UNIDAD IV PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE DATOS NUMÉRICOS

ESTADISTICA INFERENCIAL 1 MUESTRAS DE DATOS NUMÉRICOS

UNIDAD 4: PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS

4.1 INTRODUCCIÓN PRUEBAS DE HIPÓTESIS Introducción: Prueba de hipótesis En esta unidad nos concentraremos en la prueba de hipótesis, otro aspecto de la inferencia estadística que al igual que la estimación del intervalo de confianza, se basa en la información de la muestra. Se desarrolla una metodología paso a paso que le permita hacer inferencias sobre un parámetro poblacional mediante el análisis diferencial entre los resultados observados (estadístico de la muestra) y los resultados de la muestra esperados si la hipótesis subyacente es realmente cierta. En el problema de estimación se trata de elegir el valor de un parámetro de la población, mientras que en las pruebas de hipótesis se trata de decidir entre aceptar o rechazar un valor especificado (por ejemplo, si el nivel de centramiento de un proceso es o no lo es). Prueba de hipótesis: Estadísticamente una prueba de hipótesis es cualquier afirmación acerca de una población y/o sus parámetros. Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. La decisión consiste en rechazar o no una hipótesis en favor de la otra. Una hipótesis estadística se denota por “H” y son dos: - Ho: hipótesis nula - H1: hipótesis alternativa Partes de una hipótesis 1-La hipótesis nula “Ho” 2-La hipótesis alternativa “H1” 3-El estadístico de prueba 4-Errores tipo I y II 5La región de rechazo (crítica) 6-La toma de decisión 1. Concepto: Una prueba de hipótesis estadística es una conjetura de una o más poblaciones. Nunca se sabe con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, a no ser que se examine la población entera. Esto por su puesto sería impráctico en la mayoría de las situaciones. En su lugar, se toma una muestra aleatoria de la población de interés y se utilizan los datos que contiene tal muestra para proporcionar evidencia que confirme o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que es un constante con la hipótesis planteada conduce a un rechazo de la misma mientras que la evidencia que apoya la hipótesis conduce a su aceptación. Definición de prueba de hipótesis estadística es que cuantifica el proceso de toma de decisiones. Por cada tipo de prueba de hipótesis se puede calcular una prueba estadística apropiada. apropiada. Esta prueba estadística mide el acercamiento del calor de la muestra (como un promedio) a la hipótesis nula. La prueba estadística, sigue una distribución estadística bien conocida (normal, etc.) o se puede desarrollar una distribución para la prueba estadística particular. La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que el proceso funciona correctamente. Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

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En estadística y probabilidad se llama llama distri distribu bució ciónn norma normal,l, distri distribu bució ciónn de Gauss Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. parámetro . Esta curva se conoce como campana de Gauss. Gauss . La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontro incontrolab lables les que en ellos ellos intervien intervienen, en, el uso del modelo normal normal pue puede de justifica justificarse rse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho hecho,, la estad estadíst ística ica es un mod model eloo ma matem temáti ático co que que sólo sólo permi permite te descr describi ibirr un fenóme fen ómeno no,, sin explic explicaci ación ón algun alguna. a. Para Para la expli explica cació ciónn causa causall es precis precisoo el diseñ diseñoo experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distri distribu bució ciónn norma normall tambi también én es import importan ante te por por su relaci relación ón con la estima estimació ciónn por por mínimos cuadrados, cuadrados , uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. [1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad". En probabilidad y estadística, estadística, la dist distri ribu buci ción ón t (de (de Stud Studen ent) t) es una una distribu distribución ción de probabilidad que surge del problema de estimar la estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción construcción del intervalo de confianza confianza para para la difere diferenci nciaa entre entre las med medias ias de dos dos pobla poblacio cione ness cuand cuandoo se desco descono noce ce la desviación desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

Donde •

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1

•

V tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son independientes

•

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Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ. 4.3 PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA SIGNIFICANCIA Las pruebas de significancia estadística son un procedimiento que brinda un criterio objetivo para calificar las diferencias que se presentan al comparar los resultados de dos muestras, con el objetivo de explicar si dichas diferencias se mantienen dentro de los límites previstos por el diseño estadístico (un error y una confianza esperados) esperados) o si, por el contrario, la diferencia entre ellas resulta lo suficientemente grande como para inferir que ha ocurrido un cambio real en el indicador 4.4 COMPARACIÓN DE DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES: PRUEBAS T PARA LAS DIFERENCIAS ENTRE NORMALES. Para comparar las medias de dos muestras aleatorias procedentes de dos poblaciones norm normal ales es e inde indepe pend ndie ient ntes es,, se util utiliz izaa el proc proced edim imie ient ntoo Prue Prueba ba T para para mu mues estr tras as independientes, y para ello, se selecciona:

A continuación se abre una ventana con los siguientes campos: Contrastar variables: donde se han de introducir las variables que se van a analizar, es decir, aquellas variables sobre las que se va a contrastar si hay o no, diferencias de grupos. Variable de agrupación: aquí se debe introducir la variable que se utiliza para definir los grupos de sujetos sobre los que se estudian las diferencias. diferencias. Entonces el sistema activa el botón definir grupos y al presionarlo aparece una ventana donde se introducen los valores de la variable que definen los dos grupos de sujetos a comparar, o el valor de la variable que hará de corte para definir dichos grupos. Si el valor de la variable para un individuo es menor o igual que el valor especificado, el individuo pertenecerá al primer grupo, y en caso contrario, al segundo. Opciones: Opciones: presionando este botón se obtiene una ventana donde se especifica igual que en la sección anterior el nivel de confianza para el intervalo y la forma de tratar los valores missing. Vamos a comproba comprobarr si existen existen diferenc diferencias ias significa significativa tivass ent entre re los tiempos tiempos Ejemplo: Vamos medios de dedicación a la docencia, para los profesores asociados y los titulares de

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universidad universidad de Profesores2.sav. Profesores2.sav. Para ello, seleccionamos seleccionamos el procedimiento procedimiento Prueba T para muestr mue stras as indep indepen endi dient entes, es, y elegi elegimos mos la variab variable le Tiemdo Tiemdocc para para lleva llevarla rla al campo campo contrastar variables. Seguidamente seleccionamos como variable agrupación la variable categoría, presionamos el botón definir grupos, y tecleamos un 1 en el primer grupo y un 3 en el segundo. Por último pulsamos continuar y aceptar para ejecutar el procedimiento. El resultado que muestra la Tabla contiene dos tablas. La primera recoge para ambos grupos, profesores asociados y titulares de universidad, el número de casos en cada muestra, los tiempos medios dedicados a la docencia, las desviaciones típicas y los errores típicos de la media. La segunda tabla muestra el valor del estadístico para la prueba de Levene sobre la igualdad de varianzas, junto con su p-valor. Este se distribuye como una F de Snedecor y vale 0.808, mientras que su p-valor 0.373, lo que nos conduce a aceptar que las varianzas sean iguales, ya que el p-valor es mayor que 0.05. También aparece en la tabla el valor del estadístico para resolver el contraste de igualdad de medias, supuesto supuesto varianzas iguales y distintas, (en ambos casos se distribuye como una t de Studen Student), t), junto junto con los correspondie correspondiente ntess grados grados de libertad libertad y sus p-valores. p-valores. Puesto Puesto que hemos concluido que las varianzas coinciden, fijémonos en el que se han asumido varianzas iguales, el cual vale 8.661, y cuyo p-valor es 0, luego se rechaza que las medias med ias coinc coincida idan. n. Razon Razonam amien iento to que que tam tambié biénn se pued puedee dedu deducir cir del del interv interval aloo de confianza, que no contiene el cero.

Tabla : Contraste sobre las Medias de dos Poblaciones Independientes Prueba T Estadísticos de Grupo Desviación Desviación Error típ. de Categoría N Media típ. la media Tiempo diario 1 29 251,3759 29,36731 5,4534 para la docencia 3 23 187,1000 22,5337 4,6986 Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la iguald igualdad ad Prueba Prueba T para la igua igualdad ldad de de medias medias de varianzas Error Sig. Diferenci típico de Intervalo de F Sig. t gl bilater a de la confi confian anza za para para al medias diferenci la diferencia a Inferior Superio r Tiempo Asumiend 0.80 0,37 8,66 50 0.000 64,2759 7,4209 49,370 79,181 o 8 3 1 4 3 diario varianzas iguales para la No 8,92 49,96 0.000 64,2759 7,1983 49,817 78,734 Asumiend 9 1 3 5

