Cap3 Circuitos Resonantes (1)

Circuitos Resonantes

Circuitos de RF I

I. INTRODUCCIÓN Los circuitos resonantes tienen gran importancia por cuanto constituyen el principio básico de operación de dispositivos de respuesta en frecuencia selectiva como filtros y consecuentemente estos fundamentos se aplican en el diseño de sistemas de radio frecuencia en comunicaciones. El análisis de los circuitos resonantes se lo hará exclusivamente en régimen senoidal permanente. En forma general podemos definir al fenómeno de resonancia como la condición en la cual la variable y respuesta de un sistema físico experimenta un valor máximo.

II. RESONANCIA A. Definición En circuitos de dos terminales que contengan por lo menos un inductor y un capacitor, la resonancia se define como la condición que existe cuando la impedancia de entrada de la red es puramente resistiva. Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada de la red se encuentran en fase. La condición que existe cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta de amplitud máxima. El sistema resonante puede ser eléctrico, mecánico, hidráulico, acústico, o de cualquier otro tipo.

0


Circuitos de RF I

Se puede pensar en una frecuencia que se ajusta hasta que se obtiene la resonancia; también se puede ajustar el tamaño, la forma y el material del objeto mecánico sujeto a vibración, aunque esos procedimientos no sean fáciles de llevar a cabo físicamente. f ísicamente.

B. CIRCUITOS RESONANTES Son circuitos formados por elementos reactivos, inductancias, condensadores, líneas de energía, cristales piezoeléctricos, etc. y se utilizan en los receptores y trasmisores. Una aplicación típica es en las etapas de radiofrecuencia de amplificación donde se quiere que el circuito amplifique solamente una banda de frecuencias. Otra característica de los circuitos resonantes es que la energía liberada por un elemento reactivo (inductor o capacitor) es exactamente igual a la absorbida por el otro. Es decir, durante la primera mitad de un ciclo de entrada el inductor absorbe toda la energía liberada por el capacitor, y durante la segunda mitad del ciclo el capacitor vuelve a capturar la energía proveniente del inductor. Es precisamente esta condición "oscilatoria" que se conoce como resonancia, y la frecuencia en la que esta condición se da es llamada frecuencia resonante. Es interesante relacionar las pérdidas ohmicas y la energía que almacena como elemento reactivo, lo que nos permite medir la bondad del componente. El factor de mérito o Q se define como:

Un circuito de resonancia está compuesto por una resistencia un condensador y una bobina en el cual se alimentan de corriente alterna. 1 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


Circuitos de RF I

Se puede pensar en una frecuencia que se ajusta hasta que se obtiene la resonancia; también se puede ajustar el tamaño, la forma y el material del objeto mecánico sujeto a vibración, aunque esos procedimientos no sean fáciles de llevar a cabo físicamente. f ísicamente.

B. CIRCUITOS RESONANTES Son circuitos formados por elementos reactivos, inductancias, condensadores, líneas de energía, cristales piezoeléctricos, etc. y se utilizan en los receptores y trasmisores. Una aplicación típica es en las etapas de radiofrecuencia de amplificación donde se quiere que el circuito amplifique solamente una banda de frecuencias. Otra característica de los circuitos resonantes es que la energía liberada por un elemento reactivo (inductor o capacitor) es exactamente igual a la absorbida por el otro. Es decir, durante la primera mitad de un ciclo de entrada el inductor absorbe toda la energía liberada por el capacitor, y durante la segunda mitad del ciclo el capacitor vuelve a capturar la energía proveniente del inductor. Es precisamente esta condición "oscilatoria" que se conoce como resonancia, y la frecuencia en la que esta condición se da es llamada frecuencia resonante. Es interesante relacionar las pérdidas ohmicas y la energía que almacena como elemento reactivo, lo que nos permite medir la bondad del componente. El factor de mérito o Q se define como:

Un circuito de resonancia está compuesto por una resistencia un condensador y una bobina en el cual se alimentan de corriente alterna. 1 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


Circuitos de RF I

Hay dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo.

