aos es 272 &a de 0+e +na !+6e# de ; aos so4#eviva 12 aos es de 27G2) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e *o# &o !enos +no este vivo *a#a co4#a# e& se"+#o)
1()
Una co!*aía de investi"ación de !e#cado est: inte#esada en e,a!ina# a&"+nas actit+des en +na *e0+ea co!+nidad) Ha (13 'o"a#es c&asi$icados de ac+e#do con s+s in"#esos con e& 'ec'o de se# *#o*ieta#ios de te&$onos te&evisión)
3
Ho"a#es con in"#esos de ;2)222 o !enos Con te&$ono Sin te&$ono
Ho"a#es con in"#esos de !:s de ;2)222 Con te&$ono Sin te&$ono
Sin TV
1
12
(2
Con TV
(
(2
(1
(2
a. C+:& es &a *#o4a4i&idad de e&e"i# +n d+eo de TV7 en +na se&ección a&eato#ia 4. Si +na $a!i&ia con in"#esos de !:s de ;2)222 tiene te&$ono)C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e ten"a TV) c. C+:& es &a *#o4a4i&idad de e&e"i# +na $a!i&ia 0+e ten"a TV7 dado e& 'ec'o de 0+e tiene te&$ono d. Son estadística!ente inde*endientes &os s+cesos se# *#o*ieta#io de TV *osee# +n te&$ono) e. Son inde*endientes &os eventos in"#esos de ;2)222 o !enos se# *#o*ieta#io de TV) 11)
La *#o4a4i&idad de 0+e +n a&+!no de estadística o4ten"a *#o!edio en &os cont#o&es es 271 &a *#o4a4i&idad de 0+e o4ten"a en &as *#+e4as so&e!nes 'a4iendo o4tenido en cont#o&es es 273 &a *#o4a4i&idad de 0+e o4ten"a en e& e,a!en si o4t+vo en so&e!nes cont#o&es es 27G) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e +n a&+!no o4ten"a $ina&)
1;)
En cie#ta $ac+&tad e& 8@ de &os 'o!4#es e& (@ de &as !+6e#es tienen !:s de (72 !ts) de estat+#a7 ade!:s e& <2@ de &os est+diantes son !+6e#es) Si se&ecciona a& a/a# +n est+diante !ide !:s de (72 !ts) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e& est+diante sea !+6e#)
18)
S+*ón"ase 0+e 'a t#es ca6as idnticas A7 B C) La ca6a A contiene dos !onedas de co4#e7 &a ca6a B +na de co4#e dos de ni0+e& &a C contiene +na de *&ata7 dos de ni0+e& dos de co4#e) Se to!a a& a/a# +na de &as ca6as &+e"o se saca +na !oneda de esa ca6a7 si &a !oneda es de co4#e) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e 'aa sido to!ada dea. La ca6a A)
13)
B. La ca6a B)
C. La ca6a C)
E& "e#ente de ventas de +na co!*aía de se"+#os dice a s+ n+evo vendedo# 0+e e& ;2@ de &as *e#sonas 0+e se in$o#!an so4#e *ó&i/as de se"+#os de vida7 ad0+ie#en e$ectiva!ente +na de dic'as *ó&i/as e& 2@ no &o 'ace) Se"5n &os #e"ist#os de &a co!*aía e& 82@ de 0+ienes *#e"+nta#on *o# se"+#os de vida &os ad0+i#ie#on tienen in"#esos an+a&es ent#e ;22)222 822)2227 !ient#as 0+e só&o e& 12@ de 0+ienes se in$o#!a#on no to!a#on e& se"+#o de vida tienen e& !is!o nive& de in"#esosa. Una *e#sona 0+e *idió in$o#!es so4#e se"+#os tenía +n in"#eso de 1;2)222) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e to!e +na *ó&i/a de se"+#os de vida 4. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e +na *e#sona 0+e to!a in$o#!es no tiene in"#esos ent#e ;22)222 822)222 to!e +na *ó&i/a de se"+#os de vida) <
1<)
E& 2@ de &as ventas a c#dito de +na e!*#esa co##es*onden a c&ientes !ao#istas7 !ient#as 0+e e& 12@ de e&&as co##es*onde a c&ientes !ino#istas) Se sa4e 0+e e& ;2@ de &os c&ientes !ao#istas no *a"an *+nt+a&!ente s+s $act+#as7 !ient#as 0+e só&o e& (2@ de &oGs c&ientes !ino#istas se at#asan en s+s *a"os) Si se esco"e a& a/a# +na $act+#a #es+&ta de &as 0+e no 'an sido cance&adas o*o#t+na!ente) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e *e#tene/ca a +n co!e#ciante !ao#ista
1)
Se tiene dos +#nas cada +na con dos ca6ones) La +#na +no tiene +na !oneda de o#o en +n ca6ón +na de *&ata en e& ot#o) La +#na dos tiene +na !oneda de o#o en cada ca6ón) Se e&i"e +na +#na a& a/a# &+e"o se e&i"e +n ca6ón se saca +na !oneda 0+e #es+&ta se# de o#o) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e *#oven"a de &a +#na dos
1)
Dos t+4os de$ect+osos se con$+nden con dos 4+enos) Los t+4os se *#+e4an +no *o# +no 'asta encont#a# &os de$ect+osos) a. 4.