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o docenci varianzas a iguales En muchos estudios, incluidos la mayoría de los ensayos clínicos, es necesario comparar comparar ciertas características en dos o más grupos de sujetos. Tal sería el caso, por ejemplo, si pensamos que un tratamiento nuevo puede tener un porcentaje de mejoría mayor que otro otro están estánda dar, r, o cuand cuandoo nos nos plant plantea eamos mos si los niños niños de las las distin distintas tas comun comunida idade dess autónomas tienen o no la misma altura. En este artículo se analizará únicamente el problema de la comparación de dos grupos con respecto a una variable continua. La elección de un método de análisis apropiado en este caso dependerá dependerá de la naturaleza de los datos y la forma en la que estos hayan sido obtenidos. obtenidos. Fundamentalmente, Fundamentalmente, cuando se comparan dos o más grupos de observaciones pueden darse dos tipos de diseño: aquel en el que las observaciones se refieren a dos grupos independientes de individuos, o el caso en el que cada serie de datos se recoge en los mismos sujetos bajo condiciones diferentes. diferentes. El tipo de metodología será distinto según el caso en el que nos encontremos. Otro aspecto a tener en consideración consideración será el tipo y distribución de los datos. Para grupos indepen independien dientes, tes, los méto métodos dos paramétri paramétricos cos requiere requierenn que las observac observacione ioness en cada grupo grupo proveng provengan an de una distribu distribución ción aproxima aproximadam damente ente normal normal con una variabili variabilidad dad semejante, de modo que si los datos disponibles no verifican tales condiciones, puede resultar útil una transformación transformación 1,2,3 de los mismos (aplicació ( aplicaciónn del logaritmo, raíz cuadrada, cuadrada, etc. etc.)) o, en todo todo caso caso,, se debe deberí ríaa recu recurr rrir ir a la util utiliz izac ació iónn de proc proced edim imie ient ntos os no 4 paramétricos . Normalmen Normalmente te en este este tipo de aná análisi lisiss pod podremo remoss establec establecer er una hipótesis hipótesis de partida partida (hipótesis nula), que generalmente asume que el efecto de interés es nulo, por ejemplo que la tensión arterial es la misma en hombres y mujeres o que dos tratamientos para la hiperc hipercol olest estero erolem lemia ia son son igual igualmen mente te efec efectiv tivos. os. Poste Posterio riorme rmente nte se pued puedee evalua evaluarr la probabilidad probabilidad de haber obtenido los datos observados si esa hipótesis es correcta. El valor de esta probabilidad coincide con el valor-p que nos proporciona cada test estadístico, estadístico, de modo que cuanto menor sea éste más improbable resulta que la hipótesis inicial se verifique. En un prim primer er apar aparta tado do,, se pres presen enta tará rá el test test t de Stud Studen entt para para dos dos mu mues estra trass indep indepen endie diente ntes, s, intro introdu ducie ciend ndoo las mo modif difica icacio cione ness nece necesar sarias ias en el caso caso de que que la variabilidad de ambos grupos sea distinta. A continuación se introducirá el test t de Student para el caso de dos muestras dependientes. t de Student para dos muestras independientes Uno de los análisis estadísticos más comunes en la práctica es probablemente el utilizado para comparar dos grupos independientes de observaciones con respecto a una variable numér numérica ica.. Como Como ejempl ejemplo, o, consid considere eremos mos los los datos datos que que se mue muestr stran an en la Tabla 1, 1, correspondientes a 75 individuos con sobrepeso sometidos a dos dietas alimenticias distintas, de modo que se desea comparar el peso de los individuos que iniciaron cada una de las dietas. Como Como ya se ha adela adelanta ntado do,, la aplic aplicaci ación ón de un contra contraste ste param paramétr étrico ico requi requiere ere la normalidad de las observaciones para cada uno de los grupos. La comprobación de esta hipóte hipótesis sis pued puedee realiz realizars arsee tan tanto to por por mé métod todos os gráfi gráfico coss (por (por me medio dio de histo histogra grama mas, s, 5 diagramas de cajas o gráficos de normalidad) como mediante tests estadísticos (test de Kolmogo Kolmogorov-S rov-Smirno mirnov, v, test de Shapiro Shapiro-Wilks -Wilks). ). Un número número suficien suficiente te de observac observacion iones es (digamos mayor de 30) como ocurre en el ejemplo planteado justifica, no obstante, la utilización del mismo test. Así mismo, este tipo de metodología exigirá que la varianza en ambos grupos de observaciones observaciones sea la misma. En primer lugar se desarrollará desarrollará el test t de

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Stud Studen entt para para el caso caso en el que que se veri verififiqu quen en am amba bass cond condic icio ione nes, s, disc discut utie iend ndoo posteriormente el modo de abordar formalmente el caso en el que las varianzas no sean similares. Bajo las hipótesis de normalidad e igual varianza la comparación de ambos grupos puede realizarse en términos de un único parámetro como el valor medio ( Figura 1a), 1a), de modo que en el ejemplo planteado la hipótesis de partida será, por lo tanto: H0: La media de peso inicial es igual en ambos grupos Se denotará por {X 1, X2,...,Xn} e {Y1,Y2,...,Ym} al peso observado en cada uno de los sujetos sometidos a la dieta A y a la dieta B respectivamente. En general no se exigirá que coincida el número de observaciones en cada uno de los grupos que se comparan, de modo que en el ejemplo n=40 y m=35. El t test para dos muestras independientes se basa en el estadístico:

(1)

Donde

e

y

las cuasi varianzas muéstrales correspondientes:

,

denotan el peso medio en cada uno de los grupos:

Con lo cual, en este caso particular, el valor utilizado para el contraste será:

Si la hipótesis de partida es cierta el estadístico (1) seguirá una distribución t de Student con n+m-2 grados de libertad. De ser así, el valor obtenido debería estar dentro del rango de mayor probabilidad según esta distribución. distribución. Usualmente se toma como referencia el rango de datos en el que se concentra el 95% de la probabilidad. El valor-p que usualmente reportan la mayoría de paquetes estadísticos no es más que la probabilidad de obtener, según esa distribución, un dato más extremo que el que proporciona el test. Como ya se dijo, refleja también la probabilidad de obtener los datos observados si fuese

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cierta la hipótesis inicial. Si el valor-p es muy pequeño (usualmente se considera p<0.05) es poco probable que se cumpla la hipótesis de partida y se debería de rechazar. La región de aceptación corresponde por lo tanto a los valores centrales de la distribución para los que p>0.05. En el ejemplo planteado el valor-p correspondiente es de 0.425, de modo que no existe evidencia estadística de que el peso medio en ambos grupos sea diferente. En la Tabla 2, 2, se determina los grados de libertad (en la primera columna) y el valor de α (en la primera fila). El número que determina su intersección es el valor crítico correspondiente. De este modo, si el estadístico que se obtiene toma un valor mayor se dirá que la diferencia es significativa. Otro modo de obtener esta misma información es mediante el cálculo de intervalos de confianza para la diferencia de la respuesta media en ambos grupos. A mayores, el intervalo de confianza constituye una medida de la incertidumbre con la que se estima esa diferencia a partir de la muestra, permitiendo valorar tanto la significación estadística como la magnitud clínica de esa diferencia 6. En el caso que nos ocupa, el intervalo de confianza vendrá dado como:

Donde denota el valor que según la distribución distribución t de Student Student con n+m-2 grados de libertad deja a su derecha el 2.5% de los datos. En el ejemplo, el intervalo de confianza con una seguridad del 95% para la diferencia de peso viene dado por:

Que expresa en definitiva un rango de valores entre los que se puede encontrar el valor real de la diferencia entre los pesos de ambos grupos. Proporciona además la misma información que obteníamos del contraste estadístico. El hecho de que el valor cero pertenezca al intervalo indica que no se dispone de evidencia para concluir que el peso sea distinto en ambos grupos. A medida que el tamaño muestral aumenta, la distribución del estadístico (1) se hace más próxima a la de una variable Normal estándar. De este modo, en algunos textos se opta por por utiliz utilizar ar esta esta distri distribu bució ciónn para para realiz realizar ar la compa comparac ración ión de me medi dias. as. Aunq Aunque ue esta esta aproxima aproximación ción es correcta correcta para muestras muestras suficien suficienteme temente nte grandes, grandes, ambos ambos méto métodos dos proporcionan en este caso resultados prácticamente idénticos, por lo que resulta más simple utilizar, independientemente del tamaño de la muestra, la misma metodología a partir de la distribución distribución t. El mismo planteamiento podría utilizarse utilizarse en el caso de varianzas distintas o de muestras apareadas. Dos muestras dependientes Ya se ha comentado que cuando se trata de comparar dos grupos de observaciones, es importante distinguir el caso en el que son independientes de aquel en el que los datos están apareados. Las series dependientes surgen normalmente cuando se evalúa un mismo dato más de una vez en cada sujeto de la muestra. También se puede encontrar este tipo de observaciones en estudios de casos y controles donde cada caso se aparea individualmente con un control. Supongamos que queremos comprobar, en los datos de la Tabla 1 si realmente se produce una pérdida de peso significativa en esos individuos, para lo que se recoge en TRABAJO EN EQUIPO



cada sujeto su peso antes y después de someterse a la dieta. En este tipo de análisis el interés no se centra en la variabilidad que puede haber entre los individuos, sino en las diferencias que se observan en un mismo sujeto entre un momento y otro. Por este motivo, resulta intuitivo trabajar con la diferencia de ambas observaciones (en el ejemplo será la pérdida de peso), de modo que se quiere contrastar la hipótesis: H0: La pérdida de peso es nula frente a la alternativa de que la pérdida de peso sea importante (es decir, distinta de cero). La veracidad de dicha hipótesis puede ser contrastada igualmente mediante el test t de Student. Como se ha dicho, este tipo de métodos tienen como hipótesis fundamental la norm normal alid idad ad de los los dato datos. s. En este este caso caso,, sin sin em emba barg rgo, o, no será será nece necesa sari rioo que que las las obser observac vacion iones es en am ambo boss grupo gruposs proven provenga gann de pobla poblacio cione ness norma normales les,, sino sino que que únicame únicamente nte se requie requiere re verifica verificarr la normalida normalidadd de su diferen diferencia. cia. Denota Denotando ndo por por pérdida media de peso la hipótesis de la que se parte es que:

la

frente a la alternativa

A partir de las observaciones muéstrales {Y 1,Y2,..., Yn} e {Y1,Y2,...,Yn} en cada uno de los grupos se calcula la diferencia de peso para cada sujeto {d 1,d2,...,dn} con d j=X j-Y j j=1,2,...,n. j=1,2,...,n. Nótese que en este caso un requisito requisito fundamental fundamental es que se tenga un número igual de observaciones observaciones en ambos grupos. A partir de estos datos, el contraste se basa en el estadístico:

o en el cálculo del 95% intervalo de confianza:

Donde

y

denota la media de la pérdida de peso estimada a partir de la muestra:

denota la cuasi varianza muestral de la diferencia dada por:

En nuestro ejemplo el valor del estadístico vendría dado por:

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a comparar comparar del modo habitual habitual con la distribu distribución ción t de Student Student con n-1=74 n-1=74 grados grados de libertad. El intervalo de confianza para la pérdida media de peso correspondiente a una seguri segurida dadd del del 95% 95% es de (3.56; (3.56;4.4 4.41), 1), lo cual cual se tradu traduce ce en una una pérdi pérdida da de peso peso signi signific ficati ativa vamen mente te distin distinta ta de cero, cero, tal y como como indic indicaa el valorvalor-pp corre corresp spon ondie diente nte de p<0.001.

Figura 1. Comparación de dos poblaciones normales a) Poblaciones normales con igual varianza y medias distintas

b) Poblaciones normales con igual y diferentes varianzas.

