Clase 1 Semana 4

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Curso: Modelación y Programación

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Clase 1 Semana 4

Contenido: Modelos de Optimización lineales con variables continuas, enteras, binarias.

adqu adquiririe iend ndoo habilidades en la modelación de estos tipos de problemas

Objetivos

Contitinu nuar ar generales: Con

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Un Jefe de personal en una empresa está ofreciendo n plazas de trabajo diferentes (cada una cumple roles distintos) a n candidatos. A cada candidato se le ha evaluado su aptitud para cubrir cada una de las plazas, expresado en un coeficiente numérico. Plantee un modelo que permita hacer la asignación del personal a las plazas de manera de optimizar las aptitudes de los candidatos a las plazas ofertadas. n ces a ut zar: atos: i: para candidatos; n: número de candidatos j: para plazas a cubrir = número de plazas

Variables xij =1 si el candidato i se asigna a la plaza j 0 si no n

∑ x i =1

ij

=1

j = 1,..., n

¿Qué representa?

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Un Jefe de personal en una empresa está ofreciendo n plazas de trabajo diferentes (cada una cumple roles distintos) a n candidatos. A cada candidato se le ha evaluado su aptitud para cubrir cada una de las plazas, expresado en un coeficiente numérico. Plantee un modelo que permita hacer la asignación del personal a las plazas de manera de optimizar las aptitudes de los candidatos a las plazas ofertadas. n ces a ut zar: atos: i: para candidatos; n: número de candidatos j: para plazas a cubrir = número de plazas

Variables xij =1 si el candidato i se asigna a la plaza j 0 si no n

∑ x j =1

ij

=1

i = 1,..., n

¿Qué representa?

��

Índices a utilizar: i: para candidatos; j: para plazas a cubrir n

max

z =

n

∑∑ c x ij

ij

j =1 i =1

n

∑ x

ij

=1

j = 1,..., n

i =1

Cada plaza a cubrir (dada por j, son n restricciones) debe ser asignada exactamente a una persona n

∑ x

ij

=1

i = 1,..., n

j =1

Cada persona (dada por i, son n restricciones) debe ser asignada exactamente a una plaza

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2. Solución de dicotomías ó Restricciones disyuntivas. Las dicotomías son parejas de restricciones de las cuales al menos una de ellas debe verificarse. Supongamos se tiene la dicotomía: f(x 1,x2,…,xn)≤ 0 ó g(x1, x2,…,xn) ≤ 0 Cómo resolverlo? Caso 1: Se cumpla exactamente una de las dos restricciones f(x1,x2,…,xn)≤ f *y g(x1, x2,…,xn) ≤ g *(1- y) Donde: y: variable binaria auxiliar que define qué restricción se cumple f* y g* son cotas superiores de f(x) y g(x) respectivamente.

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2. Solución de dicotomías ó Restricciones disyuntivas. Supongamos se tiene la dicotomía: f(x 1,x2,…,xn)≤ 0 ó g(x1, x2,…,xn) ≤ 0 Caso 2: Se cumpla una de las dos restricciones ó las dos ¿Cómo resolverlo? f(x1,x2,…,xn)≤ f *y1 g(x1, x2,…,xn) ≤ g * y2

y1 + y2 ≤ 1 Donde: y1, y2: variables binarias auxiliares que definen qué restricciones se cumplen f* y g* son cotas superiores de f(x) y g(x) respectivamente.

3. ¿Cómo modelar cuando se tiene que escoger exactamente una alternativa (restricción) entre varias? n

∑ a x j

n

j

≤b

ó

j =1

∑ c x j

j

≤

d

j =1

Suponer que los productos A, B y C se tienen que hacer en exactamente una de dos máquinas (todos en la misma máquina) y se tiene la cantidad de horas que lleva cada producto en cada máquina y total de horas disponibles ��

�

�

�

��

��

�

�

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��

 1 en M i yi =  0 no en M i

2A+3B+5C ≤480+M(1-y1) A+4B+3C ≤320+M(1-y2) y1+y2=1 �

Restricciones disyuntivas. Caso más general que el anterior, cuando deben cumplirse K de N restricciones : f1(x1,x2,…,xn) ≤ d1 f2(x1,x2,…,xn) ≤ d2 …. fN(x1,x2,…,xn) ≤ dN

