Matrices Circulantes Estos apuntes est´an an escritos por Dar´ Dar´ıo Couti˜ no Aquino, con sugerencias de Egor Maxino menko.
Objetivos. Estudiar matrices circulantes y su diagonalizaci´on on mediante la transformada discreta de Fourier. Requisitos. Transformada ransformada discreta discreta de Fourier, ourier, operaciones operaciones con matrices, matrices, ra´ ra´ıces de la unidad y sus propiedades elementales. En esta secci´on on siempre suponemos que n
∈ {1, 2, 3, . . .}.
Transformada Discreta de Fourier (repaso) 1 Definici´ on. on. Se define ωn como ωn = e −
2π n
i
(1)
.
Es f´acil acil ver que ωnm = 1 si, y s´olo olo si, n divide a m. Los n´ umeros umeros ωn0 , ωn1 , . . . , ωnn−1 son diferentes entre s´ s´ı y forman el conjunto con junto soluci´ s oluci´on de la ecuaci´on on z n = 1.
2 Proposici´ on on (Ortogonalidad de las ra´ ra´ıces de la unidad). Sean p, q
∈ ∈ {0, . . . , n − 1},
entonces
1 n
n 1
−
−qk = δ p,q ω pk p,q . n ωn
(2)
k=0
tiene que: que: Demostraci´ on. Si p = q , entonces ω pn−q = 1 y se tiene 1 n
n 1
−
n−1 n−1 1 − =1 p−q k (ωn ) = 1 = 1.
qk ω pk n ωn
k=0
n
n
k=0
k=0
p Si p = q y como p, q 0, . . . , n 1 entonces p p−q umero umero ωn es distin distinto to de 1, y p q , el n´
−
∈ ∈ {
1 n
n 1
−
k=0
| − q | < n, por lo tanto n no divide a
− }
n−1 ( − ) 1 1 − ωn p q n 1−1 − =1 p−q k ( ωn ) = = p−q p−q = 0.
qk ω pk n ωn
n
n
k=0
1
−ω
n
1
−ω
n
3 Definic Definici´ i´ on on (Transf (Transformad ormadaa Discreta Discreta de Fourier) ourier). Denotemos por Ωn a la siguiente matriz: 1 n−1 ω jk Ωn = (3) . n j,k=0
√ n
En otras palabras, Ωn es una matriz cuadrada de orden n, y su s u entrada con ´ındices ındices ( j, k ) es igual a 1 jk ωn . (Ωn ) j,k = (4)
√ n
Matrices Matrices Circulant Circulantes, es, p´agina agina 1 de 6
La transformada lineal
→ Ω x
x
n
(x
∈ C )
n
se llama la Transformada Discreta de Fourier , y la matriz Ω n es la matriz asociada a la Transformada Discreta de Fourier .
4 Observaci´ on. El coeficiente √ 1n se necesita para que la matriz Ω n sea unitaria, v´ease la Proposici´on 6. Algunos autores definen la Transformada Discreta de Fourier sin este coeficiente. 5 Observaci´ on. En este tema es c´omodo numerar las entradas de vectores y matrices comenzando los ´ındices desde 0. Dada una matriz A, denotamos por A ∗ su adjunta (transpuesta conjugada). Recordamos que una matriz cuadrada A se llama unitaria si AA∗ = I n = A ∗ A.
6 Proposici´ on (Propiedad unitaria de la Transformada Discreta de Fourier) . La matriz Ωn es unitaria: Ω∗n Ωn = I n . (5) Demostraci´ on. La propiedad unitaria de la matriz Ω n se obtiene directamente de la Pro-
posici´on 2: n 1
(Ω∗ Ωn ) p,q = n
−
n 1
(Ω∗n ) p,k (Ωn )k,q =
k=0
−
√ √ 1
ω − pk n
n
k=0
1
n
ωnqk
=
1 n
n 1
−
ωn( p−q)k = δ p,q .
k=0
−1 mediante 7 Definici´ on (Base discreta de Fourier) . Definimos los vectores f n,0 , . . . , fn,n la regla: 1 pk n−1 (6) f n,p = ω n .
√ n
Denotemos por
k=0
F a la lista de vectores (f
− ).