Figura 2. Regiones de aceptación y rechazo en el contraste de hipótesis

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Tabla 1. Datos de 75 pacientes con sobrepeso sometidos a dos dietas alimenticias. Dieta Peso in inicial Peso fi final Dieta

Peso in inicial Peso fi final

A

94,07

86,59

B

88,02

84,12

A

96,79

93,08

B

88,22

86,13

A

92,15

87,85

B

103,45

101,21

A

92,30

86,83

B

82,94

79,08

A

96,50

92,70

B

89,71

86,19

A

83,11

76,80

B

94,83

91,93

A

91,16

83,40

B

81,93

78,97

A

90,81

86,74

B

83,41

78,89

A

81,37

77,67

B

73,59

69,76

A

89,81

85,70

B

108,47

104,20

A

84,92

79,96

B

72,67

70,01

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A

84,43

79,80

B

96,84

93,66

A

86,33

81,15

B

88,48

87,00

A

87,60

81,92

B

89,57

87,24

A

81,08

76,32

B

85,22

82,09

A

92,07

90,20

B

103,76

102,24

A

81,14

73,34

B

87,84

84,66

A

96,87

93,58

B

91,50

88,95

A

99,59

92,36

B

93,04

88,73

A

83,90

77,23

B

92,14

88,07

A

89,41

85,45

B

85,26

81,36

A

85,31

84,59

B

89,42

86,64

A

89,25

84,89

B

92,42

88,99

A

93,20

93,10

B

93,13

89,73

A

89,17

86,87

B

80,86

77,81

A

93,51

86,36

B

88,75

85,93

A

88,85

83,24

B

95,02

91,90

A

88,40

81,20

B

92,29

91,28

A

82,45

77,18

B

89,43

87,22

A

96,47

88,61

B

93,32

89,77

A

99,48

94,67

B

92,88

89,38

A

99,95

93,87

B

89,88

88,00

A

100,05

94,15

B

82,25

80,81

A

87,33

82,17

B

88,99

86,87

A

87,61

86,01

B

82,07

79,74

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A

89,28

83,78

A

89,72

83,56

A

95,57

89,58

A

97,71

91,35

A

98,73

97,82

4.5 PRUEBA DE FISHER FISHER PARA VARIANZ VARIANZAS AS Y DE IGUALDAD IGUALDAD DE LAS VARIANZA VARIANZAS S DE DOS POBLACIONES NORMALES. La necesidad de disponer de métodos estadísticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del análisis de una sola población. Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proc proces esoo de ma manu nufa fact ctur uraa con con la de otro otro o hast hastaa la form formaa en que que varí varíaa el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro. Intui Intuitiv tivame amente nte,, podrí podríamo amoss compa comparar rar las varia varianza nzass de dos dos pobla poblacio cione nes, s, y , 2 2 2 2 utilizando la razón de las varianzas muestrales s 1/s 2. Si s 1/s 2 es casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s 21/s22, proporcionará evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

Donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad yy  respectivamente. Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas con

grados de libertad, respectivamente. respectivamente. Entonces Entonces la distribución distribución de la variable

aleatoria

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está dada por:



y se dice que sigue sigue la distribu distribución ción F con con grados grados de de liberta libertadd en el numera numerador dor y grados de libertad en el denominador. La media y la varianza de la distribución F son:

para

para La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distr distribu ibució ciónn F tiene tiene una una apari aparien encia cia mu muyy simila similarr a la distr distribu ibució ciónn ji-cua ji-cuadra drada da;; sin embargo, se encuentra encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros parámetros proporcionan proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución. Si s12 y s22 son las varianzas muéstrales independientes de tamaño n 1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas





y

, respectivamente, entonces:

 

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introducción a la Inferencia Estadística del autor Güenther, se tendrá que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el área correspondiente, relacionándola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F. Las tablas tienen la siguiente estructura:

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P 6


1 2 3 ……. ….. 500 …

0.0005 0.001 0.005 . . 0.9995 30.4

El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un área de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos gráficamente:

Como Como nos nos pode podemo moss imagin imaginar ar existe existenn varias varias curva curvass Fishe Fisher, r, ya que que ahora ahora su forma forma depende de dos variables que son los grados de libertad. Ejemplos: 1. Encontr Encontrar ar el valor valor de F, en cada cada uno de los los siguient siguientes es casos: casos: a.

El área a la derecha de F, es de 0.25 con

b.

El área a la izquierda de F, es de 0.95 con

c.

El área a la derecha de F es de 0.95 con con

d.

El área a la izquierda de F, es de 0.10 con con

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=4 y

=9.

=15 y

=10.

=6 y =24 y

=8.



=24 Solución: Como el área que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un área de 0.75 con 4 grados de libertad uno.

En este este caso caso se pued puedee busc buscar ar el área área de 0.95 0.95 dire direct ctam amen ente te en la tabl tablaa con con sus sus respectivos grados de libertad.

Se tiene que buscar en la tabla un área de 0.05, puesto que nos piden un área a la derecha de F de 0.95.

Se busca directamente el área de 0.10, con sus respectivos grados de libertad.

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Si s12 y s22 son las varianza varianzass muéstrale muéstraless de mue muestra strass aleatori aleatorias as indepen independien dientes tes de tamaños n1=10 y n2 =20, =20, toma tomadas das de pob poblaci lacione oness normales normales que tienen tienen las mismas mismas varianzas, encuentre P(s 12/s22 2.42). Solución: Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador está la población uno y en el denominador la población dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19. Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no están, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedaría:

Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra el siguiente:

Area 0.90

2.09

0.95

2.59

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.933. Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos:

Area 0.95

2.39

0.975

2.84

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Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.9516. Ahora ya se tienen las dos áreas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolará para ver cuánto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19.

Area 15

0.933

20

0.9516

Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el área a la izquierda es de 0.9478.

Si s12 y s22 represen representan tan las varianza varianzass de las mue muestra strass aleatori aleatorias as indepen independien dientes tes de tamaño n1= 25 y n 2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 2 2 2 2 = 15, respectivamente, encuentre P(s 1 /s2 > 1.26). Solución: Calcular el valor de Fisher:

2 1

=10 y

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muéstrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s 12/s22 > 1.26.

Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones Normales Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas 2 2 desconocidas respecti ctiva vamen mente. te. De este este par par de pobla poblacio cione nes, s, se tiene tienenn  y 2 , respe disponibles dos muestras aleatorias de tamaños n 1 y n2, respectivamente, sean s 12 y s22

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las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo de confianza del 100( 2 2 ) por ciento para el cociente de las dos varianzas, 1 / 2 . Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadístico F. Ejemplos: Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla:

Método 1

Método 2

n1 = 31

n2 = 25

s12 = 50

s22 = 24

2 2 Construya un intervalo de confianza del 90% para 1 / 2 . Solución: Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula:

al despejar: . F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.

1.

y 4.6 COMPARACIONES DE DOS MUESTRAS PAREADAS 2.

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Una Una de las las hipó hipóte tesi siss sobr sobree las las que que habi habitu tual alme ment ntee se fund fundam amen enta tann las las prue prueba bass estadísticas de comparación es que las observaciones pertenecientes a cada una de las muestras son independientes independientes entre sí, no guardan relación; siendo precisamente precisamente ese uno de los objetivos de la aleatorización (elección aleatoria de los sujetos o unidades de observación). Sin embargo, la falta de independencia entre las observaciones de los grupos puede ser una característica del diseño del estudio para buscar fundamentalmente una mayor eficienc eficiencia ia del contrast contrastee estadíst estadístico ico al disminui disminuirr la variabil variabilidad idad.. En otras otras ocasiones con este tipo de diseño pareado lo que se busca es dar una mayor validez a las inferencias obtenidas, controlando o eliminando la influencia de variables extrañas cuyo efecto ya es conocido o sospechado, y no se desea que intervenga en el estudio actual pudiendo enmascarar el efecto del tratamiento o de la variable de interés. Las muestras apareadas se obtienen usualmente como distintas observaciones realizadas sobre sobre los mismos mismos indivi individu duos os.. Un ejemp ejemplo lo de obser observac vacion iones es parea pareada dass consi consiste ste en considerar a un conjunto de n personas a las que se le aplica un tratamiento médico y se mide por ejemplo el nivel de insulina en la sangre antes (X) y después del mismo (Y). En este ejemplo no es posible considerar aX eY como variables independientes ya que va a existir una dependencia clara entre las dos variables. 4.7 MODELO TOTALMENTE ALEATORIO: ANÁLISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR. Hay varias formas en las cuales puede diseñarse diseñarse un experimento ANOVA. Quizás el más común es el diseño completamente completamente aleatorizado aleatorizado a una vía. El término proviene proviene del hecho que varios sujetos o unidades experimentales se asignan aleatoriamente a diferentes niveles niveles de un solo factor. factor. Por ejemplo: ejemplo: varios varios emplead empleados os (unidad (unidades es experime experimental ntales) es) pueden seleccionarse seleccionarse aleatoriamente para participar en diversos tipos (niveles diferentes) diferentes) de un programa de capacitación (el factor). El análisis de varianza se basa en una comparación de la cantidad de variación en cada uno de los tratamientos. Si de un tratamiento al otro la variación es significativamente alta, puede concluirse que los tratamientos tienen efectos diferentes en las poblaciones. Esta variación entre el número total de las 14 observaciones. Esto se llama variación total. b. Existe variación entre los diferentes tratamientos (muestras). Esto se llama variación entre muestras. c. Existe Existe variac variación ión dentr dentroo de un tratam tratamien iento to dado dado (mues (muestra tra). ). Esto Esto se deno denomin minaa variación dentro de la muestra. 4.8 SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS En Estadística el tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población, población , necesarios para que los datos obtenidos sean representativos de la población. 1. Estimar un parámetro determinado con el nivel de confianza deseado. 2. Detec Detectar tar una deter determin minad adaa difere diferenc ncia, ia, si realme realmente nte existe existe,, entre entre los grup grupos os de estudio con un mínimo de garantía. 3. Reducir Reducir costes costes o aumen aumentar tar la rapide rapidezz del estudi estudio. o. Por ejemplo, en un estudio de investigación investigación epidemiológico epidemiológico la dete determin rminació aciónn de un tamaño adecuado de la muestra tendría como objetivo su factibilidad. Así: Si el número de sujetos es insuficiente habría que modificar los criterios de selección, solicitar la colaboración de otros centros o ampliar el periodo de reclutamiento. Los a.