C+:& es &a *#o4a4i&idad de encont#a# e& 5&ti!o de$ect+oso en &a se"+nda *#+e4a C+:& es &a *#o4a4i&idad de encont#a# e& 5&ti!o t+4o de$ect+oso en &a te#ce#a *#+e4a
1G)
Cie#to ind+st#ia& *#od+ce te&eviso#es en dos $:4#icas) E& (2@ de te&eviso#es *#od+cidos en &a $:4#ica A se envían con de$ectos e& 3@ de &os *#od+cidos en B7 ta!4in se envían con de$ectos) Si A *#od+ce (2)222 te&eviso#es a& ao B *#od+ce 32)222 te&eviso#es a& ao) C+:& es &a *#o4a4i&idad de co!*#a# +n te&eviso# de$ect+oso a este ind+st#ia&)
;2)
Un est+diante tiene +n des*e#tado# c+a ca!*ani&&a s+ena con +na *#o4a4i&idad de 27) Si s+ena7 e& est+diante des*ie#ta a tie!*o con +na *#o4a4i&idad de 27 si no s+ena7 des*ie#ta a tie!*o con *#o4a4i&idad 27;) a. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e& est+diante des*ie#te a tie!*o 4. Si +n día se 0+edó do#!ido) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e no '+4ie#a sonado e& des*e#tados
;()
E& di#ecto# de se"+#idad *54&ica7 esti!a 0+e e& 3@ de &os a+to!óvi&es estacionados en e& cent#o de &a ci+dad se 0+edan con &as &&aves en e& encendido) Conside#a ade!:s 0+e 'a +n (2@ de *#o4a4i&idad de 0+e estos a+tos sean #o4ados7 en ca!4io e,iste +n 27223@ de *#o4a4i&idad de 0+e se #o4en +n a+to a& 0+e no &e 'an de6ado &as &&aves) De 'a4e#se #o4ado +n a+to) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e &as &&aves est+viesen en e& encendido)
;1)
Se 'a dete#!inado 0+e e& 83@ de &os "e#entes de o$icina son !ao#es de 83 aos) De a0+e&&os 0+e son !eno#es de 83 aos7 e& <2@ &&e"a#on a &a "e#encia *asando *o# ventas) Si se esco"e +n "e#ente de o$icina a& a/a# es de &os 0+e no &&e"a#on a &a "e#encia *asando *o# ventas) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e sea !ao# de 83 aos)
;;)
T#es a&+!nos #es+e&ven +n *#o4&e!a de estadística) Se sa4e 0+e e& a&+!no +no #es+e&ve e& do4&e de *#o4&e!as 0+e e& a&+!no dos7 0+e e& a&+!no dos t#es #es+e&ven e& !is!o n5!e#o de *#o4&e!as) Ade!:s se sa4e 0+e e& a&+!no +no
#ea&i/a e& 32@ de s+s *#o4&e!as 4+enos7 !ient#as 0+e e& a&+!no dos #ea&i/a e& 13@ de s+s *#o4&e!as 4+enos *a#a e& a&+!no t#es no se tienen antecedentes en este sentido) Se 6+ntan &os t#es #es+&tados se esco"e +no a& a/a#) Si &a *#o4a4i&idad de 0+e e& *#o4&e!a este 4+eno es 27;3) C+:& es e& *o#centa6e de *#o4&e!as 4+enos #es+e&tos *o# e& est+diante t#es) ;8)
