ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias Circuitos Serie Ing. Guaman Tandazo Ezequiel Alberto
Realizado por:
Ricardo Rojas Santiago Samaniego Rommel Torres
Circuito serie L-R, terminos transitorios y estacionarios, Circuito serie C-R, leyes de Kirchooff. Ejercicios
INTRODUCCIÓN Así como la mecánica tiene como base fundamental f undamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe los comportamientos de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los objetos, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos.
INTRODUCCIÓN Así como la mecánica tiene como base fundamental f undamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe los comportamientos de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los objetos, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos.
Objetivo general
Definir y encontrar la representación diferenciales del circuito serie RL y RC.
mediante
ecuaciones
Objetivos Específicos
Aplicar la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de circuitos. Determinar mediante E.D. el comportamiento de este tipo de circuitos
LEYES DE KIRCHHOFF
A la hora de diseñar un circuito que realice alguna función, generalmente se cuenta con baterías u otras fuentes de fuerza electromotriz conocida y resistencias de valor conocido. No siempre se puede hallar una única resistencia equivalente para todo el circuito, en consecuencia no se puede simplificarlo en su totalidad, por ende se debe aplicar las leyes conocidas como Leyes de Kirchhoff en honor al físico alemán Gustav. R. Kirchhoff (1824-1887), que fue el primero en enunciarlas, estas leyes ay udan a encontrar las corrientes que pasan por las diferentes partes de un circuito. Las leyes se clasifican en: 1. La primera ley de Kirchhoff o también llamada la ley de las mallas. 2. La segunda ley de Kirchhoff o denominada la regla de los nudos. Para un mejor entendimiento tenemos las siguientes definiciones: Nodo o nudo.- se llama a todo punto del circuito a donde concurren tres o más conductores. Rama.- es la parte del circuito comprendida entre dos nodos, dos nodos son consecutivos cuando para ir de uno al otro no es necesario pasar por un tercero, en una rama la corriente será siempre la misma. Malla.- es cualquier camino conductor cerrado que se pueda distinguir en el circuito, esta formada por ramas, pero una rama puede pertenecer a distintas mallas. •
•
•
1.- La regla de los nodos o primera Ley de Kirchhoff Para analizar un circuito con dos o más mallas debemos usar la regla de los nudos. La regla de los nudos dice que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Dado que la carga no se puede acumular en ningún punto de los conductores de conexión, la regla de los nudos es una consecuencia de la conservación de la carga. La regla de los nudos se la define como: ∑ i entrantes = ∑ i salientes Por convención se considera con signo positivo a las corrientes entrantes a un nodo y con signo negativo a las salientes, para cada nodo del circuito se cumple que: ∑i = 0
2.- La regla de las mallas o segunda Ley de Kirchhoff Esta regla es una consecuencia del principio de conservación de energía, la energía que gana la unidad de carga al recorrer la malla debe ser igual a la energía convertida en calor, mecánica o cualquier otro tipo de energía. La regla de las mallas establece que la suma de las consecuencias de las diferencias de potencial encontradas en el recorrido de cualquier camino cerrado (malla) de un circuito es cero. Como el potencial está directamente relacionado con la energía potencial de los portadores, la regla de las mallas no es sino una forma de expresar la conservación de la energía. La regla de las mallas puede ser definida como: ∑V = 0 O a su vez, teniendo en cuenta la presencia de baterías, fuerza electromotriz, y resistencias como: ∑ε =∑Ri Para escribir las ecuaciones originadas por la regla de las m allas se debe considerar los siguientes principios: Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente, el cambio de potencial es − iR ; en el sentido contrario es + iR . Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem, el cambio de potencial es + ε ; en el sentido contrario es − ε
Resolución de circuitos mediante la aplicación de las Leyes de Kirchhoff Entendemos por resolución de un circuito a calcular todas las corrientes que circulan por el mismo. Buscaremos plantear, basándonos en las reglas de Kirchhoff, tantas ecuaciones como corrientes incógnitas tengamos. A continuación resumimos los pasos a seguir: • Dibujamos las corrientes, dándole un sentido arbitrario de circulación. Si luego de resolverlo el valor de la corriente da positivo es sentido arbitrario es el correcto de la corriente, si da negativo es sentido es el contrario. Planteamos todas las ecuaciones. • Una vez que planteamos la cantidad de ecuaciones necesarias para resolver todas las corrientes incógnitas, utilizamos cualquier método, algebraico o no, para despejar las incógnitas. • Muchas veces es posible realizar simplificaciones a nuestro circuito, por ejemplo encontrando resistencias equivalentes para una red de resistencias, a fin de disminuir el número de incógnitas con el cual trabajamos, debemos tener presente que al finalizar debemos hallar también las corrientes originales que pasa por cada resistencia.