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estudios con tamaños muestrales insuficientes, no son capaces de detectar diferencias entre grupos, llegando a la conclusión errónea de que no existe tal diferencia. Si el número de sujetos es excesivo, el estudio se encarece desde el punto de vista econ económ ómic icoo y huma humano no.. Adem Además ás es poco poco étic éticoo al some somete terr a má máss indi indivi vidu duos os a una una intervención que puede ser menos eficaz o incluso perjudicial. El tamaño de una muestra es el número de individuos que contiene. Una fórmula muy extendida que orienta sobre el cálculo del tamaño de la muestra para datos globales es la siguiente: n = ( (k^2) * N*p*q) / ( (e^2 * (N-1) )+( (k^2) * p*q)) N: es el tamaño de la población o universo (número total de posibles encuestados). k: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores k más utilizados y sus niveles de confianza son: K 1,15 1,28 1,44 1,65 1,96 2 2,58 Nivel de confianza 75% 80% 85% 90% 95% 95,5% 99% (Por tanto si pretendemos pretendemos obtener un nivel de confianza del 95% necesitamos poner en la fórmula k=1,96) e: es el error muestral deseado. El error muestral es la diferencia que puede haber entre el result resultad adoo que que obten obtenemo emoss pregu pregunta ntand ndoo a una una mu muest estra ra de la pobla població ciónn y el que que obtendríamos si preguntáramos al total de ella. Ejemplos: Ejemplo 1: si los resultados de una encuesta dicen que 100 personas comprarían un producto y tenemos un error muestral del 5% comprarán entre 95 y 105 personas. Ejemplo 2: si hacemos una encuesta de satisfacción a los empleados con un error muestral del 3% y el 60% de los encuestados encuestados se muestran satisfechos significa que entre el 57% y el 63% (60% +/- 3%) del total de los empleados de la empresa lo estarán. Ejemplo 3: si los resultados de una encuesta electoral indicaran que un partido iba a obtener el 55% de los votos y el error estimado fuera del 3%, se estima que el porcentaje real de votos estará en el intervalo 52-58% (55% +/- 3%). p: proporción de individuos que poseen en la población la característica de estudio. Este dato es generalmente desconocido y se suele suponer que p=q=0.5 que es la opción más segura. q: proporción de individuos que no poseen esa característica, es decir, es 1-p. n: tamaño de la muestra (número de encuestas que vamos a hacer). Altos niveles de confianza y bajo margen de error no significan que la encuesta sea de mayor confianza o esté más libre de error necesariamente; antes es preciso minimizar la principal fuente de error que tiene lugar en la recogida de datos. Para calcular el tamaño de la muestra suele utilizarse la siguiente fórmula: Otra fórmula para calcular el tamaño de la muestra es: n=(Nσ^2 Z^2)/((N-1) e^2+σ^2 Z^2 ) Donde: n = el tamaño de la muestra. N = tamaño de la población.

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σ= Desviación estándar de la población que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele suele utiliz utilizars arsee un valor valor const constan ante te de 0,5 0,5.. Z = Valo Valorr obten obtenido ido med median iante te nivele niveless de confianza. Es un valor constante que, si no se tiene su valor, se lo toma en relación al 95% de confianza equivale a 1,96 (como más usual) o en relación al 99% de confianza equivale 2,58, valor que queda a criterio del encuestador. e = Límite aceptable de error muestral que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor que varía entre el 1% (0,01) y 9% (0,09), valor que queda a criterio del encuestador. La fórmula anterior se obtiene de la fórmula para calcular la estimación del intervalo de confianza para la media: X -Z √((N-n)/(N-1))≤μ≤X +Z σ/√n √((N-n)/(N-1)) ̅ σ/√n √((N-n)/(N-1))≤μ≤X ̅ En donde el error es: e=Z σ/√n √ ((N-n)/(N-1)) Elevando al cuadrado el error se tiene: 〖 (e) 〗 ^2=(Z σ/√n √((N-n)/(N-1)))^2 e^2=Z^2 σ^2/n (N-n)/(N-1) Multiplicando fracciones: e^2= ( 〖Z^2 σ〗^2 (N-n))/n(N-1) Eliminando denominadores: e^2 n(N-1)= 〖Z^2 σ〗^2 (N-n) Eliminando paréntesis: e^2 nN-e^2 n= 〖Z^2 σ〗^2 N-〖Z^2 σ〗^2 n Transponiendo n a la izquierda: e^2 nN-e^2 n+ 〖Z^2 σ〗^2 n=〖Z^2 σ〗^2 N Factor común de n: n(e^2 N-e^2+Z^2 σ^2 )=〖Z^2 σ〗^2 N Despejando n: n=(〖Z^2 σ〗^2 N)/(e^2 N-e^2+Z^2 σ^2 ) Ordenando se obtiene la fórmula para calcular el tamaño de la muestra: n=(Nσ^2 Z^2)/((N-1) e^2+σ^2 Z^2 ) Ejemplo ilustrativo: Calcular el tamaño de la muestra de una población de 500 elementos con un nivel de confianza del 99% Solución: Se tiene N=500, para el 99% de confianza Z = 2,58, y como no se tiene los demás valores se tomará σ=0,5, y e = 0,05. Reemplazando valores en la fórmula se obtiene: n=(Nσ^2 Z^2)/((N-1) e^2+σ^2 Z^2 ) n=(500∙ 〖 0,5 〗 ^2 〖 ∙ 2,58 〗 ^2)/((500-1) 〖 (±0,05) 〗 ^2+ 〖 0,5 〗 ^2∙ 〖 2,58 〗 ^2 ) =832,05/2,9116=285,77=286 Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media

1

y desviación desviación

estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n 1 de la primera población y una muestra independiente independiente aleatoria de tamaño n 2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las

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Ejemplo: Si se tienen dos poblaciones con medias

1

y

respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre esta estaddísti ística ca -

1

2,

2

y varianzas 1

y

2

2 1

y

,

2 2

está dado por la

. Por Por tant tantoo. Par Paraa obte obtene nerr una una esti estima maci ción ón punt puntua uall de de

se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, independientes, una de cada población,

de tamaño n 1 y n2, se calc calcuula la difere ferenncia cia , de las las me medias ias mu muestra trales. les. Recordando a la distribución muestral de diferencia de medias:

Al despejar de esta ecuación

1

-

2

se tiene:

En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual. Ejemplo: Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones condiciones se mantienen mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 24 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. Solución: Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar la media mayor menos la media menor. En este caso será la media del motor B menos la media del motor A. El valor de z para un nivel de confianza del 96% es de 2.05.

3.43<

-

B

<8.57

A

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La interpretación de este ejemplo sería que con un nivel de confianza del 96% la diferencia del rendimiento promedio esta entre 3.43 y 8.57 millas por galón a favor del motor B. Esto quiere decir que el motor B da mas rendimiento promedio que el motor A, ya que los dos valores del intervalo son positivos. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experi experimen mento to utiliz utilizand andoo 12 de cada cada ma marca rca.. Los Los neum neumáti ático coss se utiliz utilizan an hasta hasta que que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B. Solución:

-2662.68< BGráficamente:

<6262.67

A

Como el intervalo contiene el valor "cero", no hay razón para creer que el promedio de duración del neumático de la marca B es mayor al de la marca A, pues el cero nos está indicando que pueden tener la misma duración promedio. 4.9 APLICACIONES

UNIDAD 5 PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS DATOS CATEGORICOS Y VARIAS MUESTRAS CON DATOS CATEGORICOS. Prueba De Hipótesis Para Proporciones El concepto de prueba de hipótesis se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos. Por ejemplo, en el problema anterior el gerente de la fábrica de llantas quería determinar determinar la proporción de llantas que se reventaban antes de 10,000 millas. Este

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es un ejemplo de una variable cualitativa, dado que se desea llegar a conclusiones en cuanto a la proporción de los valores que tienen una característica particular. El gerente de la fábrica de llantas quiere que la calidad de llantas producidas, sea lo bastante alta para que muy pocas se revienten antes de las 10,000 millas. Si más de un 8% de las llantas se revientan antes de las 10,000 millas, se llegaría a concluir que el proceso no funciona correctamente. La hipótesis nula y alternativa se pueden expresar como sigue: Ho: p .08 (funciona correctamente) H1: p > .08 (no funciona correctamente) La prueba estadística se puede expresar en términos de la proporción de éxitos como sigue: En donde p = proporción de éxitos de la hipótesis nula Ahora se determinará si el proceso funciona correctamente para las llantas producidas para el turno de día día.. Los resultado resultadoss del turno de día indican indican que cinco llantas llantas en una muestra de 100 se reventaron antes de 10,000 millas para este problema, si se selecciona un nivel de significancia de .05, las regiones de rechazo y no rechazo se establecerían como a continuación se muestra: Y la regla de decisión sería: Rechazar Ho si > + 1.645; de lo contrario no rechazar Ho. Con los datos que se tienen, = .05 Y entonces, = −1.107 Z −1.107 < + 1.645; por tanto no rechazar Ho. La hipótesis nula no se rechazaría por que la prueba estadística no ha caído en la región de rechazo. Se llegaría a la conclusión conclusión de que no hay pruebas de que más del 8% de las llantas producidas en el turno de día se revienten antes de 10,000 millas. El gerente no ha encontrado ninguna prueba de que ocurra un número excesivo de reventones en las llantas producidas en el turno de día. Pruebas de hipótesis a partir de proporciones.