En ca&idad de vendedo# de 4onos7 +sted est: *ensando +sa# +na &ista de *#o*ieta#ios de acciones *a#a e$ect+a# s+ *+4&icidad *o# co##eo) Se sa4e 0+e e& 82@ de &os inve#sionistas $inancie#os tienen so&a!ente acciones e& (2@ tienen só&o 4onos7 !ient#as 0+e ot#o 12@ tienen de a!4os &os #estantes no tienen ni 4onos ni acciones) Entonces7 si +n inve#sionista es *#o*ieta#io de acciones) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e ta!4in sea inve#sionista en 4onos) ;3) Ed+a#do conoce a +na n+eva c'ica en &a !itad de &as $iestas 0+e asiste) T#es c+a#tas *a#tes de &as veces en 0+e conoce a +na n+eva 6oven se divie#te7 *e#o &a *#o4a4i&idad de 0+e se divie#ta c+ando no conoce a +na n+eva c'ica es so&a!ente de& (2@) Ed+a#do aca4a de deci# 0+e se est: divi#tiendo) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e 'aa conocido +na n+eva 6oven)
;<)
Un #e*#esentante de ventas de4e visita# +na #e"ión 0+e tiene ci+dades "#andes (1 ci+dades *e0+eas) En cada ci+dad "#ande se enc+ent#an esta4&ecidos dist#i4+ido#es !ao#istas dist#i4+ido#es !ino#istas en +na *#o*o#ción de 1 es a en cada ci+dad *e0+ea &os !ao#istas !ino#istas est:n en +na #e&ación de ; es a G) Si se se&ecciona +na ci+dad a& a/a# de &a ci+dad se&eccionada) a. 4. c.
;)
C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e& dist#i4+ido# e&e"ido sea !ino#ista Si se se&eccionan a& a/a# dos ci+dades a &a ve/ se co!*#+e4a 0+e +na de &as ci+dades es "#ande) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e &a ot#a ci+dad ta!4in sea "#ande C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e 'a4iendo se&eccionado +n dist#i4+ido# !ao#ista este *#oven"a de +na ci+dad "#ande
Una a"encia de via6es7 o#"ani/ó t#es ti*os de e,c+#siones a E+#o*a E+#o*a *into#esca7 E+#o*a de*o#tiva E+#o*a c+&t+#a&7 0+e &os t+#istas co!*#a#on en &as si"+ientes *#o*o#ciones 83@7 ;2@ 13@ #es*ectiva!ente) Pa#a e& t#ans*o#te a& vie6o continente se o$#ecie#on t#es a&te#nativas7 +ti&i/ando di$e#entes ae#o&íneas 9A7 B7 C. c+os #es*ectivos *o#centa6es de e,c+#sionistas *a#a cada +no de &os ti*os de e,c+#siones o$#ecidas $+e#on &os si"+ientes Ae#o&ínea A Ae#o&ínea B Ae#o&ínea C
E) *into#esca 32@ (3@ ;3@
E) de*o#tiva (2@ 2@ (2@
E) C+&t+#a& 82@ 3@ 33@
Con &a in$o#!ación ante#io# se *idea. 4.
C+:& ae#o&ínea t#ans*o#tó e& !ao# n5!e#o de *asa6e#os Si se&ecciona!os +n e,c+#sionista a& a/a# nos dice 0+e to!ó &a e,c+#sión E+#o*a c+&t+#a&) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e 'aa vo&ado *o# &a ae#o&ínea B)
;)
Una !oneda est: ca#"ada de !odo 0+e sa&e ca#a t#es veces 7!:s a !en+do 0+e se&&o) La !oneda se &an/a t#es veces) Sea Q e& n5!e#o de ca#as 0+e se o4tienen) Ca&c+&a#a. 4. c. d.
;G)
La $+nción de *#o4a4i&idad La $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada La *#o4a4i&idad de o4tene# !enos de t#es ca#as) La *#o4a4i&idad de 0+e e& n5!e#o de ca#as o4tenidas sea !eno# 0+e +no7 si sa4e 0+e dic'o n5!e#o es !eno# 0+e dos)
La cantidad , de dia#ios 0+e vende cie#to vendedo# de *e#iódicos *o# 'o#as co##es*onde a +n $enó!eno a&eato#io con &a si"+iente $+nción de *#o4a4i&idadP 9,. = a. 4. c.
