ANÁLISIS DE REDES. (PERT y CPM): REDES Conceptos básicos : Red: Es un conjunto de nodos conectados por un conjunto de arcos, donde los nodos son puntos de conexión conexión y los arcos son las ramas que interconectan estos nodos. Cadena : Una cadena desde el nodo i hasta el nodo k, es una sucesión de arcos y nodos que une ambos nodos. Ciclo : Es una cadena que empieza y termina en el mismo nodo, un retroceder sobre las mismas ramas. Árbol : Es una red conexa que no contiene ciclos. Red conexa : Es aquella donde existe por lo menos una cadena que conecta a todos los nodos, con el resto de los nodos de la red.
En forma gráfica una red representa una secuencia de actvidades que conforman un determinado proyecto. Algunos elementos para utilizar diagramas de redes: Simbolo
Definición
Denominación
Evento
Circulo o Nodo
→
Actvidad
Flecha
D
Duración
Tiempo o Número
NN
Nombre de la actividad
Nombre
Actividad: Es un proceso de transfomacion, tiene duración. Suceso: Es un instante en el tiempo, distingue un estado de algo, no tiene duración.
REGLAS PARA CONSTRUIR UNA RED. 1. Cada actividad estará representada por una sola flecha. 2. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos iniciales o terminales. 3. Si dos o mas actividades tuvieran los mismos eventos de inicio y los mismos eventos de termino, la manera de vencer esta dificultad (para no faltar a la norma 2) es empleando actividades ficticias, las cuales tienen duración cero. 4. En la maya existe solo un nodo de inicio y uno final. 5. Solo se llegara a un suceso cuando se terminen todas las actividades que confluyen en el. 6. Solo se podrá iniciar una actividad después de haber llegado al suceso inicial de la misma. 7. Todas las actividades deberán comenzar en un evento. 8. Todo evento o suceso a excepción del primero y el último deberán tener como mínimo una actividad que termine en el, y otra que comience en el mismo. 9. Los sucesos deberán ser enumerados en el mismo orden secuencial en que ocurren a lo largo del tiempo. 10. Las redes deben ser consideradas de forma que los números de los sucesos crezcan de izquierda a derecha.
Fechas significativas para una actividad Fecha más temprana de iniciación Fecha más tardía de iniciación Fecha más temprana de finalización o de término Fecha más tardía de finalización o de término
Ejemplo : Determinar la red.
Duración (horas) 3 7 4 2 1 9 6 3 3 10
Actividad A B C D E F G H I J
1
3 A 7 B 4 C
2 2D
F
3 1
E
4
H
3
3
Costos ($) 20000 80000 35000 15000 12000 85000 50000 22000 18000 90000
Actividad Predecesora A B,D A B,D B,D C,E H,I
9 6
G 10 5 J
6
I
Método de la ruta crítica El Método de la ruta crítica o del camino crítico también conocido por sus siglas en inglés CPM (Critical Path Method), fue desarrollado en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para las firmas
Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos mediante la planeación y programación adecuadas de las actividades componentes del proyecto. Una ruta crítica es la secuencia de los elementos terminales de la red con la mayor duración entre ellos, determinando el tiempo más corto en el que es posible completar el proyecto. La duración de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero. Cualquier retraso en un elemento de la ruta crítica afecta a la fecha de término planeada del proyecto, y se dice que no hay holgura en la ruta crítica. Un proyecto puede tener varias rutas críticas paralelas. Una ruta paralela adicional a través de la red con las duraciones totales menos cortas que la ruta crítica es llamada una sub-ruta crítica. Originalmente, el método de la ruta crítica consideró solamente dependencias entre los elementos terminales. Un concepto relacionado es la cadena crítica, la cual agrega dependencias de recursos. Cada recurso depende del manejador en el momento donde la ruta crítica se presente. A diferencia de la Técnica PERT (Project Evaluation and Review Technique), que en castellano (Técnica de Revisión y Evaluación de Proyectos), el método de la ruta crítica usa tiempos ciertos (reales o determinísticos). Sin embargo, la elaboración de un proyecto basándose en redes CPM y PERT son similares y consisten en: •
•
•
Identificar todas las actividades que involucra el proyecto, lo que significa, determinar relaciones de precedencia, tiempos técnicos para cada una de las actividades. Construir una red con base en nodos y actividades (o arcos, según el método más usado), que implican el proyecto. Analizar los cálculos específicos, identificando la ruta crítica y las holguras de las actividades que componen el proyecto..
En términos prácticos, la ruta crítica se interpreta como la dimensión máxima que puede durar el proyecto y las diferencias con las otras rutas que no sean la crítica, se denominan tiempos de holgura. Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto. En este sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la trayectoria más grande del proyecto. Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual a la ruta crítica.
