REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO. VICERRECTORADO ACADÉMICO. DECANATO DE INGENIERÍA. ESCUELA DE INGENIERIA EN COMPUTACIÓN.
CIRCUITOS RESONANTES.
INTEGRANTE: MOISES PIÑATE C.I: V-23485049. DOCENTE: MATILDE GARCIA,
CABUDARE 2 DE FEBRERO DE 2015
INTRODUCCIÓN
Este trabajo de investigación, tiene como propósito dar a entender de una manera clara precisa y explicita, el funcionamiento de los circuitos resonantes. Busca
explicar
sus
configuraciones
las
cuales
poseen
determinadas
características. En el mismo encontramos interesantes términos como resistores, capacitores, admitancia, impedancia… y demás términos que son explicados a lo a medida que se avanza en la lectura de este trabajo. Es importante mencionar la explicación de la función de transferencia cuya utilización es determinante para el análisis de la estabilidad de un sistema no solo eléctrico y electrónico sino a nivel general. Es importante resaltar el conocimiento matemático necesario para la realización de estas teorías como lo son el análisis de señales a través de las transformadas de Fourier y las transformadas de Laplace, capacidad de factorizar ecuaciones de 2do grado y también es muy importante el manejo del sistema de números complejos es su forma imaginaria y fasorial. Para finalizar con esta breve es importante decir que los circuitos resonantes son muy importantes en el mundo tecnológico sus aplicaciones son muy diversas y básicamente se encuentran en la mayoría de dispositivos electrónicos que poseemos hoy en día con lo cual es importante conocer su funcionamiento, su forma de trabajo y estudio teórico-practico
TEORIA DE RESONANCIA.
Definición y características.
Definimos como resonancia al comportamiento de un circuito con elementos inductivos y capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo circuito, y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede aparecer en todo circuito que tenga elementos L y C. Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia paralelo o en una combinación de ambos.
El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias, dependiendo del circuito, pero nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una fuerte dependencia del comportamiento respecto de la frecuencia
Genéricamente se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensión aplicada y la corriente están en fase, el factor de potencia resulta unitario.
CIRCUITO RESONANTE EN SERIE.
Para un circuito serie como el dibujado, la impedancia será la siguiente:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
1 ) 𝜔𝐶
Si trazamos el diagrama de tensiones y corrientes del circuito, se verificará que la tensión adelantará, atrasará o estará en fase con la corriente. Esto resulta evidente de la expresión anterior, en la cual, para algunas frecuencias se cumplirá que:
𝜔𝐿 >
1 𝜔𝐶
𝜔𝐿 <
1 𝜔𝐶
Para otras frecuencias será:
Observando lo anterior en un caso el circuito se comportara de forma inductiva y en el otro caso se comporta de forma capacitiva. Pero para una determinada frecuencia el circuito se comportará: 𝜔𝐿 =
1 𝜔𝐶
Para este caso, el circuito se encontrará en resonancia, ya que la impedancia será resistiva pura (tensión en fase con la corriente). Este tipo de circuito se denomina también Resonante en Tensiones, dado que los módulos de las tensiones en los componentes reactivos, son iguales pero opuestos en fase y se cancelan.
Los diagramas fasoriales son los que se dibujan a continuación:
Debe observarse que cuándo, el circuito estará en resonancia, el circuito se comportará en forma resistiva pura, mientras la impedancia será sólo la resistencia del circuito, y, por consiguiente, la corriente será máxima.
Frecuencia de resonancia: Se obtiene muy fácilmente, ya que la componente imaginaria de la impedancia deberá ser nula, para que el circuito se comporte como resistivo puro. Para este caso simple, será:
𝜔0 𝐿 =
1 1 1 → 𝜔02 = → 𝜔0 = 𝜔0 𝐶 𝐿𝐶 √𝐿𝐶
Teniendo en cuenta también que: 𝜔0 = 2𝜋𝑓0 sustituimos ambas ecuaciones y obtenemos: 𝑓0 =
1 2𝜋√𝐿𝐶
−→ 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑅𝐿𝐶 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒.
Se ve en esta última expresión, que la frecuencia de resonancia, será siempre la misma en la medida que no cambie el producto LC.
Factor de calidad.