82)
si , = (7 17 ; , = 87 37 < t)o)()
Eva&+a# A C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e& n5!e#o de *e#iódicos vendidos en +na 'o#a sea !ao# 0+e dos *e#o !eno# e i"+a& a cinco Ca&c+&a# e& n5!e#o es*e#ado de *e#iódicos vendidos en +na 'o#a)
Dada &a si"+iente $+nciónF 9,. =
a. 4. c. d. 8()
A, A 932 – ,.
271 27(, 273 27(, 2
si
, = (71 , = ;78 t)o)()
Ve#i$i0+e si $ 9,. es $+nción de c+antía Const#+a &a $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada F9,. Ca&c+&e F 9, 1 O , 8.) Ca&c+&e E 9,. V 91, ;.)
E& n5!e#o de *#o4&e!as #es+e&tos co##ecta!ente *o# +n a&+!no en +na *#+e4a de estadística es +na va#ia4&e a&eato#ia ,7 con &a si"+iente $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada2 si - , 2 (O 2 , ( F 9,. = 8O ( , 1
81)
Se s+*one 0+e e& di:!et#o de +n ca4&e e&ct#ico es +na va#ia4&e a&eato#ia contin+a con &a si"+iente $+nción de densidadF 9,. =
<, 9(K,. 2
2 , t)o)()
(
a. Ve#i$i0+e 0+e dic'a $+nción es $+nción de densidad) 4. 4ten"a &a $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada F 9,.) c. Ca&c+&e i. P 9(O8 , ;O8. ii. P9 , O (O; , 1O;. d. Ca&c+&e i. E 9 , 1. ii. V 9 1, c. 8;)
Sea $ 9,. &a si"+iente $+nción-
$ 9,. =
2 , 1–, 2
,2 2 , ( ( , 1 , 1
a. Es $ 9,. +na $+nción de densidad 4. Si $ 9,. es +na $+nción de densidad ca&c+&ei. La $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada F 9,. ii. P 9 , 1. iii. E 91, – ;. 88)
La dist#i4+ción de vida d+#ante &a c+a& cie#ta !a#ca de co!*+tado#a $+nciona e$ica/!ente7 es deci#7 'o#as de o*e#ación e$ica/ antes de &a *#i!e#a desco!*ost+#a7 es +na va#ia4&e a&eato#ia con $+nción de densidad e,*onencia& de *a#:!et#o = ;<2 'o#as dada *o#$9t.=
(O 2
e –t O
t 2 t)o)()
a. Enc+ent#e &a $+nción de dist#i4+ción ac+!+&ada 4. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e dic'a co!*+tado#a $+nciones e$ica/!ente !:s de 12 'o#as) c. Ca&c+&e &a- *#o!edio 0+e &a co!*+tado#a *+ede $+nciona# e$ica/!ente antes de &a *#i!e#a desco!*ost+#a) 83)
S+*on"a 0+e &a vida en 'o#as de +n cie#to ti*o de *i&as *a#a #adio tiene *o# $+nción de densidad(22 O ,1 , (22 2 t)o)() a. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e +na *i&a d+#e !enos de 122 'o#as si se sa4e 0+e dic'a *i&a $+nciona des*+s de (32 'o#as de se#vicio 4. C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e de t#es de estas *i&as nin"+na ten"a 0+e se# s+stit+ida en +n dete#!inado a*a#ato d+#ante &as *#i!e#as (32 'o#as de +so $9,. =
(2
8<)
Una va#ia4&e a&eato#ia Q7 tiene $+nción de densidad$ 9 ,. =
( 2
2,( t)o)()
Dete#!ina# e& n5!e#o a7 ta& 0+e &a *#o4a4i&idad de 0+e a& !enos +no de &os c+at#o va&o#es de ,7 e,t#aídos a& a/a#7 e,ceda a a sea 27G 8)
E& di:!et#o de cie#to ti*o de #oda!ientos es$#icos7 es +na va#ia4&e a&eato#ia Q7 con densidad$9,. = a. 4.