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Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utiliz utilizad adaa cuand cuandoo nos nos referi referimo moss a las med medias ias,, cuand cuandoo se cumpl cumplen en las supo suposic sicion iones es neces necesari arias as para para cada cada caso. caso. Pued Pueden en utiliz utilizars arsee prueb pruebas as unila unilate teral rales es o bilat bilatera erale less dependiendo de la situación particular. La proporción de una población Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media. Ho: p = p0 H1: p ¹ p0 En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es: Se distribuye normal estándar. Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral), lo cual puedes fácilmente hacerlo auxiliándote de la tabla 4.4.1. En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso. Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, poblaciones, para ello suelen enunciarse enunciarse las hipótesis hipótesis de forma similar al caso de las medias: Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0 H1: p1 ¹ p2 Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente. El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes: Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p. Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar. La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente. El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores

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H1: p1 ¹ p2 Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral. 5.1 PRUEBA Z PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES. En algunos diseños diseños de investigación, investigación, el plan muestral requiere seleccionar seleccionar dos muestras indepen independien dientes, tes, calcular calcular las proporci proporcione oness muestrale muestraless y usar la diferencia diferencia de las dos proporciones para estimar o probar una diferencia entre las mismas. Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras consultoras ofrecen datos datos de proporciones proporciones de de personas personas que van a votar por el PRI PRI y al hacer dos estudios estudios diferentes salen salen resultados resultados ligeramente diferentes diferentes ¿pero qué tanta diferencia se requiere para que sea estadísticamente significativo? De eso se pruebas estadísticas de diferencias de proporciones. El estadístico Z para estos casos se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo: Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan pagan a un fondo de pensión privado privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga un fondo de pensión privado es 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no? Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha” Nótese que este problema es de una cola.

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Ho: Lo que que pagan pagan las mujeres mujeres en el fondo fondo de pensión pensión es igual o mayor mayor a lo que pagan los hombres (algunos autores solo le colocan igual).

Ha: _______________________________________ (El estudiante debe describir la Ha) La hipótesis alternativa es lo que las mujeres del grupo activista desean demostrar. Paso 2. Determinar el nivel de significancia. Definida por el analista, en este casi se desea usar α = 0.01 Gráficamente el nivel de significancia se distribuye en la curva de distribución normal como se muestra en la figura:

Paso 3. Calcular los intervalos que implican ese nivel de significancia Para dicho nivel de significancia el valor de Z es: Z=-2.326 Gráficamente queda de la siguiente manera:

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Paso 4

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Ejemplo: En un estudio de infección de vías urinarias no complicadas, los pacientes fueron fue ron asignado asignadoss para ser tratados tratados con trimetopri trimetoprim m / sulfametoxa sulfametoxazol zol o fosfomic fosfomicina ina / trometamol. 92% de los 100 tratados con fosfomicina/ trometamol mostraron curación bacteriológica mientras que el 61% de los 100 manejados con trimetoprim / sulfametoxazol se curó la infección. Cuando Cuando comparam comparamos os proporcio proporciones nes de mue muestras stras indepe independie ndientes ntes,, deb debemo emoss primero primero calcu calcular lar la difere diferenc ncia ia en propo proporci rcion ones. es. El anál análisi isiss para para compa comparar rar dos dos prop proporc orcion iones es indepen independien dientes tes es similar similar al usado usado para dos med medias ias independ independient ientes. es. Calcula Calculamos mos un intervalo de confianza y una prueba de hipótesis para la diferencia en proporciones. La notación que usamos para el análisis de dos proporciones es el mismo que para una proporción. Los números inferiores son para distinguir los dos grupos. Parámetros

Población 1

Proporción

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π1

Muestra 2 π2

1

2

p1

p2


Desviación estándar


√π1(1-π2) √π1(1-π2) π2)

√π2(1√π2(1-

√p1(1-p1) p2)

√p2(1-

El cuadrado del error estándar de una proporción es conocido como la varianza de la proporción La varianza de la diferencia entre las dos proporciones independientes es igual a la suma de las varianzas de las dos proporciones de las muestras. Las varianzas son sumadas debido debido a que cada muestra contribuye al error de muestreo en la distribución distribución de las diferencias. diferencias. ES = √p(1-p)/n

Varianza = p(1-p)/n p1(1- p1) p2(1- p2)

Varianza (p1-p2)= varianza de p1 + varianza varianza de p2 = --------- + ---------n1

n2

El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es dado por la raíz cuadrada de la varianza. ES (p1-p2)= √[p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2] Para calcular el intervalo de confianza necesitamos conocer el error estándar de la diferencia entre dos proporciones. El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es la combinación del error estándar de las dos distribuciones independientes, ES (p1) y ES (p2). Hemos estimado la magnitud de la diferencia de dos proporciones proporciones de las muestras; ahora calcularemos el intervalo de confianza para esa estimación. La fórmula general para el intervalo de confianza al 95% es: Estimado ±1.96 x ES La fórmula para 95% IC de dos proporciones sería: (p1-p2) ± 1.96 ES(p1-p2) En el estudio de infección de vías urinarias, la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61 Diferencia en proporciones = 0.92-0.61=0.31 ES = √[(0.92(1-0.92)/100 + 0.61(1-0.61)/100] = 0.056 El intervalo de confianza al 95% sería: 0.31 ± 1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42 El intervalo de confianza al 95% sería: 1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42

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Tengo 95% de confianza de que la diferencia en las proporciones en la población estaría entre 0.2 y 0.42. Como la diferencia no incluye 0, estamos confiados que en la población la proporción de curados con fosfomicina/trometamol es diferente que con trimetoprim sulfametoxazol. Una prueba de hipótesis usa la diferencia observada y el error estándar de la diferencia. Sin embargo, usamos un error estándar ligeramente diferente para calcular la prueba de hipótesi hipótesis. s. Esto se deb debee a que estamos estamos evaluan evaluando do la probabili probabilidad dad de que los dato datoss observados asumen que la hipótesis nula es verdad. La hipótesis nula es que no hay diferenc diferencia ia en las proporci proporcione oness de las dos poblacio poblaciones nes y ambas grupos grupos tienen tienen una proporción común, π. El mejor estimado que podemos obtener de π es la proporción común, p, de las dos proporciones de la muestra. P=r1+r2/n1+n2 Donde: r1 y r2 son los números de respuestas positivas en cada muestra n1 y n2 son los tamaños de muestra en cada muestra. La proporción común siempre estará entre las dos proporciones individuales. El error estándar puede ser calculado sustituyendo p, por p1 y p2. ES(p1-p2)=√p(1-p)(1/n1 +1/n2) Esto se conoce como error estándar agrupado. En el estudio de infección de vías urinarias, la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61 Fueron 100 intregrantes en cada grupo. Proporción común, p= 92 + 61/100+100 = 153/200 = 0.765 ES(p1-p2)=√0.77(1-0.77)(1/100 +1/100)= √0.1771 x 0.002 = 0.019 Si asumimos una aproximación a la Normalidad para la distribución Binomial, calculamos la prueba de z , como antes. Para calcular la prueba de hipótesis, debemos: 1.- Señalar la hipótesis nula Ho 2.- Señalar la hipótesis alternativa H1 3.- Calcular la prueba de hipótesis z. Hipótesis nula: Cuando comparamos dos proporciones de poblaciones independientes es usualmente que las dos proporciones son iguales. Ho: π1 = π2 Es lo mismo que si la diferencia en las proporciones de las dos poblaciones es igual a 0. Ho: π1 - π2 = 0

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Hipótesis alternativa: alternativa: Es usualmente que las dos proporciones no son iguales. H1: π1 ≠ π2 Es lo mismo que la diferencia en proporciones no es igual a cero. H1: π1 – π2 ≠ 0 0.92 de éxito para fosfomicina / trometamol y 0.61 para trimetoprim / sulfametoxazol ES = 0.019 (p1-p2) – 0

0.31 - 0

z= -------------- = -----------= 16.3 ES(p1-p2)

0.019

P<0.05 Rechazamos la hipótesis nula de que las dos proporciones son iguales y aceptamos la hipótesis alternativa de que son diferentes.

5.2 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES. Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utiliz utilizad adaa cuand cuandoo nos nos referi referimo moss a las med medias ias,, cuand cuandoo se cumpl cumplen en las supo suposic sicion iones es neces necesari arias as para para cada cada caso. caso. Pued Pueden en utiliz utilizars arsee prueb pruebas as unila unilate teral rales es o bilat bilatera erale less dependiendo de la situación particular. La proporción de una población Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media. Ho: p = p0 H1: p ¹ p0 En caso de que la muestra sea grande grande n>30, el estadígrafo estadígrafo de prueba es: se distribuye normal estándar. Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilater unilateral. al. En el caso de muestras muestras pequeñas pequeñas se utiliza utiliza la distribu distribución ción Binomial. Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso. Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, poblaciones, para ello suelen enunciarse enunciarse las hipótesis hipótesis de forma similar al caso de las medias: Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0 TRABAJO EN EQUIPO



H1: p1 ¹ p2 Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente. El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes:

donde

Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p. Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar. La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente. El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores H1: p1 ¹ p2 Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral. En algunos diseños de investigación, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muéstrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar aprobar una diferencia entre las mismas .Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras ofrecen datos de proporciones de personas que van a votar por el PRI y al hacer dos estudios diferentes salen resultados lige ligera rame ment ntee dife difere rent ntes es ¿per ¿peroo qué qué tant tantaa dife difere renc ncia ia se requ requie iere re para para que que sea sea estadísticamente significativo? De eso se tratan las Pruebas estadísticas de diferencias de proporciones. Estimación de la Diferencia de dos Proporciones En la sección anterior se vio el tema de la generación de las distribuciones distribuciones muestrales, en donde se tenía el valor de los parámetros, se seleccionaban dos muestras y podíamos calcu calcular lar la proba probabi bilid lidad ad del del compo comporta rtamie mient ntoo de los estad estadíst ístico icos. s. Para Para este este caso caso en particul particular ar se utilizar utilizaráá la distribu distribución ción muestral muestral de diferenc diferencia ia de proporci proporcione oness para la estimación de las mismas. Recordando la formula:

Despejando P 1-P2 de esta ecuación:

Aquí se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, ya que al hacer el despe despeje je nos nos qued quedaa las las dos dos propo proporci rcion ones es pobla poblacio ciona nales les y es precis precisam amen ente te lo que que

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quere queremo moss estima estimar, r, por por lo que que se utili utilizar zarán án las propo proporci rcion ones es de la mue muestr straa como como estimadores puntuales:

consid ider eraa cier cierto to camb cambio io en un proc proces esoo de fabr fabric icac ació iónn de part partes es Ejemplo: Se cons compo compone nent ntes. es. Se toman toman mue muest stras ras del del proce procedim dimie iento nto exist existen ente te y del del nuevo nuevo para para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artí artícu culo loss del del proc proced edim imie ient ntoo actu actual al son son defe defect ctuo uoso soss y 80 de 2000 2000 artí artícu culo loss del del procedimiento procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo. Solución: Sean P1 y P2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p 1=75/1500 = 0.05 y p 2 = 80/2000 = 0.04. con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 90% es de 1.645.

