CAPITULO CAPITULO 3 PROPIEDADES ACUSTICAS A CUSTICAS DE LAS ROCAS 3.1 INTRODUCCION El registro acústico es una parte importante de la eval evalua uaci ción ón de form formac acio ione nes. s. Este Este tipo tipo de registro usa la propagación de ondas acústicas dentro y alrededor del pozo. Las propiedades acústicas medidas en el registro de pozos son las veloci velocidad dades es de ondas ondas compre compresiv sivas as y de cizalla, atenuación de ondas compresivas y de cizalla y la amplitud de ondas reejadas. Las Las med medicio icione nes s de la velo veloc cidad idad de onda nda pued pueden en ser ser usad usadas as para para la eval evalua uaci ción ón de porosidad, litología y las compresibilidades de masa asa y de poro. La deter etermi mina nac ción ión de la cali calida dad d de la adhe adhere renc ncia ia del del ceme cement nto o y la identicac identicación ión de zonas zonas fracturada fracturadas s se basan basan en mediciones de la atenuación de ondas. La medición de la amplitud de ondas reejadas es usada usada para para locali localizar zar cavida cavidades des y fract fracturas uras,, para determinar la orientación de la fractura y para inspeccionar el casing. El registro acústico en huecos abiertos !pozos sin sin entu entuba bar" r" cons consis iste te prin princi cipa palm lmen ente te en medi medici cion ones es de velo veloci cida dade des s acús acústi tica cas. s. Esta Esta medi medici ción ón es usual usualme ment nte e llam llamad ada a #egis egistr tro o $óni $ónico co,, es una una grab grabac ació ión n de los los tiem tiempo pos s re%ueridos para %ue una onda acústica recorra una determ determina inada da distan distancia cia a trav&s trav&s de una formación %ue rodea un pozo. Este par'metro es referido como tiempo de transito acústico, (t, y es usualmente e)presado en microsegundos por pie. *elocidad, v, y tiempo de tr'nsito, (t, est'n relacionados por+ (t-/0v1111111111111111 11.11 !2.-" 3onde (t es en 4sec0ft y v es en ft0sec. El registro sónico fue originalmente desarro desarrollado llado para ayudaren ayudaren la evaluación evaluación de prospecciones sísmicas. 5vances en el dise6o de herramientas electrónicas de fondo de pozo e)ten )tendi dió ó su util utilid idad ad en la eval evalua uaci ción ón de formaciones, especialmente en la determinación de porosidad. 7or%ue la velocidad acústica depende de las prop propie ieda dade des s el's el'sti tica cas s de las las rocas ocas,, este este capítulo trata conceptos b'sicos de elasticidad y propagación de ondas el'sticas en pozos de sondeo y medios porosos llenos de lí%uido. Los diver iverso sos s par' par'me metr tros os %ue afec fectan tan la veloci velocida dad d acúst acústica ica y los modelo modelos s m's útiles útiles usados usados para para relac relacion ionar ar veloci velocidad dad acústi acústica ca y porosidad son tambi&n discutidos.