En los circuitos RLC serie, puede ocurrir que la tensión en los elementos reactivos sea mayor que la tensión de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la resistencia total es mucho menor que la reactancia del circuito. En resonancia se cumple que: |𝑉̅𝑐 | = |𝑉̅𝐿 | Para el análisis se toma cualquiera de ellas.
|𝑉̅𝐿 | = 𝜔𝐿. 𝐼 𝑝𝑒𝑟𝑜; 𝐼 =
𝑉 𝑅
Tal y como se mencionó anteriormente en un circuito resonante se tiene que en las impedancias, la componente imaginaria se anula dejando exclusivamente un comportamiento resistivo. Es decir: 𝑍=𝑅
De tal forma que si reemplazamos las ecuaciones antes mencionadas, obtenemos lo siguiente:
|𝑉̅𝐿 | =
𝜔0 𝐿 |𝑉̅ | 𝑅
Donde se llamara a:
𝑄𝑜 =
|𝑉̅𝐿 | 𝜔0 𝐿 𝑋𝐿 = = |𝑉̅ | 𝑅 𝑅
̅̅̅𝐶 | y aplicando los mismos pasos realizados Realizando el desarrollo de |𝑉 anteriormente, se obtiene para el condensador lo siguiente:
𝑄𝑜 =
1 𝑋𝐶 = 𝜔0 𝐶𝑅 𝑅
Cualquiera sea la forma de calcular el Q, en resonancia el valor será idéntico, ya que 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 , para 𝜔 = 𝜔0 El factor de mérito, nos indica cuánto más grande es el valor de la reactancia que el de la resistencia. Es conveniente que los circuitos resonantes, en general, tengan un 𝑄 elevado, pues su comportamiento será mucho más dependiente de la frecuencia en la vecindad de la resonancia. Esto sucederá cuando la resistencia sea pequeña. Los circuitos prácticos usados en sintonía en el campo de las radio frecuencias (RF), tienen valores de 𝑄 superiores a 100 en la mayoría de los casos. El factor 𝑄 se suele llamar también factor de sobretensión o también factor de calidad.
Admitancia cerca de la resonancia.
Prácticamente, la información más útil sobre el comportamiento del circuito a frecuencias cercanas a la de resonancia, se encuentra en la parte inferior (en forma de "V"), de la curva de la impedancia en función de la frecuencia. Por lo tanto, resulta útil representar la función inversa, es decir La admitancia.
𝑌=
1 𝑍
Además esta curva tendrá la misma forma que la de la corriente, si excitamos al circuito con tensión constante, ya que: I= VY
También, la parte más importante se encuentra dentro de un intervalo comprendido en ±10 % f0, donde f0 es la frecuencia de resonancia, ya que a frecuencias mayores, las variaciones son muy pequeñas. Por último, conviene explicar también que en la gráfica se toma la frecuencia en coordenadas logarítmicas, lo cual es muy común cuando se grafican funciones de la frecuencia, ya que el espectro de los valores es muy amplio. Además aquí se tiene la ventaja adicional que el uso de coordenadas logarítmicas simetriza la curva respecto de la frecuencia de resonancia. En las figuras siguientes, observamos las curvas correspondientes al módulo y a la fase de la admitancia en la vecindad de la resonancia. Vemos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es capacitivo (fase 90°).
Luego, el comportamiento capacitivo persiste pero en forma menos intensa (circuito RC), hasta la frecuencia de resonancia, donde el comportamiento es resistivo (fase 0°). Luego, el comportamiento se torna levemente inductivo, a medida que crece la frecuencia respecto de la resonancia (circuito RL), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente inductivo, circuito inductivo puro (fase -90°) Refiriéndonos ahora a la curva del módulo de la admitancia, se observa que a frecuencias muy bajas, resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia capacitiva es muy alta. En resonancia, el circuito presenta la impedancia mínima e igual a la resistencia, por lo que la admitancia será máxima e igual a la conductancia
|𝑌̅| = 𝑌0 = 𝐺 =
1 𝑅
Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonancia, la admitancia reduce su módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, con lo cual la impedancia es también alta. Es interesante observar que si el circuito tiene una resistencia muy pequeña, la admitancia en resonancia tiende a infinito, lo mismo que la corriente. Si las pérdidas suben, sube R y, consecuentemente se reduce el módulo de admitancia en resonancia, por lo que la curva se aplasta. Resumiendo, si el Q del circuito es elevado, la curva es más aguda, mientras que si Q es reducido, la curva resulta menos aguda. En lo que se refiere a la fase, la variación de la misma es mucho más rápida a valores de Q altos. Si el factor de mérito tiende a infinito, la fase varía bruscamente, pasando de +90° a -90°. Todo esto pone de manifiesto que a valores de Q elevados, el fenómeno de resonancia se hace mucho más notorio que a valores bajos
La grafica ubicada arriba corresponde al ancho de banda del circuito.