-0.0017
Tamaño Muestral Número disfunciones

Usuaria

No Usuaria

1246

11178

de 42

Proporción muestral 0.0337

294 0.0263

Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones. Solución: Representemos P 1 la proporción de nacimientos nacimientos donde aparecen disfunciones entre todas las mad madres res que que fuman fuman ma marih rihua uana na y defin definam amos os P 2, de ma mane nera ra simi simila lar, r, para para las las no fumadoras. El valor de z para un 99% de confianza es de 2.58.

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-0.0064

Alguna nass veces veces estam estamos os inter interesa esado doss en anal analiza izarr la difere diferenc ncia ia entre entre las Ejemplo: Algu propo proporci rcion ones es de pobla poblacio cione ness de grupo gruposs con disti distinta ntass carac caracter terís ístic ticas. as. Por Por ejempl ejemplo, o, pense pensemos mos que que la admin administ istrac ració iónn de las tiend tiendas as Oxxo Oxxo cree, cree, sobre sobre la base base de una una investigación, investigación, que el porcentaje porcentaje de hombres que visitan sus tiendas 9 o más veces al mes (clientes frecuentes) es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo mismo. Las especificaciones requeridas y el procedimiento para probar esta hipótesis es la siguiente: 1. Las hipót hipótesis esis nula nula y altern alternativ ativaa son las las siguient siguientes: es:

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, la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes H o = P H − P M ≤ 0

es la misma o menor que la proporción de mujeres que hacen lo mismo. , la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes H a = P H − P M > 0

es mayor a la proporción de mujeres que hacen lo mismo. La información proporcionada es:

n H

=

4 5 nM

P H

=

.5 8 P M

P H

−

2.

P M

=

=

=

71

.4 2

.5 8 .4 2 .1 6 −

=

Especifica el nivel de significación de

. El valor crítico para la prueba de α =

.05

una sola cola es de 1.64. 3. Estima el error error estándar estándar de la diferencia diferencia de de las dos proporcione proporciones: s:

s p h−m

=

 1 1  +    n H nM 

P (1 − P )

donde:

P =

n H P H + nM P M n H + nM

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PH = proporción muestra de hombres (H) PM = proporción muestra de mujeres (M) NH = tamaño de muestra hombres NM = tamaño de muestra mujeres Por lo tanto:

P =

45(.58) + 71(.42) 45 + 71

= 0.48

y

s p h−m

=

 1 + 1  = 0.10   45 71 

.48(1 − .48)

4. Calcu Calcula la de prue prueba ba estad estadís ístic tica: a:

Z

(diferencia _ entre _ proporcion ) (diferencia _ entre _ proporcion e s _ observadas e s _ H o ) −

=

s ph m −

Z =

(.58 − .42) − (0) .10

= 1.60

La hipótesis nula es aceptada porque el valor de la Z calculada es menor que el valor crítico Z. La administración no puede concluir con un 95 por ciento de confianza que la proporción de hombres que visita 9 o más veces los Oxxo es mayor que la proporción de mujeres.

5.3 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA EN n PROPORCIONES Z. Una distribución poblacional representa la distribución de valores de una población y una distri distribu bució ciónn mue muestr stral al repres represen enta ta la distri distribu bució ciónn de los valore valoress de una una mue muestr stra. a. En contraste con las distribuciones de mediciones individuales, una distribución muestral es una distribución de probabilidad que se aplica a los valores posibles de una estadística muestral. Así, la distribución muestral de la media es la distribución de probabilidad probabilidad de los valores posibles de la media muestral con base en un determinado tamaño de muestra. Para cualquie cualquierr tama tamaño ño de muestra dado n, toma tomado do de una población población con med media ia , los valores de la media muestralvarían muestralvarían de una muestra a otra. Esta variabilidad sirve de base

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para para la dist distri ribu buci ción ón mu mues estr tral al.. La dist distri ribu buci ción ón mu mues estr tral al de la me medi diaa se desc descri ribe be determinando el valor esperado E () o media, de la distribución y la desviación estándar de la distribución de las medias, . Como esta desviación estándar indica la precisión de la media muestral como estimador puntual, por lo general se le denomina error estándar de la media. Ejemplo: Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas. Solución: n=500 p = 15/500 = 0.03 z(0.90) = 1.645

0.0237
tal que se pueda pueda tener tener un 95% 95% de confianza confianza en en que P dista menos menos de

Solución: p=x/n = 20/400=0.05 z(0.95)=1.96

Si p=0.05 se usa para estimar P, podemos tener un 95% de confianza en que P dista menos de 0.021 de p. En otras pala palabr bras as,, si p=0. p=0.05 05 se usa usa para para esti estima marr P, el erro errorr má máxi ximo mo de esti estima maci ción ón será será aproximadamente 0.021 con un nivel de confianza del 95% Para calcular el intervalo de confianza se tendría:

Esto da por resultado dos valores, (0.029, 0.071). Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la proporción de pulas defectuosas de esta compañía está entre 0.029 y 0.071.

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Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza confianza sólo se necesita aumentar aumentar el tamaño de la muestra. 5.4 PRUEBA DE INDEPENDENCIA (ji-CUADRADA). (ji-CUADRADA). Cuando comparamos dos situaciones podemos esperar que sean ya bien dependientes dependientes o independientes esto quiere decir que pueden o no estar relacionados sus datos debido a muchos factores que pueden influir en ellos o bien, un problema no tenga relación con otro. La prueba de independencia trata sobre esto, ya que su objetivo es determinar si alguna situación es afectada por otra, basándose en datos estadísticos y valores probabilístico obtenidos obtenidos de la fabulación fabulación de datos o de pronósticos por medio de fórmulas y tablas, para esto se basa en un nivel de significancia significancia en un caso y en el otro a comparar, valiéndonos valiéndonos de tablas de contingencia para obtener frecuencias esperadas y poder aplicarlas, para así obtener datos comparativos que son determinantes en la decisión de independencia. La estadística de prueba que será utilizada en la toma de una decisión acerca de la hipótesi hipótesiss nula es es ji cuadrad cuadrado, o, X 2 (X es la letra griega ji minúscula. Los valores de ji cuadrado se obtienen con las siguientes formula: X2 = Σ (Oi – ei)2 i ei Grados de libertad V = (r-1)*(c-1) Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón Gran total Características X2 toma valores no negativos; es decir, puede ser cero o positiva. X2 no es simétrica; es asimétrica hacia la derecha. Existen Existen mucha muchass distribu distribucion ciones es X 2 como en el caso de la distribución t, hay una distribución, X 2 diferente para cada valor de los grados de libertad. Nos dan una tabla de contingencia. Una tabla de contingencia es una disposición de datos en una clasificación de doble entrada. Los datos se ordenan en celdas y se reporta él número de datos en cada una. En la tabla de contingencia están implicados dos factores (o variables), y la pregunta común en rela relaci ción ón con con tale taless tabl tablas as es si los los dato datoss indi indica cann que que las las dos dos vari variab able less son son independientes o dependientes. Para Para ilustr ilustrar ar la utili utiliza zació ciónn y análi análisis sis de una una tab tabla la de contin continge genci ncia, a, consi considé déres resee la clasificación por sexo de los estudiantes de una escuela y su área académica favorita. estudiantes fue identificada como hombre o Ejemplo: Cada persona de un grupo de 300 estudiantes mujer, preguntándosele si prefería recibir cursos en el área de matemáticas, ciencias social sociales es o human humanid idad ades. es. La sigui siguien ente te tab tabla la es una una de conti conting ngen encia cia que que indica indica las frecu frecuen encia ciass enco encontr ntrad adas as para para esas esas categ categorí orías as.. ¿Pres ¿Presen enta ta esta esta tab tabla la la evide evidenci nciaa suficiente para rechazar la hipótesis nula “la preferencia por las matemáticas, ciencias sociales o humanidades es independiente del sexo de un alumno”, al nivel de significancia del 0.05?

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Solución: Paso 1 Ho: La preferencia por matemáticas, ciencias sociales o humanidades es independiente del sexo de los estudiantes de la escuela. Ha: La preferencia por las áreas es no independiente del sexo de los estudiantes. Pasó 2 Para determinar el valor crítico de la ji cuadrada debe conocerse los grados de libertad, implicado. En el caso de tablas de contingencia, este número es exactamente el número de celdas en la tabla que puede ser llenadas libremente cuando se conocen los totales. Estos últimos se indican en la tabla siguiente. 122 178 72 113 115 300 Dados estos totales, solo pueden llenarse dos celdas antes que las restantes queden determinadas. (por supuesto, los totales deben ser los mismos.) Por ejemplo, una vez que se selecci seleccione onenn dos valore valoress arbitrario arbitrarioss (por ejempl ejemplo, o, 50 y 60) para para las dos dos primeras primeras celdas de la primera fila (véase la tabla siguiente), quedan fijos los otros cuatro valores. 50 60 C 122 D E F 178 72 113 115 300 Dichos valores deben ser C=12, D=22, E=53 y F=103. De otra manera los totales no serán correctos. En consecuencia, para este problema existen dos selecciones libres. Cada una de estas estas correspo corresponde nde a un grado de libertad. libertad. Así, el número número de grados grados de libertada en este ejemplo es 2 (v=2). Por Por esta esta razón, razón, si se utiliza utiliza 2 es X (2, 0.05) = 6. Véase la siguiente figura.

=0.05, el valor valor critico

Pasó 3 Antes de poder hallar el valor calculado de ji cuadrada, cuadrada, es necesario necesario examinar los valores esperados E para cada celda. Para tal fin debe recordarse la hipótesis nula, la cual

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asevera que estos factores son independientes. En consecuencia, se espera que los valores estén distribuidos en proporción a los totales marginales. Hay 122 hombres; se espera que estén distribuidos entre M, CS y H proporcionalmente a los totales 72, 113 y 115. Así, para los hombres las cuentas esperadas de celda son: 72/300 x 122 113/300 x 122 115/300 x 122 Similarmente, se esperan: 72/300 x 178 113/300 x 178 115/300 x 178 Para Para las mu mujer jeres. es. Enton Entonce cess los valore valoress espera esperado doss son son como como se indica indica en la tab tabla la siguiente (siempre verifíquense los totales nuevos contra los antiguos.)