SERIE Cuando son asociados en serie resistores, inductores y capacitores en un circuito de corriente alterna, cuya frecuencia frecuencia pueda ser cambiada, cambiada, habrá un un determinado valor valor de frecuencia en que las reactancias inductiva y capacitiva se quedarán con lo mismo valor óhmico. Una otra situación es si la asociación fuera hecha con resistores e inductores o capacitores en serie. También habrá una una determinada frecuencia en en que que la reactancia (inductiva o capacitiva) sea de mismo valor óhmico que el de la resistencia.

PARALELO En asociación paralela de resistores, inductores inductores y capacitores en un circuito de corriente alternada, cuya cuya frecuencia pueda ser ser cambiada, habrá un determinado valor de frecuencia en que las susceptancias inductiva y capacitiva capacitiva se quedarán con lo mismo valor conductivo. conductivo. También para la asociación paralela de resistores con inductores o capacitores habrá una determinada frecuencia en que la susceptancia* (inductiva o capacitiva) sea de mismo valor que o de la conductancia* del resistor. Para estas dos situaciones tendremos la denominada frecuencia de antiresonancia, o de resonancia paralela

*APUNTE: - conductancia (G): efecto inverso inverso de la resistencia G = 1 / R - susceptancia (B): efecto inverso de la reactancia B = 1 / X - admitancia (Y): efecto inverso de la impedancia Y = 1 / Z.

2 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


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RLC Serie

RLC paralelo



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C. CIRCUITO RESONANTE PARALELO Cuando se conecta un circuito RLC (resistencia, bobina y condensador) en paralelo, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corriente alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes. Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada se encuentran en fase.

Entrada

CORRIENTE

VOLT

10M

0.159uH 15.9pF

1



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En el condensador o capacitor aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina o inductor una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas:

XL = 2 x π x f x L XC = 1 / (2 x π x f x C) Donde: π = 3.14159

f = frecuencia en Hertz L = Valor de la bobina o en henrios C = Valor del condensador en faradios.

XL = 2pfL;

XC = 1/2pfC

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama: frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente fórmula: 1/2

FR = 1 / (2 x π x (L x C) ) En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en paralelo la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia. A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es alta y la inductiva es baja. A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva es alta y la capacitiva baja.



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Como todos los elementos de una conexión en paralelo tienen el mismo voltaje, se puede encontrar la corriente en cada elemento con ayuda de la Ley de Ohm. Así:

- IR = V / R - IL = V / XL - IC = V / XC La corriente en la resistencia está en fase con la tensión, la corriente en la bobina esta atrasada 90° con respecto al voltaje y la corriente en el condensador está adelantada en 90°. Nota: Es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación (resonancia)

La definición de resonancia se aplicará al siguiente circuito RLC

La admitancia presentada a la fuente ideal de corriente es:



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Por lo cual la resonancia ocurre cuando:

La condición de resonancia puede obtenerse ajustando w, L o C; se dedicará atención al caso en que la variable es w. Por tanto la frecuencia resonante w0 es

También puede utilizarse la configuración de polos y ceros de la función de admitancia. Se pueden mostrar los ceros de Y(s) factorizando el numerador:

Donde α y wd representan las mismas cantidades. Es decir, a es el coeficiente de amortiguamiento exponencial.

wd es la frecuencia resonante natural.



El

patrón

de

polos

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y

ceros

se

obtiene

de

la

forma

factorizada

Dada la relación que existe entre α,wd y w0 y la configuración de polos y ceros, la frecuencia resonante puede obtenerse a través de métodos puramente gráficos. Si se asume una fuente de corriente senoidal de amplitud constante para el circuito RLC que se mostró al principio, la respuesta de voltaje es proporcional a la impedancia de entrada.

Esta respuesta puede obtenerse de la gráfica de polos y ceros.

La respuesta

comienza en cero, alcanza un valor máximo cerca de la frec.