1 n,0 , . . . , fn,n
n
8 Observaci´ on. Cada vector f n,p de la Base discreta de Fourier, corresponde a la p-´esima fila de la matriz asociada a la Tranformada Discreta de Fourier. 9 Proposici´ on.
n
F es una base ortonormal del espacio C . n
on 2 se sigue que esta lista de vectores es ortonormal: Demostraci´ on. De la Proposici´
f
n,p , f n,q
= δ
p,q .
La propiedad ortonormal implica la independencia lineal. Siendo una lista linealmente independiente de n vectores en el espacio Cn de dimensi´on n, n es una base.
F
Matrices Circulantes, p´agina 2 de 6
Matrices circulantes Primero daremos un ejemplo de una matriz circulante.
10 Ejemplo. La forma general de una matriz circulante de orden 5 es la siguiente:
a0 a4 a3 a2 a1 a1 a0 a4 a3 a2 a2 a1 a0 a4 a3 a3 a2 a1 a0 a4 a4 a3 a2 a1 a0
.
Cada columna se obtiene de la anterior al hacer un desplazamiento c´ıclico hacia abajo. Por consecuencia, la matriz se determina completamente por la primera columna (m´as bien, por la 0-´ esima, porque en este tema es c´omodo numerar los renglones y columnas desde 0). Si denotamos esta columna por a:
a =
a0 a1 a2 a3 a4
,
entonces la matriz escrita arriba se denota por C 5 (a).
11 Ejercicio. Sea a
4
∈ C . Escriba la matriz C (a). 4
12 Definici´ on (Definici´on formal de una matriz circulante) . Sea a Cn y sean p, q 0, . . . , n 1 , entonces la entrada ( p, q ) de una matriz circulante esta dada por:
{
∈
− }
(C n (a)) p,q =
a p−q ,
si p
≥ q ;
an+ p−q ,
si p < q.
∈
(7)
Vamos a demostrar que el producto Ω n C n (a)Ω∗n es una matriz diagonal. Antes de pasar a la proposici´on general, daremos un ejemplo.
13 Ejemplo. Sea a
2
∈ C , entonces a =
a0 a1
,
Ω2 a =
√ 1 2
a0 + a1 a0
−a
1
Matrices Circulantes, p´agina 3 de 6
.
Mostremos que el producto Ω 2 C 2 (a)Ω∗n es una matriz diagonal: Ω2 C 2 (a)Ω∗n =
=
1 2
1
1
1
−1
a0 + a1
a0 a1 a1 a0
0
0
a0
√
−a
1
= diag( 2 Ω2 (a)).
1
1
1
−1
14 Proposici´ on (Diagonalizacion de matrices circulantes por medio de la transformada discreta de Fourier). Sea a Cn . Entonces
∈
√
Ωn C n (a)Ω∗n = diag( n Ωn (a)).
(8)
En particular, los valores propios de C n (a) son las entradas del vector
√ n Ω (a). n
no n Demostraci´ on. Las matrices en ambos lados de (8) tienen el mismo tama˜ bemos que entrada a entrada las matrices son iguales. Primero determinamos la entrada ( p, q ) del producto √ 1n C n (a)Ω∗n :
× n. Pro-
n−1 n−1 1 1 ∗ ∗ √ (C n(a)Ωn) p,q = √ (C n(a)) p,k (Ωn)k,q = (C n (a)) p,k ωn−qk
1
n
n
n
k=0
k=0
separamos la suma en dos partes para aplicar la Definici´on 12: =
=
1 n
1 n
n 1
p
(C n (a)) p,k ωn−qk +
k=0
(C n (a)) p,k ωn−qk
k= p+1
p
k=0
−
n 1
ωn−qk a p−k +
−
k= p+1
ωn−qk an+ p−k
.
Reindizamos las sumatorias de la siguiente forma. En la primera sumatoria ponemos s = p
esto es,
− k,
k = p
− s.
Cuando k corre de 0 a p, la nueva variable s corre de p a 0: k s = p
−k
0
1
. .. p
−1
p
p p
−1
...
1
0
En la segunda sumatoria ponemos s = n + p
− k,
esto es,
k = n + p
Matrices Circulantes, p´agina 4 de 6
− s.
