Universidad ECCI. Durán. Ecuaciones Diferenciales.
Aplicación de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos. Durán López Alejandro.
[email protected] Universidad ECCI.
Resumen — En En este informe consideraremos la aplicación de las ECUACIONES DIFERENCIALES de primer orden a circuitos eléctricos sencillos que están formados por una fuente de voltaje, una resistencia, y un inductor o un capacitor llamados CIRCUITOS RL o RC.
Índice de Términos — Ley Ley de la corriente de Kirchhoff, resistencia, inductancia, capacitancia. I. INTRODUCCIÓN Los CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (Puede ser un capacitor o inductor y que además pueden “Bobina), describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos de primer orden son los CIRCUITOS RC (Resistencia y Capacitor) y los CIRCUITOS RL (Resistencia e Inductor). II. LEY DE KIRCHOFF Los principios físicos que gobiernan los circuitos eléctricos fueron establecidos por Gustav Robert Kirchhoff en 1859. Los principios son los siguientes: LEY DE LA CORRIENTE DE KIRCHOFF: La suma algebraica de las corrientes que fluyen en cualquier punto de unión debe anularse. LEY DE VOLTAJE DE KIRCHOFF: la suma algebraica de los cambios
instantáneos del potencial (caída de voltaje) en torno de cualquier lazo cerrado debe anularse. La ley de la corriente de Kirchhoff implica que la misma corriente pasa por cada elemento del circuito de la figura 1.
Figura 1. Circuito RL (a) y Circuito RC (b).
Para aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff, debemos conocer la caída de voltaje a través de cada elemento del circuito. Estas fórmulas para el voltaje aparecen a continuación: 1. De acuerdo con la ley de Ohm, la caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente I que pasa por la resistencia.
= R*I La constante de proporcionalidad R proporcionalidad R se llama RESISTENCIA. 2. Se puede mostrar mediante las leyes
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de FARADAY y LENZ que la caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la razón de cambio instantánea de la corriente I.
= La constante de proporcionalidad L se llama INDUCTANCIA.
= ∫ = / Que conduce a la solución general:
= [∫ + ] Para el circuito RL, por lo general se da la corriente inicial como condición (3.)
inicial.
3. La caída de voltaje a través de un capacitor es proporcional a la carga eléctrica q sobre el condensador.
IV. APLICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA UN CIRCUITO RL Y RC EN UN PROBLEMA.
= q
Un circuito RL con una resistencia de 1Ω y un inductor de 0.01 H es controlado por un voltaje V. Si la corriente inicial en el inductor es nula, determinar los voltajes subsecuentes en la resistencia y en el inductor, así como la corriente.
La constante CAPACITANCIA.
C
es
llamada
III. ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA UN CIRCUITO RL Suponemos que una fuente de voltaje suma voltaje o energía potencial al circuito. Si denota el voltaje que se proporciona al circuito en el instante t, entonces la ley de voltaje de Kirchhoff aplicada al circuito RL en la figura 1(a), da:
(1.)
+ =
Al sustituir en (1) las expresiones para y tenemos:
(2.)
+ ∗ =
Observamos que esta ecuación es lineal, al escribirla en forma canónica obtenemos el factor integrante:
= 100
Solución: De la ecuación (3.) y las tablas de las integrales, vemos que la solución general de la ecuación lineal (2.) está dada por:
= − ( 0.100 01 + ) 100100 100100 − = 100 10000 + 10000 + = 100 2 100 +− Para = 0, obtenemos -1/2 + K= 0, de modo que K= 1/2 y la corriente es: = 0.5100 100 + −
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Entonces, los voltajes en el inductor y la resistencia están dados por:
= ∗ = = = 0.5100 + 100 − Ahora regresamos al circuito RC de la figura 1(b). Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff se tiene:
∗ + = Sin embargo, la corriente en el capacitor es la razón de cambio de su carga I = dq/dt. Así: (4.)
+ =
Es la ecuación diferencial para el circuito RC. La condición inicial para un condensador es su carga q en t = 0. V. CONCLUSIONES En este informe se puede observar en qué ayudan las ecuaciones diferenciales para hallar los voltajes de un inductor y de un capacitor en un circuito RC y RL. En este caso se repasó únicamente la aplicación en circuitos en serie, en los cuales se utilizan mucho las ecuaciones diferenciales de primer orden. Por último se pudo denotar que la asignatura de ecuaciones diferenciales no solo son métodos matemáticos para resolver este tipo de circuitos, sino que se utilizan en diversos campos de la
ingeniería, como de otras ramas y teniendo estos conocimientos, permiten resolver problemas que se puedan presentar en la labor cotidiana. VI. BIBLIOGRAFÍA. NAGLE, R. KENT, ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA , 4ª EDICIÓN [ONLINE ]. PEARSON EDUCACIÓN , MÉXICO, 2005 DISPONIBLE EN: HTTPS://BOOKS.GOOGLE.COM.CO/BOOKS? ID=P76SLQ9K F8C&PG=PA118&LPG=PA118&DQ=AP LICACIONES+DE+LAS+ECUACIONES+DIFERENCIAL ES+EN+CIRCUITOS +ELECTRICOS&SOURCE=BL&OT S=MKXRCJI _ Y9&SIG=TIW91 MWF5FV3FHQMBEL3OB81IC&HL=ES419&SA=X&VED=0CBSQ6AEWADGK AHUKEWI CUBLUTZHAHXCLB4KHDJYDN4#V=ONEPAGE&Q= APLICACIONES%20DE%20LAS%20ECUACIONES%2 0DIFERENCIALES%20EN%20CIRCUITOS %20ELECT RICOS &F=FALSE COLABORADORES DE WIKIPEDIA. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN RL Y RC [ONLINE]. WIKIPEDIA, LA ENCICLOPEDIA LIBRE, 2014 [FECHA DE CONSULTA: 4 de septiembre de 2015]. DISPONIBLE EN: HTTPS://ES.WIKIPEDIA.ORG/W/INDEX.PHP? TITLE=ESPECIAL:CITAR&PAGE=CIRCUITO S_DE_PRIMER_ORDEN_RL_Y_RC&ID=77434 295