3.4 Variables aleatorias Ejemplo:
Sea X el número de criaturas de un tipo particular capturadas en una trampa durante un lapso de tiempo dado. Suponga que X tiene una distribución Poisson con media 4.5 ( en promedio, las trampas tendrán 4,5 criaturas). Calcule: a. La probabilidad de que una trampa contenga exactamente 5 criaturas. b. La probabilidad de que una trampa contenga como máximo 5 criaturas.
3.4 Variables aleatorias Una v.a. X tiene Distribución Uniforme si su densidad se distribuye por igual entre dos valores cualquiera a y b. Su función densidad está dada por:
Con a, b ∈ |R y se denota por:
3.4 Variables aleatorias/ D. Uniforme La esperanza y varianza de una variable aleatoria X con Distribución Uniforme están dadas por:
•
E(X) = (a+b)/2
•
V(X) = (b-a)²/12
3.4 Variables aleatorias Ejemplo: La dirección de una imperfección con respecto a una línea de referencia sobre un objeto circular como un neumático, un rotor de freno o un volante está, en general, sujeta a incertidumbre. Considérese la línea de referencia que conecta el vástago de la calcula de un neumático con el punto central y sea X el ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a la ubicación de una imperfección. Una posible función de densidad de X es: f(x)=
1/360 0≤ x ≤ 360 0
e.o.c
La probabilidad de que el ángulo de ocurrencia sea entre 90° y 180° es ??
3.4 Variables aleatorias Suponga que los eventos suceden aleatoriamente a lo largo del tiempo, con un tiempo esperado entre eventos λ. Sea X, la v.a. que cuenta el tiempo para el siguiente evento, entonces X tiene Distribución Exponencial y su función densidad está dada por:
Y se denota por:
3.4 Variables aleatorias La esperanza y varianza de una variable aleatoria X con Distribución Exponencial están dadas por:
•
E(X) = 1/λ
•
V(X) = 1/λ²
3.4 Variables aleatorias Ejemplo:
Una amplia experiencia en ventiladores de cierto tipo, empleados en motores diesel a sugerido que la distribución exponencial es un buen modelo para el tiempo hasta que se presente una falla. Suponga que el tiempo medio hasta una falla es de 25.000 horas: a)
¿Cuál es la probabilidad de un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20 horas?, ¿a lo sumo 30.000 horas? Y ¿entre 20.000 y 30.00 horas?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un ventilador exceda el valor medio de más de dos desviaciones estándar? Y en más de tres desviaciones estándar?
3.4 Variables aleatorias La variable aleatoria X tiene Distribución Normal con parámetros µ y σ² si su función de densidad está dada por:
Y se denota por:
3.4 Variables aleatorias La Distribución Normal es la distribución más importante en toda la probabilidad y estadística. Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy fielmente por una curva normal apropiada. Ej: estatura, peso, mediciones de inteligencia y aptitud, clasificaciones en varios exámenes, medidas e indicadores económicos.
3.4 Variables aleatorias La esperanza y varianza de una variable aleatoria X con Distribución Normal están dadas por:
•
E(X) = µ
•
V(X) = σ²
3.4 Variables aleatorias Si Z es una v.a normal con media 0 y varianza 1, entonces Z se llama variable aleatoria Normal Estándar.
Cualquier variable aleatoria normal X se puede transformar en una v.a. normal estandarizada Z, de la siguiente manera:
Este proceso se llama estandarización o normalización.
3.4 Variables aleatorias/ Función distribución acumulada normal estándar
3.4 Variables aleatorias/ Función distribución acumulada normal estándar
3.4 Variables aleatorias Ejemplo:
Determine las siguientes probabilidades de v.a Z, normal estándar. a)
P(Z > 1,25)
b)
P(Z >= -1,25)
c)
P(-0,83 <= Z <=1,25 )
3.4 Variables aleatorias Ejemplo:
La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y después medir la profundidad de penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación está normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3. (a) Si un especimen es aceptable solo si su dureza está entre 67 y 75, ¿Cuál es la probabilidad de que un especimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable? (b) Si la escala aceptable de dureza es (70 - c, 70 + c), ¿para qué calor de c tendría una dureza aceptable, 95% de todos los especímenes? (c) Si la escala aceptable es como el inciso (a) y la dureza de cada diez especímenes seleccionados al azar se determina independientemente, ¿cuál es el número esperado de especímenes aceptables entre los diez? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez especímenes seleccionados independientemente, tengan una dureza menor a 73.84?
3.4 Variables aleatorias Aproximación Poisson a la distribución binomial
Se sugiere aproximar a la distribución Poisson una distribución binomial para valores de n “muy grandes” y de p “muy pequeña”. La regla es aproximar si p<0,05 y n≥20. Si n ≥100 la aproximación es buena siempre y cuando np>10. En ambos casos λ=np y en vez de utilizar
usamos
