Cónica 1
INTRODUCCIÓN
Cónica, cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superfcie cónica por un plano que no pasa por su vértice !l tipo de curva que se obtiene depende del "n#ulo α de la superfcie cónica $ del "n#ulo β que %or&a el plano Π con el e'e e
(i β ) α entonces el plano corta a todas las #eneratrices de la superfcie cónica $, por tanto, se obtiene una curva cerrada (i β * α se obtiene una curva abierta + continuación se eponen con &"s detalle los distintos casos que se pueden dar se#-n los valores que to&e β
(i β . /0 la intersección del plano con la superfcie cónica es una circun%erencia
(i β ) α $ β 2 /0 se obtiene una elipse tanto &"s alar#ada cuanto &enor 3&"s prói&o a α4 sea el "n#ulo β
(i β . α el plano es paralelo a una de la #eneratrices $ se obtiene una curva abierta lla&ada par"bola
(i β 2 α entonces, tanto en los casos en que el plano corta al e'e 30 2 β 2 α4 co&o cuando es paralelo a él 3 β . 04, se obtiene una curva con dos ra&as abiertas lla&ada 5ipérbola.
6a ecentricidad de una cónica es un n-&ero que &ide su alar#a&iento $ que est" relacionado con los "n#ulos α $ β
6a ecentricidad de la circun%erencia es cero !s decir, las circun%erencias no son nada ecéntricas 6as elipses son tanto &"s ecéntricas cuanto &"s alar#adas son7 si una elipse es parecida a una circun%erencia su ecentricidad es prói&a a cero, &ientras que si es &u$ alar#ada, su ecentricidad es prói&a a uno Todas las par"bolas tienen ecentricidad uno 6as 5ipérbolas tienen una ecentricidad &a$or que uno
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+96IC+CION!( D! 6+( CÓNIC+(
6as cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan su&a&ente -tiles en la naturale:a, la ciencia, la técnica o el arte 9or e'e&plo, las órbitas de los planetas $ co&etas en su rotación alrededor del (ol son cónicas; los %aros de los coc5es tienen sección parabólica, al i#ual que los 5ornos solares $ las antenas de se#ui&iento de satélites, debido a que en la par"bola los ra$os que pasan por el %oco salen paralelos al e'e $ viceversa Ta&bién eiste un tipo de a$uda a la nave#ación 3loran4 basado en las propiedades de las 5ipérbolas
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6+( CÓNIC+( CO=O 6U>+R!( >!O=?TRICO(
(alvo la circun%erencia, las restantes cónicas se pueden defnir co&o lu#ares #eo&étricos a partir de un punto f'o F , lla&ado %oco, una recta f'a, d, lla&ada directri:, $ su ecentricidad, e ) 0, del si#uiente &odo7 !l lu#ar #eo&étrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F $ a d es i#ual a e 3dist PF @dist Pd . e4, es una cónica de ecentricidad e
A
CÓNIC+( D!>!N!R+D+(
6as cónicas propia&ente dic5as son las que $a se 5an descrito7 circun%erencia, elipse, 5ipérbola $ par"bola (in e&bar#o, desde un punto de vista &ate&"tico conviene a veces considerar co&o cónicas las f#uras que se obtienen al cortar la superfcie cónica &ediante planos que pasan por su vértice + estas f#uras se les lla&a cónicas de#eneradas (e#-n esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serBan cónicas de#eneradas
!9R!(IÓN +N+6ETIC+ D! 6+( CÓNIC+(
Desde una punto de vista analBtico se puede defnir cónica co&o la curva que responde a una ecuación del tipo7 Ax 8 F B$8 F Cxy F Dx F Ey F F . 0 6os valores que to&an A, B, C, D, E $ F , deter&inan el tipo de la cónica $ su posición en el plano 9er&itiendo que dic5os coefcientes to&en valores cualesquiera, ade&"s de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas de#eneradas e incluso cónicas i&a#inarias Microsoft ® Encarta ® 2009. G
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