8)
, 9 1 – , . 2
2 , 1 , en !!) t)o)()
C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e& di:!et#o de +n #oda!iento7 se di$e#encie de& di:!et#o !edio en !enos de 27( !!) Si se desec'an &os #oda!ientos c+os di:!et#os son in$e#io#es a 273 !!) C+:& es e& *o#centa6e de #oda!ientos desec'ados
E& e##o# 0+e se co!ete a& &ee# +n inst#+!ento es +na va#ia4&e a&eato#ia Q 9en +nidades de !edida de& inst#+!ento. con densidad$9,. =
9 ( – ,1 . 2
K( , ( t)o)()
a. Ca&c+&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e e& va&o# a4so&+to de& e##o# de &ect+#a sea !eno# 0+e +n !edio) 4. Ca&c+&a# P 9 , O , 2 . c. Ca&c+&a# &a !edia &a va#ian/a de& e##o# de &ect+#a7 co!etido a& &ee# e& inst#+!ento) 8G)
Los estan0+es de 4encina de +na estación de se#vicios se &&enan todos &os !i#co&es) Se esti!a 0+e &a de!anda se!ana& de este co!4+sti4&e es +na va#ia4&e a&eato#ia Q 9 en !i&es de &it#os . con densidad-
32)
Los Ca6e#os de +n 4anco co!eten e##o#es a& saca# s+s 4a&ances a& *#o!edio de 273 e##o#es *o# 'o6a) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e en c+at#o 'o6as 'aa dos o !enos e##o#es)
3()
Un dist#i4+ido# de &avado#as se a4astece con &o 0+e &e ent#e"an t#es $:4#icas distintas A7 B C) Cada +na de estas &e ent#e"a e& !is!o *o#centa6e de a#te$actos) Revisando &os a#c'ivos de ventas7 e& dist#i4+ido# 'a detectado 0+e de &a ent#e"a 0+e &e 'ace A +n 8@ tienen $a&&as !ient#as 0+e de B só&o *#ovienen +n (@ de$ect+osas &a *#o4a4i&idad de saca# +na de$ect+osa de todo e& &ote es i"+a& a a+n (2@)) Si se saca a& a/a# +na !+est#a de (2 &avado#as) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e &a !+est#a conten"a dos &avado#as de$ect+osas 0+e *#oven"a de &a $:4#ica C
31)
E& n5!e#o de e##o#es ti*o"#:$icos 0+e a*a#ecen en &a *:"ina cent#a& de +n *e#iódico se dist#i4+e se"5n +na dist#i4+ción de Poisson) Un e,*e#to nos 'a in$o#!ado 0+e e& n5!e#o *#o!edio de e##o#es es de (73 *o# *:"ina) Usted to!a +n *e#iódico ((
e,a!ina t#es *:"inas no desc+4#e nin"5n e##o#) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 'a4e# o4tenido este #es+&tado en e& !+est#eo) 3;)
Se ins*eccionan inte##+*to#es en &otes de 32 +nidades) Pa#a e&&o se *#+e4an (2 inte##+*to#es de +n &ote si se enc+ent#an +no !:s de$ect+osos se ins*ecciona e& (22@) Si s+*one!os t#es de$ect+osos en e& &ote) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e se necesite (22@ de ins*ección)
38)
Una ind+st#ia ase"+#a 0+e no !:s de 1@ de s+s a#tíc+&os son de$ect+osos) #eci4i# +n &ote de 82 a#tíc+&os se saca +na !+est#a de 3 sin #e*osición-
Pa#a
a. C+:& es &a *#o4a4i&idad de ace*ta# e& &ote 4. C+:& es &a *#o4a4i&idad de ace*ta# e& &ote si &a !+est#a se saca con #e*osición 33)
Una #esidencia& tiene desoc+*ados doce c+a#tos con 4aos oc'o c+a#tos sin 4aos) L&e"an c+at#o via6e#os e&i"en a& a/a# s+s c+a#tos) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e ent#e &os #ecin &&e"ados a &o !:s t#es oc+*en c+a#tos con 4aos)
3<)