Etapas de CPM Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los
siguientes pasos:
1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál debe seguir después. 3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a sus relaciones de precedencia. 4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad. 5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica). 6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el proyecto. Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad, frecuentemente se utiliza la siguiente notación: Inicio más temprana IC IL Inicio más tardía
Finalización más tem rana NN
TC TL Finalización más tardía
Donde:
IC : Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la actividad. TC : Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la actividad. IL : Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad sin retrasar el término del proyecto. TL : Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la actividad sin retrasar el término del proyecto. Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede obtener con la siguiente fórmula:
Holgura = IL - IC = TL - TC EJEMPLO:
A continuación se presenta un resumen de las actividades que requiere un proyecto para completarse. El tiempo de duración de cada actividad en semanas es fijo. Se solicita que estime la duración total del proyecto a través del método CPM.
Actividad Duración (sem) A B C D E F G H
6 8 12 4 6 15 12 8
Actividad Predecesora A,B C C D,E E F,G
En consideración a las etapas del método CPM definidas anteriormente, en este caso se debe desarrollar el paso 3 y 5. En este sentido es necesario construir el diagrama identificando las relaciones entre las actividades y con el objetivo de resumir la metodología se incorporará inmediatamente el cálculo de la Holgura, IC, TC, IL, TL para cada actividad, junto con la identificación de la ruta crítica.
A
2
F
6
D
1 B 8
12 3
8 15
8
E 6
G 5
6
9
4
4 C
6
H
7 12
Primero se construye el diagrama identificando cada actividad con una flecha con su nombre respectivo arriba y abajo la duración estimada. Entre las actividades se señalan los nodos. La red se construye con los antecedentes de las actividades precedentes o antecesoras, por ejemplo, la actividad F sólo puede comenzar una vez terminadas las actividades D y E. Se enumera de izquierda a derecha, de acuerdo a orden cronológico.
Luego, se identifica para cada Nodo los tiempos IC y TC. Por ejemplo, para la actividad C, cuyo inicio se representa por el evento (nodo) 3 el tiempo de inicio más cercano es 8 (esto porque C sólo puede comenzar una vez terminada A y B, siendo B la que más se demora y termina con duración 8) y el término más cercano es 20 (dado que la actividad C demora 12 semanas). Ahora enumeramos la fecha más tardía para llegar a ese evento de izquierda a derecha.
A 0
26
2
F
6
20
D
1 B 8
6
49 H
8 15
9 8
4
4 8
0
41
C
E
12
6
3
G 5
7 12
A 0
26
2
F
6
20
D
1 B 8
C 12
3
6
8 41
26
9 8
49
E
20 6
G 5
8
49 H
15
4
4 8
0
41
26
7 12
41
Posteriormente se obtiene el IL y TL para cada actividad. Con esta información el cálculo de la holgura de cada actividad es simple. Para obtener el IL y TL de cada actividad nos "movemos" desde el final hasta el inicio. En este caso la actividad que termina más tarde es H (49 sem) y por tanto nos preguntamos cuándo es lo más tarde que podría termina H sin retrasar el proyecto (TL), esto claramente es 49. Por tanto si lo más tarde que puede terminar H es 49, lo más tarde que puede
comenzar H para cumplir este tiempo es 41 (dado que H dura 8 sem). Luego, la holgura de H es cero. Notar que las actividades con holgura igual a cero corresponden a las actividades de la ruta crítica . Adicionalmente, un proyecto puede tener más de una ruta crítica. En nuestro ejemplo la ruta crítica (única) esta conformada por las actividades BC-E-F-H con una duración total de 49 semanas.
A 0
2
F 20 20
6
D
1 B
8
0
6
H 8
15
9 8
4
4 C
8
49 49
41 41
2626
E
12
6
3
41
26 G 5
7 12
Ejemplo anterior Determinar la mejor ruta de transporte del origen (nodo inicial) al destino (nodo final). - menor costo de transporte. - menor tiempo de viaje.
0 1
3 7
0 4
3 2
9
2 3 5 3 5 4 1 4
6 3 3
8 5 2
11 6
10
11
-1
EXTENSIONES: Muchas veces es necesario reducir la duración del proyecto para lo cual se deben asignar más recursos (personas, dinero, etc) a las respectivas actividades. Este concepto se conoce como Crashing cual se revisa en este sitio. Adicionalmente, la metodología PERT nos permite asumir distintos esc enarios de ocurrencia para los tiempos de duración de cada actividad. De esta forma podemos estimar, por ejemplo, la probabilidad de que el proyecto se complete al cabo de un cierto tiempo.