CIRCUITO SERIE RL
El circuito eléctrico RL más simple está formado por una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación conectados en serie.
Según la segunda ley de Kirchhoff aplicada al circuito RL de la figura, el voltaje aplicado es igual a la suma de caída de voltajes a través del inductor y el resistor.
En una resistencia R, la Ley de Ohm establece i=
En un inductor L la Ley de Faraday dice
E (t )=L
Entonces reemplazando las caídas de voltaje en la ley de Kirchhoff: E (t ) L
di dt
R i Ecuación diferencial en corriente para el circuito L-R
Si dividimos todo para L : di dt
R L
i
E (t ) L
Ecuación Diferencial Lineal
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor de integración e e R
R
dt
L
R
e
L
t
t
L
di dt
R
e
L
t
R L
R
i e
L
t
E (t ) L
L t L t E (t ) e i e dt L R
d
R
e
L
t
R
R
i e
L
t
E (t ) L
dt C
R
i (t )
e
t L
L
R
e
L
t
R
E dt Ce
t L
Ecuación Diferencial para la corriente i(t )
Para el circuito RL por lo general se da la corriente inicial i(0) como condición inicial.
CIRCUITOS SERIE RC
Cuando conectamos en serie un condensador con una capacidad de C faradios y una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t) voltios y cerramos el circuito, se produce una corriente eléctrica.
Puesto que la caída de potencial en el condensador es
potencial en la resistencia es
y la caída de
, debe ocurrir
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Si la escribimos como
Entonces su solución general viene dada por
⁄ [ ⁄ ]
Por ejemplo, para un voltaje constante e(t) = E voltios y condición inicial q(0) = Q0 culombios, nos queda
⁄
En esta expresión, la parte EC se conoce como régimen estacionario del circuito, porque es el término al que tiende a largo plazo; el resto,
⁄
se llama régimen transitorio porque sus efectos sólo son visibles
al comienzo (observemos que decrece exponencialmente).
TÉRMINO TRANSITORIO Y ESTACIONARIO
Estado estacionario Cuando las características físicas de un sistema no varían con el tiempo. Este es el fundamento en el que se basan las teorías de a electrostática y la magnetostática. Estado transitorio es la respuesta de un circuito eléctrico que disminuye con el tiempo, en oposición al régimen estacionario, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la alteración del mismo. Para un estudio orientado hacia circuitos, debemos entender que hablaremos sobre el estudio y análisis de ondas u oscilaciones. Así se tiene la ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas y es:
La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma
Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma x 2= A cos( ωf t)+ B sen( ωf t)
Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa
La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x 1+x 2.
El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado estaciona
METODO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS
La siguiente ecuación muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de E en voltios (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) o una inductancia L henrios (H) y un resistor con una resistencia de R ohm. La caída de voltaje a través del capacitor Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:
(1)
En el Circuito RL la caída de voltaje a través de la bobina L, donde L es la carga en Henrios (H). La ley de Kirchhoff establece:
E (t )=L i(t)=
(2)
Dibujamos el grafico respectivo
(1)
(2)
EJERCICIOS
1. Se aplica una FEM de 10v a un circuito en serie RC, con una resistencia de 1 kΩ y un condensador a 10 µF. Hallar la solución general para la carga. Por la ley de Kirchoff de voltajes (ddp), se tiene que:
(ley de Ohm), además se tiene que Además, se sabe que la capacitancia Volviendo a (1)
Buscamos el factor de integración µ(t)
∫
Multiplicando (2) por el F.I. queda
∫( ) ∫ Ahora, como V = 10v, C = 10*10 F y R = 1000 Ω, reemplazamos en (3) que es la ecuación de la carga en función del tiempo.