La grafica ubicada arriba corresponde a las fases de 90 y -90 grados respectivamente. Los gráficos anteriores son correspondientes al circuito dibujado y con sus valores.
SELECTIVIDAD O ANCHO DE BANDA (BW).
Puntos de potencia mitad
Veamos qué sucede si la componente reactiva total es igual a la resistencia del circuito.
𝑌=
1 1 1 = , 𝑠𝑖 |𝜔𝐿 − | = 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑍 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 − 1 ) 𝜔𝐶 𝜔𝐶 𝑌=
1 𝑅 ± 𝑗𝑅
Mientras que el ángulo de fase tendrá el siguiente valor:
𝑅 𝜑 = tan−1 (± ) = tan−1 (±1) = 45° 𝑅
La ecuación contiene doble signo (+ y -) debido a que tendremos el mismo valor para el comportamiento capacitivo (frecuencias por debajo a la de resonancia) y para el inductivo (frecuencias por encima de la de resonancia). La potencia disipada en el circuito será en resonancia:
𝑃0 = 𝐼02 . 𝑅 = 𝐼 2 . 𝑌02 . 𝑅
Vemos que la potencia vale la mitad que la correspondiente a resonancia, es decir: 𝑃12 =
𝑃0 2
De estas consideraciones deviene el nombre de puntos de potencia mitad. El intervalo de frecuencias comprendido entre los puntos de potencia mitad, define lo que se conoce como ancho de banda de 3 dB, o simplemente ancho de banda. Este último valor es muy importante, ya que define la selectividad del circuito resonante, parámetro muy importante fundamentalmente en Comunicaciones cuando se estudian los circuitos sintonizados, ya que, en gran parte, dependerá de la selectividad, la calidad de la recepción. El concepto de ancho de banda de 3dB, surge el hecho que la potencia en los puntos de potencia mitad, cae justamente 3dB, lo cual puede demostrarse muy fácilmente, como sigue: 𝑃12 1 𝑃12 1 (𝑑𝐵) = 10 log = −3(𝑑𝐵) = → 𝑃0 2 𝑃0 2 Gráficamente tenemos:
Grafica del ancho de banda.
Grafica del diagrama de fase
El ancho de banda de denota como 𝐵𝑊, también se puede denotar como Δ𝑓. El ancho de banda del circuito lo determinamos de la siguiente forma:
Δ𝑓 = 𝑓2 − 𝑓1 = 3,1 𝐾ℎ𝑧 − 2,7𝐾ℎ𝑧 = 0,4 𝐾ℎ𝑧 = 400𝐻𝑧.
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑓0 =
1 2𝜋√𝐿𝐶
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 → 𝑓2 = 𝑓0 +
Δ𝑓 ; 2
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 → 𝑓2 = 𝑓0 −
Δ𝑓 ; 2
;
Cabe destacar también que cuando ocurre el instante de tiempo de la frecuencia de resonancia la corriente en el circuito es máxima, mientras que en las frecuencias de corte alta y baja la corriente circulante en el circuito es aproximadamente el 70,7% de la corriente máxima
Existe una relación entre el ancho de banda y el factor de calidad de un circuito resonante en serie que dice que a menor ancho de banda mejor será la calidad de dicho circuito, debido a su mejor y más eficiente manera de rechazar y permitir el paso de determinadas frecuencias en dicho ancho de banda, es decir a menor ancho de banda, mejor factor de calidad y mejor selectividad. La relación viene dada por la siguiente formula: 𝑄0 =
𝑓0 𝐵𝑊
CIRCUITOS RESONANTES EN PARALELO.