Resonante natural y luego cae a cero conforme w tiende a infinito La admitancia definida por



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Tiene una conductancia constante y una susceptancia que tiene una magnitud mínima (cero) en resonancia y su valor es de 1/R. El valor máximo de la impedancia “R” ocurre en resonancia.

La corriente de L en resonancia es (IL,0= IR/j w0L) y la corriente en C es (IC,0= jw0CRI) . Ya que en resonancia

Se encuentra que IC,0= -IL,0 = jw0CRI o sea IC,0+ IL,0 = IL,C =0 El valor máximo de la magnitud de la respuesta y la frecuencia a la que ocurre no siempre se encuentran fácil.

a. Análisis circuital Circuito RLC paralelo

La caída de tensión es igual en los tres elementos:

Ecuación diferencial que describe al sistema



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Ecuación homogénea

La solución es de la forma:

Frecuencia resonancia

Coeficiente amortiguamiento

Raíces de ecuación característica



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Para el caso que estamos desarrollando se usa la tercera solución donde α<ω0 porque tiene una respuesta oscilatoria

b. Factor de Calidad El factor de calidad (Q) o factor Q en un circuito RLC paralelo es: Q = RP / XC

o

RP / XL

También la relacionándolo con el Ancho Banda:

Q = frecuencia de resonancia / Ancho de banda = FR / BW Ejemplos: Si F1 = 50 Khz, F2 = 80 Khz, FR = 65 Khz. El factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (80-50) = 2.17 Si F1 = 60 Khz y F2 = 70 Khz, FR = 65 Khz. El factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (70-60) = 6.5 Se puede observar que el factor de calidad es mejor a menor ancho de banda. (el circuito es mas selectivo)



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La esbeltez de la curva de respuesta de cualquier circuito resonante está determinada por la máxima cantidad de energía que puede almacenarse en el circuito, comparada con la energía que se pierde durante un período completo de la respuesta.

Apliquemos la definición de arriba al circuito que vimos al principio. La función de excitación de corriente es i(t)= Imcos w0t Obtenemos la respuesta de voltaje en resonancia v(t)= RImcosw0t La energía almacenada en el capacitor es

La energía instantánea almacenada en el inductor se convierte en Por consiguiente

Entonces la energía total instantánea almacenada es constante:

Para encontrar la energía disipada por el resistor se toma la potencia absorbida por el resistor,

Se le multiplica por un período, para obtener



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Entonces se encuentra el factor de calidad en resonancia

Q0 = 2pfoRC = w0RC

Esta ecuación es válida sólo para el circuito RLC en paralelo que hemos venido examinando hasta ahora. Los parámetros más importantes de un circuito resonante son la frecuencia de resonancia w0, y el factor de calidad Q 0. Tanto el coeficiente de amortiguamiento exponencial como la frecuencia resonante natural pueden expresarse en términos de w0 y Q0:

También puede ser de utilidad una relación adicional que involucre a w0 y Q0:



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Puede escribirse en términos de a y w0 :

s2 + 2as + w20 En teoría de control se escribe éste factor ligeramente diferente agregando el parámetro adimensional z (zeta),llamado factor de amortiguamiento:

La comparación de estas expresiones permite relacionar z con otros parámetros

EJEMPLO Calcule los valores numéricos de w0, a , wd y R para el circuito resonante que tiene L= .5mH, Q0= 5 y C = 0.01 mF.

SOLUCION



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c. Interpretación de Q Nos hemos encontrado con que la agudeza de la curva de respuesta de un circuito resonante esta determinada por la máxima cantidad de energía que puede ser almacenada en el circuito, en comparación con la energía que se pierde durante un periodo completo de la respuesta. Así pues definimos al “factor de calidad” como

la razón que hay entre la energía máxima almacenada y la energía perdida durante un periodo completo de la respuesta.