PERT ( PROGRAM EVALUATION REVIEW TECHNIQUE) Redes PERT La Técnicas de Revisión y Evaluación de Proyectos (en inglés, Project Evaluation and Review Techniques ), comúnmente abreviada como PERT, es un modelo para la administración y gestión de proyectos inventado en 1958 por la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de Guerra del Departamento de Defensa de los U.S.A. como parte del proyecto Polaris de misil balístico móvil lanzado desde submarino. Este proyecto fue una respuesta directa a la crisis del Sputnik. PERT es básicamente un método para analizar las tareas involucradas en completar un proyecto dado, especialmente el tiempo para completar cada tarea, e identificar el tiempo mínimo necesario para completar el proyecto total. Este modelo de proyecto fue el primero de su tipo, un reánimo para la administración científica, fundada por el fordismo y el taylorismo. A pesar de que cada compañía tiene su propio modelo de proyectos , todos se basan en PERT de algún modo. Sólo el método de la ruta crítica (CPM) de la Corporación DuPont fue inventado en casi el mismo momento que PERT.
La parte más famosa de PERT son las Redes PERT , diagramas de líneas de tiempo que se interconectan. PERT está diseñado para proyectos de gran escala, que se ejecutan de una vez, complejos y no rutinarios. Una malla PERT permite planificar y controlar el desarrollo de un proyecto. A diferencia de las redes CPM, las redes PERT trabajan con tiempos probabilísticos. Normalmente para desarrollar un proyecto específico lo primero que se hace es determinar, en una reunión multidisciplinaria, cuáles son las actividades que se deberá ejecutar para llevar a feliz término el proyecto, cuál es la precedencia entre ellas y cuál será la duración esperada de cada una. Para definir la precedencia entre actividades se requiere de una cierta cuota de experiencia profesional en el área, en proyectos afines.
Principios Estos tres principios deben respetarse siempre a la hora de dibujar una malla PERT: •
•
•
Principio de designación sucesiva: se nombra a los vértices según los números naturales, de manera que no se les asigna número hasta que han sido nombrados todos aquellos de los que parten aristas que van a parar a ellos. Principio de unicidad del estado inicial y el final : se prohíbe la existencia de más de un vértice inicial o final. Sólo existe una situación de inicio y otra de terminación del proyecto. Principio de designación unívoca: no pueden existir dos aristas que tengan los mismos nodos de origen y de destino. Normalmente, se nombran las actividades mediante el par de vértices que unen. Si no se respetara este principio, puede que dos aristas recibieran la misma denominación
Duración de una Actividad Para estimar la duración esperada de cada actividad es también deseable tener experiencia previa en la realización de tareas similares. En planificación y programación de proyectos se estima que la duración esperada de una actividad es una variable aleatoria de distribución de probabilidad Beta Unimodal” de parámetros (a, m, b) donde : = Se define como el tiempo optimista al menor tiempo que puede durar una actividad. = Es el tiempo más probable que podría durar una actividad. = Éste es el tiempo pesimista, o el mayor tiempo que puede durar una actividad.
= Corresponde al tiempo esperado para una actividad (Este corresponde al tiempo CPM, asumiendo que los cálculos son exactos). NOTA: Se supone que cada Tarea, sigue una ley de distribución de de Euler El valor (o tiempo) esperado en esta distribución. Esta se expresa en la siguiente fórmula:
Distribución BETA f(t) = K (t –a)l (t-b) ω
t = variable aleatoria, intervalo cerrado [ a,b] f(t) = 0, t< a f(t) 0 0; t > a
cuya varianza está dada por:
y una desviación estándar:
En un dibujo de una malla PERT podemos distinguir nodos y arcos. Los nodos representan instantes en el tiempo. Específicamente, representan el instante de inicio de una o varias actividades y simultáneamente el instante de término de otras varias actividades. Los arcos por su parte representan las actividades, tienen un nodo inicial y otro de término donde llega en punta de flecha. Asociada a cada arco está la duración esperada de la actividad. Más información de un
diagrama de actividades es representar éstas con una valoración de complejidad para minimizar el efecto de cuello de botella .
Dibujo de una malla PERT Existen dos metodologías aceptadas para dibujar una malla PERT, la de “Actividad en el Arco” y las de “Actividad en el Nodo”, siendo ésta última la más utilizada en la actualidad en atención a que es la que usan la mayoría de las aplicaciones computacionales especialistas en este tema.