3.2 CONCEPTOS ELASTICIDAD
BASICOS
DE
3.2.1 3.2.1 Estré Estrés s y Tension ensiones. es. Elasti Elasticid cidad ad se reere a la relación entre las fuerzas e)ternas aplicadas a un cuerpo y los cambios resultantes en su forma y tama6o. 8uerza es cuantitativ cuantitativamente amente descrita descrita por estr&s, estr&s, fuerza fuerza por por unid unidad ad de 'rea 'rea.. 9na 9na fuer fuerza za apli aplica cada da perpendicularmente a una barra de longitud L y di'metro d y fuera del cuerpo sobre cual actú actúa a tens tensió ión n de trac tracci ción ón resul esulta tant nte. e. La tensi tensión ón de tracc tracció ión n caus causa a elon elonga gaci ción ón en la barr barra a (L y dismi isminu nuc ción ión del di'me i'metr tro o (d !8ig.2.-a". :uando la fuerza perpendicular es aplicada en la barra !8ig.2.-b", la resultante es un estr&s compresivo %ue causa un acortamiento de la barra (L y un incremento del del di'm di'met etro ro (d. (d. $i la fuer fuerza za es apli aplica cada da tangencialmente al 'rea !8ig.2.-c" es referido al estr&s de cizalla. El estr&s de cizalla causa defo deforrmac mación por despl esplaz azam amiiento ento sin sin un cambio de volumen. 3eformación y desplazamiento es resultado de estr&s estr&s descri descrito to como como tensió tensión. n. Las tensio tensiones nes resultantes de estr&s compresivo y e)tensivo son llamadas llamadas tensiones tensiones longitudi longitudinales nales,, ; l, y el estr&s transverso, ;t, denidos por+ E ?(d0d1111111111111111111 1..!2.2" El estr estr&s &s de ciza cizall lla a resul esulta ta en tens tensió ión n de cizalla, ; $, denido por+ <$(L0Ltan @111111111. 11111111..!2.A" > cuando la tensión es pe%ue6a, pe%ue6a, <$B@.. 1111111111111111111.111.. !2.C" 3onde @ es el 'ngulo de deformación. 3.2.2 Constantes elástias. Las propiedades el's el'sti tica cas s de la mate materi ria a son son desc descri rita tas s como como constantes el'sticas. Las constantes el'sticas son son den denid idas as bajo bajo las las tens tensio ione nes s dentr dentro o del del límite el'stico. El cuerpo retoma sus condiciones originales si la fuerza %ue causa la tensión es removida. !"#$lo #e %o$n&, E, es el radio de estr&s compresivo o e)tensivo correspondiente a la tensión.
E!805"0!(L0L"
11111111111111111..!2./" 7ara m's rocas, los rangos de E van de - - a --- 7a.
!"#$lo #e Ci'alla, G, describe el radio del estr&s de cizalla a la tensión de cizalla. G es denido como+ G!805"0@11111111.. 111111111111!2.D" 7ara m's rocas, esta sobre -02 a -0= tan grande como E. !"#$lo #e !asa, K , es una medida del radio estr&s0tensión cuando un cuerpo est' sujeto a estr&s compresivo uniforme. El estr&s o en este caso, presión, p, se relaciona al cambio de volumen (*, por+ K p0!(*0*" 11111111111111111111!2.F" El módulo de masa es el reciproco de la compresibilidad. Ra#io #e Poisson(s, 4, es una medida del cambio de la forma geom&trica bajo estr&s. Es denida como el radio de tensión transversa a longitudinal+ 4E ?0EL111111111111111111. 1111!2.G" En el caso de un cilindro, 4 esta e)presado ! usando los símbolos de la 8ig.2.-" como+ 4!(d0d"0!(L0L"111111. 1111111111.!2.-"
El radio de 7oisson para rocas va entre rangos de .C a .A, promediando sobre .=C para rocas sedimentarias. Las cuatro constantes el'sticas E, G, K y 4 son par'metros dependientes. :ual%uiera de estas constantes puede ser e)presada en t&rminos de otras dos. La relación m's usada entre ellas es+ GE0H=!-I4"J 11111111111111111..!2.--" > K E0H2!-K=4"J 111111111111111.1.!2.-="
3.2.3 On#as #e C$er)o Elástio. 9n cuerpo el'stico es inmediatamente comprimido cuando est' sujeto a estr&s o presión repentinamente. La región donde las partículas del cuerpo est'n m's comprimidas se propagar' fuera del punto de impacto. Las compresiones son transmitidas a todo el cuerpo por unas series de compresiones y rarefacciones !liberación de la compresión" en forma de ondas. La propagación de ondas esta e)presada matem'ticamente por las siguientes ecuaciones+ A cos=M HNt K !)0O"J 1111111111111..!2.-2" v ON1111111111111111.. 111111..!2.-A" y N-0t 111111111111111111111 1.!2.-C" 3onde, estr&s en cual%uier tiempo t y una distancia ) dentro de una onda el'sticaP 5 amplitud del estr&s en la fuenteP Olongitud de onda o la distancia entre compresiones m')imas sucesivas o rarefacciones en cual%uier tiempoP ?periodo o el intervalo de tiempo entre compresiones m')imas sucesivas o rarefacciones en cual%uier puntoP Nfrecuencia de los ciclos de compresión o rarefacciónP y v velocidad de propagación. 8ig.2.= ilustra el movimiento de onda. Las ondas el'sticas son atenuadas por absorción. 7or%ue de la atenuación, la amplitud, A, de una onda a una distancia ) de la fuente puede ser e)presada por+ A AeK Q) 11111111111111111111.. !2.-/" 3onde Q es el coeficiente de absorción. El coeficiente Q depende de las características del medio a trav&s del cual la onda est' viajando. Rncluyendo los efectos de atenuación, E%.2.-2 llegaría a ser+