Exactamente como ocurre con los circuitos resonantes en serie, estos también poseen su frecuencia de resonancia pero a diferencia de los anteriores estos son resonantes en corrientes. En este caso por encontrarse ambos componentes en paralelo las corrientes serán iguales en modulo pero opuestas en fase por lo tanto encontramos que ambas corrientes se anularían entre sí, al cancelarse las corrientes reactivas entre sí, la corriente por la resistencia RP es igual a la corriente de la fuente. Luego la impedancia del circuito (figura 1) será: 𝑍0 = 𝑅𝑃
Factor de Calidad.
Se denomina coeficiente o factor de calidad o de sobre intensidad a la frecuencia de resonancia de un circuito al producto de la pulsación por el cociente entre la máxima energía almacenada y la potencia media disipada. Debido a que en un circuito en resonancia en paralelo se cumple que 𝐼𝐶 = 𝐼𝐿 podremos decir que: 𝑉 𝐼𝐶 𝐼𝐿 𝐼𝐿 𝑋𝐿𝑃 𝑅𝑃 𝑄= = = = = 𝑉 𝐼 𝐼 𝐼 𝑋𝐿𝑃 𝑅𝑃 Por lo tanto, tenemos:
𝑄=
𝑅𝑃 𝑋𝐿𝑃
Selectividad o Ancho de banda (BW)
Para un circuito resonante en paralelo se cumple también al igual que su configuración en serie. Los criterios de selectividad de frecuencias o ancho de banda. Estos criterios establecen que el ancho de banda del circuito estará en el intervalo conformado
por dos frecuencias de corte f1 y f2 que contendrán
aproximadamente un 70% de la energía de la máxima encontrada en la frecuencia resonante.
El cálculo de dichas frecuencias de corte viene dado por las mismas ecuaciones mencionadas en la resonancia de circuitos en serie, que a su vez es soportada por la teoría del análisis de Fourier y de Laplace en el campo de estudio del análisis de señales.
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑓0 =
1 2𝜋√𝐿𝐶
Δ𝑓 2 Δ𝑓 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 → 𝑓2 = 𝑓0 − 2 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 → 𝑓2 = 𝑓0 +
Existe también la relación entre el factor de calidad y la selectividad que viene dada por la siguiente formula.
𝑄0 =
𝜔𝐿𝑃 𝑓0 = 𝑅𝑃 𝐵𝑊
Caso general de resonancia en paralelo:
En el próximo circuito la admitancia entre los terminales 1-2 resulta:
𝑌 = 𝑌𝐿 + 𝑌𝐶 =
1 1 + 𝑅𝐿 + 𝑗𝑋𝐿 𝑅𝐶 − 𝑗𝑋𝐶
Operando algebraicamente obtendremos: 𝑌=(
𝑅𝐿2
𝑅𝐿 𝑅𝐶 𝑋𝐶 𝑋𝐿 ) 2+ 2 2) + 𝑗 ( 2 2− 2 + 𝑗𝑋𝐿 𝑅𝐶 − 𝑋𝐶 𝑅𝐶 + 𝑋𝐶 𝑅𝐿 + 𝑗𝑋𝐿2
El circuito se encontrara en resonancia cuando la admitancia (Y) resulte un número real. Luego:
𝑅𝐶2
𝑋𝐶 𝑋𝐿 ; 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜; 2 = 2 + 𝑋𝐶 𝑅𝐿 + 𝑗𝑋𝐿2 1 1 = (𝑅𝐿2 + 𝜔02 𝐿2 ) = 𝜔0 𝐿 (𝑅𝐶2 + 2 2 ) 𝜔0 𝐶 𝜔 0𝐶 𝐿 𝑅𝐿2 − 𝐶 √ 𝜔0 = √𝐿𝐶 𝑅 2 − 𝐿 𝐶 𝐶 1
Cada uno de los cinco parámetros puede variar para obtener la resonancia. Además, las raíces deben ser siempre un real positivo, luego habría resonancia cuando: 1) 𝑅𝐿2 > 𝐿⁄𝐶
𝑦
𝑅𝐶2 > 𝐿⁄𝐶
O
𝑅𝐿2 < 𝐿⁄𝐶
𝑦
𝑅𝐶2 < 𝐿⁄𝐶
De no cumplirse una u otra situación, resultará una pulsación imaginaria (raíces complejas), donde no existirá valor de L o C que satisfaga la condición de resonancia. Para una determinada frecuencia de la fuente, puede obtenerse la condición de resonancia, variando: 𝐿, 𝐶 𝑅𝐿 𝑦
𝑅𝐶
Pero, al modificar uno de los parámetros para lograr el efecto de resonancia, ésta no se alcanzará para cualquier valor de los restantes. Al variar L o C y para determinadas relaciones de los restantes parámetros, son posibles dos frecuencias donde se ha de cumplir la condición de resonancia, debido a que se logra formar una ecuación de segundo grado para L y C. Otros casos particulares serán:
2) 𝑅𝐿2 = 𝑅𝐶2 ≠ 𝐿⁄𝐶 ; 𝜔0 = 3) 𝑅𝐿2 = 𝑅𝐶2 = 𝐿⁄𝐶 ; 𝜔0 =
1 √𝐿𝐶 1
0 √𝐿𝐶 0 √
El tercer caso quiere decir que el circuito puede resonar a cualquier frecuencia.