¿Cómo modelarlo? Dos opciones: 1. f1(x1,x2,…,xn) ≤ d1 +M(1-y1) f2(x1,x2,…,xn) ≤ d2 +M(1-y2) …. fN(x1,x2,…,xn) ≤ dN +M(1-yn) 2. f1(x1,x2,…,xn) ≤ d1 +My1 f2(x1,x2,…,xn) ≤ d2 +My2 …. fN(x1,x2,…,xn) ≤ dN +Myn

N

y1 , y2,…,yn ∈{0,1}

∑ y

i

=

K

i =1

N

y1 , y2,…,yn ∈{0,1}

∑ y i =1

i

= N − K

Del Estudio Independiente clase anterior Una compañía de consultorías de cadena de suministro en Colombia debe decidir dónde localizar 4 oficinas centrales, escogidas de 8 posibles lugares donde ubicarlas, que deben atender a 15 ciudades en el país (son sus clientes). Cada lugar posible de ubicación de las oficinas tendrá un número de consultores diferentes para atender a los clientes. Cada consultor puede realizar a lo sumo 25 viajes en el año a sus clientes. Existe un costo unitario de cada viaje dependiendo de la oficina que lo , donde está el cliente y la ciudad que se visita). Cada lugar posible de ubicación tendrá un costo fijo de apertura diferente, en caso de que se abra. Cada ciudad tiene previsto un número de visitas que le realicen en el año. Perteneciendo todos los consultores a la misma compañía no existe ninguna restricción que limite a que una ciudad pueda ser visitada por consultores que estén en diferentes oficinas. Plantee el modelo matemático que permita decidir dónde ubicar sus oficinas centrales, así como cuántas visitas y de dónde recibirá cada ciudad, dentro del grupo de las oficinas que se abran.

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Semejanzas con ejercicio visto clase anterior Problema de localización de plantas

Problema de consultorías

Índices a usar: i: referido a las localiz. de plantas j: referido a los clientes localiz. de plantas ↔ localiz. de oficinas centrales Productos a enviar ↔ Visitas a realizar a clientes

xij:unidades del producto enviados de la planta i al consumidor j yi: 1 si se abre una planta en la localización i, 0 si no.

Recordando el problema : Problema de localización de plantas ��

Una empresa �� trata de elegir la localización de dos plantas de �� entre un conjunto de 10 posibles localizaciones, teniendo en cuenta las necesidades de sus 30 consumidores a la vez que maximizando sus ganancias netas. Si las plantas se deciden abrir en un lugar determinado, ello implica un costo fijo de posicionarlas en dichos lugares. Se conocen además: •el beneficio unitario por venta, a cada consumidor, de bienes •la capacidad productiva de la planta localizada en cada lugar posible. •la demanda de cada consumidor, en unidades del producto. ¿Dónde ubicar las plantas y qué cantidad de producto enviar de cada planta abierta a cada consumidor? ��

Recordando el problema: Problema de localización de plantas ��

¿Qué tipos de variables tiene el problema? ��

Dos: 1. Reflejan la cantidad del producto a enviar de las plantas abiertas a los consumidores. 2. Reflejan la decisión de abrir o no una planta en un lugar dado Índices a usar: : re er o a as oca zac ones pos es e as p antas = ,…, j: referido a los clientes (j=1,…,30) Datos de manera simbólica (para usarlos en el modelo): 1. fi : costo fijo de construcción de la planta localizada en i 2. ui : la capacidad productiva de la planta localizada en i 3. d j: la demanda del consumidor j 4. bij : beneficio unitario por venta, al consumidor j, de bienes producidos en la planta i ��


¿Variables del problema?