AeKQ) cos=M HN tK !)0O"J 111111111.11..!2.-D" Las ondas el'sticas pueden ser clasicadas como ondas de cuerpo y límites de onda, tambi&n conocidas como ondas guiadas. Los ondas de cuerpo se propagan en medios ilimitados y son distinguidos de las ondas limitadas por%ue surgen de la presencia de tales límites como la pared del pozo. Los dos principales tipos de ondas de cuerpo son compresionales y de cizalla. Sndas compresionales, tambi&n conocidas como ondas longitudinales u ondas primarias 7, son estas donde el movimiento de partículas es en dirección de la
propagación de onda, como muestra la 8ig.2.2a. La velocidad de propagación compresiva, v p, depende de las propiedades del cuerpo el'stico. Eso puede derivarse de la ecuación de movimiento y es e)presado como+ *7HK I-02"G0TJ-0=11111111. 111111..!2.-F" U!E0T"!-K4"0H!-K=4" !-I4"JV-0=11111111.!2.-G" 3onde, T es la densidad del medio. Sndas de cizallas, tambi&n conocidas como transversales u ondas secundarias $, son estas donde el movimiento de partículas es perpendicular a la dirección de la propagación de onda, como muestra la 8ig.2.2b. La velocidad de las ondas de cizalla, *$, podría derivarse de la ecuación de movimiento y e)presada como+ V $!G0T"-0=111111111. 111111.11..1.!2.="
H!E0T"0=!-I4"J-0=11111111.. 1111111.!2.=-"
La presencia de ondas de cizalla re%uiere el medio para poseer resistencia al corte. 7or lo tanto, las ondas de cizalla pueden propagarse solo en sólidos. 9sando la E%.2.-F a trav&s de 2.=- podemos comparar los rendimientos de las velocidades de compresión y cizalla. *70*$H!A02"I -0= !K 0G"J 1111111111111.!2.==" H=!-K4"0 !-K -0= =4"J 111111111111111.!2.=2" 7or%ue GW y K W, entonces *7W*$, y X4X.C, entonces+ *7W √ 2 *$111111111111111111111 !2.=A" > en t&rminos del tiempo de tr'nsito, (t+ (t$W √ 2 (t71111111111111111111.. !2.=C" 3onde, (t 7 y (t $ son los tiempos de tr'nsito de las ondas primarias y secundarias.
Las ecuaciones 2.=A y 2.=C indican %ue la propagación de ondas compresionales es m's r'pida %ue las ondas de cizalla en un medio el'stico. :omo por ejemplo, la ?abla 2.- da las velocidades para el cuarzo y la calcita, dos minerales comunes.
3.2.* Re+e,i"n y Re-rai"n #e On#as Elástias. Las ondas acústicas !el'sticas" pueden sufrir interferencia, difracción, ree)ión y refracción. La ree)ión y la refracción ocurren cuando una onda encuentra un límite %ue separa dos medios con diferentes propiedades el'sticas. 7arte de la energía de la onda incidente es reejada y parte es refractada. La onda incidente podría convertirse en otros tipos de vibración sobre ree)ión y refracción. Este fenómeno es llamado conversión. 7or ejemplo, sobre la refracción, una onda compresional incidente es parcialmente convertida en una onda u ondas de otro tipo, como una onda de cizalla. 8ig.2.A es%uem'ticamente muestra la geometría de los rayos a lo largo de cual se propagan las ondas acústicas. 8ig.2.A muestra una onda con velocidad * -, incidente con 'ngulo Q-, sobre un plano con límite %ue separa dos medios de diferentes características el'sticas. 9na onda con velocidad * = es refractada dentro del segundo medio con 'ngulo Q =. 9na tercera onda con velocidad * 2 es reejada de vuelta en el primer medio con 'ngulo Q 2. *-, *= y *2 son característicos del medio y del tipo de onda. 3e acuerdo a la Ley de $nell+ sen Q-0 *- sen Q=0 *= sen Q20 *211111..!2.=/" $i la onda es reejada es del mismo tipo como la onda incidente, entonces * -*2 y subsecuentemente Q-Q2. El 'ngulo de refracción Q= es siempre diferente de Q - como *-Y*=. El 'ngulo Q = es e)presado como+ sen Q=! *=0 *-"sen Q-1111111.. 11111..!2.=D" 7ara el caso especial donde+
sen Q-! *-0 *="sen Q:1111111.. 11111!2.=F" $en Q=- y Q=GZ, como muestra la 8ig.2.C. El 'ngulo Q : es el 'ngulo crítico de refracción. La onda refractada no penetra el segundo medio pero viaja a lo largo de la interface con velocidad * =. Esta onda crítica refractada, llamada onda de cabeza, propaga energía de nuevo en el primer medio como viaja a lo largo del límite. $i el 'ngulo incidente es m's grande %ue el 'ngulo crítico, no ocurrir' refracción y la onda es totalmente reejada.