S+*ón"ase 0+e e& ;2@ de todos &os *acientes 0+e 'an #eci4ido cie#ta !edicación van a s+$#i# e$ecto sec+nda#io de te!*e#at+#a e&evada) Ha&&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e (3 *acientes 0+e 'aan #eci4ido esta !edicacióna. 3 *acientes a &o !as s+$#i#:n e& e$ecto sec+nda#io 4. 3 *acientes *o# &o !enos s+$#i#:n ta& e$ecto sec+nda#io c. S+$#i#:n ta& e$ecto sec+nda#io no !enos de dos o !:s de 8 *acientes)
3)
La *#o4a4i&idad de 0+e +na a!*o&&eta de se!:$o#o $a&&e antes de &as ()222 '#s) De $+nciona!iento es 278) En cie#ta es0+ina se co&oca +n se!:$o#o con seis a!*o&&etas n+evas) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e *o# &o !enos c+at#o de e&&as si"an $+ncionando des*+s de &as ()222 'o#as)
3)
E& n5!e#o de *e#sonas 0+e #e0+ie#en atención en +n cent#o !dico ent#e &as );2 G)22 '#s) de +n día de t#a4a6o es +na va#ia4&e a&eato#ia con dist#i4+ción de Poisson con !edia c+at#o *e#sonas) a. Ca&c+&e &a *#o4a4i&idad de 0+e en +n día dete#!inado no se *#esenten *e#sonas 0+e #e0+ie#en atención en &as 'o#as indicadas) 4. Si e& cent#o !dico inicia s+ 'o#a#io de atención a &as );2 'o#as) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e a &as )22 'o#as 'aan &&e"ado *o# &o !enos dos *e#sonas)
3G)
En +na o$icina de #ese#vaciones de *asa6es a#eos7 &as &&a!adas te&e$ónicas &&e"an a #a/ón de +na cada 3 !in+tos) S+*oniendo 0+e &os &&a!ados son inde*endientes &&e"an a $o#!a a&eato#ia C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e oc+##an !:s de +na &&a!ada en c+a&0+ie# !in+to dado)
<2)
Una e!*#esa co!*#a dete#!inado co!*onente e&ect#ónico en "#andes cantidades) La decisión de ace*ta# cada &ote ad0+i#ido o de #ec'a/a#&o se 4asa en +na !+est#a de 12 *#od+ctos) Si a&"+no de &os 12 a#tíc+&os #es+&ta de$ect+oso e& &ote se #ec'a/a de ot#o !odo se ace*ta) C+:& es &a *#o4a4i&idad de #ec'a/a# +n &ote 0+e tiene e& (@ de a#tíc+&os de$ect+osos) (1
<()
La *#od+cción dia#ia de +na !:0+ina A es e& do4&e de &a 0+e ent#e"a &a !:0+ina B) E& 8@ de &a *#od+cción de A es de$ect+osa !ient#as 0+e de B só&o *#oviene +n 1@ de$ect+osa) Se to!an (2 a#tíc+&os de &a *#od+cción co!4inadas7 se *ide &a *#o4a4i&idad de 0+e &a !+est#a conten"a dos a#tíc+&os de$ect+osos)
<1)
E& n5!e#o de *a#tíc+&as e!itidas *o# +na $+ente #adioactiva d+#ante +n *e#íodo dado7 es +na va#ia4&e a&eato#ia con dist#i4+ción Poisson) Si &a *#o4a4i&idad de nin"+na e!isión es (O;7 dete#!ina# &a *#o4a4i&idad de 0+e oc+##an dos o !as e!isiones)
<;)
La va#ia4&e a&eato#ia , tiene $+nción de densidad dada *o# $9,. =
,O1 2
2,1 t)o)()
Se 'acen t#es dete#!inaciones inde*endientes de ,) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e e,acta!ente dos sean !ao#es 0+e +no) <8)
E& n5!e#o , de *a#tíc+&as e!itidas *o# +na $+ente #adioactiva en +n *e#íodo de (2 se") tiene dist#i4+ción Poisson de *a#:!et#o = 3) Ca&c+&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e en inte#va&os de (2 se"+ndos sean e!itidas c+at#o o !:s *a#tíc+&as)
<3)
Se *#+e4an (2 *i&as de #adios en (2 a*a#atos di$e#entes) Cada *i&a tiene +na *#o4a4i&idad 271 de $a&&a# antes de &as (22 'o#as de $+nciona!iento contin+adoa. 4.