La altura de la curva depende de R y su anchura (agudeza) de C yL

d. Ancho de Banda Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima. 15 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


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En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2. El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula:

Ancho Banda = BW = F2 - F1

El ancho de banda de un circuito resonante se define como la diferencia de las frecuencias de la mitad de potencia. Â=

w2 - w1

Este ancho de banda se toma como la “anchura” de la curva de la respuesta, aún

cuando en realidad la curva se extiende desde w= o hasta w=¥. A continuación se verá como expresar el ancho de banda Â en términos de Q0 y la frecuencia de resonancia.

Y 

1 R

 j

Y 

1   0 CR

 R 

 0



   0 L   0 R

   0  1 1 jQ    0   R    0  



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De nuevo se observa que en resonancia la magnitud de la admitancia es 1/R y que puede obtenerse una admitancia igual a

2 / R cuando se elige una frecuencia tal

que la parte imaginaria de la cantidad entre corchetes tiene una magnitud igual a uno. Así

2    1 1       0 1    2 Q  0  2Q0  



1

  1

Q0 

  0



 0 

  1  1 

Al despejar se tiene

  2

Q0 

  0



 0 

  1  2 

Aunque las expresiones de la der. son complicadas su diferencia proporciona una expresión para el ancho de banda.

 2

   2   1 

2    1 1       0 1    2Q0  2Q0    

 0

Q0



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D. CIRCUITO RESONANTE SERIE Cuando se conecta un circuito RLC (resistencia, bobina y condensador) en serie, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corriente alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes.

En el condensador aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas:

XL = 2 x π x f x L XC = 1 / (2 x π x f x C) Donde: π = 3.14159

f = frecuencia en Hertz L = Valor de la bobina en henrios C = Valor del condensador en faradios

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia, XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente fórmula:

FR = 1 / (2 x π x (L x C) 1/2) En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en serie la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia. 18 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


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A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es grande y la impedancia es capacitiva. A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva crece y la impedancia es inductiva. Nota: es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación (resonancia)

Para que un circuito este en resonancia las curvas de voltaje y corriente deben estar enfasados:

entrada

L1

C1

CORRIENTE VOLTAJE

0.159u 15.9p

R1 10

Curva de corriente y voltaje enfasados por lo tanto este circuito es resonante.



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Frecuencia w0 es la frecuencia a la que la parte imaginaria de la frecuencia de entrada se hace cero.

Las dos frecuencia w 1s y w2s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud de la impedancia es 2 la magnitud mínima de la impedancia. Estas también son las frecuencias a las cuales la respuesta de corriente es igual al 70.7 % de la respuesta máxima.

Donde potencia.

es la diferencia entre la frecuencia superior e inferior de la mitad de

Este ancho de banda de la mitad de potencia esta dado por

La impedancia de entrada también puede expresarse en forma aproximada para circuitos con valores altos de Qs.

Donde



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El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia resonante

a. El ancho de banda (BW) El ancho de banda se define como el intervalo de frecuencias en el cual la amplitud de la corriente es igual o mayor que 1/ 2 veces la amplitud. Luego las frecuencias en los límites de la banda de paso son frecuencias donde la magnitud de la impedancia es Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima. En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2. El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula:

Ancho Banda = BW = F2 - F1 El factor de calidad (Q) o factor Q es: Q = XL / R

o

XC / R

También la relacionándolo con el Ancho Banda: Q = frecuencia de resonancia / Ancho de banda = FR / BW Ejemplos: - Si F1 = 50 Khz y F2 = 80 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (80-50) = 2.17



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- Si F1 = 60 Khz y F2 = 70 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (70-60) = 6.5 Se puede observar que el factor de calidad es mejor a menor ancho de banda. (el circuito es más selectivo) La respuesta en corriente será de la forma:

Luego

Resolviendo: 22 ING. VICTOR HUGO RIVERA CHAVEZ


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Factor de Calidad por definición Q es la razón de la frecuencia resonante al ancho de banda. Luego para un circuito resonante serie se tiene que:

Otras expresiones equivalentes serán:

en función del factor de calidad se puede poner:


Cap3 Circuitos Resonantes (1)

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