9na onda compresional %ue viajando en un [edio - con una velocidad * p- generar' una onda compresional de cabeza en el [edio = si ese 'ngulo de incidencia es crítico. Este 'ngulo crítico, Q 7:, es denido acordando la E%.2.=F+ sen Q7:*7-0 *7=11111111111. 11111.!2.=G" 9na onda compresional %ue viajando en un [edio - generar' una onda de cizalla de cabeza, si ese 'ngulo de incidencia es crítico. Este 'ngulo crítico, Q $:, es denido acordando la E%.2.=F+ sen Q$:*7-0 *$=11111111111. 11111.!2.2" :ombinando las ecuaciones 2.2 y 2.=G resulta+ sen Q$:0sen Q7: *7=0 *$=11111.. 111111!2.2-" 7or%ue *7= es siempre m's grande %ue *$= !E%.2.=A", entonces+ Q$: WQ7:111111111111111111.. 111!2.2=" La 8ig.2./ ilustra esta geometría.
Ee/)lo 3.1. 9na onda compresional est' viajando en un uido a una velocidad de -F2m0s. La onda se encuentra con una supercie de un medio solido con un 'ngulo de -FZ. 7arte de la energía de la onda es reejada y parte es refractada. La onda refractada es parcialmente convertida a una onda de cizalla. a. ra%ue la geometría de los rayos a lo largo de los cuales las ondas reejada y refractada se propagaron. 0. :alcule los 'ngulos de ree)ión y refracción si la velocidad de la onda compresional y de cizalla en el sólido es de ACD y =DAm0s, respectivamente.
. :alcule el 'ngulo de incidencia %ue tendría como resultado en una onda compresional de cabeza. #. :alcule el 'ngulo de incidencia %ue tendría como resultado en una onda de cizalla de cabeza. e. Sol$i"n. a. La 8ig.2.D muestra la geometría de los rayos %ue pertenecen a esta situación.
-. 0. El 'ngulo de refle)ión Q 72+ La onda reectada compresional tendría la misma velocidad como la onda incidente, así %ue el 'ngulo de refle)ión seria+ Q 72 Q7--FZ. &. El 'ngulo de la onda compresional refractada Q 7=+ de acuerdo a la Ley de $nell+ sen Q7-0 *7- sen Q7=0 *7= . i. sen Q7=!ACD0-F2"sen!-F".DD=, Q 7=.4. . El 5ngulo de la onda de cizalla refractada, Q $=, de acuerdo a la Ley de $nell+ 5. sen Q7-0 *7- sen Q$=0 *$= l. sen Q$=!=DA0-F2"sen!-F".A/2, Q $=26.74. . El 'ngulo critico de refracción para la onda compresional de cabeza, Q 7:+ usando la E%.2.=G, /. $en Q7:-F20ACD.A, Q 7:=2./Z. #. El 'ngulo crítico de la onda de cizalla de cabeza refractada, Q $:+ usando la E%.2.2, n. $en Q$:-F20=DA.//F, Q $:A-.GZ. o. 8.
