Clase n°5: Propiedades de las derivadas. Aprendizaje Esperado: Analiza la derivada de una función mediante teoremas y propiedades,
en el contexto de la administración y negocios. Criterios de Evaluación: Aplica reglas básicas de derivación y ritmos de cambio a funciones reales. Contenidos a trabajar:
1. Regla de la constante. 2. Regla de las potencias. 3. Regla de múltiplo constante. 4. Reglas de la suma y diferencia. 5. Regla del producto. 6. Regla del cociente. MOMENTO DE LA CLASE INICIO (5 min)
OBJETIVOS Y/O CONTENIDOS Esta clase tiene como objetivo que el alumno aprenda a aplicar las reglas básicas de derivación a través del algebra de derivadas. Utilizando para este objetivo, las propiedades y teoremas que permiten encontrar derivadas sin la necesidad de tener que utilizar su definición a través de límites. Se sugiere como inicio de clases, una vez propuestas las propiedades que se enuncian a continuación, el docente e ncuentre la derivada de la función usando la definición y luego usando la propiedad n°2 para hacer notar al e studiante la ventaja que tiene usar este tipo de argumentos. En esta clase se utilizaran las siguientes propiedades y teoremas:
=
DESARROLLO (70 min) Enunciar contenidos, formulas y nociones matemáticas fundamentales. (5-10 min)
1. [] = 0 − 2. [ ] = ∙ 3. [ ∙∙ ] =∈ℝ∙ [ ] 4. [ ±] = [ ] ± [] 5. [ ∙] ∙] = [ ] ∙ + ∙ [] ] []∙]∙− ∙ [] 6. = [] ] 7. [] = la funci n exponencial 8. [ln ] = la funci n logaritmo natural 9. [cos cos]] = sen sen la función coseno 10. [sen] = cos cos la función seno (Derivada de una constante)
(Derivada de un polinomio)
(Derivada de una función multiplicada
por un número
)
(Derivada
de
la
suma(resta) de funciones)
(Derivada
del producto de funciones).
(Derivada del cociente de
funciones).
(Derivada de
ó
(Derivada de
ó
)
(Derivada de
(Derivada de
)
)
)
Resolver problemas que permiten objetivos de la clase (50-60 min)
Los problemas que se sugieren para r esolución son los siguientes: Encontrar la derivada de las siguientes funciones: 1.
= 3 + 2 +5
Resolución:
Aplicando la propiedad 4. nos queda:
[ ] = 3+ 2 + 5 Aplicando la propiedad 1 en la última derivada y utilizando la propiedad 3 para la segunda y tercera, se tiene que:
[ ] = 3 +2 +0 Todas las derivadas que nos quedan son derivadas de una potencia de , por lo tanto, podemos aplicar la propiedad 2.
[ ] = 4∙− 3∙3−+2∙2−1−+0
Multiplicando términos y haciendo las restas en los exponentes nos queda que:
[ ] = 4 9 + 4 1 + 0
Así, se obtiene que:
2.
′ = 4 9 + 4 1 = 4 + 6√ +8
Resolución:
Comenzamos aplicando la propiedad 4. quedando:
[ ] = 4 3+ (6√ ) + 8 Aplicando la propiedad 1 a la última derivada y utilizando la propiedad 3 al resto, obtenemos que:
[ ] = 4 3 1+6 (√ ) + 0
Todas las derivadas que nos quedan son derivadas de una potencia de , por lo tanto, podemos aplicar la propiedad 2. Pero antes hay que reescribir el segundo y tercer término como una potencia:
[ ] = 4 3 −+6 +0 Ahora podemos aplicar 2:
[ ] = 4∙3−3∙2−−+6 ∙13 −+0 Multiplicando términos y haciendo las restas en los exponentes nos queda que:
[ ] = 12 + 6− + 2−
Si reescribimos como potencia con exponente no negativo el segundo término y, como raíz el tercero, finalmente nos queda que:
′ = 12 + 6 + √2 Observaciones: El Docente debe recordar a los estudiantes que se usaron las propiedades de las potencia:
3.
− = ≠ 0 = √ > 0 = ∙ 3 5 con
con
Resolución:
Aplicando la propiedad 5. nos queda:
[ ] = ∙3 5+ ∙ 3 5 Aplicando la propiedad 4 en la última derivada y utilizando la propiedad 7 para la primera derivada, se tiene que:
[ ] = ∙ 3 5+ ∙ 3 5 Utilizando la propiedad 3 y propiedad 1, queda
[ ] = ∙ 3 5+ ∙ 3 0 Aplicando la propiedad 2, tenemos:
[ ] = ∙ 3 5+ ∙ (3 ∙2−) Multiplicando términos y haciendo las restas en los exponentes nos queda que:
[ ] = ∙ 3 5 + ∙ 6 ′ = ∙ 3 + 6 5
Así, factorizando por
4.
y reordenando los términos, se obtiene que:
= −−
Resolución:
Aplicando la propiedad 6. nos queda:
4 7∙ l n 4 7∙ l n ′ = ln Aplicando la propiedad 4 en las derivadas, se tie ne que:
′ = 4 7∙ ln 4 7∙ ln ln Utilizando la propiedad 1, propiedad 3 y propiedad 8, queda
1 0∙ 4 l n 4 7∙ ′ = ln Aplicando la propiedad 2, tenemos:
1 4 ∙1∙ l n 4 7 ∙ 1 ′ = ln Multiplicando términos y haciendo la resta de fracciones nos queda
que:
1 4 ∙ l n 4 7∙ ′ = ln
Dejando todo en una fracción, se obtiene que:
5.
7∙ 1 ′ = 4 ∙ ln4 ∙ ln = 2cos + 2cossen
Resolución:
Aplicando propiedad 4 para separar la suma obtenemos:
′ = [2cos] + [2cossen] Aplicando propiedad 3 para sacar las constantes nos queda:
′ = 2 [cos] +2 [cossen] La primera derivada es directa y con ella aplicamos propiedad 2. Con la segunda derivada aplicaremos propiedad 5, ya que es una multiplicación, al hacerlo obtenemos:
′ = 2∙sen +2 [cos] ∙sen+cos [sen] Ahora aplicamos propiedad 9 y 10 para calcular las derivadas que faltan aún y obtenemos: Se resuelven dudas y problemas que surjan de la clase.(5-10 min)
′ = 2sen + 2sen ∙ sen + cos ∙ cos Reescribiendo las multiplicaciones nos queda:
′ = 2sen 2sen+2cos Se sugiere luego de estas actividades, dar el espacio a los estudiantes a que hagan sus consultas y dudas con respecto a los problemas tratados. TERMINO (15 min) Se resumen los contenidos tratados, dando énfasis en las ideas importantes
Se sugiere que se vuelvan a enfatizar las propiedades tratadas. Dando la oportunidad de que el alumno haga las consultas sobre ellas. Se proponen las siguientes actividades para que el alumno resuelva
aprendidas en la clase y se proponen actividades a desarrollar fuera de aula.
fuera del aula. Encontrar la derivada de las siguientes funciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
∙ ln = ∙cos − = √−√ = − = cos = l n = ∙l n +4 = 3 + √ = ∙
Se le debe recordar al alumno que los problemas 4 y 5.
para que pueda realizar