-6
2. En el ejercicio anterior, determinar la carga q(t) del condensador si i(0) = 0.1A. Determinar la carga cuando el tiempo tiende al infinito. Derivando con respecto a t para hallar I
Reemplazando las condiciones iniciales Entonces q(t) es Ahora, cuando t ∞, el término tiende a cero, por lo que q(t) cuando t ∞ es
3. Suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo, la resistencia viene dada por R = k1 + k2t, donde k1 y k2 se conocen como constantes positivas, hallar i(t) cuando E(0) = E0 y q(0) = q0. Tenemos, por teoría y por el ejercicio 1, que la ecuación diferencial para este tipo de circuitos es
en donde podemos reemplazar nuestros datos. Buscamos el factor de integración µ(t) ∫
Multiplicando la ecuación por el F.I. queda ∫ ∫ ||
⁄
Reemplazamos las condiciones iniciales para hallar q(t) De donde Reemplazando c1 en q(t), se tiene:
que es la expresión de la carga en cualquier instante de tiempo.
4. Una resistencia de 50Ω se conecta en serie con un condensador de 5mF y una FEM decreciente dada en el tiempo por E=300e-4t. Sabiendo que la carga inicial es cero, encontrar la carga y la corriente en función del tiempo.
Buscamos el F.I. Multiplicando la ecuación por el F.I. queda ∫ ∫ Sabemos que q(0)=0, por tanto Reemplazando c1 en q(t), se tiene: Para hallar I(t), derivamos q(t)
∫
5. Una fuerza electromotriz de 100v se aplica a un circuito RC en serie donde la resistencia es de 200Ω y la capacitancia de -4 10 faradios. Encuentre la carga q(t) sobre el capacitor si q(0) = 0. Determine además la corriente
Buscamos el F.I. Al multiplicar la ecuación por el F.I. queda ∫ ∫ El problema nos dice que la carga es cero en t=0, entonces Reemplazando la constante de integración c1 en la ecuación q Para hallar I(t), derivamos q(t)
∫
6. Una FEM de 20e-5t v se conecta en serie con un resistor de 20 ohm y un capacitor de 0.01 F. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero, encuentre la carga y la corriente para cualquier instante de tiempo.
Buscamos el F.I.
∫
Multiplicando la ecuación por el F.I. queda
∫ ∫ La carga q(0) es igual a cero, reemplazando queda Reemplazando c1 en q(t), se tiene: Para hallar I(t), derivamos q(t)
Y tenemos las ecuaciones de carga y corriente para cualquier instante de tiempo.
7. Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1 F, la batería suministra un voltaje de 5t cos (8t). Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 0C.
∫ ||
Q (2) = 0C
8. Un circuito en el cual la resistencia es de 2, la capacitancia es de 0.001F, la batería suministra un voltaje de 10 sen (60t). Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C.
∫
Q (0)=0
9.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 2t F, la batería suministra un voltaje de t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 2C.
∫
Q (0)=2
10. Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de t F, la batería suministra un voltaje de t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C.
| ∫ | √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Q (0)=0
11.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de . Determinar la 1/t F, la batería suministra un voltaje de ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C.
∫ ||
Q (1)=0
12.Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4tF, la batería suministra un voltaje de 20t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 3C.
∫
Q (0)=3
13.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 5 F, la batería suministra un voltaje constante de 20V. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 1C.
∫
Q (0) = 1C
14.Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de F, la batería suministra un voltaje constante de 1. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 5C.
|| ∫
Q (1)=5
15. Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es
de 4tF, la batería suministra un voltaje de 20t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 3C.
∫
Q (0)=3
16.Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4 F, la batería suministra un voltaje de . Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C. ∫ ||
Q (1)=0
17. R=2 C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
18. Se aplica una fuerza electromotriz de 60 volts a un circuito LR en serie en el que lainductancia es 5 henries y la resistencia es de 10 ohms. Calcule la corriente i(t) si i(0)=0.
19. Una fuerza electromotriz de 120 volts se aplica a un circuito LR en serie en el que lainductancia es de 20 henries y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t) sii(0)=0
20. Una batería de 12volts, se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia es 0,5henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si i(0)=0