FUNCION DE TRANSFERENCIA.
La función de transferencia 𝐻(𝜔) (también llamada función de red) es una herramienta analítica útil para determinar la respuesta en frecuencia de un circuito. De hecho, la respuesta en frecuencia de un circuito es la gráfica de la función de transferencia de este mismo, en función de 𝐻(𝜔) y que varía desde 𝜔 = 0 hasta 𝜔 = ∞. Una función de transferencia es la relación entre una función forzada y una función de excitación (o entre una salida y una entrada) dependiente de la frecuencia. La idea de función de transferencia estuvo implícita cuando se usaron los conceptos de impedancia y admitancia para relacionar la tensión y la corriente.
La función de transferencia 𝐻(𝜔) de un circuito es una relación de una salida fasorial entre 𝑌(𝜔) (una tensión o corriente de elemento) y una entrada fasorial 𝑋(𝜔) (tensión o corriente de la fuente), en función de la frecuencia 𝜔.
Por lo tanto obtenemos: 𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔) 𝑋(𝜔)
Desde el punto de vista analítico de señales, 𝑌(𝜔) es una señal de salida y no debe confundirse con la admitancia también representada por la letra Y, así como también 𝑋(𝜔) es una señal de entrada y no debe de confundirse con la reactancia representada con la letra X.
Si suponemos las condiciones iguales a cero. Debido a que la 𝑋(𝜔) y la 𝑌(𝜔) pueden ser una tensión o una corriente en cualquier parte del circuito, obtendremos cuatro posibles funciones de transferencia: 𝐻(𝜔) =
𝐻(𝜔) =
𝑉𝑜 (𝜔) = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛. 𝑉𝑖 (𝜔)
𝐼𝑜 (𝜔) = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 𝐼𝑖 (𝜔)
𝐻 (𝜔 ) =
𝑉𝑜 (𝜔) = 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎. 𝐼𝑖 (𝜔)
𝐻(𝜔) =
𝐼𝑜 (𝜔) = 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎. 𝑉𝑖 (𝜔)
Los subíndices 𝑖 y 𝑜, indican los valores de entrada y salida, Otra acotación es que 𝐻(𝜔) es un valor complejo, esto quiere decir que posee una magnitud 𝐻(𝜔) Y también una fase 𝜑, es decir: 𝐻(𝜔)∠𝜑
La función de transferencia 𝐻(𝜔) también se puede expresar en términos de polinomio numerador 𝑁(𝜔) y de denominador 𝐷(𝜔), como:
𝐻(𝜔) =
𝑁(𝜔) 𝐷(𝜔)
Donde 𝑁(𝜔) y 𝐷(𝜔) no siempre serán expresadas de la misma forma que para las funciones de entrada y salida. La representación de 𝐻(𝜔) en la formula antes mencionada, supone que los factores del numerador y del denominador se han cancelado (las raíces de los respectivos polinomios) reduciendo el cociente a los mínimos términos.