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yi: variable binaria que toma el valor 1 si se abre una planta en la localización i, 0 si no. xij: unidades del producto enviados de la planta i al consumidor j ¿Cuántas variables tiene el problema? 10 binarias, 10x30 = 300 variables enteras. Total: 310 variables 10

Función objetivo:

z =

30

10

∑∑ b x − ∑ f y ij

i =1 j =1

ij

i

i

i =1

��


10

30

10

�� Función objetivo:

z =

Restricciones:

∑∑ b x − ∑ f y ij

ij

i

i =1 j =1

1. Satisfacer demanda de los clientes

i

i =1 10

∑ x

ij

=

d j

∀ j = 1...,30

i =1

2. Ca acidad máxima de las lantas si se abren 30

∑ x

ij

≤

ui yi

∀i = 1...,10

j =1

3. Abrir exactamente dos plantas

10

∑ y

i

=

2

i =1

Rango de variables: xij≥0, enteras, yi ∈{0,1} i=1,…,10, j=1,…,30 ��

Ejemplo planteado en clase anterior En un taller, lo más que se puede hacer diariamente son 200 artículos A, ó 100 artículos B, ó cualquier combinación posible dentro de estos límites. La sección de pintura tiene una capacidad diaria de 120 artículos A, ó 160 artículos B, ó cualquier combinación posible dentro de estas limitaciones. La planta de tratamiento térmico no puede procesar más de 90 artículos A por día; el artículo B no requiere de este proceso. Para su fabricación el artículo A se procesa 3 minutos en la máquina M1 y 2 minutos en la máquina M2, mientras que el artículo B puede fabricarse enteramente en la máquina M1 en 5 minutos ó, también, en ambas máquinas, procesándolo 2 minutos en la máquina M1 y 1 minuto en la M2. Las máquinas tienen dis onibles las 8 horas del día ara realizar el roceso. Cada artículo A se fabrica con 1 libra de material X y 2 libras de material Y, y cada artículo B se construye con 2 libras de X y 3 libras de Y. En existencia hay 140 libras de X y 80 libras de Y. El costo de una libra de X es $200, mientras que cada libra de Y cuesta $300. Como el material Y disponible es poco, y hay un presupuesto de $60.000 para la compra de ambos materiales, del material X no puede comprarse más del 20% del material Y que se requiera adicionalmente. El artículo A también puede hacerse sin el tratamiento térmico, aunque con ello se sacrifica la durabilidad. Cada artículo B deja una utilidad de $4.000; cada artículo A sin tratamiento de $3.000 y con tratamiento, $5.000. Modele el problema de la planificación de la producción de tal manera que se maximice la utilidad diaria de la compañía. ��

Aspectos a resaltar del modelo resultante 1. Hay que leerlo COMPLETO para darse cuenta de las variables que realmente que tiene el modelo. 2. Hay que ser cuidadoso con no mezclar unidades diferentes (por ejemplo horas y minutos) en una misma restricción ó función objetivo. 3. No todas las variables tienen que aparecer explícitas en la función objetivo 4. Es conveniente hacer tablas de la información que dan 5. Debe irse subrayando lo que se tuvo en cuenta, pues el problema es largo con muchos tipos de restricciones y pueden quedarse algunas restricciones sin plantear por esta causa. ��

Estudio Independiente

Tratar de resolver SOLOS los dos ejercicios siguientes de modelación y luego confrontar su solución con la respuesta dada en el Folleto de Modelación (son

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1. El dueño de un restaurante necesitaría en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de $20 cada una y después de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda 1 día) que cuesta $ 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 días) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que permita debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar cada día para minimizar sus costos.

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2. Una compañía de transporte dispone de $4.000.000.000 para comprar un nuevo equipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas /hora, siendo su costo de $80.000.000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas, promedia una velocidad de 30 millas/hora, y su costo es $130.000.000. El vehículo C es un modelo modificado del tipo B, tiene un sitio para que duerma el conductor, lo cual reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $ 150.000.000. Cada vehículo A recorre 20 millas por cada galón de gasolina; cada vehículo B recorre 15 millas/galón y cada vehículo C recorre 12 millas/galón. El tanque de combustible para el suministro diario para los vehículos tiene una capacidad de 10.000 galones de gasolina. El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y, si opera durante los tres turnos del a, pue e tra a ar un prome o e oras por a. os ve cu os y requ eren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 15 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de 150 conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores adicionales. El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipo A si sólo parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es 20% mayor que el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es 20% menor que el de tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 25. Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si la compañía desea �� maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

Clase 1 Semana 4

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