r. PROBLE!AS 1. 9na onda compresional est' viajando en un medio sólido, encuentra los límites del medio sólido b con un 'ngulo de incidencia @. $i la onda es parcialmente convertida a onda de cizalla, gra%ue la geometría de los rayos de los siguientes tres 'ngulos de incidencia+ /.CZ, A2Z, =C.CZ. Los dos medios tienen las siguientes velocidades+ * 75=/Dm0s, *$5--=m0s, *7\/==m0s y *$\2Fm0s. s. t. $. [edio 9. :. ,. y. '. aa. a0. [edio a. a#. ae. a-. a&. a. ai. sen Q7:*7-0 *7==/D0/==P ;PC<2.*24 a. sen Q$:*7-0 *$==/D02FP ;SC<7.=4 a5. L>nea roa sen Q750 *75 sen Q7\0 *7\P sen Q7\!/==0=/D"sen!/.C"]o se refracta, ree)ión total a. al. sen Q750 *75 sen Q$\0 *$\P sen Q$\!2F0=/D"sen!/.C" ]o se refracta, ree)ión total a/. Linea 9er#e sen Q750 *75 sen Q7\0 *7\P sen Q7\!/==0=/D"sen!A2" ]o se refracta, ree)ion total 0. an. sen Q750 *75 sen Q$\0 *$\P sen Q$\!2F0=/D"sen!A2".DF/P Q $\C-.FFZ ao. Linea ne&ra sen Q750 *75 sen Q7\0 *7\P sen Q7\!/==0=/D"sen!=C.C" ]o se refracta, ree)ion total . a). sen Q750 *75 sen Q$\0 *$\P sen Q$\!2F0=/D"sen!=C.C".AG/P Q $\=G.DFZ a8. ar. 2. 9na onda acústica viaja en agua a una velocidad de -Cm0s. :alcule el 'ngulo de incidencia sobre un medio sólido resultante de una onda de cabeza compresional y de cizalla. Las velocidades de los ondas de cuerpo en el medio sólido son 22Cm0s y CFCm0s. a. El 'ngulo para la onda compresional de cabeza, Q 7:+ usando la E%.2.=G, as. sen Q7:*7-0 *7=P sen Q7:-C0CFC.=C/A, Q 7:-A.FFZ. 0. El 'ngulo para la onda de cizalla de cabeza, Q $:+ usando la E%.2.2, at. sen Q$:*7-0 *$=P sen Q$:-C022C.AADF, Q 7:=/./Z. a$. a9.PRE?UNTAS DE REPASO 1. C$áles son los #i-erentes ti)os #e estrés a los $ales $n $er)o )$e#e ser so/eti#o@ $é ti)o #e tensi"n res$lta #e a#a ti)o #e estrés@ Estr&s compresivo, causa tensión compresiva y como resultado acortamiento de la longitud del cuerpo Estr&s e)tensivo, causa tensión e)tensiva y como resultado alargamiento de la longitud del cuerpo. Estr&s de cizalla, causa tensión de cizalla y como resultado corte y desplazamiento del cuerpo. 2. C$ál es el si&nia#o ->sio #e las #i-erentes onstantes elástias@ •
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a:. 9na constante el'stica es cada uno de los par'metros físicamente medibles %ue caracterizan el comportamiento el'stico de un sólido deformable el'stico. 5 veces se usa el termino constante el'stica tambi&n para referirse a los coecientes de rigidez de una barra o placa el'stica. a,. 3. $é es $na on#a &$ia#a@ En 8$é se #i-erenia #e $na on#a #e $er)o@ ay. 9na onda guiada es cuando una capa o nivel de roca se encuentra rodeada de otras rocas con velocidades de propagación superiores, algunas de las ondas %ue se encuentran dentro de ella no podr'n escapar a los medios circundantes y ser'n transmitidas a lo largo de la capa con muy poca p&rdida de energía. $e diferencia de las ondas de cuerpo por%ue &stas pueden transmitirse a los dem's medios por medio de la refracción de ondas. *. C"/o las 9i0raiones asoia#as a las on#as #e o/)resi"n #ieren #e las asoia#as a las on#as #e orte o i'alla@ a'. 3ieren en la dirección de propagación, las vibraciones asociadas a las ondas de compresión tienen una dirección perpendicular a la supercie o al cuerpo sometido, mientras %ue las vibraciones de ondas de corte tienen una dirección tangencial.