<<)
Ca&c+&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e nin"+na $a&&e antes de (22 'o#as de $+nciona!iento) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e $a&&e a &o !:s +n t+4o dado 0+e se sa4e 0+e no *+eden $a&&a# !:s de t#es antes de (22 'o#as de $+nciona!iento
E,isten dos *#ocesos *a#a $a4#ica# +n $+si4&e) E& *#oceso I7 da +na d+#ación en 'o#as7 0+e *+ede conside#a#se co!o +na va#ia4&e a&eato#ia con &a si"+iente $+nción de densidad1 100
e
x / 100
,
2
$9,.= 2
t)o)(
E& *#oceso II7 da +na d+#ación7 0+e *+ede conside#a#se ta!4in co!o +na va#ia4&e a&eato#ia con &a si"+iente $+nción de *#o4a4i&idad 1 150
e
x / 150
$ 9 , . = 2
t)o)(
S+*on"a 0+e e& *#oceso II7 es e& do4&e !as ca#o 0+e e& *#oceso I7 e& c+a& c+esta 3 *o# $+si4&e) S+*on"a ade!:s7 0+e si +n $+si4&e d+#a !enos de 122 'o#as7 se ca#"a +na *#dida de 1 en cont#a de& $a4#icante) W+ *#oceso es *#e$e#i4&e +sa)
(;
<)
E& n5!e#o Q de 4+0+es tan0+es 0+e &&e"an dia#ia!ente a +n *+e#to tienen dist#i4+ción Poisson de *a#:!et#o = 1) Las insta&aciones *e#!iten atende# 'asta t#es 4+0+es dia#ios) Si &&e"an !:s de t#es 4+0+es e&&os de4en i# a ot#o *+e#to vecino) Ca&c+&a#a. E& n5!e#o es*e#ado de 4+0+es atendidos *o# día 4. E& n5!e#o es*e#ado de 4+0+es dev+e&tos *o# día)
<)
En &a *#od+cción de +na $:4#ica e& @ 3 de &as +nidades *#od+cidas son de$ect+osas) Po# !otivos de cont#o& se esco"e +na !+est#a de (2 +nidades) Si Q es &a va#ia4&e a&eato#ia 0+e !ide e& n5!e#o de a#tíc+&os de$ect+osos) Ca&c+&a# E 9,. V9,.)
E& 1@ de &as ca#tas 0+e se envían a cie#ta ci+dad no &&evan &os ti!4#es *osta&es co##ectos) En 822 de dic'as ca#tas c+:ntos ti!4#es inco##ectos se es*e#a#ía encont#a#)
2)
Un esti!ado# de costos *a#a *#oectos "+4e#na!enta&es7 desc+4#e 0+e s+ ca*acidad *a#a esti!a# costos7 esta dist#i4+ida no#!a&!ente a&#ededo# de& costo ve#dade#o7 con +na desviación est:nda# de (2)222) Si este es e& caso) W+e *o#centa6e de &as veces s+s esti!aciones esta#íana. Dent#o de (3)222 #es*ecto a& costo ve#dade#o) 4. Dent#o de 12)222 #es*ecto a& costo ve#dade#o)
()
Mediante +n *#oceso de *#od+cción de t+4e#ías7 se $a4#ican *ie/as con +n di:!et#o !edio de 172 *+&"adas con +na desviación est:nda# de 272( *+&"ada) La t+4e#ía con di:!et#o 0+e va#ía *o# !as de 272; *+&"adas #es*ecto a &a !edia se conside#a de$ect+osa a. W+ *o#centa6e de &a t+4e#ía se esta#: de$ect+osa 4. C+:& es &a *#o4a4i&idad de encont#a# dos *ie/as de$ect+osas consec+tivas)
1)
E& *eso de &os *escados at#a*ados *o# +n 4a#co es a*#o,i!ada!ente no#!a& con +na !edia de 873 i&os +na desviación est:nda# de 273 i&os) a. W+ *o#centa6e de &os *eces *esa#:n !enos de 872 i&os 4. W+ *o#centa6e de& *eso de &os *eces se#: in$e#io# a +n i&o"#a!o de& *eso *#o!edio
;)
Si &a dist#i4+ción de &os *e#íodos de d+#ación de &os *ostes te&e$ónicos es ta& 0+e e& G73(@ tienen *e#íodos de d+#ación 0+e e,ceden &os (3 aos 0+e e& <1733@ tienen *e#íodos de d+#ación 0+e s+*e#an &os n+eve aos) C+:& es &a !edia &a desviación est:nda# si se ad!ite 0+e &a dist#i4+ción de &os *e#íodos de d+#ación es no#!a&)
