Prueba de hipótesis para muestras pareadas. Una Una de las hipó hipóte tesi siss sobr sobree las las que que habi habitu tualm almen ente te se fund fundam amen enta tan n las las prue prueba bass estadísticas de comparación es que las observaciones pertenecientes a cada una de las muestras son independientes entre sí, no guardan relación; siendo precisamente ese uno de los objetivos de la aleatorización (elección aleatoria de los sujetos o unidades de observación). Sin embargo, la falta de independencia entre las observaciones de los grupos puede ser una carac aractterís rística del diseño del estudio para buscar fundam fundament entalme almente nte una mayor mayor eficien eficiencia cia del contras contraste te estadís estadístico tico al dismin disminuir uir la variabilidad variabilidad.. En otras ocasiones ocasiones con este tipo de diseño pareado lo que se busca es dar una mayor validez a las inferencias i nferencias obtenidas, controlando o eliminando la influencia de varia variabl bles es extra extraña ñass cuyo cuyo efect efecto o ya es cono conocid cido o o sosp sospech echad ado, o, y no se dese deseaa que que intervenga en el estudio actual pudiendo enmascarar el efecto del tratamiento o de la variable de interés. Las muestras apareadas se obtienen usualmente como distintas observaciones realizadas sobre sobre los mismos mismos indivi individuo duos. s. Un ejempl ejemplo o de obser observaci vacione oness paread pareadas as consis consiste te en considerar a un conjunto de n personas a las que se le aplica un tratamiento médico y se mide por ejemplo el nivel de insulina en la sangre antes (X) y después del mismo (Y). En este ejemplo no es posible considerar a X e Y como variables independientes ya que va a existir una dependencia clara entre las dos variables. Si se quiere quiere contras contrastar tar si hay diferen diferencia cia entre entre las poblaci poblacione ones, s, llamemo llamemoss d i a la diferencia entre las observaciones “antes” y “después”.
d i = xi- yi Supongamos que la v.a. que define la diferencia entre el antes y después es una v.a. “d” que se distribuye normalmente, pero cuyas media y varianza son desconocidas
Si queremos contrastar la hipótesis de que el tratamiento ha producido cierto efecto µ 0. H0: µd = µ0 H1: µd ≠ µ0
d − µ 0 en el caso en que H 0 fuese cierta el estadístico de contraste adecuado es S d , que se n distribuye t con n-1 grados de libertad. d − µ 0
Y se rechaza Ho si
S d
>
t 1−
n
α
2
(n − 1) .
donde d es la media muestral de las diferencias y S d es la cuasivarianza muestral de las mismas. El tipo de contraste sería entonces del mismo tipo que el realizado para la media con varianza desconocida. Ejemplo: Un balneario de aguas curativas anuncia un programa de reducción de peso y afirma que el participante promedio pierde más de 6 kilos. En la siguiente tabla se muestra el resultado en 10 personas, cuál sería su decisión con nivel de significación del 1%.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 85,9 91,8 100 94,1 88,2 80,4 87,7 91,8 94,5 105,9
Después 77,2 86,4 96,8 87,3 81,8 73,2 79,0 85 84,5 92,7
Solución Sea µd la media poblacional de la pérdida de peso después del programa. Las hipótesis a contrastar serán: H0: µd = 6 H1: µd > 6 d − µ0 > t1−α (n − 1) se rechaza Ho si Sd . n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 85,9 91,8 100 94,1 88,2 80,4 87,7 91,8 94,5 105,9
Después 77,2 86,4 96,8 87,3 81,8 73,2 79 85 84,5 92,7 Suma
d 8,7 5,4 3,2 6,8 6,4 7,2 8,7 6,8 10 13,2 76,4
d2 75,69 29,16 10,24 46,24 40,96 51,84 75,69 46,24 100 174,24 650,3
d=
76,4 10
= 7,64
S
2 d
∑d =
2
− nd 2
n −1
=
650,3 − 10(7,64) 2 10 − 1
= 7,4
Sd = 7,4 = 2,72
d − µ 0 S d n
=
7,64 − 6 1,64 = = 1,9 2,72 0,86 10
t 1−α ( n − 1) = t 1−0.01 (10 − 1) = t 0.99 (9) = 2,821 Como 1,9 no supera al percentil (2,821) entonces no se rechaza H 0. O sea, que no hay evidencias suficientes para aceptar la hipótesis de que la pérdida de peso después del programa es superior a 6 kg.