Red PERT. Cada nodo contiene la siguiente información sobre la actividad: •
Nombre de la actividad
•
Duración esperada de la actividad (t)
•
Tiempo de inicio más temprano (ES = Earliest Start)
•
Tiempo de término más temprano (EF = Earliest Finish)
•
Tiempo de inicio más tardío (LS = Latest Start)
•
Tiempo de término más tardío (LF = Latest Finish)
•
Holgura de la Actividad (H)
Por convención los arcos se dibujan siempre con orientación hacia la derecha, hacia el nodo de término del proyecto, nunca retrocediendo. El dibujo de una malla PERT se comienza en el nodo de inicio del proyecto. A partir de él se dibujan las actividades que no tienen actividades precedentes, o sea, aquellas que no tienen que esperar que otras actividades terminen para poder ellas iniciarse. A continuación, se dibujan las restantes actividades cuidando de respetar la precedencia entre ellas. Al terminar el dibujo de la malla preliminar, existirán varios nodos ciegos, nodos terminales a los que llegan aquellas actividades que no son predecesoras de ninguna otra, es decir aquellas que no
influyen en la fecha de inicio de ninguna otra, éstas son las actividades terminales y concurren por lo tanto al nodo de término del proyecto.
Cálculo de los tiempos de inicio y término más tempranos El tiempo de inicio más temprano “ES” (Early Start) y de término más temprano “EF” (Early finish) para cada actividad del proyecto, se calculan desde el nodo de inicio hacia el nodo de término del proyecto según la siguiente relación:
Donde (t) es el tiempo esperado de duración de la actividad y donde ES queda definida según la siguiente regla: •
Regla del tiempo de inicio más temprano: El tiempo de inicio más temprano, ES, de una actividad específica, es igual al mayor de los tiempos EF de todas las actividades que la preceden directamente. El tiempo de inicio más temprano de las actividades que comienzan en el nodo de inicio del proyecto es cero (0).
Duración esperada del proyecto La duración esperada del proyecto (T) es igual al mayor de los tiempos EF de todas las actividades que desembocan en el nodo de término del proyecto.
Cálculo de los tiempos de inicio y término más tardíos El tiempo de inicio más tardío “LS” (Latest Start) y de término más tardío “LF” (Latest finish) para cada actividad del proyecto, se calculan desde el nodo de término retrocediendo hacia el nodo de inicio del proyecto según la siguiente relación: Donde (t) es el tiempo esperado de duración de la actividad y donde LF queda definida según la siguiente regla: Regla del tiempo de término más tardío: • El tiempo de término más tardío, LF, de una actividad específica, es igual al menor de los tiempos LS de todas las actividades que comienzan exactamente después de ella. El tiempo de término más tardío de las actividades que terminan en el nodo de término del proyecto es igual a la duración esperada del proyecto (T).
Holguras, actividades críticas y rutas críticas La Holgura de una actividad, es el tiempo que tiene ésta disponible para, ya sea, atrasarse en su fecha de inicio, o bien alargarse en su tiempo esperado de
ejecución, sin que ello provoque retraso alguno en la fecha de término del proyecto. La holgura de una actividad se calcula de la siguiente forma: H = LF – EF o bien H = LS – ES
•
•
Actividades críticas Se denomina actividades críticas a aquellas actividades cuya holgura es nula y que por lo tanto, si se retrasan en su fecha de inicio o se alargan en su ejecución más allá de su duración esperada, provocarán un retraso exactamente igual en tiempo en la fecha de término del proyecto. Rutas críticas Se denomina rutas críticas a los caminos continuos entre el nodo de inicio y el nodo de término del proyecto, cuyos arcos componentes son todos actividades críticas. Las rutas críticas se nombran por la secuencia de actividades críticas que la componen o bien por la secuencia de nodos por los que atraviesa. Nótese que un proyecto puede tener más de una ruta crítica pero a lo menos tendrá siempre una.
Variabilidad de la duración de un proyecto La duración esperada del proyecto (T) es una variable aleatoria proveniente de la suma de otras variables aleatorias, las duraciones esperadas de las actividades de la o las rutas críticas del proyecto y por lo tanto su variabilidad dependerá de la variabilidad de todas las actividades críticas del proyecto. Se tiene entonces que la varianza y la desviación estándar de la duración esperada del proyecto está dada por:
Varianza de todas las actividades del Proyecto
Cálculo de probabilidades Asumiendo que la duración esperada de una actividad es una variable aleatoria independiente, podemos también suponer que la duración esperada del proyecto es una variable aleatoria que aproxima a la distribución de Gauss (para tareas >
30) y por lo tanto podemos calcular algunas probabilidades haciendo uso de una tabla de distribución normal, tomando en consideración las siguientes relaciones: - Consideremos que para números de Tareas < 30, debemos aproximar a una distribución de Student P=JI-1-i La probabilidad de que el proyecto se termine antes de una duración dada t0 está dada por:
donde es el valor de entrada a una tabla de distribución normal y que se calcula según:
