Universidad Univer sidad de Carabobo Departamento de Térmica y Energética Cátedra de Mecánica de Fluidos Semestre Único 2013 Noviembre 2013
Facilitador:
Descripciones Lagrangiana y Euleriana Fundamentoss de Visualizació Fundamento Visualización n del Flujo Derivada Material Teorema de Transporte de Reynolds Estudio de la Cinemática de Fluidos
Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campos Vectoriale Vec torialess
Descripción del Movimiento de los Fluidos
Cinemática de Fluidos La materia llamada Cinemática se interesa en el estudio del movimiento, es decir, cómo fluyen los fluidos y cómo puede describirse su movimiento. Existen dos (2) maneras fundamentales para describir el movimiento: el movimiento de partículas discretas puede ser descrito siguiendo la trayectoria de cada una de dichas partículas desde una posición inicial (modelo determinístico) Vparticula = Vi(x0,y0,z0,t) En contraposición, el movimiento de medios continuos (volúmenes fijos) debe ser descrito a través de campos vectoriales de las propiedades de dicho medio debido a que es imposible conocer las interacciones de las partículas dentro del medio continuo (modelo estadístico) Vcontinuo = V(x,y,z,t) V(x,y,z,t)
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campos Vectoriale Vec torialess
Descripción Lagrangiana del Movimiento de Partículas
Al seguir cada partícula de manera individual (análisis discreto), se identifican puntos en el espacio y se observan las propiedades de cada partícula en cada uno de dichos puntos desde el inicio de su seguimiento (posición inicial) en instantes de tiempo determinados (Se cuenta con Posición Inicial y Trayectoria)
r
f 1 ( x0 , y0 , z 0 , t )
V f 2 ( x0 , y0 , z 0 , t )
a
f 3 ( x0 , y0 , z 0 , t )
Justamente Justamente como se sigue a una partícula individual, esta est a descripción del movimiento (Descripción Lagrangiana) permite el estudio de sistemas ó masas fijas (masas de control), a través del seguimiento del sistema
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campos Vectoriales
Descripción Euleriana del Análisis de Continuos
Cuando es imposible seguir a cada partícula de manera discreta, se opta por describir el movimiento del continuo, indagando las propiedades del flujo en una posición determinada del espacio y en un instante determinado (Se cuenta con el campo de propiedades)
Al contar con un campo de propiedades, puede asignarse un valor para dichas propiedades según una distribución espacio-temporal. El valor de una propiedad en un punto e instante determinado equivale al de la partícula que ocupa ese espacio en ese momento (Descripción Euleriana), esto permite el estudio de continuos (volúmenes de control) sin necesidad de conocer la historia de cada partícula del continuo
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campos Vectoriales
Descripción Euleriana del Análisis de Continuos
r
r ( x, y, z , t )
V
V ( x, y, z , t )
a
a( x, y, z , t )
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campo Vectoriales
Campos Vectoriales: Fuerza y Aceleración
Desde el punto de vista de la mecánica newtoniana (discreta), la fuerza producida por la aceleración de una partícula es determinada a partir de la 2º Ley de Newton
F particula Donde:
a particula
m particula * a particula
dV ( x0 , y0 , z 0 , t ) dt
Y se conoce la trayectoria y masa de cada partícula
Obsérvese que esta expresión es un claro ejemplo de un enfoque Lagrangiano (de partículas). Si deseáramos calcular la aceleración en un punto (espacial) dentro de un medio continuo, es imposible aplicar esta 2º ley de Newton ó la expresión anterior de manera directa, debido a que es imposible conocer la trayectoria de todas las partículas para saber cuál estará en el punto problema en el momento deseado
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campo Vectoriales
Campos Vectoriales: Fuerza y Aceleración
En esos casos, debemos recurrir al enfoque Euleriano (para medios continuos). Este enfoque parte de la definición alternativa de la aceleración:
a ( x, y, z , t )
d V ( x, y, z , t ) dt
Donde la derivada debe calcularse a través de la regla de la cadena, por ser V (campo de velocidad) un campo vectorial en x,y,z y t (conocido, V=(u,v,w))
a ( x, y, z , t )
a ( x, y, z , t )
V dt
V dx
V dy
V dz
t dt
x dt
y dt
z dt
V
V
t
x
u
V y
v
V z
w
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Descripción del Movimiento de los Fluidos Descripción Lagrangiana y Masa de Control Descripción Euleriana y Volumen de Control Campo Vectoriales
Campos Vectoriales: Fuerza y Aceleración
A través de este sencillo ejemplo se logra percibir la diferencia entre ambos enfoques y la descripción del movimiento de fluidos. Es importante destacar el hecho de que la última expresión:
a ( x, y, z , t )
V
V
t
x
V
u
y
v
V z
w
Puede ser expresada de manera resumida como:
V
a ( x, y, z , t )
t
x
a ( x, y, z , t )
V t
u
y
v
z
w V
(V
)V
DV Dt
*Derivada Material de la Velocidad
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Corriente y Tubos de Corriente
Visualización de Flujos de Fluidos En muchas oportunidades (incluidos los análisis a través de CFD), se emplean técnicas y/o metodologías para visualizar los flujos de fluidos, con el objetivo de ver de manera más concreta la distribución de las propiedades del flujo, en vez de remitirnos a las ecuaciones y valores numéricos. A continuación se describen tres (3) líneas/herramientas para la visualización de flujos de fluidos
Líneas de Corriente Una línea de corriente es una curva que, en todas partes, es tangente al vector velocidad local instantáneo del campo de velocidad
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Corriente y Tubos de Corriente
Líneas de Corriente Considerando una longitud infinitesimal de arco, dr = dx i + dy j + dz k a lo largo de una línea de corriente, para el caso de dos dimensiones; dr debe ser paralelo al vector velocidad local V = u i + v j + w k por definición de una línea de corriente. Con el uso de triángulos semejantes y sabiendo que las componentes de dr deben ser proporcionales a las de V se define que:
dr
dx
dy
dz
dy
v
V
u
v
w
dx
u
En algunos casos sencillos, la ecuación se puede resolver de manera analítica y la solución general (familia de curvas) corresponderá a las líneas de corriente del campo de flujo
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Corriente y Tubos de Corriente
Tubos de Corriente Un tubo de corriente consta de un haz de líneas de corriente. Dado que las líneas de corriente son en todo punto paralelas a la velocidad local, por definición el fluido no puede cruzar una línea de corriente. Además, el fluido que se encuentre dentro de un tubo de corriente debe permanecer allí y no puede cruzar la frontera de éste. El tubo de corriente sigue siendo una visualización instantánea. Las líneas en un tubo de corriente pueden definir un perfil de velocidades
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Trayectoria
Líneas de Trayectoria Una línea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún período de tiempo
La línea de trayectoria es un concepto lagrangiano debido a que, por definición, es el seguimiento a una partícula de fluido en el tiempo
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Traza
Líneas de Traza Una línea de traza es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera secuencial por un punto prescrito en el flujo. La línea de traza indica dónde están las partículas “ahora mismo”, es una fotografía de un conjunto de partículas
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Líneas de Corriente y Tubos de Corriente Líneas de Trayectoria Líneas de Traza
Líneas de Traza
En flujos transitorios, las líneas de traza, de corriente y de trayectoria pueden ser diferentes. En flujos estacionarios ó continuos, las líneas son iguales.
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Derivada Material para propiedades de partículas De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano
Derivada Material para Propiedades de Partículas
Continuando con la definición de los enfoques Lagrangiano y Euleriano, es importante notar la definición que se había obtenido para la Derivada Material (también llamada sustancial, lagrangiana, euleriana, o total)
Aceleración Material
a ( x, y, z , t )
DV
V
Dt
t
(V
)V
El operador de derivada material puede aplicarse para cualquier propiedad de los flujos de fluidos Derivada Material de una propiedad B (Siendo B una propiedad escalar o vectorial):
D B
B
Dt
t
*Para B = ρ, si Dρ/Dt = 0 se dice que el flujo es incompresible
(V
) B
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Derivada Material para propiedades de partículas De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano
Derivada Material para Propiedades de Partículas
Existen dos (2) componentes dentro de la definición de Derivada Material P.ej. Para la aceleración material:
DV
V
Dt
t
(V
)V
Componente local (variación temporal) Componente convectivo (variación espacial)
Aceleración con dominio local
Aceleración con dominio convectivo
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Derivada Material para propiedades de partículas De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano
Derivada Material para Propiedades de Partículas
En el componente convectivo y en el componente local pueden ocurrir simplificaciones, de acuerdo al tipo de flujo de fluido que se presente: • Flujo Estacionario/Continuo • Flujo Unidimensional ó Bidimensional
• Flujo Incompresible: En este caso, nótese que si D ρ/Dt =0, necesariamente:
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Derivada Material para propiedades de partículas De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano
Derivada Material para Propiedades de Partículas
Cuando un flujo de fluido presenta un perfil de velocidades invariante en la dirección del flujo, se dice que el flujo es desarrollado • Flujo
Completamente desarrollado Cuando la velocidad y otras propiedades del flujo de fluido permanecen constantes en toda el área de la ST del flujo, se dice que el flujo es uniforme • Flujo Uniforme
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Derivada Material para propiedades de partículas De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano
Derivada Material: del Enfoque Lagrangiano al Enfoque Euleriano
Es importante destacar el hecho de que esta derivada material, por definición de derivada es aplicable a un “punto” o partícula, es decir, se sigue a una partícula de trayectoria conocida, para obtener un campo vectorial instantáneo (enfoque lagrangiano) y posteriormente una propiedad puntual o particular de ese campo (enfoque euleriano)
Enfoque Lagrangiano
D/Dt
Enfoque Euleriano
La aceleración de una partícula es un concepto lagrangiano. Desde el punto de vista euleriano no se puede evaluar la velocidad de una partícula un instante t > t0 debido a que el campo de velocidad desplaza la partícula (concepto no lineal de aceleración en el enfoque euleriano)
La evaluación de los efectos viscosos en un flujo de fluidos se realiza con un enfoque Euleriano debido a que permite percibir la interacción entre partículas
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C. La “contraparte” integral de la Derivada Material es el denominado “Teorema de Transporte de Reynolds”. Esta herramienta permite la transformación del enfoque Euleriano (de partícula) a Lagrangiano (de Volumen de Control o continuo) Considerando el ducto de figura con un flujo unidimensional V=V(x). El V.C. seleccionado (entre las secciones a y b de la figura) para el instante mostrado (t) esta plenamente ocupado por el sistema n.2. En un instante t + dt, el sistema 2 ha comenzado a moverse y al V.C. ha entrado una porción del sistema 1: (Volumen) AaVadt y ha salido una porción del sistema 2 AbVbdt
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C.
El ducto ó Tubo de Corriente debe seleccionarse de tal manera que el vector de velocidad sea perpendicular al vector de área transversal del tubo
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C.
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C.
Por otra parte, según la definición de la propiedad extensiva B en el V.C.:
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C.
El TTR puede generalizarse a flujos tridimensionales como:
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Teorema de Transporte de Reynolds para campos vectoriales en un V.C. De Sistemas a Volúmenes de Control
TTR: Del enfoque de Sistema a Volumen de Control
El TTR es la “contraparte integral” de la derivada material y permite trasladar el enfoque de sistemas fijos (masas de control) a sistemas móviles, volúmenes de control. Para ello es necesario conocer los campos vectoriales de las propiedades del flujo. Tanto el TTR como la derivada material pueden aplicarse a las leyes fundamentales del movimiento para lograr estudiar la Cinemática y Dinámica de Fluidos de una manera apropiada. El TTR también permite trasladar un enfoque lagrangiano de los campos vectoriales de sistemas (seguir al sistema) a un enfoque euleriano de volúmenes de control (propiedades del V.C. en un punto del espacio)
Sistema / Masa de Control
TTR
Volumen de Control
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
En la mecánica de fluidos, al igual que en la mecánica de sólidos, un elemento puede pasar por tres (3) tipos fundamentales de movimiento
1. Traslación (a) 2. Rotación (b) 3. Deformación (c y d)
La ecuación que gobierna la mecánica de fluidos es la Ecuación de Navier-Stokes. Esta ecuación es especialmente explícita en el caso de flujos de fluido incompresibles, homogéneos (completamente desarrollados) y continuos
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
*Recordar: Flujo Incompresible
Ecuación de Navier-Stokes para Flujo Continuo, Completamente Desarrollado e Incompresible Esta “solución particular” de la Ecuación de Navier-Stokes parte de la Ecuación General con las condiciones de borde anteriormente descritas
DV
Ecuación Diferencial Vectorial de Orden Superior
P
2
V
Ecuación general N-S
Dt
Condición Flujo incompresible Condición de borde (Descripción Lagrangiana)
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
Ecuación de Navier-Stokes para Flujo Continuo, Completamente Desarrollado e Incompresible Al resolver la E.D.O. de la Derivada Material de la velocidad, se obtiene la expresión para la velocidad en el flujo con régimen Continuo, Incompresible y Completamente desarrollado (Descripción de la cinemática de flujos de fluidos con estos regímenes)
Vector Desplazamiento Vector Velocidad inicial
Matriz simétrica (Tensor) de deformación
Vector Vorticidad Vector Desplazamiento
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
Ecuación de Navier-Stokes para Flujo Continuo, Completamente Desarrollado e Incompresible Esta ecuación es explícita al considerar los tres (3) tipos de movimiento fundamentales
Caso 1: Traslación
Traslación
Caso 2: Rotación
Rotación
Caso 3: Deformación
Deformación
Mecánica de Fluidos
Mecánica de Partículas y Sólidos (Clásica)
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
Ecuación de Navier-Stokes para Flujo Continuo, Completamente Desarrollado e Incompresible
*Flujo disparado a través de una manguera idealizado unidimensional (Flujo en traslación pura)
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Ecuación de Navier-Stokes
Estudio de la Cinemática de Fluidos: Ecuación de Navier-Stokes
Ecuación de Navier-Stokes para Flujo Continuo, Completamente Desarrollado e Incompresible
*Flujo idealizado bidimensional (curvas de nivel) de un tornado (Flujo en rotación pura)