Las raíces de 𝑁(𝜔) = 0, se llaman ceros de 𝐻(𝜔) y suelen representarse como 𝑗𝜔 = 𝑐1 , 𝑐2 … Las raíces de 𝐷(𝜔) = 0, son los polos de 𝐻(𝜔) y se suelen representar como 𝑗𝜔 = 𝑝1 , 𝑝2 …
En el caso de un sistema cualquiera es estable si todas las raíces o todos sus polos se encuentran en el semiplano negativo: Imaginarios (im)
Reales (Re)
Zona de estabilidad (Semiplano negativo)
Zona de inestabilidad (Semiplano positivo)
Para los circuitos resonantes y en general aplica exactamente lo mismo. Todos los polos o raíces deben encontrarse en el semiplano negativo para garantizar la estabilidad en el sistema.
APLICACIÓN DE LOS CIRCUITOS RESONANTES EN LA VIDA.
Los circuitos resonantes son unas de las configuraciones de circuitos más utilizadas en la industria para el desarrollo de la tecnología. La capacidad que poseen de permitir cierto paso de señales con un rango de frecuencia determinado ha logrado que su empleo sea primordial en una gran cantidad de artefactos electrónicos hoy en día.
Podemos encontrar variantes de circuitos resonantes en generadores de audio y de radiofrecuencias (RF), en demoduladores o detectores, como adaptadores de impedancias, en circuitos osciladores, en selectores de canales (de frecuencias) en radio y televisión. Es ampliamente utilizado en sistemas de amplificación para el acoplo de las interetapas de amplificadores. Para la construcción de filtros electrónicos (pasa-bajos, pasa-altos, pasabanda, rechaza-banda) En general su utilización es necesaria para la construcción de cualquier sistema en el cual se requiera la necesidad de regular el paso de determinadas frecuencias.
EJERCICIOS RESUELTOS.
Circuito Resonante (Serie). Ejemplo 1 Un circuito resonante RLC en serie como el de la figura, tiene una inductancia L = 10mH. Determine: a) C y R para que: 𝜔0 = 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔. Y 𝐵𝑊 = 103 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 b) Determine la respuesta H de este circuito para una señal con 𝜔 = 1.05 ∗ 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Solución: a) 𝜔0 =
1 √𝐿. 𝐶
→𝐶=
1 𝜔02 . 𝐿
=
(106 )2
1 = 100𝜌𝐹 ∗ 10𝑚𝐻
Con el valor de C buscamos Q para hallar R: 𝑄=
𝜔0 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 = 3 = 1000 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝐵𝑊 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
106 𝑟𝑎𝑑 𝜔0 ∗ 𝐿 𝜔0 ∗ 𝐿 𝑠𝑒𝑔 ∗ 10𝑚𝐻 𝑄= → 𝑅= = = 10Ω 𝑅 𝑄 1000 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
b) Buscamos la respuesta del circuito H: 1
𝐻=
𝜔 𝜔0 𝜔0 − 𝜔 ))
1 + (𝑗. 𝑄 (
Reemplazando valores: 1
𝐻=
6
1 + (𝑗. 1000 (
1.05.106 10 − )) 106 1.05.106
H resulta: 𝐻=
1 1 + (𝑗97.6)
CIRCUITOS RESONANTES (PARALELO). Ejemplo 1 Se requiere de un circuito RLC resonante a altas frecuencias que opere a 𝜔0 = 10 𝑀𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 con un 𝐵𝑊 = 200 𝐾𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 determine el factor de calidad Q y la inductancia L necesaria cuando 𝐶 = 10𝜌𝐹. Solución: Por medio de la fórmula del ancho de banda despejamos Q 𝐵𝑊 =
𝜔0 𝑄
𝜔
10𝑀 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
→ 𝑄 = 𝐵𝑊0 = 𝑄 = 200 𝐾𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 = 50 ; tenemos
1
𝐿 = 𝜔2 .𝐶 0
Reemplazando valores: 𝐿=
1 𝜔02 . 𝐶
=𝐿=
1 𝑀𝑟𝑎𝑑 2 (10 𝑠𝑒𝑔 ) . 10𝜌𝐹
Respuesta final 𝐿 = 1𝑚𝐻 𝑦 𝑄 = 50
= 0,001 = 1𝑚𝐻
Ejemplo 2 Un circuito RLC en paralelo esta en resonancia a 800 KHz. Suponiendo que la señal de entrada tiene amplitud A=1 determine la respuesta a 850 KHz cuando Q=100, calcule también el ancho de banda. Solución: Datos: 𝜔0 = 800 𝐾𝐻𝑧, 𝜔 = 850 𝐾𝐻𝑧, 𝐴 = 1, 𝑄 = 100. La respuesta del circuito está determinada por: 1
𝐻= 1+
1⁄ 2
𝜔 𝜔0 2 𝜔0 − 𝜔 ) )
(𝑄 2 (
Reemplazando los valores obtenemos: 1
𝐻=
2
1 + (1002 (
850 800 800 − 850) )
1⁄ 2
= 0,08
Calculamos el ancho de banda: 𝐵𝑊 =
𝜔0 800 𝐾𝐻𝑧 = = 8 𝐾𝐻𝑧 𝑄 100
Respuesta final: 𝐻 = 0,08 𝑦 𝐵𝑊 = 𝐾𝐻𝑧.