M

CS 29.28 67.05 113.00

42.72 72.00

H 45.95 68.23 115.00

Total 46.77 178 3 0 0 .0 0

122

Total Nota El cálculo de los valores esperados puede verse de manera alternativa. Recuérdese que la hipótesis nula se supone cierta en tanto no haya evidencia para rechazarla. Habiendo hecho este supuesto en el ejemplo, de hecho sé está afirmando que son independientes los eventos eventos un estudia estudiante nte seleccio seleccionad nadoo aleatori aleatoriamen amente te es hombre, hombre, y un estudia estudiante nte elegido al azar prefiere cursos de matemáticas. El estimador puntual para la probabilidad de que un estudiante sea hombre es 122/300, y para la probabilidad de que un estudiante prefiera los cursos de matemática es 72/300. En consecuencia, la probabilidad de que ocurran ambos eventos es el producto de las probabilidades. Para Para estud estudia iarr la depe depend nden encia cia entre entre la prácti práctica ca de algún algún deporte y la depresión, depresión , se seleccionó una muestra aleatoria simple de 100 jóvenes, con los siguientes resultados: Sin depre depresió siónn Con depre depresió siónn Deportista

38

9

47

No deportista 31

22

53

69

31

100

L = (38 – 32,43)2/32,43 + (31 – 36,57)2/36,57 + (9 – 14,57)2/14,57 + (22 – 16,43)2/16,43 = 0,9567 + 0,8484 + 2,1293 + 1,8883 = 5,8227 El valor que valor que alcanza el estadístico L es 5,8227. Buscando en la tabla teórica de Chi Cuadrado Cuadrado para 1 grado grado de libertad libertad se aprecia aprecia Lt = 3,84146 3,84146 < 5,8227 lo que permite permite rechazar la hipótesis hipó tesis de independencia de caracteres con un nivel de significación del 5%, admitiendo por tanto que la práctica deportiva disminuye el riesgo de depresión.

Ejemplo: Ilustraremos esta técnica con el estudio que realizó Cervecería Modelo, la cual fabrica y distribuye tres tipos de cerveza: ligera, clara y oscura. En un análisis de TRABAJO EN EQUIPO



segmentación de mercado para las tres cervezas, el grupo de investigación encargado ha planteado la duda de si la preferencia para las tres cervezas es diferente entre los consumidores hombres y mujeres. Si la preferencia de las cervezas fuera independiente del del géne género ro del del consu consumid midor, or, se inici iniciarí aríaa una una campa campaña ña de publi publicid cidad ad para para tod todas as las cervezas Modelo. Sin embargo, si la preferencia depende del género del consumidor, se ajustarían las promociones para tener en cuenta los distintos mercados meta. Una prueba de independencia usa la pregunta de si la preferencia de la cerveza (ligera, clara clara y oscur oscura) a) es indep indepen endi dien ente te del del géne género ro del del consu consumid midor or (homb (hombre, re, mujer) mujer).. Las Las hipótesis para esta prueba de independencia son: Ho: La preferencia de la cerveza es independiente del género del consumidor Ha: La preferencia de la cerveza no es independiente del género del consumidor Podemos usar una tabla como la 1 para describir el caso que se estudia. Después de identificar a la población, población, consumidores hombres y mujeres, se puede tomar una muestra y preguntar a cada persona que diga su preferencia entre las cervezas modelo. Cada persona de la muestra se clasificará en una de las seis celdas de la tabla. Por ejemplo una persona puede ser hombre y prefiera la cerveza clara [celda (1,2)], una mujer que prefiere prefiere la cerveza cerveza ligera [celda [celda (2,1)], (2,1)], una mujer que prefiere prefiere la cerveza cerveza oscura oscura [celda (2,3)] y así así sucesivamente. sucesivamente. Como en la lista aparecen aparecen todas las combinaciones combinaciones posibles de predilección de cerveza y género, en otras palabras aparecen todas las contingencias posibles, posibles, a la tabla se Cerveza preferida le llama tabla de contingencia. Ligera Clara Oscura Género Hombre Celda (1,1) Celda (1,2) Celda (1,3) Mujer

Celda (2,1) Celda (2,2) Celda (2,3)

Supong Supongamos amos que se ha toma tomado do una muestra muestra aleatoria aleatoria simple de 150 bebedores bebedores de cerveza. Después Después de saborear saborear cada una, se les pide expresar su preferencia preferencia o primera altern alternati ativa va.. La tab tabula ulació ciónn cruzad cruzadaa de la siguie siguiente nte tabla tabla 2 resum resumee las respu respues estas tas obtenidas. obtenidas. Observamos que, que, los datos para la prueba de independencia independencia se agrupan agrupan en términos de cantidades o frecuencias para cada celda o categoría. De las 150 personas de la muestra, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza ligera, 40 fueron mujeres que prefirieron la cerveza clara, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza oscura, y así sucesivamente. Los datos de la tabla 2 constituyen las frecuencias observadas para las seis clases o categorías.

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Cerveza preferida Ligera Clara Oscura Total Género Hombre 20

40

20

80

Mujer

30

30

10

70

Total

50

70

30

150

observada y la esperada.

Si podemos determinar las frec frecue uenc ncia iass espe espera rada dass bajo bajo la hipótesis de independencia entre la preferencia de cerveza y el género del del consu consumid midor, or, pode podemos mos usar usar la distribución ji cuadrada para determinar si existe una diferencia sign signifific icat ativ ivaa entr entree la frec frecue uenc ncia ia

Las frecuencias esperadas en las celdas de la tabla de contingencia se basan en el siguien siguiente te razonami razonamiento ento.. Primero Primero supone suponemos mos que es verdade verdadera ra la hipótesi hipótesiss nula, nula, de independencia entre la cerveza preferida y el género del consumidor. A continuación observamos que en toda la muestra de 150 consumidores, hay 50 que prefieren la cerveza ligera, 70 la cerveza clara y 30 la cerveza oscura. Expresada en fracción, la conclusión es que de 50/150 = 1/3 de los consumidores de cerveza prefieren la ligera; 70/150 = 7/15 la clara y 30/150 = 1/5 la oscura. Si es válida la hipótesis de independencia, decimos que estas fracciones se deben de aplicar por igual a los consumidores hombres y mujeres. Así bajo la hipótesis de independencia, esperaríamos que la muestra de 80 consumidores hombres indicara que (1/3) 80 = 26.7 prefieren cerveza ligera, (7/15) 80 = 37.33 la clara y (1/5) 80 = 16 la oscura. La aplicación de las mismas fracciones a las 70 consumidoras mujeres produce las frecuencias esperadas que aparecen en la tabla. Cerveza preferida

eij

Ligera Clara Oscura Total Género Hombre 26.67

37.33 16.00

80

Mujer

23.33

32.67 14.00

70

Total

50.00

70.00 30.00

150

Sea la frecuencia esperada en la categ tegoría ría del renglón lón i y la columna j de la tabla de conti conting ngen encia cia.. Con Con esta esta nota notació ciónn reco recons nsid ider erem emos os el cálc cálcul uloo de la frec recuencia cia espe sperad rada para los los hombres (renglón i = 1) que prefieren la cerveza clara (columna j = 2) esto es, la frecuencia esperada

e1, 2

. Apegándonos al esquema anterior para el cálculo de las frecuencias esperadas, podemos demostrar que

e1, 2

= (7/15) 80 = 37.33 Esta ecuación se puede escribir como sigue e1, 2

= (7/15) 80 = (70/150) 80 = 37.33

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Observe que 80 es la cantidad total de hombres (total del renglón 1), 70 es la cantidad total de individuos (hombres y mujeres) que prefieren la cerveza clara (total de la columna 2) y 150 es el tamaño de la muestra total. En consecuencia vemos

e1,2 =

(total del renglón1) (total de la columna 2)

tamaño de la muestra

Al generalizar la ecuación vemos que la fórmula siguiente determina las frecuencias esperadas de una tabla de contingencias para la prueba de independencia.

Frecuencias esperadas en la tabla de contingencia suponiendo independencia

eij

=

(Total del renglón i) (total de la columna j )

tamaño de la muestra

El procedimiento de prueba para comparar frecuencias observadas con las frecuencias esperadas, se parece a los cálculos de bondad de ajuste. Específicamente, el valor de χ

2

basados en las frecuencias observadas y esperadas se calcula como sigue:

k

χ

2

=

∑ i =1

[ f

oi

− f ei

]

2

f ei

Oi = Valor observado en la i-ésimo celda. Ei = Valor esperado en la i-ésimo celda. K = Categorías o celdas.

Con n renglones y m columnas en la tabla de contingencia, contingencia, el estadístico de prueba tiene una distribución ji cuadrada con (n – 1) (m – 1) grados de libertad, siempre y cuando las

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frecu frecuen encia ciass espe esperad radas as sean sean 5 o más para para tod todas as las categ categorí orías as.. En conse consecu cuen encia cia proseguimos con el cálculo de la estadística de prueba ji cuadrada.

Los cálculos necesarios para determinar el estadística ji cuadrada y ver si la preferencia de cerveza es independiente del género de quien la bebe se ven en la tabla. La cantidad de grados de libertad para la distribución ji cuadrada adecuada se determina multiplicando la cantidad de renglones menos 1 por la cantidad de columnas menos 1. Como tenemos dos renglones y tres columnas, entonces (2 – 1) (3 – 1) = (1) (2) = 2 grad grados os de libe libert rtad ad para para la prue prueba ba de inde indepe pend nden enci ciaa entre entre cerv cervez ezaa y géne género ro del del α

consumidor. Con

= .05 como nivel de significancia de la prueba, buscamos en la tabla 2

χ .05

de ji cuadrada y nos da un valor = 5.99. Observe que estamos usando el valor de la cola cola supe superio rior, r, porqu porquee recha rechazar zaremo emoss la hipót hipótesi esiss nula nula sólo sólo si las difere diferenc ncias ias entre entre χ

frecuencias frecuencias observadas y esperadas esperadas producen un valor grande de χ

2

χ

2

. En el ejemplo

2

=6.13 es mayor que = 5.99. Por consiguiente, rechazaremos la hipótesis nula de independencia independencia y concluimos concluimos que la, la preferencia cerveza preferida preferida no es independiente independiente del del géne género ro del consu consumid midor, or, es decir decir para las tres tres cerve cerveza zass es diferen diferente te entre entre los los consumidores hombres y mujeres y por lo tanto la Cervecería Modelo deberá estratificar a los consumidores para ajustar las promociones y la publicidad, teniendo en cuenta estas f o

f e

( f o

−

f e )

( f o

− f e ) 2

( f o − f e ) 2 / eij

Género

Cerveza

Hombre

ligera

20

26.67

-6.67

44.4889

1.66812523

Hombre

clara

40

37.33

2.67

7.1289

0.19096973

Hombre

Oscura

20

16

4

16

1

Mujer

ligera

30

23.33

6.67

44.4889

1.90693956

Mujer

clara

30

32.67

-2.67

7.1289

0.21820937

Mujer

Oscura

10

14

-4

16

1.14285714

χ

2

6.12710104

diferencias.

5.5 PRUEBAS DE CONTINGENCIA (ji-CUDRADA). La prueba prueba chi-cua chi-cuadrad dradoo de conting contingenc encia ia sirve para comproba comprobarr la indepen independen dencia cia de frecuencias entre dos variables aleatorias, X e Y. TRABAJO EN EQUIPO



Las hipótesis contrastadas en la prueba son: Hipótesis nula: X e Y son independientes. Hipótesis alternativa: X e Y no son independientes (No importa cuál sea la relación que mantengan ni el grado de esta. La condición de independencia, independencia, tal como fue definida en la página anterior era: X e Y son independientes independientes si y sólo si para cualquier cualquier pareja de valores x e y la probabilidad probabilidad de que X tome el valor x e Y el valor y, simultáneamente, simultáneamente, es igual al producto de las probabilidades probabilidades de que cada una tome el valor correspondiente.

Por tanto, todo lo que necesitamos serán unas estimas de las funciones de probabilidad de ambas variables variables por separado separado (f(x) y f(y)) y de la función función de probab probabilida ilidadd conjunt conjuntaa (f(x,y)) Empezaremos la prueba tomando una muestra de parejas de valores sobre la que contaremos contaremos la frecuencia frecuencia absoluta con la que aparece cada combinación combinación de valores (x i,y j) o de grupos de valores (i,j) (O ij) La tabla siguiente, en la que se recogen estos datos, es en realidad nuestra estimación de la función de probabilidad conjunta multiplicada por el número total de datos (T).

Para obtener las estimas de las funciones de probabilidad marginales debemos sumar por filas y por columnas los valores de las frecuencias conjuntas. Las sumas de filas (F i) son, en cada caso, el número de veces que hemos obtenido un valor de X (x i) en cualquier combinación con distintos valores de Y, es decir, son nuestra estima de la función de probabilidad de X multiplicada por el número total de observaciones; análogamente, las suma sumass de colu column mnas as (C j) son son nues nuestra tra esti estima ma de la func funció iónn de prob probab abililid idad ad de Y multiplicada por el número total de observaciones. El número total de observaciones lo podemos obtener como la suma de todas las frecuencias observadas o, también, como la suma de las sumas de filas o de las sumas de columnas:

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Así pues, si las variables fueran independientes debería cumplirse que

Naturalmente, nadie espera que esta condición se cumpla exactamente debido al efecto de los errores de muestreo aleatorio. Por tanto, nuestro problema consiste en distinguir entre las diferencias producidas por efecto del muestreo y diferencias que revelen falta de independencia. Podemos convertir la ecuación anterior a frecuencias absolutas multiplicando por T:

Si X e Y son independientes, O ij debe ser igual a

y, por tanto,

Bajo la hipótesis de independencia, es el valor esperado de O ij (Eij) Tal como pasaba en la prueba anterior, si las variables son independientes, es decir, si las frecuencias E ij son realmente los valores esperados de las frecuencias O ij, se puede calcular un parámetro que depende de ambas que tiene distribución chi-cuadrado,

Por otra parte, si las variables no son independientes, las diferencias entre las series de frecuencias observadas y esperadas serán mayores que las atribuibles al efecto del azar y, al estar elevadas al cuadrado en el numerador de la expresión anterior, ésta tenderá a ser mayor que lo que suele ser el valor de una variable chi-cuadrado.

Por tanto, el parámetro anterior ser el estadístico de la prueba de hipótesis y la región crít crític icaa se enco encont ntra rarr siem siempr pree en la cola cola dere derech chaa de la dist distri ribu buci ción ón chichi-cu cuad adra rado do.. Nuevamente, esta prueba será siempre de una sola cola.

Estadístico de contraste Se acep acepta ta la hipó hipóte tesi siss nula nula si cuadrado con

grados de libertad.

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, el perc percen entitill 1 – α de la dist distri ribu buci ción ón chichi-



Tal como ocurría en la prueba anterior lo corriente es que queramos demostrar que dos variables son independientes, es decir, que, habitualmente, nos veremos obligados a colocar nuestra hipótesis en la hipótesis nula. El número de grados de libertad de la chicuadrado que sirve de contraste se calcula de la siguiente forma: A priori priori ten tendre dremos mos tan tanto toss grado gradoss de libert libertad ad como como combi combina nacio cione ness de valore valoress x i, y j tengamos (I J) A este número tendremos que restarle I debido a que, para calcular las frecuencias esperadas, necesitamos calcular las I sumas de filas en la tabla anterior. Conocidas las sumas de filas obtenemos el número total de observaciones sin perder ningún grado de libertad. A continuación, necesitaremos calcular, a partir de las frecuencias observadas J - 1 de las sumas de columnas; la restante podemos obtenerla restando la suma de las anteriores del total de observaciones (T). En resumen, el número de grados de libertad de la prueba es el producto del número de filas menos uno por el número de columnas menos uno.

En cuanto a la magnitud mínima necesaria de las frecuencias observadas y esperadas, rigen las mismas normas que en el caso de la prueba de ajuste. En este caso, si nos viéramos obligados a juntar valores para sumar frecuencias, debemos unir columnas o filas completas (y contiguas). Obviamente, los grados de libertad no deben calcularse hasta que no se hayan realizado todas las agrupaciones agrupaciones necesarias y quede claro cuál es el número de filas y columnas de la tabla definitiva. Como Como hemo hemoss vist visto, o, esta esta prue prueba ba no hace hace ning ningun unaa supo suposi sici ción ón acer acerca ca del del tipo tipo de distribución de ninguna de las variables implicadas y utiliza únicamente información de la muestra, es decir, información contingente. contingente. Esta es la razón por la que, habitualmente, se le llama chi-cuadrado de contingencia. 5.6 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE. Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta). Una hipó hipótes tesis is estad estadíst ística ica se defin definió ió como como una una afirma afirmació ciónn o conjet conjetura ura acerca acerca de la distri distribu bució ciónn f(x,q) f(x,q) de una una o más varia variable bless aleato aleatoria rias. s. Igua Igualme lmente nte se plan planteó teó que que la distribución distribución podía tener uno o más parámetros desconocidos, desconocidos, que denotamos por q y que la hipótesis se relacion r elacionaa con este parámetro o conjunto de parámetros En otros casos, se desconoce por completo la forma de la distribución y la hipótesis entonces se relaciona con una distribución específica f(x,q) que podamos asignarle al conjunto de datos de la muestra. El primer problema, relacionado con los parámetros de una distribución conocida o supu supuest estaa es el proble problema ma que que hemos hemos anal analiza izado do en los párra párrafos fos anter anterio iores res.. Ahora Ahora examinaremos el problema de verificar si el conjunto de datos se puede ajustar o afirmar que proviene de una determinada distribución. Las pruebas estadísticas que tratan este problema reciben el nombre general de “Pruebas de Bondad de Ajuste”. Se analizarán dos pruebas básicas que pueden aplicarse: La prueba Chi - Cuadrado y la prueb pruebaa de Smirno Smirnov-K v-Kolm olmog ogoro orov. v. Amba Ambass prueb pruebas as caen caen en la categ categorí oríaa de lo que que en estadística se denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida a partir de la muestra y TRABAJO EN EQUIPO



la distribución teórica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica. Ambas pruebas están basadas en las siguientes hipótesis: H0: f(x,q) = f0(x,q) H1: f(x,q) ¹ f0(x,q) Donde f0(x, q) es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. Si se desea examinar otra distribución distribución específica, deberá realizarse de nuevo la otra prueba suponiendo que la hipótesis nula es esta nueva distribución. Al especificar la hipótesis nula, el conjunto de parámetros definidos por q puede ser conocido o desconocido. En caso de que los parámetros sean desconocidos, es necesario estimarlos mediante alguno de los métodos de estimación analizados con anterioridad. Para formular la hipótesis nula deberán tenerse en cuenta los siguientes aspectos o criterios: a) La natur naturale aleza za de los datos datos a anal analiza izar. r. Por Por ejemp ejemplo, lo, si tratam tratamos os de invest investig igar ar la distribución que siguen los tiempos de falla de unos componentes, podríamos pensar en una distribución exponencial, o una distribución gama o una distribución Weibull, pero en principio no consideraríamos una distribución normal. Si estamos analizando analizando los caudales caudales de un río en un determinado sitio, podríamos pensar en una distribución logarítmica normal, pero no en una distribución normal. b) Histograma. La forma que tome el histograma de frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo de distribución a considerar.

5.7 APLICACIONES. Para la ocurrencia de dos eventos, en la cual se desea observar si son dependientes o independientes. La distribución ji cuadrada sirve para todas las inferencias sobre la variancia de una población. Existen muchos problemas para los cuales los datos son categorizados y los resultados expuestos en forma de conteos o cuentas. Se pued pueden en aplic aplicar ar en: en: un conju conjunto nto de califi califica cacio cione ness de un exame examenn final final pued puedee ser ser representado como una distribución de frecuencias. Estos valores son cuentas: él numera de datos que caen en cada celda. En una encuesta determinada se podría preguntar a unas personas si votarían por los candidatos A, B o C, por lo general, los resultados se indican en una gráfica que informa acerca del número de votantes para cada categoría posible.

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UNIDAD IV PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE DATOS NUMÉRICOS

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