Cuando k corre de p + 1 a n
− 1, la nueva variable s corre de n − 1 a p + 1: k p + 1 p + 2 . . . n − 2 n − 1 s = n + p − k n − 1 n − 2 . . . p + 2 p + 1
Notemos que el orden de los sumandos en sumas finitas no es importante; por ejemplo, la siguiente serie de igualdades siempre se satisface: p
k
∈{ p,p−1,...,0}
Ak = A p + A p−1 + . . . + A1 + A0 = A 0 + A1 + . . . + A p−1 + A p =
Ak .
k=0
De lo anterior se sigue que: 1
√ n (C (a)Ω∗ ) n
n p,q
=
=
1 n
1 n
as ωn−q( p−s) +
s= p
as ωn−q( p−s) +
s=0
as ωn−q(n+ p−s)
s= n 1
p
− n−1
as ωn−q(n+ p−s)
s= p+1 n 1
p
1 = ωn−qp n
p+1
0
as ωnqs
+ ω −qn n
s=0
−
as ωnqs
s= p+1
Recordemos que si r = nk con k Z, entonces ωnnk = 1; debido a esta propiedad desaparece el factor ωn−qn , y las dos sumas se pueden unir en una:
∈
n 1
−
1 = ωn−qp
n
ωnqs as .
s=0
Acabamos de calcular la entrada ( p, q ) del producto √ 1n C n (a)Ω∗n : n−1 1 −qp ∗ √ (C n(a)Ω ) p,q = ω ω qs as .
1
n
n
n
n
(9)
n
s=0
Segundo determinamos la entrada ( p, q ) del producto √ 1n Ωn C n (a)Ω∗n : n 1
1
√ (ΩnC n(a)Ω∗ ) p,q = n
n
−
(Ωn ) p,k
k=0
√ 1n (C (a)Ω∗ ) n
n k,q
utilizando la equaci´on 9: n 1
=
−
1
n
k=0
=
n 1
√ √ 1
n
1
n
1 −qk ω
ω pk n
n
n 1
−
k=0
−
n
ωnqs as
s=0
n 1
( p q )k
ωn −
−
ωnqs as
s=0
Matrices Circulantes, p´agina 5 de 6
por la Proposici´on 2, la suma sobre k es δ p,q : =
n 1
n 1
−
1
√ n
ωnqs as δ p,q
=
s=0
−
(Ωn )q,s as δ p,q
s=0
= (Ωn a)q δ p,q = (diag(Ωn a)) p,q , lo que demuestra que entrada a entrada las matrices son iguales.
15 Definici´ on. Dado un vector a definida mediante la regla
n
∈ C , denotemos por P a la funci´on polinomial C → C a
n 1
P a (z ) :=
−
ak z k .
k=0
16 Observaci´ on. Muchos autores en vez de P a (z ) escriben a(z ). Este convenio es un poco ambig¨ uo, porque el s´ımbolo a ya tiene dos significados: 1) a es una lista de n´umeros complejos, es decir, una funci´on 1, . . . , n
{
2) a es una funci´on polinomial C
} → C;
→ C.
Sin embargo, esta ambig¨ u edad por lo com´un no causa conflictos, porque a j y a(z ) se escriben de maneras diferentes. La funci´on polinomial P a nos proporciona otra manera de escribir las componentes del vector Ωn a y los valores propios de C n (a):
√ √ ( n Ω a) = n n
j
n 1
−
(Ωn ) j,k ak
√ = n
k=0
n 1
−
n 1
−
√ 1
n
k=0
ω jk n
ak =
j ak ω jk n = P a (ωn ).
k=0
De la Proposici´on 14 obtenemos tres corolarios.
17 Corolario. Sea a
n
∈ C . Entonces los valores propios de C (a) son los valores del n
polinomio P a en las ra´ıces de la unidad:
P a (ω jn )
18 Corolario. Sea a
( j
∈ {0, . . . , n − 1}).
n
∈ C . Entonces el determinante de C (a) es el producto de los n
valores del polinomio P a en las ra´ıces de la unidad: n 1
det C n (a) =
−
P a (ω jn ).
j =0
19 Corolario. Sea a
n
∈ C . Entonces la matriz C (a) es invertible si y s´ olo si ∀ j ∈ {0, . . . , n − 1} P (ω ) = 0. n
a
j n
Matrices Circulantes, p´agina 6 de 6