FUNCION DE TRANSFERENCIA.
Ejemplo 1
Para el circuito ubicado en la parte superior, calcule la ganancia polos y sus ceros. Solución: Usando la división de corriente: 𝐼𝑜 (𝜔) =
4 + 𝑗2𝜔 𝐼𝑖 (𝜔) 4 + 𝑗2𝜔 + (1⁄𝑗0.5𝜔)
O sea: s = 𝑗𝜔 𝐼𝑜 (𝜔) 𝑗0.5𝜔(4 + 𝑗2𝜔) s(𝑠 + 2) = = 𝐼𝑖 (𝜔) 1 + 𝑗2𝜔 + (𝑗𝜔)2 s 2 + 2s + 1 Buscando las raíces de los polinomios obtenemos: Los ceros están: s(𝑠 + 2) = 0 → 𝑐1 = 0 , 𝑐2 = −2 Los polos están: s2 + 2s + 1 → 𝑝1 = 𝑝2 = −1 Existe un polo repetido en el denominador. Como los polos están en el semiplano negativo, el sistema es estable
𝐼𝑜 (𝜔) sus 𝐼𝑖 (𝜔)
CONCLUSIÓN.
Gracias a la realización de este trabajo investigativo logramos aclarar y salir de dudas en todo lo que se refiere al análisis de circuitos resonantes y las diversas teorías que giran alrededor de estos. Durante la realización de este trabajo e explicó lo que es la frecuencia de resonancia y su gran utilidad en el diseño de filtros electrónicos, así como también los métodos matemáticos para encontrar el ancho de banda de un respectivo sistema eléctrico. Se comprendió la diferencia entre un circuito resonante en serie y un circuito resonante en paralelo, por qué los defases de las tensiones y corrientes en las respectivas configuraciones El estudio de fasorial de las tensiones y corrientes fue muy relevante para la investigación y realización de ejercicios como ejemplos explicativos para una comprensión más clara de lo que en este trabajo investigativo se centra. Comprendí proceso de cómo trabajan las señales de transferencia en un circuito eléctrico, como trabaja en un circuito RLC, la relación existente entre la señal entrada y la señal de salida, con lo cual quedo demostrado que las señales de transferencia son necesarias para estudiar la estabilidad del sistema mediante la búsqueda de los polos y ceros de los respectivos polinomios correspondientes a dichas señales. Se vio la utilidad de los circuitos resonantes para la construcción de sistemas de filtrado de señal como lo son los filtros pasa-banda, rechaza-banda, pasa-altos y pasa-bajos. Para culminar esta conclusión, se puede decir que los circuitos resonantes son ampliamente utilizados por las industrias para la construcción de diversos artefactos electrónicos, por lo cual, son imprescindibles para el desarrollo de sistemas eléctricos y electrónicos que sirven de ayuda para la sociedad.
REFERENCIAS BLIBLIOGRAFICAS.
-
Análisis de circuitos RLC, Ing. Cocco Julio. C. UTN FRRO. (Enero de 2006).
-
Fundamentos de Circuitos Eléctricos, Matthew N. O. Sadiku, Tercera edición Editorial McGraw-Hill interamericana, (2006).
-
http://www.electronicafacil.net/tutoriales/CIRCUITOS-RESONANTES.php, Circuitos Resonantes RLC electronicafacil.net