8)
En +n &oca& de de!anda se!ana& de +n *#od+cto tiene dist#i4+ción N 9(2 273.) E& enca#"ado de& &oca& decide t#ae# 32 +nidades se!ana&es de ta& *#od+cto) E& *#ecio de co!*#a de cada *#od+cto es de ;2 e& enca#"ado &os vende en 122) Ca&c+&a# &a +ti&idad es*e#ada *o# este ite! (8
3)
La ca&i$icación *#o!edio en +n e,a!en *#esentado *o# n+!e#osos a&+!nos $+e de 2 *+ntos) La desviación est:nda# de &as *+nt+aciones $+e de < *+ntos) E& *#o$eso# de &a c&ase 'a decidido oto#"a# &a ca&i$icación MB a& (2@ de &os a&+!nos) S+*oniendo 0+e &as *+nt+aciones se dist#i4+en no#!a&!ente) C+:& se#: &a *+nt+ación !íni!a *a#a o4tene# +n MB)
<)
Se es*ecí$ica 0+e e& di:!et#o e,te#io# de +na $&ec'a7 &&a!!os&o D7 de4e se# de 8 *+&"adas) S+*ón"ase 0+e D es +na va#ia4&e a&eato#ia dist#i4+ida no#!a&!ente con *#o!edio 8 *+&"adas va#ian/a 272( *+&"ada 1) Si e& di:!et#o #ea& se di$e#encia de di:!et#o es*eci$icado *o# !as de 2723 *+&"adas *e#o en !enos de 272 *+&"adas &a *#dida de& $a4#icante es 2732) Si e& di:!et#o #ea& se di$e#encia de& di:!et#o es*eci$icado en !as de 272 *+&"adas &a *#dida es (2) Ca&c+&e e& va&o# es*e#ado de &a *#dida *a#a e& $a4#icante)
)
Un co!4+sti4&e *a#a co'o#tes contiene cie#to *o#centa6e 9&&a!!os&o Q. de +n co!*+esto *a#tic+&a#) Las es*eci$icaciones e,i"en 0+e , este ent#e ;2@ ;3@) E& $a4#icante tend#: +na +ti&idad neta en e& co!4+sti4&e 9*o# "a&ón. 0+e es &a si"+iente $+nción de , 27(2 2723 T9Q. = K 27(2
si ;2 , ;3 ;3 , 82 ó 13 , ;2 t)o)()
a. Si Q tiene dist#i4+ción N9;; G.) Ca&c+&e E 9T. 4. S+*ón"ase 0+e e& $a4#icante desea a+!enta# s+ +ti&idad es*e#ada en 32@ a+!entando s+ +ti&idad *o# "a&ón en a0+e&&as *a#tidas 0+e satis$acen &as es*eci$icaciones ;2 , ;3) C+:& de4e se# &a +ti&idad neta *a#a estas *a#tidas )
32 a#tíc+&os tienen +n *eso !edio de 3721 i&os +na desviación est:nda# de 27; i&os) Ca&c+&e &a *#o4a4i&idad de 0+e en +na !+est#a a&eato#ia de (22 a#tíc+&os e&e"idos de ese "#+*o ten"a +n *eso *#o!edio ent#e 87G< 372 i&os)
G)
Cie#tos t+4os $a4#icados *o# +na co!*aía tienen +na d+#ación !edia de 22 'o#as +na desviación est:nda# de <2 'o#as) Ha&&a# &a *#o4a4i&idad de 0+e +na !+est#a a& a/a# de (< t+4os to!ada de ent#e e&&os ten"a +na d+#ación !ediaa. Ent#e G2 (2 'o#as 4. Meno# de 3 'o#as c. Mao# de 12 'o#as)
2)
Si &a vida !edia de o*e#ación de +na *i&a de &inte#na es de 18 'o#as esta dist#i4+ida no#!a&!ente con +na desviación est:nda# de t#es 'o#as) C+:& es &a *#o4a4i&idad de 0+e +na !+est#a a&eato#ia de (22 *i&as ten"a +na !edia 0+e se desvíe *o# !:s de ;2 !in+tos de& *#o!edio
(3
()
Un $a4#icante de ac+!+&ado#es ase"+#a 0+e s+ *#od+cto tiene +na vida *#o!edio de 32 !eses con +na desviación est:nda# de 8 !eses W+ ta!ao de !+est#a de4e#ía conside#a#se a $in de 0+e &a *#o4a4i&idad de 0+e &a !edia de &a !+est#a no va#íe en !as de +n !es con #es*ecto a &a vida *#o!edio sea de +n <7<8@)
(<
