FEME FE MEC4 C43 305 050 0 – EA1 Estrutu Estruturas ras de Aero Aeronave nave 1 - 2013/2 2013/2
Prof. Thiago Augusto Machado Guimarães
AULA 8 !ide 2
CÍRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS E PRODUTOS DE IN RCIA
"EME#$30%0 & EA1
4.1. CÍRCULO DE MOHR PARA AS PROPRIEDADES DE INÉRCIA ' Eng. a!emão 'tto Mohr (1)3%* mostrou +ue se conhecidos , , e , de uma determinada suerfcie em re!a4ão aos eios assando or ,0 ode-se usar o #rcu!o de Mohr ara ca!cu!ar5
's Eios Princiais de n6rcia ab e os Momentos Princiais
's Momentos e Produto da suerfcie em re!a4ão a ++ outro ar de eios x’y’ assando or 0.
Pontos do crcu!o de Mohr5
X I xx , I xy
(
Y I yy , − I xy Assumindo5
)
(1*
I xx > I yy I xy > 0
Construção do Círculo de Mohr
I xx − I yy
R =
2
2
2 + I xy
I xx + I yy max, min
2
OB!
(a* A A rota4ão +ue !eva #7 ara #A 6 hor8ria. Portanto θm no onto +ue define o Eio Princia! 0a 6 hor8rio. (9* 's eios :: formando θ no onto5 como 0: est8 no sentido antianti -hor8rio no crcu!o de Mohr devo girar 2θ no mesmo sentido.
AULA 8 !ide %
TORÇÃO EM SEÇÕES MACIÇAS
"EME#$30%0 & EA1
6.1. SOLUÇÃO POR FUNÇÃO DE TENSÃO DE PRANDTL A so!u4ão de ro9!emas de tor4ão de 9arras de T ar9itr8rias mas uniforme 6 o9tida via M6todos nversos visto no #a3 onde são feitas suosi4;es ara o camo de tens;es. uerfcie ⊥ ao eio da 9arra Tens;es agindo no onto dxdy
F"#$ F"#1
#omo não h8 cargas aiais a!icadas a!icadas55
σ x = σ y = σ z = 0 (1*
T 6 resistido somente e!as ,τ no !ano da T ("ig ("ig2 2*5
τ xy = 0 (2*
%&s E'u&ç(es de E'u"lí)r"o *"#nor&r +orç&s de ,ol-. /..2 /..2 %&s E's- *12. C&$!
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + X = 0 ∂ x ∂ y ∂ z ∂σ y ∂τ yx ∂τ yz + + + Y = 0 ∂ y ∂ x ∂ z ∂σ z ∂τ zx ∂τ zy + + + Z = 0
∂τ xz =0 ∂ z ∂τ yz =0 ∂ z ∂τ zx ∂τ zy + =0
(3a* (39*
(3c*
OB!
(a* E+s (3a* e (39*5 Mostram +ue , τ< e ,τ< são fun4;es somente de e sendo ctes ao !ongo do eio < ara ontos +ue ossuem as mesmas coordenadas e . (9* =esta o9serva4ão Prandtl introdu
∂φ = −τ zy ∂ x
∂φ = τ zx ∂ y
($*
(c* As As E+s. ($* !evam a uma eressão de , φ +ue satisfa< as E+ua4;es de #omati9i!idade e as #ondi4;es de #ontorno. #ontorno . E 6 >ustamente as ##s +ue diferenciam um ro9!ema de tor4ão do outro.
Eress(es &r& &s %e+or&ç(es! %&s E's- *132. C&$!
ε x = ε y = ε z =
1
E
[σ x −ν (σ y + σ z )]
1
E 1
E
σ y − ν σ x + σ z
das E s s.. 1
σ x = σ y = σ z = 0
x
=
y
=
[σ z −ν (σ x + σ y )]
γ xy =
1
G
τ xy
da E+. (2*
τ xy = 0
γ xy = 0 (?*
z
=
E'u&ç(es de Co&t")"l"d&de! %&s E's- *62. C&$!
∂ 2 γ xy
2 ∂ 2 ε x ∂ ε y = + 2 ∂ x∂ y ∂ y ∂ x 2
%&s E's- *82. C&$! ∂ 2ε x ∂ ∂γ xy ∂γ xz ∂γ yz
+ − ∂ y∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ x ∂ 2ε y ∂ ∂γ yz ∂γ xy ∂γ xz 2 = + − ∂ x∂ z ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y 2
∂ 2γ xz ∂ 2ε z ∂ 2ε x = + 2 2 ∂ x∂ z ∂ x ∂ z ∂ 2 γ yz ∂ 2ε y ∂ 2ε z = + 2 ∂ ∂ z ∂ z ∂ 2
=
∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy 2 = + − ∂ x∂ ∂ z ∂ x ∂ ∂ z
#omo ,τ<τ<@f(* @f(* - ,γ<γ<@f(*5 @f(*5 E+s. (Ba*(Ba*-(Bc* e ()c* são nu!as5 ()a* e ()9*5 como5 γ yz
∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂ ∂γ xz ∂γ yz 0 = − 0= − ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x = τ yz G
e γ xz = τ xz G
γ yz = −
1 ∂φ
G ∂ x
C
e das E+s. ($*5
γ xz =
1 ∂φ
G ∂ y
(B*
()*
2 φ ∂ 2φ ∂ ∂ 2 + 2=0 ∴ ∂ x ∂ x ∂ y
2 φ ∂ 2φ ∂ ∂ 2 + 2=0 ∂ y ∂ x ∂ y
(D*
ou
∂ 2 ∇ φ = 0 ∂ x
∂ 2 ∇ φ = 0 ∂ y
(10*
OB! F 2 ∂ 2 ∂ ∇ = 2 + 2 ∂ x ∂ y 2
(9* =as E+s (10* nota nota--se +ue o oerador , ∇2φ 6 constante em +ua!+uer T da 9arra ta! +ue a "un4ão de Tensão , φ deve satisfa
Asse#ur&r 'ue 7φ s&t"s+&ç& &s Cond"ç(es de Contorno
F"#4
l = cos ϕ = dy ds
− F"#3
n = 0 (n ⊥ z )
%&s E's- *32. C&$!
r
X = σ xl + τ xy m + τ xz n #omo a suerfcie não est8 su>eita a nenhuma for4a eterna X = Y = Z = 05 Y = τ yxl + σ y m + τ yz n dy dx Z = τ zx l + τ zy m + σ z n 0 = τ zx l + τ zy m − τ zy = 0 (13* τ zx ds ds #om9inando as E+s. ($* e (13*5
OB!
∂φ =0 ∂ s
(1$*
(a* A E+. (1$* mostra +ue , φ@cte @cte so9re a suerfcie , , da 9arra e ortanto não afeta as tens;es ($*. endo assim uma estrat6gia 6 assumir esta constante como sendo
φ = 0 (1%* (9* #ondi4;es de #ontorno nos etreos da 9arra (a!icados os Tor+ues*5 %&s E s- 3 C& $!
T
F"#5
X = σ xl + τ xy m + τ xz n
τ xz = X
Y = τ yxl + σ y m + τ yz n
τ yz = Y (1?*
Z = τ zxl + τ zy m + σ z n
Z = 0
E+s (1?*5 As (1?*5 As "or4as nos etremos são "or4as #isa!hantes c/ a mesma distri9ui4ão das , τ.
∑" e , ∑" são5 Portanto as "or4as #isa!hantes resu!tantes , ∑
∂φ ∂φ dx dy = 0 = ∑ F x = ∫∫ X dxdy = ∫∫τ xz dxdy = ∫∫ dxdy ∫ ∫ ∂ y ∂ y yz dxdy = ∫∫ − ∑ F y = ∫∫ Y dxdy = ∫∫τ
,φ@0 @0 no cont.
∂φ ∂φ dx = 0 dxdy = − ∫ dy ∫ ∂ x ∂ x
sto im!ica +ue não eiste "or4a #isa!hante esu!tante nas etremidades da 9arra e as "or4as reresentam o rHrio Tor+ue a!icado ("ig%*5 z
yz
T = − ∫ dy ∫ x
−
xz
=
∂φ ∂φ − − ∂ y ∂ x
∂φ ∂φ dx − ∫ dx ∫ y dy ∂ x ∂ y
U dV
=
T = 2 ∫∫ φ dxdy (1B*
U dV
Temos condi4;es de o9ter so!u4;es eatas / um ro9!ema de tor4ão se a , φ encontrada satisfa< a E+.(11* em todos os tos internos da 9arra e se anu!a em sua suerfcie. =eve t9 garantir +ue ,T , T 6 distri9udo so9re as etremidades da mesma forma +ue as tens;es internas so9re a T.
Eercíc"o 01 !ide 1$
"ornecidas as roriedades de in6rcia da se4ão a9aio em re!a4ão aos eios e determinar5 (a* Eios Princiais em re!a4ão a 0I (9* 's momentos rinciaisI (c* 's momentos e rodutos em re!a4ão aos eios ::.
I xx = 7,24 × 106 mm 4 I yy = 2,61 × 106 mm 4 I xy = −2,54 × 106 mm 4
"EME#$30%0 & EA1
Eercíc"o 9roosto $ !ide 1%
Jma 9arra uniforme de T e!tica est8 su>eita a tor+ues de mesmo mHdu!o e sentidos oostos em cada etremidade !ivre. =etermine a distri9ui4ão das tens;es cisa!hantes e o des!ocamento de emenamento da T.
"EME#$30%0 & EA1
